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      Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C.


      1 Dénitions et propriétés
      Un tableau rectangulaire, de nombres ( ∈ K ), de la forme

                                                      
                          a       a12   ...      a1n
                         11                           
                         a21     a22   ...      a2n
                                                      
                                                                         (1)
                                                       
                         .
                        
                            .                     .
                                                  .
                                                       
                         .                       .
                                                       
                                                       
                                                      
                          am1     am2   . . . amn

      est appelé matrice. Les nombres aij sont appelés coecients de la
      matrice. Les lignes horizontales sont appelées rangées ou vecteurs
      rangées, et les lignes verticales sont appelées colonnes ou vecteurs

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      colonnes de la matrice. Une matrice à m rangées et n colonnes est
      appelée matrice de type (m, n). On note la matrice ( ??) par (aij ).
      Exemple 1.    :
                                                       
                                0 0 ...             0
                                                     
                               0 0 ...             0 
                                                     
      1) La matrice nulle   O= .
                               .                   .      a tous ses coecients
                               .                   . 
                                                    . 
                                                     
                                0 0 ...             0
      nuls.
      2) Une matrice (a1 , ..., an ) ayant une seule rangée est appelée
      matrice uniligne.



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                             
                         b
                        1    
                        b2
                             
      3) Une matrice              ayant une seule colonne est appelée
                              
                        .
                        .
                             
                        .
                              
                              
                              
                         bm
      matrice unicolonne.
      1) Une matrice ayant le même nombre de rangées et de colonnes est
      appelées matrice carrée, et le nombre de rangées est appelé son
      ordre.
      2) La matrice carrée (aij ) telle que aij = 0 si i = j et aii = 1 ∀i est
      appelée matrice unité, notée par I , elle vérie AI = IA = A, ∀A
      matrice carrée du même ordre que I .
      3) Deux matrices (aij ) et (bij ) sont égales si et seulement si elles
      ont même nombre de rangées et le même nombre de colonnes et les
      éléments correspondants sont égaux ; c'est à dire aij = bij ∀i, j .

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      2 Opérations sur les matrices
      2.1        Addition


      La somme de deux matrices de type (m, n) (aij ) et (bij ) est la
      matrice (cij ) de type (m, n) ayant pour éléments cij = aij + bij
      pour i = 1, ..., m et j = ..., n.
                               1,                                  
                                    −4 6 3                        5 −1    0
      Exemple 2.     : Si   A=                     et   B=                 ,
                                    0 1 2                         3   1   0
                                   
                            1 5 3
      alors     A+B =              
                            3 2 2
      L'addition des matrices satisfait les propriétés suivantes :
      Pour A, B et C des matrices de type (m, n) on a :
      1) A + B = B + A

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      2) (A + B) + C = A + (B + C)
      3) A + O = O + A = A où O est la matrice nulle
      4) A + (−A) = O où −A = (−aij ).

      2.2        Multiplication par un scalaire


      Soit A (aij ) et λ ∈ K, on dénit 
            =
             λa11       λa12   ...     λa1n
                                               
            λa21       λa22   ...     λa2n
                                               
                                                 = (λaij ).
                                                
      λA =  .
            .                           .
            .                           .
                                         .
                                                
                                                
                                               
             λam1       λam2   . . . λamn
      Exemple 3.    :
      Si A = (2 7 8), alors 3A = (6 21 24)
      Cette multiplication vérie :

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      Pour A, B des matrices de type (m, n)
      1) λ(A + B) = λA + λB
      2) (λ + µ)A = λA + µA
      3) λ(µA) = (λµ)A
      4) 1A = A


      2.3        Multiplication des matrices


      Soit A = (aij ) une matrice de type (m, n) et B = (bkl ) une matrice
      de type (r, p), alors le produit AB ( dans cet ordre ) n'est déni
      que si n = r, et est la matrice C = (cil ) de type (m, p) dont les
                          j=n
      éléments cil =            aij bjl .
                          j=1
      Exemple 4.      :

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                                                        
                                           1 0 2
                 3   2 −1
                                 et      5 3 1 ,           alors
                                               
      A=                            B=
                 0   4   6
                                                
                                          6 4 2


      AB =
                                                                    
    3(1) + 2(5) + (−1)(6) 3(0) + 2(3) + (−1)(4) 3(2) + 2(1) + (−1)(2)
                                                                    
