1. C HAPITRE 2: M ATRICES ET DÉTERMINANTS
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
somme
multiplication
Inverse
Système
linéaire
Résoudre
Contrôle
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
2. A PERÇU
MM001
Ch2. D ÉFINITIONS :
Aperçu definition
Définitions
Définitions
terminologie
Terminologie
Opérations
somme O PÉRATIONS :
multiplication
Inverse somme
Système
linéaire
multiplication
Résoudre
Contrôle matrice inverse
Déterminants
et systèmes
linéaires S YSTÈME LINÉAIRE :
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
3. A PERÇU
MM001
Ch2. D ÉFINITIONS :
Aperçu definition
Définitions
Définitions
terminologie
Terminologie
Opérations
somme O PÉRATIONS :
multiplication
Inverse somme
Système
linéaire
multiplication
Résoudre
Contrôle matrice inverse
Déterminants
et systèmes
linéaires S YSTÈME LINÉAIRE :
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
4. A PERÇU
MM001
Ch2. D ÉFINITIONS :
Aperçu definition
Définitions
Définitions
terminologie
Terminologie
Opérations
somme O PÉRATIONS :
multiplication
Inverse somme
Système
linéaire
multiplication
Résoudre
Contrôle matrice inverse
Déterminants
et systèmes
linéaires S YSTÈME LINÉAIRE :
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
5. A PERÇU
MM001
Ch2. D ÉFINITIONS :
Aperçu
Définitions
Définitions
O PÉRATIONS :
Terminologie
Opérations
somme
multiplication
S YSTÈME LINÉAIRE :
Inverse
Système
résolution au moyen des matrices
linéaire
Résoudre
contrôle de la validité
Contrôle
Déterminants
et systèmes D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
linéaires
Déterminant calcul du déterminant
Inverse
Cramer
calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant
Synthèse
système de Cramer
6. A PERÇU
MM001
Ch2. D ÉFINITIONS :
Aperçu
Définitions
Définitions
O PÉRATIONS :
Terminologie
Opérations
somme
multiplication
S YSTÈME LINÉAIRE :
Inverse
Système
résolution au moyen des matrices
linéaire
Résoudre
contrôle de la validité
Contrôle
Déterminants
et systèmes D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
linéaires
Déterminant calcul du déterminant
Inverse
Cramer
calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant
Synthèse
système de Cramer
7. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
MM001
Ch2.
D ÉFINITION
Aperçu
a11 a12 . . . a1j . . . a1l
Définitions
a
Définitions
21 a22 . . . a2j . . . a2l
Terminologie . . . .
. . . .
Opérations . . ... . ... .
somme A est une matrice ⇐⇒ A = .
multiplication ai1 ai2 ... aij . . . ail
Inverse
. . . .
Système .. .
. ... .
. ... .
.
linéaire
Résoudre ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl
Contrôle
Déterminants
et systèmes
linéaires
D ÉFINITION
Déterminant
Inverse k lignes et l colonnes → (k × l) matrix
Cramer
Synthèse
élément aij ou ai ,j
8. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
MM001
Ch2.
D ÉFINITION
Aperçu
a11 a12 . . . a1j . . . a1l
Définitions
a
Définitions
21 a22 . . . a2j . . . a2l
Terminologie . . . .
. . . .
Opérations . . ... . ... .
somme A est une matrice ⇐⇒ A = .
multiplication ai1 ai2 ... aij . . . ail
Inverse
. . . .
Système .. .
. ... .
. ... .
