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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
CHAPITRE 3 : MATRICES 
I- Généralités.................................................................................................................................................2 
I-1 Définition...........................................................................................................................................................2 
I-2 Matrices particulières ......................................................................................................................................3 
II- Matrices carrées ......................................................................................................................................4 
II-1 Diagonale d’une matrice carrée.....................................................................................................................4 
II-2 Matrice diagonale ...........................................................................................................................................4 
II-3 Matrice triangulaire .......................................................................................................................................5 
II-4 Matrice symétrique.........................................................................................................................................5 
II-5 Matrice antisymétrique ..................................................................................................................................6 
III- Opérations sur les matrices ...................................................................................................................6 
III-1 Egalité.............................................................................................................................................................6 
III-2 Addition..........................................................................................................................................................7 
III-3 Multiplication par un scalaire......................................................................................................................7 
III-4 Produit de deux matrices ..............................................................................................................................8 
III-5 Puissance d’une matrice .............................................................................................................................10 
III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices.......................................................................................................11 
IV- Matrice inversible.................................................................................................................................12 
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan........................................................................................12 
V-1 Présentation...................................................................................................................................................12 
V-2 Exemples ........................................................................................................................................................13 
VI- Matrice associée à un système de vecteurs..........................................................................................16 
VII- Matrice d’une application linéaire.....................................................................................................17 
VIII- Changement de base .........................................................................................................................19 
VIII-1 Matrice de passage ...................................................................................................................................19 
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur.........................................................................................................................20 
VIII-3 Application linéaire ..................................................................................................................................21 
IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours...................................................................23 
1 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
· On appelle une matrice A , de type (n, p) ( n, pÎIN* ) à coefficients réels, un tableau 
de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la matrice 
A . On note par : 
a 
M 
1 1 
a 
M 
a 
ij 
j 
nj 
­ 
L 
M 
L 
M 
L 
L 
M 
L 
M 
L 
colonne j 
· On appelle le coefficient ij i n j p a ,1£ £ ,1£ £ de la matrice A , l’élément d’intersection de la 
ij i n j p A = a £ £ £ £ ( ),1 , , 
· On note M(n, p) l’ensemble des matrices de type (n, p) . 
4 
1 
 
   
 
= 
   
 
= (3,2) 
B ÎM 
 
= D = (1 2)ÎM(1,2) E = (1)ÎM(1,1) 
2 
I- Généralités 
I-1 Définition 
Définition : 
ligne i 
a 
M 
a 
M 
a 
a 
M 
11 
a 
M 
a 
A 
p 
ip 
np 
i 
1 
n 
¬ 
 
      
 
 
      
 
= 
1 
ligne i et la colonne j . 
· On note aussi la matrice A par : 
i 
   
désigne l'indice de la ligne 
j 
désigne l'indice de la colonne 
Exemples : 
3 
2 
1 
 
¨ (2,3) 
 
A Î M 4 
5 
 6 
  
5 
6 
2 
3 
 
 
1 
 
¨ (2,1) 
 
C Î M 2 
   
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
o C’est toute matrice A de type (1, p) , (AÎM(1, p)) 
I-2-2 Matrice colonne 
o C’est toute matrice A de type (n,1) , (AÎM(n,1)) 
I-2-3 Matrice nulle 
o C’est la matrice de M(n, p) dont tous les coefficients ij a son nuls. On note n, p 0 . 
I-2-4 Matrice unité ou identité 
o C’est la matrice de M(n,n) dont les coefficients ij a vérifient 
o La matrice opposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M(n, p) dont les 
coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A . On note B = (-A) : 
1 2 
 
= : (2,2) 
 
- - 
) ( M A Î   
5 
3 
1 
- 
- 
- 
 
 
= : (2,3) 
) ( M A Î   
2 
1 
 
 
= 
tA ÎM 
- = (3,2) 
3 
I-2 Matrices particulières 
I-2-1 Matrice ligne 
   
= 
1 
= ¹ 
a 
ii 
0 si 
a i j 
ij 
. On note n I . 
I-2-5 Matrice opposée 
£ £ = - 
i n 
1 , 
£ £ = 
j n 
1 , 
1 
 
 
= 
tA 2 
ÎM 
1 2 
M A Î   
1 3 
 
= 
M A t Î   
5 
3 
1 
M A Î   
4 
3 
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j p 
ij ij b a 
£ £ 
1 
o B = (-A) ssi A = (-B) 
I-2-6 Matrice transposée 
o La matrice transposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M( p,n) dont les 
lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A . 
o On note B=tA : 
i p 
ij ji b a 
£ £ 
1 
o B=tA ssi A=tB 
Exemples 
¨ D et E sont des matrices lignes 
¨ C et E sont des matrices colonnes 
¨ A = (1 2 3)ÎM(1,3) : (-A) = (-1 - 2 - 3)ÎM(1,3) (3,1) 
3 
   
 
   
 
¨ (2,2) 
3 4 
 
  
3 4 
 
  
- - 
- = (2,2) 
2 4 
 
  
¨ (2,3) 
6 
4 
2 
 
  
6 
4 
2 
 
  
- 
- 
- 
6 
5 
   
 
   

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· On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type ( n , n ) . 
· On note M(n) l’ensemble des matrices de type (n,n) . 
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . Les coefficients 
a i n ii ( )1 £ £ sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la 
diagonale principale de la matrice A . 
A . Les éléments diagonaux de la matrice A sont 1 11 a = et 4 22 a = . 
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . 
On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux 
de la matrice sont nuls : (a 0 si i j) ij = ¹ 
a 
0 
0 0 
 
     
 
= 
     
L 
O O M 
¨ Matrice scalaire , ( ) 
A Î 
M O O 
0 0 
¨ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec a = 1) : 
4 
II- Matrices carrées 
Définition : 
II-1 Diagonale d’une matrice carrée 
Définition : 
Exemple : 
 
 
= 
1 2 
¨   
  
3 4 
II-2 Matrice diagonale 
Définition : 
Exemples : 
 
 
= 
1 0 
¨   
  
0 2 
A 
0 
a IR 
a 
 
 
L 
 
= 
1 0 0 
0 
O O M 
M O O 
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 
     
 
     
 
0 
0 L 
0 1 
L 
n I
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Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . 
· On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de la 
diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = < : 
0 0 
a 
 
 
11 
a 
= 21 
£ £ 
     
     
L 
O O M 
A ij i j n 
M O O 
a a a 
L - 
1 ( 1) 
n n n nn 
· On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous de 
la diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = > : 
a a a 
 
L 
 
11 12 1 
n 
0 
= £ £ 
     
     
O O M 
A ij i j n 
M O O 
0 0 
sont des matrices triangulaires inférieures. 
sont des matrices triangulaires supérieures. 
¨ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée tA est 
triangulaire inférieure et inversement. 
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . 
· On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice 
transposée : A=tA (a a 1 i, j n) ji ij = " £ £ 
5 
II-3 Matrice triangulaire 
Définition : 
Î 
, (( ) ) 
0 
a IR 
1 , 
 
 
Î 
, (( a ) IR 
) 
1 , 
- 
( 1) 
a 
a 
n n 
nn 
 
 
L 
Exemples : 
¨ 
 
   
 
 
   
 
0 0 0 
- 
0 1 0 
1 0 2 
 
1 0 
 
3 2 
  
et   
¨ 
 
   
 
 
   
 
0 1 2 
- 
0 1 3 
0 0 2 
 
1 3 
 
0 2 
  
et   
Remarque : 
II-4 Matrice symétrique 
Définition : 
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Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . 
· On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est 
égale à sa matrice opposée : tA = (-A) (a a 1 i, j n) ji ij = - " £ £ 
¨ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls : 
(a a 1 i, j n) (a 0 1 i n) ji ij ii = - " £ £ ⇒ = " £ £ 
Deux matrices A et B de M(n, p) sont égales si elles ont les mêmes coefficients : 
· A º B ssi a b i n j p ij ij = , "1 £ £ , "1 £ £ , avec ( ) ij A = a et ( ) ij B = b 
6 
Exemples : 
¨ 
 
     
 
 
     
 
- 
1 2 4 2 
2 3 5 3 
- 
- 
- 
= 
4 5 1 2 
2 3 2 1 
A 
 
   
 
 
= 
1 3 
A   
 
0 1 2 
 
= - 
   
 
1 1 3 
2 3 2 
  
3 2 
A 
II-5 Matrice antisymétrique 
Définition : 
Exemples : 
¨ 
 
     
 
 
     
 
0 2 4 2 
- 
- 
2 0 5 3 
- - 
4 5 0 2 
- - 
= 
2 3 2 0 
A 
 
   
 
 - 
= 
  
0 3 
A   
 
 
   
 
- 
0 1 2 
- 
- 
= 
1 0 3 
2 3 0 
3 0 
A 
Remarque : 
III- Opérations sur les matrices 
III-1 Egalité 
Définition : 
Propriété : 
¨ t AºtB ssi A º B 
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· Soient A et B deux matrices de M(n, p) . La matrice C de M(n, p) définie par : 
c a b ( 1 i n, 1 j p) ij ij ij = + " £ £ " £ £ s’appelle la matrice somme des matrices A et B . 
¨ "A,B,C ÎM(n, p) : (A+ B) +C = A+ (B +C) 
¨ "A,BÎM(n, p) : A + B = B + A 
¨ "A,BÎM(n, p) : t (A + B)=tA+tB 
+ + + 
4 4 4 
1 3 2 2 3 1 
 
