C HAPITRE 2: M ATRICES ET DÉTERMINANTS

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M ULTIPLICATION PAR UN NOMBRE RÉEL

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M ATRICE TRANSPOSÉE

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M ATRICE INVERSE

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D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1)

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R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES

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D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT

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C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT

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C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
                 L’ ORDRE

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C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
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C ALCUL DE L’ INVERSE

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                 Matrice adjointe adj (A):
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C ALCUL DE L’ INVERSE

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L A MÉTHODE DE C RAMER

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L A MÉTHODE DE C RAMER

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L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

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R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME

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Définitions       C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ):
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Math: matrices (French)

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Math: matrices (French)

  1. 1. C HAPITRE 2: M ATRICES ET DÉTERMINANTS MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions Terminologie Opérations somme multiplication Inverse Système linéaire Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  2. 2. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu definition Définitions Définitions terminologie Terminologie Opérations somme O PÉRATIONS : multiplication Inverse somme Système linéaire multiplication Résoudre Contrôle matrice inverse Déterminants et systèmes linéaires S YSTÈME LINÉAIRE : Déterminant Inverse Cramer Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
  3. 3. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu definition Définitions Définitions terminologie Terminologie Opérations somme O PÉRATIONS : multiplication Inverse somme Système linéaire multiplication Résoudre Contrôle matrice inverse Déterminants et systèmes linéaires S YSTÈME LINÉAIRE : Déterminant Inverse Cramer Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
  4. 4. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu definition Définitions Définitions terminologie Terminologie Opérations somme O PÉRATIONS : multiplication Inverse somme Système linéaire multiplication Résoudre Contrôle matrice inverse Déterminants et systèmes linéaires S YSTÈME LINÉAIRE : Déterminant Inverse Cramer Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
  5. 5. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu Définitions Définitions O PÉRATIONS : Terminologie Opérations somme multiplication S YSTÈME LINÉAIRE : Inverse Système résolution au moyen des matrices linéaire Résoudre contrôle de la validité Contrôle Déterminants et systèmes D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES : linéaires Déterminant calcul du déterminant Inverse Cramer calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant Synthèse système de Cramer
  6. 6. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu Définitions Définitions O PÉRATIONS : Terminologie Opérations somme multiplication S YSTÈME LINÉAIRE : Inverse Système résolution au moyen des matrices linéaire Résoudre contrôle de la validité Contrôle Déterminants et systèmes D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES : linéaires Déterminant calcul du déterminant Inverse Cramer calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant Synthèse système de Cramer
  7. 7. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   a11 a12 . . . a1j . . . a1l Définitions a Définitions  21 a22 . . . a2j . . . a2l   Terminologie  . . . .   . . . .  Opérations  . . ... . ... .  somme A est une matrice ⇐⇒ A =  . multiplication  ai1 ai2 ... aij . . . ail  Inverse  . . . .    Système  .. . . ... . . ... .  . linéaire Résoudre ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl Contrôle Déterminants et systèmes linéaires D ÉFINITION Déterminant Inverse k lignes et l colonnes → (k × l) matrix Cramer Synthèse élément aij ou ai ,j
