Algebre1 s1-1213 par www.etudecours.com

1. COURS D’ALG`EBRE I
Pour les fili`eres SMP/SMC
BENKADDOUR Said, ELANSARI M’hammed,
ELAMRANI Majda, LAHMIDI Fouad
15 septembre 2012

2. Chapitre 1
SYSTEMES LINEAIRES :
m´ethode de Gauss
1.1 D´efinitions et notations
Dans toute la suite IK d´esignera le corps IR ou IC.
A. Equations lin´eaires et syst`emes lin´eaires
D´efinition 1.1. Une ´equation lin´eaire `a n ∈ IN∗
inconnues x1, x2, · · · , xn `a coeffi-
cients dans IK est une ´egalit´e du type
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b1
avec a1, · · · , an, b1 ∈ IK des constantes donn´ees.
Exemples 1. 1) Chercher x, y, z dans IR tels que : 2x − z = 0
2) Chercher x1, x2 ∈ IC tels que ix1 + x2 = 1 − i
3) L’´equation 2x2
1 − |x2| + 2x3 = −1 n’est pas lin´eaire.
D´efinition 1.2. Un syst`eme lin´eaire de m ´equations `a n inconnues dans IK est de
la forme suivante :
(S)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 E1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 E2
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm Em
Les inconnues sont x1, ..., xn. Les nombres b1, ..., bm et les aij sont des constantes
donn´ees dans IK.
Exemples 2.



x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 3
5x1 + 2x2 + x4 = 2
x2 − 3x3 = 4
1

3. D´efinition 1.3. 1) Une solution de (S) dans IKn
est tout ´el´ement
(α1, α2, · · · , αn) ∈ IKn
satisfaisant toutes les ´equations de (S).
2) R´esoudre (S) c’est trouver l’ensemble de toutes les solutions de (S).
3) Un syst`eme (S) est dit incompatible lorsqu’il n’a aucune solution.
4) Deux syst`emes lin´eaires (S) et (S ) sont ´equivalents s’ils ont le mˆeme nombre
d’inconnues et le mˆeme ensemble de solutions.
Exemples 3. 1) (2, 1) est solution du syst`eme



x1 − 2x2 = 0
5x1 − 10x2 = 0
x1 − 3x2 = −1
par contre (4, 2) ne l’est pas.
2) les solutions du syst`eme
x1 − 2x2 = 0
5x1 − 10x2 = 0
sont les couples (x1, x2) = (2u, u)
avec u ∈ IK quelconque.
3) Le syst`eme
x1 − x2 = 0
2x1 − 2x2 = 1
est incompatible (on ne peut avoir 0=1 !).
4) Les deux syst`emes suivants sont ´equivalents


x1 − x2 = 0
x1 + x2 = 1
−2x1 + 4x2 = 1
et
x1 − x2 = 0
x1 + x2 = 1
1.2 Syst`eme lin´eaire triangulaire
D´efinition 1.4. Un syst`eme lin´eaire de m ´equations `a n inconnues dans IK est
triangulaire si n = m et s’il est de la forme suivante :
(S)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 E1
0x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 E2
. . . .
. . . .
0x1 + 0x2 + ... + annxn = bn En
avec akk = 0 pour tout 1 ≤ k ≤ n.
Remarque 1.1. La r´esolution d’un tel syst`eme est particuli`erement simple.
Puisqu’on a annxn = bn et ann = 0 on trouve xn = bn
ann
.
On remonte alors `a l’´equation an−1n−1xn−1 + an−1nxn = bn−1 pour calculer xn−1 ; et
on remonte ainsi de suite.
Exemples 4.



x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 3
2x2 + x4 = 2
x3 − 3x4 = 4
2x4 = 2
1.3 R´esolution des S.L. par la m´ethode de Gauss
On consid`ere le syst`eme (S)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = α1 E1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = α2 E2
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = αm Em
2

4. Quitte `a permuter l’ordre des ´equations et `a changer la place des variables xi , on
peut supposer que a11 = 0.
La m´ethode de Gauss consiste `a utiliser l’´equation E1 pour ´el´eminer l’inconnue x1
des ´equations E2, ..., Em.


E2 → E2 = a11E2 − a21E1 : b22x2 + ... + b2nxn = β2
. . . .
. . . .
Em → Em = a11Em − am1E1 : bm2x2 + ... + bmnxn = βm
On obtient le nouveau syst`eme
(**)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = α1 E1
b22x2 + ... + b2nxn = β2 E2
. . . .
. . . .
bm2x2 + ... + bmnxn = βm Em
Th´eor`eme 1.1. Les deux syst`emes (*) et (**) sont ´equivalents.
La r´ep´etition du processus d´ecrit ci-dessus conduit `a un syst`eme dit ”r´eduit” (ou
´echelonn´e) de la forme
(S)



d11y1 + d12y2 + · · · + d1kyk + · · · + d1nyn = f1 E1
0y1 + d22y2 + · · · + d2kyk + · · · + d2nyn = f2 E2
. . . .
. . . .
0y1 + 0y2 + · · · + dkkyk + · · · + dknyn = bk Ek
· · · · · · · · · · · ·
avec les dii = 0.
On arrive forc´ement `a l’un des trois cas :
1) Le syst`eme n’a pas de solution lorsqu’on trouve une ´equation de la forme 0 = bi
avec bi non nul.
2) Le syst`eme a une unique solution (ceci lorsque k = n avec en plus des ´equations
de type 0 = 0 ).
3) Le syst`eme a une infinit´e de solutions (ceci lorsque k < n et les ´equations apr`es
l’´equation Ek sont ´evidentes (de la forme 0 = 0)). Dans ce cas on calcule y1, y2, · · · , yk
en fonction de yk+1, · · · , yn qui restent comme param`etres quelconque dans IK.
Exemples 5. R´esoudre dans IR3
les syst`emes



x1 − x2 + 3x3 = −2
x1 + x3 = 0
x1 + 4x2 − x3 = 2



x1 − x2 + 3x3 = −2
2x1 + 3x2 + 2x3 = 1
x1 + 4x2 − x3 = 2
et dans IR4



x1 − x2 + x3 − 2x4 = 2
2x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 2
−x1 + x2 + 2x3 − 4x4 = 4
−x3 + 2x4 = −2
3

5. Exercice 1.1. Trouver les valeurs du r´eel a tel que le syst`eme



x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
ait
1) aucune solution
2) une solution unique
3) plusieurs solutions.
4

6. Chapitre 2
POLYNˆOMES ET FRACTIONS
RATIONNELLES
2.1 Polynˆomes
A. D´efinitions
D´efinition 2.1. Une fonction polynˆomiale (ou un polynˆome) `a coefficients dans IK
est une fonction pour laquelle ils existent des constantes ao, a1, · · · , an dans IK telle
que
P(x) =
n
p=o
apxp
= ao + a1 + · · · + anxn
. pour tout x ∈ IK.
Formellement, un polynˆome peut toujours ˆetre repr´esent´e par la suite finie (ao, a1, · · · , an)
de ses coefficients, ai ´etant le facteur de xi
.
Exemples 6. 1) O(x) = 0 et Q(x) = 1 + x + 2x2
+ 3x3
pour tout x ∈ IK sont des
fonctions polynˆomiales.
2) Les fonctions f(x) =
1
1 + x2
et g(x) = sin(x) ne sont pas des fonctions po-
lynˆomiales.
Formellement, un polynˆome peut toujours ˆetre repr´esent´e par la suite finie (ao, a1, · · · , an)
de ses coefficients, ai ´etant le facteur de xi
.
D´efinition 2.2. Le degr´e de P est le plus grand exposant (ici n si an = 0). On
note degr´e(P)=d˚(P). Le degr´e du polynˆome nul est −∞ par convention.
D´esignons, dans toute la suite, par IK[x] (IK = IR ou IC) l’ensemble des polynˆomes `a
coefficients dans IK.
B. Addition de deux polynˆomes Soient P, Q ∈ IK[x], alors
∀x ∈ IK (P + Q)(x) = P(x) + Q(x)
5

7. Remarquons que d˚(P + Q) ≤ max(d˚(P), d˚(Q)).
On a P + Q = Q + P, (P + Q) + R = P + (Q + R), 0 + P = P et P + (−P) = 0.
C.Produit de polynˆomes Soient P, Q ∈ IK[x], alors
∀x ∈ IK (PQ)(x) = P(x)Q(x)
Si P(x) =
n
p=o
apxp
et Q(x) =
m
q=o
bqxq
, alors
(PQ)(x) =
n+m
i=o
i
j=o
((ajbi−j) xi
D’o`u d˚(PQ) = d˚(P) + d˚(Q).
On a PQ = QP, (PQ)R = P(QR), P(Q + R) = PQ + PR.
Exemples 7. Soient P(x) = 1 + x + x2
et Q(x) = 1 + x + 2x2
+ 3x3
, on a
(PQ)(x) = 1 + 2x + 4x2
+ 6x3
+ 5x4
+ 3x5
D.DIVISION EUCLIDIENNE
Proposition 2.1. Pour tous polynˆomes A et B (B = 0), il existe un et un seul
polynˆome Q appel´e quotient, et un et un seul polynˆome R appel´e reste, tels que
A = BQ + R avec d˚R < d˚B.
(faire la D.E. de A par B c’est trouver Q et R).
Exemples 8. Faire la D.E de A(x) = 2x4
+ 5x3
− x2
+ 16x − 5
par B(x) = 2 + 3x + 5x2
.
D´efinition 2.3. On dit que le polynˆome A est divisible par le polynˆome B (ou que
B divise A et note B/A) si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
Exemples 9. A(x) = 2 + 5x + 8x2
+ 5x3
est divisible par B(x) = 2 + 3x + 5x2
.
D´efinition 2.4. Si B divise A1 et A2 alors B est un diviseur commun de A1 et
A2.
Si A1 et A2 n’ont pas de diviseur commun de degr´e sup´erieur ou ´egal `a un alors A1
et A2 sont dits premiers entre eux.
Exemples 10. B(x) = x + 1 est un diviseur commun de A1(x) = 1 + 2x + x2
et A2(x) = 1 − x2
.
D1 = x − 1 et D2 = x + 1 sont premiers entre eux.
6