.
linéaire
Résoudre ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl
Contrôle
Déterminants
et systèmes
linéaires
D ÉFINITION
Déterminant
Inverse k lignes et l colonnes → (k × l) matrix
Cramer
Synthèse
élément aij ou ai ,j
11. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
Aperçu
Définitions
Définitions E XEMPLE :
Terminologie
Opérations 0 0 0
somme 0=
multiplication 0 0 0
Inverse
Système
linéaire
Résoudre
D ÉFINITION
Contrôle
A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
E XEMPLE :
Inverse
−2 0 3
Cramer
Synthèse A= 1 0 2
0 −4 1
12. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
Aperçu
Définitions
Définitions E XEMPLE :
Terminologie
Opérations 0 0 0
somme 0=
multiplication 0 0 0
Inverse
Système
linéaire
Résoudre
D ÉFINITION
Contrôle
A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
E XEMPLE :
Inverse
−2 0 3
Cramer
Synthèse A= 1 0 2
0 −4 1
13. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
Aperçu
Définitions
Définitions
E XEMPLE :
Terminologie
−2 0 3
Opérations
somme
multiplication
A= 0 5 −4
Inverse 3 −4 1
Système
linéaire
Résoudre
Contrôle
D ÉFINITION
Déterminants A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et
et systèmes
linéaires ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0
Déterminant
Inverse
Cramer
E XEMPLE :
Synthèse
1 0
I2 =
0 1
14. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
Aperçu
Définitions
Définitions
E XEMPLE :
Terminologie
−2 0 3
Opérations
somme
multiplication
A= 0 5 −4
Inverse 3 −4 1
Système
linéaire
Résoudre
Contrôle
D ÉFINITION
Déterminants A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et
et systèmes
linéaires ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0
Déterminant
Inverse
Cramer
E XEMPLE :
Synthèse
1 0
I2 =
0 1
15. S OMME DE DEUX MATRICES
MM001
Ch2. D ÉFINITION
a11 . . . a1l b11 b1l c11 c1l
Aperçu ... ...
Définitions . .. . . .. . = . .. .
Définitions .. . . +
. .
. . . .
. . . .
.
Terminologie
Opérations
ak 1 . . . akl bk 1 . . . bkl ck 1 . . . ckl
somme avec cij = aij + bij
multiplication
Inverse
Système
linéaire D ÉFINITION
Résoudre
Contrôle 1 opération interne: A + B est une matrice
Déterminants
et systèmes
2 associativité: A + (B + C) = (A + B) + C
linéaires
Déterminant 3 élément neutre: A + 0 = A
Inverse
Cramer
4 élément symétrique: A + (−A) = 0
Synthèse
5 commutativité: A + B = B + A
16. M ULTIPLICATION PAR UN NOMBRE RÉEL
MM001
Ch2.
D ÉFINITION
a11 . . . a1l c11 c1l
...
Aperçu
. .. . = . .. .
Définitions k. .. . . .
. . . .
.
Définitions
Terminologie ak 1 . . . akl ck 1 . . . ckl
Opérations
somme
avec cij = k .aij
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre ∀r , s ∈ R
Contrôle
Déterminants
1 première distributivité: r (A + B) = rA + rB
et systèmes
linéaires 2 deuxième distributivité: (r + s)A = rA + sA
Déterminant
Inverse
Cramer
3 associativité mixte: rs(A) = r (sA)
Synthèse 4 élément neutre: 1.A = A
5 élément absorbant: 0.A = 0
17. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
MM001
Ch2.
D ÉFINITION
Aperçu
Définitions
b1
Définitions b
Terminologie 2
.
.
Opérations
.
somme
a1 a2 . . . ai . . . am . = c
multiplication
Inverse
bi
.
.
Système
linéaire
.
Résoudre
Contrôle
bm
Déterminants
avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
D ÉFINITION
Cramer
A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1)
Synthèse
18. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
MM001
Ch2.
D ÉFINITION
Aperçu
Définitions
b1
Définitions b
Terminologie 2
.
.
Opérations
.
somme
a1 a2 . . . ai . . . am . = c
multiplication
Inverse
bi
.
.
Système
linéaire
.
