1. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
CHAPITRE 3 : MATRICES
I- Généralités.................................................................................................................................................2
I-1 Définition...........................................................................................................................................................2
I-2 Matrices particulières ......................................................................................................................................3
II- Matrices carrées ......................................................................................................................................4
II-1 Diagonale d’une matrice carrée.....................................................................................................................4
II-2 Matrice diagonale ...........................................................................................................................................4
II-3 Matrice triangulaire .......................................................................................................................................5
II-4 Matrice symétrique.........................................................................................................................................5
II-5 Matrice antisymétrique ..................................................................................................................................6
III- Opérations sur les matrices ...................................................................................................................6
III-1 Egalité.............................................................................................................................................................6
III-2 Addition..........................................................................................................................................................7
III-3 Multiplication par un scalaire......................................................................................................................7
III-4 Produit de deux matrices ..............................................................................................................................8
III-5 Puissance d’une matrice .............................................................................................................................10
III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices.......................................................................................................11
IV- Matrice inversible.................................................................................................................................12
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan........................................................................................12
V-1 Présentation...................................................................................................................................................12
V-2 Exemples ........................................................................................................................................................13
VI- Matrice associée à un système de vecteurs..........................................................................................16
VII- Matrice d’une application linéaire.....................................................................................................17
VIII- Changement de base .........................................................................................................................19
VIII-1 Matrice de passage ...................................................................................................................................19
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur.........................................................................................................................20
VIII-3 Application linéaire ..................................................................................................................................21
IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours...................................................................23
1
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2. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· On appelle une matrice A , de type (n, p) ( n, pÎIN* ) à coefficients réels, un tableau
de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la matrice
A . On note par :
a
M
1 1
a
M
a
ij
j
nj
L
M
L
M
L
L
M
L
M
L
colonne j
· On appelle le coefficient ij i n j p a ,1£ £ ,1£ £ de la matrice A , l’élément d’intersection de la
ij i n j p A = a £ £ £ £ ( ),1 , ,
· On note M(n, p) l’ensemble des matrices de type (n, p) .
4
1
=
= (3,2)
B ÎM
= D = (1 2)ÎM(1,2) E = (1)ÎM(1,1)
2
I- Généralités
I-1 Définition
Définition :
ligne i
a
M
a
M
a
a
M
11
a
M
a
A
p
ip
np
i
1
n
¬
=
1
ligne i et la colonne j .
· On note aussi la matrice A par :
i
désigne l'indice de la ligne
j
désigne l'indice de la colonne
Exemples :
3
2
1
¨ (2,3)
A Î M 4
5
6
5
6
2
3
1
¨ (2,1)
C Î M 2
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3. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
o C’est toute matrice A de type (1, p) , (AÎM(1, p))
I-2-2 Matrice colonne
o C’est toute matrice A de type (n,1) , (AÎM(n,1))
I-2-3 Matrice nulle
o C’est la matrice de M(n, p) dont tous les coefficients ij a son nuls. On note n, p 0 .
I-2-4 Matrice unité ou identité
o C’est la matrice de M(n,n) dont les coefficients ij a vérifient
o La matrice opposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M(n, p) dont les
coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A . On note B = (-A) :
1 2
= : (2,2)
- -
) ( M A Î
5
3
1
-
-
-
= : (2,3)
) ( M A Î
2
1
=
tA ÎM
- = (3,2)
3
I-2 Matrices particulières
I-2-1 Matrice ligne
=
1
= ¹
a
ii
0 si
a i j
ij
. On note n I .
I-2-5 Matrice opposée
£ £ = -
i n
1 ,
£ £ =
j n
1 ,
1
=
tA 2
ÎM
1 2
M A Î
1 3
=
M A t Î
5
3
1
M A Î
4
3
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j p
ij ij b a
£ £
1
o B = (-A) ssi A = (-B)
I-2-6 Matrice transposée
o La matrice transposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M( p,n) dont les
lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A .
o On note B=tA :
i p
ij ji b a
£ £
1
o B=tA ssi A=tB
Exemples
¨ D et E sont des matrices lignes
¨ C et E sont des matrices colonnes
¨ A = (1 2 3)ÎM(1,3) : (-A) = (-1 - 2 - 3)ÎM(1,3) (3,1)
3
¨ (2,2)
3 4
3 4
- -
- = (2,2)
2 4
¨ (2,3)
6
4
2
6
4
2
-
-
-
6
5
4. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type ( n , n ) .
