SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  59
Télécharger pour lire hors ligne
C HAPITRE 2: M ATRICES ET DÉTERMINANTS

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
somme
multiplication
Inverse


Système
linéaire
Résoudre
Contrôle

Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
A PERÇU

    MM001

     Ch2.        D ÉFINITIONS :
Aperçu               definition
Définitions
Définitions
                     terminologie
Terminologie

Opérations
somme            O PÉRATIONS :
multiplication
Inverse              somme
Système
linéaire
                     multiplication
Résoudre
Contrôle             matrice inverse
Déterminants
et systèmes
linéaires        S YSTÈME LINÉAIRE :
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse         D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
A PERÇU

    MM001

     Ch2.        D ÉFINITIONS :
Aperçu               definition
Définitions
Définitions
                     terminologie
Terminologie

Opérations
somme            O PÉRATIONS :
multiplication
Inverse              somme
Système
linéaire
                     multiplication
Résoudre
Contrôle             matrice inverse
Déterminants
et systèmes
linéaires        S YSTÈME LINÉAIRE :
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse         D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
A PERÇU

    MM001

     Ch2.        D ÉFINITIONS :
Aperçu               definition
Définitions
Définitions
                     terminologie
Terminologie

Opérations
somme            O PÉRATIONS :
multiplication
Inverse              somme
Système
linéaire
                     multiplication
Résoudre
Contrôle             matrice inverse
Déterminants
et systèmes
linéaires        S YSTÈME LINÉAIRE :
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse         D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
A PERÇU

    MM001

     Ch2.        D ÉFINITIONS :
Aperçu

Définitions
Définitions
                 O PÉRATIONS :
Terminologie

Opérations
somme
multiplication
                 S YSTÈME LINÉAIRE :
Inverse


Système
                     résolution au moyen des matrices
linéaire
Résoudre
                     contrôle de la validité
Contrôle

Déterminants
et systèmes      D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
linéaires
Déterminant          calcul du déterminant
Inverse
Cramer
                     calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant
Synthèse
                     système de Cramer
A PERÇU

    MM001

     Ch2.        D ÉFINITIONS :
Aperçu

Définitions
Définitions
                 O PÉRATIONS :
Terminologie

Opérations
somme
multiplication
                 S YSTÈME LINÉAIRE :
Inverse


Système
                     résolution au moyen des matrices
linéaire
Résoudre
                     contrôle de la validité
Contrôle

Déterminants
et systèmes      D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
linéaires
Déterminant          calcul du déterminant
Inverse
Cramer
                     calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant
Synthèse
                     système de Cramer
D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE

    MM001

     Ch2.
                 D ÉFINITION
Aperçu                                                                          
                                            a11 a12        . . . a1j   . . . a1l
Définitions
                                          a
Définitions
                                           21 a22         . . . a2j   . . . a2l 
                                                                                 
Terminologie                               .    .                .           . 
                                           .    .                .           . 
Opérations                                 .    .         ...    .    ...    . 
somme            A est une matrice ⇐⇒ A =                                       .
multiplication                             ai1 ai2        ...   aij   . . . ail 
Inverse
                                           .    .                .           . 
                                                                                
Système                                    ..   .
                                                 .         ...    .
                                                                  .    ...    . 
                                                                              .
linéaire
Résoudre                                        ak 1 ak 2 . . . akj    . . . akl
Contrôle

Déterminants
et systèmes
linéaires
                 D ÉFINITION
Déterminant
Inverse              k lignes et l colonnes → (k × l) matrix
Cramer


Synthèse
                     élément aij ou ai ,j
D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE

    MM001

     Ch2.
                 D ÉFINITION
Aperçu                                                                          
                                            a11 a12        . . . a1j   . . . a1l
Définitions
                                          a
Définitions
                                           21 a22         . . . a2j   . . . a2l 
                                                                                 
Terminologie                               .    .                .           . 
                                           .    .                .           . 
Opérations                                 .    .         ...    .    ...    . 
somme            A est une matrice ⇐⇒ A =                                       .
multiplication                             ai1 ai2        ...   aij   . . . ail 
Inverse
                                           .    .                .           . 
                                                                                
Système                                    ..   .
                                                 .         ...    .
                                                                  .    ...    . 
                                                                              .
linéaire
Résoudre                                        ak 1 ak 2 . . . akj    . . . akl
Contrôle

Déterminants
et systèmes
linéaires
                 D ÉFINITION
Déterminant
Inverse              k lignes et l colonnes → (k × l) matrix
Cramer


Synthèse
                     élément aij ou ai ,j
E XEMPLE

    MM001

     Ch2.

Aperçu
                 E XEMPLE :
Définitions                               
Définitions
Terminologie
                       40     40   20   30
                     31      27   16   25
Opérations                               
                 A = 26      34   12   25
somme
                                         
multiplication

                     21      27    9   28
Inverse
                                         
Système
linéaire               29     30   13   21
Résoudre
Contrôle

Déterminants
et systèmes          5 lignes et 4 colonnes → (5 × 4) matrix
linéaires
Déterminant          élément a21 = 31
Inverse
Cramer


Synthèse
E XEMPLE

    MM001

     Ch2.

Aperçu
                 E XEMPLE :
Définitions                               
Définitions
Terminologie
                       40     40   20   30
                     31      27   16   25
Opérations                               
                 A = 26      34   12   25
somme
                                         
multiplication

                     21      27    9   28
Inverse
                                         
Système
linéaire               29     30   13   21
Résoudre
Contrôle

Déterminants
et systèmes          5 lignes et 4 colonnes → (5 × 4) matrix
linéaires
Déterminant          élément a21 = 31
Inverse
Cramer


Synthèse
D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
Aperçu

Définitions
Définitions       E XEMPLE :
Terminologie

Opérations            0 0 0
somme            0=
multiplication        0 0 0
Inverse


Système
linéaire
Résoudre
                 D ÉFINITION
Contrôle
                 A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 E XEMPLE :
Inverse
                       −2 0      3
                                 
Cramer


Synthèse         A= 1      0    2
                       0      −4 1
D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0
Aperçu

Définitions
Définitions       E XEMPLE :
Terminologie

Opérations            0 0 0
somme            0=
multiplication        0 0 0
Inverse


Système
linéaire
Résoudre
                 D ÉFINITION
Contrôle
                 A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 E XEMPLE :
Inverse
                       −2 0      3
                                 
Cramer


Synthèse         A= 1      0    2
                       0      −4 1
D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
Aperçu

Définitions
Définitions
                 E XEMPLE :
Terminologie
                       −2 0   3
                               
Opérations
somme
multiplication
                 A= 0      5 −4
Inverse                3 −4 1
Système
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 D ÉFINITION
Déterminants     A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et
et systèmes
linéaires        ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0
Déterminant
Inverse
Cramer
                 E XEMPLE :
Synthèse
                        1 0
                 I2 =
                        0 1
D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji
Aperçu

Définitions
Définitions
                 E XEMPLE :
Terminologie
                       −2 0   3
                               
Opérations
somme
multiplication
                 A= 0      5 −4
Inverse                3 −4 1
Système
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 D ÉFINITION
Déterminants     A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et
et systèmes
linéaires        ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0
Déterminant
Inverse
Cramer
                 E XEMPLE :
Synthèse
                        1 0
                 I2 =
                        0 1
S OMME DE DEUX MATRICES

    MM001

     Ch2.        D ÉFINITION
                   a11 . . . a1l         b11          b1l    c11          c1l
                                                                       
Aperçu                                          ...                 ...
Définitions        .    ..    .         .     ..     . =  .     ..     . 
Définitions        ..      . . +
                              .          .
                                          .         . .   .
                                                       .      .         . . 
                                                                           .
Terminologie

Opérations
                  ak 1 . . . akl         bk 1   . . . bkl    ck 1   . . . ckl
somme            avec cij = aij + bij
multiplication
Inverse


Système
linéaire         D ÉFINITION
Résoudre
Contrôle           1   opération interne: A + B est une matrice
Déterminants
et systèmes
                   2   associativité: A + (B + C) = (A + B) + C
linéaires
Déterminant        3   élément neutre: A + 0 = A
Inverse
Cramer
                   4   élément symétrique: A + (−A) = 0
Synthèse
                   5   commutativité: A + B = B + A
M ULTIPLICATION PAR UN NOMBRE RÉEL

    MM001

     Ch2.
                 D ÉFINITION
                     a11 . . .   a1l   c11            c1l
                                                     
                                                ...
Aperçu
                    .    ..      . = .       ..     . 
Définitions       k. ..      .    .   .
                                  .     .           . . 
                                                       .
Définitions
Terminologie        ak 1 . . . akl       ck 1   . . . ckl
Opérations
somme
                 avec cij = k .aij
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre         ∀r , s ∈ R
Contrôle