Résoudre
Contrôle
bm
Déterminants
avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
D ÉFINITION
Cramer
A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1)
Synthèse
22. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
Définitions
Terminologie D ÉFINITION
Opérations
somme
1 pas de commutativité: A.B = B .A
multiplication
Inverse 2 associativité: A.(B .C) = (A.B).C
Système
linéaire
3 distributivité: A.(B + C) = (A.B) + (A.C)
Résoudre
Contrôle 4 élément neutre: A.In = In .A = A (avec A = (n × n))
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
23. M ATRICE TRANSPOSÉE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
a11 . . . a1l
Aperçu .
. .. .
.
a11 ... ai1 ... am1
Définitions . . .
T = . . .
. .. ..
. . .
Définitions
A = ai1 . . . ail ⇒A
Terminologie
. . . . .
Opérations . .. .
.
a1l . . . ail . . . aml
. . .
somme
multiplication
Inverse am1 . . . aml
Système
linéaire
Résoudre D ÉFINITION
Contrôle
Déterminants ∀k ∈ R
et systèmes
linéaires 1 (A + B)T = AT + B T
Déterminant
Inverse
Cramer
2 (A.B)T = B T .AT
Synthèse 3 (kA)T = k (AT )
4 (AT )T = A
24. M ATRICE TRANSPOSÉE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
a11 . . . a1l
Aperçu .
. .. .
.
a11 ... ai1 ... am1
Définitions . . .
T = . . .
. .. ..
. . .
Définitions
A = ai1 . . . ail ⇒A
Terminologie
. . . . .
Opérations . .. .
.
a1l . . . ail . . . aml
. . .
somme
multiplication
Inverse am1 . . . aml
Système
linéaire
Résoudre D ÉFINITION
Contrôle
Déterminants ∀k ∈ R
et systèmes
linéaires 1 (A + B)T = AT + B T
Déterminant
Inverse
Cramer
2 (A.B)T = B T .AT
Synthèse 3 (kA)T = k (AT )
4 (AT )T = A
25. M ATRICE INVERSE
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
D ÉFINITION
A . A−1 = A−1 . A = In
Définitions
Terminologie
Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n)
somme
(n×n)
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
1 (A.B)−1 = B −1 .A−1
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Le reste suit plus tard!
Inverse
Cramer
Synthèse
26. M ATRICE INVERSE
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
D ÉFINITION
A . A−1 = A−1 . A = In
Définitions
Terminologie
Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n)
somme
(n×n)
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
1 (A.B)−1 = B −1 .A−1
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Le reste suit plus tard!
Inverse
Cramer
Synthèse
27. M ATRICE INVERSE
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
D ÉFINITION
A . A−1 = A−1 . A = In
Définitions
Terminologie
Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n)
somme
(n×n)
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
1 (A.B)−1 = B −1 .A−1
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Le reste suit plus tard!
Inverse
Cramer
Synthèse
28. T OUT LE MONDE : DEBOUT !
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
somme
multiplication
Inverse
Système
linéaire
Résoudre
Contrôle
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
29. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1)
MM001
Ch2.
Aperçu D ÉFINITION
Définitions Un système (ensemble) d’équations linéaires:
Définitions
Terminologie
Opérations a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
somme
multiplication
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
Inverse
.
.
Système
.
linéaire
Résoudre
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Contrôle
Déterminants
et systèmes
linéaires 1 m équations et n inconnues
Déterminant
Inverse
Cramer
2 aij , bi ∈ R
Synthèse
30. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1)
MM001
Ch2.
Aperçu D ÉFINITION
Définitions Un système (ensemble) d’équations linéaires:
Définitions
Terminologie
Opérations a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
somme
multiplication
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
Inverse
.
.