 
B   3 2 1 
 
- - - 
= 
A et 1 2 3 
 
 · Soient A une matrice de M(n, p) et a un réel (a Î IR) . La matrice C de M(n, p) 
définie par : c a ( 1 i n, 1 j p) ij ij =a " £ £ " £ £ s’appelle la matrice produit externe de 
la matrice A par le scalaire a . 
¨ "AÎM(n, p) , "a ,b Î IR : (a +b ).A =a .A+b .A 
¨ "A,BÎM(n, p) , "a Î IR : a .(A + B) =a .A +a .B 
¨ AÎM(n, p) et a = 1 ⇒1.A = A 
¨ AÎM(n, p) et a = 0 n p A , ⇒0. = 0 
¨   
- ´ - ´ - ´ - 
( 3) 1 ( 3) 2 ( 3) ( 1) 
- ´ - ´ - ´ - 
( 3) 2 ( 3) 1 ( 3) ( 2) 
7 
III-2 Addition 
Définition : 
· On note C = A + B . 
Propriétés : 
Exemple : 
 
  
 
= 
  
1 2 3 
4 5 6 
  
 
=   
  
 
 
- - - 
  
⇒ + = 
3 3 3 
4 1 5 2 6 3 
A B 
III-3 Multiplication par un scalaire 
Définition : 
· On note C =a .A. 
Propriétés : 
Exemples : 
 
 
A et a = -3 : 
  
- 
1 2 1 
- 
= 
2 1 2 
 
  
- - 
3 6 3 
 
- - 
  
 
=   
   
- = 
6 3 6 
( 3).A 
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· Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice deM(m, p) . La matrice C de 
m 
ij ik kj £ £ " £ £ " =Σ= 
M(n, p) définie par : c a b ( 1 i n , 1 j p 
) 
produit de la matrice A par la matrice B . 
· On note C = A´ B . 
· On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des 
colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ). 
¨ "AÎM(n,m) , BÎM(m, p) ,C ÎM( p,q) : (A´ B) ´C = A´(B ´C)ÎM(n,q) 
¨ "AÎM(n,m) ,"B,C ÎM(m, p) : A´(B +C) = (A´ B) + (A´C)ÎM(n, p) 
¨ "AÎM(n,m) et "BÎM(m, p) : t (A´ B)=tB´tAÎM( p,n) 
III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne : 
Soient ( , , , , ) i1 ik im A = a L a L a une matrice ligne (AÎM(1,m)) et 
(B ÎM(m,1)) . La matrice C = A´ B est alors égale au scalaire défini par : 
i j ik kj im mj C = a 1b1 +L+ a b +L+ a b , (AÎM(1,1)) 
A´ B = 1´(-2) + 2´0 + (-1) ´2 + 0´1+ (-2) ´(-1) = -2 
8 
III-4 Produit de deux matrices 
III-4-1 Définition et propriétés 
Définition : 
1 
k 
s’appelle la matrice 
Propriétés : 
 
      
 
 
      
 
= 
j 
b 
M 
1 
b 
kj 
M 
b 
mj 
B 
une matrice colonne 
Exemple : 
¨ A = (1,2,-1,0,-2) et 
 
      
B : 
 
 
      
 
- 
- 
= 
2 
0 
2 
1 
1 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel : 
Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice de M(m, p) : 
a 
a 
 
      
 
      
M 
L 
M 
M 
L 
M 
M 
A ¬ 
i ligne L 
Pour obtenir le coefficient ij P de la matrice produit P = A´ B ,on fait le produit de la ligne i L de 
la matrice A ( i L : matrice ligne) par la colonne j C de la matrice B ( j C : matrice colonne) : 
p 
LC 
1 1 
M 
LC 
i p 
M 
L C 
n p 
B : 
 AÎM(2,3) et BÎM(3,2) ⇒(A´ B)ÎM(2,2) et (B ´ A)ÎM(3,3) 
 
 
- 
 
=   
 
  
´ ´ 
´ = 
0 2 
L C L C 
1 1 1 2 
L C L C 
   
  
0 1 
´ ´ ´ 
L C L C L C 
1 1 1 2 1 3 
´ ´ ´ 
L C L C L C 
2 1 2 2 2 3 
´ ´ ´ 
L C L C L C 
3 1 2 3 3 3 
9 
, 
1 1 
a 
11 
1 
1 
i 
m 
im 
nm 
k 
ik 
nk 
n 
a 
M 
a 
a 
M 
a 
a 
M 
a 
 
 
= 
L 
M 
L 
L 
M 
L 
L 
1 1 
M 
L 
M 
L 
j 
p 
b 
M 
b 
kp 
M 
b 
mp 
j 
b 
M 
b 
kj 
M 
b 
mj 
b 
M 
11 
b 
k 
M 
b 
1 
1 
m 
­ 
L 
M 
L 
M 
L 
colonne C 
B 
 
      
 
 
      
 
= 
 
      
 
 
      
M 
M 
 
= 
j 
LC 
M 
LC 
i j 
M 
L C 
n j 
LC 
1 1 
LC 
i 
1 
L C 
n 
P 
L 
M 
L 
M 
L 
L 
M 
L 
M 
L 
1 
, PÎM(n, p) 
Exemples : 
 
 
- 
1 2 1 
¨   
  
A et 
- 
= 
2 1 2 
 
   
1 0 
0 1 
 
 
= - 
   
 
1 0 
- 
´ ´ 
2 1 2 2 
A B 
 
1 2 1 
 
   
2 1 2 
1 2 1 
 
 
   
 
- 
- 
- - 
= 
 
   
 
 
    
´ = 
B A 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
= 
B 
 AÎM(2,3) et BÎM(3,4) ⇒(A´ B)ÎM(2,4) 
2 2 3 1 
 
 
 
=   
 
  
´ ´ ´ ´ 
´ = 
L C L C L C L C 
1 1 1 2 1 3 1 4 
L C L C L C L C 
  
 ´ ´ ´ ´ 
2 1 2 2 2 3 2 4 
 On ne peut pas effectuer la multiplication B ´ A. 
· Soit A une matrice carrée d’ordre n (AÎM(n)) . On définit les puissances de la 
p = ´ ´  Î  Î 14L243 , avec n A0 = I 
matrice A par : A A A ( p IN* ), A M(n) 
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n (A,BÎM(n)) . 
 Si les matrices A et B commutent (A´ B = B ´ A) , alors : 
p 
p 
Σ Σ 
A B p C A B C A B 
( ) . . 
= 
0 k 
0 
 Cette formule s’appelle la formule de Newton. 
 
 
- 
  
= 
1 0 
 
A et B 
 ¨ Les matrices A et B commutent : 
 
 
- 
  
´ = 
2 0 
B A et   
 
9 0 
B A et ) ( ) ( ) ( 2 B A B A B A + ´ + = +   
10 
 
 
- 
1 2 1 
¨   
  
A et 
- 
= 
2 1 2 
1 0 0 1 
 
   
 
 
   
 
0 1 1 0 
- - 
1 0 1 0 
  
4 1 3 2 
A B 
III-5 Puissance d’une matrice 
Définition : 
p fois 
Théorème : 
k p - 
k k 
p 
k k p k 
p 
+ = - = 
= 
k 
 
 
= 
2 0 
Exemple :   
  
1 2 
1 1 
 
  
 
- 
  
´ = 
2 0 
1 2 
1 2 
B A 
¨ Le calcul direct de (A + B)2 : 
 
  
 
  
+ = 
3 0 
0 3 
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 
  
⇒ + = 
0 9 
(A B)2
Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
¨ La formule de Newton pour le calcul de (A + B)2 : 
4 0 A2 A A ,   
 
1 0 B2 = B ´ B = 
et  III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices 
¨ M(n) est un espace vectoriel réel de dimension n2 : 
 La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi  + . 
 Le symétrique de la matrice A pour la loi  +  est égal à sa matrice opposée. 
 B {E , 1 i, j n } ij = £ £ est une base de M(n) , 
= 
1 si ( m , n ) ( i , j 
) 
   
= 
: 
( ) 
E ij mn ij 
 La base B s’appelle la base canonique de M(n) . 
 
 
 ¨ La matrice identité est l’élément  neutre pour la loi ´ . 
 
¨ En général A ´ B ¹ B ´ A : ´   
 
 
 
 
=   
 
 
´   
0 0 
0 0 
1 0 
¨ En général n n n B A B A 0 ou 0 0 = = ⇒/ = ´ :   
11 
 (A + B)2 = A2 + 2.A´ B + B2 
 
 
= ´ = 
   
  
4 4 
 
 
- 
  
2 1 
 
 
- 
  
´ = 
2 0 
1 2 
A B 
 
 
⇒ + = 
9 0 
(A B)2 
   
  
0 9 
¬ 
 
      
 
       
= 
0 
M 
0 
0 
M 
1 
0 
M 
0 
L 
M 
L 
M 
E ligne i 
M 
0 
­ 
L 
M 
L 
L 
M 
L 
colonne j 
 
M 
0 
M 
0 
0 sinon 
 
 
´   
  
 
 
¹   
  
 
 
 
  
1 0 
1 0 
0 1 
0 1 
0 1 
0 1 
1 0 
1 0 
  
  
  
0 0 
0 1 
0 0 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
· Une matrice carrée A d’ordre n (AÎM(n)) est dite inversible s’il existe une matrice 
carrée B d’ordre n (B ÎM(n)) telle que : n A´ B = B ´ A = I 
· On note B = A-1 
· La matrice B = A-1 s’appelle la matrice inverse de la matrice A . 
 
