Ce document présente un cours d'algèbre linéaire, détaillant les systèmes d'équations linéaires et leur résolution par la méthode de Gauss. Il aborde également les concepts de polynômes, notamment leurs définitions, opérations, et propriétés, ainsi que la division euclidienne entre polynômes. L'objectif est de fournir un cadre théorique pour la compréhension des équations et des polynômes dans le contexte mathématique des corps comme R ou C.

1. COURS D’ALG`EBRE I
Pour les fili`eres SMP/SMC
BENKADDOUR Said, ELANSARI M’hammed,
ELAMRANI Majda, LAHMIDI Fouad
15 septembre 2012

2. Chapitre 1
SYSTEMES LINEAIRES :
m´ethode de Gauss
1.1 D´efinitions et notations
Dans toute la suite IK d´esignera le corps IR ou IC.
A. Equations lin´eaires et syst`emes lin´eaires
D´efinition 1.1. Une ´equation lin´eaire `a n ∈ IN∗
inconnues x1, x2, · · · , xn `a coeffi-
cients dans IK est une ´egalit´e du type
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b1
avec a1, · · · , an, b1 ∈ IK des constantes donn´ees.
Exemples 1. 1) Chercher x, y, z dans IR tels que : 2x − z = 0
2) Chercher x1, x2 ∈ IC tels que ix1 + x2 = 1 − i
3) L’´equation 2x2
1 − |x2| + 2x3 = −1 n’est pas lin´eaire.
D´efinition 1.2. Un syst`eme lin´eaire de m ´equations `a n inconnues dans IK est de
la forme suivante :
(S)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 E1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 E2
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm Em
Les inconnues sont x1, ..., xn. Les nombres b1, ..., bm et les aij sont des constantes
donn´ees dans IK.
Exemples 2.



x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 3
5x1 + 2x2 + x4 = 2
x2 − 3x3 = 4
1

3. D´efinition 1.3. 1) Une solution de (S) dans IKn
est tout ´el´ement
(α1, α2, · · · , αn) ∈ IKn
satisfaisant toutes les ´equations de (S).
2) R´esoudre (S) c’est trouver l’ensemble de toutes les solutions de (S).
3) Un syst`eme (S) est dit incompatible lorsqu’il n’a aucune solution.
4) Deux syst`emes lin´eaires (S) et (S ) sont ´equivalents s’ils ont le mˆeme nombre
d’inconnues et le mˆeme ensemble de solutions.
Exemples 3. 1) (2, 1) est solution du syst`eme



x1 − 2x2 = 0
5x1 − 10x2 = 0
x1 − 3x2 = −1
par contre (4, 2) ne l’est pas.
2) les solutions du syst`eme
x1 − 2x2 = 0
5x1 − 10x2 = 0
sont les couples (x1, x2) = (2u, u)
avec u ∈ IK quelconque.
3) Le syst`eme
x1 − x2 = 0
2x1 − 2x2 = 1
est incompatible (on ne peut avoir 0=1 !).
4) Les deux syst`emes suivants sont ´equivalents


x1 − x2 = 0
x1 + x2 = 1
−2x1 + 4x2 = 1
et
x1 − x2 = 0
x1 + x2 = 1
1.2 Syst`eme lin´eaire triangulaire
D´efinition 1.4. Un syst`eme lin´eaire de m ´equations `a n inconnues dans IK est
triangulaire si n = m et s’il est de la forme suivante :
(S)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 E1
0x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 E2
. . . .
. . . .
0x1 + 0x2 + ... + annxn = bn En
avec akk = 0 pour tout 1 ≤ k ≤ n.
Remarque 1.1. La r´esolution d’un tel syst`eme est particuli`erement simple.
Puisqu’on a annxn = bn et ann = 0 on trouve xn = bn
ann
.
On remonte alors `a l’´equation an−1n−1xn−1 + an−1nxn = bn−1 pour calculer xn−1 ; et
on remonte ainsi de suite.
Exemples 4.



x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 3
2x2 + x4 = 2
x3 − 3x4 = 4
2x4 = 2
1.3 R´esolution des S.L. par la m´ethode de Gauss
On consid`ere le syst`eme (S)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = α1 E1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = α2 E2
. . . .
. . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = αm Em
2

4. Quitte `a permuter l’ordre des ´equations et `a changer la place des variables xi , on
peut supposer que a11 = 0.
La m´ethode de Gauss consiste `a utiliser l’´equation E1 pour ´el´eminer l’inconnue x1
des ´equations E2, ..., Em.


E2 → E2 = a11E2 − a21E1 : b22x2 + ... + b2nxn = β2
. . . .
. . . .
Em → Em = a11Em − am1E1 : bm2x2 + ... + bmnxn = βm
On obtient le nouveau syst`eme
(**)



a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = α1 E1
b22x2 + ... + b2nxn = β2 E2
. . . .
. . . .
bm2x2 + ... + bmnxn = βm Em
Th´eor`eme 1.1. Les deux syst`emes (*) et (**) sont ´equivalents.
La r´ep´etition du processus d´ecrit ci-dessus conduit `a un syst`eme dit ”r´eduit” (ou
´echelonn´e) de la forme
(S)



d11y1 + d12y2 + · · · + d1kyk + · · · + d1nyn = f1 E1
0y1 + d22y2 + · · · + d2kyk + · · · + d2nyn = f2 E2
. . . .
. . . .
0y1 + 0y2 + · · · + dkkyk + · · · + dknyn = bk Ek
· · · · · · · · · · · ·
avec les dii = 0.
On arrive forc´ement `a l’un des trois cas :
1) Le syst`eme n’a pas de solution lorsqu’on trouve une ´equation de la forme 0 = bi
avec bi non nul.
2) Le syst`eme a une unique solution (ceci lorsque k = n avec en plus des ´equations
de type 0 = 0 ).
3) Le syst`eme a une infinit´e de solutions (ceci lorsque k < n et les ´equations apr`es
l’´equation Ek sont ´evidentes (de la forme 0 = 0)). Dans ce cas on calcule y1, y2, · · · , yk
en fonction de yk+1, · · · , yn qui restent comme param`etres quelconque dans IK.
Exemples 5. R´esoudre dans IR3
les syst`emes



x1 − x2 + 3x3 = −2
x1 + x3 = 0
x1 + 4x2 − x3 = 2



x1 − x2 + 3x3 = −2
2x1 + 3x2 + 2x3 = 1
x1 + 4x2 − x3 = 2
et dans IR4



x1 − x2 + x3 − 2x4 = 2
2x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 2
−x1 + x2 + 2x3 − 4x4 = 4
−x3 + 2x4 = −2
3

5. Exercice 1.1. Trouver les valeurs du r´eel a tel que le syst`eme



x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
ait
1) aucune solution
2) une solution unique
3) plusieurs solutions.
4

6. Chapitre 2
POLYNˆOMES ET FRACTIONS
RATIONNELLES
2.1 Polynˆomes
A. D´efinitions
D´efinition 2.1. Une fonction polynˆomiale (ou un polynˆome) `a coefficients dans IK
est une fonction pour laquelle ils existent des constantes ao, a1, · · · , an dans IK telle
que
P(x) =
n
p=o
apxp
= ao + a1 + · · · + anxn
. pour tout x ∈ IK.
Formellement, un polynˆome peut toujours ˆetre repr´esent´e par la suite finie (ao, a1, · · · , an)
de ses coefficients, ai ´etant le facteur de xi
.
Exemples 6. 1) O(x) = 0 et Q(x) = 1 + x + 2x2
+ 3x3
pour tout x ∈ IK sont des
fonctions polynˆomiales.
2) Les fonctions f(x) =
1
1 + x2
et g(x) = sin(x) ne sont pas des fonctions po-
lynˆomiales.
Formellement, un polynˆome peut toujours ˆetre repr´esent´e par la suite finie (ao, a1, · · · , an)
de ses coefficients, ai ´etant le facteur de xi
.
D´efinition 2.2. Le degr´e de P est le plus grand exposant (ici n si an = 0). On
note degr´e(P)=d˚(P). Le degr´e du polynˆome nul est −∞ par convention.
D´esignons, dans toute la suite, par IK[x] (IK = IR ou IC) l’ensemble des polynˆomes `a
coefficients dans IK.
B. Addition de deux polynˆomes Soient P, Q ∈ IK[x], alors
∀x ∈ IK (P + Q)(x) = P(x) + Q(x)
5

7. Remarquons que d˚(P + Q) ≤ max(d˚(P), d˚(Q)).
On a P + Q = Q + P, (P + Q) + R = P + (Q + R), 0 + P = P et P + (−P) = 0.
C.Produit de polynˆomes Soient P, Q ∈ IK[x], alors
∀x ∈ IK (PQ)(x) = P(x)Q(x)
Si P(x) =
n
p=o
apxp
et Q(x) =
m
q=o
bqxq
, alors
(PQ)(x) =
n+m
i=o
i
j=o
((ajbi−j) xi
D’o`u d˚(PQ) = d˚(P) + d˚(Q).
On a PQ = QP, (PQ)R = P(QR), P(Q + R) = PQ + PR.
Exemples 7. Soient P(x) = 1 + x + x2
et Q(x) = 1 + x + 2x2
+ 3x3
, on a
(PQ)(x) = 1 + 2x + 4x2
+ 6x3
+ 5x4
+ 3x5
D.DIVISION EUCLIDIENNE
Proposition 2.1. Pour tous polynˆomes A et B (B = 0), il existe un et un seul
polynˆome Q appel´e quotient, et un et un seul polynˆome R appel´e reste, tels que
A = BQ + R avec d˚R < d˚B.
(faire la D.E. de A par B c’est trouver Q et R).
Exemples 8. Faire la D.E de A(x) = 2x4
+ 5x3
− x2
+ 16x − 5
par B(x) = 2 + 3x + 5x2
.
D´efinition 2.3. On dit que le polynˆome A est divisible par le polynˆome B (ou que
B divise A et note B/A) si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.
Exemples 9. A(x) = 2 + 5x + 8x2
+ 5x3
est divisible par B(x) = 2 + 3x + 5x2
.
D´efinition 2.4. Si B divise A1 et A2 alors B est un diviseur commun de A1 et
A2.
Si A1 et A2 n’ont pas de diviseur commun de degr´e sup´erieur ou ´egal `a un alors A1
et A2 sont dits premiers entre eux.
Exemples 10. B(x) = x + 1 est un diviseur commun de A1(x) = 1 + 2x + x2
et A2(x) = 1 − x2
.
D1 = x − 1 et D2 = x + 1 sont premiers entre eux.
6