Système
.
linéaire
Résoudre
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Contrôle
Déterminants
et systèmes
linéaires 1 m équations et n inconnues
Déterminant
Inverse
Cramer
2 aij , bi ∈ R
Synthèse
32. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
D ÉFINITION
Définitions
Terminologie Si A−1 existe, on a:
Opérations
somme
A.X = B
multiplication
Inverse ⇐⇒ A−1 .A.X = A−1 .B
Système
linéaire
Résoudre
⇐⇒ I .X = A−1 .B
Contrôle
Déterminants
⇐⇒ X = A−1 .B
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
33. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
Définitions
E XEMPLE :
Terminologie
3x + 2y = 7 x =3
Opérations et
somme 1x − 1y = 4 y = −1
multiplication
Inverse
Système
linéaire C ONTRÔLE :
Résoudre
Contrôle 3 2 3 7
. =
Déterminants
et systèmes
1 −1 −1 4
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
34. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
Définitions
E XEMPLE :
Terminologie
3x + 2y = 7 x =3
Opérations et
somme 1x − 1y = 4 y = −1
multiplication
Inverse
Système
linéaire C ONTRÔLE :
Résoudre
Contrôle 3 2 3 7
. =
Déterminants
et systèmes
1 −1 −1 4
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
35. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
D ÉFINITION
Définitions
Terminologie
La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A|
Opérations
somme
multiplication
Inverse
1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An )
Système
linéaire
2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An )
Résoudre
Contrôle
3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) =
Déterminants det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An )
et systèmes
linéaires 4 det(In ) = 1
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
36. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions
D ÉFINITION
Définitions
Terminologie
La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A|
Opérations
somme
multiplication
Inverse
1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An )
Système
linéaire
2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An )
Résoudre
Contrôle
3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) =
Déterminants det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An )
et systèmes
linéaires 4 det(In ) = 1
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
37. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT
MM001
Ch2. 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An )
Aperçu ⇒ detA = 0
Définitions
Définitions
2 det(λA) = det(λA1 λA2 . . . λAi . . . λAn ) = λn detA
Terminologie
3 det(A1 A2 . . . 0 . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai − Ai . . . An ) =
Opérations
somme det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) − det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = 0
multiplication
Inverse n
Système
4 det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai + λj Aj . . . An )
linéaire j =1,=i
Résoudre
Contrôle
a 0 ... 0 a 0 ... 0
Déterminants
et systèmes
0 b . . . 0 0 b . . . 0
5 det . . . = = a .b . . . . .z
.. . . . ... .
linéaires
. . . . . .
Déterminant
Inverse
. . . . . .
Cramer
0 0 ... z 0 0 ... z
Synthèse
6 Ceci est aussi valable pour les lignes! (cfr plus loin)
38. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT
MM001
Ch2.
Aperçu n=2
Définitions
Définitions
a b
Terminologie c d
Opérations
a+0 0+b
somme
=
multiplication
Inverse
0+c d +0
Système a 0+b 0 0+b
linéaire = +
Résoudre 0 d +0 c d +0
Contrôle
a 0 a b 0 0 0 b
Déterminants = + + +
et systèmes
linéaires
0 d 0 0 c d c 0
Déterminant = ad + 0 + 0 − bc
Inverse
Cramer = ad − bc
Synthèse
39. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions n = 3(Sarrus)
Définitions
Terminologie
a b c
Opérations
somme d e f
multiplication
Inverse g h i
Système
linéaire
a b c a b c
Résoudre
Contrôle
= d e f d e f
Déterminants
g h i g h i
et systèmes
linéaires
= aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
40. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ ORDRE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie D ÉFINITION
Opérations
somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
Déterminant:
Déterminants n n
et systèmes
linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij
Déterminant
Inverse
i =1 j =1
Cramer
Synthèse
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
41. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ ORDRE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie D ÉFINITION
Opérations
somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
Déterminant:
Déterminants n n
et systèmes
linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij
Déterminant
Inverse
i =1 j =1
Cramer
Synthèse
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
42. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ ORDRE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie D ÉFINITION
Opérations
somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
Déterminant:
Déterminants n n
et systèmes
linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij
Déterminant
Inverse
i =1 j =1
Cramer
Synthèse
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
43. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