Déterminants
                   1   première distributivité: r (A + B) = rA + rB
et systèmes
linéaires          2   deuxième distributivité: (r + s)A = rA + sA
Déterminant
Inverse
Cramer
                   3   associativité mixte: rs(A) = r (sA)
Synthèse           4   élément neutre: 1.A = A
                   5   élément absorbant: 0.A = 0
M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES

    MM001

     Ch2.
                 D ÉFINITION
Aperçu                                                   
Définitions
                                                    b1
Définitions                                         b 
Terminologie                                        2
                                                    . 
                                                    . 
Opérations
                                                    . 
somme
                  a1 a2 . . . ai        . . . am .       = c
multiplication
Inverse
                                                    bi   
                                                    .
                                                         
                                                    .
                                                          
Système
linéaire
                                                      .   
Résoudre
Contrôle
                                                   bm
Déterminants
                 avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
                 D ÉFINITION
Cramer
                 A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1)
Synthèse
M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES

    MM001

     Ch2.
                 D ÉFINITION
Aperçu                                                   
Définitions
                                                    b1
Définitions                                         b 
Terminologie                                        2
                                                    . 
                                                    . 
Opérations
                                                    . 
somme
                  a1 a2 . . . ai        . . . am .       = c
multiplication
Inverse
                                                    bi   
                                                    .
                                                         
                                                    .
                                                          
Système
linéaire
                                                      .   
Résoudre
Contrôle
                                                   bm
Déterminants
                 avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
                 D ÉFINITION
Cramer
                 A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1)
Synthèse
M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                     a11               a1l                                                  c11   ...   c1j    ...   c1n
                                                                                                                      
                            ...
Aperçu
                  .        ..          .  b                                           .               .            . 
                                                       ...   b1j           ...   b1n
                                                                                    
                  .                    .                                               .               .            . 
                  .             .      .   11                                         .       ...     .    ...     . 
Définitions
                                       ail  .  .            .                   .  c
                                                                                                                        
                 a
                  i1       ...              .              .                   .  =  i1      ...    cij   ...    cin 
Définitions
                  .                             .     ...    .            ...    .                                     
Terminologie      .        ..          .  b
                                        .             ...   blj           ...   bln
                                                                                         .
                                                                                         .               .            . 
                  .             .      .       l1                                      .       ...
                                                                                                          .
                                                                                                          .    ...
                                                                                                                       . 
                                                                                                                       . 
Opérations
somme
                     am1    ...        aml                                              cm1       ...   cmj    ...   cmn
multiplication
Inverse
                 avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj
Système
linéaire
Résoudre
                 D ÉFINITION
Contrôle
                                                                 b1j
                                                                      
Déterminants                                                 b2j 
et systèmes                                                   
linéaires        Ai = ai1            ai2   ...   ail    Bj =  . 
                                                              . 
Déterminant                                                   . 
Inverse
Cramer
                                                                 blj
Synthèse
                 D ÉFINITION
                 A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                     a11               a1l                                                  c11   ...   c1j    ...   c1n
                                                                                                                      
                            ...
Aperçu
                  .        ..          .  b                                           .               .            . 
                                                       ...   b1j           ...   b1n
                                                                                    
                  .                    .                                               .               .            . 
                  .             .      .   11                                         .       ...     .    ...     . 
Définitions
                                       ail  .  .            .                   .  c
                                                                                                                        
                 a
                  i1       ...              .              .                   .  =  i1      ...    cij   ...    cin 
Définitions
                  .                             .     ...    .            ...    .                                     
Terminologie      .        ..          .  b
                                        .             ...   blj           ...   bln
                                                                                         .
                                                                                         .               .            . 
                  .             .      .       l1                                      .       ...
                                                                                                          .
                                                                                                          .    ...
                                                                                                                       . 
                                                                                                                       . 
Opérations
somme
                     am1    ...        aml                                              cm1       ...   cmj    ...   cmn
multiplication
Inverse
                 avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj
Système
linéaire
Résoudre
                 D ÉFINITION
Contrôle
                                                                 b1j
                                                                      
Déterminants                                                 b2j 
et systèmes                                                   
linéaires        Ai = ai1            ai2   ...   ail    Bj =  . 
                                                              . 
Déterminant                                                   . 
Inverse
Cramer
                                                                 blj
Synthèse
                 D ÉFINITION
                 A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                     a11               a1l                                                  c11   ...   c1j    ...   c1n
                                                                                                                      
                            ...
Aperçu
                  .        ..          .  b                                           .               .            . 
                                                       ...   b1j           ...   b1n
                                                                                    
                  .                    .                                               .               .            . 
                  .             .      .   11                                         .       ...     .    ...     . 
Définitions
                                       ail  .  .            .                   .  c
                                                                                                                        
                 a
                  i1       ...              .              .                   .  =  i1      ...    cij   ...    cin 
Définitions
                  .                             .     ...    .            ...    .                                     
Terminologie      .        ..          .  b
                                        .             ...   blj           ...   bln
                                                                                         .
                                                                                         .               .            . 
                  .             .      .       l1                                      .       ...
                                                                                                          .
                                                                                                          .    ...
                                                                                                                       . 
                                                                                                                       . 
Opérations
somme
                     am1    ...        aml                                              cm1       ...   cmj    ...   cmn
multiplication
Inverse
                 avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj
Système
linéaire
Résoudre
                 D ÉFINITION
Contrôle
                                                                 b1j
                                                                      
Déterminants                                                 b2j 
et systèmes                                                   
linéaires        Ai = ai1            ai2   ...   ail    Bj =  . 
                                                              . 
Déterminant                                                   . 
Inverse
Cramer
                                                                 blj
Synthèse
                 D ÉFINITION
                 A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
Définitions
Terminologie     D ÉFINITION
Opérations
somme
                   1   pas de commutativité: A.B = B .A
multiplication
Inverse            2   associativité: A.(B .C) = (A.B).C
Système
linéaire
                   3   distributivité: A.(B + C) = (A.B) + (A.C)
Résoudre
Contrôle           4   élément neutre: A.In = In .A = A (avec A = (n × n))
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
M ATRICE TRANSPOSÉE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.                                
                       a11 . . .    a1l
Aperçu                .
                      .    ..       . 
                                     . 
                                                
                                                 a11    ...   ai1   ...   am1
                                                                            
Définitions            .       .     .
                                             T = .            .           . 
                                          
                                                 .     ..          ..
                                                            . .            . 
Définitions
                 A =  ai1 . . .    ail   ⇒A
                                         
Terminologie
                      .                           .           .        .  .
Opérations            .    ..       .
                                     .
                                          
                                                  a1l   . . . ail   . . . aml
                      .       .     .
                                          
somme                                     
multiplication
Inverse                am1 . . .    aml
Système
linéaire
Résoudre         D ÉFINITION
Contrôle

Déterminants     ∀k ∈ R
et systèmes
linéaires          1   (A + B)T = AT + B T
Déterminant
Inverse
Cramer
                   2   (A.B)T = B T .AT
Synthèse           3   (kA)T = k (AT )
                   4   (AT )T = A
M ATRICE TRANSPOSÉE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.                                
                       a11 . . .    a1l
Aperçu                .
                      .    ..       . 
                                     . 
                                                
                                                 a11    ...   ai1   ...   am1
                                                                            
Définitions            .       .     .
                                             T = .            .           . 
                                          
                                                 .     ..          ..
                                                            . .            . 
Définitions
                 A =  ai1 . . .    ail   ⇒A
                                         
Terminologie
                      .                           .           .        .  .
Opérations            .    ..       .
                                     .
                                          
                                                  a1l   . . . ail   . . . aml
                      .       .     .
                                          
somme                                     
multiplication
Inverse                am1 . . .    aml
Système
linéaire
Résoudre         D ÉFINITION
Contrôle

Déterminants     ∀k ∈ R
et systèmes
linéaires          1   (A + B)T = AT + B T
Déterminant
Inverse
Cramer
                   2   (A.B)T = B T .AT
Synthèse           3   (kA)T = k (AT )
                   4   (AT )T = A
M ATRICE INVERSE

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
                 D ÉFINITION
                  A . A−1 = A−1 . A = In
Définitions
Terminologie

Opérations       (n×n) (n×n)   (n×n) (n×n)
somme
                                             (n×n)
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
                   1   (A.B)−1 = B −1 .A−1
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 Le reste suit plus tard!
Inverse
Cramer


Synthèse
M ATRICE INVERSE

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
                 D ÉFINITION
                  A . A−1 = A−1 . A = In
Définitions
Terminologie

Opérations       (n×n) (n×n)   (n×n) (n×n)
somme
                                             (n×n)
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
                   1   (A.B)−1 = B −1 .A−1
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 Le reste suit plus tard!
Inverse
Cramer


Synthèse
M ATRICE INVERSE

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
                 D ÉFINITION
                  A . A−1 = A−1 . A = In
Définitions
Terminologie

Opérations       (n×n) (n×n)   (n×n) (n×n)
somme
                                             (n×n)
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
                   1   (A.B)−1 = B −1 .A−1
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 Le reste suit plus tard!
Inverse
Cramer


Synthèse
T OUT LE MONDE : DEBOUT !