8. Proposition 2.2. Soient A1 et A2 deux polynˆomes `a coefficients dans IK. Il existe
un polynˆome unitaire D (cad le coefficient de tˆete ´egal `a un) et un seul tel que :
1) D est un diviseur commun de A1 et A2,
2) d˚D est le plus grand parmi les diviseurs communs de A1 et A2.
D est appel´e le plus grand commun diviseur (pgcd).
Remarque 2.1. Le pgcd de A1 et A2 est le dernier reste non nul normalis´e dans la
suite des divisions euclidiennes successives (connue sous le nom d’algorithme d’Eu-
clide).
E.DIVISION SUIVANT LES PUISSANCES CROISSANTES
Proposition 2.3. Pour tous polynˆomes A et B (bo = B(0) = 0) et tout entier
k ∈ IN, il existe un couple unique (Q, R) de polynˆomes, tels que A = BQ + xk+1
R
avec d˚Q ≤ k.
Q et xk+1
R sont respectivement appel´es quotient et reste de la division suivant les
puissances croissantes de A par B `a l’ordre k.
(faire la DSPC de A par B c’est trouver Q et R).
Exemples 11. Faire la DSPC de A(x) = x5
− 3x4
− 2x3
+ x2
+ 3x + 2 par
B(x) = 2 + 3x + x2
`a l’ordre k = 5.
F.RACINES D’UN POLYNˆOME. FACTORISATION
Th´eor`eme 2.1. et d´efinition
a ∈ IK est dit une racine (ou un z´ero) du polynˆome P s’il v´erifie l’une des deux
conditions suivantes qui sont ´equivalentes ;
1) P(a) = 0 ;
2) le polyˆome (x − a) divise le polynˆome P.
Th´eor`eme 2.2. a ∈ IK est dit une racine d’ordre k (ou de multiplicit´e k) du po-
lynˆome P (pour k ≤ d˚P) lorsqu’il v´erifie l’une des conditions suivantes qui sont
´equivalentes :
1) P(a) = P (a) = · · · = P(k−1)
(a) = 0 et P(k)
(a) = 0.
2) Le polynˆome (x − a)k
divise P et (x − a)k+1
ne divise pas P.
Remarque 2.2. L’outil fondamental permettant de d´emontrer le th´eor`eme ci-
dessus est la formule de Taylor pour les polynˆomes de degr´e n et a ∈ IK.
P(x) = P(a) + (x − a)P (a) +
(x − a)2
2
P (a) + · · · +
(x − a)n
n!
P(n)
(a).
(faire un exemple)
Th´eor`eme 2.3. (Th´eor`eme de D’Alembert)
Tout polynˆome, `a coefficient dans IC, de degr´e n ∈ IN poss`ede exactement n racines
(une racine d’ordre k comptant pour k racines).
7

9. Remarque 2.3. Si x1, x2, · · · , xp sont toutes les racines deux `a deux distinctes
d’ordres respectifs α1, α2, · · · , αp du polyˆome P(x) =
n
k=0
akxk
, d’apr`es ce qui pr´ec`ede,
(x − x1)α1
/P(x), ainsi que (x − x2)α2
/P(x),etc · · · .
Etant premiers entre eux donc :
(x − x1)α1
(x − x2)α2
· · · (x − xp)αp
/P(x).
Et l’on a α1 + α2 + · · · + αp = n et le quotient est de degr´e 0, le terme de degr´e n
devant ˆetre anxn
, on a donc
P(x) = an(x − x1)α1
(x − x2)α2
· · · (x − xp)αp
Exemples 12. Factoriser P(x) = x4
− 6x3
+ 8x2
+ 6x − 9 dans IC[x].
Remarque 2.4. Tout polynˆome `a coefficients r´eels, est un cas particulier de po-
lynˆomes `a coefficients complexes, et donc poss`ede autant de racines complexes que
son degr´e. Ses racines sont n´ecessairement conjugu´ees deux `a deux. Si z est racine
d’ordre k de P alors z est aussi racine d’ordre k de P.
Th´eor`eme 2.4. Tout polynˆome de degr´e n `a coefficients r´eels, se d´ecompose en
facteurs du premier degr´e (x−a) o`u a est une racine r´eelle, et en facteurs du second
degr´e `a discriminant n´egatif.
Exemples 13. Factoriser dans IR[x] le polynˆome P(x) = x4
+ 1.
Remarque 2.5. Les polynˆomes irr´eductibles dans IC[x] sont les polynˆomes de la
forme (x − a) avec a ∈ IC.
Les polynˆomes irr´eductibles dans IR[x] sont les polynˆomes de la forme (x − a) avec
a ∈ IR ou de la forme ax2
+ bx + c `a discriminant n´egatif ( cad : ∆ = b2
− 4ac < 0).
2.2 Fractions rationnelles
On appelle fraction rationnelle, toute fonction du type
x ∈ IK −→
P(x)
Q(x)
o`u P et Q sont deux polynˆomes `a coefficients dans IK.
On notera dans toute la suite IK(x) l’ensemble de toutes les fractions rationnelles `a
coefficients dans IK.
On supposera dans toute la suite que la fraction P
Q
est irr´eductible, c’est `a dire que
P et Q sont premiers entre eux (c’est toujours possible en simplifiant par le pgcd de
P et Q).
Les racines de P
Q
sont les racines de P. Les pˆoles de P
Q
sont les racines de Q.
On a le r´esultat suivant :
8

10. Th´eor`eme 2.5. (d´ecomposition d’une fr en ´el´ements simples dans IC)
Si P
Q
est une fr `a coefficients complexes, de pˆoles a1, a2, · · · , ak d’ordres respectifs
α1, α2, · · · , αk, il existe de fa¸con unique, un polyˆome E(x) appel´ee partie enti`ere, et
des constantes A1(a1), · · · , Aα1 (a1), · · · , A1(ak), · · · , Aαk
(ak) tels que
P(x)
Q(x)
= E(x) + A1(a1)
(x−a1)
+ A2(a1)
(x−a1)2 + · · · +
Aα1 (a1)
(x−a1)α1
+ · · · + A1(ak)
(x−ak)
+ A2(ak)
(x−ak)2 + · · · +
Aαk
(ak)
(x−ak)αk
Remarque 2.6. Pour le pˆole ai d’ordre αi, l’expression
A1(ai)
(x − ai)
+
A2(ai)
(x − ai)2
+ · · · +
Aαi
(ai)
(x − ai)αi
est appel´ee partie principale relative au pˆole ai, et les monˆomes dont elle est form´ee
se nomment des fractions de premi`ere esp`ece.
Exemples 14. D´ecomposer en e.s la fr 1
x3−1
Dans le cas d’une fr dans IR[x], nous avons le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 2.6. (d´ecomposition d’une fr en ´el´ements simples dans IR)
Si P
Q
est une fr `a coefficients r´eels, de pˆoles a1, a2, · · · , ak d’ordres respectifs α1, α2, · · · , αk,
il existe de fa¸con unique, une d´ecomposition
P(x)
Q(x)
= E(x) + A1
(x−a)
+ A2
(x−a)2 + · · · + Aα
(x−a)α
+ · · ·
+ p1x+q1
x2+m1x+n1
+ · · · + psx+qs
(x2+msx+ns)s
+ · · ·
form´ee par la partie enti`ere E(x), les fractions de premi`ere esp`ece relatives `a tous
les pˆoles r´eels, et des fractions de seconde esp`ece dont le num´erateur est du premier
degr´e, les d´enominateurs ´etant toutes les puissances de trinˆomes du second degr´e `a
discriminant n´egatif, entrant dans la factorisation de Q(x) dans IR[x].
Exemples 15. D´ecomposer en e.s la fr 1
x4+x2+1
Remarque 2.7. (sur la pratique de la d.e.s)
• Cas des pˆoles simples : si a est un pˆole simple de la fr P(x)
Q(x)
, l’unique coefficient r
`a chercher pour la partie principale r
(x−a)
relative `a a, est donn´ee par P(x)
Q (x)
Exemples 16. D´ecomposer dans IR(x) les fr 1
x3−1
et x4
(x−1)(x+2)(x−3)
• Valeurs particuli`eres : prenons par exemple R(x) = x2−3x−2
(x2+x+1)2(x+1)2 . On a
R(x) =
a
(x + 1)
+
b
(x + 1)2
+
cx + d
(x2 + x + 1)
+
ex + f
(x2 + x + 1)2
9

