Ce document traite des systèmes d'équations linéaires, en définissant les équations linéaires ainsi que les conditions pour qu'elles aient des solutions. Il décrit les cas possibles pour les solutions d'une équation linéaire, ainsi que les méthodes pour résoudre un système d'équations, y compris le processus d'élimination de Gauss. Les théorèmes relatifs aux systèmes homogènes et non homogènes ainsi que la notion de solutions uniques ou multiples sont également présentés.

1. Chapitre 1
SYSTÈMES DES ÉQUATIONS
LINÉAIRES
Nous supposerons que toutes les équations de ce chapitre sont
données sur le corps  . Les résultats et les méthodes
employées resteront valables sur le corps complexe  .
1.1 EQUATION LINERAIRE
L’équation linéaire, sur le corps  , est de la forme
a1 x1  a2 x2    an xn  b 1
où les ai , b   et les xi sont les indéterminées (ou inconnues
ou variables). Les scalaires ai sont appelés les coefficients des
xi , et b est le terme constant, ou simplement la constante de
l’équation.
Un ensemble de valeurs des inconnues, par exemple
x1  k1 , x2  k2 , , xn  kn
est une solution de 1 si l’égalité obtenue en remplaçant xi
par ki ,
a1 x1  a2 x2    an xn  b
1

2. est vérifiée. Cet ensemble de valeurs satisfait alors l’équation.
S’il n’y a aucune ambiguïté sur la position des inconnues dans
l’équation, cette solution pourra alors s’écrire sous forme de n‐
tuple u   k1 , k2 ,..., kn  .
Exemple 1 : Considérons l’équation x  2 y  4 z  w  3 .
Le 4‐tuple u   3, 2,1,0  est une solution de l’équation puisque
3  2  2  4 1 0  3 ou 3  3 est une égalité vraie. Cependant le
4‐tuple v  1, 2, 4,5  n’est par une solution de l’équation
puisque 1 2  2  4  4  5  3 ou 6  3 n’est pas vérifié.
Les solutions de l’équation 1 peuvent être aisément
obtenues. Il y a 3 cas :
Cas 1 : Un des coefficients de 1 n’est par nul, par exemple
a1  0 . Alors nous pouvons écrire l’équation sous la forme
x1  a11b  a11a2 x2    a11an xn .
En donnant arbitrairement des valeurs déterminées aux
inconnues x2 , , xn , nous obtenons une valeur pour x1 ; ces
valeurs forment une solution de l’équation. De plus, toute
solution de l’équation peut être obtenue de cette manière.
Exemple 2 : Considérons l’équation : 2 x  4 y  z  8 .
Écrivons l’équation sous la forme x  4  2 y  1 z .
2
2

3. A chaque valeur de y et z correspondra une valeur de x , et
ces trois valeurs constitueront une solution de l’équation. Par
exemple, soient y  3 et z  2 d’où x  4  2 3  1  2  9 .
2
On peut donc dire que les 3‐tuple u   9,3, 2  est une solution
de l’équation.
Cas 2 : Tous les coefficients de l’équation 1 sont nuls, mais le
terme constant est différent de zéro. L’équation est alors de la
forme
0 x1  0 x2    0 xn  b avec b  0 .
L’équation n’a alors pas de solution.
Cas 3 : Tous les coefficients de l’équation 1 sont nuls, et le
terme constant est nul également. L’équation est de la forme
0 x1  0 x2    0 xn  0 .
Quel que soit le n‐tuple constitué de scalaires de  , il s’agira
d’une solution de l’équation.
1.2 SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES
Considérons maintenant un système de m équation
linéaires à n inconnues x1 , x2 ,  , xn :
3

4. a11 x1  a12 x2    a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  b2
(SELNH)
    
am1 x1  am 2 x2    am n xn  bm
où les aij , bi appartiennent au corps des réels  .
On dit que le système est homogène si les constantes b1 ,..., bm
sont nulles. Un n‐tuple u   k1 , k2 ,..., kn  de nombres réels est
une solution (ou une solution particulière) s’il satisfait chacune
des équations. L’ensemble des solutions est souvent appelé
solution générale du système.
Le système d’équations linéaires
a11 x1  a12 x2    a1n xn  0
a21 x1  a22 x2    a2 n xn  0
(SELH)
    
am1 x1  am 2 x2    am n xn  0
est appelé système homogène associé (SELNH). Le système
précédent a toujours une solution, qui est le n‐tuple nul
0   0,0,...,0  , appelé solution triviale ou nulle. N’importe
quelle autre solution, si elle existe, est appelée solution non
triviale ou non nulle.
Il existe la relation fondamentale suivante entre les
système (SELNH) et (SELH).
4