8. Proposition 2.2. Soient A1 et A2 deux polynˆomes `a coefficients dans IK. Il existe
un polynˆome unitaire D (cad le coefficient de tˆete ´egal `a un) et un seul tel que :
1) D est un diviseur commun de A1 et A2,
2) d˚D est le plus grand parmi les diviseurs communs de A1 et A2.
D est appel´e le plus grand commun diviseur (pgcd).
Remarque 2.1. Le pgcd de A1 et A2 est le dernier reste non nul normalis´e dans la
suite des divisions euclidiennes successives (connue sous le nom d’algorithme d’Eu-
clide).
E.DIVISION SUIVANT LES PUISSANCES CROISSANTES
Proposition 2.3. Pour tous polynˆomes A et B (bo = B(0) = 0) et tout entier
k ∈ IN, il existe un couple unique (Q, R) de polynˆomes, tels que A = BQ + xk+1
R
avec d˚Q ≤ k.
Q et xk+1
R sont respectivement appel´es quotient et reste de la division suivant les
puissances croissantes de A par B `a l’ordre k.
(faire la DSPC de A par B c’est trouver Q et R).
Exemples 11. Faire la DSPC de A(x) = x5
− 3x4
− 2x3
+ x2
+ 3x + 2 par
B(x) = 2 + 3x + x2
`a l’ordre k = 5.
F.RACINES D’UN POLYNˆOME. FACTORISATION
Th´eor`eme 2.1. et d´efinition
a ∈ IK est dit une racine (ou un z´ero) du polynˆome P s’il v´erifie l’une des deux
conditions suivantes qui sont ´equivalentes ;
1) P(a) = 0 ;
2) le polyˆome (x − a) divise le polynˆome P.
Th´eor`eme 2.2. a ∈ IK est dit une racine d’ordre k (ou de multiplicit´e k) du po-
lynˆome P (pour k ≤ d˚P) lorsqu’il v´erifie l’une des conditions suivantes qui sont
´equivalentes :
1) P(a) = P (a) = · · · = P(k−1)
(a) = 0 et P(k)
(a) = 0.
2) Le polynˆome (x − a)k
divise P et (x − a)k+1
ne divise pas P.
Remarque 2.2. L’outil fondamental permettant de d´emontrer le th´eor`eme ci-
dessus est la formule de Taylor pour les polynˆomes de degr´e n et a ∈ IK.
P(x) = P(a) + (x − a)P (a) +
(x − a)2
2
P (a) + · · · +
(x − a)n
n!
P(n)
(a).
(faire un exemple)
Th´eor`eme 2.3. (Th´eor`eme de D’Alembert)
Tout polynˆome, `a coefficient dans IC, de degr´e n ∈ IN poss`ede exactement n racines
(une racine d’ordre k comptant pour k racines).
7

9. Remarque 2.3. Si x1, x2, · · · , xp sont toutes les racines deux `a deux distinctes
d’ordres respectifs α1, α2, · · · , αp du polyˆome P(x) =
n
k=0
akxk
, d’apr`es ce qui pr´ec`ede,
(x − x1)α1
/P(x), ainsi que (x − x2)α2
/P(x),etc · · · .
Etant premiers entre eux donc :
(x − x1)α1
(x − x2)α2
· · · (x − xp)αp
/P(x).
Et l’on a α1 + α2 + · · · + αp = n et le quotient est de degr´e 0, le terme de degr´e n
devant ˆetre anxn
, on a donc
P(x) = an(x − x1)α1
(x − x2)α2
· · · (x − xp)αp
Exemples 12. Factoriser P(x) = x4
− 6x3
+ 8x2
+ 6x − 9 dans IC[x].
Remarque 2.4. Tout polynˆome `a coefficients r´eels, est un cas particulier de po-
lynˆomes `a coefficients complexes, et donc poss`ede autant de racines complexes que
son degr´e. Ses racines sont n´ecessairement conjugu´ees deux `a deux. Si z est racine
d’ordre k de P alors z est aussi racine d’ordre k de P.
Th´eor`eme 2.4. Tout polynˆome de degr´e n `a coefficients r´eels, se d´ecompose en
facteurs du premier degr´e (x−a) o`u a est une racine r´eelle, et en facteurs du second
degr´e `a discriminant n´egatif.
Exemples 13. Factoriser dans IR[x] le polynˆome P(x) = x4
+ 1.
Remarque 2.5. Les polynˆomes irr´eductibles dans IC[x] sont les polynˆomes de la
forme (x − a) avec a ∈ IC.
Les polynˆomes irr´eductibles dans IR[x] sont les polynˆomes de la forme (x − a) avec
a ∈ IR ou de la forme ax2
+ bx + c `a discriminant n´egatif ( cad : ∆ = b2
− 4ac < 0).
2.2 Fractions rationnelles
On appelle fraction rationnelle, toute fonction du type
x ∈ IK −→
P(x)
Q(x)
o`u P et Q sont deux polynˆomes `a coefficients dans IK.
On notera dans toute la suite IK(x) l’ensemble de toutes les fractions rationnelles `a
coefficients dans IK.
On supposera dans toute la suite que la fraction P
Q
est irr´eductible, c’est `a dire que
P et Q sont premiers entre eux (c’est toujours possible en simplifiant par le pgcd de
P et Q).
Les racines de P
Q
sont les racines de P. Les pˆoles de P
Q
sont les racines de Q.
On a le r´esultat suivant :
8

10. Th´eor`eme 2.5. (d´ecomposition d’une fr en ´el´ements simples dans IC)
Si P
Q
est une fr `a coefficients complexes, de pˆoles a1, a2, · · · , ak d’ordres respectifs
α1, α2, · · · , αk, il existe de fa¸con unique, un polyˆome E(x) appel´ee partie enti`ere, et
des constantes A1(a1), · · · , Aα1 (a1), · · · , A1(ak), · · · , Aαk
(ak) tels que
P(x)
Q(x)
= E(x) + A1(a1)
(x−a1)
+ A2(a1)
(x−a1)2 + · · · +
Aα1 (a1)
(x−a1)α1
+ · · · + A1(ak)
(x−ak)
+ A2(ak)
(x−ak)2 + · · · +
Aαk
(ak)
(x−ak)αk
Remarque 2.6. Pour le pˆole ai d’ordre αi, l’expression
A1(ai)
(x − ai)
+
A2(ai)
(x − ai)2
+ · · · +
Aαi
(ai)
(x − ai)αi
est appel´ee partie principale relative au pˆole ai, et les monˆomes dont elle est form´ee
se nomment des fractions de premi`ere esp`ece.
Exemples 14. D´ecomposer en e.s la fr 1
x3−1
Dans le cas d’une fr dans IR[x], nous avons le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 2.6. (d´ecomposition d’une fr en ´el´ements simples dans IR)
Si P
Q
est une fr `a coefficients r´eels, de pˆoles a1, a2, · · · , ak d’ordres respectifs α1, α2, · · · , αk,
il existe de fa¸con unique, une d´ecomposition
P(x)
Q(x)
= E(x) + A1
(x−a)
+ A2
(x−a)2 + · · · + Aα
(x−a)α
+ · · ·
+ p1x+q1
x2+m1x+n1
+ · · · + psx+qs
(x2+msx+ns)s
+ · · ·
form´ee par la partie enti`ere E(x), les fractions de premi`ere esp`ece relatives `a tous
les pˆoles r´eels, et des fractions de seconde esp`ece dont le num´erateur est du premier
degr´e, les d´enominateurs ´etant toutes les puissances de trinˆomes du second degr´e `a
discriminant n´egatif, entrant dans la factorisation de Q(x) dans IR[x].
Exemples 15. D´ecomposer en e.s la fr 1
x4+x2+1
Remarque 2.7. (sur la pratique de la d.e.s)
• Cas des pˆoles simples : si a est un pˆole simple de la fr P(x)
Q(x)
, l’unique coefficient r
`a chercher pour la partie principale r
(x−a)
relative `a a, est donn´ee par P(x)
Q (x)
Exemples 16. D´ecomposer dans IR(x) les fr 1
x3−1
et x4
(x−1)(x+2)(x−3)
• Valeurs particuli`eres : prenons par exemple R(x) = x2−3x−2
(x2+x+1)2(x+1)2 . On a
R(x) =
a
(x + 1)
+
b
(x + 1)2
+
cx + d
(x2 + x + 1)
+
ex + f
(x2 + x + 1)2
9