· On note M(n) l’ensemble des matrices de type (n,n) .
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . Les coefficients
a i n ii ( )1 £ £ sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la
diagonale principale de la matrice A .
A . Les éléments diagonaux de la matrice A sont 1 11 a = et 4 22 a = .
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux
de la matrice sont nuls : (a 0 si i j) ij = ¹
a
0
0 0
=
L
O O M
¨ Matrice scalaire , ( )
A Î
M O O
0 0
¨ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec a = 1) :
4
II- Matrices carrées
Définition :
II-1 Diagonale d’une matrice carrée
Définition :
Exemple :
=
1 2
¨
3 4
II-2 Matrice diagonale
Définition :
Exemples :
=
1 0
¨
0 2
A
0
a IR
a
L
=
1 0 0
0
O O M
M O O
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0
0 L
0 1
L
n I
5. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
· On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de la
diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = < :
0 0
a
11
a
= 21
£ £
L
O O M
A ij i j n
M O O
a a a
L -
1 ( 1)
n n n nn
· On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous de
la diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = > :
a a a
L
11 12 1
n
0
= £ £
O O M
A ij i j n
M O O
0 0
sont des matrices triangulaires inférieures.
sont des matrices triangulaires supérieures.
¨ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée tA est
triangulaire inférieure et inversement.
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
· On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice
transposée : A=tA (a a 1 i, j n) ji ij = " £ £
5
II-3 Matrice triangulaire
Définition :
Î
, (( ) )
0
a IR
1 ,
Î
, (( a ) IR
)
1 ,
-
( 1)
a
a
n n
nn
L
Exemples :
¨
0 0 0
-
0 1 0
1 0 2
1 0
3 2
et
¨
0 1 2
-
0 1 3
0 0 2
1 3
0 2
et
Remarque :
II-4 Matrice symétrique
Définition :
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6. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
· On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est
égale à sa matrice opposée : tA = (-A) (a a 1 i, j n) ji ij = - " £ £
¨ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls :
(a a 1 i, j n) (a 0 1 i n) ji ij ii = - " £ £ ⇒ = " £ £
Deux matrices A et B de M(n, p) sont égales si elles ont les mêmes coefficients :
· A º B ssi a b i n j p ij ij = , "1 £ £ , "1 £ £ , avec ( ) ij A = a et ( ) ij B = b
6
Exemples :
¨
-
1 2 4 2
2 3 5 3
-
-
-
=
4 5 1 2
2 3 2 1
A
=
1 3
A
0 1 2
= -
1 1 3
2 3 2
3 2
A
II-5 Matrice antisymétrique
Définition :
Exemples :
¨
0 2 4 2
-
-
2 0 5 3
- -
4 5 0 2
- -
=
2 3 2 0
A
-
=
0 3
A
-
0 1 2
-
-
=
1 0 3
2 3 0
3 0
A
Remarque :
III- Opérations sur les matrices
III-1 Egalité
Définition :
Propriété :
¨ t AºtB ssi A º B
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7. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· Soient A et B deux matrices de M(n, p) . La matrice C de M(n, p) définie par :
c a b ( 1 i n, 1 j p) ij ij ij = + " £ £ " £ £ s’appelle la matrice somme des matrices A et B .
¨ "A,B,C ÎM(n, p) : (A+ B) +C = A+ (B +C)
¨ "A,BÎM(n, p) : A + B = B + A
¨ "A,BÎM(n, p) : t (A + B)=tA+tB
+ + +
4 4 4
1 3 2 2 3 1
B 3 2 1
- - -
=
A et 1 2 3
· Soient A une matrice de M(n, p) et a un réel (a Î IR) . La matrice C de M(n, p)
définie par : c a ( 1 i n, 1 j p) ij ij =a " £ £ " £ £ s’appelle la matrice produit externe de
la matrice A par le scalaire a .
¨ "AÎM(n, p) , "a ,b Î IR : (a +b ).A =a .A+b .A
¨ "A,BÎM(n, p) , "a Î IR : a .(A + B) =a .A +a .B
¨ AÎM(n, p) et a = 1 ⇒1.A = A
¨ AÎM(n, p) et a = 0 n p A , ⇒0. = 0
¨
- ´ - ´ - ´ -
( 3) 1 ( 3) 2 ( 3) ( 1)
- ´ - ´ - ´ -
( 3) 2 ( 3) 1 ( 3) ( 2)
7
III-2 Addition
Définition :
· On note C = A + B .