5. Théorème 1 : Soit u une solution particulière du système non
homogène (SELNH) et soit W la solution générale du système
homogène associé (SELH). Alors
u W  u  w : wW 
et la solution générale du système non homogène (SELNH).
1.3 SOLUTIONS D’UN SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES
Considérons le système (SELNH) d’équations linéaires.
Réduisons‐le à un système plus simple de la manière suivante.
Premièrement. Échanger les équations de telle sorte que la
première inconnue x1 ait un coefficient non nul dans la
première équation, ainsi a11  0 .
Deuxièmement. Pour chaque i  1, appliquer
Li   ai1L1  a11Li
c'est‐à‐dire remplacer la i ème équation linéaire Li par
l’équation obtenue en multipliant la première équation L1 par
 ai1 , et en ajoutant la i ème équation Li multipliée par a11 .
Nous obtenons alors le système suivant qui est équivalent à
(SELNH), c’est‐à‐dire a le même ensemble de solutions que
(SELNH) :
5

6. a11 x1  a12 x2    a1n xn  b
  1
 a2 j2 x j2    a2 n xn  b2
 
   
  
 amj2 x j2    am n xn  bm
où a11  0 . Ici x j2 représente la première inconnue dont le
coefficient est non nul dans une équation autre que la
première; d’après le deuxièmement x j2  x1 . Ce procédé
consistant à éliminer une inconnue à partir des diverses
équations successives est appelé procédé d’élimination ou de
Gauss.
Exemple 3 : Soit le système suivant d’équations linéaires :
2 x  4 y  z  2v  2w  1.................( L1)
3x  6 y  z  v  4w  7..............(L 2 ) .
4 x  8 y  z  5v  w  3.................( L 3 )
Éliminons l’inconnue x à partir de la seconde et de la troisième
équation en appliquant les combinaisons suivantes :
L2  3L1  2 L2 et L3  2 L1  L3
 3L1 :  6 x  12 y  3 z  6v  6 w  3
Calculons 2 L2 : 6 x  12 y  2 z  2v  8w  14
3L1  2 L2 : 5 z  8v  2 w  17
et
6

7.  2 L1 : 4 x  8 y  2 z  4v  4 w  2
L3 : 4 x  8 y  z  5v  w  3
2 L1  L3 : 3 z  v  5w  1
Ainsi le système initial a été réduit au système équation :
2 x  4 y  z  2v  2w 1
5z  8v  2w  17
3z  v  5w  1
Remarquons que y a aussi été éliminé à partir de la seconde et
de la troisième équation. Ici l’inconnue z joue le rôle de
l’inconnue précédente x j2 .
Les équations précédents, sauf la première, forment un
système partiel qui a moins d’équations et moins d’inconnues
que le système initial. De plus
(1) s’il se présente une équation de la forme
0 x1    0 xn  b avec b  0
le système est alors impossible et n’a pas de solution;
(2) s’il se présente une équation de la forme
0 x1    0 xn  0 ,
cette équation peut être supprimée et ceci sans
affecter la solution.
En continuant le procédé précédent de Gauss, avec
chaque nouveau sous‐système, nous obtenons par récurrence
7

8. soit un système impossible soit un système réduit à la forme
équivalente suivante
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1
a2 j2 x j2  a2, j2 1 x j2 1   a2 n xn  b2
(*)
.....................................................
arjr x jr  ar , jr 1 x jr 1    ar n xn  br
où 1  j2    jr et où les coefficient restants sont non nuls :
a11  0, a2 j2  0,  , arjr  0 .
(Nous utiliserons pour des commodités de notations les mêmes
symboles aij , bk dans le système (*) que ceux utilisés dans le
système (SELNH) mais ils désigneront des scalaires différents).
Définition : Le système (*) est sous une forme dite échelonnée;
les inconnue xi qui n’apparaissent pas au commencement de
chaque équation  i 1, j2 ,..., jr  sont appelées des inconnues
libres ou variables libres.
Théorème 2 : Dans un système réduit à une forme échelonnée,
on peut distinguer deux cas :
(1) r  n ; il y a autant d’équations que d’inconnues. Le
système admet alors une solution unique.
8