11. Si nous multiplions de chaque cˆot´e de cette ´egalit´e par (x+1)2
, puis que nous prenons
x = −1, nous avons alors b = 2.
On multiplie de chaque cˆot´e par (x2
+ x + 1)2
puis, on prend x = j (qui est une
racine de de (x2
+ x + 1)) alors on obtient une ´equation dans IC :
j3
− 3j − 2
(j + 1)2
= ej + f
fournissant e = 3 et f = −1.
La valeur particuli`ere x = 0 donne −2 = f + d + a + b soit a + d = −3.
Le fait de multiplier de chaque cˆot´e par x, et de comparer les limites obtenues en
+∞, donne 0 = a + c.
Une derni`ere valeur paticuli`ere comme x = 1 fournit a = −1, c = 1et d = −2.
Division suivant les puissances croissantes : Soit
R(x) =
x7
+ x6
+ x5
− x4
+ x3
+ x2
+ 1
x6(1 + x2)2
On a
1 + x2
+ x3
− x4
+ x5
+ x6
+ x7
= (1 + 2x2
+ x4
)(1 − x2
+ x3
− x5
) + x6
(2 + 2x + x3
)
D’o`u R(x) = 1
x6 − 1
x4 + 1
x3 − 1
x
+ 2+2x+2x3
1+2x2+x4 . Reste bien entendu `a d´ecomposer la derni`ere
fraction.
Soit F(x) = x4−5x3+10x2−8x−1
(x−1)3(x−2)
. Posons y = x − 1,
le num´erateur devient y4
− y3
+ y2
+ y − 3. La dspc de ce num´erateur par −1 + y `a
l’ordre 2 donne
−3 + y + y2
− y3
+ y4
= (−1 + y)(3 + 2y + y2
) + y3
(−2 + y)
D’o`u −3+y+y2−y3+y4
y3(y−1)
= 3
y3 + 2
y2 + 1
y
+ y−2
y−1
.
y−2
y−1
= y−1−1
y−1
= 1 − 1
y−1
= 1 − 1
x−2
. Finalement
R(x) = 1 +
3
(x − 1)3
+
2
(x − 1)2
+
1
(x − 1)
−
1
(x − 1)
.
10

12. Chapitre 3
PROPRIETES VECTORIELLES
de IRn
3.1 D´efinitions et Notations
Notations 3.1. • IRn
d´esigne l’ensemble des n-uplets `a coordonn´ees dans IR.
IRn
= {(x1, x2, · · · , xn) / x1, x2, · · · , xn ∈ IR)}
• l’´egalit´e dans IRn
est d´efinie par :
(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , yn) ⇔ x1 = y1, · · · , xn = yn
• l’addition dans IRn
:
pour X = (x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn
et Y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ IRn
X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)
• la multiplication externe ( ) de α ∈ IR et X ∈ IRn
:
α X = (αx1, αx2, · · · , αxn)
• On note 0IRn = (0, 0, · · · , 0) le n-uplet `a coordonn´ees nulles.
• On note
−X = (−x1, −x2, · · · , −xn)
et
X − Y = X + (−Y ) = (x1 − y1, x2 − y2, · · · , xn − yn)
Propri´et´es 1. • ∀X, Y, Z ∈ IRn
X + Y = Y + X la commutativit´e
X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z l’associativit´e
X + 0IRn = 0IRn + X l’´el´ement neutre
X + (−X) = (−X) + X = 0IRn (−X) sym´etrique de X
• et en plus : ∀α, β ∈ IR
α (X + Y ) = α X + α Y
(α + β) X = α X + β X
(αβ) X = α (β X)
1 X = X
11

13. IRn
muni des lois (+) et ( ) est dit un espace vectoriel (un e.v) et est not´e
(IRn
, +, ).
un ´el´ement X de IRn
est appel´e un vecteur de IRn
= Vn
3.2 Sous-espaces vectoriels (sev) de IRn
D´efinition 3.1. Une partie F ⊂ IRn
est dite un sous-espace vectoriel (sev) de IRn
si :
i) 0IRn ∈ F
ii) ∀α, β ∈ IR et X, Y ∈ F, αX + βY ∈ F.
Exemples 17. • IRn
est un sev de IRn
.
• F = {0IRn } est un sev de IRn
.
• F = {(x, y) ∈ IR2
/ y + x = 0} est un sev de IR2
.
Proposition 3.1. Si F et G sont des sev alors F ∩ G est aussi un sev.
3.3 Famille g´en´eratrice d’un sev de IRn
D´efinition 3.2. Soient X1, X2, · · · , Xk des vecteurs de IRn
et α1, · · · , αk des r´eels.
Le vecteur α1X1 + α2X2 + · · · + αkXk est dit une combinaison lin´eaire (cl) des vec-
teurs X1, X2, · · · , Xk.
Exemples 18. Dans IR3
X = (1, −1, 2) = 1.(1, −1, 0) + 2.(0, 0, 1)
= (−1).(−1, 1, −2)
X est cl de X1 = (1, −1, 0) et X2 = (0, 0, 1)
on a aussi X est cl de Y1 = (−1, 1, −2).
D´efinition 3.3. Soit F un sev de IRn
et X1, X2, · · · , Xk une famille de vecteurs de
F.
La famille X1, X2, · · · , Xk est dite une famille g´en´eratrice de F si F est l’ensemble
de toutes les combinaisons lin´eaires des X1, X2, · · · , Xk.
(c`ad : Y ∈ F ⇔ ∃α1, · · · , αk ∈ IR : Y = α1X1 + · · · + αkXk) Ce qu’on note
F = vect(X1; X2; · · · ; Xk)
Exemples 19. 1) Dans IR3
on pose F = {(x, 2x, y); / x, y ∈ IR}
on a F = {x.(1, 2, 0) + y.(0, 0, 1) / x, y ∈ IR}.
On voit bien que F est engendr´e par la famille X1 = (1, 2, 0) et X2 = (0, 0, 1). La
famille ((1, 2, 0); (0, 0, 1)) est une famille g´en´eratrice de F.
2) On a dans IR3
: X = (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
donc la famille B = ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) est une famille g´en´eratrice de IR3
.
12

14. R´esum´e :
Pour v´erifier si une famille T = (X1; X2; · · · ; Xk) de F sev de IRn
est g´en´eratrice on
prend Y quelconque de F et on r´esoud le syst`eme
α1X1 + · · · + αkXk = Y d inconnues (αi)i
1) si le syst`eme admet au moins une solution pour chaque Y ∈ F, la famille T est
g´en´eratrice,
2) s’il existe Yo ∈ F pour lequel le syst`eme n’a pas de solution, alors cette famille
n’est pas g´en´eratrice.
Exemples 20. X1 = (0, 1, 1) ;X2 = (1, 0, 0) dans IR3
;
Soit Y = (x, y, z) ∈ IR3
pour α1, α2 :
α1X1 + α2X2 = Y ⇔ α1(0, 1, 1) + α2(1, 0, 0) = (x, y, z)
⇔ (α2, α1, α1) = (x, y, z)
⇔ α2 = x et y = z = α1
ce qui n’est pas toujours v´erifi´e pour un triplet quelconque de IR3
(pour Y = (0, 1, 2)
pas de solution).
La famille (X1; X2) n’est pas g´en´eratrice de IR3
.
3.4 Famille libre
D´efinition 3.4. Une famille T = (X1; X2; · · · ; Xk) de IRn
est dite une famille libre
si le syst`eme
α1X1 + · · · + αkXk = 0IRn d’inconnues α1, · · · , αk admet l’unique solution
(α1, · · · , αk) = (0, · · · , 0).
(c`ad ; (∀α1, · · · , αk ∈ IR : α1X1 + · · · + αkXk = 0IRn ⇒ α1 = · · · = αk = 0)).
Une famille qui n’est pas libre est dite li´ee.
Exemples 21. 1) Dans IR2
: X1 = (1, 2) ;X2 = (0, 1)
Soient α1, α2 ∈ IR
α1X1 + α2X2 = 0IR2 ⇔ (α1, 2α1 + α2) = (0, 0) ⇔
α1 = 0
2α1 + α2 = 0
⇔ α1 = α2 = 0
la famille (X1; X2) est donc libre.
2) Dans IR2
: Z1 = (1, 2) ;Z2 = (−1, −2)
Soient α1, α2 ∈ IR
α1X1 + α2X2 = 0IR2 ⇔ (α1 − α2, 2α1 − 2α2) = (0, 0) ⇔
α1 − α2 = 0
2α1 − 2α2 = 0
⇔ α1 = α2
la famille (Z1; Z2) n’est donc pas libre.
13

15. Proposition 3.2. Une famille T = (X1; X2; · · · ; Xk) de IRn
est li´ee si et seulement
s’il existe Xio qui s’´ecrit combinaison lin´eaire des autres Xi.
En particulier : (X1; X2) est li´ee si et seulement si ∃α ∈ IR : X1 = αX2
ou X2 = αX1.
Preuve 1. (X1; X2; · · · ; Xk) est li´ee ⇔ ∃(α1, · · · , αk) non tous nuls :
α1X1 + · · · + αkXk = 0IRn .
Donc il existe αio = 0 avec :
αio Xio = −α1X1 − · · · − αio−1Xio−1 − αio+1Xio+1 − · · · − αkXk.
et donc Xio = −α1
αio
X1 + · · · −αio−1
αio
Xio−1 + −αio+1
αio
Xio+1 + · · · + −αk
αio
Xk
ce qui donne Xio combinaison lin´eaire des autres Xi.
3.5 Base d’un sev de IRn
D´efinition 3.5. Une famille B = (X1, · · · , Xk) de F sev de IRn
est dite une base
de F si : B est libre et g´en´eratrice.
R´esum´e :
B = (X1, · · · , Xk) est une base de F si et seulement
1) les Xi sont des vecteurs de F,
2) pour chaque Y ∈ F le syst`eme α1X1 + · · · + αkXk = Y admet une solution
unique .
Exemples 22. • B = ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) est une base de IR3
dite la base
canonique de IR3
.
• F = {(x, 2y) / x, y ∈ IR} est un sev de IR2
et B1 = ((1, 0); (0, 2)) est une base de F.
Th´eor`eme 3.1. • Toutes les bases d’un sev F de IRn
ont le mˆeme nombre de
vecteurs. Ce nombre est appel´e la dimension de F et not´e dim(F).
• Si F sev de IRn
et dim(F) = n alors F = IRn
.
• B base de IRn
⇔ card(B) = n et B g´en´eratrice ⇔ card(B) = n et B libre
Exemples 23. dim(IR2
) = 2, dim(IR3
) = 3, · · · dim(IRn
) = n.
Avec G = {(x, 2x, y) / x, y ∈ IR} sev de IR3
, on a dim(G) = 2.
dim({0IRn }) = 0.
3.6 Somme de sous-espaces vectoriels
D´efinition 3.6. et proposition :
Soient F et G deux sev de IRn
• la partie not´ee H = F + G = {X + Y / X ∈ F et Y ∈ G} est un sev de IRn
appel´e
la somme de F et G.
• si en plus F ∩ G = {0IRn } on ´ecrit H = F ⊕ G et on dit que H est la somme
directe de F et G.
14