Propriétés :
Exemple :
=
1 2 3
4 5 6
=
- - -
⇒ + =
3 3 3
4 1 5 2 6 3
A B
III-3 Multiplication par un scalaire
Définition :
· On note C =a .A.
Propriétés :
Exemples :
A et a = -3 :
-
1 2 1
-
=
2 1 2
- -
3 6 3
- -
=
- =
6 3 6
( 3).A
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8. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice deM(m, p) . La matrice C de
m
ij ik kj £ £ " £ £ " =Σ=
M(n, p) définie par : c a b ( 1 i n , 1 j p
)
produit de la matrice A par la matrice B .
· On note C = A´ B .
· On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des
colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ).
¨ "AÎM(n,m) , BÎM(m, p) ,C ÎM( p,q) : (A´ B) ´C = A´(B ´C)ÎM(n,q)
¨ "AÎM(n,m) ,"B,C ÎM(m, p) : A´(B +C) = (A´ B) + (A´C)ÎM(n, p)
¨ "AÎM(n,m) et "BÎM(m, p) : t (A´ B)=tB´tAÎM( p,n)
III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne :
Soient ( , , , , ) i1 ik im A = a L a L a une matrice ligne (AÎM(1,m)) et
(B ÎM(m,1)) . La matrice C = A´ B est alors égale au scalaire défini par :
i j ik kj im mj C = a 1b1 +L+ a b +L+ a b , (AÎM(1,1))
A´ B = 1´(-2) + 2´0 + (-1) ´2 + 0´1+ (-2) ´(-1) = -2
8
III-4 Produit de deux matrices
III-4-1 Définition et propriétés
Définition :
1
k
s’appelle la matrice
Propriétés :
=
j
b
M
1
b
kj
M
b
mj
B
une matrice colonne
Exemple :
¨ A = (1,2,-1,0,-2) et
B :
-
-
=
2
0
2
1
1
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9. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel :
Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice de M(m, p) :
a
a
M
L
M
M
L
M
M
A ¬
i ligne L
Pour obtenir le coefficient ij P de la matrice produit P = A´ B ,on fait le produit de la ligne i L de
la matrice A ( i L : matrice ligne) par la colonne j C de la matrice B ( j C : matrice colonne) :
p
LC
1 1
M
LC
i p
M
L C
n p
B :
AÎM(2,3) et BÎM(3,2) ⇒(A´ B)ÎM(2,2) et (B ´ A)ÎM(3,3)
-
=
´ ´
´ =
0 2
L C L C
1 1 1 2
L C L C
0 1
´ ´ ´
L C L C L C
1 1 1 2 1 3
´ ´ ´
L C L C L C
2 1 2 2 2 3
´ ´ ´
L C L C L C
3 1 2 3 3 3
9
,
1 1
a
11
1
1
i
m
im
nm
k
ik
nk
n
a
M
a
a
M
a
a
M
a
=
L
M
L
L
M
L
L
1 1
M
L
M
L
j
p
b
M
b
kp
M
b
mp
j
b
M
b
kj
M
b
mj
b
M
11
b
k
M
b
1
1
m
L
M
L
M
L
colonne C
B
=
M
M
=
j
LC
M
LC
i j
M
L C
n j
LC
1 1
LC
i
1
L C
n
P
L
M
L
M
L
L
M
L
M
L
1
, PÎM(n, p)
Exemples :
-
1 2 1
¨
A et
-
=
2 1 2
1 0
0 1
= -
1 0
-
´ ´
2 1 2 2
A B
1 2 1
2 1 2
1 2 1
-
-
- -
=
´ =
B A
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10. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
=
B
AÎM(2,3) et BÎM(3,4) ⇒(A´ B)ÎM(2,4)
2 2 3 1
=
´ ´ ´ ´
´ =
L C L C L C L C
1 1 1 2 1 3 1 4
L C L C L C L C
´ ´ ´ ´
2 1 2 2 2 3 2 4
On ne peut pas effectuer la multiplication B ´ A.
· Soit A une matrice carrée d’ordre n (AÎM(n)) . On définit les puissances de la
p = ´ ´ Î Î 14L243 , avec n A0 = I
matrice A par : A A A ( p IN* ), A M(n)
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n (A,BÎM(n)) .
Si les matrices A et B commutent (A´ B = B ´ A) , alors :
p
p
Σ Σ
A B p C A B C A B
( ) . .
=
0 k
0
Cette formule s’appelle la formule de Newton.