 
- 
- 
= 
3 2 
A ,   
1 0 
 
 
I A B B A =   
  
´ = ´ = 
B : 2 0 1 
La matrice A est alors inversible et A-1 = B . 
0 
a 
c d 
 
 
 
 
 ¹ ´ =  
B A ¹   
  
  
´ = 
B : 2 2 0 
La matrice A est alors non inversible. 
 Si deux matrices A et B de M(n) sont inversibles alors la matrice A´ B est 
inversible et (A´ B)-1 = B-1 ´ A-1 . 
 En particulier si une matrice A de M(n) est inversible alors la matrice (A) p , pÎ IN * 
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan 
La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de 
Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette méthode, 
dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en n I et par la même occasion la 
matrice n I en A-1 en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type addition à 
chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire ou 
permutation des lignes. 
Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A , 
une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les 
coefficients de la matrice n I dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible. 
12 
IV- Matrice inversible 
Définition : 
Exemples : 
 
 
= 
1 2 
¨   
  
1 3 
  
1 1 
 
 
= 
0 1 
¨   
 
 
 = 
a b 
A ,   
  
0 0 
  
c d 
 
0 0 
I 
c 
I B A 
Théorème : 
est inversible et (Ap )-1 = (A-1) p . 
V-1 Principe de la méthode 
déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant. 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
2 3 1 
- - 
1 2 1 
2 4 1 
Exposé de la méthode : 
¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on 
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour 
faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients 
de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite: 
¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite : 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
¨ On multiplie la 1ère ligne par (1/ 2) : 1 1 L ®(1/ 2).L : 
1/ 2 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
¨ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne : 2 2 1 L ® L + L 
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-2) : 3 3 1 L ® L - 2L 
 
1/ 2 0 0 
-    
 
1/ 2 1 0 
1 0 1 
¨ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne : 2 3 L « L 
1/ 2 0 0 
 
- 
1 0 1 
1/ 2 1 0 
13 
V-2 Exemples 
V-2-1 Matrice inversible : 
 
   
 
 
   
 
- 
- 
= 
A 
 
   
 
 
   
 
2 3 1 
 
   
1 2 1 
2 4 1 
 
 
   
 
- 
- 
- - 
 
   
 
 
   
 
 
   
1 3/ 2 1/ 2 
1 2 1 
2 4 1 
 
 
   
 
- 
- - 
- 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
1 3/ 2 1/ 2 
- 
- 
0 1/ 2 1/ 2 
0 1 0 
 
   
 
   
 
 
   
 
 
   
 
1 3/ 2 1/ 2 
0 1 0 
- 
- 
0 1/ 2 1/ 2 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
¨ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par (-3/ 2) : 1 1 2 L ® L - (3/ 2)L 
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (1/ 2) : 3 3 2 L ® L + (1/ 2)L 
2 0 3/ 2 
1 0 1 
0 1 1/ 2 
¨ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne : 1 1 3 L ® L + L 
- 
2 1 1 
1 0 1 
0 1 1/ 2 
¨ On multiplie la 3ème ligne par (2) : 3 3 L ®2.L 
2 1 1 
 
   
1 0 1 
0 2 1 
 
¨ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité 3 I . La matrice qui 
apparaît simultanément à la place de la matrice identité 3 I n’est autre que la matrice A-1 . 
 
- 
   
 
= 
14 
 
   
 
 
- 
   
 
- 
 
   
 
 - 
   
 
1 0 1/ 2 
0 1 0 
0 0 1/ 2 
 
   
 
 
- 
   
 
 
   
 
 
   
 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1/ 2 
 
- 
   
 
- 
 
   
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
 
 
   
 
¨ En effet : 
 
   
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
 
 
= 
   
 
2 3 1 
 
   
1 2 1 
2 4 1 
 
 
   
 
- 
- 
- - 
2 1 1 
 
   
1 0 1 
0 2 1 
 
- 
2 1 1 
 
   
1 0 1 
0 2 1 
 
 
- 
   
 
- 
2 3 1 
 
   
1 2 1 
2 4 1 
 
 
   
 
- 
- 
- - 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
 
= 
A 
Exposé de la méthode : 
¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on 
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour 
faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients 
de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite: 
¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite : 
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-1) : 3 3 1 L ® L - L 
 
   
1 0 0 
0 1 0 
1 0 1 
 
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (-1) : 3 3 2 L ® L - L 
 
   
1 0 0 
0 1 0 
1 1 1 
 
¨ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle 
( 3 L ), la matrice A est alors non inversible. 
15 
V-2-2 Matrice non inversible : 
 
   
 
   
 
1 0 1 
0 1 0 
1 1 1 
 
   
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
 
 
   
 
1 0 1 
 
   
0 1 0 
1 1 1 
 
 
   
 
 
   
1 0 1 
 
   
 
 
-  
   
 
0 1 0 
0 1 0 
 
   
 
   
 
 
- -  
   
 
1 0 1 
0 1 0 
0 0 0 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
VI- Matrice associée à un système de vecteurs 
Soit (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { } n B e , , e = 1 L . 
Soit un système de p vecteurs de E , { } p S u , ,u = 1 L . 
· On appelle la matrice du système { } p S u , ,u = 1 L , relativement à la base { } n B e , , e = 1 L , 
L 
1 1 1 
ij 
j 
nj 
a 
M 
a 
M 
a 
a 
11 
M 
a 
M 
a 
 
      
 
1 
1 
M 
M 
M 
L 
M 
L 
L 
M 
L 
M 
L 
­ ­ ­ 
u u u 
a 
a 
a 
j p 
où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur j u du système 
{ } p S u , ,u = 1 L dans la base { } n B e , , e = 1 L : u a ei j p 
· On note A = M(S / B) : (AÎM(n, p)) 
¨ La matrice A dépend de la base B choisie. 
¨ E = IR3 
¨ { } 1 2 3 B = e , e , e la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 e = , (0,1,0) 2 e = et (0,0,1) 3 e = . 
¨ { } 1 2 3 S = u ,u ,u : (2,0, 2) 1 u = - , (1, 2,1) 2 u = - et (0, 2,3) 3 u = - : 
= - = + + - 
(2,0, 2) 2.(1,0,0) 0.(0,1,0) ( 2).(0,0,1) 
= - = + - + 
(1, 2,1) 1.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 1.(0,0,1) 
= - = + - + 
(0, 2,3) 0.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 3.(0,0,1) 
16 
Définition : 
la matrice suivante : 
e 
e 
i 
e 
n 
p 
ip 
np 
i 
n 
A 
¬ 
¬ 
¬ 
 
      
 
= 
1 
n 
= =Σ= 
j ij , 1, 
i 
1 
Remarque : 
Exemple : 
2 1 0 
⇒ = - - 
0 2 2 
 
   
2 1 3 
 
   
 
- 
­ ­ ­ 
u u u 
1 2 3 
e 
1 
e 
2 
e 
3 
u 
1 
2 
3 
A 
 
  
u 
 
  
u 
¬ 
¬ 
¬ 
 
 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
VII- Matrice d’une application linéaire 
Soient (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base 
{ } p B u , ,u = 1 L et (F,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base 
{ } n B' v , ,v = 1 L . Soit f une application linéaire de (E,+,.) vers (F,+,.) . 
· La matrice de f relativement aux bases B et B' , notée par M( f / B,B' ) c’est la 
matrice du système { ( ), , ( )} 1 p S = f u L f u , relativement à la base { } n B' v , , v = 1 L . 
¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors : 
v 
a 
a 
¬ 
 
L 
1 1 1 
a 
11 
1 
1 
p 
ip 
np 
ij 
j 
nj 
i 
n 
M 
a 
M 
a 
M 
a 
M 
a 
M 
a 
M 
a 
M 
L 
M 
L 
L 
M 
L 
M 
L 
­ ­ ­ 
      
 
( ) ( ) ( ) 
 
      
 
f u f u f u 
j p 
¨ La colonne j de la matrice M( f / B,B' ) représente les coordonnées du vecteur ( ) j f u 
= + + + + 
( ) 
f u a v L a v L 
a v 
1 11 1 1 1 
i i n n 
= + + + + 
M 
( ) 
f u a v L a v L 
a v 
1 1 
j j ij i nj n 
= + + + + 
M 
( ) 
f u a v L a v L 
a v 
1 1 
p p ip i np n 
¨ La matrice M( f / B,B' ) dépend des bases choisies B et B' . 
17 
Définition : 
Remarques : 
( / , ' ) 
1 
i 
n 
v 
v 
M f B B 
¬ 
¬ 
= 
, (M( f / B,B' )ÎM(n, p)) 
dans la base B' : 
 
    
   