  8. 8. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   a11 a12 . . . a1j . . . a1l Définitions a Définitions  21 a22 . . . a2j . . . a2l   Terminologie  . . . .   . . . .  Opérations  . . ... . ... .  somme A est une matrice ⇐⇒ A =  . multiplication  ai1 ai2 ... aij . . . ail  Inverse  . . . .    Système  .. . . ... . . ... .  . linéaire Résoudre ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl Contrôle Déterminants et systèmes linéaires D ÉFINITION Déterminant Inverse k lignes et l colonnes → (k × l) matrix Cramer Synthèse élément aij ou ai ,j
  9. 9. E XEMPLE MM001 Ch2. Aperçu E XEMPLE : Définitions   Définitions Terminologie 40 40 20 30 31 27 16 25 Opérations   A = 26 34 12 25 somme   multiplication 21 27 9 28 Inverse   Système linéaire 29 30 13 21 Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes 5 lignes et 4 colonnes → (5 × 4) matrix linéaires Déterminant élément a21 = 31 Inverse Cramer Synthèse
  10. 10. E XEMPLE MM001 Ch2. Aperçu E XEMPLE : Définitions   Définitions Terminologie 40 40 20 30 31 27 16 25 Opérations   A = 26 34 12 25 somme   multiplication 21 27 9 28 Inverse   Système linéaire 29 30 13 21 Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes 5 lignes et 4 colonnes → (5 × 4) matrix linéaires Déterminant élément a21 = 31 Inverse Cramer Synthèse
  11. 11. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0 Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie Opérations 0 0 0 somme 0= multiplication 0 0 0 Inverse Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l Déterminants et systèmes linéaires Déterminant E XEMPLE : Inverse −2 0 3   Cramer Synthèse A= 1 0 2 0 −4 1
  12. 12. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0 Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie Opérations 0 0 0 somme 0= multiplication 0 0 0 Inverse Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l Déterminants et systèmes linéaires Déterminant E XEMPLE : Inverse −2 0 3   Cramer Synthèse A= 1 0 2 0 −4 1
  13. 13. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie −2 0 3   Opérations somme multiplication A= 0 5 −4 Inverse 3 −4 1 Système linéaire Résoudre Contrôle D ÉFINITION Déterminants A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et et systèmes linéaires ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0 Déterminant Inverse Cramer E XEMPLE : Synthèse 1 0 I2 = 0 1
  14. 14. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie −2 0 3   Opérations somme multiplication A= 0 5 −4 Inverse 3 −4 1 Système linéaire Résoudre Contrôle D ÉFINITION Déterminants A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et et systèmes linéaires ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0 Déterminant Inverse Cramer E XEMPLE : Synthèse 1 0 I2 = 0 1
  15. 15. S OMME DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. D ÉFINITION a11 . . . a1l b11 b1l c11 c1l       Aperçu ... ... Définitions  . .. .   . .. . =  . .. .  Définitions  .. . . + .  . . . .   . . . . .  . Terminologie Opérations ak 1 . . . akl bk 1 . . . bkl ck 1 . . . ckl somme avec cij = aij + bij multiplication Inverse Système linéaire D ÉFINITION Résoudre Contrôle 1 opération interne: A + B est une matrice Déterminants et systèmes 2 associativité: A + (B + C) = (A + B) + C linéaires Déterminant 3 élément neutre: A + 0 = A Inverse Cramer 4 élément symétrique: A + (−A) = 0 Synthèse 5 commutativité: A + B = B + A
  16. 16. M ULTIPLICATION PAR UN NOMBRE RÉEL MM001 Ch2. D ÉFINITION a11 . . . a1l c11 c1l     ... Aperçu  . .. . = . .. .  Définitions k. .. . .   . . . . .  . Définitions Terminologie ak 1 . . . akl ck 1 . . . ckl Opérations somme avec cij = k .aij multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre ∀r , s ∈ R Contrôle Déterminants 1 première distributivité: r (A + B) = rA + rB et systèmes linéaires 2 deuxième distributivité: (r + s)A = rA + sA Déterminant Inverse Cramer 3 associativité mixte: rs(A) = r (sA) Synthèse 4 élément neutre: 1.A = A 5 élément absorbant: 0.A = 0
  17. 17. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   Définitions b1 Définitions b  Terminologie  2  .   .  Opérations  .  somme a1 a2 . . . ai . . . am .  = c multiplication Inverse  bi   .    .  Système linéaire .  Résoudre Contrôle bm Déterminants avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm et systèmes linéaires Déterminant Inverse D ÉFINITION Cramer A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1) Synthèse