-
=
1 0
A et B
¨ Les matrices A et B commutent :
-
´ =
2 0
B A et
9 0
B A et ) ( ) ( ) ( 2 B A B A B A + ´ + = +
10
-
1 2 1
¨
A et
-
=
2 1 2
1 0 0 1
0 1 1 0
- -
1 0 1 0
4 1 3 2
A B
III-5 Puissance d’une matrice
Définition :
p fois
Théorème :
k p -
k k
p
k k p k
p
+ = - =
=
k
=
2 0
Exemple :
1 2
1 1
-
´ =
2 0
1 2
1 2
B A
¨ Le calcul direct de (A + B)2 :
+ =
3 0
0 3
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⇒ + =
0 9
(A B)2
11. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
¨ La formule de Newton pour le calcul de (A + B)2 :
4 0 A2 A A ,
1 0 B2 = B ´ B =
et III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices
¨ M(n) est un espace vectoriel réel de dimension n2 :
La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi + .
Le symétrique de la matrice A pour la loi + est égal à sa matrice opposée.
B {E , 1 i, j n } ij = £ £ est une base de M(n) ,
=
1 si ( m , n ) ( i , j
)
=
:
( )
E ij mn ij
La base B s’appelle la base canonique de M(n) .
¨ La matrice identité est l’élément neutre pour la loi ´ .
¨ En général A ´ B ¹ B ´ A : ´
=
´
0 0
0 0
1 0
¨ En général n n n B A B A 0 ou 0 0 = = ⇒/ = ´ :
11
(A + B)2 = A2 + 2.A´ B + B2
= ´ =
4 4
-
2 1
-
´ =
2 0
1 2
A B
⇒ + =
9 0
(A B)2
0 9
¬
=
0
M
0
0
M
1
0
M
0
L
M
L
M
E ligne i
M
0
L
M
L
L
M
L
colonne j
M
0
M
0
0 sinon
´
¹
1 0
1 0
0 1
0 1
0 1
0 1
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0
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12. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· Une matrice carrée A d’ordre n (AÎM(n)) est dite inversible s’il existe une matrice
carrée B d’ordre n (B ÎM(n)) telle que : n A´ B = B ´ A = I
· On note B = A-1
· La matrice B = A-1 s’appelle la matrice inverse de la matrice A .
-
-
=
3 2
A ,
1 0
I A B B A =
´ = ´ =
B : 2 0 1
La matrice A est alors inversible et A-1 = B .
0
a
c d
¹ ´ =
B A ¹
´ =
B : 2 2 0
La matrice A est alors non inversible.
Si deux matrices A et B de M(n) sont inversibles alors la matrice A´ B est
inversible et (A´ B)-1 = B-1 ´ A-1 .
En particulier si une matrice A de M(n) est inversible alors la matrice (A) p , pÎ IN *
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de
Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette méthode,
dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en n I et par la même occasion la
matrice n I en A-1 en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type addition à
chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire ou
permutation des lignes.
Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A ,
une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les
coefficients de la matrice n I dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible.
12
IV- Matrice inversible
Définition :
Exemples :
=
1 2
¨
1 3
1 1
=
0 1
¨
=
a b
A ,
0 0
c d
0 0
I
c
I B A
Théorème :
est inversible et (Ap )-1 = (A-1) p .
V-1 Principe de la méthode
déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant.
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13. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
2 3 1
- -
1 2 1
2 4 1
Exposé de la méthode :
¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour
faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients
de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite:
¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite :
1 0 0
0 1 0
0 0 1
¨ On multiplie la 1ère ligne par (1/ 2) : 1 1 L ®(1/ 2).L :
1/ 2 0 0
0 1 0
0 0 1
¨ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne : 2 2 1 L ® L + L
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-2) : 3 3 1 L ® L - 2L
1/ 2 0 0
-
1/ 2 1 0
1 0 1
¨ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne : 2 3 L « L
1/ 2 0 0
-
1 0 1
1/ 2 1 0
13
V-2 Exemples
V-2-1 Matrice inversible :
-
-
=
A
2 3 1
1 2 1
2 4 1
-
-
- -
1 3/ 2 1/ 2
1 2 1
2 4 1
-
- -
-
1 3/ 2 1/ 2
-
-
0 1/ 2 1/ 2
0 1 0
1 3/ 2 1/ 2
0 1 0
-
-
0 1/ 2 1/ 2
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14. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
¨ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par (-3/ 2) : 1 1 2 L ® L - (3/ 2)L
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (1/ 2) : 3 3 2 L ® L + (1/ 2)L
2 0 3/ 2
1 0 1
0 1 1/ 2
¨ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne : 1 1 3 L ® L + L
-
2 1 1
1 0 1
0 1 1/ 2
¨ On multiplie la 3ème ligne par (2) : 3 3 L ®2.L
2 1 1
1 0 1
0 2 1
¨ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité 3 I . La matrice qui
apparaît simultanément à la place de la matrice identité 3 I n’est autre que la matrice A-1 .