11. Si nous multiplions de chaque cˆot´e de cette ´egalit´e par (x+1)2
, puis que nous prenons
x = −1, nous avons alors b = 2.
On multiplie de chaque cˆot´e par (x2
+ x + 1)2
puis, on prend x = j (qui est une
racine de de (x2
+ x + 1)) alors on obtient une ´equation dans IC :
j3
− 3j − 2
(j + 1)2
= ej + f
fournissant e = 3 et f = −1.
La valeur particuli`ere x = 0 donne −2 = f + d + a + b soit a + d = −3.
Le fait de multiplier de chaque cˆot´e par x, et de comparer les limites obtenues en
+∞, donne 0 = a + c.
Une derni`ere valeur paticuli`ere comme x = 1 fournit a = −1, c = 1et d = −2.
Division suivant les puissances croissantes : Soit
R(x) =
x7
+ x6
+ x5
− x4
+ x3
+ x2
+ 1
x6(1 + x2)2
On a
1 + x2
+ x3
− x4
+ x5
+ x6
+ x7
= (1 + 2x2
+ x4
)(1 − x2
+ x3
− x5
) + x6
(2 + 2x + x3
)
D’o`u R(x) = 1
x6 − 1
x4 + 1
x3 − 1
x
+ 2+2x+2x3
1+2x2+x4 . Reste bien entendu `a d´ecomposer la derni`ere
fraction.
Soit F(x) = x4−5x3+10x2−8x−1
(x−1)3(x−2)
. Posons y = x − 1,
le num´erateur devient y4
− y3
+ y2
+ y − 3. La dspc de ce num´erateur par −1 + y `a
l’ordre 2 donne
−3 + y + y2
− y3
+ y4
= (−1 + y)(3 + 2y + y2
) + y3
(−2 + y)
D’o`u −3+y+y2−y3+y4
y3(y−1)
= 3
y3 + 2
y2 + 1
y
+ y−2
y−1
.
y−2
y−1
= y−1−1
y−1
= 1 − 1
y−1
= 1 − 1
x−2
. Finalement
R(x) = 1 +
3
(x − 1)3
+
2
(x − 1)2
+
1
(x − 1)
−
1
(x − 1)
.
10

12. Chapitre 3
PROPRIETES VECTORIELLES
de IRn
3.1 D´efinitions et Notations
Notations 3.1. • IRn
d´esigne l’ensemble des n-uplets `a coordonn´ees dans IR.
IRn
= {(x1, x2, · · · , xn) / x1, x2, · · · , xn ∈ IR)}
• l’´egalit´e dans IRn
est d´efinie par :
(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , yn) ⇔ x1 = y1, · · · , xn = yn
• l’addition dans IRn
:
pour X = (x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn
et Y = (y1, y2, · · · , yn) ∈ IRn
X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn)
• la multiplication externe ( ) de α ∈ IR et X ∈ IRn
:
α X = (αx1, αx2, · · · , αxn)
• On note 0IRn = (0, 0, · · · , 0) le n-uplet `a coordonn´ees nulles.
• On note
−X = (−x1, −x2, · · · , −xn)
et
X − Y = X + (−Y ) = (x1 − y1, x2 − y2, · · · , xn − yn)
Propri´et´es 1. • ∀X, Y, Z ∈ IRn
X + Y = Y + X la commutativit´e
X + (Y + Z) = (X + Y ) + Z l’associativit´e
X + 0IRn = 0IRn + X l’´el´ement neutre
X + (−X) = (−X) + X = 0IRn (−X) sym´etrique de X
• et en plus : ∀α, β ∈ IR
α (X + Y ) = α X + α Y
(α + β) X = α X + β X
(αβ) X = α (β X)
1 X = X
11

13. IRn
muni des lois (+) et ( ) est dit un espace vectoriel (un e.v) et est not´e
(IRn
, +, ).
un ´el´ement X de IRn
est appel´e un vecteur de IRn
= Vn
3.2 Sous-espaces vectoriels (sev) de IRn
D´efinition 3.1. Une partie F ⊂ IRn
est dite un sous-espace vectoriel (sev) de IRn
si :
i) 0IRn ∈ F
ii) ∀α, β ∈ IR et X, Y ∈ F, αX + βY ∈ F.
Exemples 17. • IRn
est un sev de IRn
.
• F = {0IRn } est un sev de IRn
.
• F = {(x, y) ∈ IR2
/ y + x = 0} est un sev de IR2
.
Proposition 3.1. Si F et G sont des sev alors F ∩ G est aussi un sev.
3.3 Famille g´en´eratrice d’un sev de IRn
D´efinition 3.2. Soient X1, X2, · · · , Xk des vecteurs de IRn
et α1, · · · , αk des r´eels.
Le vecteur α1X1 + α2X2 + · · · + αkXk est dit une combinaison lin´eaire (cl) des vec-
teurs X1, X2, · · · , Xk.
Exemples 18. Dans IR3
X = (1, −1, 2) = 1.(1, −1, 0) + 2.(0, 0, 1)
= (−1).(−1, 1, −2)
X est cl de X1 = (1, −1, 0) et X2 = (0, 0, 1)
on a aussi X est cl de Y1 = (−1, 1, −2).
D´efinition 3.3. Soit F un sev de IRn
et X1, X2, · · · , Xk une famille de vecteurs de
F.
La famille X1, X2, · · · , Xk est dite une famille g´en´eratrice de F si F est l’ensemble
de toutes les combinaisons lin´eaires des X1, X2, · · · , Xk.
(c`ad : Y ∈ F ⇔ ∃α1, · · · , αk ∈ IR : Y = α1X1 + · · · + αkXk) Ce qu’on note
F = vect(X1; X2; · · · ; Xk)
Exemples 19. 1) Dans IR3
on pose F = {(x, 2x, y); / x, y ∈ IR}
on a F = {x.(1, 2, 0) + y.(0, 0, 1) / x, y ∈ IR}.
On voit bien que F est engendr´e par la famille X1 = (1, 2, 0) et X2 = (0, 0, 1). La
famille ((1, 2, 0); (0, 0, 1)) est une famille g´en´eratrice de F.
2) On a dans IR3
: X = (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
donc la famille B = ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) est une famille g´en´eratrice de IR3
.
12

14. R´esum´e :
Pour v´erifier si une famille T = (X1; X2; · · · ; Xk) de F sev de IRn
est g´en´eratrice on
prend Y quelconque de F et on r´esoud le syst`eme
α1X1 + · · · + αkXk = Y d inconnues (αi)i
1) si le syst`eme admet au moins une solution pour chaque Y ∈ F, la famille T est
g´en´eratrice,
2) s’il existe Yo ∈ F pour lequel le syst`eme n’a pas de solution, alors cette famille
n’est pas g´en´eratrice.
Exemples 20. X1 = (0, 1, 1) ;X2 = (1, 0, 0) dans IR3
;
Soit Y = (x, y, z) ∈ IR3
pour α1, α2 :
α1X1 + α2X2 = Y ⇔ α1(0, 1, 1) + α2(1, 0, 0) = (x, y, z)
⇔ (α2, α1, α1) = (x, y, z)
⇔ α2 = x et y = z = α1
ce qui n’est pas toujours v´erifi´e pour un triplet quelconque de IR3
(pour Y = (0, 1, 2)
pas de solution).
La famille (X1; X2) n’est pas g´en´eratrice de IR3
.
3.4 Famille libre
D´efinition 3.4. Une famille T = (X1; X2; · · · ; Xk) de IRn
est dite une famille libre
si le syst`eme
α1X1 + · · · + αkXk = 0IRn d’inconnues α1, · · · , αk admet l’unique solution
(α1, · · · , αk) = (0, · · · , 0).
(c`ad ; (∀α1, · · · , αk ∈ IR : α1X1 + · · · + αkXk = 0IRn ⇒ α1 = · · · = αk = 0)).
Une famille qui n’est pas libre est dite li´ee.
Exemples 21. 1) Dans IR2
: X1 = (1, 2) ;X2 = (0, 1)
Soient α1, α2 ∈ IR
α1X1 + α2X2 = 0IR2 ⇔ (α1, 2α1 + α2) = (0, 0) ⇔
α1 = 0
2α1 + α2 = 0
⇔ α1 = α2 = 0
la famille (X1; X2) est donc libre.
2) Dans IR2
: Z1 = (1, 2) ;Z2 = (−1, −2)
Soient α1, α2 ∈ IR
α1X1 + α2X2 = 0IR2 ⇔ (α1 − α2, 2α1 − 2α2) = (0, 0) ⇔
α1 − α2 = 0
2α1 − 2α2 = 0
⇔ α1 = α2
la famille (Z1; Z2) n’est donc pas libre.
13