      0(1) + 4(5) + 6(6)    0(0) + 4(3) + 6(4)    0(2) + 4(1) + 6(2)
                    
           7 2 6
     =              
          56 36 16

      Le produit matriciel vérie les propriétés suivantes :
      1) λ(AB) = (λA)B , λ ∈ K
      2) A(BC) = (AB)C

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      3) (A + B)C = AC + BC
      4) C(A + B) = CA + CB
      Pour vu que les produits qui gurent dans les expressions soient
      dénis.
      Remarque 1.     :
      1) La multiplication matricielle n'est pas en général commutative,
      c.à.d AB = BA.
      2) La simplication n'est pas vraie en général, c.à.d AB = O
      n'entraîne pas, nécessairement A = O ou B = O.
      3) Une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que
      AB = BA = I .
      Exemple 5. :
                                                                         
                     1   0              0 1                           0   1
      1)   A=               , B =           ,    alors   AB =               et
                     0   0              1 0                           0   0


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                            
                     0   0
      BA =                  
                     1   0
                                                        
                     1   1                    −1       1
      2)   A=                = O, B =                   =O       et pourtant
                     2   2                        1 −1
                            
                     0   0
      AB =                  =O
                     0   0
                                                                
                                 a11 0       ...   0
                                                   . 
                                                    . 
                                                    . 
                               
                                0 a22 0 . . .
      1) Une matrice du type  .                         c'est à dire
                                             ..
                               
                                .              .
                                .
                                                        
                                                   0   
                                   0  ...     0   ann
      aij = 0 pour i = j est appelée matrice diagonale.


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                                                                
                               a
                              11                                
                              0 a22
                                                                
      2) Une matrice du type  .                                  ou
                                                                 
                              .     ..           ..
                              .        .              .
                                                                 
                                                                 
                                                                
                                0   ...           0        ann
                           
         a11 0 . . .     0
      
                   ..    . 
                         . 
                      .  . 
      
              a22
                             est appelée        matrice triangulaire.
      
                   ..
      
                      . 0 
                           
      
                           
                        ann
      La première vérie aij = 0 pour i  j et la seconde aij = 0 pour
      i  j.
      3) Au lieu de AA on écrit tout simplement A2 , de même A3 = A2 A
      ....
      4) Si les lignes et les colonnes d'une matrice sont échangées, la

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      matrice obtenue est appelée transposée de la matrice d'origine ; la
      transposée de A est notée t A.
      5) Si A = (aij ), alors t A = (bij ) avec bij = aji , on a t (t A) = A.
      Exemple 6.         :
                            
                     1   4                                      
                                                        1 2 3
      Si                 5 ;    alors
                                       t
           A= 2                             A=                 
                                                        4 5 6
                          
               3         6


      3 Matrices élémentaires
      3.1        Opérations élémentaires sur une matrice


      Soit A une matrice, on appelle opération élémentaire sur A l'une
      des transformations suivantes :

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      1) Ajouter à une ligne ( resp à une colonne ) de A une autre ligne (
      resp colonne ) multipliée par un scalaire. (Rj ←− Rj + kRi )
      2) Multiplier une ligne ( resp une colonne ) de A par un scalaire
      non nul. (Ri ←− kRi )
      3) Permuter les lignes ( resp les colonnes ) de A. (Ri ←→ Rj )
      Soit e une opération élémentaire sur les lignes et e(A) désigne les
      résultats obtenus après l'application de l'opération e sur une
      matrice A.
      Soit E la matrice obtenue après l'application de e sur la matrice
      unité I , c'est à dire E = e(I). E est alors appelée la matrice
      élémentaire correspondant à l'opération élémentaire e.
      Exemple 7.   :
      Considérons la matrice unité d'ordre 3.
      1) Permuter les lignes L2 et L3 .