16. Exemples 24. F = {(x, x) / x ∈ IR} et G = {(y, −y) / y ∈ IR}
on a IR2
= F + G et F ∩ G = {0IR2 },
d’o`u IR2
= F ⊕ G.
Propri´et´es 2. dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G)
15

17. 16

18. Chapitre 4
Produit scalaire, produit vectoriel
et produit mixte
4.1 Produit scalaire dans IRn
Notations :
Un vecteur de IRn
sera not´e −→u = (x1, · · · , xn).
D´efinition 4.1. Le produit scalaire de deux vecteurs −→u = (x1, · · · , xn)
et −→v = (y1, · · · , yn) est d´efini par
−→u · −→v = x1y1 + · · · + xnyn
on note aussi −→u · −→v = (−→u | −→v ).
Remarque : −→u , −→v ∈ IRn
, mais −→u · −→v ∈ IR.
−→u · −→u est not´e −→u 2
.
Exemples 25. Avec −→u = (1, 0, −1) et −→v = (1, 0, 1) dans IR3
on a : −→u · −→v = 0
et −→u · −→u = 2
Propri´et´es 3. ∀−→u , −→v , −→w ∈ IRn
, ∀α ∈ IR
−→u · −→v = −→v · −→u
−→u · −→u ≥ 0
−→u 2
= 0 ⇔ −→u = (0, · · · , 0) =
−→
0
(α−→u ) · −→v = −→u · (α−→v ) = α(−→u · −→v )
−→u · (−→v + −→w ) = −→u · −→v + −→u · −→w
(−→v + −→w ) · −→u = −→v · −→u + −→w · −→u
D´efinition 4.2. Pour −→u ∈ IRn
, −→u = (x1, · · · , xn) on note −→u = (−→u )2
= x2
1 + · · · + x2
n
qu’on appelle la norme euclidienne de −→u .
Exemples 26. (1, −1, 5) =
√
27
17

19. Propri´et´es 4. ∀−→u , −→v ∈ IRn
, ∀λ ∈ IR
• −→u = 0 ⇔ −→u =
−→
0 = 0IRn
• λ−→u =| λ | . −→u
• −→u + −→v 2
= −→u 2
+ −→v 2
+ 2−→u · −→v .
• | −→u · −→v |≤ −→u . −→v ,
c’est l’in´egalite de Schwartz,
(donc
−→u ·−→v
−→u . −→v
≤ 1 si −→u , −→v =
−→
0 )
• −→u + −→v ≤ −→u + −→v
D´efinition 4.3. • Un vecteur −→u ∈ IRn
est norm´e si −→u = 1.
• Si −→u , −→v ∈ IRn
{
−→
0 } on a vu que
−→u ·−→v
−→u . −→v
≤ 1
donc : ∃!θ ∈ [0, π] : cos(θ) =
−→u ·−→v
−→u . −→v
on note θ = (−→u , −→v ) l’´ecart angulaire entre −→u et −→v .
Exemples 27. 1) Dans IR2
, −→u = (1, 1), −→v = (2, 2) ;
cos(−→u , −→v ) = 4√
2
√
8
= 1, donc θ = 0.
2) Dans IR3
, −→u = (−1, 0, 1), −→v = (1, 0, 1) ;
cos(−→u , −→v ) = 0, donc θ = π
2
.
3) Si (−→e 1; · · · ; −→e n) est la base canonique de IRn
:
−→e i · −→e j = 0 ; si i = j et −→e i · −→e i = 1
4.2 Orthogonalit´e
D´efinition 4.4. On dit que deux vecteurs −→u , −→v ∈ IRn
sont orthogonaux lorsque
−→u · −→v = 0
Exemples 28. 1)
−→
0 est orthogonal `a tout −→u ∈ IRn
.
2) Deux vecteurs distincts, de la base canonique de IRn
sont orthogonaux.
D´efinition 4.5. Une base B = (−→u 1; · · · ; −→un) de IRn
est dite orthonormale si :
1) ∀i −→u i = 1,
2) −→u i · −→u j = 0 si i = j.
Les (ui)i sont norm´es et orthogonaux deux `a deux.
Exemples 29. 1) La base canonique de IRn
est orthonormale.
2) Dans IR2
: −→u 1 = (
√
2
2
,
√
2
2
), −→u 2 = (−
√
2
2
,
√
2
2
) ;
(−→u 1; −→u 2) est une base orthonormale.
18

20. 4.3 D´eterminant de deux vecteurs de IR2
D´efinition 4.6. Soient −→u = (x, y), −→v = (x , y ) ∈ IR2
;
on d´efinit det(−→u , −→v )
not´e
=
x x
y y
= xy − x y
le d´eterminant de (−→u ; −→v )
Exemples 30. Pour −→u = (1, 1), −→v = (1, 2), on a det(−→u ; −→v ) = 1
Propri´et´es 5. ∀α, β ∈ IR, ∀−→u , −→v , −→w ∈ IR2
on a :
• det(−→u ; −→v ) = −det(−→v ; −→u ),
• det(α−→u ; −→v ) = det(−→u ; α−→v ) = αdet(−→u ; −→v ),
•
det(−→u ; −→v + −→w ) = det(−→u ; −→v ) + det(−→u ; −→w )
det(−→v + −→w ; −→u ) = det(−→v ; −→u ) + det(−→w ; −→u )
Proposition 4.1. ∀−→u , −→v ∈ IR2
, on a :
• |det(−→u ; −→v )| = −→u .
−→
v sin (−→u , −→v ).
• la famille (−→u ; −→v ) est li´ee ⇔ det(−→u ; −→v ) = 0.
Et donc : la famille (−→u ; −→v ) est libre ⇔ det(−→u ; −→v ) = 0.
Preuve 2. • On a d´ej`a cos(θ) =
−→u ·−→v
−→u . −→v
avec θ ∈ [0, π] donc sin(θ) ≥ 0,
et sin(θ) = 1 − cos2(θ) = 1 − (xx +yy )2
(x2+y2)(x 2+y 2)
=
√
(xy )2+(x y)2−2xx yy
√
(x2+y2)
√
(x 2+y 2)
=
√
(xy −x y)2
−→u . −→v
=
|det(−→u ;−→v )|
−→u . −→v
d’o`u |(det(−→u ; −→v )| = −→u . −→v sin (−→u , −→v ),
• (⇒) si par exemple −→v = α−→u , sin (−→u , −→v ) = 0
et donc det(−→u ; −→v ) = 0 (de mˆeme si −→u = α−→v ).
(⇐) Si det(−→u ; −→v ) = 0
on a : −→u = 0 ou −→v = 0 ou sin (−→u , −→v ) = 0
et dans tous ces cas −→u et −→v sont li´es.
4.4 Produit vectoriel dans IR3
D´efinition 4.7. Soient −→u = (x, y, z), −→v = (x , y , z ) deux vecteurs de IR3
. On
d´efinit le produit vectoriel de −→u et −→v -not´e −→u ∧ −→v - par :
−→u ∧ −→v = (yz − zy , zx − xz , xy − yx )
On a donc −→u ∧ −→v ∈ IR3
.
19