-
=
14
-
-
-
1 0 1/ 2
0 1 0
0 0 1/ 2
-
1 0 0
0 1 0
0 0 1/ 2
-
-
1 0 0
0 1 0
0 0 1
¨ En effet :
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
2 3 1
1 2 1
2 4 1
-
-
- -
2 1 1
1 0 1
0 2 1
-
2 1 1
1 0 1
0 2 1
-
-
2 3 1
1 2 1
2 4 1
-
-
- -
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15. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
=
A
Exposé de la méthode :
¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour
faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients
de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite:
¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite :
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-1) : 3 3 1 L ® L - L
1 0 0
0 1 0
1 0 1
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (-1) : 3 3 2 L ® L - L
1 0 0
0 1 0
1 1 1
¨ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle
( 3 L ), la matrice A est alors non inversible.
15
V-2-2 Matrice non inversible :
1 0 1
0 1 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
0 1 0
1 1 1
1 0 1
-
0 1 0
0 1 0
- -
1 0 1
0 1 0
0 0 0
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16. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
VI- Matrice associée à un système de vecteurs
Soit (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { } n B e , , e = 1 L .
Soit un système de p vecteurs de E , { } p S u , ,u = 1 L .
· On appelle la matrice du système { } p S u , ,u = 1 L , relativement à la base { } n B e , , e = 1 L ,
L
1 1 1
ij
j
nj
a
M
a
M
a
a
11
M
a
M
a
1
1
M
M
M
L
M
L
L
M
L
M
L
u u u
a
a
a
j p
où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur j u du système
{ } p S u , ,u = 1 L dans la base { } n B e , , e = 1 L : u a ei j p
· On note A = M(S / B) : (AÎM(n, p))
¨ La matrice A dépend de la base B choisie.
¨ E = IR3
¨ { } 1 2 3 B = e , e , e la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 e = , (0,1,0) 2 e = et (0,0,1) 3 e = .
¨ { } 1 2 3 S = u ,u ,u : (2,0, 2) 1 u = - , (1, 2,1) 2 u = - et (0, 2,3) 3 u = - :
= - = + + -
(2,0, 2) 2.(1,0,0) 0.(0,1,0) ( 2).(0,0,1)
= - = + - +
(1, 2,1) 1.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 1.(0,0,1)
= - = + - +
(0, 2,3) 0.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 3.(0,0,1)
16
Définition :
la matrice suivante :
e
e
i
e
n
p
ip
np
i
n
A
¬
¬
¬
=
1
n
= =Σ=
j ij , 1,
i
1
Remarque :
Exemple :
2 1 0
⇒ = - -
0 2 2
2 1 3
-
u u u
1 2 3
e
1
e
2
e
3
u
1
2
3
A
u
u
¬
¬
¬
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17. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
VII- Matrice d’une application linéaire
Soient (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base
{ } p B u , ,u = 1 L et (F,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base
{ } n B' v , ,v = 1 L . Soit f une application linéaire de (E,+,.) vers (F,+,.) .
· La matrice de f relativement aux bases B et B' , notée par M( f / B,B' ) c’est la
matrice du système { ( ), , ( )} 1 p S = f u L f u , relativement à la base { } n B' v , , v = 1 L .
¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors :
v
a
a
¬
L
1 1 1
a
11
1
1
p
ip
np
ij
j
nj
i
n
M
a
M
a
M
a
M
a
M
a
M
a
M
L
M
L
L
M
L
M
L
( ) ( ) ( )
f u f u f u
j p
¨ La colonne j de la matrice M( f / B,B' ) représente les coordonnées du vecteur ( ) j f u
= + + + +
( )
f u a v L a v L
a v
1 11 1 1 1
i i n n
= + + + +
M
( )
f u a v L a v L
a v
1 1
j j ij i nj n
= + + + +
M
( )
f u a v L a v L
a v
1 1
p p ip i np n
¨ La matrice M( f / B,B' ) dépend des bases choisies B et B' .