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      2) Remplacer ligne L2 par −6L2 .
      3) Remplacer ligne L3 par −4L1 + L3 .
                                                   
                    1   0   0           1       0 0
                   , E2 =  0 −6 0  et
                                     
      E1 =  0
              0 1                    
             0 1 0           0    0 1
                   
              1 0 0
            0 1 0  sont les matrices élémentaires
                   
      E3 =         
             −4 0 1
      correspondantes.
      Théorème 1. :

      Soit e une opération élémentaire sur les lignes et E la matrice
      élémentaire correspondante d'ordre m, alors e(A) = EA pour toute
      matrice A de type (m, n).
      Les opérations élémentaires ont des opérations inverses du même

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      type
      1) Permuter Ri et Rj est son propre inverse.
      2) Remplacer Ri par kRi et remplacer Ri par k Ri sont inverses
                                                  1


      3) Remplacer Rj par kRi + Rj et remplacer Rj par −kRi + Rj sont
      inverses.
      Supposons que e est l'inverse d'une opération élémentaire sur les
      lignes e, et soit E et E les matrices correspondantes. Alors E est
      inversible et son inverse est E . En particulier un produit de
      matrices élémentaires est inversible.
      Théorème 2.    :
      Soit A une matrice carrée, alors A est inversible si et seulement si
      A est un produit de matrices élémentaires.



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      3.2           Application pour déterminer l'inverse d'une

                    matrice carrée


      Exemple 8.          :
                                                                  
                                                      1   0 2
      Trouver l'inverse de la matrice                                  si elle existe.
                                                    
                                          A=
                                             2 −1 3 
                                                     
                                              4  1 8
      Pour ce faire nous écrivons la matrice unité à la droite de A et
      nous appliquons les mêmes opérations à cette matrice que celles
      eectuées sur A.
                                          
                1     0   2   1 0 0           L −2L1
                                             −2 − −
                                            −− −→
                                            L3 − 4L1
      
               2 −1      3   0 1 0        
                4     1   8   0 0 1


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                                                             
                1       0       2         1 0 0
                                                             
      
               0 −1 −1                 −2 1 0                
                                                              
                0       1       0       −4 0 1
                                                                         
                                    1     0       2            1 0 0
                                                                           − 1 +2L3
                                                                            L
        L3 +L2                                                             L2− − 3
                                                                             − −→
               
      −− − − − 
      − − − −→                     0 −1 −1                   −2 1 0           −L
                                    0     0 −1                −6 1 1
                                                               
                1       0       0       −11 2             2         −L2
                                                                  −→
                                                                     −
               0 −1            0          4 0 −1                  −L3
                                                                 
                0       0 −1              −6 1            1
                                                             
                1   0       0       −11       2       2
                                                             
      
               0   1       0       −4        0       1       
                                                              
                0   0       1           6 −1 −1


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                                              
                             −11  2  2
      d'où A−1
                                      
                         =  −4
                                 0  1 
                                       
                               6 −1 −1
      Ecrivons cette inverse sous forme de produit de matrices
      élémentaires :
      A−1 = BC avec  
                                                    
                     1        0   0      1 0       0         1 0     2
                                                                           et
                                                                  
      B=
         0 −1 0   0 1
                        0  0 1
                                                                   0 
                                                                       