21. Exemples 31. 1) Avec −→u = (1, 1, 1), −→v = (2, 2, 2) on a −→u ∧ −→v = (0, 0, 0) =
−→
0 ,
2) −→e 1 = (1, 0, 0), −→e 2 = (0, 1, 0) et −→e 1 ∧ −→e 2 = (0, 0, 1) = −→e 3
Propri´et´es 6. ∀α, β ∈ IR, ∀−→u , −→v , −→w ∈ IR3
• −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u ),
•
−→u ∧ (α−→v ) = (α−→u ) ∧ −→v = α(−→u ∧ −→v )
−→u ∧ (−→v + −→w ) = −→u ∧ −→v + −→u ∧ −→w
(−→v + −→w ) ∧ −→u = −→v ∧ −→u + −→w ∧ −→u
• −→u ∧ −→u = 0.
Proposition 4.2. ∀−→u , −→v ∈ IR3
• −→u ∧ −→v = −→u . −→v .| sin (−→u , −→v )|
donc l’aire du parall`elogramme construit sur −→u et −→v est −→u ∧ −→v ,
• (−→u ; −→v ) est li´ee ⇔ −→u ∧ −→v =
−→
0 .
Preuve 3. • Calculons a = cos((−→u , −→v ))2
+
( −→u ∧−→v )
2
( −→u . −→v )
2 ,
on trouve a =
(−→u ·−→v )
2
( −→u . −→v )
2 +
( −→u ∧−→v )
2
( −→u . −→v )
2 ,
et donc a = (xx +yy +zz )2+(yz −zy )2+(zx −xz )2+(xy −yx )2
( −→u . −→v )
2 ,
d’o`u a = (x2+y2+z2)((x 2+y 2+z 2))
( −→u . −→v )
2 = 1.
puisque sin((−→u , −→v ) ≥ 0 on a donc sin((−→u , −→v ) =
( −→u ∧−→v )
2
( −→u . −→v )
2 =
−→u ∧−→v
−→u . −→v
et donc −→u ∧ −→v = −→u . −→v .| sin (−→u , −→v )|.
• (−→u ; −→v ) est li´ee
⇔ −→u =
−→
0 , −→v =
−→
0 ou (−→u , −→v ) = 0 (l’´ecart est nul)
⇔ −→u . −→v .| sin (−→u , −→v )| = 0
⇔ −→u ∧ −→v = 0
⇔ −→u ∧ −→v =
−→
0 .
4.5 D´eterminant et produit mixte dans IR3
D´efinition 4.8. Le produit mixte, ou d´eterminant de trois vecteurs de IR3
est d´efini
par :
[−→u , −→v , −→w ] = −→u · (−→v ∧ −→w ) = det(−→u , −→v , −→w )
on a donc [−→u , −→v , −→w ] ∈ IR.
Exemples 32. Avec −→e 1 = (1, 0, 0), −→e 2 = (0, 1, 0) et −→e 3 = (0, 0, 1), on a :
[−→e 1, −→e 2, −→e 3] = −→e 1 · (−→e 2 ∧ −→e 3) = −→e 1 · −→e 1 = 1
20

22. Propri´et´es 7. • Avec −→u = (x, y, z), −→v = (x , y , z ) et −→w = (x , y , z ) on a
[−→u , −→v , −→w ] = (x, y, z) · (y z − z y , z x − x z , x y − y x )
= x(y z − z y ) + y(z x − x z ) + z(x y − y x )
• ∀−→u , −→v , −→w ∈ IR3
et ∀α ∈ IR
– det(α−→u , −→v , −→w ) = αdet(−→u , −→v , −→w )
– det(−→u +
−→
u , −→v , −→w ) = det(−→u , −→v , −→w ) + det(
−→
u , −→v , −→w )
– det(−→u , −→v , −→w ) = −det(−→v , −→u , −→w )
(le d´eterminant change de signe lorsqu’on ´echange deux vecteurs).
Proposition 4.3. Soient −→u , −→v , −→w ∈ IR3
. On a l’´equivalence :
(−→u ; −→v ; −→w ) est li´ee ⇐⇒ det(−→u , −→v , −→w ) = 0
Autrement dit :
(−→u ; −→v ; −→w ) est une base de IR3
⇐⇒ det(−→u , −→v , −→w ) = 0
D´efinition 4.9. Une base (−→u ; −→v ; −→w ) de IR3
est dite une base directe (resp. indi-
recte) si det (−→u , −→v , −→w ) > 0 (resp. det (−→u , −→v , −→w ) < 0).
21

23. 22

24. Chapitre 5
Les espaces affines IR2 et IR3
5.1 Les espaces affines IR2
et IR3
D´efinition 5.1. On consid`ere les ´el´ements de IR2
(resp. IR3
) comme ´etant des
points qu’on note M = (x, y) ∈ IR2
(resp. M = (x, y, z) ∈ IR3
) et on dit que IR2
est
un plan affine not´e A2 (resp. IR3
est un espace affine not´e A3).
Soient M = (x, y) ∈ A2, M = (x , y ) ∈ A2. On note
−−−→
MM le vecteur de V2 d´efini
par :
−−−→
MM = (x − x, y − y) = M − M.
On a ainsi M = M +
−−−→
MM (et de mˆeme si M, M ∈ A3).
Proposition 5.1. Pour A, B, C ∈ An (n = 2 ou 3), on a :
1)
−→
AB =
−→
0 ⇐⇒ A = B,
2)
−→
BA = −
−→
AB,
3)
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC, la relation de Chasles.
Preuve 4. 1)
−→
AB =
−→
0 ⇔ (x − x, y − y) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (x , y ) ⇔ A = B,
2)
−→
BA = (x − x , y − y ) = −(x − x, y − y) = −
−→
AB,
3)
−→
AB +
−−→
BC = (x − x, y − y) + (x − x , y − y ) = (x − x, y − y) =
−→
AC.
Notation 5.1. Soient A ∈ An et −→u ∈ Vn. On note A + −→u
d´ef
=
−→
OA + −→u avec
O = 0IRn =
−→
0 .
Proposition 5.2. Soient A, B ∈ An et −→u , −→v ∈ Vn :
1) (A + −→u ) + −→v = A + (−→u + −→v ) ;
2)
−→
AB = −→u ⇔ B = A + −→u ;
3) A + −→u = A + −→v ⇔ −→u = −→v .
Preuve 5. 1) (A + −→u ) + −→v = (
−→
OA + −→u ) + −→v
=
−→
OA + (−→u + −→v ) = A + (−→u + −→v ) ;
23

25. d’apr`es l’associativit´e de la somme des vecteurs.
2)
−→
AB =
−→
AO +
−−→
OB = −→u
⇔
−−→
OB = −
−→
AO + −→u =
−→
OA + −→u
⇔ B = A + −→u ;
3) A + −→u = A + −→v ⇔
−→
OA + −→u =
−→
OA + −→v ⇔ −→u = −→v .
en simplifiant par le vecteur
−→
OA.
5.2 Droites affines dans A2
D´efinition 5.2. 1) Soient A ∈ A2 et −→u ∈ V2 {
−→
0 }. On appelle droite affine
passant par A et dirig´e par −→u , l’ensemble : D = {M ∈ A2 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}.
Une partie D de A2 est dite une droite affine (ou : une droite) si et seuelemnt s’il
existe A ∈ A2 et −→u ∈ V2 {
−→
0 } telle que D soit la droite affine passant par A et
dirig´e par −→u .
Exemples 33. Avec A = (−1, 1), −→u = (1, 2)
D = {M = (x, y) / (x + 1, y − 1) ∈ vect(−→u )}
= {M = (x, y) / ∃α ∈ IR : (x + 1, y − 1) = α−→u }
Remarque 5.1. Soient A = (xo, yo) ∈ A2, −→u = (u1, u2) ∈ V2 {
−→
0 }
et D = {M ∈ A2 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}.
Par des ´equivalences on a :
M = (x, y) ∈ D ⇔ ∃α ∈ IR :
−−→
AM = α−→u
⇔ ∃α ∈ IR : (x − xo, y − yo) = α(u1, u2)
⇔ ∃α ∈ IR :
x = xo + αu1
y = yo + αu2
Cette derni`ere ´ecriture est la repr´esentation param´etrique de la droite D.
Et l’on a aussi :
M = (x, y) ∈ D ⇔
−−→
AM ∈ vect(−→u )
⇔
−−→
AM et −→u sont li´es
⇔ det(
−−→
AM, −→u ) =
x − xo u1
y − yo u2
= 0
⇔ u2(x − xo) − u1(y − yo) = 0
Cette derni`ere ´ecriture qui se met sous la forme : M = (x, y) ∈ D ⇔ ax+by +c = 0
(avec (u1, u2) = (−b, a)) est l’´equation cart´esienne de D.
Inversement : si (a, b) ∈ IR2
{(0, 0)} et c ∈ IR,
l’ensemble ∆ = {(x, y) / ax + by + c = 0} est une droite affine
passant par A = (xo, yo) un point v´erifiant axo+byo+c = 0 et dirig´e par −→u = (−b, a).
Exemples 34. D : x − 2y + 1 = 0 est la droite passant par A = (−1, 0) et dirig´e
par −→u = (2, 1).
24

26. 5.3 Plans affines dans A3
L’´etude des plans affines dans A3 est semblable `a celle des droites affines de A2.
D´efinition 5.3. 1) Soient A ∈ A3, (−→u ; −→v ) une famille libre de IR3
. On appelle
plan affine passant par A et dirig´e par le plan vectoriel
−→
P = vect({−→u , −→v }) l’en-
semble des points {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect({−→u , −→v })}.
2) Une partie P de A3 est dite plan affine (ou plan) si et seulement s’il existe un
point A ∈ A3 et un plan vectoriel
−→
P de IR3
tels que P = A +
−→
P .
Exemples 35. Avec A = (1, 1, 1), −→u = (1, 0, 0) et −→v = (0, 2, 0),
on a le plan P = {(x, y, z) / (x − 1, y − 1, z − 1) ∈ vect(−→u , −→v )}.
Remarque 5.2. Posons A = (xo, yo, zo), −→u = (u1, u2, u3) et −→v = (v1, v2, v3).
Notons P = {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect({−→u , −→v })}. On a
M ∈ P ⇔
−−→
AM ∈ vect({−→u , −→v })
⇔ ∃α, β ∈ IR /
−−→
AM = α−→u + β−→v
⇔ ∃α, β ∈ IR / M = A + α−→u + β−→v
⇔ ∃α, β :



x = xo + αu1 + βv1
y = yo + αu2 + βv2
z = zo + αu3 + βv3
c’est la repr´esentation param´etrique du plan P.
On a aussi
M = (x, y, z) ∈ P ⇔
−−→
AM est li´e `a (−→u ; −→v )
⇔ (
−−→
AM; −→u ; −→v ) est li´ee
⇔ det(
−−→
AM; −→u ; −→v ) = 0
⇔
x − xo u1 v1
y − yo u2 v2
z − zo u3 v3
= 0
⇔ ax + by + cz + d = 0
avec (a = u2v3 − u3v2, b = u3v1 − u1v3, c = u1v2 − u2v1) c`ad (a, b, c) = −→u ∧ −→v
et d une constante.
L’´equation M = (x, y, z) ∈ P ⇔ ax + by + cz + d = 0 est l’´equation cart´esienne
du plan P.
Et inversement toute ´equation de cette forme est l’´equation d’un plan
Exemples 36. Soit P le plan d’´equation x + y + z − 1 = 0.
Les points A = (1, 0, 0); B = (0, 1, 0) et C = (0, 0, 1) appartiennent `a P,
les vecteurs −→u =
−→
AB = (−1, 1, 0) et −→v =
−→
AC = (−1, 0, 1) forment une famille libre
qui dirige P.
25