L’ ORDRE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie D ÉFINITION
Opérations
somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse
Système D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
Déterminant:
Déterminants n n
et systèmes
linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij
Déterminant
Inverse
i =1 j =1
Cramer
Synthèse
Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
44. C ALCUL DE L’ INVERSE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
Matrice adjointe adj (A):
Aperçu
Définitions
1 Etablir AT
Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij |
Définitions
Terminologie 2
Opérations
somme
multiplication
Inverse
D ÉFINITION
Système adj (A)
linéaire Matrice inverse A−1 =
Résoudre
Contrôle
det(A)
Déterminants
et systèmes
linéaires P ROPRIÉTÉS :
Déterminant
Inverse 1 det(A) = det(AT )
Cramer
Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0
3 det(AB) = det(A)det(B)
45. C ALCUL DE L’ INVERSE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
Matrice adjointe adj (A):
Aperçu
Définitions
1 Etablir AT
Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij |
Définitions
Terminologie 2
Opérations
somme
multiplication
Inverse
D ÉFINITION
Système adj (A)
linéaire Matrice inverse A−1 =
Résoudre
Contrôle
det(A)
Déterminants
et systèmes
linéaires P ROPRIÉTÉS :
Déterminant
Inverse 1 det(A) = det(AT )
Cramer
Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0
3 det(AB) = det(A)det(B)
46. C ALCUL DE L’ INVERSE
MM001
D ÉFINITION
Ch2.
Matrice adjointe adj (A):
Aperçu
Définitions
1 Etablir AT
Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij |
Définitions
Terminologie 2
Opérations
somme
multiplication
Inverse
D ÉFINITION
Système adj (A)
linéaire Matrice inverse A−1 =
Résoudre
Contrôle
det(A)
Déterminants
et systèmes
linéaires P ROPRIÉTÉS :
Déterminant
Inverse 1 det(A) = det(AT )
Cramer
Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0
3 det(AB) = det(A)det(B)
47. L A MÉTHODE DE C RAMER
MM001
Ch2.
O N DONNE :
Aperçu A . X = B et det(A) = 0
Définitions (n×n) (n×1) (n×1)
Définitions
Terminologie
Opérations
somme
O N NOTE :
multiplication
Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An )
Système
linéaire X = (X1 )
Résoudre
Contrôle B = (B1 )
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
D ÉFINITION
Inverse
Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai )
xi = =
Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
48. L A MÉTHODE DE C RAMER
MM001
Ch2.
O N DONNE :
Aperçu A . X = B et det(A) = 0
Définitions (n×n) (n×1) (n×1)
Définitions
Terminologie
Opérations
somme
O N NOTE :
multiplication
Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An )
Système
linéaire X = (X1 )
Résoudre
Contrôle B = (B1 )
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
D ÉFINITION
Inverse
Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai )
xi = =
Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
49. L A MÉTHODE DE C RAMER
MM001
Ch2.
O N DONNE :
Aperçu A . X = B et det(A) = 0
Définitions (n×n) (n×1) (n×1)
Définitions
Terminologie
Opérations
somme
O N NOTE :
multiplication
Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An )
Système
linéaire X = (X1 )
Résoudre
Contrôle B = (B1 )
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
D ÉFINITION
Inverse
Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai )
xi = =
Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
50. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
O N DONNE :
Ch2.
k 2k − 1 x 7
Aperçu . =
1 −3k y k −6
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
E TAPPE 1: det(A)
somme
multiplication k 2k − 1
Inverse = −3k 2 − 2k + 1
Système
1 −3k
linéaire
Résoudre
Contrôle
Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 }
3
Déterminants
et systèmes
linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
3
Déterminant
Inverse
Cramer 7 2k − 1
Synthèse
k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6
x= =
−3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
51. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
O N DONNE :
Ch2.
k 2k − 1 x 7
Aperçu . =
1 −3k y k −6
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
E TAPPE 1: det(A)
somme
multiplication k 2k − 1
Inverse = −3k 2 − 2k + 1
Système
1 −3k
linéaire
Résoudre
Contrôle
Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 }
3
Déterminants
et systèmes
linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
3
Déterminant
Inverse
Cramer 7 2k − 1
Synthèse
k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6
x= =
−3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
52. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
O N DONNE :
Ch2.
k 2k − 1 x 7
Aperçu . =
1 −3k y k −6
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
E TAPPE 1: det(A)
somme
multiplication k 2k − 1
Inverse = −3k 2 − 2k + 1
Système
1 −3k
linéaire
Résoudre
Contrôle
Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 }
3
Déterminants
et systèmes
linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
3
Déterminant
Inverse
Cramer 7 2k − 1
Synthèse
k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6
x= =
−3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
53. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
Ch2.