          0  0 1     0 0 −1    0 0                                   1
      C=
                                                                                 
        1        0        0           1 0 0             1 0 0              1    0   0
                                              
       0
                1 −1  
                        0 1 0   −2 1 0   0 1 0 
                                                 
        0        0  0     0 1 1      0 0 1    −4 0 1


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  • 1. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 1 Chap. I. Calcul Matriciel Printemps 2010 tifawt.com
  • 2. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 2 Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Dénitions et propriétés Un tableau rectangulaire, de nombres ( ∈ K ), de la forme   a a12 ... a1n  11   a21 a22 ... a2n   (1)   .  . . .   . .     am1 am2 . . . amn est appelé matrice. Les nombres aij sont appelés coecients de la matrice. Les lignes horizontales sont appelées rangées ou vecteurs rangées, et les lignes verticales sont appelées colonnes ou vecteurs tifawt.com
  • 3. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 3 colonnes de la matrice. Une matrice à m rangées et n colonnes est appelée matrice de type (m, n). On note la matrice ( ??) par (aij ). Exemple 1. :   0 0 ... 0    0 0 ... 0    1) La matrice nulle O= .  . .  a tous ses coecients  . .  .    0 0 ... 0 nuls. 2) Une matrice (a1 , ..., an ) ayant une seule rangée est appelée matrice uniligne. tifawt.com
  • 4. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 4   b  1   b2   3) Une matrice ayant une seule colonne est appelée   .  .    .    bm matrice unicolonne. 1) Une matrice ayant le même nombre de rangées et de colonnes est appelées matrice carrée, et le nombre de rangées est appelé son ordre. 2) La matrice carrée (aij ) telle que aij = 0 si i = j et aii = 1 ∀i est appelée matrice unité, notée par I , elle vérie AI = IA = A, ∀A matrice carrée du même ordre que I . 3) Deux matrices (aij ) et (bij ) sont égales si et seulement si elles ont même nombre de rangées et le même nombre de colonnes et les éléments correspondants sont égaux ; c'est à dire aij = bij ∀i, j . tifawt.com
  • 5. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 5 2 Opérations sur les matrices 2.1 Addition La somme de deux matrices de type (m, n) (aij ) et (bij ) est la matrice (cij ) de type (m, n) ayant pour éléments cij = aij + bij pour i = 1, ..., m et j = ..., n. 1,    −4 6 3 5 −1 0 Exemple 2. : Si A=  et B= , 0 1 2 3 1 0   1 5 3 alors A+B =  3 2 2 L'addition des matrices satisfait les propriétés suivantes : Pour A, B et C des matrices de type (m, n) on a : 1) A + B = B + A tifawt.com
  • 6. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 6 2) (A + B) + C = A + (B + C) 3) A + O = O + A = A où O est la matrice nulle 4) A + (−A) = O où −A = (−aij ). 2.2 Multiplication par un scalaire Soit A (aij ) et λ ∈ K, on dénit  = λa11 λa12 ... λa1n    λa21 λa22 ... λa2n    = (λaij ).  λA =  .  . .  . . .     λam1 λam2 . . . λamn Exemple 3. : Si A = (2 7 8), alors 3A = (6 21 24) Cette multiplication vérie : tifawt.com
  • 7. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 7 Pour A, B des matrices de type (m, n) 1) λ(A + B) = λA + λB 2) (λ + µ)A = λA + µA 3) λ(µA) = (λµ)A 4) 1A = A 2.3 Multiplication des matrices Soit A = (aij ) une matrice de type (m, n) et B = (bkl ) une matrice de type (r, p), alors le produit AB ( dans cet ordre ) n'est déni que si n = r, et est la matrice C = (cil ) de type (m, p) dont les j=n éléments cil = aij bjl . j=1 Exemple 4. : tifawt.com
  • 8. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 8     1 0 2 3 2 −1 et  5 3 1 , alors   A=  B= 0 4 6  6 4 2 AB =   3(1) + 2(5) + (−1)(6) 3(0) + 2(3) + (−1)(4) 3(2) + 2(1) + (−1)(2)   0(1) + 4(5) + 6(6) 0(0) + 4(3) + 6(4) 0(2) + 4(1) + 6(2)   7 2 6 =   56 36 16 Le produit matriciel vérie les propriétés suivantes : 1) λ(AB) = (λA)B , λ ∈ K 2) A(BC) = (AB)C tifawt.com
  • 9. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 9 3) (A + B)C = AC + BC 4) C(A + B) = CA + CB Pour vu que les produits qui gurent dans les expressions soient dénis. Remarque 1. : 1) La multiplication matricielle n'est pas en général commutative, c.à.d AB = BA. 2) La simplication n'est pas vraie en général, c.à.d AB = O n'entraîne pas, nécessairement A = O ou B = O. 3) Une matrice carrée A est inversible s'il existe B telle que AB = BA = I . Exemple 5. :       1 0 0 1 0 1 1) A= , B =  , alors AB =   et 0 0 1 0 0 0 tifawt.com