 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
Exemple : E = IR2 , F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x) 
¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = . 
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = . 
= - = + - 
( ) (1,1, 1) 
f u v v v 
1 1 2 3 
= - = - + + 
f u v v v 
2 1 2 3 
¨ { } 1 2 B = u ,u une base de IR2 : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = - 
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v une base de IR3 : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - - 
= = 
( ) (0,2,0) 2 
f u v 
1 2 
= - = + 
( ) ( 2,0,2) 2 2 
f u v v 
2 2 3 
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et 
B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors : 
M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) 
Exemple : E = IR3 , F = IR2 et G = IR2 : f (x, y, z) = (x + y, y + z) et g(x, y) = ( y, x) 
¨ B  
= { e  , e , e } la base canonique de IR3 : e = (1,0,0) , e = (0,1,0) et e = 
(0,0,1) 1 2 3 1 2 3 ¨ B' = B= { e ,e } la base canonique de IR2 : e = (1,0) et e = (0,1) . 
1 2 1 2 ¨ f (x, y, z) = (x + y, y + z) ⇒ M( f / B, B' ) 
= 
 
 
0 1 
¨ g(x,  
 y) = ( y, x) ⇒ M(g / B',B) 
= 
 
 
0 1 1 
¨  
 (g o f )(x, y, z) = ( y + z, x + y) ⇒ M(g o f / B,B) 
= 
¨ M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) : 
 
 
 
 
=   
 
 
´   
) ' , / ( )  , ' / ( B B f g M B B f M B B g M o =   
18 
· 
1 1 
 
   
1 1 
1 1 
 
 
   
 
- 
- 
⇒ = 
 
 
 
( / , ' ) 
( ) ( 1,1,1) 
M f B B 
· 
 
   
 
 
   
 
⇒ = 
 
 
 
0 0 
2 2 
0 2 
( / , ' ) 
M f B B 
¨ M( f / B,B' ) ¹ M( f / B,B' ) 
Théorème : (matrice de la composée) 
 
 
  
1 1 0 
0 1 1 
  
1 0 
  
1 1 0 
( / , ) 
0 1 1 
1 1 0 
1 1 0 
0 1 1 
0 1 
1 0 
  
  
  
´ = 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
Soient B {u , ,un} = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L deux bases d’un espace vectoriel réel E . On 
appelle la matrice de passage de la base B à la base B' et on note BB' P , la matrice du 
système { } n B' v , , v = 1 L relativement à la base { } n B u , ,u = 1 L . 
¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors : 
L 
1 1 1 
ij 
j 
nj 
a 
M 
a 
M 
a 
a 
11 
M 
a 
M 
a 
 
      
 
1 
1 
M 
M 
M 
L 
M 
L 
L 
M 
L 
M 
L 
­ ­ ­ 
v v v 
a 
a 
a 
j n 
¨ La colonne j de la matrice de passage BB' P représente les coordonnées du vecteur j v 
= + + + + 
v a u L a u L 
a u 
1 11 1 1 1 
i i n n 
= + + + + 
M 
v a u L a u L 
a u 
1 1 
j j ij i nj n 
= + + + + 
M 
v a u L a u L 
a u 
1 1 
n n in i nn n 
¨ Si B et B' sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors : 
· BB n P = I , où Id est l’application identité de E . 
· ( / ', ) ' P M Id B B BB = , où Id est l’application identité de E . 
Si { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors 
( )- 1 
= . 
' la matrice de passage de B à B' , est inversible et BB B B P P ' 
19 
VIII- Changement de base 
VIII-1 Matrice de passage 
Définition : 
Remarques : 
i 
n 
n 
in 
nn 
P 
= 
' 
BB i 
n 
u 
u 
u 
¬ 
¬ 
¬ 
 
      
 
1 
, ( ( )) ' P M n BB Î 
dans la base B : 
 
   
 
   
 
Théorème : 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
¨ Dans IR2 , on considère les bases B et B' : 
e ' (1,1) 
e e 
e e e 
1 1 2 
' ( 1,1) 
2 1 2 
' 
1 
' 
1 
(1,0) 
e e e 
1 1 2 
' 
2 
1 
' 
2 
1 
(0,1) 
e e e 
1 1 2 
Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E . 
n 
x x u x u x u 
n n i i 
i 
1 
1 1 
L 
' L ' ' 
x x v x v x v 
n n j j 
= , : = (1,0), = 
(0,1) 
' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1) 
B e e e e 
1 2 1 2 
= = = - 
B e e e e 
1 2 1 2 
= 2 
- 
x e e 
 
= + 
1 2 
' ' ' ' 
x x e x e 
1 1 2 2 
X : ' ' ' ' (2, 1) ' (1,1) ' ( 1,1) 1 1 2 2 1 2 x = x e +x e ⇒ - = x + x - 
' 1/ 2 
1 
' 3/ 2 
X par la formule de changement de base X P X B B' . ' = : 
 
= = ⇒  
 
 
- 
⇒ = 
1/ 2 
 
 P X ' P . 
X B ' B B ' B 20 
Exemple : 
 
 
{ } 
{ }  
= , : = (1,0), = 
(0,1) 
' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1) 
B e e e e 
1 2 1 2 
= = = - 
B e e e e 
1 2 1 2 
· 
 
 
 
= = + 
= - = - + 
1 1 
 
 
 - 
 
⇒ = 
1 1 
BB' P 
· 
 
 
 
= = - 
= = + 
2 
2 
 
 
 
- 
 
⇒ = 
1/ 2 1/ 2 
1/ 2 1/ 2 
B'B P 
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur 
Théorème : 
Soit un x vecteur de E . 
Si 
 
  
 
  
 
= + + = 
Σ 
= 
= + + = 
n 
Σ 
= 
j 
1 
1 1 
alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = , 
avec 
 
   
 
 
= 
   
1 
X M 
 
x 
n x 
et 
 
   
 
 
= 
   
 
x 
' 
1 
M 
' 
n x 
X 
' 
Exemple : E = IR2 et 
 
 
{ } 
{ }  
deux bases de E = IR2 
¨ x = (2,-1)ÎIR2 : 
 
 
 
  
 
=   
  
 
2 
 
- 
  
⇒ = 
' 
x 
1 
' 
2 
et ' 
X X 
1 
x 
' 
x 
  
 
¨ Calcul direct de = 
   
1 
' 
2 
' 
x 
   
= 
= - 
   
⇒ 
- = 
' ' 2 
x x 
1 2 
+ = - 
⇒ 
' ' 1 
2 
x x 
1 2 
x 
x 
 
  
 
- 
  
⇒ = 
1/ 2 
3/ 2 
X ' 
 
 
= 
' 
x 
1 
' 
¨ Calcul de   
  
2 
' 
x 
 
  
 
-  
  
 
 
- 
 
 
- 
 
= 
2 
1 
. 
1/ 2 1/ 2 
1/ 2 1/ 2 
1/ 2 1/ 2 
1/ 2 1/ 2 
  
3/ 2 
X ' 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis respectivement des bases 
{ } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x 
vecteur de E . 
p 
x x u x u x u 
p p i i 
i 
1 
1 1 
L 
( ) L 
f x y v y v y v 
n n j j 
 
1 
. 
   
 
Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x) 
¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = . 
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = . 
⇒ = 
 
 
x 
1 
x 
1 2 x = (x , x )ÎIR : 1 1 2 2 u x u x x + =   
= 
 
   
 
 
 
- 
= 
2 
¨ Si 2 ) 1 , 2 ( IR x Î - = , alors   
X et 
1 
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers 
F . Si 1 B et 1 B' sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors : 
M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1 
. M ( f / B , B ). P 
1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1 
21 
VIII-3 Application linéaire 
Théorème : 
Si 
 
  
 
  
 
= + + = 
Σ 
= 
= + + = 
n 
Σ 
= 
j 
1 
1 1 
alors Y = M( f / B,B' ).X , 
où : 
 
   
 
 
= 
   
1 
X M 
 
x 
p x 
et 
 
= 
   
Y M 
 
y 
n y 
¨ 
1 1 
 
   
1 1 
1 1 
 
 
   
 
- 
- 
 
 
 
= - = + - 
( ) (1,1, 1) 
f u v v v 
1 1 2 3 
= - = - + + 
( / , ' ) 
( ) ( 1,1,1) 
f u v v v 
2 1 2 3 
M f B B 
¨ Soit 2 
  
⇒ = 
2 
X 
¨ Y = M( f / B,B' ).X 
 
   
 
 
   
 
- 
x x 
1 2 
+ 
x x 
1 2 
- 
 
=   
 
  
1 1 
 
   
. 
1 1 
1 1 
 
 
   
 
- 
- 
 
=   
 
  
 
    
⇒ 
x x 
2 1 
x 
1 
2 
x 
1 
2 
y 
1 
2 
3 
( / , ' ). 
x 
x 
M f B B 
y 
y 
  
 
   
 
 
   
 
- 
 
=   
1 1 
 
 
-    
 
  
 
   
 
- 
- 
= 
 
   
 
 
   
 
3 
1 
3 
2 
1 
. 
1 1 
1 1 
y 
1 
2 
3 
y 
y 
Théorème : 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x) 
o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = 
o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = - 
o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = 
o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - - 
1 1 
 
 - 
= 
( / , ) 1 2 B B f M et  
 
   
1/ 2 0 1/ 2 
= - 
 
( / , ) . ( / , ). 1 2 B B 1 2 B B M f B B = P M f B B P 
2 2 1 1 
1/ 2 0 1/ 2 
1 1 0 
1/ 2 0 1/ 2 
= = = 
( ) ((1,1)) (0,2,0) 2 
f u f v 
1 2 M f B B 
= - = - = + 
( ) (( 1,1)) ( 2,0,2) 2 2 
f u f v v 
2 2 3 
22 
¨ Dans IR2 , on considère les bases 
¨ Dans IR3 , on considère les bases 
¨ 
1 1 
 
   
1 1 
1 1 
 
 
   
 
- 
- 
= 
 
1 1 
B1B1 P 
¨ 
 
   
 
- 
 
   
 
   
 
⇒ 
1 
= - - 
v v v v 
1 1 2 3 
= 
2 
v v 
2 2 
1 
= + 
1 1 0 
1/ 2 0 1/ 2 
1 
v v v 
3 1 3 
2 
2 
1 
2 
B B P 
2 2 
¨ 
 
   
 
 
=  
   
 
1 1 
. 
 