  18. 18. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   Définitions b1 Définitions b  Terminologie  2  .   .  Opérations  .  somme a1 a2 . . . ai . . . am .  = c multiplication Inverse  bi   .    .  Système linéaire .  Résoudre Contrôle bm Déterminants avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm et systèmes linéaires Déterminant Inverse D ÉFINITION Cramer A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1) Synthèse
  19. 19. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 D ÉFINITION Ch2. a11 a1l c11 ... c1j ... c1n     ... Aperçu  . .. .  b  . . .  ... b1j ... b1n   . .   . . .   . . .   11  . ... . ... .  Définitions ail  .  . . .  c    a  i1 ...   . . .  =  i1 ... cij ... cin  Définitions  . . ... . ... .    Terminologie  . .. .  b .  ... blj ... bln  .  . . .   . . .  l1  . ... . . ... .  .  Opérations somme am1 ... aml cm1 ... cmj ... cmn multiplication Inverse avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle b1j   Déterminants b2j  et systèmes   linéaires Ai = ai1 ai2 ... ail Bj =  .   .  Déterminant  .  Inverse Cramer blj Synthèse D ÉFINITION A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
  20. 20. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 D ÉFINITION Ch2. a11 a1l c11 ... c1j ... c1n     ... Aperçu  . .. .  b  . . .  ... b1j ... b1n   . .   . . .   . . .   11  . ... . ... .  Définitions ail  .  . . .  c    a  i1 ...   . . .  =  i1 ... cij ... cin  Définitions  . . ... . ... .    Terminologie  . .. .  b .  ... blj ... bln  .  . . .   . . .  l1  . ... . . ... .  .  Opérations somme am1 ... aml cm1 ... cmj ... cmn multiplication Inverse avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle b1j   Déterminants b2j  et systèmes   linéaires Ai = ai1 ai2 ... ail Bj =  .   .  Déterminant  .  Inverse Cramer blj Synthèse D ÉFINITION A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
  21. 21. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 D ÉFINITION Ch2. a11 a1l c11 ... c1j ... c1n     ... Aperçu  . .. .  b  . . .  ... b1j ... b1n   . .   . . .   . . .   11  . ... . ... .  Définitions ail  .  . . .  c    a  i1 ...   . . .  =  i1 ... cij ... cin  Définitions  . . ... . ... .    Terminologie  . .. .  b .  ... blj ... bln  .  . . .   . . .  l1  . ... . . ... .  .  Opérations somme am1 ... aml cm1 ... cmj ... cmn multiplication Inverse avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle b1j   Déterminants b2j  et systèmes   linéaires Ai = ai1 ai2 ... ail Bj =  .   .  Déterminant  .  Inverse Cramer blj Synthèse D ÉFINITION A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
  22. 22. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme 1 pas de commutativité: A.B = B .A multiplication Inverse 2 associativité: A.(B .C) = (A.B).C Système linéaire 3 distributivité: A.(B + C) = (A.B) + (A.C) Résoudre Contrôle 4 élément neutre: A.In = In .A = A (avec A = (n × n)) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  23. 23. M ATRICE TRANSPOSÉE MM001 D ÉFINITION Ch2.   a11 . . . a1l Aperçu  .  . .. .  .   a11 ... ai1 ... am1  Définitions  . . . T = . . .    . .. .. . . .  Définitions A =  ai1 . . . ail ⇒A   Terminologie  . . . . . Opérations  . .. . .  a1l . . . ail . . . aml  . . .  somme  multiplication Inverse am1 . . . aml Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle Déterminants ∀k ∈ R et systèmes linéaires 1 (A + B)T = AT + B T Déterminant Inverse Cramer 2 (A.B)T = B T .AT Synthèse 3 (kA)T = k (AT ) 4 (AT )T = A
  24. 24. M ATRICE TRANSPOSÉE MM001 D ÉFINITION Ch2.   a11 . . . a1l Aperçu  .  . .. .  .   a11 ... ai1 ... am1  Définitions  . . . T = . . .    . .. .. . . .  Définitions A =  ai1 . . . ail ⇒A   Terminologie  . . . . . Opérations  . .. . .  a1l . . . ail . . . aml  . . .  somme  multiplication Inverse am1 . . . aml Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle Déterminants ∀k ∈ R et systèmes linéaires 1 (A + B)T = AT + B T Déterminant Inverse Cramer 2 (A.B)T = B T .AT Synthèse 3 (kA)T = k (AT ) 4 (AT )T = A
  25. 25. M ATRICE INVERSE MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION A . A−1 = A−1 . A = In Définitions Terminologie Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) somme (n×n) multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle 1 (A.B)−1 = B −1 .A−1 Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Le reste suit plus tard! Inverse Cramer Synthèse
  26. 26. M ATRICE INVERSE MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION A . A−1 = A−1 . A = In Définitions Terminologie Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) somme (n×n) multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle 1 (A.B)−1 = B −1 .A−1 Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Le reste suit plus tard! Inverse Cramer Synthèse