27. 5.4 Droites affines dans A3
D´efinition 5.4. 1) Soient A ∈ A3, −→u ∈ IR3
{
−→
0 }. On appelle droite affine passant
par A et dirig´e par −→u l’ensemble des points D = {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}.
2) Une partie D de A3 est dite droite affine (ou droite) si et seulement s’il existe
un point A ∈ A3 et −→u ∈ IR3
{
−→
0 } tels que D soit la droite affine passant par A et
dirig´e par −→u .
Exemples 37. A = (0, 0, 0), −→u = (1, 1, 1),
D = {M = (x, y, z) /
−−→
AM ∈ IR−→u }
Remarque 5.3. Posons A = (xo, yo, zo), −→u = (u1, u2, u3).
Notons D = {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}. On a
M ∈ D ⇔
−−→
AM ∈ vect(−→u )
⇔ ∃α ∈ IR /
−−→
AM = α−→u
⇔ ∃α ∈ IR / M = A + α−→u
⇔ ∃α :



x = xo + αu1
y = yo + αu2
z = zo + αu3
c’est la repr´esentation param´etrique de la droite D.
On a aussi en ´eliminant α dans la repr´esentation param´etrique, la repr´esentation
de D sous forme d’un syst`eme d’´equations cat´esiennes (on ´ecrira SEC) :
D = M = (x, y, z) /
ax + by + cz + d = 0
a x + b y + c z + d = 0
c`ad D = P1 ∩ P2 avec P1 (resp.P2) le plan d’´equation ax + by + cz + d = 0 (resp. le
plan d’´equation a x + b y + c z + d = 0).
Exemples 38. Avec A = (2, −1, 3) et −→u = (1, 1, 0),
M = (x, y, z) ∈ D ⇔ ∃α ∈ IR



x = 2 + α
y = −1 + α
z = 3
⇔
x − y − 3 = 0
z − 3 = 0
26

28. Chapitre 6
G´eom´etrie affine euclidienne plane
6.1 Distance dans A2
D´efinition 6.1. On appelle rep`ere orthonorm´e (direct) de A2 tout triplet
R = (O;
−→
i ,
−→
j ), o`u O ∈ A2 et (
−→
i ;
−→
j ) une base orthonorm´e directe.
Exemples 39. O = (1, 1),
−→
i = (
√
2
2
,
√
2
2
) et
−→
j = (−
√
2
2
,
√
2
2
)
(det(
−→
i ,
−→
j ) =
√
2
2
−
√
2
2√
2
2
√
2
2
= 1 > 0)
D´efinition 6.2. Pour M, M ∈ A2, on appelle distance de M et M et note
d(M, M ) ou MM le r´eel MM =
−−−→
MM
Exemples 40. M = (1, 0), M = (0, 1),
MM =
−−−→
MM = (−1, 1) = (−1)2 + 12 =
√
2
Proposition 6.1. ∀α ∈ IR, ∀A, B, C ∈ A2,
1) d(A, B) = d(B, A),
2) d(A, B) = 0 ⇔ A = B,
3) d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) (l’in´egalit´e triangulaire),
4) d(αA, αB) = |α|d(A, B).
Preuve 6. 1) d(A, B) =
−→
AB =
−→
BA = d(B, A),
2) d(A, B) = 0 ⇔
−→
AB = 0 ⇔
−→
AB = 0 ⇔ A = B,
3) d(A, C) =
−→
AC =
−→
AB +
−−→
BC
≤
−→
AB +
−−→
BC = d(A, B) + d(B, C)
4) d(αA, αB) = α
−→
AB
= |α|.
−→
AB = |α|d(A, B).
6.2 Coordonn´ees cart´esiennes
D´efinition 6.3. Soient R = (Ω;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e, Ω = (ao, bo) et
M ∈ A2. On appelle coordonn´ees cart´esiennes du point M dans R, les r´eels α, β ∈ IR
27

29. tels que M = Ω + α
−→
i + β
−→
j .
Exemples 41. • Ω = (0, 0),
−→
i = −→e 1,
−→
j = −→e 2 la base canonique de IR2
.
M = (0, 0) + α−→e 1 + β−→e 2 = (0, 0) + (α, 0) + (0, β) = (x, y),
on trouve α = x et β = y ;
• Ω = (1, 1),
−→
i = (
√
2
2
,
√
2
2
),
−→
j = (−
√
2
2
,
√
2
2
).
M = (1, 1) + α(
√
2
2
,
√
2
2
) + β(−
√
2
2
,
√
2
2
) = (x, y),
⇔
x − 1 =
√
2
2
(α − β)
y − 1 =
√
2
2
(α + β)
⇔
α =
√
2
2
(x + y − 2)
β =
√
2
2
(−x + y)
on note (x, y)R les coordonn´ees de M dans le rep`ere R.
dans cette exemple :
(x, y)R = (x, y) et (x, y)R =
√
2
2
(x + y − 2),
√
2
2
(−x + y) .
6.3 Coordonn´ees polaires :
Soit R = (O;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e de A2.
Soit M ∈ A2{O}, (x, y) les coordonn´ees de M dans le rep`ere R. On a
x = ρ cos(θ)
y = ρ sin(θ)
[ρ, θ] sont dits les coordonn´ees polaires de M dans le rep`ere R.
On a donc



ρ = x2 + y2
cos(θ) = x√
x2+y2
sin(θ) = y√
x2+y2
Proposition 6.2. L’´equation d’une droite affine de A2 en coordonn´ees polaires est
donn´ee par :
ρ cos(θ − θo) = k o`u k est une constante
Preuve 7. On sait que l’´equation d’une droite est de la forme ax + by + c = 0 avec
(a, b) = (0, 0). On remplace pour trouver aρ cos(θ) + bρ sin(θ) + c = 0.
Ce qui donne ρ
√
a2 + b2 a√
a2+b2 cos(θ) + b√
a2+b2 sin(θ) = −c.
donc ρ (cos(θo) cos(θ) + sin(θo) sin(θ)) = − c√
a2+b2 .
c`ad ρ cos(θ − θo) = − c√
a2+b2 = k.
Ceci en posant cos(θo) = a√
a2+b2 (et donc sin(θo) = b√
a2+b2 ).
1) Si k = 0 = − c√
a2+b2 alors c = 0 et D passe par (0, 0) (son ´equation est ax+by = 0
ou θ = φo = constante [π]).
2) Si k = 0, on peut ´ecrire l’´equation polaire sous la forme ρ = k
cos(θ−θo)
.
Exemples 42. L’´equation cart´esienne de D : x − y − 1 = 0 se transforme en
ρ (cos(θ) − sin(θ)) = 1 = ρ
√
2 cos(θ + π
4
) .
28

30. D’o`u ρ =
√
2
2(cos(θ+ π
4
))
.
6.4 L’´equation d’un cercle dans A2
Soit R = (O;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e de A2.
Soit Ω = (a, b) ∈ A2, R ∈ IR+.
D´efinition 6.4. On appelle cercle de centre Ω et de rayon R et on note
C(Ω; R) l’ensemble des points
C(Ω; R) = {M ∈ A2 /
−−→
ΩM = R}
Proposition 6.3.
C(Ω; R) = {(x, y) ∈ A2 / (x − a)2
+ (y − b)2
= R2
}
Preuve 8. On a
−−→
ΩM = R ⇔
−−→
ΩM 2
= R2
⇔ (x − a)2
+ (y − b)2
= R2
.
Exemples 43. L’´equation du cercle de centre Ω = (0, 1) et de rayon R = 2 est
x2
+ (y − 1)2
= 22
= 4 ⇔ x2
+ y2
− 2y − 3 = 0.
Inversement :
Soient α, β, γ ∈ IR une ´equation de la forme
x2
+ y2
+ 2αx + 2βy + γ = 0 s’´ecrit (x + α)2
+ (y + β)2
= α2
+ β2
− γ.
1) Si α2
+ β2
− γ ≥ 0, on a alors l’´equation du cercle de centre Ω = (−α, −β) et de
rayon R = α2 + β2 − γ.
2) Si α2
+ β2
− γ < 0, on a l’ensemble vide.
On peut ´ecrire aussi :
M = (x, y) ∈ C(Ω; R) ⇔
−−→
ΩM = R
⇔
x − a = R cos(t)
y − b = R sin(t), t ∈ IR (ou t ∈ [0, 2π[ suffit)
On obtient une repr´esetation param´etrique du cercle de centre Ω = (a, b) et de
rayon R.
29