 - 
 
1 1 
 
   
1 1 
1 1 
 
 
   
 
- 
- 
 
   
. 
 
 
   
⇒ = - 
 
- 
0 0 
2 2 
0 2 
1 1 
( / , ) 1 2 M f B B 
¨ Calcul direct de ( / , ) 1 2 M f B B : 
 
   
 
 
   
 
⇒ = 
   
0 0 
2 2 
0 2 
( / , ) 
1 2 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours 
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et 
B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors : 
M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) 
¨ { } p B u , ,u = 1 L , { } n B' v , ,v = 1 L et { } m B w , ,w = 1 L bases respectives de E , F et G : 
n 
· Σ= 
: ( ) , où A = M( f / B,B' ) 
j j ij i u B f u a v 
1 
n 
· Σ= 
': ( ) , où B = M(g / B',B) 
i i ki k v B g v b v 
n 
· Σ= 
: ( o )( ) , où C = M(g o f / B,B) 
 Î = 
j j kj k u B g f u c v 
¨ u B j  Î , on a alors : ( f et g sont linéaires) 
 
 
 
 
 
 
j j ij i g f u g f u g Σa v Σa g v Σa Σb w Σ Σb a w 
 
=  
 
= =  
( o )( ) ( ( )) ( ) 
= = = = = = 
1 i 
1 1 1 1 1 
m 
¨ Or  u Î B , = 
Σon a : ( o )( ) 
j j kj k g f u c w 
k 
1 
n 
kj kia b c Σ= 
¨ D’où : C = B ´ A ( ) 
1 
¨ On a alors : M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) 
Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E . 
n 
x x u x u x u 
n n i i 
i 
1 
1 1 
L 
' L ' ' 
x x v x v x v 
n n j j 
23 
Théorème : (matrice de la composée) 
Preuve : 
 Î = 
i 
 Î = 
i 
1 
i 
1 
k 
m 
k 
ij 
n 
i 
ki 
n 
i 
k 
m 
ij ki 
k 
n 
ij i 
n 
i 
 
 
= = 
= 
ij 
i 
= 
Théorème : 
Soit un x vecteur de E . 
Si 
 
  
 
  
 
= + + = 
Σ 
= 
= + + = 
n 
Σ 
= 
j 
1 
1 1 
alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = , 
avec 
 
   
 
 
= 
    
x 
1 
X M 
n x 
et 
 
   
 
 
= 
   
 
x 
' 
1 
M 
' 
n x 
X 
' 
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Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
' ( { } n B' v , ,v = 1 L est une base de E ) 
n 
· Or Σ= 
1 j n : v a u 
, avec A = P 
j ij i BB' 1 
 
 
 
n 
n 
n 
n 
· D’où : Σ Σ Σ Σ 
' ' 
j ij i x x a u a x u 
 
=  
 
= = = = 
1 1 1 1 
et { } n B u , ,u = 1 L est une base de E 
' et alors : . ' ' X P X BB = 
¨ On montre de même que X P X B B' . ' = 
Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis des bases { } p B u , ,u = 1 L 
et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x vecteur de E . 
p 
x x u x u x u 
p p i i 
i 
1 
1 1 
L 
( ) L 
f x y v y v y v 
n n j j 
 
1 
. 
   
 
( { } p B u , ,u = 1 L est une base de E ) 
( ) ( ) ( ) ( f est linéaire) 
j j f x f x u x f u 
j j 
1 : ( ) , avec A = M( f / B,B' ) , donc : 
j ij i j p f u a v 
 
n 
p 
( ) ⇒ ( ) 
= 
Σ Σ 
ij j f x a x v 
( ) et { } n B' v , ,v = 1 L est une base de F 
⇒Y = M( f / B,B' ).X 
24 
Preuve : 
¨ Montrons que . ' ' X P X BB = 
n 
· = 
ΣxÎ E : = 
j j x x v 
j 
1 
 £ £ = 
i 
 
 
= 
i 
i 
j 
ij j 
j 
i 
n 
= 
· Or = 
Σi i x x u 
i 
1 
n 
= 
· Donc = 
Σi ij j x a x 
j 
1 
Théorème : 
Si 
 
  
 
  
 
= + + = 
Σ 
= 
= + + = 
n 
Σ 
= 
j 
1 
1 1 
alors Y = M( f / B,B' ).X , 
où : 
 
   
 
 
= 
   
1 
X M 
 
x 
p x 
et 
 
= 
   
Y M 
 
y 
n y 
Preuve : 
p 
¨ = 
ΣxÎ E : = 
j j x x u 
j 
1 
p 
p 
Σ Σ 
= = 
⇒ = = 
1 j 
1 
j 
n 
= 
¨ Or  Σ£ £ = 
i 
1 
  
p 
n 
Σ Σ 
= = 
 
 
= 
j ij i f x x a v 
j 
1 i 
1 
 
= = 
 
 
i 
i 
1 j 
1 
n 
= 
¨ Or = 
Σi i f x y v 
i 
1 
p 
Σ= 
⇒ = 
i ij j y a x 
j 
1 
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers 
F . Si B1 et B'1 sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors : 
M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1 
. M ( f / B , B ). P 
1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1 
¨ { } p B u , ,u 1 = 1 L et { } p B' u' , ,u' 1 = 1 L deux bases de E : 
p 
p 
· xÎ E : = Σ = 
Σ 
' ' , 
j j x x u x u 
= = 
1 1 
 
   
1 
M alors . ' 
 
x 
' 
' 
p x 
¨ { } n B v , , v 2 = 1 L et { } n B' v' , ,v' 2 = 1 L deux bases de F . 
n 
n 
· y = f (x)ÎF : = = Σ = 
Σ 
( ) ' ' , 
i i y f x y v y v 
 
1 
M alors . ' 
   
 
¨ Y M( f / B ,B ).X 1 2 = et ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X avec 
¨ D’où . ' ( / , ). . ' 
= - 
2 '2 1 2 1 '1 P Y M f B B P X B B B B = et alors ' ( ) . ( / , ). . ' 
2 2 1 2 1 '1 
1 2 ' ( / ' , ' ) ( ) . ( / , ). B B B B M f B B = P - M f B B P 
25 
Théorème : 
Preuve : 
j 
j j 
j 
· Si 
 
   
 
 
= 
   
1 
X M 
 
x 
p x 
et 
 
= 
   
 
X 
' 
1 '1 X P X B B = 
= = 
1 i 
1 
i i 
i 
· Si 
 
   
 
 
= 
   
1 
Y M 
 
y 
n y 
et 
 
= 
   
 
y 
' 
' 
n y 
Y 
' 
2 '2 Y P Y B B = 
   
= 
X P X 
= 
. ' 
. ' 
' 
B B 
1 1 
Y P Y 
' 
B B 
2 2 
1 
' Y P M f B B P X B B B B 
¨ Or ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X donc 
1 
2 2 1 2 1 '1 
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007