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
somme
multiplication
Inverse


Système
linéaire
Résoudre
Contrôle

Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1)

    MM001

     Ch2.

Aperçu           D ÉFINITION
Définitions       Un système (ensemble) d’équations linéaires:
Définitions
Terminologie                      
Opérations                         a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
                                  
somme
                                  
multiplication
                                   a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
                                  
Inverse
                                      .
                                      .
Système
                                  
                                  
                                     .
linéaire                          
Résoudre
                                     am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Contrôle

Déterminants
et systèmes
linéaires          1   m équations et n inconnues
Déterminant
Inverse
Cramer
                   2   aij , bi ∈ R
Synthèse
D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1)

    MM001

     Ch2.

Aperçu           D ÉFINITION
Définitions       Un système (ensemble) d’équations linéaires:
Définitions
Terminologie                      
Opérations                         a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
                                  
somme
                                  
multiplication
                                   a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
                                  
Inverse
                                      .
                                      .
Système
                                  
                                  
                                     .
linéaire                          
Résoudre
                                     am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Contrôle

Déterminants
et systèmes
linéaires          1   m équations et n inconnues
Déterminant
Inverse
Cramer
                   2   aij , bi ∈ R
Synthèse
D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1)

    MM001

     Ch2.        D ÉFINITION
Aperçu
                 Un système (ensemble) d’équations linéaires:
Définitions                     
Définitions                      a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
                               
Terminologie                   
                                a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
                               
Opérations
somme
                                .
                                .
multiplication
Inverse
                                .
                               
Système
                                 am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 S OUS FORME MATRICIELLE :
Déterminants                            
et systèmes
linéaires
                   a11 a12 . . . a1n     x1     b1
                  a21 a22 . . . a2n  x2   b2 
Déterminant
                                        
Inverse
Cramer
                  .
                  .      .
                          .  ..    . . .  =  . 
                                   .  .  . 
Synthèse
                  .      .     .  .  .  . 
                   am1 am2 . . . amn     xn     bm
R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
                 D ÉFINITION
Définitions
Terminologie     Si A−1 existe, on a:
Opérations
somme
                                              A.X = B
multiplication
Inverse                                 ⇐⇒ A−1 .A.X = A−1 .B
Système
linéaire
Résoudre
                                          ⇐⇒ I .X = A−1 .B
Contrôle

Déterminants
                                           ⇐⇒ X = A−1 .B
et systèmes
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
Définitions
                 E XEMPLE :
Terminologie
                   3x + 2y = 7        x =3
Opérations                       et
somme              1x − 1y = 4        y = −1
multiplication
Inverse


Système
linéaire         C ONTRÔLE :
Résoudre
Contrôle          3 2   3   7
                      .   =
Déterminants
et systèmes
                  1 −1 −1   4
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
Définitions
                 E XEMPLE :
Terminologie
                   3x + 2y = 7        x =3
Opérations                       et
somme              1x − 1y = 4        y = −1
multiplication
Inverse


Système
linéaire         C ONTRÔLE :
Résoudre
Contrôle          3 2   3   7
                      .   =
Déterminants
et systèmes
                  1 −1 −1   4
linéaires
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
                 D ÉFINITION
Définitions
Terminologie
                 La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A|
Opérations
somme
multiplication
Inverse
                   1   det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An )
Système
linéaire
                   2   det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An )
Résoudre
Contrôle
                   3   det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) =
Déterminants           det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An )
et systèmes
linéaires          4   det(In ) = 1
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions
                 D ÉFINITION
Définitions
Terminologie
                 La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A|
Opérations
somme
multiplication
Inverse
                   1   det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An )
Système
linéaire
                   2   det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An )
Résoudre
Contrôle
                   3   det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) =
Déterminants           det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An )
et systèmes
linéaires          4   det(In ) = 1
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT

    MM001

     Ch2.          1   det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An )
Aperçu                 ⇒ detA = 0
Définitions
Définitions
                   2   det(λA) = det(λA1 λA2 . . . λAi . . . λAn ) = λn detA
Terminologie
                   3   det(A1 A2 . . . 0 . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai − Ai . . . An ) =
Opérations
somme                  det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) − det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = 0
multiplication
Inverse                                                                            n
Système
                   4   det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai +                λj Aj . . . An )
linéaire                                                                         j =1,=i
Résoudre                                        
Contrôle
                             a 0 ... 0       a 0 ... 0
Déterminants
et systèmes
                           
                            0 b . . . 0 0 b . . . 0
                                         
                   5   det  . . .       =                 = a .b . . . . .z
                                   .. .  . . ... .
linéaires
                           . .        . . .             .
Déterminant
Inverse
                           . .        .     . .          .
Cramer
                             0 0 ... z       0 0 ... z
Synthèse
                   6   Ceci est aussi valable pour les lignes! (cfr plus loin)
C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT

    MM001

     Ch2.

Aperçu           n=2
Définitions
Définitions
                 a b
Terminologie     c d
Opérations
                    a+0 0+b
somme
                 =
multiplication
Inverse
                    0+c d +0
Système             a 0+b        0 0+b
linéaire         =            +
Résoudre            0 d +0       c d +0
Contrôle
                    a 0      a b     0 0   0 b
Déterminants     =        +        +     +
et systèmes
linéaires
                    0 d      0 0     c d   c 0
Déterminant      = ad + 0 + 0 − bc
Inverse
Cramer           = ad − bc
Synthèse
C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions       n = 3(Sarrus)
Définitions
Terminologie
                  a b c
Opérations
somme            d e f
multiplication
Inverse          g h i
Système
linéaire
                    a b c a b c
Résoudre
Contrôle
                 = d e f d e f
Déterminants
                    g h i g h i
et systèmes
linéaires
                 = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
                 L’ ORDRE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
                 colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie     D ÉFINITION
Opérations
somme            Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 Déterminant:
Déterminants                         n                                  n
et systèmes
linéaires                det(A) =          aij Aij   ou     det(A) =          aij Aij
Déterminant
Inverse
                                    i =1                               j =1
Cramer


Synthèse


                 Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
                 L’ ORDRE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
                 colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie     D ÉFINITION
Opérations
somme            Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 Déterminant:
Déterminants                         n                                  n
et systèmes
linéaires                det(A) =          aij Aij   ou     det(A) =          aij Aij
Déterminant
Inverse
                                    i =1                               j =1
Cramer


Synthèse


                 Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
                 L’ ORDRE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
                 colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie     D ÉFINITION
Opérations
somme            Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 Déterminant:
Déterminants                         n                                  n
et systèmes
linéaires                det(A) =          aij Aij   ou     det(A) =          aij Aij
Déterminant
Inverse
                                    i =1                               j =1
Cramer


Synthèse


                 Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE
                 L’ ORDRE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la
Aperçu
                 colonne j et calculer det
Définitions
Définitions
Terminologie     D ÉFINITION
Opérations
somme            Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij |
multiplication
Inverse


Système          D ÉFINITION
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 Déterminant:
Déterminants                         n                                  n
et systèmes
linéaires                det(A) =          aij Aij   ou     det(A) =          aij Aij
Déterminant
Inverse
                                    i =1                               j =1
Cramer


Synthèse


                 Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
C ALCUL DE L’ INVERSE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 Matrice adjointe adj (A):
Aperçu

Définitions
                   1   Etablir AT
                       Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij |
Définitions
Terminologie       2
Opérations
somme
multiplication
Inverse
                 D ÉFINITION
Système                                    adj (A)
linéaire         Matrice inverse A−1 =
Résoudre
Contrôle
                                           det(A)
Déterminants
et systèmes
linéaires        P ROPRIÉTÉS :
Déterminant
Inverse            1   det(A) = det(AT )
Cramer


Synthèse           2   A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0
                   3   det(AB) = det(A)det(B)
C ALCUL DE L’ INVERSE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 Matrice adjointe adj (A):
Aperçu

Définitions
                   1   Etablir AT
                       Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij |
Définitions
Terminologie       2
Opérations
somme
multiplication
Inverse
                 D ÉFINITION
Système                                    adj (A)
linéaire         Matrice inverse A−1 =
Résoudre
Contrôle
                                           det(A)
Déterminants
et systèmes
linéaires        P ROPRIÉTÉS :
Déterminant
Inverse            1   det(A) = det(AT )
Cramer


Synthèse           2   A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0
                   3   det(AB) = det(A)det(B)
C ALCUL DE L’ INVERSE

    MM001
                 D ÉFINITION
     Ch2.
                 Matrice adjointe adj (A):
Aperçu