  27. 27. M ATRICE INVERSE MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION A . A−1 = A−1 . A = In Définitions Terminologie Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) somme (n×n) multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle 1 (A.B)−1 = B −1 .A−1 Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Le reste suit plus tard! Inverse Cramer Synthèse
  28. 28. T OUT LE MONDE : DEBOUT ! MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions Terminologie Opérations somme multiplication Inverse Système linéaire Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  29. 29. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1) MM001 Ch2. Aperçu D ÉFINITION Définitions Un système (ensemble) d’équations linéaires: Définitions Terminologie  Opérations  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  somme  multiplication  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Inverse . . Système    . linéaire  Résoudre  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Contrôle Déterminants et systèmes linéaires 1 m équations et n inconnues Déterminant Inverse Cramer 2 aij , bi ∈ R Synthèse
  30. 30. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1) MM001 Ch2. Aperçu D ÉFINITION Définitions Un système (ensemble) d’équations linéaires: Définitions Terminologie  Opérations  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  somme  multiplication  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Inverse . . Système    . linéaire  Résoudre  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Contrôle Déterminants et systèmes linéaires 1 m équations et n inconnues Déterminant Inverse Cramer 2 aij , bi ∈ R Synthèse
  31. 31. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1) MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu Un système (ensemble) d’équations linéaires: Définitions  Définitions  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  Terminologie   a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Opérations somme  .  . multiplication Inverse  .  Système  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm linéaire Résoudre Contrôle S OUS FORME MATRICIELLE : Déterminants       et systèmes linéaires a11 a12 . . . a1n x1 b1  a21 a22 . . . a2n  x2   b2  Déterminant       Inverse Cramer  .  . . . .. . . .  =  .  .  .  .  Synthèse  . . . .  .  .  am1 am2 . . . amn xn bm
  32. 32. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION Définitions Terminologie Si A−1 existe, on a: Opérations somme A.X = B multiplication Inverse ⇐⇒ A−1 .A.X = A−1 .B Système linéaire Résoudre ⇐⇒ I .X = A−1 .B Contrôle Déterminants ⇐⇒ X = A−1 .B et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  33. 33. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie 3x + 2y = 7 x =3 Opérations et somme 1x − 1y = 4 y = −1 multiplication Inverse Système linéaire C ONTRÔLE : Résoudre Contrôle 3 2 3 7 . = Déterminants et systèmes 1 −1 −1 4 linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  34. 34. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie 3x + 2y = 7 x =3 Opérations et somme 1x − 1y = 4 y = −1 multiplication Inverse Système linéaire C ONTRÔLE : Résoudre Contrôle 3 2 3 7 . = Déterminants et systèmes 1 −1 −1 4 linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  35. 35. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION Définitions Terminologie La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A| Opérations somme multiplication Inverse 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An ) Système linéaire 2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) Résoudre Contrôle 3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) = Déterminants det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An ) et systèmes linéaires 4 det(In ) = 1 Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  36. 36. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION Définitions Terminologie La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A| Opérations somme multiplication Inverse 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An ) Système linéaire 2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) Résoudre Contrôle 3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) = Déterminants det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An ) et systèmes linéaires 4 det(In ) = 1 Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  37. 37. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) Aperçu ⇒ detA = 0 Définitions Définitions 2 det(λA) = det(λA1 λA2 . . . λAi . . . λAn ) = λn detA Terminologie 3 det(A1 A2 . . . 0 . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai − Ai . . . An ) = Opérations somme det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) − det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = 0 multiplication Inverse n Système 4 det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai + λj Aj . . . An ) linéaire j =1,=i Résoudre   Contrôle a 0 ... 0 a 0 ... 0 Déterminants et systèmes   0 b . . . 0 0 b . . . 0  5 det  . . . = = a .b . . . . .z .. .  . . ... . linéaires . . . . . . Déterminant Inverse . . . . . . Cramer 0 0 ... z 0 0 ... z Synthèse 6 Ceci est aussi valable pour les lignes! (cfr plus loin)
  38. 38. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu n=2 Définitions Définitions a b Terminologie c d Opérations a+0 0+b somme = multiplication Inverse 0+c d +0 Système a 0+b 0 0+b linéaire = + Résoudre 0 d +0 c d +0 Contrôle a 0 a b 0 0 0 b Déterminants = + + + et systèmes linéaires 0 d 0 0 c d c 0 Déterminant = ad + 0 + 0 − bc Inverse Cramer = ad − bc Synthèse
  39. 39. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu Définitions n = 3(Sarrus) Définitions Terminologie a b c Opérations somme d e f multiplication Inverse g h i Système linéaire a b c a b c Résoudre Contrôle = d e f d e f Déterminants g h i g h i et systèmes linéaires = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  40. 40. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  41. 41. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  42. 42. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  43. 43. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  44. 44. C ALCUL DE L’ INVERSE MM001 D ÉFINITION Ch2. Matrice adjointe adj (A): Aperçu Définitions 1 Etablir AT Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij | Définitions Terminologie 2 Opérations somme multiplication Inverse D ÉFINITION Système adj (A) linéaire Matrice inverse A−1 = Résoudre Contrôle det(A) Déterminants et systèmes linéaires P ROPRIÉTÉS : Déterminant Inverse 1 det(A) = det(AT ) Cramer Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0 3 det(AB) = det(A)det(B)
  45. 45. C ALCUL DE L’ INVERSE MM001 D ÉFINITION Ch2. Matrice adjointe adj (A): Aperçu Définitions 1 Etablir AT Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij | Définitions Terminologie 2 Opérations somme multiplication Inverse D ÉFINITION Système adj (A) linéaire Matrice inverse A−1 = Résoudre Contrôle det(A) Déterminants et systèmes linéaires P ROPRIÉTÉS : Déterminant Inverse 1 det(A) = det(AT ) Cramer Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0 3 det(AB) = det(A)det(B)
  46. 46. C ALCUL DE L’ INVERSE MM001 D ÉFINITION Ch2. Matrice adjointe adj (A): Aperçu Définitions 1 Etablir AT Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij | Définitions Terminologie 2 Opérations somme multiplication Inverse D ÉFINITION Système adj (A) linéaire Matrice inverse A−1 = Résoudre Contrôle det(A) Déterminants et systèmes linéaires P ROPRIÉTÉS : Déterminant Inverse 1 det(A) = det(AT ) Cramer Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0 3 det(AB) = det(A)det(B)
  47. 47. L A MÉTHODE DE C RAMER MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu A . X = B et det(A) = 0 Définitions (n×n) (n×1) (n×1) Définitions Terminologie Opérations somme O N NOTE : multiplication Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) Système linéaire X = (X1 ) Résoudre Contrôle B = (B1 ) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant D ÉFINITION Inverse Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai ) xi = = Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
  48. 48. L A MÉTHODE DE C RAMER MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu A . X = B et det(A) = 0 Définitions (n×n) (n×1) (n×1) Définitions Terminologie Opérations somme O N NOTE : multiplication Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) Système linéaire X = (X1 ) Résoudre Contrôle B = (B1 ) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant D ÉFINITION Inverse Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai ) xi = = Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
  49. 49. L A MÉTHODE DE C RAMER MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu A . X = B et det(A) = 0 Définitions (n×n) (n×1) (n×1) Définitions Terminologie Opérations somme O N NOTE : multiplication Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) Système linéaire X = (X1 ) Résoudre Contrôle B = (B1 ) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant D ÉFINITION Inverse Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai ) xi = = Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