15. Proposition 3.2. Une famille T = (X1; X2; · · · ; Xk) de IRn
est li´ee si et seulement
s’il existe Xio qui s’´ecrit combinaison lin´eaire des autres Xi.
En particulier : (X1; X2) est li´ee si et seulement si ∃α ∈ IR : X1 = αX2
ou X2 = αX1.
Preuve 1. (X1; X2; · · · ; Xk) est li´ee ⇔ ∃(α1, · · · , αk) non tous nuls :
α1X1 + · · · + αkXk = 0IRn .
Donc il existe αio = 0 avec :
αio Xio = −α1X1 − · · · − αio−1Xio−1 − αio+1Xio+1 − · · · − αkXk.
et donc Xio = −α1
αio
X1 + · · · −αio−1
αio
Xio−1 + −αio+1
αio
Xio+1 + · · · + −αk
αio
Xk
ce qui donne Xio combinaison lin´eaire des autres Xi.
3.5 Base d’un sev de IRn
D´efinition 3.5. Une famille B = (X1, · · · , Xk) de F sev de IRn
est dite une base
de F si : B est libre et g´en´eratrice.
R´esum´e :
B = (X1, · · · , Xk) est une base de F si et seulement
1) les Xi sont des vecteurs de F,
2) pour chaque Y ∈ F le syst`eme α1X1 + · · · + αkXk = Y admet une solution
unique .
Exemples 22. • B = ((1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)) est une base de IR3
dite la base
canonique de IR3
.
• F = {(x, 2y) / x, y ∈ IR} est un sev de IR2
et B1 = ((1, 0); (0, 2)) est une base de F.
Th´eor`eme 3.1. • Toutes les bases d’un sev F de IRn
ont le mˆeme nombre de
vecteurs. Ce nombre est appel´e la dimension de F et not´e dim(F).
• Si F sev de IRn
et dim(F) = n alors F = IRn
.
• B base de IRn
⇔ card(B) = n et B g´en´eratrice ⇔ card(B) = n et B libre
Exemples 23. dim(IR2
) = 2, dim(IR3
) = 3, · · · dim(IRn
) = n.
Avec G = {(x, 2x, y) / x, y ∈ IR} sev de IR3
, on a dim(G) = 2.
dim({0IRn }) = 0.
3.6 Somme de sous-espaces vectoriels
D´efinition 3.6. et proposition :
Soient F et G deux sev de IRn
• la partie not´ee H = F + G = {X + Y / X ∈ F et Y ∈ G} est un sev de IRn
appel´e
la somme de F et G.
• si en plus F ∩ G = {0IRn } on ´ecrit H = F ⊕ G et on dit que H est la somme
directe de F et G.
14

16. Exemples 24. F = {(x, x) / x ∈ IR} et G = {(y, −y) / y ∈ IR}
on a IR2
= F + G et F ∩ G = {0IR2 },
d’o`u IR2
= F ⊕ G.
Propri´et´es 2. dim(F + G) = dim(F) + dim(G) − dim(F ∩ G)
15

17. 16

18. Chapitre 4
Produit scalaire, produit vectoriel
et produit mixte
4.1 Produit scalaire dans IRn
Notations :
Un vecteur de IRn
sera not´e −→u = (x1, · · · , xn).
D´efinition 4.1. Le produit scalaire de deux vecteurs −→u = (x1, · · · , xn)
et −→v = (y1, · · · , yn) est d´efini par
−→u · −→v = x1y1 + · · · + xnyn
on note aussi −→u · −→v = (−→u | −→v ).
Remarque : −→u , −→v ∈ IRn
, mais −→u · −→v ∈ IR.
−→u · −→u est not´e −→u 2
.
Exemples 25. Avec −→u = (1, 0, −1) et −→v = (1, 0, 1) dans IR3
on a : −→u · −→v = 0
et −→u · −→u = 2
Propri´et´es 3. ∀−→u , −→v , −→w ∈ IRn
, ∀α ∈ IR
−→u · −→v = −→v · −→u
−→u · −→u ≥ 0
−→u 2
= 0 ⇔ −→u = (0, · · · , 0) =
−→
0
(α−→u ) · −→v = −→u · (α−→v ) = α(−→u · −→v )
−→u · (−→v + −→w ) = −→u · −→v + −→u · −→w
(−→v + −→w ) · −→u = −→v · −→u + −→w · −→u
D´efinition 4.2. Pour −→u ∈ IRn
, −→u = (x1, · · · , xn) on note −→u = (−→u )2
= x2
1 + · · · + x2
n
qu’on appelle la norme euclidienne de −→u .
Exemples 26. (1, −1, 5) =
√
27
17

19. Propri´et´es 4. ∀−→u , −→v ∈ IRn
, ∀λ ∈ IR
• −→u = 0 ⇔ −→u =
−→
0 = 0IRn
• λ−→u =| λ | . −→u
• −→u + −→v 2
= −→u 2
+ −→v 2
+ 2−→u · −→v .
• | −→u · −→v |≤ −→u . −→v ,
c’est l’in´egalite de Schwartz,
(donc
−→u ·−→v
−→u . −→v
≤ 1 si −→u , −→v =
−→
0 )
• −→u + −→v ≤ −→u + −→v
D´efinition 4.3. • Un vecteur −→u ∈ IRn
est norm´e si −→u = 1.
• Si −→u , −→v ∈ IRn
{
−→
0 } on a vu que
−→u ·−→v
−→u . −→v
≤ 1
donc : ∃!θ ∈ [0, π] : cos(θ) =
−→u ·−→v
−→u . −→v
on note θ = (−→u , −→v ) l’´ecart angulaire entre −→u et −→v .
Exemples 27. 1) Dans IR2
, −→u = (1, 1), −→v = (2, 2) ;
cos(−→u , −→v ) = 4√
2
√
8
= 1, donc θ = 0.
2) Dans IR3
, −→u = (−1, 0, 1), −→v = (1, 0, 1) ;
cos(−→u , −→v ) = 0, donc θ = π
2
.
3) Si (−→e 1; · · · ; −→e n) est la base canonique de IRn
:
−→e i · −→e j = 0 ; si i = j et −→e i · −→e i = 1
4.2 Orthogonalit´e
D´efinition 4.4. On dit que deux vecteurs −→u , −→v ∈ IRn
sont orthogonaux lorsque
−→u · −→v = 0
Exemples 28. 1)
−→
0 est orthogonal `a tout −→u ∈ IRn
.
2) Deux vecteurs distincts, de la base canonique de IRn
sont orthogonaux.
D´efinition 4.5. Une base B = (−→u 1; · · · ; −→un) de IRn
est dite orthonormale si :
1) ∀i −→u i = 1,
2) −→u i · −→u j = 0 si i = j.
Les (ui)i sont norm´es et orthogonaux deux `a deux.
Exemples 29. 1) La base canonique de IRn
est orthonormale.
2) Dans IR2
: −→u 1 = (
√
2
2
,
√
2
2
), −→u 2 = (−
√
2
2
,
√
2
2
) ;
(−→u 1; −→u 2) est une base orthonormale.
18

20. 4.3 D´eterminant de deux vecteurs de IR2
D´efinition 4.6. Soient −→u = (x, y), −→v = (x , y ) ∈ IR2
;
on d´efinit det(−→u , −→v )
not´e
=
x x
y y
= xy − x y
le d´eterminant de (−→u ; −→v )
Exemples 30. Pour −→u = (1, 1), −→v = (1, 2), on a det(−→u ; −→v ) = 1
Propri´et´es 5. ∀α, β ∈ IR, ∀−→u , −→v , −→w ∈ IR2
on a :
• det(−→u ; −→v ) = −det(−→v ; −→u ),
• det(α−→u ; −→v ) = det(−→u ; α−→v ) = αdet(−→u ; −→v ),
•
det(−→u ; −→v + −→w ) = det(−→u ; −→v ) + det(−→u ; −→w )
det(−→v + −→w ; −→u ) = det(−→v ; −→u ) + det(−→w ; −→u )
Proposition 4.1. ∀−→u , −→v ∈ IR2
, on a :
• |det(−→u ; −→v )| = −→u .
−→
v sin (−→u , −→v ).
• la famille (−→u ; −→v ) est li´ee ⇔ det(−→u ; −→v ) = 0.
Et donc : la famille (−→u ; −→v ) est libre ⇔ det(−→u ; −→v ) = 0.
Preuve 2. • On a d´ej`a cos(θ) =
−→u ·−→v
−→u . −→v
avec θ ∈ [0, π] donc sin(θ) ≥ 0,
et sin(θ) = 1 − cos2(θ) = 1 − (xx +yy )2
(x2+y2)(x 2+y 2)
=
√
(xy )2+(x y)2−2xx yy
√
(x2+y2)
√
(x 2+y 2)
=
√
(xy −x y)2
−→u . −→v
=
|det(−→u ;−→v )|
−→u . −→v
d’o`u |(det(−→u ; −→v )| = −→u . −→v sin (−→u , −→v ),
• (⇒) si par exemple −→v = α−→u , sin (−→u , −→v ) = 0
et donc det(−→u ; −→v ) = 0 (de mˆeme si −→u = α−→v ).
(⇐) Si det(−→u ; −→v ) = 0
on a : −→u = 0 ou −→v = 0 ou sin (−→u , −→v ) = 0
et dans tous ces cas −→u et −→v sont li´es.
4.4 Produit vectoriel dans IR3
D´efinition 4.7. Soient −→u = (x, y, z), −→v = (x , y , z ) deux vecteurs de IR3
. On
d´efinit le produit vectoriel de −→u et −→v -not´e −→u ∧ −→v - par :
−→u ∧ −→v = (yz − zy , zx − xz , xy − yx )
On a donc −→u ∧ −→v ∈ IR3
.
19