Définitions
                   1   Etablir AT
                       Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij |
Définitions
Terminologie       2
Opérations
somme
multiplication
Inverse
                 D ÉFINITION
Système                                    adj (A)
linéaire         Matrice inverse A−1 =
Résoudre
Contrôle
                                           det(A)
Déterminants
et systèmes
linéaires        P ROPRIÉTÉS :
Déterminant
Inverse            1   det(A) = det(AT )
Cramer


Synthèse           2   A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0
                   3   det(AB) = det(A)det(B)
L A MÉTHODE DE C RAMER

    MM001

     Ch2.
                 O N DONNE :

Aperçu                         A . X = B                     et    det(A) = 0
Définitions                    (n×n) (n×1)      (n×1)
Définitions
Terminologie

Opérations
somme
                 O N NOTE :
multiplication
Inverse              A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An )
Système
linéaire             X = (X1 )
Résoudre
Contrôle             B = (B1 )
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 D ÉFINITION
Inverse
Cramer                           det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai )
                          xi =                                            =
Synthèse                         det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
L A MÉTHODE DE C RAMER

    MM001

     Ch2.
                 O N DONNE :

Aperçu                         A . X = B                     et    det(A) = 0
Définitions                    (n×n) (n×1)      (n×1)
Définitions
Terminologie

Opérations
somme
                 O N NOTE :
multiplication
Inverse              A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An )
Système
linéaire             X = (X1 )
Résoudre
Contrôle             B = (B1 )
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 D ÉFINITION
Inverse
Cramer                           det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai )
                          xi =                                            =
Synthèse                         det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
L A MÉTHODE DE C RAMER

    MM001

     Ch2.
                 O N DONNE :

Aperçu                         A . X = B                     et    det(A) = 0
Définitions                    (n×n) (n×1)      (n×1)
Définitions
Terminologie

Opérations
somme
                 O N NOTE :
multiplication
Inverse              A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An )
Système
linéaire             X = (X1 )
Résoudre
Contrôle             B = (B1 )
Déterminants
et systèmes
linéaires
Déterminant
                 D ÉFINITION
Inverse
Cramer                           det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai )
                          xi =                                            =
Synthèse                         det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001
                 O N DONNE :
     Ch2.
                                        k 2k − 1 x      7
Aperçu                                          .   =
                                        1 −3k     y   k −6
Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
                 E TAPPE 1: det(A)
somme
multiplication                         k 2k − 1
Inverse                                         = −3k 2 − 2k + 1
Système
                                       1 −3k
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 }
                                                                      3
Déterminants
et systèmes
linéaires        E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
                                        3
Déterminant
Inverse
Cramer                                  7   2k − 1
Synthèse
                                      k − 6 −3k           −2k 2 − 21k − 6
                                x=                    =
                                     −3k 2 − 2k + 1       −3k 2 − 2k + 1
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001
                 O N DONNE :
     Ch2.
                                        k 2k − 1 x      7
Aperçu                                          .   =
                                        1 −3k     y   k −6
Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
                 E TAPPE 1: det(A)
somme
multiplication                         k 2k − 1
Inverse                                         = −3k 2 − 2k + 1
Système
                                       1 −3k
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 }
                                                                      3
Déterminants
et systèmes
linéaires        E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
                                        3
Déterminant
Inverse
Cramer                                  7   2k − 1
Synthèse
                                      k − 6 −3k           −2k 2 − 21k − 6
                                x=                    =
                                     −3k 2 − 2k + 1       −3k 2 − 2k + 1
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001
                 O N DONNE :
     Ch2.
                                        k 2k − 1 x      7
Aperçu                                          .   =
                                        1 −3k     y   k −6
Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
                 E TAPPE 1: det(A)
somme
multiplication                         k 2k − 1
Inverse                                         = −3k 2 − 2k + 1
Système
                                       1 −3k
linéaire
Résoudre
Contrôle
                 Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 }
                                                                      3
Déterminants
et systèmes
linéaires        E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
                                        3
Déterminant
Inverse
Cramer                                  7   2k − 1
Synthèse
                                      k − 6 −3k           −2k 2 − 21k − 6
                                x=                    =
                                     −3k 2 − 2k + 1       −3k 2 − 2k + 1
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001

     Ch2.
                 O N DONNE :
Aperçu

Définitions                              k 2k − 1 x      7
Définitions                                      .   =
Terminologie                            1 −3k     y   k −6
Opérations
somme


                 E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
multiplication
Inverse
                                        3
Système
linéaire                                 k   7
Résoudre
Contrôle                                 1 k −6             k 2 − 6k − 7
Déterminants                     y=                    =
et systèmes                           −3k 2 − 2k + 1       −3k 2 − 2k + 1
linéaires
Déterminant
                                               −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7
Inverse
                 ⇒ 1 solutions: (x , y ) = (                     ,           )
Cramer
                                               −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
Synthèse
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001

     Ch2.
                 O N DONNE :
Aperçu

Définitions                              k 2k − 1 x      7
Définitions                                      .   =
Terminologie                            1 −3k     y   k −6
Opérations
somme


                 E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 }
multiplication
Inverse
                                        3
Système
linéaire                                 k   7
Résoudre
Contrôle                                 1 k −6             k 2 − 6k − 7
Déterminants                     y=                    =
et systèmes                           −3k 2 − 2k + 1       −3k 2 − 2k + 1
linéaires
Déterminant
                                               −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7
Inverse
                 ⇒ 1 solutions: (x , y ) = (                     ,           )
Cramer
                                               −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
Synthèse
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001
                 O N DONNE :
     Ch2.
                                        k 2k − 1 x      7
Aperçu                                          .   =
                                        1 −3k     y   k −6
Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
                 E TAPPE 2 B : k = −1
somme
multiplication                               −x − 3y = 7
Inverse


Système
                                             +x + 3y = −7
linéaire
Résoudre         ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t)
Contrôle

Déterminants
et systèmes                        1
linéaires        E TAPPE 2 C : k = 3
Déterminant
Inverse
Cramer                                        x −y = 2
Synthèse                                      x − y = − 17
                                                         3
                 ⇒    solution
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001
                 O N DONNE :
     Ch2.
                                        k 2k − 1 x      7
Aperçu                                          .   =
                                        1 −3k     y   k −6
Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
                 E TAPPE 2 B : k = −1
somme
multiplication                               −x − 3y = 7
Inverse


Système
                                             +x + 3y = −7
linéaire
Résoudre         ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t)
Contrôle

Déterminants
et systèmes                        1
linéaires        E TAPPE 2 C : k = 3
Déterminant
Inverse
Cramer                                        x −y = 2
Synthèse                                      x − y = − 17
                                                         3
                 ⇒    solution
L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE

    MM001
                 O N DONNE :
     Ch2.
                                        k 2k − 1 x      7
Aperçu                                          .   =
                                        1 −3k     y   k −6
Définitions
Définitions
Terminologie

Opérations
                 E TAPPE 2 B : k = −1
somme
multiplication                               −x − 3y = 7
Inverse


Système
                                             +x + 3y = −7
linéaire
Résoudre         ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t)
Contrôle

Déterminants
et systèmes                        1
linéaires        E TAPPE 2 C : k = 3
Déterminant
Inverse
Cramer                                        x −y = 2
Synthèse                                      x − y = − 17
                                                         3
                 ⇒    solution
R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions       C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ):
Définitions
Terminologie       1   par substitution
Opérations
somme
                   2   avec la méthode de Gauss
multiplication
Inverse            3   avec la méthode de Gauss-Jordan
Système
linéaire
Résoudre         C FR C H 2. ( MATRICES ):
Contrôle

Déterminants       1   par A−1
et systèmes
linéaires          2   avec la méthode de Cramer
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse
R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME

    MM001

     Ch2.

Aperçu

Définitions       C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ):
Définitions
Terminologie       1   par substitution
Opérations
somme
                   2   avec la méthode de Gauss
multiplication
Inverse            3   avec la méthode de Gauss-Jordan
Système
linéaire
Résoudre         C FR C H 2. ( MATRICES ):
Contrôle

Déterminants       1   par A−1
et systèmes
linéaires          2   avec la méthode de Cramer
Déterminant
Inverse
Cramer


Synthèse

Contenu connexe

Tendances

Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_
Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_
Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_mohamedchaouche
 
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.bilal001
 
Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes
Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennesLocalisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes
Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennesAhmed Ammar Rebai PhD
 
Cours rep etat
Cours rep etatCours rep etat
Cours rep etatLin Pepin
 
Cours8 Introduction à la représentation d'état
Cours8 Introduction à la représentation d'étatCours8 Introduction à la représentation d'état
Cours8 Introduction à la représentation d'étatsarah Benmerzouk
 
Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)
Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)
Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)Pierre Robentz Cassion
 
Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiares
Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non LinéiaresAnalyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiares
Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiaresbilal001
 
Corrige1 si-1-centrale-psi-2005
Corrige1 si-1-centrale-psi-2005Corrige1 si-1-centrale-psi-2005
Corrige1 si-1-centrale-psi-2005Achraf Ourti
 
Théorie 1234
Théorie 1234Théorie 1234
Théorie 1234goosyboy
 
C4 logique sequen
C4 logique sequenC4 logique sequen
C4 logique sequenghislane
 

Tendances (13)

Cours regression 4
Cours regression 4Cours regression 4
Cours regression 4
 
Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_
Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_
Cours d econometrie_professeur_philippe_deschamps_edition_
 
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
Analyse Numérique Chapitre 2: Systèmes d'Équations Linéaires.
 
Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes
Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennesLocalisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes
Localisation d’une source émettrice par un réseau d’antennes
 
Cours rep etat
Cours rep etatCours rep etat
Cours rep etat
 
Cours8 Introduction à la représentation d'état
Cours8 Introduction à la représentation d'étatCours8 Introduction à la représentation d'état
Cours8 Introduction à la représentation d'état
 
Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)
Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)
Regression lineaire Multiple (Autosaved) (Autosaved)
 
Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiares
Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non LinéiaresAnalyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiares
Analyse Numérique Chapitre 1: Équations Non Linéiares
 
Corrige1 si-1-centrale-psi-2005
Corrige1 si-1-centrale-psi-2005Corrige1 si-1-centrale-psi-2005
Corrige1 si-1-centrale-psi-2005
 
Determinanant
DeterminanantDeterminanant
Determinanant
 
Chap07
Chap07Chap07
Chap07
 
Théorie 1234
Théorie 1234Théorie 1234
Théorie 1234
 
C4 logique sequen
C4 logique sequenC4 logique sequen
C4 logique sequen
 

En vedette

Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1
Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1
Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1Nicolas Georgeault
 
Le marché aux Puces de Paris
Le marché aux Puces de ParisLe marché aux Puces de Paris
Le marché aux Puces de Parisadam eva
 
Titrisation
TitrisationTitrisation
TitrisationMed Med
 
Vivir En Una Iglesia
Vivir En Una IglesiaVivir En Una Iglesia
Vivir En Una Iglesiaadam eva
 
Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...
Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...
Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...Formation 3.0
 
Utiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la recherche
Utiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la rechercheUtiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la recherche
Utiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la rechercheURFIST de Rennes
 
Visual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mind
Visual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mindVisual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mind
Visual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mindFormation 3.0
 
Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?
Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?
Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?Virginie Colombel
 
Portfolio de mon expérience de traductrice
Portfolio de mon expérience de traductricePortfolio de mon expérience de traductrice
Portfolio de mon expérience de traductriceVanessa Diservi
 
Difficultés de traduction
Difficultés de traductionDifficultés de traduction
Difficultés de traductionAlain Lescart
 
Paris de l'art à la photo
Paris de l'art à la photoParis de l'art à la photo
Paris de l'art à la photoFrancuski.fr
 
Recetas De Chocolate Ppt #5
Recetas De Chocolate Ppt #5Recetas De Chocolate Ppt #5
Recetas De Chocolate Ppt #5upkibeitia2
 
The Top Skills That Can Get You Hired in 2017
The Top Skills That Can Get You Hired in 2017The Top Skills That Can Get You Hired in 2017
The Top Skills That Can Get You Hired in 2017LinkedIn
 
What's Trending in Talent and Learning for 2016?
What's Trending in Talent and Learning for 2016?What's Trending in Talent and Learning for 2016?
What's Trending in Talent and Learning for 2016?Skillsoft
 
Digitized Student Development, Social Media, and Identity
Digitized Student Development, Social Media, and IdentityDigitized Student Development, Social Media, and Identity
Digitized Student Development, Social Media, and IdentityPaul Brown
 

En vedette (18)

Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1
Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1
Seminaire Negotium - Back from Vegas - part1
 
Le marché aux Puces de Paris
Le marché aux Puces de ParisLe marché aux Puces de Paris
Le marché aux Puces de Paris
 
Titrisation
TitrisationTitrisation
Titrisation
 
Vivir En Una Iglesia
Vivir En Una IglesiaVivir En Una Iglesia
Vivir En Una Iglesia
 
Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...
Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...
Etudiez en secondaire avec la pensee visuelle - mindmapping, carte conceptuel...
 
Utiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la recherche
Utiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la rechercheUtiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la recherche
Utiliser les cartes heuristiques pour l'enseignement et la recherche
 
Visual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mind
Visual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mindVisual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mind
Visual mapping pour starters et entrepreneurs avec x mind
 
Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?
Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?
Réaliser une infographie : comment et avec quels outils ?
 
Le traitement de l’erreur
Le traitement de l’erreurLe traitement de l’erreur
Le traitement de l’erreur
 
Portfolio de mon expérience de traductrice
Portfolio de mon expérience de traductricePortfolio de mon expérience de traductrice
Portfolio de mon expérience de traductrice
 
Difficultés de traduction
Difficultés de traductionDifficultés de traduction
Difficultés de traduction
 
Plaquette Copti V2
Plaquette Copti V2Plaquette Copti V2
Plaquette Copti V2
 
Paris de l'art à la photo
Paris de l'art à la photoParis de l'art à la photo
Paris de l'art à la photo
 
Recetas De Chocolate Ppt #5
Recetas De Chocolate Ppt #5Recetas De Chocolate Ppt #5
Recetas De Chocolate Ppt #5
 
Services et expertises de COPTI Assureur Conseil
Services et expertises de COPTI Assureur ConseilServices et expertises de COPTI Assureur Conseil
Services et expertises de COPTI Assureur Conseil
 
The Top Skills That Can Get You Hired in 2017
The Top Skills That Can Get You Hired in 2017The Top Skills That Can Get You Hired in 2017
The Top Skills That Can Get You Hired in 2017
 
What's Trending in Talent and Learning for 2016?
What's Trending in Talent and Learning for 2016?What's Trending in Talent and Learning for 2016?
What's Trending in Talent and Learning for 2016?
 
Digitized Student Development, Social Media, and Identity
Digitized Student Development, Social Media, and IdentityDigitized Student Development, Social Media, and Identity
Digitized Student Development, Social Media, and Identity
 

Similaire à Math: matrices (French)

Chapitre2 Calcul matriciel.pdf
Chapitre2 Calcul matriciel.pdfChapitre2 Calcul matriciel.pdf
Chapitre2 Calcul matriciel.pdfYoussefimami1
 
Cours analyse-num source1
Cours analyse-num source1Cours analyse-num source1
Cours analyse-num source1Lacina Zina
 
Al7 ma27tepa0009 sequence-02
Al7 ma27tepa0009 sequence-02Al7 ma27tepa0009 sequence-02
Al7 ma27tepa0009 sequence-02tarek1961moussa
 
Calcul matriciel-systemes-lineaires
Calcul matriciel-systemes-lineairesCalcul matriciel-systemes-lineaires
Calcul matriciel-systemes-lineairesm.a bensaaoud
 
Laffly regression multiple
Laffly regression multipleLaffly regression multiple
Laffly regression multiplemohamedchaouche
 
Logique 1 Logiciel Controle De Gestion
Logique 1 Logiciel Controle De GestionLogique 1 Logiciel Controle De Gestion
Logique 1 Logiciel Controle De Gestionthierry_le_chapois
 
(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)
(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)
(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)mohamedchaouche
 
diaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptx
diaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptxdiaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptx
diaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptxYassineBenkraouda
 
Thèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumièreThèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumièreStéphane Salmons
 
01_LES_TENSEURS.pdf
01_LES_TENSEURS.pdf01_LES_TENSEURS.pdf
01_LES_TENSEURS.pdfNSANGOU1
 

Similaire à Math: matrices (French) (18)

Matrices 2
Matrices 2 Matrices 2
Matrices 2
 
Algebre
AlgebreAlgebre
Algebre
 
Cours
CoursCours
Cours
 
Algébre(2)
Algébre(2)Algébre(2)
Algébre(2)
 
Chapitre2 Calcul matriciel.pdf
Chapitre2 Calcul matriciel.pdfChapitre2 Calcul matriciel.pdf
Chapitre2 Calcul matriciel.pdf
 
Cours analyse-num source1
Cours analyse-num source1Cours analyse-num source1
Cours analyse-num source1
 
Al7 ma27tepa0009 sequence-02
Al7 ma27tepa0009 sequence-02Al7 ma27tepa0009 sequence-02
Al7 ma27tepa0009 sequence-02
 
Matrices 2
Matrices 2Matrices 2
Matrices 2
 
Calcul matriciel-systemes-lineaires
Calcul matriciel-systemes-lineairesCalcul matriciel-systemes-lineaires
Calcul matriciel-systemes-lineaires
 
02systemediapo.pdf
02systemediapo.pdf02systemediapo.pdf
02systemediapo.pdf
 
04 cours matrices_suites
04 cours matrices_suites04 cours matrices_suites
04 cours matrices_suites
 
seance-07.pdf
seance-07.pdfseance-07.pdf
seance-07.pdf
 
Laffly regression multiple
Laffly regression multipleLaffly regression multiple
Laffly regression multiple
 