  50. 50. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 1: det(A) somme multiplication k 2k − 1 Inverse = −3k 2 − 2k + 1 Système 1 −3k linéaire Résoudre Contrôle Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminants et systèmes linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminant Inverse Cramer 7 2k − 1 Synthèse k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6 x= = −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
  51. 51. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 1: det(A) somme multiplication k 2k − 1 Inverse = −3k 2 − 2k + 1 Système 1 −3k linéaire Résoudre Contrôle Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminants et systèmes linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminant Inverse Cramer 7 2k − 1 Synthèse k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6 x= = −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
  52. 52. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 1: det(A) somme multiplication k 2k − 1 Inverse = −3k 2 − 2k + 1 Système 1 −3k linéaire Résoudre Contrôle Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminants et systèmes linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminant Inverse Cramer 7 2k − 1 Synthèse k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6 x= = −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
  53. 53. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu Définitions k 2k − 1 x 7 Définitions . = Terminologie 1 −3k y k −6 Opérations somme E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } multiplication Inverse 3 Système linéaire k 7 Résoudre Contrôle 1 k −6 k 2 − 6k − 7 Déterminants y= = et systèmes −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 linéaires Déterminant −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7 Inverse ⇒ 1 solutions: (x , y ) = ( , ) Cramer −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 Synthèse
  54. 54. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu Définitions k 2k − 1 x 7 Définitions . = Terminologie 1 −3k y k −6 Opérations somme E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } multiplication Inverse 3 Système linéaire k 7 Résoudre Contrôle 1 k −6 k 2 − 6k − 7 Déterminants y= = et systèmes −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 linéaires Déterminant −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7 Inverse ⇒ 1 solutions: (x , y ) = ( , ) Cramer −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 Synthèse
  55. 55. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 2 B : k = −1 somme multiplication −x − 3y = 7 Inverse Système +x + 3y = −7 linéaire Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t) Contrôle Déterminants et systèmes 1 linéaires E TAPPE 2 C : k = 3 Déterminant Inverse Cramer x −y = 2 Synthèse x − y = − 17 3 ⇒ solution
  56. 56. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 2 B : k = −1 somme multiplication −x − 3y = 7 Inverse Système +x + 3y = −7 linéaire Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t) Contrôle Déterminants et systèmes 1 linéaires E TAPPE 2 C : k = 3 Déterminant Inverse Cramer x −y = 2 Synthèse x − y = − 17 3 ⇒ solution
  57. 57. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 2 B : k = −1 somme multiplication −x − 3y = 7 Inverse Système +x + 3y = −7 linéaire Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t) Contrôle Déterminants et systèmes 1 linéaires E TAPPE 2 C : k = 3 Déterminant Inverse Cramer x −y = 2 Synthèse x − y = − 17 3 ⇒ solution
  58. 58. R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME MM001 Ch2. Aperçu Définitions C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ): Définitions Terminologie 1 par substitution Opérations somme 2 avec la méthode de Gauss multiplication Inverse 3 avec la méthode de Gauss-Jordan Système linéaire Résoudre C FR C H 2. ( MATRICES ): Contrôle Déterminants 1 par A−1 et systèmes linéaires 2 avec la méthode de Cramer Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  59. 59. R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME MM001 Ch2. Aperçu Définitions C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ): Définitions Terminologie 1 par substitution Opérations somme 2 avec la méthode de Gauss multiplication Inverse 3 avec la méthode de Gauss-Jordan Système linéaire Résoudre C FR C H 2. ( MATRICES ): Contrôle Déterminants 1 par A−1 et systèmes linéaires 2 avec la méthode de Cramer Déterminant Inverse Cramer Synthèse

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