21. Exemples 31. 1) Avec −→u = (1, 1, 1), −→v = (2, 2, 2) on a −→u ∧ −→v = (0, 0, 0) =
−→
0 ,
2) −→e 1 = (1, 0, 0), −→e 2 = (0, 1, 0) et −→e 1 ∧ −→e 2 = (0, 0, 1) = −→e 3
Propri´et´es 6. ∀α, β ∈ IR, ∀−→u , −→v , −→w ∈ IR3
• −→u ∧ −→v = −(−→v ∧ −→u ),
•
−→u ∧ (α−→v ) = (α−→u ) ∧ −→v = α(−→u ∧ −→v )
−→u ∧ (−→v + −→w ) = −→u ∧ −→v + −→u ∧ −→w
(−→v + −→w ) ∧ −→u = −→v ∧ −→u + −→w ∧ −→u
• −→u ∧ −→u = 0.
Proposition 4.2. ∀−→u , −→v ∈ IR3
• −→u ∧ −→v = −→u . −→v .| sin (−→u , −→v )|
donc l’aire du parall`elogramme construit sur −→u et −→v est −→u ∧ −→v ,
• (−→u ; −→v ) est li´ee ⇔ −→u ∧ −→v =
−→
0 .
Preuve 3. • Calculons a = cos((−→u , −→v ))2
+
( −→u ∧−→v )
2
( −→u . −→v )
2 ,
on trouve a =
(−→u ·−→v )
2
( −→u . −→v )
2 +
( −→u ∧−→v )
2
( −→u . −→v )
2 ,
et donc a = (xx +yy +zz )2+(yz −zy )2+(zx −xz )2+(xy −yx )2
( −→u . −→v )
2 ,
d’o`u a = (x2+y2+z2)((x 2+y 2+z 2))
( −→u . −→v )
2 = 1.
puisque sin((−→u , −→v ) ≥ 0 on a donc sin((−→u , −→v ) =
( −→u ∧−→v )
2
( −→u . −→v )
2 =
−→u ∧−→v
−→u . −→v
et donc −→u ∧ −→v = −→u . −→v .| sin (−→u , −→v )|.
• (−→u ; −→v ) est li´ee
⇔ −→u =
−→
0 , −→v =
−→
0 ou (−→u , −→v ) = 0 (l’´ecart est nul)
⇔ −→u . −→v .| sin (−→u , −→v )| = 0
⇔ −→u ∧ −→v = 0
⇔ −→u ∧ −→v =
−→
0 .
4.5 D´eterminant et produit mixte dans IR3
D´efinition 4.8. Le produit mixte, ou d´eterminant de trois vecteurs de IR3
est d´efini
par :
[−→u , −→v , −→w ] = −→u · (−→v ∧ −→w ) = det(−→u , −→v , −→w )
on a donc [−→u , −→v , −→w ] ∈ IR.
Exemples 32. Avec −→e 1 = (1, 0, 0), −→e 2 = (0, 1, 0) et −→e 3 = (0, 0, 1), on a :
[−→e 1, −→e 2, −→e 3] = −→e 1 · (−→e 2 ∧ −→e 3) = −→e 1 · −→e 1 = 1
20

22. Propri´et´es 7. • Avec −→u = (x, y, z), −→v = (x , y , z ) et −→w = (x , y , z ) on a
[−→u , −→v , −→w ] = (x, y, z) · (y z − z y , z x − x z , x y − y x )
= x(y z − z y ) + y(z x − x z ) + z(x y − y x )
• ∀−→u , −→v , −→w ∈ IR3
et ∀α ∈ IR
– det(α−→u , −→v , −→w ) = αdet(−→u , −→v , −→w )
– det(−→u +
−→
u , −→v , −→w ) = det(−→u , −→v , −→w ) + det(
−→
u , −→v , −→w )
– det(−→u , −→v , −→w ) = −det(−→v , −→u , −→w )
(le d´eterminant change de signe lorsqu’on ´echange deux vecteurs).
Proposition 4.3. Soient −→u , −→v , −→w ∈ IR3
. On a l’´equivalence :
(−→u ; −→v ; −→w ) est li´ee ⇐⇒ det(−→u , −→v , −→w ) = 0
Autrement dit :
(−→u ; −→v ; −→w ) est une base de IR3
⇐⇒ det(−→u , −→v , −→w ) = 0
D´efinition 4.9. Une base (−→u ; −→v ; −→w ) de IR3
est dite une base directe (resp. indi-
recte) si det (−→u , −→v , −→w ) > 0 (resp. det (−→u , −→v , −→w ) < 0).
21

23. 22

24. Chapitre 5
Les espaces affines IR2 et IR3
5.1 Les espaces affines IR2
et IR3
D´efinition 5.1. On consid`ere les ´el´ements de IR2
(resp. IR3
) comme ´etant des
points qu’on note M = (x, y) ∈ IR2
(resp. M = (x, y, z) ∈ IR3
) et on dit que IR2
est
un plan affine not´e A2 (resp. IR3
est un espace affine not´e A3).
Soient M = (x, y) ∈ A2, M = (x , y ) ∈ A2. On note
−−−→
MM le vecteur de V2 d´efini
par :
−−−→
MM = (x − x, y − y) = M − M.
On a ainsi M = M +
−−−→
MM (et de mˆeme si M, M ∈ A3).
Proposition 5.1. Pour A, B, C ∈ An (n = 2 ou 3), on a :
1)
−→
AB =
−→
0 ⇐⇒ A = B,
2)
−→
BA = −
−→
AB,
3)
−→
AB +
−−→
BC =
−→
AC, la relation de Chasles.
Preuve 4. 1)
−→
AB =
−→
0 ⇔ (x − x, y − y) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (x , y ) ⇔ A = B,
2)
−→
BA = (x − x , y − y ) = −(x − x, y − y) = −
−→
AB,
3)
−→
AB +
−−→
BC = (x − x, y − y) + (x − x , y − y ) = (x − x, y − y) =
−→
AC.
Notation 5.1. Soient A ∈ An et −→u ∈ Vn. On note A + −→u
d´ef
=
−→
OA + −→u avec
O = 0IRn =
−→
0 .
Proposition 5.2. Soient A, B ∈ An et −→u , −→v ∈ Vn :
1) (A + −→u ) + −→v = A + (−→u + −→v ) ;
2)
−→
AB = −→u ⇔ B = A + −→u ;
3) A + −→u = A + −→v ⇔ −→u = −→v .
Preuve 5. 1) (A + −→u ) + −→v = (
−→
OA + −→u ) + −→v
=
−→
OA + (−→u + −→v ) = A + (−→u + −→v ) ;
23

25. d’apr`es l’associativit´e de la somme des vecteurs.
2)
−→
AB =
−→
AO +
−−→
OB = −→u
⇔
−−→
OB = −
−→
AO + −→u =
−→
OA + −→u
⇔ B = A + −→u ;
3) A + −→u = A + −→v ⇔
−→
OA + −→u =
−→
OA + −→v ⇔ −→u = −→v .
en simplifiant par le vecteur
−→
OA.
5.2 Droites affines dans A2
D´efinition 5.2. 1) Soient A ∈ A2 et −→u ∈ V2 {
−→
0 }. On appelle droite affine
passant par A et dirig´e par −→u , l’ensemble : D = {M ∈ A2 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}.
Une partie D de A2 est dite une droite affine (ou : une droite) si et seuelemnt s’il
existe A ∈ A2 et −→u ∈ V2 {
−→
0 } telle que D soit la droite affine passant par A et
dirig´e par −→u .
Exemples 33. Avec A = (−1, 1), −→u = (1, 2)
D = {M = (x, y) / (x + 1, y − 1) ∈ vect(−→u )}
= {M = (x, y) / ∃α ∈ IR : (x + 1, y − 1) = α−→u }
Remarque 5.1. Soient A = (xo, yo) ∈ A2, −→u = (u1, u2) ∈ V2 {
−→
0 }
et D = {M ∈ A2 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}.
Par des ´equivalences on a :
M = (x, y) ∈ D ⇔ ∃α ∈ IR :
−−→
AM = α−→u
⇔ ∃α ∈ IR : (x − xo, y − yo) = α(u1, u2)
⇔ ∃α ∈ IR :
x = xo + αu1
y = yo + αu2
Cette derni`ere ´ecriture est la repr´esentation param´etrique de la droite D.
Et l’on a aussi :
M = (x, y) ∈ D ⇔
−−→
AM ∈ vect(−→u )
⇔
−−→
AM et −→u sont li´es
⇔ det(
−−→
AM, −→u ) =
x − xo u1
y − yo u2
= 0
⇔ u2(x − xo) − u1(y − yo) = 0
Cette derni`ere ´ecriture qui se met sous la forme : M = (x, y) ∈ D ⇔ ax+by +c = 0
(avec (u1, u2) = (−b, a)) est l’´equation cart´esienne de D.
Inversement : si (a, b) ∈ IR2
{(0, 0)} et c ∈ IR,
l’ensemble ∆ = {(x, y) / ax + by + c = 0} est une droite affine
passant par A = (xo, yo) un point v´erifiant axo+byo+c = 0 et dirig´e par −→u = (−b, a).
Exemples 34. D : x − 2y + 1 = 0 est la droite passant par A = (−1, 0) et dirig´e
par −→u = (2, 1).
24

26. 5.3 Plans affines dans A3
L’´etude des plans affines dans A3 est semblable `a celle des droites affines de A2.
D´efinition 5.3. 1) Soient A ∈ A3, (−→u ; −→v ) une famille libre de IR3
. On appelle
plan affine passant par A et dirig´e par le plan vectoriel
−→
P = vect({−→u , −→v }) l’en-
semble des points {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect({−→u , −→v })}.
2) Une partie P de A3 est dite plan affine (ou plan) si et seulement s’il existe un
point A ∈ A3 et un plan vectoriel
−→
P de IR3
tels que P = A +
−→
P .
Exemples 35. Avec A = (1, 1, 1), −→u = (1, 0, 0) et −→v = (0, 2, 0),
on a le plan P = {(x, y, z) / (x − 1, y − 1, z − 1) ∈ vect(−→u , −→v )}.
Remarque 5.2. Posons A = (xo, yo, zo), −→u = (u1, u2, u3) et −→v = (v1, v2, v3).
Notons P = {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect({−→u , −→v })}. On a
M ∈ P ⇔
−−→
AM ∈ vect({−→u , −→v })
⇔ ∃α, β ∈ IR /
−−→
AM = α−→u + β−→v
⇔ ∃α, β ∈ IR / M = A + α−→u + β−→v
⇔ ∃α, β :



x = xo + αu1 + βv1
y = yo + αu2 + βv2
z = zo + αu3 + βv3
c’est la repr´esentation param´etrique du plan P.
On a aussi
M = (x, y, z) ∈ P ⇔
−−→
AM est li´e `a (−→u ; −→v )
⇔ (
−−→
AM; −→u ; −→v ) est li´ee
⇔ det(
−−→
AM; −→u ; −→v ) = 0
⇔
x − xo u1 v1
y − yo u2 v2
z − zo u3 v3
= 0
⇔ ax + by + cz + d = 0
avec (a = u2v3 − u3v2, b = u3v1 − u1v3, c = u1v2 − u2v1) c`ad (a, b, c) = −→u ∧ −→v
et d une constante.
L’´equation M = (x, y, z) ∈ P ⇔ ax + by + cz + d = 0 est l’´equation cart´esienne
du plan P.
Et inversement toute ´equation de cette forme est l’´equation d’un plan
Exemples 36. Soit P le plan d’´equation x + y + z − 1 = 0.
Les points A = (1, 0, 0); B = (0, 1, 0) et C = (0, 0, 1) appartiennent `a P,
les vecteurs −→u =
−→
AB = (−1, 1, 0) et −→v =
−→
AC = (−1, 0, 1) forment une famille libre
qui dirige P.
25