Logique 1 Logiciel Controle De Gestion
Logique 1 Logiciel Controle De GestionLogique 1 Logiciel Controle De Gestion
Logique 1 Logiciel Controle De Gestion
 
(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)
(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)
(Statdes regression biv_ensta_21oct2010)
 
diaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptx
diaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptxdiaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptx
diaporama2020_cours-etude_frequentielle.pptx
 
Thèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumièreThèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumière
 
01_LES_TENSEURS.pdf
01_LES_TENSEURS.pdf01_LES_TENSEURS.pdf
01_LES_TENSEURS.pdf
 

Math: matrices (French)

  • 1. C HAPITRE 2: M ATRICES ET DÉTERMINANTS MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions Terminologie Opérations somme multiplication Inverse Système linéaire Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 2. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu definition Définitions Définitions terminologie Terminologie Opérations somme O PÉRATIONS : multiplication Inverse somme Système linéaire multiplication Résoudre Contrôle matrice inverse Déterminants et systèmes linéaires S YSTÈME LINÉAIRE : Déterminant Inverse Cramer Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
  • 3. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu definition Définitions Définitions terminologie Terminologie Opérations somme O PÉRATIONS : multiplication Inverse somme Système linéaire multiplication Résoudre Contrôle matrice inverse Déterminants et systèmes linéaires S YSTÈME LINÉAIRE : Déterminant Inverse Cramer Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
  • 4. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu definition Définitions Définitions terminologie Terminologie Opérations somme O PÉRATIONS : multiplication Inverse somme Système linéaire multiplication Résoudre Contrôle matrice inverse Déterminants et systèmes linéaires S YSTÈME LINÉAIRE : Déterminant Inverse Cramer Synthèse D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES :
  • 5. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu Définitions Définitions O PÉRATIONS : Terminologie Opérations somme multiplication S YSTÈME LINÉAIRE : Inverse Système résolution au moyen des matrices linéaire Résoudre contrôle de la validité Contrôle Déterminants et systèmes D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES : linéaires Déterminant calcul du déterminant Inverse Cramer calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant Synthèse système de Cramer
  • 6. A PERÇU MM001 Ch2. D ÉFINITIONS : Aperçu Définitions Définitions O PÉRATIONS : Terminologie Opérations somme multiplication S YSTÈME LINÉAIRE : Inverse Système résolution au moyen des matrices linéaire Résoudre contrôle de la validité Contrôle Déterminants et systèmes D ÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES : linéaires Déterminant calcul du déterminant Inverse Cramer calcul de l’inverse au moyen d’un déterminant Synthèse système de Cramer
  • 7. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   a11 a12 . . . a1j . . . a1l Définitions a Définitions  21 a22 . . . a2j . . . a2l   Terminologie  . . . .   . . . .  Opérations  . . ... . ... .  somme A est une matrice ⇐⇒ A =  . multiplication  ai1 ai2 ... aij . . . ail  Inverse  . . . .    Système  .. . . ... . . ... .  . linéaire Résoudre ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl Contrôle Déterminants et systèmes linéaires D ÉFINITION Déterminant Inverse k lignes et l colonnes → (k × l) matrix Cramer Synthèse élément aij ou ai ,j
  • 8. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   a11 a12 . . . a1j . . . a1l Définitions a Définitions  21 a22 . . . a2j . . . a2l   Terminologie  . . . .   . . . .  Opérations  . . ... . ... .  somme A est une matrice ⇐⇒ A =  . multiplication  ai1 ai2 ... aij . . . ail  Inverse  . . . .    Système  .. . . ... . . ... .  . linéaire Résoudre ak 1 ak 2 . . . akj . . . akl Contrôle Déterminants et systèmes linéaires D ÉFINITION Déterminant Inverse k lignes et l colonnes → (k × l) matrix Cramer Synthèse élément aij ou ai ,j
  • 9. E XEMPLE MM001 Ch2. Aperçu E XEMPLE : Définitions   Définitions Terminologie 40 40 20 30 31 27 16 25 Opérations   A = 26 34 12 25 somme   multiplication 21 27 9 28 Inverse   Système linéaire 29 30 13 21 Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes 5 lignes et 4 colonnes → (5 × 4) matrix linéaires Déterminant élément a21 = 31 Inverse Cramer Synthèse
  • 10. E XEMPLE MM001 Ch2. Aperçu E XEMPLE : Définitions   Définitions Terminologie 40 40 20 30 31 27 16 25 Opérations   A = 26 34 12 25 somme   multiplication 21 27 9 28 Inverse   Système linéaire 29 30 13 21 Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes 5 lignes et 4 colonnes → (5 × 4) matrix linéaires Déterminant élément a21 = 31 Inverse Cramer Synthèse
  • 11. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0 Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie Opérations 0 0 0 somme 0= multiplication 0 0 0 Inverse Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l Déterminants et systèmes linéaires Déterminant E XEMPLE : Inverse −2 0 3   Cramer Synthèse A= 1 0 2 0 −4 1
  • 12. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0 Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie Opérations 0 0 0 somme 0= multiplication 0 0 0 Inverse Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l Déterminants et systèmes linéaires Déterminant E XEMPLE : Inverse −2 0 3   Cramer Synthèse A= 1 0 2 0 −4 1
  • 13. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie −2 0 3   Opérations somme multiplication A= 0 5 −4 Inverse 3 −4 1 Système linéaire Résoudre Contrôle D ÉFINITION Déterminants A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et et systèmes linéaires ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0 Déterminant Inverse Cramer E XEMPLE : Synthèse 1 0 I2 = 0 1
  • 14. D ÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE MM001 D ÉFINITION Ch2. A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie −2 0 3   Opérations somme multiplication A= 0 5 −4 Inverse 3 −4 1 Système linéaire Résoudre Contrôle D ÉFINITION Déterminants A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et et systèmes linéaires ∀i = j : aij = 1, ∀i = j : aij = 0 Déterminant Inverse Cramer E XEMPLE : Synthèse 1 0 I2 = 0 1
  • 15. S OMME DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. D ÉFINITION a11 . . . a1l b11 b1l c11 c1l       Aperçu ... ... Définitions  . .. .   . .. . =  . .. .  Définitions  .. . . + .  . . . .   . . . . .  . Terminologie Opérations ak 1 . . . akl bk 1 . . . bkl ck 1 . . . ckl somme avec cij = aij + bij multiplication Inverse Système linéaire D ÉFINITION Résoudre Contrôle 1 opération interne: A + B est une matrice Déterminants et systèmes 2 associativité: A + (B + C) = (A + B) + C linéaires Déterminant 3 élément neutre: A + 0 = A Inverse Cramer 4 élément symétrique: A + (−A) = 0 Synthèse 5 commutativité: A + B = B + A
  • 16. M ULTIPLICATION PAR UN NOMBRE RÉEL MM001 Ch2. D ÉFINITION a11 . . . a1l c11 c1l     ... Aperçu  . .. . = . .. .  Définitions k. .. . .   . . . . .  . Définitions Terminologie ak 1 . . . akl ck 1 . . . ckl Opérations somme avec cij = k .aij multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre ∀r , s ∈ R Contrôle Déterminants 1 première distributivité: r (A + B) = rA + rB et systèmes linéaires 2 deuxième distributivité: (r + s)A = rA + sA Déterminant Inverse Cramer 3 associativité mixte: rs(A) = r (sA) Synthèse 4 élément neutre: 1.A = A 5 élément absorbant: 0.A = 0
  • 17. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   Définitions b1 Définitions b  Terminologie  2  .   .  Opérations  .  somme a1 a2 . . . ai . . . am .  = c multiplication Inverse  bi   .    .  Système linéaire .  Résoudre Contrôle bm Déterminants avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm et systèmes linéaires Déterminant Inverse D ÉFINITION Cramer A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1) Synthèse
  • 18. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu   Définitions b1 Définitions b  Terminologie  2  .   .  Opérations  .  somme a1 a2 . . . ai . . . am .  = c multiplication Inverse  bi   .    .  Système linéaire .  Résoudre Contrôle bm Déterminants avec c = a1 b1 + a2 b2 + . . . + ai bi . . . am bm et systèmes linéaires Déterminant Inverse D ÉFINITION Cramer A.B = C avec A = (1 × m), B = (m × 1), C = (1 × 1) Synthèse
  • 19. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 D ÉFINITION Ch2. a11 a1l c11 ... c1j ... c1n     ... Aperçu  . .. .  b  . . .  ... b1j ... b1n   . .   . . .   . . .   11  . ... . ... .  Définitions ail  .  . . .  c    a  i1 ...   . . .  =  i1 ... cij ... cin  Définitions  . . ... . ... .    Terminologie  . .. .  b .  ... blj ... bln  .  . . .   . . .  l1  . ... . . ... .  .  Opérations somme am1 ... aml cm1 ... cmj ... cmn multiplication Inverse avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle b1j   Déterminants b2j  et systèmes   linéaires Ai = ai1 ai2 ... ail Bj =  .   .  Déterminant  .  Inverse Cramer blj Synthèse D ÉFINITION A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