17
Définition :
Remarques :
( / , ' )
1
i
n
v
v
M f B B
¬
¬
=
, (M( f / B,B' )ÎM(n, p))
dans la base B' :
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18. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Exemple : E = IR2 , F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x)
¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = .
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = .
= - = + -
( ) (1,1, 1)
f u v v v
1 1 2 3
= - = - + +
f u v v v
2 1 2 3
¨ { } 1 2 B = u ,u une base de IR2 : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = -
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v une base de IR3 : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - -
= =
( ) (0,2,0) 2
f u v
1 2
= - = +
( ) ( 2,0,2) 2 2
f u v v
2 2 3
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et
B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors :
M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' )
Exemple : E = IR3 , F = IR2 et G = IR2 : f (x, y, z) = (x + y, y + z) et g(x, y) = ( y, x)
¨ B
= { e , e , e } la base canonique de IR3 : e = (1,0,0) , e = (0,1,0) et e =
(0,0,1) 1 2 3 1 2 3 ¨ B' = B= { e ,e } la base canonique de IR2 : e = (1,0) et e = (0,1) .
1 2 1 2 ¨ f (x, y, z) = (x + y, y + z) ⇒ M( f / B, B' )
=
0 1
¨ g(x,
y) = ( y, x) ⇒ M(g / B',B)
=
0 1 1
¨
(g o f )(x, y, z) = ( y + z, x + y) ⇒ M(g o f / B,B)
=
¨ M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) :
=
´
) ' , / ( ) , ' / ( B B f g M B B f M B B g M o =
18
·
1 1
1 1
1 1
-
-
⇒ =
( / , ' )
( ) ( 1,1,1)
M f B B
·
⇒ =
0 0
2 2
0 2
( / , ' )
M f B B
¨ M( f / B,B' ) ¹ M( f / B,B' )
Théorème : (matrice de la composée)
1 1 0
0 1 1
1 0
1 1 0
( / , )
0 1 1
1 1 0
1 1 0
0 1 1
0 1
1 0
´ =
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19. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soient B {u , ,un} = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L deux bases d’un espace vectoriel réel E . On
appelle la matrice de passage de la base B à la base B' et on note BB' P , la matrice du
système { } n B' v , , v = 1 L relativement à la base { } n B u , ,u = 1 L .
¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors :
L
1 1 1
ij
j
nj
a
M
a
M
a
a
11
M
a
M
a
1
1
M
M
M
L
M
L
L
M
L
M
L
v v v
a
a
a
j n
¨ La colonne j de la matrice de passage BB' P représente les coordonnées du vecteur j v
= + + + +
v a u L a u L
a u
1 11 1 1 1
i i n n
= + + + +
M
v a u L a u L
a u
1 1
j j ij i nj n
= + + + +
M
v a u L a u L
a u
1 1
n n in i nn n
¨ Si B et B' sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors :
· BB n P = I , où Id est l’application identité de E .
· ( / ', ) ' P M Id B B BB = , où Id est l’application identité de E .
Si { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors
( )- 1
= .
' la matrice de passage de B à B' , est inversible et BB B B P P '
19
VIII- Changement de base
VIII-1 Matrice de passage
Définition :
Remarques :
i
n
n
in
nn
P
=
'
BB i
n
u
u
u
¬
¬
¬
1
, ( ( )) ' P M n BB Î
dans la base B :
Théorème :
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20. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
¨ Dans IR2 , on considère les bases B et B' :
e ' (1,1)
e e
e e e
1 1 2
' ( 1,1)
2 1 2
'
1
'
1
(1,0)
e e e
1 1 2
'
2
1
'
2
1
(0,1)
e e e
1 1 2
Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E .
n
x x u x u x u
n n i i
i
1
1 1
L
' L ' '
x x v x v x v
n n j j
= , : = (1,0), =
(0,1)
' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1)
B e e e e
1 2 1 2
= = = -
B e e e e
1 2 1 2
= 2
-
x e e
= +
1 2
' ' ' '
x x e x e
1 1 2 2
X : ' ' ' ' (2, 1) ' (1,1) ' ( 1,1) 1 1 2 2 1 2 x = x e +x e ⇒ - = x + x -
' 1/ 2
1
' 3/ 2
X par la formule de changement de base X P X B B' . ' = :
= = ⇒
-
⇒ =
1/ 2
P X ' P .