27. 5.4 Droites affines dans A3
D´efinition 5.4. 1) Soient A ∈ A3, −→u ∈ IR3
{
−→
0 }. On appelle droite affine passant
par A et dirig´e par −→u l’ensemble des points D = {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}.
2) Une partie D de A3 est dite droite affine (ou droite) si et seulement s’il existe
un point A ∈ A3 et −→u ∈ IR3
{
−→
0 } tels que D soit la droite affine passant par A et
dirig´e par −→u .
Exemples 37. A = (0, 0, 0), −→u = (1, 1, 1),
D = {M = (x, y, z) /
−−→
AM ∈ IR−→u }
Remarque 5.3. Posons A = (xo, yo, zo), −→u = (u1, u2, u3).
Notons D = {M ∈ A3 /
−−→
AM ∈ vect(−→u )}. On a
M ∈ D ⇔
−−→
AM ∈ vect(−→u )
⇔ ∃α ∈ IR /
−−→
AM = α−→u
⇔ ∃α ∈ IR / M = A + α−→u
⇔ ∃α :



x = xo + αu1
y = yo + αu2
z = zo + αu3
c’est la repr´esentation param´etrique de la droite D.
On a aussi en ´eliminant α dans la repr´esentation param´etrique, la repr´esentation
de D sous forme d’un syst`eme d’´equations cat´esiennes (on ´ecrira SEC) :
D = M = (x, y, z) /
ax + by + cz + d = 0
a x + b y + c z + d = 0
c`ad D = P1 ∩ P2 avec P1 (resp.P2) le plan d’´equation ax + by + cz + d = 0 (resp. le
plan d’´equation a x + b y + c z + d = 0).
Exemples 38. Avec A = (2, −1, 3) et −→u = (1, 1, 0),
M = (x, y, z) ∈ D ⇔ ∃α ∈ IR



x = 2 + α
y = −1 + α
z = 3
⇔
x − y − 3 = 0
z − 3 = 0
26

28. Chapitre 6
G´eom´etrie affine euclidienne plane
6.1 Distance dans A2
D´efinition 6.1. On appelle rep`ere orthonorm´e (direct) de A2 tout triplet
R = (O;
−→
i ,
−→
j ), o`u O ∈ A2 et (
−→
i ;
−→
j ) une base orthonorm´e directe.
Exemples 39. O = (1, 1),
−→
i = (
√
2
2
,
√
2
2
) et
−→
j = (−
√
2
2
,
√
2
2
)
(det(
−→
i ,
−→
j ) =
√
2
2
−
√
2
2√
2
2
√
2
2
= 1 > 0)
D´efinition 6.2. Pour M, M ∈ A2, on appelle distance de M et M et note
d(M, M ) ou MM le r´eel MM =
−−−→
MM
Exemples 40. M = (1, 0), M = (0, 1),
MM =
−−−→
MM = (−1, 1) = (−1)2 + 12 =
√
2
Proposition 6.1. ∀α ∈ IR, ∀A, B, C ∈ A2,
1) d(A, B) = d(B, A),
2) d(A, B) = 0 ⇔ A = B,
3) d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C) (l’in´egalit´e triangulaire),
4) d(αA, αB) = |α|d(A, B).
Preuve 6. 1) d(A, B) =
−→
AB =
−→
BA = d(B, A),
2) d(A, B) = 0 ⇔
−→
AB = 0 ⇔
−→
AB = 0 ⇔ A = B,
3) d(A, C) =
−→
AC =
−→
AB +
−−→
BC
≤
−→
AB +
−−→
BC = d(A, B) + d(B, C)
4) d(αA, αB) = α
−→
AB
= |α|.
−→
AB = |α|d(A, B).
6.2 Coordonn´ees cart´esiennes
D´efinition 6.3. Soient R = (Ω;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e, Ω = (ao, bo) et
M ∈ A2. On appelle coordonn´ees cart´esiennes du point M dans R, les r´eels α, β ∈ IR
27

29. tels que M = Ω + α
−→
i + β
−→
j .
Exemples 41. • Ω = (0, 0),
−→
i = −→e 1,
−→
j = −→e 2 la base canonique de IR2
.
M = (0, 0) + α−→e 1 + β−→e 2 = (0, 0) + (α, 0) + (0, β) = (x, y),
on trouve α = x et β = y ;
• Ω = (1, 1),
−→
i = (
√
2
2
,
√
2
2
),
−→
j = (−
√
2
2
,
√
2
2
).
M = (1, 1) + α(
√
2
2
,
√
2
2
) + β(−
√
2
2
,
√
2
2
) = (x, y),
⇔
x − 1 =
√
2
2
(α − β)
y − 1 =
√
2
2
(α + β)
⇔
α =
√
2
2
(x + y − 2)
β =
√
2
2
(−x + y)
on note (x, y)R les coordonn´ees de M dans le rep`ere R.
dans cette exemple :
(x, y)R = (x, y) et (x, y)R =
√
2
2
(x + y − 2),
√
2
2
(−x + y) .
6.3 Coordonn´ees polaires :
Soit R = (O;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e de A2.
Soit M ∈ A2{O}, (x, y) les coordonn´ees de M dans le rep`ere R. On a
x = ρ cos(θ)
y = ρ sin(θ)
[ρ, θ] sont dits les coordonn´ees polaires de M dans le rep`ere R.
On a donc



ρ = x2 + y2
cos(θ) = x√
x2+y2
sin(θ) = y√
x2+y2
Proposition 6.2. L’´equation d’une droite affine de A2 en coordonn´ees polaires est
donn´ee par :
ρ cos(θ − θo) = k o`u k est une constante
Preuve 7. On sait que l’´equation d’une droite est de la forme ax + by + c = 0 avec
(a, b) = (0, 0). On remplace pour trouver aρ cos(θ) + bρ sin(θ) + c = 0.
Ce qui donne ρ
√
a2 + b2 a√
a2+b2 cos(θ) + b√
a2+b2 sin(θ) = −c.
donc ρ (cos(θo) cos(θ) + sin(θo) sin(θ)) = − c√
a2+b2 .
c`ad ρ cos(θ − θo) = − c√
a2+b2 = k.
Ceci en posant cos(θo) = a√
a2+b2 (et donc sin(θo) = b√
a2+b2 ).
1) Si k = 0 = − c√
a2+b2 alors c = 0 et D passe par (0, 0) (son ´equation est ax+by = 0
ou θ = φo = constante [π]).
2) Si k = 0, on peut ´ecrire l’´equation polaire sous la forme ρ = k
cos(θ−θo)
.
Exemples 42. L’´equation cart´esienne de D : x − y − 1 = 0 se transforme en
ρ (cos(θ) − sin(θ)) = 1 = ρ
√
2 cos(θ + π
4
) .
28

30. D’o`u ρ =
√
2
2(cos(θ+ π
4
))
.
6.4 L’´equation d’un cercle dans A2
Soit R = (O;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e de A2.
Soit Ω = (a, b) ∈ A2, R ∈ IR+.
D´efinition 6.4. On appelle cercle de centre Ω et de rayon R et on note
C(Ω; R) l’ensemble des points
C(Ω; R) = {M ∈ A2 /
−−→
ΩM = R}
Proposition 6.3.
C(Ω; R) = {(x, y) ∈ A2 / (x − a)2
+ (y − b)2
= R2
}
Preuve 8. On a
−−→
ΩM = R ⇔
−−→
ΩM 2
= R2
⇔ (x − a)2
+ (y − b)2
= R2
.
Exemples 43. L’´equation du cercle de centre Ω = (0, 1) et de rayon R = 2 est
x2
+ (y − 1)2
= 22
= 4 ⇔ x2
+ y2
− 2y − 3 = 0.
Inversement :
Soient α, β, γ ∈ IR une ´equation de la forme
x2
+ y2
+ 2αx + 2βy + γ = 0 s’´ecrit (x + α)2
+ (y + β)2
= α2
+ β2
− γ.
1) Si α2
+ β2
− γ ≥ 0, on a alors l’´equation du cercle de centre Ω = (−α, −β) et de
rayon R = α2 + β2 − γ.
2) Si α2
+ β2
− γ < 0, on a l’ensemble vide.
On peut ´ecrire aussi :
M = (x, y) ∈ C(Ω; R) ⇔
−−→
ΩM = R
⇔
x − a = R cos(t)
y − b = R sin(t), t ∈ IR (ou t ∈ [0, 2π[ suffit)
On obtient une repr´esetation param´etrique du cercle de centre Ω = (a, b) et de
rayon R.
29