  • 20. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 D ÉFINITION Ch2. a11 a1l c11 ... c1j ... c1n     ... Aperçu  . .. .  b  . . .  ... b1j ... b1n   . .   . . .   . . .   11  . ... . ... .  Définitions ail  .  . . .  c    a  i1 ...   . . .  =  i1 ... cij ... cin  Définitions  . . ... . ... .    Terminologie  . .. .  b .  ... blj ... bln  .  . . .   . . .  l1  . ... . . ... .  .  Opérations somme am1 ... aml cm1 ... cmj ... cmn multiplication Inverse avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle b1j   Déterminants b2j  et systèmes   linéaires Ai = ai1 ai2 ... ail Bj =  .   .  Déterminant  .  Inverse Cramer blj Synthèse D ÉFINITION A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
  • 21. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 D ÉFINITION Ch2. a11 a1l c11 ... c1j ... c1n     ... Aperçu  . .. .  b  . . .  ... b1j ... b1n   . .   . . .   . . .   11  . ... . ... .  Définitions ail  .  . . .  c    a  i1 ...   . . .  =  i1 ... cij ... cin  Définitions  . . ... . ... .    Terminologie  . .. .  b .  ... blj ... bln  .  . . .   . . .  l1  . ... . . ... .  .  Opérations somme am1 ... aml cm1 ... cmj ... cmn multiplication Inverse avec cij = Ai .Bj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ail blj Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle b1j   Déterminants b2j  et systèmes   linéaires Ai = ai1 ai2 ... ail Bj =  .   .  Déterminant  .  Inverse Cramer blj Synthèse D ÉFINITION A.B = C avec A = (m × l), B = (l × n), C = (m × n)
  • 22. M ULTIPLICATION DE DEUX MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme 1 pas de commutativité: A.B = B .A multiplication Inverse 2 associativité: A.(B .C) = (A.B).C Système linéaire 3 distributivité: A.(B + C) = (A.B) + (A.C) Résoudre Contrôle 4 élément neutre: A.In = In .A = A (avec A = (n × n)) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 23. M ATRICE TRANSPOSÉE MM001 D ÉFINITION Ch2.   a11 . . . a1l Aperçu  .  . .. .  .   a11 ... ai1 ... am1  Définitions  . . . T = . . .    . .. .. . . .  Définitions A =  ai1 . . . ail ⇒A   Terminologie  . . . . . Opérations  . .. . .  a1l . . . ail . . . aml  . . .  somme  multiplication Inverse am1 . . . aml Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle Déterminants ∀k ∈ R et systèmes linéaires 1 (A + B)T = AT + B T Déterminant Inverse Cramer 2 (A.B)T = B T .AT Synthèse 3 (kA)T = k (AT ) 4 (AT )T = A
  • 24. M ATRICE TRANSPOSÉE MM001 D ÉFINITION Ch2.   a11 . . . a1l Aperçu  .  . .. .  .   a11 ... ai1 ... am1  Définitions  . . . T = . . .    . .. .. . . .  Définitions A =  ai1 . . . ail ⇒A   Terminologie  . . . . . Opérations  . .. . .  a1l . . . ail . . . aml  . . .  somme  multiplication Inverse am1 . . . aml Système linéaire Résoudre D ÉFINITION Contrôle Déterminants ∀k ∈ R et systèmes linéaires 1 (A + B)T = AT + B T Déterminant Inverse Cramer 2 (A.B)T = B T .AT Synthèse 3 (kA)T = k (AT ) 4 (AT )T = A
  • 25. M ATRICE INVERSE MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION A . A−1 = A−1 . A = In Définitions Terminologie Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) somme (n×n) multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle 1 (A.B)−1 = B −1 .A−1 Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Le reste suit plus tard! Inverse Cramer Synthèse
  • 26. M ATRICE INVERSE MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION A . A−1 = A−1 . A = In Définitions Terminologie Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) somme (n×n) multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle 1 (A.B)−1 = B −1 .A−1 Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Le reste suit plus tard! Inverse Cramer Synthèse
  • 27. M ATRICE INVERSE MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION A . A−1 = A−1 . A = In Définitions Terminologie Opérations (n×n) (n×n) (n×n) (n×n) somme (n×n) multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle 1 (A.B)−1 = B −1 .A−1 Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Le reste suit plus tard! Inverse Cramer Synthèse
  • 28. T OUT LE MONDE : DEBOUT ! MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions Terminologie Opérations somme multiplication Inverse Système linéaire Résoudre Contrôle Déterminants et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 29. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1) MM001 Ch2. Aperçu D ÉFINITION Définitions Un système (ensemble) d’équations linéaires: Définitions Terminologie  Opérations  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  somme  multiplication  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Inverse . . Système    . linéaire  Résoudre  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Contrôle Déterminants et systèmes linéaires 1 m équations et n inconnues Déterminant Inverse Cramer 2 aij , bi ∈ R Synthèse
  • 30. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1) MM001 Ch2. Aperçu D ÉFINITION Définitions Un système (ensemble) d’équations linéaires: Définitions Terminologie  Opérations  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  somme  multiplication  a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Inverse . . Système    . linéaire  Résoudre  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm Contrôle Déterminants et systèmes linéaires 1 m équations et n inconnues Déterminant Inverse Cramer 2 aij , bi ∈ R Synthèse
  • 31. D ÉFINITION D ’ UN SYSTÈME LINÉAIRE ( CFR C H .1) MM001 Ch2. D ÉFINITION Aperçu Un système (ensemble) d’équations linéaires: Définitions  Définitions  a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1  Terminologie   a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2  Opérations somme  .  . multiplication Inverse  .  Système  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm linéaire Résoudre Contrôle S OUS FORME MATRICIELLE : Déterminants       et systèmes linéaires a11 a12 . . . a1n x1 b1  a21 a22 . . . a2n  x2   b2  Déterminant       Inverse Cramer  .  . . . .. . . .  =  .  .  .  .  Synthèse  . . . .  .  .  am1 am2 . . . amn xn bm
  • 32. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION Définitions Terminologie Si A−1 existe, on a: Opérations somme A.X = B multiplication Inverse ⇐⇒ A−1 .A.X = A−1 .B Système linéaire Résoudre ⇐⇒ I .X = A−1 .B Contrôle Déterminants ⇐⇒ X = A−1 .B et systèmes linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 33. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie 3x + 2y = 7 x =3 Opérations et somme 1x − 1y = 4 y = −1 multiplication Inverse Système linéaire C ONTRÔLE : Résoudre Contrôle 3 2 3 7 . = Déterminants et systèmes 1 −1 −1 4 linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 34. R ÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES MM001 Ch2. Aperçu Définitions Définitions E XEMPLE : Terminologie 3x + 2y = 7 x =3 Opérations et somme 1x − 1y = 4 y = −1 multiplication Inverse Système linéaire C ONTRÔLE : Résoudre Contrôle 3 2 3 7 . = Déterminants et systèmes 1 −1 −1 4 linéaires Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 35. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION Définitions Terminologie La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A| Opérations somme multiplication Inverse 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An ) Système linéaire 2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) Résoudre Contrôle 3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) = Déterminants det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An ) et systèmes linéaires 4 det(In ) = 1 Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 36. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu Définitions D ÉFINITION Définitions Terminologie La matrice A = (n × n) a un déterminant det(A) ou |A| Opérations somme multiplication Inverse 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Aj . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Aj . . . Ai . . . An ) Système linéaire 2 det(A1 A2 . . . λAi . . . An ) = λ det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) Résoudre Contrôle 3 det(A1 A2 . . . Ai + Aj . . . An ) = Déterminants det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) + det(A1 A2 . . . Aj . . . An ) et systèmes linéaires 4 det(In ) = 1 Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 37. D ÉFINITION D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. 1 det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) = − det(A1 A2 . . . Ai . . . Ai . . . An ) Aperçu ⇒ detA = 0 Définitions Définitions 2 det(λA) = det(λA1 λA2 . . . λAi . . . λAn ) = λn detA Terminologie 3 det(A1 A2 . . . 0 . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai − Ai . . . An ) = Opérations somme det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) − det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = 0 multiplication Inverse n Système 4 det(A1 A2 . . . Ai . . . An ) = det(A1 A2 . . . Ai + λj Aj . . . An ) linéaire j =1,=i Résoudre   Contrôle a 0 ... 0 a 0 ... 0 Déterminants et systèmes   0 b . . . 0 0 b . . . 0  5 det  . . . = = a .b . . . . .z .. .  . . ... . linéaires . . . . . . Déterminant Inverse . . . . . . Cramer 0 0 ... z 0 0 ... z Synthèse 6 Ceci est aussi valable pour les lignes! (cfr plus loin)