9. (2) r  n ; il y a moins d’équations que d’inconnues. Nous
attribuerions alors arbitrairement des valeurs aux n  r
inconnues libres et nous obtiendrons une solution du système.
Le théorème précédent implique évidemment que le système
(*) et n’importe quels systèmes équivalents sont possibles.
Ainsi si le système (SELNH) est possible et ramené au précédent
cas (2), nous pourrons alors donner différentes valeurs aux
inconnues libres et obtenir ainsi plusieurs solution du système,
comme le schéma suivant le montre.
Système d’équations linéaires
Impossible Possible
Aucune solution
Solution Plus d’une
unique solution
Exemple 5 : Réduisons le système suivant en appliquant les
combinaisons L2   L1  L2 , L3  2 L1  L3 et L4  2 L1  L4
ainsi que les combinaisons L3  L2  L3 et L4  2 L3  L4 :
9

10. x  2 y  3z  4 x  2 y  3z  4
x  3 y  z  11 y  4z  7
2 x  5 y  4 z  13 y  2z  5
2 x  6 y  2 z  22 2 y  8z  14
x  2 y  3z  4
x  2 y  3z  4
y  4z  7
y  4z  7
2z  2
2z  2
0  0
Exemple 6 : Réduisons le système suivant à l’aide des
L2  2 L1  L2 , L3  5 L1  L3 et L3  2 L2  L3 :
x  2y  2z  3w  2
2 x  4 y  3z  4w  5
5x  10 y  8z  11w  12
x  2 y  2 z  3w  2
z  2w  1
2 z  4w  2
x  2 y  2 z  3w  2
z  2w  1
0  0
x  2 y  2 z  3w  2
z  2w  1
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11. Le système est possible, et puisqu’il y a plus d’inconnues que
d’équation dans forme réduite échelonnée, le système a un
nombre infini de solutions. En fait il y a deux inconnues libres y
et w , et donc une solution particulière peut être obtenue en
donnant des valeurs à y et w . Par exemple prenons w  1 et
y  2 . Remplaçons w par 1 dans la seconde équation, on
obtient z  3 . Remplaçons w par 1, z par 3 et y par 2 dans la
première équation, on trouve x  9 . Ainsi x  9 , y  2 , z  3
et w  1, ou le 4‐tuple  9,  2,3,1  est une solution particulière
du système.
La solution générale est de forme x  2 y  w  4 et z  2w  1
où y et w sont des réels arbitraires.
Théorème 3 : Un système d’équations linéaires homogène
avec plus d’inconnues que d’inconnues que d’équations admet
un solution non nulle.
Exemple 8 : Le système homogène
x  2 y  3z  w  0
x  3 y  z  2w  0
2 x  y  3z  5w  0
a une solution non nulle puisqu’il y a quatre inconnues et
seulement trois équations.
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12. Exemple 9 : Réduisons le système suivant à sa forme
échelonnée :
x  y 0 z x  y  z  0
2 x  3 y  z  0 5 y  3z  0
x  4 y  2z  0 5 y  3z  0
x  y  z  0
5 y  3z  0
Le système a une solution non nulle, puisque nous obtenons
seulement deux équations à trois inconnues dans la forme
échelonnée. Par exemple, soit z5 ; alors y3 et x  2 . En
d’autres termes le triplet  2,3,5  est une solution particulière
non nulle du système.
Exemple 10 : Réduisons le système suivant à sa forme
échelonnée :
x  y  z  0 x  y  z  0
2 x  4 y  z  0 2y  z  0
3x  2 y  2 z  0  y  5z  0
x  y  z  0
2y  z  0
11z  0
Dans la forme réduite échelonnée, il y a trois équations à trois
inconnues, le système admet seulement la solution nulle
 0,0,0  .
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