X B ' B B ' B 20
Exemple :
{ }
{ }
= , : = (1,0), =
(0,1)
' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1)
B e e e e
1 2 1 2
= = = -
B e e e e
1 2 1 2
·
= = +
= - = - +
1 1
-
⇒ =
1 1
BB' P
·
= = -
= = +
2
2
-
⇒ =
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
B'B P
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur
Théorème :
Soit un x vecteur de E .
Si
= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = ,
avec
=
1
X M
x
n x
et
=
x
'
1
M
'
n x
X
'
Exemple : E = IR2 et
{ }
{ }
deux bases de E = IR2
¨ x = (2,-1)ÎIR2 :
=
2
-
⇒ =
'
x
1
'
2
et '
X X
1
x
'
x
¨ Calcul direct de =
1
'
2
'
x
=
= -
⇒
- =
' ' 2
x x
1 2
+ = -
⇒
' ' 1
2
x x
1 2
x
x
-
⇒ =
1/ 2
3/ 2
X '
=
'
x
1
'
¨ Calcul de
2
'
x
-
-
-
=
2
1
.
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
3/ 2
X '
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21. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis respectivement des bases
{ } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x
vecteur de E .
p
x x u x u x u
p p i i
i
1
1 1
L
( ) L
f x y v y v y v
n n j j
1
.
Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x)
¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = .
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = .
⇒ =
x
1
x
1 2 x = (x , x )ÎIR : 1 1 2 2 u x u x x + =
=
-
=
2
¨ Si 2 ) 1 , 2 ( IR x Î - = , alors
X et
1
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers
F . Si 1 B et 1 B' sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors :
M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1
. M ( f / B , B ). P
1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1
21
VIII-3 Application linéaire
Théorème :
Si
= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors Y = M( f / B,B' ).X ,
où :
=
1
X M
x
p x
et
=
Y M
y
n y
¨
1 1
1 1
1 1
-
-
= - = + -
( ) (1,1, 1)
f u v v v
1 1 2 3
= - = - + +
( / , ' )
( ) ( 1,1,1)
f u v v v
2 1 2 3
M f B B
¨ Soit 2
⇒ =
2
X
¨ Y = M( f / B,B' ).X
-
x x
1 2
+
x x
1 2
-
=
1 1
.
1 1
1 1
-
-
=
⇒
x x
2 1
x
1
2
x
1
2
y
1
2
3
( / , ' ).
x
x
M f B B
y
y
-
=
1 1
-
-
-
=
3
1
3
2
1
.
1 1
1 1
y
1
2
3
y
y
Théorème :
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
22. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x)
o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u =
o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = -
o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v =
o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - -
1 1
-
=
( / , ) 1 2 B B f M et
1/ 2 0 1/ 2
= -
( / , ) . ( / , ). 1 2 B B 1 2 B B M f B B = P M f B B P
2 2 1 1
1/ 2 0 1/ 2
1 1 0
1/ 2 0 1/ 2
= = =
( ) ((1,1)) (0,2,0) 2
f u f v
1 2 M f B B
= - = - = +
( ) (( 1,1)) ( 2,0,2) 2 2
f u f v v
2 2 3
22
¨ Dans IR2 , on considère les bases
¨ Dans IR3 , on considère les bases
¨
1 1
1 1
1 1
-
-
=
1 1
B1B1 P
¨
-
⇒
1
= - -
v v v v
1 1 2 3
=
2
v v
2 2
1
= +
1 1 0
1/ 2 0 1/ 2
1
v v v
3 1 3
2
2
1
2
B B P
2 2
¨
=
1 1
.
-
1 1
1 1
1 1
-
-
.
⇒ = -
-
0 0
2 2
0 2
1 1
( / , ) 1 2 M f B B
¨ Calcul direct de ( / , ) 1 2 M f B B :
⇒ =
0 0
2 2
0 2
( / , )
1 2
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
23. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et
B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors :
M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' )
¨ { } p B u , ,u = 1 L , { } n B' v , ,v = 1 L et { } m B w , ,w = 1 L bases respectives de E , F et G :
n
· Σ=
: ( ) , où A = M( f / B,B' )
j j ij i u B f u a v
1
n
· Σ=
': ( ) , où B = M(g / B',B)
i i ki k v B g v b v
n
· Σ=
: ( o )( ) , où C = M(g o f / B,B)
Î =
j j kj k u B g f u c v
¨ u B j Î , on a alors : ( f et g sont linéaires)
j j ij i g f u g f u g Σa v Σa g v Σa Σb w Σ Σb a w
=
= =
( o )( ) ( ( )) ( )
= = = = = =
1 i
1 1 1 1 1
m
¨ Or u Î B , =
Σon a : ( o )( )
j j kj k g f u c w
k
1
n
kj kia b c Σ=
¨ D’où : C = B ´ A ( )
1
¨ On a alors : M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' )
Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E .