31. 30

32. Chapitre 7
La projection orthogonale
7.1 Projection orthogonale dans le plan
Dans ce qui suit on fixe un rep`ere orthonorm´e R = (O;
−→
i ,
−→
j ) de A2.
Lorsqu’on ´ecrit A(α, β) ¸ca signifie que (α, β) sont les coordonn´ees de A dans R.
Et lorsqu’on ´ecrit −→u (α, β) ¸ca signifie que (α, β) sont les coordonn´ees du vecteur −→u
dans la base (
−→
i ,
−→
j ).
Vecteur orthogonal `a une droite dans A2
Proposition 7.1. Pour tout a, b, c ∈ IR tels que (a, b) = (0, 0), un vecteur ortho-
gonal `a la droite D d’´equation ax + by + c = 0 est −→u de coordonn´ees (a, b) dans la
base (
−→
i ,
−→
j ).
Preuve 9. On sait que D est dirig´e par −→v = (−b, a).
Comme −→v · −→u = (−b, a) · (a, b) = 0. Donc −→u et −→v sont orthogonaux.
Exercice 7.1. Donner l’´equation cart´esienne de la droite ∆ passant par A(1, 1) et
perpendiculaire `a D : x + y − 1 = 0.
Projection d’un point sur une droite
D´efinition 7.1. Soient Mo(xo, yo) ∈ A2 et la droite D : ax+by +c = 0. On appelle
projection orthogonale de Mo sur D le point H(X, Y ) tel que :
H ∈ D
−−−→
MoH est orthogonal `a D
Proposition 7.2. Les coordonn´ees de H sont donn´ees par
X = b2xo−abyo−ac
a2+b2 = xo − aaxo+byo+c
a2+b2
Y = −abxo+a2yo−bc
a2+b2 = yo − baxo+byo+c
a2+b2
31

33. Preuve 10. Il suffit de r´esoudre le syst`eme


aX + bY + c = 0
X − xo a
Y − yo b
= 0
Remarque 7.1. H est l’intersection de D et de la droite passant par Mo et dirig´e
par −→u orthogonal `a D.
Exercice 7.2. Donner la projection orthogonal du point A(−1, 3) sur la droite
D : x − y + 2 = 0.
Distance d’un point `a une droite
D´efinition 7.2. On appelle distance de Mo `a D et on note d(Mo, D) la distance
entre Mo et sa projection orthogonale Ho sur D : d(Mo, D) = MoH.
Proposition 7.3. d(Mo, D) = MoH = |axo+byo+c|
√
a2+b2 avec D : ax + by + c = 0.
Preuve 11. d(Mo, D)2
= MoH2
= (X − xo)2
+ (Y − yo)2
= −a(axo+byo+c)
a2+b2
2
+ −b(axo+byo+c)
a2+b2
2
= (axo+byo+c)2
a2+b2 .
Exercice 7.3. Donner la distance du point A(3, 2) `a la droite D : 2x − 3y + 4 = 0.
7.2 Projection orthogonale dans l’espace
Dans ce qui suit on fixe un rep`ere orthonorm´e R = (O;
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ) de A3.
Lorsqu’on ´ecrit A(α, β, γ, ) ¸ca signifie que (α, β, γ, ) sont les coordonn´ees de A dans
R.
Et lorsqu’on ´ecrit −→u (α, β, γ, ) ¸ca signifie que (α, β, γ, ) sont les coordonn´ees du vec-
teur −→u dans la base (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ).
Vecteur orthogonal `a un plan dans A3
Proposition 7.4. Pour tout a, b, c, d ∈ IR tels que (a, b, c) = (0, 0, 0), un vecteur
orthogonal au plan P d’´equation ax + by + cz + d = 0 est −→u de coordonn´ees (a, b, c)
dans la base (
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ).
Preuve 12. Soit Mo(xo, yo, zo) ∈ P, donc axo + byo + czo + d = 0.
Et l’on a M ∈ P ⇔ (ax + by + cz + d) − (axo + byo + czo + d) = 0,
⇔ a(x − xo) + b(y − yo) + c(z − zo) = 0 (∗),
32

34. c’est donc une autre ´equation de P, qu’on peut ´ecrire
−−−→
MoM · −→u = 0.
Ce qui montre que −→u est orthogonal `a P.
Exercice 7.4. Donner un SEC de la droite perpendiculaire au plan
P : −x + 2y − z + 3 = 0 et passant par le point A(0, 2, 1).
Vecteur directeur d’une droite
Proposition 7.5. Soient D une droite de SEC
ax + by + cz + d = 0
a x + b y + c z + d = 0
,
−→u (a, b, c) et
−→
u (a , b , c ). Alors −→u ∧
−→
u dirige D.
Preuve 13. D est donc l’intersection du plan P : ax + by + cz + d = 0
et du plan P : a x + b y + c z + d = 0.
Donc −→u (a, b, c) et
−→
u (a , b , c ) sont orthogonaux `a D (voir pr´ec´edemment).
Notons −→w = −→u ∧
−→
u . D’apr`es les propri´et´es du produit mixte −→u ·−→w = [−→u , −→u ,
−→
u ] = 0
et de mˆeme
−→
u · −→w = 0.
Donc −→w est orthogonal `a −→u et `a
−→
u .
On en d´eduit que −→w dirige D.
(car D et −→w sont orthogonaux au mˆeme plan).
Exercice 7.5. Donner l’´equation cart´esienne du plan P perpendiculaire `a la droite
D :
x − y + z − 2 = 0
2x + y − 2 = 0
et contenant le point A(3, 0, 0).
Projection d’un point sur un plan
D´efinition 7.3. Soient Mo(xo, yo, zo) ∈ A3 et le plan d’´equation
P : ax + by + cz + d = 0. On appelle projection orthogonale de Mo sur P le point
H(X, Y, Z) tel que :
H ∈ P
−−−→
MoH est orthogonal `a P
Proposition 7.6. Les coordonn´ees de H sont donn´ees par



X = xo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a
Y = yo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b
Z = zo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c
Preuve 14. On sait que le vecteur −→u de coordonn´ees (a, b, c) est orthogonal `a P.
Les coordonn´ees de
−−−→
HMo sont
(xo − X, yo − Y, zo − Z) = (axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a, axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b, axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c)
= axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 (a, b, c) = α−→u .
Donc
−−−→
HMo est aussi orthogonal `a P.
33

35. En plus aX + bY + cZ + d = a xo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a + b yo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b +
zo − axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c = 0
Donc H est dans le plan P et par suite c’est la projection orthogonale de Mo sur P.
Exercice 7.6. Donner la projection orthogonale du point A(2, 1, 0) sur le plan P :
y − z = 0
Remarque 7.2. H est l’intersection de P et de la droite passant par Mo et dirig´e
par −→u orthogonal `a P.
Distance d’un point `a un plan
D´efinition 7.4. On appelle distance de Mo `a P et on note d(Mo, P) = MoH,
o`u H est la projection orthogonale de Mo sur P.
Proposition 7.7. d(Mo, P) = MoH = |axo+byo+czo+d|
√
a2+b2+c2 .
Preuve 15. d(Mo, P)2
= MoH2
= (X − xo)2
+ (Y − yo)2
+ (Z − zo)
= axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 a
2
+ axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 b
2
+ axo+byo+czo+d
a2+b2+c2 c
2
= (axo+byo+czo+d)2
(a2+b2+c2)2 (a2
+ b2
+ c2
) = (axo+byo+czo+d)2
a2+b2+c2 .
Donc d(Mo, P) = MoH = |axo+byo+czo+d|
√
a2+b2+c2 .
Exercice 7.7. Donner la distance du point A au plan P de l’exercice pr´ec´edent.
Distance d’un point `a une droite :
Soient D une droite, A ∈ D, −→u un vecteur directeur de D, Mo ∈ A3.
Notons H la projection orthogonale de Mo sur D.
On a :
−→u ∧
−−→
AMo = −→u ∧ (
−−→
AH +
−−−→
HMo)
= −→u ∧
−−−→
HMo
donc, comme
−−−→
HMo ⊥ −→u :
−→u ∧
−−→
AMo = −→u
−−−→
HMo
d’o`u
d(Mo, D) =
−−−→
HMo =
−→u ∧
−−→
AMo
−→u
Exercice 7.8. Soit D de SEC D :
x − y + z − 2 = 0
2x + y − 2 = 0
Donner la distance de D au point Mo(0, 0, 0)
34

36. Distance de deux droites
Proposition 7.8. Soient D, D deux droites non parall`eles, A ∈ D, A ∈ D , −→u
un vecteur directeur de D et
−→
u un vecteur directeur de D . On a :
d(D, D ) =
|[
−−→
AA , −→u ,
−→
u ]|
−→u ∧
−→
u
Remarque 7.3. d(D, D ) est en fait la distance entre les points d’intersection de
D et L d’une part et de D et L d’autre part (L est la perpendiculaire commune `a
D et `a D ).
Exercice 7.9. Calculer la distance d(D, D ), avec D dirig´e par −→u (1, 1, 0) et passant
par A(0, 0, 2), D dirig´e par
−→
u (0, 1, 0) et passant par A (1, 0, 0).
35