  • 38. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu n=2 Définitions Définitions a b Terminologie c d Opérations a+0 0+b somme = multiplication Inverse 0+c d +0 Système a 0+b 0 0+b linéaire = + Résoudre 0 d +0 c d +0 Contrôle a 0 a b 0 0 0 b Déterminants = + + + et systèmes linéaires 0 d 0 0 c d c 0 Déterminant = ad + 0 + 0 − bc Inverse Cramer = ad − bc Synthèse
  • 39. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT MM001 Ch2. Aperçu Définitions n = 3(Sarrus) Définitions Terminologie a b c Opérations somme d e f multiplication Inverse g h i Système linéaire a b c a b c Résoudre Contrôle = d e f d e f Déterminants g h i g h i et systèmes linéaires = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 40. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  • 41. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  • 42. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  • 43. C ALCUL D ’ UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE L’ ORDRE MM001 D ÉFINITION Ch2. Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et la Aperçu colonne j et calculer det Définitions Définitions Terminologie D ÉFINITION Opérations somme Cofacteur de aij = Aij = (−1)i +j |∆ij | multiplication Inverse Système D ÉFINITION linéaire Résoudre Contrôle Déterminant: Déterminants n n et systèmes linéaires det(A) = aij Aij ou det(A) = aij Aij Déterminant Inverse i =1 j =1 Cramer Synthèse Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peut
  • 44. C ALCUL DE L’ INVERSE MM001 D ÉFINITION Ch2. Matrice adjointe adj (A): Aperçu Définitions 1 Etablir AT Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij | Définitions Terminologie 2 Opérations somme multiplication Inverse D ÉFINITION Système adj (A) linéaire Matrice inverse A−1 = Résoudre Contrôle det(A) Déterminants et systèmes linéaires P ROPRIÉTÉS : Déterminant Inverse 1 det(A) = det(AT ) Cramer Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0 3 det(AB) = det(A)det(B)
  • 45. C ALCUL DE L’ INVERSE MM001 D ÉFINITION Ch2. Matrice adjointe adj (A): Aperçu Définitions 1 Etablir AT Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij | Définitions Terminologie 2 Opérations somme multiplication Inverse D ÉFINITION Système adj (A) linéaire Matrice inverse A−1 = Résoudre Contrôle det(A) Déterminants et systèmes linéaires P ROPRIÉTÉS : Déterminant Inverse 1 det(A) = det(AT ) Cramer Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0 3 det(AB) = det(A)det(B)
  • 46. C ALCUL DE L’ INVERSE MM001 D ÉFINITION Ch2. Matrice adjointe adj (A): Aperçu Définitions 1 Etablir AT Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i +j |∆ij | Définitions Terminologie 2 Opérations somme multiplication Inverse D ÉFINITION Système adj (A) linéaire Matrice inverse A−1 = Résoudre Contrôle det(A) Déterminants et systèmes linéaires P ROPRIÉTÉS : Déterminant Inverse 1 det(A) = det(AT ) Cramer Synthèse 2 A est invertible ⇐⇒ det(A) = 0 3 det(AB) = det(A)det(B)
  • 47. L A MÉTHODE DE C RAMER MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu A . X = B et det(A) = 0 Définitions (n×n) (n×1) (n×1) Définitions Terminologie Opérations somme O N NOTE : multiplication Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) Système linéaire X = (X1 ) Résoudre Contrôle B = (B1 ) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant D ÉFINITION Inverse Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai ) xi = = Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
  • 48. L A MÉTHODE DE C RAMER MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu A . X = B et det(A) = 0 Définitions (n×n) (n×1) (n×1) Définitions Terminologie Opérations somme O N NOTE : multiplication Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) Système linéaire X = (X1 ) Résoudre Contrôle B = (B1 ) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant D ÉFINITION Inverse Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai ) xi = = Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
  • 49. L A MÉTHODE DE C RAMER MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu A . X = B et det(A) = 0 Définitions (n×n) (n×1) (n×1) Définitions Terminologie Opérations somme O N NOTE : multiplication Inverse A = (A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) Système linéaire X = (X1 ) Résoudre Contrôle B = (B1 ) Déterminants et systèmes linéaires Déterminant D ÉFINITION Inverse Cramer det(A1 A2 . . . Ai −1 B1 Ai +1 . . . An ) det(Ai ) xi = = Synthèse det(A1 A2 . . . Ai −1 Ai Ai +1 . . . An ) det(A)
  • 50. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 1: det(A) somme multiplication k 2k − 1 Inverse = −3k 2 − 2k + 1 Système 1 −3k linéaire Résoudre Contrôle Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminants et systèmes linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminant Inverse Cramer 7 2k − 1 Synthèse k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6 x= = −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
  • 51. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 1: det(A) somme multiplication k 2k − 1 Inverse = −3k 2 − 2k + 1 Système 1 −3k linéaire Résoudre Contrôle Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminants et systèmes linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminant Inverse Cramer 7 2k − 1 Synthèse k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6 x= = −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
  • 52. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 1: det(A) somme multiplication k 2k − 1 Inverse = −3k 2 − 2k + 1 Système 1 −3k linéaire Résoudre Contrôle Condition: |A| = 0 ⇐⇒ −3k 2 − 2k + 1 = 0 ⇐⇒ k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminants et systèmes linéaires E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } 3 Déterminant Inverse Cramer 7 2k − 1 Synthèse k − 6 −3k −2k 2 − 21k − 6 x= = −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1
  • 53. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu Définitions k 2k − 1 x 7 Définitions . = Terminologie 1 −3k y k −6 Opérations somme E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } multiplication Inverse 3 Système linéaire k 7 Résoudre Contrôle 1 k −6 k 2 − 6k − 7 Déterminants y= = et systèmes −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 linéaires Déterminant −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7 Inverse ⇒ 1 solutions: (x , y ) = ( , ) Cramer −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 Synthèse
  • 54. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 Ch2. O N DONNE : Aperçu Définitions k 2k − 1 x 7 Définitions . = Terminologie 1 −3k y k −6 Opérations somme E TAPPE 2 A : k ∈ {−1, 1 } multiplication Inverse 3 Système linéaire k 7 Résoudre Contrôle 1 k −6 k 2 − 6k − 7 Déterminants y= = et systèmes −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 linéaires Déterminant −2k 2 − 21k − 6 k 2 − 6k − 7 Inverse ⇒ 1 solutions: (x , y ) = ( , ) Cramer −3k 2 − 2k + 1 −3k 2 − 2k + 1 Synthèse
  • 55. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 2 B : k = −1 somme multiplication −x − 3y = 7 Inverse Système +x + 3y = −7 linéaire Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t) Contrôle Déterminants et systèmes 1 linéaires E TAPPE 2 C : k = 3 Déterminant Inverse Cramer x −y = 2 Synthèse x − y = − 17 3 ⇒ solution
  • 56. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 2 B : k = −1 somme multiplication −x − 3y = 7 Inverse Système +x + 3y = −7 linéaire Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t) Contrôle Déterminants et systèmes 1 linéaires E TAPPE 2 C : k = 3 Déterminant Inverse Cramer x −y = 2 Synthèse x − y = − 17 3 ⇒ solution
  • 57. L A MÉTHODE DE C RAMER : EXEMPLE MM001 O N DONNE : Ch2. k 2k − 1 x 7 Aperçu . = 1 −3k y k −6 Définitions Définitions Terminologie Opérations E TAPPE 2 B : k = −1 somme multiplication −x − 3y = 7 Inverse Système +x + 3y = −7 linéaire Résoudre ⇒ ∞ solutions: (x , y ) = (−7 − 3t , t) Contrôle Déterminants et systèmes 1 linéaires E TAPPE 2 C : k = 3 Déterminant Inverse Cramer x −y = 2 Synthèse x − y = − 17 3 ⇒ solution
  • 58. R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME MM001 Ch2. Aperçu Définitions C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ): Définitions Terminologie 1 par substitution Opérations somme 2 avec la méthode de Gauss multiplication Inverse 3 avec la méthode de Gauss-Jordan Système linéaire Résoudre C FR C H 2. ( MATRICES ): Contrôle Déterminants 1 par A−1 et systèmes linéaires 2 avec la méthode de Cramer Déterminant Inverse Cramer Synthèse
  • 59. R ÉSOLUTION D ’ UN SYSTÈME MM001 Ch2. Aperçu Définitions C FR C H 1. ( SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES ): Définitions Terminologie 1 par substitution Opérations somme 2 avec la méthode de Gauss multiplication Inverse 3 avec la méthode de Gauss-Jordan Système linéaire Résoudre C FR C H 2. ( MATRICES ): Contrôle Déterminants 1 par A−1 et systèmes linéaires 2 avec la méthode de Cramer Déterminant Inverse Cramer Synthèse