31. 30

32. Chapitre 7
La projection orthogonale
7.1 Projection orthogonale dans le plan
Dans ce qui suit on fixe un rep`ere orthonorm´e R = (O;
−→
i ,
−→
j ) de A2.
Lorsqu’on ´ecrit A(α, β) ¸ca signifie que (α, β) sont les coordonn´ees de A dans R.
Et lorsqu’on ´ecrit −→u (α, β) ¸ca signifie que (α, β) sont les coordonn´ees du vecteur −→u
dans la base (
−→
i ,
−→
j ).
Vecteur orthogonal `a une droite dans A2
Proposition 7.1. Pour tout a, b, c ∈ IR tels que (a, b) = (0, 0), un vecteur ortho-
gonal `a la droite D d’´equation ax + by + c = 0 est −→u de coordonn´ees (a, b) dans la
base (
−→
i ,
−→
j ).
Preuve 9. On sait que D est dirig´e par −→v = (−b, a).
Comme −→v · −→u = (−b, a) · (a, b) = 0. Donc −→u et −→v sont orthogonaux.
Exercice 7.1. Donner l’´equation cart´esienne de la droite ∆ passant par A(1, 1) et
perpendiculaire `a D : x + y − 1 = 0.
Projection d’un point sur une droite
D´efinition 7.1. Soient Mo(xo, yo) ∈ A2 et la droite D : ax+by +c = 0. On appelle
projection orthogonale de Mo sur D le point H(X, Y ) tel que :
H ∈ D
−−−→
MoH est orthogonal `a D
Proposition 7.2. Les coordonn´ees de H sont donn´ees par
X = b2xo−abyo−ac
a2+b2 = xo − aaxo+byo+c
a2+b2
Y = −abxo+a2yo−bc
a2+b2 = yo − baxo+byo+c
a2+b2
31

33. Preuve 10. Il suffit de r´esoudre le syst`eme


aX + bY + c = 0
X − xo a
Y − yo b
= 0
Remarque 7.1. H est l’intersection de D et de la droite passant par Mo et dirig´e
par −→u orthogonal `a D.
Exercice 7.2. Donner la projection orthogonal du point A(−1, 3) sur la droite
D : x − y + 2 = 0.
Distance d’un point `a une droite
D´efinition 7.2. On appelle distance de Mo `a D et on note d(Mo, D) la distance
entre Mo et sa projection orthogonale Ho sur D : d(Mo, D) = MoH.
Proposition 7.3. d(Mo, D) = MoH = |axo+byo+c|
√
a2+b2 avec D : ax + by + c = 0.
Preuve 11. d(Mo, D)2
= MoH2
= (X − xo)2
+ (Y − yo)2
= −a(axo+byo+c)
a2+b2
2
+ −b(axo+byo+c)
a2+b2
2
= (axo+byo+c)2
a2+b2 .
Exercice 7.3. Donner la distance du point A(3, 2) `a la droite D : 2x − 3y + 4 = 0.
7.2 Projection orthogonale dans l’espace
Dans ce qui suit on fixe un rep`ere orthonorm´e R = (O;
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ) de A3.
Lorsqu’on ´ecrit A(α, β, γ, ) ¸ca signifie que (α, β, γ, ) sont les coordonn´ees de A dans
R.
Et lorsqu’on ´ecrit −→u (α, β, γ, ) ¸ca signifie que (α, β, γ, ) sont les coordonn´ees du vec-
teur −→u dans la base (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ).
Vecteur orthogonal `a un plan dans A3
Proposition 7.4. Pour tout a, b, c, d ∈ IR tels que (a, b, c) = (0, 0, 0), un vecteur
orthogonal au plan P d’´equation ax + by + cz + d = 0 est −→u de coordonn´ees (a, b, c)
dans la base (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ).
Preuve 12. Soit Mo(xo, yo, zo) ∈ P, donc axo + byo + czo + d = 0.
Et l’on a M ∈ P ⇔ (ax + by + cz + d) − (axo + byo + czo + d) = 0,
⇔ a(x − xo) + b(y − yo) + c(z − zo) = 0 (∗),
32

34. c’est donc une autre ´equation de P, qu’on peut ´ecrire
−−−→
MoM · −→u = 0.
Ce qui montre que −→u est orthogonal `a P.
Exercice 7.4. Donner un SEC de la droite perpendiculaire au plan
P : −x + 2y − z + 3 = 0 et passant par le point A(0, 2, 1).
Vecteur directeur d’une droite
Proposition 7.5. Soient D une droite de SEC
ax + by + cz + d = 0
a x + b y + c z + d = 0
,
−→u (a, b, c) et
−→
u (a , b , c ). Alors −→u ∧
−→
u dirige D.
Preuve 13. D est donc l’intersection du plan P : ax + by + cz + d = 0
et du plan P : a x + b y + c z + d = 0.
Donc −→u (a, b, c) et
−→
u (a , b , c ) sont orthogonaux `a D (voir pr´ec´edemment).
Notons −→w = −→u ∧
−→
u . D’apr`es les propri´et´es du produit mixte −→u ·−→w = [−→u , −→u ,
−→
u ] = 0
et de mˆeme
−→
u · −→w = 0.
Donc −→w est orthogonal `a −→u et `a
−→
u .
On en d´eduit que −→w dirige D.
(car D et −→w sont orthogonaux au mˆeme plan).
Exercice 7.5. Donner l’´equation cart´esienne du plan P perpendiculaire `a la droite
D :
x − y + z − 2 = 0
2x + y − 2 = 0
et contenant le point A(3, 0, 0).
Projection d’un point sur un plan
D´efinition 7.3. Soient Mo(xo, yo, zo) ∈ A3 et le plan d’´equation
P : ax + by + cz + d = 0. On appelle projection orthogonale de Mo sur P le point
H(X, Y, Z) tel que :
H ∈ P
−−−→
MoH est orthogonal `a P
Proposition 7.6. Les coordonn´ees de H sont donn´ees par



X = xo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a
Y = yo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b
Z = zo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c
Preuve 14. On sait que le vecteur −→u de coordonn´ees (a, b, c) est orthogonal `a P.
Les coordonn´ees de
−−−→
HMo sont
(xo − X, yo − Y, zo − Z) = (axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a, axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b, axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c)
= axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 (a, b, c) = α−→u .
Donc
−−−→
HMo est aussi orthogonal `a P.
33

35. En plus aX + bY + cZ + d = a xo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a + b yo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b +
zo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c = 0
Donc H est dans le plan P et par suite c’est la projection orthogonale de Mo sur P.
Exercice 7.6. Donner la projection orthogonale du point A(2, 1, 0) sur le plan P :
y − z = 0
Remarque 7.2. H est l’intersection de P et de la droite passant par Mo et dirig´e
par −→u orthogonal `a P.
Distance d’un point `a un plan
D´efinition 7.4. On appelle distance de Mo `a P et on note d(Mo, P) = MoH,
o`u H est la projection orthogonale de Mo sur P.
Proposition 7.7. d(Mo, P) = MoH = |axo+byo+czo+d|
√
a2+b2+c2 .
Preuve 15. d(Mo, P)2
= MoH2
= (X − xo)2
+ (Y − yo)2
+ (Z − zo)
= axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a
2
+ axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b
2
+ axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c
2
= (axo+byo+czo+d)2
(a2+b2+c2)2 (a2
+ b2
+ c2
) = (axo+byo+czo+d)2
a2+b2+c2 .
Donc d(Mo, P) = MoH = |axo+byo+czo+d|
√
a2+b2+c2 .
Exercice 7.7. Donner la distance du point A au plan P de l’exercice pr´ec´edent.
Distance d’un point `a une droite :
Soient D une droite, A ∈ D, −→u un vecteur directeur de D, Mo ∈ A3.
Notons H la projection orthogonale de Mo sur D.
On a :
−→u ∧
−−→
AMo = −→u ∧ (
−−→
AH +
−−−→
HMo)
= −→u ∧
−−−→
HMo
donc, comme
−−−→
HMo ⊥ −→u :
−→u ∧
−−→
AMo = −→u
−−−→
HMo
d’o`u
d(Mo, D) =
−−−→
HMo =
−→u ∧
−−→
AMo
−→u
Exercice 7.8. Soit D de SEC D :
x − y + z − 2 = 0
2x + y − 2 = 0
Donner la distance de D au point Mo(0, 0, 0)
34

36. Distance de deux droites
Proposition 7.8. Soient D, D deux droites non parall`eles, A ∈ D, A ∈ D , −→u
un vecteur directeur de D et
−→
u un vecteur directeur de D . On a :
d(D, D ) =
|[
−−→
AA , −→u ,
−→
u ]|
−→u ∧
−→
u
Remarque 7.3. d(D, D ) est en fait la distance entre les points d’intersection de
D et L d’une part et de D et L d’autre part (L est la perpendiculaire commune `a
D et `a D ).
Exercice 7.9. Calculer la distance d(D, D ), avec D dirig´e par −→u (1, 1, 0) et passant
par A(0, 0, 2), D dirig´e par
−→
u (0, 1, 0) et passant par A (1, 0, 0).
35