n
x x u x u x u
n n i i
i
1
1 1
L
' L ' '
x x v x v x v
n n j j
23
Théorème : (matrice de la composée)
Preuve :
Î =
i
Î =
i
1
i
1
k
m
k
ij
n
i
ki
n
i
k
m
ij ki
k
n
ij i
n
i
= =
=
ij
i
=
Théorème :
Soit un x vecteur de E .
Si
= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = ,
avec
=
x
1
X M
n x
et
=
x
'
1
M
'
n x
X
'
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
24. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
' ( { } n B' v , ,v = 1 L est une base de E )
n
· Or Σ=
1 j n : v a u
, avec A = P
j ij i BB' 1
n
n
n
n
· D’où : Σ Σ Σ Σ
' '
j ij i x x a u a x u
=
= = = =
1 1 1 1
et { } n B u , ,u = 1 L est une base de E
' et alors : . ' ' X P X BB =
¨ On montre de même que X P X B B' . ' =
Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis des bases { } p B u , ,u = 1 L
et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x vecteur de E .
p
x x u x u x u
p p i i
i
1
1 1
L
( ) L
f x y v y v y v
n n j j
1
.
( { } p B u , ,u = 1 L est une base de E )
( ) ( ) ( ) ( f est linéaire)
j j f x f x u x f u
j j
1 : ( ) , avec A = M( f / B,B' ) , donc :
j ij i j p f u a v
n
p
( ) ⇒ ( )
=
Σ Σ
ij j f x a x v
( ) et { } n B' v , ,v = 1 L est une base de F
⇒Y = M( f / B,B' ).X
24
Preuve :
¨ Montrons que . ' ' X P X BB =
n
· =
ΣxÎ E : =
j j x x v
j
1
£ £ =
i
=
i
i
j
ij j
j
i
n
=
· Or =
Σi i x x u
i
1
n
=
· Donc =
Σi ij j x a x
j
1
Théorème :
Si
= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors Y = M( f / B,B' ).X ,
où :
=
1
X M
x
p x
et
=
Y M
y
n y
Preuve :
p
¨ =
ΣxÎ E : =
j j x x u
j
1
p
p
Σ Σ
= =
⇒ = =
1 j
1
j
n
=
¨ Or Σ£ £ =
i
1
p
n
Σ Σ
= =
=
j ij i f x x a v
j
1 i
1
= =
i
i
1 j
1
n
=
¨ Or =
Σi i f x y v
i
1
p
Σ=
⇒ =
i ij j y a x
j
1
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
25. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers
F . Si B1 et B'1 sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors :
M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1
. M ( f / B , B ). P
1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1
¨ { } p B u , ,u 1 = 1 L et { } p B' u' , ,u' 1 = 1 L deux bases de E :
p
p
· xÎ E : = Σ =
Σ
' ' ,
j j x x u x u
= =
1 1
1
M alors . '
x
'
'
p x
¨ { } n B v , , v 2 = 1 L et { } n B' v' , ,v' 2 = 1 L deux bases de F .
n
n
· y = f (x)ÎF : = = Σ =
Σ
( ) ' ' ,
i i y f x y v y v
1
M alors . '
¨ Y M( f / B ,B ).X 1 2 = et ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X avec
¨ D’où . ' ( / , ). . '
= -
2 '2 1 2 1 '1 P Y M f B B P X B B B B = et alors ' ( ) . ( / , ). . '
2 2 1 2 1 '1
1 2 ' ( / ' , ' ) ( ) . ( / , ). B B B B M f B B = P - M f B B P
25
Théorème :
Preuve :
j
j j
j
· Si
=
1
X M
x
p x
et
=
X
'
1 '1 X P X B B =
= =
1 i
1
i i
i
· Si
=
1
Y M
y
n y
et
=
y
'
'
n y
Y
'
2 '2 Y P Y B B =
=
X P X
=
. '
. '
'
B B
1 1
Y P Y
'
B B
2 2
1
' Y P M f B B P X B B B B
¨ Or ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X donc
1
2 2 1 2 1 '1
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