O N DONNE :
Aperçu
Définitions k 2k − 1 x 7
Définitions . =
Terminologie 1 −3k y k −6
Opérations
somme
E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
multiplication
Inverse
3
Système
linéaire k 7
Résoudre
Contrôle 1 k −6 k 2 − 6k − 7
Déterminants y= =
et systèmes −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
linéaires
Déterminant
−2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7
Inverse
⇒ 1 solutions: (x , y ) = ( , )
Cramer
−3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
Synthèse
54. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
Ch2.
O N DONNE :
Aperçu
Définitions k 2k − 1 x 7
Définitions . =
Terminologie 1 −3k y k −6
Opérations
somme
E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
multiplication
Inverse
3
Système
linéaire k 7
Résoudre
Contrôle 1 k −6 k 2 − 6k − 7
Déterminants y= =
et systèmes −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
linéaires
Déterminant
−2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7
Inverse
⇒ 1 solutions: (x , y ) = ( , )
Cramer
−3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
Synthèse
55. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
O N DONNE :
Ch2.
k 2k − 1 x 7
Aperçu . =
1 −3k y k −6
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
E TAPPE 2 B : k = −1
somme
multiplication −x − 3y = 7
Inverse
Système
+x + 3y = −7
linéaire
Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t)
Contrôle
Déterminants
et systèmes 1
linéaires E TAPPE 2 C : k = 3
Déterminant
Inverse
Cramer x −y = 2
Synthèse x − y = − 17
3
⇒ solution
56. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
O N DONNE :
Ch2.
k 2k − 1 x 7
Aperçu . =
1 −3k y k −6
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
E TAPPE 2 B : k = −1
somme
multiplication −x − 3y = 7
Inverse
Système
+x + 3y = −7
linéaire
Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t)
Contrôle
Déterminants
et systèmes 1
linéaires E TAPPE 2 C : k = 3
Déterminant
Inverse
Cramer x −y = 2
Synthèse x − y = − 17
3
⇒ solution
57. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE
MM001
O N DONNE :
Ch2.
k 2k − 1 x 7
Aperçu . =
1 −3k y k −6
Définitions
Définitions
Terminologie
Opérations
E TAPPE 2 B : k = −1
somme
multiplication −x − 3y = 7
Inverse
Système
+x + 3y = −7
linéaire
Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t)
Contrôle
Déterminants
et systèmes 1
linéaires E TAPPE 2 C : k = 3
Déterminant
Inverse
Cramer x −y = 2
Synthèse x − y = − 17
3
⇒ solution
58. R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ):
Définitions
Terminologie 1 par substitution
Opérations
somme
2 avec la méthode de Gauss
multiplication
Inverse 3 avec la méthode de Gauss-Jordan
Système
linéaire
Résoudre C FR C H 2. ( MATRICES ):
Contrôle
Déterminants 1 par A−1
et systèmes
linéaires 2 avec la méthode de Cramer
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse
59. R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME
MM001
Ch2.
Aperçu
Définitions C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ):
Définitions
Terminologie 1 par substitution
Opérations
somme
2 avec la méthode de Gauss
multiplication
Inverse 3 avec la méthode de Gauss-Jordan
Système
linéaire
Résoudre C FR C H 2. ( MATRICES ):
Contrôle
Déterminants 1 par A−1
et systèmes
linéaires 2 avec la méthode de Cramer
Déterminant
Inverse
Cramer
Synthèse