37. 36

38. Chapitre 8
L’application des nombres
complexes `a la g´eom´etrie
8.1 Correspondance entre A2 et IC
Soit IC = {z = x + yi / (x, y) ∈ IR2
} l’ensemble des nombres complexes. Pour
R = (O;
−→
i ,
−→
j ) un rep`ere orthonorm´e fix´e de A2.
D´efinition 8.1. • Pour tout z = a + bi ∈ IC (a, b ∈ IR).
Le point de coordonn´ees (a, b) dans le rep`ere R, s’appelle l’image de z et on le note
M(z).
le vecteur −→u = a
−→
i + b
−→
j , s’appelle l’image vectorielle de z et on le note −→u (z).
• Soit (a, b) ∈ IR2
les coordonn´ees de M ∈ A2 dans le rep`ere R et les coordonn´ees
du vecteur −→u dans la base (
−→
i ;
−→
j ). Le nombre complexe z = a + bi s’appelle l’affixe
de M et le note z = aff(M) et l’affixe de −→u et on le note z = aff(−→u ).
Donc z = aff(M) = aff(−→u ) = aff(
−−→
OM).
Proposition 8.1. L’application
A2 −→ IC
M → aff(M)
est une bijection.
c.`a.d : ∀M, M ∈ A2 : aff(M) = aff(M ) ⇔ M = M .
Preuve 16. aff(M) = aff(M ) ⇔ z = a + bi = z = a + b i
⇔ (a, b) = a( , b ) ⇔ M = M
Proposition 8.2. L’application
V2 −→ IC
−→u → aff(−→u )
est une bijection.
c.`a.d : ∀−→u , −→u ∈ V2 : aff(−→u ) = aff(−→u ) ⇔ −→u = −→u .
Preuve 17. aff(−→u ) = aff(−→u ) ⇔ z = a + bi = z = a + b i
⇔ (a, b) = (a , b ) ⇔ a
−→
i + b
−→
j = a
−→
i + b
−→
j ⇔ −→u = −→u .
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39. Remarques 8.1. 1) Soit M ∈ A2, (x, y) les coordonn´ees de M dans le rep`ere R.
Donc
−−→
OM = x
−→
i + y
−→
j et alors :
aff(
−−→
OM) = x + yi = aff(M).
2) Et si z = x + yi ∈ IC et M(z) = M,
−−→
OM = x
−→
i + y
−→
j = −→u (z).
8.2 Utilisation des affixes
Propri´et´es 8. 1) ∀−→u , −→v ∈ V2, ∀α ∈ IR :
• aff(−→u + −→v ) = aff(−→u ) + aff(−→v ),
• aff(α−→u ) = α aff(−→u ).
2) Soit A, B ∈ A2, zA = aff(A) et zB = aff(B).
Alors aff(
−→
AB) = zB − zA.
3) Soit z1, z2 ∈ IC d’images M1 = M(z1), M2 = M(z2) et λ ∈ IR.
• Si S = M(z1 + z2) alors
−→
OS =
−−−→
OM1 +
−−−→
OM2.
• Si M(λz1) = P alors
−→
OP = λ
−−−→
OM1.
Proposition 8.3. Soit −→u , −→u ∈ V2
−→
0 d’affixes respectives z, z
de formes trigonom´etriques z = r(cos(θ) + i sin(θ)) , z = r (cos(θ ) + i sin(θ )),
alors on a : (
−→
i , −→u ) = θ = arg(z) [2π] et (−→u , −→u ) = θ −θ = arg(z )−arg(z) [2π]
Preuve 18. • On a (
−→
i , −→u ) = (
−→
i ,
−−→
OM) avec M le point d’affixe z et −→u =
−−→
OM.
Donc
(
−→
i , −→u ) = arg(z) [2π].
d’apr`es la d´efinition de l’argument.
• On a (−→u , −→u ) = (−→u ,
−→
i ) + (
−→
i , −→u ) = −(
−→
i , −→u ) + (
−→
i , −→u )
= (
−→
i , −→u ) − (
−→
i , −→u ) = arg(z ) − arg(z) [2π].
Exercice 8.1. Soit −→u =
√
3
−→
i +
−→
j et −→v = 2
−→
i + 2
√
3
−→
j .
Donner leurs affixes respectives, puis les ´ecrire sous la forme trigonom´etrique et ex-
ponentielle. En d´eduire (−→u , −→v ).
Proposition 8.4. Soit A, B, C, D ∈ A2, d’affixes respectives zA, zB, zC, zD et tels
que A = B et C = D.
• Le vecteur
−→
AB a pour affixe zB − zA, et on a : AB = |zB − zA|
et (
−→
i ,
−→
AB) = arg(zB − zA) [2π].
• CD
AB
= zD−zC
zB−zA
et (
−→
AB,
−−→
CD) = arg(zD − zC) − arg(zB − zA) = arg zD−zC
zB−zA
[2π].
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40. Preuve 19. • On a vu pr´ec´edemment que (
−→
i , −→u ) = θ = arg(z) [2π],
z ´etant l’affixe de −→u .
Comme aff(
−→
AB) = zB − zA on a (
−→
i ,
−→
AB) = arg(zB − zA) [2π].
• On a vu pr´ec´edemment que (−→u , −→u ) = arg(z ) − arg(z) [2π].
On en d´eduit que (
−→
AB,
−−→
CD) = arg(zD − zC) − arg(zB − zA) = arg zD−zC
zB−zA
[2π].
ceci car aff(
−−→
CD) = zD − zC et aff(
−→
AB) = zB − zA.
Exercice 8.2. Soient A, B, C et D de coordonn´ees respectives (
√
2
2
,
√
2
2
), (−
√
2
2
, −
√
2
2
), (1, 0)
et (−1, 0). Donner l’´ecart angulaire entre les droites (AB) et (CD). Calculer la dis-
tance entre A et B.
Proposition 8.5. Soit A, B, C, D ∈ A2, d’affixes respectives zA, zB, zC, zD et tels
que A = B et C = D.
les propri´et´es ci-dessous sont ´equivalentes :
•
−→
AB ⊥
−−→
CD (
−→
AB et
−−→
CD sont orthogonaux).
•
−→
AB ·
−−→
CD = 0
•
−→
AB,
−−→
CD = π
2
[π].
• arg zD−zC
zB−zA
= π
2
[π].
• zD−zC
zB−zA
est imaginaire pur.
Preuve 20. Les quatre premi`eres propri´et´es sont ´equivalentes en utilisant les d´efinitions
et ce qui pr´ec`ede.
Les nombres complexes imaginaires purs (non nuls) sont les nombres complexes
ayant pour argument π
2
ou 3π
2
[2π], c.`a.d π
2
[π].
Exercice 8.3. Soit A, B d’affixes zA = 1 − i, zB = 1 + i. Trouver les points C tels
que le triangle de sommets A, B et C soit droit en C.
Proposition 8.6. Soit A, B, C ∈ A2 tels que A = B, d’affixes respectives zA, zB, zC.
les propri´et´es ci-dessous sont ´equivalentes :
• A, B et C sont align´es (sur une mˆeme droite).
•
−→
AB et
−→
AC sont colin´eaires (li´es)
• ∃k ∈ IR :
−→
AC = k
−→
AB.
• zC −zA
zB−zA
∈ IR .
• arg zC −zA
zB−zA
= 0 [π].
Preuve 21. • L’´equivalence des trois premi`eres propri´et´es est imm´ediate.
• Le vecteur
−→
AC ayant pour affixe zC −zA et le vecteur
−→
AB ayant pour affixe zB −zA,
on obtient :
∃k ∈ IR :
−→
AC = k
−→
AB ⇔ ∃k ∈ IR : zC − zA = k(zB − zA) ⇔ zC −zA
zB−zA
∈ IR.
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41. • Les nombres r´eels (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument 0
ou π (modulo 2π), c’est `a dire 0 (modulo π).
Exercice 8.4. Soit A, B ∈ A2 de coordonn´ees respectives (1, 2) et (2, 3) et C d’af-
fixe z = 3 + mi. Pour quelles valeurs de m ∈ IR les points A, B et C sont align´es ?
8.3 Caract´erisation d’ensembles de points
Proposition 8.7. Soit C le cercle de rayon r et de centre Ω d’affixe zΩ = xΩ + iyΩ
o`u xΩ, yΩ ∈ IR. On a les ´equivalences :
M ∈ C ⇔ |z − zΩ| = r
⇔ z = zΩ + reiθ
( o`u θ ∈ IR)
⇔
x = xΩ + r cos(θ)
y = yΩ + r sin(θ)
( o`u θ ∈ IR)
Preuve 22. Par d´efinition M ∈ C ⇔ ΩM = r ⇔ |z − zΩ| = r.
On sait qu’un nombre complexe de module r (r = 0) s’´ecrit sous la forme exponen-
tielle reiθ
( o`u θ ∈ IR).
On peut donc ´ecrire :
|z − zΩ| = r ⇔ z − zΩ = reiθ
( o`u θ ∈ IR)
⇔ z = zΩ + reiθ
( o`u θ ∈ IR)
⇔
x = xΩ + r cos(θ)
y = yΩ + r sin(θ)
( o`u θ ∈ IR)
Exercice 8.5. Soit Ω de coordonn´ees (2, 3) et M le point d’affixe z = 1 − i. Pour
quelle valeur de r, M ∈ C(Ω, r) (le cercle de centre Ω et de rayon r).
Proposition 8.8. Soit A, B ∈ A2 les points d’affixes zA et zB.
L’ensemble ∆ des points M d’affixes z tels que |z − zA| = |z − zB| est la m´ediane
du segment [A, B].
Preuve 23. On a M appartient `a la m´ediane du segment [AB] si et seulement si
AM = BM ce qui ´equivaut `a |z − zA| = |z − zB|.
Exercice 8.6. Soit (1, 2) les coordonn´ees de A et (−1, 2) les coordonn´ees de B don-
ner l’´equation cart´esienne de la m´ediane du segment [AB].
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