37. 36

38. Chapitre 8
L’application des nombres
complexes `a la g´eom´etrie
8.1 Correspondance entre A2 et IC
Soit IC = {z = x + yi / (x, y) ∈ IR2
} l’ensemble des nombres complexes. Pour
R = (O;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e fix´e de A2.
D´efinition 8.1. • Pour tout z = a + bi ∈ IC (a, b ∈ IR).
Le point de coordonn´ees (a, b) dans le rep`ere R, s’appelle l’image de z et on le note
M(z).
le vecteur −→u = a
−→
i + b
−→
j , s’appelle l’image vectorielle de z et on le note −→u (z).
• Soit (a, b) ∈ IR2
les coordonn´ees de M ∈ A2 dans le rep`ere R et les coordonn´ees
du vecteur −→u dans la base (
−→
i ;
−→
j ). Le nombre complexe z = a + bi s’appelle l’affixe
de M et le note z = aff(M) et l’affixe de −→u et on le note z = aff(−→u ).
Donc z = aff(M) = aff(−→u ) = aff(
−−→
OM).
Proposition 8.1. L’application
A2 −→ IC
M → aff(M)
est une bijection.
c.`a.d : ∀M, M ∈ A2 : aff(M) = aff(M ) ⇔ M = M .
Preuve 16. aff(M) = aff(M ) ⇔ z = a + bi = z = a + b i
⇔ (a, b) = a( , b ) ⇔ M = M
Proposition 8.2. L’application
V2 −→ IC
−→u → aff(−→u )
est une bijection.
c.`a.d : ∀−→u , −→u ∈ V2 : aff(−→u ) = aff(−→u ) ⇔ −→u = −→u .
Preuve 17. aff(−→u ) = aff(−→u ) ⇔ z = a + bi = z = a + b i
⇔ (a, b) = (a , b ) ⇔ a
−→
i + b
−→
j = a
−→
i + b
−→
j ⇔ −→u = −→u .
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39. Remarques 8.1. 1) Soit M ∈ A2, (x, y) les coordonn´ees de M dans le rep`ere R.
Donc
−−→
OM = x
−→
i + y
−→
j et alors :
aff(
−−→
OM) = x + yi = aff(M).
2) Et si z = x + yi ∈ IC et M(z) = M,
−−→
OM = x
−→
i + y
−→
j = −→u (z).
8.2 Utilisation des affixes
Propri´et´es 8. 1) ∀−→u , −→v ∈ V2, ∀α ∈ IR :
• aff(−→u + −→v ) = aff(−→u ) + aff(−→v ),
• aff(α−→u ) = α aff(−→u ).
2) Soit A, B ∈ A2, zA = aff(A) et zB = aff(B).
Alors aff(
−→
AB) = zB − zA.
3) Soit z1, z2 ∈ IC d’images M1 = M(z1), M2 = M(z2) et λ ∈ IR.
• Si S = M(z1 + z2) alors
−→
OS =
−−−→
OM1 +
−−−→
OM2.
• Si M(λz1) = P alors
−→
OP = λ
−−−→
OM1.
Proposition 8.3. Soit −→u , −→u ∈ V2
−→
0 d’affixes respectives z, z
de formes trigonom´etriques z = r(cos(θ) + i sin(θ)) , z = r (cos(θ ) + i sin(θ )),
alors on a : (
−→
i , −→u ) = θ = arg(z) [2π] et (−→u , −→u ) = θ −θ = arg(z )−arg(z) [2π]
Preuve 18. • On a (
−→
i , −→u ) = (
−→
i ,
−−→
OM) avec M le point d’affixe z et −→u =
−−→
OM.
Donc
(
−→
i , −→u ) = arg(z) [2π].
d’apr`es la d´efinition de l’argument.
• On a (−→u , −→u ) = (−→u ,
−→
i ) + (
−→
i , −→u ) = −(
−→
i , −→u ) + (
−→
i , −→u )
= (
−→
i , −→u ) − (
−→
i , −→u ) = arg(z ) − arg(z) [2π].
Exercice 8.1. Soit −→u =
√
3
−→
i +
−→
j et −→v = 2
−→
i + 2
√
3
−→
j .
Donner leurs affixes respectives, puis les ´ecrire sous la forme trigonom´etrique et ex-
ponentielle. En d´eduire (−→u , −→v ).
Proposition 8.4. Soit A, B, C, D ∈ A2, d’affixes respectives zA, zB, zC, zD et tels
que A = B et C = D.
• Le vecteur
−→
AB a pour affixe zB − zA, et on a : AB = |zB − zA|
et (
−→
i ,
−→
AB) = arg(zB − zA) [2π].
• CD
AB
= zD−zC
zB−zA
et (
−→
AB,
−−→
CD) = arg(zD − zC) − arg(zB − zA) = arg zD−zC
zB−zA
[2π].
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40. Preuve 19. • On a vu pr´ec´edemment que (
−→
i , −→u ) = θ = arg(z) [2π],
z ´etant l’affixe de −→u .
Comme aff(
−→
AB) = zB − zA on a (
−→
i ,
−→
AB) = arg(zB − zA) [2π].
• On a vu pr´ec´edemment que (−→u , −→u ) = arg(z ) − arg(z) [2π].
On en d´eduit que (
−→
AB,
−−→
CD) = arg(zD − zC) − arg(zB − zA) = arg zD−zC
zB−zA
[2π].
ceci car aff(
−−→
CD) = zD − zC et aff(
−→
AB) = zB − zA.
Exercice 8.2. Soient A, B, C et D de coordonn´ees respectives (
√
2
2
,
√
2
2
), (−
√
2
2
, −
√
2
2
), (1, 0)
et (−1, 0). Donner l’´ecart angulaire entre les droites (AB) et (CD). Calculer la dis-
tance entre A et B.
Proposition 8.5. Soit A, B, C, D ∈ A2, d’affixes respectives zA, zB, zC, zD et tels
que A = B et C = D.
les propri´et´es ci-dessous sont ´equivalentes :
•
−→
AB ⊥
−−→
CD (
−→
AB et
−−→
CD sont orthogonaux).
•
−→
AB ·
−−→
CD = 0
•
−→
AB,
−−→
CD = π
2
[π].
• arg zD−zC
zB−zA
= π
2
[π].
• zD−zC
zB−zA
est imaginaire pur.
Preuve 20. Les quatre premi`eres propri´et´es sont ´equivalentes en utilisant les d´efinitions
et ce qui pr´ec`ede.
Les nombres complexes imaginaires purs (non nuls) sont les nombres complexes
ayant pour argument π
2
ou 3π
2
[2π], c.`a.d π
2
[π].
Exercice 8.3. Soit A, B d’affixes zA = 1 − i, zB = 1 + i. Trouver les points C tels
que le triangle de sommets A, B et C soit droit en C.
Proposition 8.6. Soit A, B, C ∈ A2 tels que A = B, d’affixes respectives zA, zB, zC.
les propri´et´es ci-dessous sont ´equivalentes :
• A, B et C sont align´es (sur une mˆeme droite).
•
−→
AB et
−→
AC sont colin´eaires (li´es)
• ∃k ∈ IR :
−→
AC = k
−→
AB.
• zC −zA
zB−zA
∈ IR .
• arg zC −zA
zB−zA
= 0 [π].
Preuve 21. • L’´equivalence des trois premi`eres propri´et´es est imm´ediate.
• Le vecteur
−→
AC ayant pour affixe zC −zA et le vecteur
−→
AB ayant pour affixe zB −zA,
on obtient :
∃k ∈ IR :
−→
AC = k
−→
AB ⇔ ∃k ∈ IR : zC − zA = k(zB − zA) ⇔ zC −zA
zB−zA
∈ IR.
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41. • Les nombres r´eels (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument 0
ou π (modulo 2π), c’est `a dire 0 (modulo π).
Exercice 8.4. Soit A, B ∈ A2 de coordonn´ees respectives (1, 2) et (2, 3) et C d’af-
fixe z = 3 + mi. Pour quelles valeurs de m ∈ IR les points A, B et C sont align´es ?
8.3 Caract´erisation d’ensembles de points
Proposition 8.7. Soit C le cercle de rayon r et de centre Ω d’affixe zΩ = xΩ + iyΩ
o`u xΩ, yΩ ∈ IR. On a les ´equivalences :
M ∈ C ⇔ |z − zΩ| = r
⇔ z = zΩ + reiθ
( o`u θ ∈ IR)
⇔
x = xΩ + r cos(θ)
y = yΩ + r sin(θ)
( o`u θ ∈ IR)
Preuve 22. Par d´efinition M ∈ C ⇔ ΩM = r ⇔ |z − zΩ| = r.
On sait qu’un nombre complexe de module r (r = 0) s’´ecrit sous la forme exponen-
tielle reiθ
( o`u θ ∈ IR).
On peut donc ´ecrire :
|z − zΩ| = r ⇔ z − zΩ = reiθ
( o`u θ ∈ IR)
⇔ z = zΩ + reiθ
( o`u θ ∈ IR)
⇔
x = xΩ + r cos(θ)
y = yΩ + r sin(θ)
( o`u θ ∈ IR)
Exercice 8.5. Soit Ω de coordonn´ees (2, 3) et M le point d’affixe z = 1 − i. Pour
quelle valeur de r, M ∈ C(Ω, r) (le cercle de centre Ω et de rayon r).
Proposition 8.8. Soit A, B ∈ A2 les points d’affixes zA et zB.
L’ensemble ∆ des points M d’affixes z tels que |z − zA| = |z − zB| est la m´ediane
du segment [A, B].
Preuve 23. On a M appartient `a la m´ediane du segment [AB] si et seulement si
AM = BM ce qui ´equivaut `a |z − zA| = |z − zB|.
Exercice 8.6. Soit (1, 2) les coordonn´ees de A et (−1, 2) les coordonn´ees de B don-
ner l’´equation cart´esienne de la m´ediane du segment [AB].
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