  • 10. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 10   0 0 BA =   1 0     1 1 −1 1 2) A=  = O, B =  =O et pourtant 2 2 1 −1   0 0 AB =  =O 0 0   a11 0 ... 0  .  .  .    0 a22 0 . . . 1) Une matrice du type  .  c'est à dire ..   . .  .  0   0 ... 0 ann aij = 0 pour i = j est appelée matrice diagonale. tifawt.com
  • 11. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 11   a  11   0 a22   2) Une matrice du type  .  ou   . .. ..  . . .     0 ... 0 ann   a11 0 . . . 0  .. .  .  . .   a22  est appelée matrice triangulaire.  ..  . 0       ann La première vérie aij = 0 pour i j et la seconde aij = 0 pour i j. 3) Au lieu de AA on écrit tout simplement A2 , de même A3 = A2 A .... 4) Si les lignes et les colonnes d'une matrice sont échangées, la tifawt.com
  • 12. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 12 matrice obtenue est appelée transposée de la matrice d'origine ; la transposée de A est notée t A. 5) Si A = (aij ), alors t A = (bij ) avec bij = aji , on a t (t A) = A. Exemple 6. :   1 4   1 2 3 Si 5 ; alors   t A= 2 A=  4 5 6   3 6 3 Matrices élémentaires 3.1 Opérations élémentaires sur une matrice Soit A une matrice, on appelle opération élémentaire sur A l'une des transformations suivantes : tifawt.com
  • 13. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 13 1) Ajouter à une ligne ( resp à une colonne ) de A une autre ligne ( resp colonne ) multipliée par un scalaire. (Rj ←− Rj + kRi ) 2) Multiplier une ligne ( resp une colonne ) de A par un scalaire non nul. (Ri ←− kRi ) 3) Permuter les lignes ( resp les colonnes ) de A. (Ri ←→ Rj ) Soit e une opération élémentaire sur les lignes et e(A) désigne les résultats obtenus après l'application de l'opération e sur une matrice A. Soit E la matrice obtenue après l'application de e sur la matrice unité I , c'est à dire E = e(I). E est alors appelée la matrice élémentaire correspondant à l'opération élémentaire e. Exemple 7. : Considérons la matrice unité d'ordre 3. 1) Permuter les lignes L2 et L3 . tifawt.com
  • 14. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 14 2) Remplacer ligne L2 par −6L2 . 3) Remplacer ligne L3 par −4L1 + L3 .     1 0 0 1 0 0 , E2 =  0 −6 0  et     E1 =  0  0 1    0 1 0 0 0 1   1 0 0  0 1 0  sont les matrices élémentaires   E3 =   −4 0 1 correspondantes. Théorème 1. : Soit e une opération élémentaire sur les lignes et E la matrice élémentaire correspondante d'ordre m, alors e(A) = EA pour toute matrice A de type (m, n). Les opérations élémentaires ont des opérations inverses du même tifawt.com
  • 15. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 15 type 1) Permuter Ri et Rj est son propre inverse. 2) Remplacer Ri par kRi et remplacer Ri par k Ri sont inverses 1 3) Remplacer Rj par kRi + Rj et remplacer Rj par −kRi + Rj sont inverses. Supposons que e est l'inverse d'une opération élémentaire sur les lignes e, et soit E et E les matrices correspondantes. Alors E est inversible et son inverse est E . En particulier un produit de matrices élémentaires est inversible. Théorème 2. : Soit A une matrice carrée, alors A est inversible si et seulement si A est un produit de matrices élémentaires. tifawt.com
  • 16. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 16 3.2 Application pour déterminer l'inverse d'une matrice carrée Exemple 8. :   1 0 2 Trouver l'inverse de la matrice si elle existe.   A=  2 −1 3   4 1 8 Pour ce faire nous écrivons la matrice unité à la droite de A et nous appliquons les mêmes opérations à cette matrice que celles eectuées sur A.   1 0 2 1 0 0 L −2L1  −2 − −  −− −→  L3 − 4L1   2 −1 3 0 1 0  4 1 8 0 0 1 tifawt.com
  • 17. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 17   1 0 2 1 0 0     0 −1 −1 −2 1 0   0 1 0 −4 0 1   1 0 2 1 0 0  − 1 +2L3 L L3 +L2  L2− − 3 − −→  −− − − −  − − − −→  0 −1 −1 −2 1 0  −L 0 0 −1 −6 1 1   1 0 0 −11 2 2 −L2   −→ −  0 −1 0 4 0 −1  −L3   0 0 −1 −6 1 1   1 0 0 −11 2 2     0 1 0 −4 0 1   0 0 1 6 −1 −1 tifawt.com
  • 18. Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel www.tifawt.com 18   −11 2 2 d'où A−1   =  −4  0 1   6 −1 −1 Ecrivons cette inverse sous forme de produit de matrices élémentaires : A−1 = BC avec      1 0 0 1 0 0 1 0 2 et     B=  0 −1 0   0 1  0  0 1  0   0 0 1 0 0 −1 0 0 1 C=      1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0       0  1 −1     0 1 0   −2 1 0   0 1 0     0 0 0 0 1 1 0 0 1 −4 0 1 tifawt.com