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  • 1. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice CHAPITRE 3 : MATRICES I- Généralités.................................................................................................................................................2 I-1 Définition...........................................................................................................................................................2 I-2 Matrices particulières ......................................................................................................................................3 II- Matrices carrées ......................................................................................................................................4 II-1 Diagonale d’une matrice carrée.....................................................................................................................4 II-2 Matrice diagonale ...........................................................................................................................................4 II-3 Matrice triangulaire .......................................................................................................................................5 II-4 Matrice symétrique.........................................................................................................................................5 II-5 Matrice antisymétrique ..................................................................................................................................6 III- Opérations sur les matrices ...................................................................................................................6 III-1 Egalité.............................................................................................................................................................6 III-2 Addition..........................................................................................................................................................7 III-3 Multiplication par un scalaire......................................................................................................................7 III-4 Produit de deux matrices ..............................................................................................................................8 III-5 Puissance d’une matrice .............................................................................................................................10 III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices.......................................................................................................11 IV- Matrice inversible.................................................................................................................................12 V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan........................................................................................12 V-1 Présentation...................................................................................................................................................12 V-2 Exemples ........................................................................................................................................................13 VI- Matrice associée à un système de vecteurs..........................................................................................16 VII- Matrice d’une application linéaire.....................................................................................................17 VIII- Changement de base .........................................................................................................................19 VIII-1 Matrice de passage ...................................................................................................................................19 VIII-2 Coordonnés d’un vecteur.........................................................................................................................20 VIII-3 Application linéaire ..................................................................................................................................21 IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours...................................................................23 1 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 2. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice · On appelle une matrice A , de type (n, p) ( n, pÎIN* ) à coefficients réels, un tableau de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la matrice A . On note par : a M 1 1 a M a ij j nj ­ L M L M L L M L M L colonne j · On appelle le coefficient ij i n j p a ,1£ £ ,1£ £ de la matrice A , l’élément d’intersection de la ij i n j p A = a £ £ £ £ ( ),1 , , · On note M(n, p) l’ensemble des matrices de type (n, p) . 4 1      =     = (3,2) B ÎM  = D = (1 2)ÎM(1,2) E = (1)ÎM(1,1) 2 I- Généralités I-1 Définition Définition : ligne i a M a M a a M 11 a M a A p ip np i 1 n ¬                 = 1 ligne i et la colonne j . · On note aussi la matrice A par : i    désigne l'indice de la ligne j désigne l'indice de la colonne Exemples : 3 2 1  ¨ (2,3)  A Î M 4 5  6   5 6 2 3   1  ¨ (2,1)  C Î M 2    Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 3. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice o C’est toute matrice A de type (1, p) , (AÎM(1, p)) I-2-2 Matrice colonne o C’est toute matrice A de type (n,1) , (AÎM(n,1)) I-2-3 Matrice nulle o C’est la matrice de M(n, p) dont tous les coefficients ij a son nuls. On note n, p 0 . I-2-4 Matrice unité ou identité o C’est la matrice de M(n,n) dont les coefficients ij a vérifient o La matrice opposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M(n, p) dont les coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A . On note B = (-A) : 1 2  = : (2,2)  - - ) ( M A Î   5 3 1 - - -   = : (2,3) ) ( M A Î   2 1   = tA ÎM - = (3,2) 3 I-2 Matrices particulières I-2-1 Matrice ligne    = 1 = ¹ a ii 0 si a i j ij . On note n I . I-2-5 Matrice opposée £ £ = - i n 1 , £ £ = j n 1 , 1   = tA 2 ÎM 1 2 M A Î   1 3  = M A t Î   5 3 1 M A Î   4 3 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007 j p ij ij b a £ £ 1 o B = (-A) ssi A = (-B) I-2-6 Matrice transposée o La matrice transposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M( p,n) dont les lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A . o On note B=tA : i p ij ji b a £ £ 1 o B=tA ssi A=tB Exemples ¨ D et E sont des matrices lignes ¨ C et E sont des matrices colonnes ¨ A = (1 2 3)ÎM(1,3) : (-A) = (-1 - 2 - 3)ÎM(1,3) (3,1) 3         ¨ (2,2) 3 4    3 4    - - - = (2,2) 2 4    ¨ (2,3) 6 4 2    6 4 2    - - - 6 5        
  • 4. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice · On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type ( n , n ) . · On note M(n) l’ensemble des matrices de type (n,n) . Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . Les coefficients a i n ii ( )1 £ £ sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la diagonale principale de la matrice A . A . Les éléments diagonaux de la matrice A sont 1 11 a = et 4 22 a = . Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux de la matrice sont nuls : (a 0 si i j) ij = ¹ a 0 0 0        =      L O O M ¨ Matrice scalaire , ( ) A Î M O O 0 0 ¨ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec a = 1) : 4 II- Matrices carrées Définition : II-1 Diagonale d’une matrice carrée Définition : Exemple :   = 1 2 ¨     3 4 II-2 Matrice diagonale Définition : Exemples :   = 1 0 ¨     0 2 A 0 a IR a   L  = 1 0 0 0 O O M M O O Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007              0 0 L 0 1 L n I
  • 5. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . · On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de la diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = < : 0 0 a   11 a = 21 £ £           L O O M A ij i j n M O O a a a L - 1 ( 1) n n n nn · On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous de la diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = > : a a a  L  11 12 1 n 0 = £ £           O O M A ij i j n M O O 0 0 sont des matrices triangulaires inférieures. sont des matrices triangulaires supérieures. ¨ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée tA est triangulaire inférieure et inversement. Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . · On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice transposée : A=tA (a a 1 i, j n) ji ij = " £ £ 5 II-3 Matrice triangulaire Définition : Î , (( ) ) 0 a IR 1 ,   Î , (( a ) IR ) 1 , - ( 1) a a n n nn   L Exemples : ¨           0 0 0 - 0 1 0 1 0 2  1 0  3 2   et   ¨           0 1 2 - 0 1 3 0 0 2  1 3  0 2   et   Remarque : II-4 Matrice symétrique Définition : Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 6. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . · On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est égale à sa matrice opposée : tA = (-A) (a a 1 i, j n) ji ij = - " £ £ ¨ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls : (a a 1 i, j n) (a 0 1 i n) ji ij ii = - " £ £ ⇒ = " £ £ Deux matrices A et B de M(n, p) sont égales si elles ont les mêmes coefficients : · A º B ssi a b i n j p ij ij = , "1 £ £ , "1 £ £ , avec ( ) ij A = a et ( ) ij B = b 6 Exemples : ¨               - 1 2 4 2 2 3 5 3 - - - = 4 5 1 2 2 3 2 1 A       = 1 3 A    0 1 2  = -     1 1 3 2 3 2   3 2 A II-5 Matrice antisymétrique Définition : Exemples : ¨               0 2 4 2 - - 2 0 5 3 - - 4 5 0 2 - - = 2 3 2 0 A       - =   0 3 A         - 0 1 2 - - = 1 0 3 2 3 0 3 0 A Remarque : III- Opérations sur les matrices III-1 Egalité Définition : Propriété : ¨ t AºtB ssi A º B Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 7. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice · Soient A et B deux matrices de M(n, p) . La matrice C de M(n, p) définie par : c a b ( 1 i n, 1 j p) ij ij ij = + " £ £ " £ £ s’appelle la matrice somme des matrices A et B . ¨ "A,B,C ÎM(n, p) : (A+ B) +C = A+ (B +C) ¨ "A,BÎM(n, p) : A + B = B + A ¨ "A,BÎM(n, p) : t (A + B)=tA+tB + + + 4 4 4 1 3 2 2 3 1   B   3 2 1  - - - = A et 1 2 3   · Soient A une matrice de M(n, p) et a un réel (a Î IR) . La matrice C de M(n, p) définie par : c a ( 1 i n, 1 j p) ij ij =a " £ £ " £ £ s’appelle la matrice produit externe de la matrice A par le scalaire a . ¨ "AÎM(n, p) , "a ,b Î IR : (a +b ).A =a .A+b .A ¨ "A,BÎM(n, p) , "a Î IR : a .(A + B) =a .A +a .B ¨ AÎM(n, p) et a = 1 ⇒1.A = A ¨ AÎM(n, p) et a = 0 n p A , ⇒0. = 0 ¨   - ´ - ´ - ´ - ( 3) 1 ( 3) 2 ( 3) ( 1) - ´ - ´ - ´ - ( 3) 2 ( 3) 1 ( 3) ( 2) 7 III-2 Addition Définition : · On note C = A + B . Propriétés : Exemple :     =   1 2 3 4 5 6    =       - - -   ⇒ + = 3 3 3 4 1 5 2 6 3 A B III-3 Multiplication par un scalaire Définition : · On note C =a .A. Propriétés : Exemples :   A et a = -3 :   - 1 2 1 - = 2 1 2    - - 3 6 3  - -    =      - = 6 3 6 ( 3).A Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 8. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice · Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice deM(m, p) . La matrice C de m ij ik kj £ £ " £ £ " =Σ= M(n, p) définie par : c a b ( 1 i n , 1 j p ) produit de la matrice A par la matrice B . · On note C = A´ B . · On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ). ¨ "AÎM(n,m) , BÎM(m, p) ,C ÎM( p,q) : (A´ B) ´C = A´(B ´C)ÎM(n,q) ¨ "AÎM(n,m) ,"B,C ÎM(m, p) : A´(B +C) = (A´ B) + (A´C)ÎM(n, p) ¨ "AÎM(n,m) et "BÎM(m, p) : t (A´ B)=tB´tAÎM( p,n) III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne : Soient ( , , , , ) i1 ik im A = a L a L a une matrice ligne (AÎM(1,m)) et (B ÎM(m,1)) . La matrice C = A´ B est alors égale au scalaire défini par : i j ik kj im mj C = a 1b1 +L+ a b +L+ a b , (AÎM(1,1)) A´ B = 1´(-2) + 2´0 + (-1) ´2 + 0´1+ (-2) ´(-1) = -2 8 III-4 Produit de deux matrices III-4-1 Définition et propriétés Définition : 1 k s’appelle la matrice Propriétés :                 = j b M 1 b kj M b mj B une matrice colonne Exemple : ¨ A = (1,2,-1,0,-2) et        B :          - - = 2 0 2 1 1 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 9. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel : Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice de M(m, p) : a a               M L M M L M M A ¬ i ligne L Pour obtenir le coefficient ij P de la matrice produit P = A´ B ,on fait le produit de la ligne i L de la matrice A ( i L : matrice ligne) par la colonne j C de la matrice B ( j C : matrice colonne) : p LC 1 1 M LC i p M L C n p B : AÎM(2,3) et BÎM(3,2) ⇒(A´ B)ÎM(2,2) et (B ´ A)ÎM(3,3)   -  =      ´ ´ ´ = 0 2 L C L C 1 1 1 2 L C L C     0 1 ´ ´ ´ L C L C L C 1 1 1 2 1 3 ´ ´ ´ L C L C L C 2 1 2 2 2 3 ´ ´ ´ L C L C L C 3 1 2 3 3 3 9 , 1 1 a 11 1 1 i m im nm k ik nk n a M a a M a a M a   = L M L L M L L 1 1 M L M L j p b M b kp M b mp j b M b kj M b mj b M 11 b k M b 1 1 m ­ L M L M L colonne C B                 =                M M  = j LC M LC i j M L C n j LC 1 1 LC i 1 L C n P L M L M L L M L M L 1 , PÎM(n, p) Exemples :   - 1 2 1 ¨     A et - = 2 1 2     1 0 0 1   = -     1 0 - ´ ´ 2 1 2 2 A B 1 2 1     2 1 2 1 2 1       - - - - =           ´ = B A Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 10. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice = B AÎM(2,3) et BÎM(3,4) ⇒(A´ B)ÎM(2,4) 2 2 3 1    =      ´ ´ ´ ´ ´ = L C L C L C L C 1 1 1 2 1 3 1 4 L C L C L C L C   ´ ´ ´ ´ 2 1 2 2 2 3 2 4 On ne peut pas effectuer la multiplication B ´ A. · Soit A une matrice carrée d’ordre n (AÎM(n)) . On définit les puissances de la p = ´ ´ Î Î 14L243 , avec n A0 = I matrice A par : A A A ( p IN* ), A M(n) Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n (A,BÎM(n)) . Si les matrices A et B commutent (A´ B = B ´ A) , alors : p p Σ Σ A B p C A B C A B ( ) . . = 0 k 0 Cette formule s’appelle la formule de Newton.   -   = 1 0  A et B  ¨ Les matrices A et B commutent :   -   ´ = 2 0 B A et    9 0 B A et ) ( ) ( ) ( 2 B A B A B A + ´ + = +   10   - 1 2 1 ¨     A et - = 2 1 2 1 0 0 1           0 1 1 0 - - 1 0 1 0   4 1 3 2 A B III-5 Puissance d’une matrice Définition : p fois Théorème : k p - k k p k k p k p + = - = = k   = 2 0 Exemple :     1 2 1 1     -   ´ = 2 0 1 2 1 2 B A ¨ Le calcul direct de (A + B)2 :       + = 3 0 0 3 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007    ⇒ + = 0 9 (A B)2
  • 11. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice ¨ La formule de Newton pour le calcul de (A + B)2 : 4 0 A2 A A ,    1 0 B2 = B ´ B = et  III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices ¨ M(n) est un espace vectoriel réel de dimension n2 : La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi + . Le symétrique de la matrice A pour la loi + est égal à sa matrice opposée. B {E , 1 i, j n } ij = £ £ est une base de M(n) , = 1 si ( m , n ) ( i , j )    = : ( ) E ij mn ij La base B s’appelle la base canonique de M(n) .    ¨ La matrice identité est l’élément  neutre pour la loi ´ .  ¨ En général A ´ B ¹ B ´ A : ´       =     ´   0 0 0 0 1 0 ¨ En général n n n B A B A 0 ou 0 0 = = ⇒/ = ´ :   11 (A + B)2 = A2 + 2.A´ B + B2   = ´ =     4 4   -   2 1   -   ´ = 2 0 1 2 A B   ⇒ + = 9 0 (A B)2     0 9 ¬                = 0 M 0 0 M 1 0 M 0 L M L M E ligne i M 0 ­ L M L L M L colonne j  M 0 M 0 0 sinon   ´       ¹          1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0       0 0 0 1 0 0 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 12. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice · Une matrice carrée A d’ordre n (AÎM(n)) est dite inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n (B ÎM(n)) telle que : n A´ B = B ´ A = I · On note B = A-1 · La matrice B = A-1 s’appelle la matrice inverse de la matrice A .   - - = 3 2 A ,   1 0   I A B B A =     ´ = ´ = B : 2 0 1 La matrice A est alors inversible et A-1 = B . 0 a c d      ¹ ´ =  B A ¹       ´ = B : 2 2 0 La matrice A est alors non inversible. Si deux matrices A et B de M(n) sont inversibles alors la matrice A´ B est inversible et (A´ B)-1 = B-1 ´ A-1 . En particulier si une matrice A de M(n) est inversible alors la matrice (A) p , pÎ IN * V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette méthode, dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en n I et par la même occasion la matrice n I en A-1 en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type addition à chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire ou permutation des lignes. Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les coefficients de la matrice n I dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible. 12 IV- Matrice inversible Définition : Exemples :   = 1 2 ¨     1 3   1 1   = 0 1 ¨     = a b A ,     0 0   c d 0 0 I c I B A Théorème : est inversible et (Ap )-1 = (A-1) p . V-1 Principe de la méthode déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant. Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 13. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice 2 3 1 - - 1 2 1 2 4 1 Exposé de la méthode : ¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite: ¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ¨ On multiplie la 1ère ligne par (1/ 2) : 1 1 L ®(1/ 2).L : 1/ 2 0 0 0 1 0 0 0 1 ¨ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne : 2 2 1 L ® L + L ¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-2) : 3 3 1 L ® L - 2L  1/ 2 0 0 -     1/ 2 1 0 1 0 1 ¨ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne : 2 3 L « L 1/ 2 0 0  - 1 0 1 1/ 2 1 0 13 V-2 Exemples V-2-1 Matrice inversible :           - - = A           2 3 1     1 2 1 2 4 1       - - - -               1 3/ 2 1/ 2 1 2 1 2 4 1       - - - -                1 3/ 2 1/ 2 - - 0 1/ 2 1/ 2 0 1 0                    1 3/ 2 1/ 2 0 1 0 - - 0 1/ 2 1/ 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 14. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice ¨ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par (-3/ 2) : 1 1 2 L ® L - (3/ 2)L ¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (1/ 2) : 3 3 2 L ® L + (1/ 2)L 2 0 3/ 2 1 0 1 0 1 1/ 2 ¨ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne : 1 1 3 L ® L + L - 2 1 1 1 0 1 0 1 1/ 2 ¨ On multiplie la 3ème ligne par (2) : 3 3 L ®2.L 2 1 1     1 0 1 0 2 1  ¨ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité 3 I . La matrice qui apparaît simultanément à la place de la matrice identité 3 I n’est autre que la matrice A-1 .  -     = 14       -     -       -     1 0 1/ 2 0 1 0 0 0 1/ 2       -               1 0 0 0 1 0 0 0 1/ 2  -     -     1 0 0 0 1 0 0 0 1       ¨ En effet :     1 0 0 0 1 0 0 0 1   =     2 3 1     1 2 1 2 4 1       - - - - 2 1 1     1 0 1 0 2 1  - 2 1 1     1 0 1 0 2 1   -     - 2 3 1     1 2 1 2 4 1       - - - - Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 15. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice  = A Exposé de la méthode : ¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite: ¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite : ¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-1) : 3 3 1 L ® L - L     1 0 0 0 1 0 1 0 1  ¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (-1) : 3 3 2 L ® L - L     1 0 0 0 1 0 1 1 1  ¨ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle ( 3 L ), la matrice A est alors non inversible. 15 V-2-2 Matrice non inversible :          1 0 1 0 1 0 1 1 1     1 0 0 0 1 0 0 0 1       1 0 1     0 1 0 1 1 1           1 0 1       -      0 1 0 0 1 0           - -      1 0 1 0 1 0 0 0 0 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 16. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice VI- Matrice associée à un système de vecteurs Soit (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { } n B e , , e = 1 L . Soit un système de p vecteurs de E , { } p S u , ,u = 1 L . · On appelle la matrice du système { } p S u , ,u = 1 L , relativement à la base { } n B e , , e = 1 L , L 1 1 1 ij j nj a M a M a a 11 M a M a         1 1 M M M L M L L M L M L ­ ­ ­ u u u a a a j p où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur j u du système { } p S u , ,u = 1 L dans la base { } n B e , , e = 1 L : u a ei j p · On note A = M(S / B) : (AÎM(n, p)) ¨ La matrice A dépend de la base B choisie. ¨ E = IR3 ¨ { } 1 2 3 B = e , e , e la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 e = , (0,1,0) 2 e = et (0,0,1) 3 e = . ¨ { } 1 2 3 S = u ,u ,u : (2,0, 2) 1 u = - , (1, 2,1) 2 u = - et (0, 2,3) 3 u = - : = - = + + - (2,0, 2) 2.(1,0,0) 0.(0,1,0) ( 2).(0,0,1) = - = + - + (1, 2,1) 1.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 1.(0,0,1) = - = + - + (0, 2,3) 0.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 3.(0,0,1) 16 Définition : la matrice suivante : e e i e n p ip np i n A ¬ ¬ ¬         = 1 n = =Σ= j ij , 1, i 1 Remarque : Exemple : 2 1 0 ⇒ = - - 0 2 2     2 1 3      - ­ ­ ­ u u u 1 2 3 e 1 e 2 e 3 u 1 2 3 A    u    u ¬ ¬ ¬   Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 17. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice VII- Matrice d’une application linéaire Soient (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base { } p B u , ,u = 1 L et (F,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { } n B' v , ,v = 1 L . Soit f une application linéaire de (E,+,.) vers (F,+,.) . · La matrice de f relativement aux bases B et B' , notée par M( f / B,B' ) c’est la matrice du système { ( ), , ( )} 1 p S = f u L f u , relativement à la base { } n B' v , , v = 1 L . ¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors : v a a ¬  L 1 1 1 a 11 1 1 p ip np ij j nj i n M a M a M a M a M a M a M L M L L M L M L ­ ­ ­        ( ) ( ) ( )         f u f u f u j p ¨ La colonne j de la matrice M( f / B,B' ) représente les coordonnées du vecteur ( ) j f u = + + + + ( ) f u a v L a v L a v 1 11 1 1 1 i i n n = + + + + M ( ) f u a v L a v L a v 1 1 j j ij i nj n = + + + + M ( ) f u a v L a v L a v 1 1 p p ip i np n ¨ La matrice M( f / B,B' ) dépend des bases choisies B et B' . 17 Définition : Remarques : ( / , ' ) 1 i n v v M f B B ¬ ¬ = , (M( f / B,B' )ÎM(n, p)) dans la base B' :          Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 18. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice Exemple : E = IR2 , F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x) ¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = . ¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = . = - = + - ( ) (1,1, 1) f u v v v 1 1 2 3 = - = - + + f u v v v 2 1 2 3 ¨ { } 1 2 B = u ,u une base de IR2 : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = - ¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v une base de IR3 : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - - = = ( ) (0,2,0) 2 f u v 1 2 = - = + ( ) ( 2,0,2) 2 2 f u v v 2 2 3 Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors : M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) Exemple : E = IR3 , F = IR2 et G = IR2 : f (x, y, z) = (x + y, y + z) et g(x, y) = ( y, x) ¨ B  = { e  , e , e } la base canonique de IR3 : e = (1,0,0) , e = (0,1,0) et e = (0,0,1) 1 2 3 1 2 3 ¨ B' = B= { e ,e } la base canonique de IR2 : e = (1,0) et e = (0,1) . 1 2 1 2 ¨ f (x, y, z) = (x + y, y + z) ⇒ M( f / B, B' ) =   0 1 ¨ g(x,   y) = ( y, x) ⇒ M(g / B',B) =   0 1 1 ¨   (g o f )(x, y, z) = ( y + z, x + y) ⇒ M(g o f / B,B) = ¨ M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) :     =     ´   ) ' , / ( ) , ' / ( B B f g M B B f M B B g M o =   18 · 1 1     1 1 1 1       - - ⇒ =    ( / , ' ) ( ) ( 1,1,1) M f B B ·           ⇒ =    0 0 2 2 0 2 ( / , ' ) M f B B ¨ M( f / B,B' ) ¹ M( f / B,B' ) Théorème : (matrice de la composée)     1 1 0 0 1 1   1 0   1 1 0 ( / , ) 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0       ´ = Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 19. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice Soient B {u , ,un} = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L deux bases d’un espace vectoriel réel E . On appelle la matrice de passage de la base B à la base B' et on note BB' P , la matrice du système { } n B' v , , v = 1 L relativement à la base { } n B u , ,u = 1 L . ¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors : L 1 1 1 ij j nj a M a M a a 11 M a M a         1 1 M M M L M L L M L M L ­ ­ ­ v v v a a a j n ¨ La colonne j de la matrice de passage BB' P représente les coordonnées du vecteur j v = + + + + v a u L a u L a u 1 11 1 1 1 i i n n = + + + + M v a u L a u L a u 1 1 j j ij i nj n = + + + + M v a u L a u L a u 1 1 n n in i nn n ¨ Si B et B' sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors : · BB n P = I , où Id est l’application identité de E . · ( / ', ) ' P M Id B B BB = , où Id est l’application identité de E . Si { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors ( )- 1 = . ' la matrice de passage de B à B' , est inversible et BB B B P P ' 19 VIII- Changement de base VIII-1 Matrice de passage Définition : Remarques : i n n in nn P = ' BB i n u u u ¬ ¬ ¬         1 , ( ( )) ' P M n BB Î dans la base B :          Théorème : Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 20. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice ¨ Dans IR2 , on considère les bases B et B' : e ' (1,1) e e e e e 1 1 2 ' ( 1,1) 2 1 2 ' 1 ' 1 (1,0) e e e 1 1 2 ' 2 1 ' 2 1 (0,1) e e e 1 1 2 Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E . n x x u x u x u n n i i i 1 1 1 L ' L ' ' x x v x v x v n n j j = , : = (1,0), = (0,1) ' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1) B e e e e 1 2 1 2 = = = - B e e e e 1 2 1 2 = 2 - x e e  = + 1 2 ' ' ' ' x x e x e 1 1 2 2 X : ' ' ' ' (2, 1) ' (1,1) ' ( 1,1) 1 1 2 2 1 2 x = x e +x e ⇒ - = x + x - ' 1/ 2 1 ' 3/ 2 X par la formule de changement de base X P X B B' . ' = :  = = ⇒    - ⇒ = 1/ 2   P X ' P . X B ' B B ' B 20 Exemple :   { } { }  = , : = (1,0), = (0,1) ' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1) B e e e e 1 2 1 2 = = = - B e e e e 1 2 1 2 ·    = = + = - = - + 1 1    -  ⇒ = 1 1 BB' P ·    = = - = = + 2 2    -  ⇒ = 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 B'B P VIII-2 Coordonnés d’un vecteur Théorème : Soit un x vecteur de E . Si        = + + = Σ = = + + = n Σ = j 1 1 1 alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = , avec       =    1 X M  x n x et       =     x ' 1 M ' n x X ' Exemple : E = IR2 et   { } { }  deux bases de E = IR2 ¨ x = (2,-1)ÎIR2 :       =      2  -   ⇒ = ' x 1 ' 2 et ' X X 1 x ' x    ¨ Calcul direct de =    1 ' 2 ' x    = = -    ⇒ - = ' ' 2 x x 1 2 + = - ⇒ ' ' 1 2 x x 1 2 x x     -   ⇒ = 1/ 2 3/ 2 X '   = ' x 1 ' ¨ Calcul de     2 ' x     -      -   -  = 2 1 . 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2   3/ 2 X ' Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 21. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis respectivement des bases { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x vecteur de E . p x x u x u x u p p i i i 1 1 1 L ( ) L f x y v y v y v n n j j  1 .     Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x) ¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = . ¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = . ⇒ =   x 1 x 1 2 x = (x , x )ÎIR : 1 1 2 2 u x u x x + =   =        - = 2 ¨ Si 2 ) 1 , 2 ( IR x Î - = , alors   X et 1 Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers F . Si 1 B et 1 B' sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors : M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1 . M ( f / B , B ). P 1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1 21 VIII-3 Application linéaire Théorème : Si        = + + = Σ = = + + = n Σ = j 1 1 1 alors Y = M( f / B,B' ).X , où :       =    1 X M  x p x et  =    Y M  y n y ¨ 1 1     1 1 1 1       - -    = - = + - ( ) (1,1, 1) f u v v v 1 1 2 3 = - = - + + ( / , ' ) ( ) ( 1,1,1) f u v v v 2 1 2 3 M f B B ¨ Soit 2   ⇒ = 2 X ¨ Y = M( f / B,B' ).X           - x x 1 2 + x x 1 2 -  =      1 1     . 1 1 1 1       - -  =           ⇒ x x 2 1 x 1 2 x 1 2 y 1 2 3 ( / , ' ). x x M f B B y y             -  =   1 1   -            - - =           3 1 3 2 1 . 1 1 1 1 y 1 2 3 y y Théorème : Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 22. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x) o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = - o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - - 1 1   - = ( / , ) 1 2 B B f M et      1/ 2 0 1/ 2 = -  ( / , ) . ( / , ). 1 2 B B 1 2 B B M f B B = P M f B B P 2 2 1 1 1/ 2 0 1/ 2 1 1 0 1/ 2 0 1/ 2 = = = ( ) ((1,1)) (0,2,0) 2 f u f v 1 2 M f B B = - = - = + ( ) (( 1,1)) ( 2,0,2) 2 2 f u f v v 2 2 3 22 ¨ Dans IR2 , on considère les bases ¨ Dans IR3 , on considère les bases ¨ 1 1     1 1 1 1       - - =  1 1 B1B1 P ¨      -          ⇒ 1 = - - v v v v 1 1 2 3 = 2 v v 2 2 1 = + 1 1 0 1/ 2 0 1/ 2 1 v v v 3 1 3 2 2 1 2 B B P 2 2 ¨       =      1 1 .   -  1 1     1 1 1 1       - -     .      ⇒ = -  - 0 0 2 2 0 2 1 1 ( / , ) 1 2 M f B B ¨ Calcul direct de ( / , ) 1 2 M f B B :           ⇒ =    0 0 2 2 0 2 ( / , ) 1 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 23. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors : M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) ¨ { } p B u , ,u = 1 L , { } n B' v , ,v = 1 L et { } m B w , ,w = 1 L bases respectives de E , F et G : n · Σ= : ( ) , où A = M( f / B,B' ) j j ij i u B f u a v 1 n · Σ= ': ( ) , où B = M(g / B',B) i i ki k v B g v b v n · Σ= : ( o )( ) , où C = M(g o f / B,B) Î = j j kj k u B g f u c v ¨ u B j Î , on a alors : ( f et g sont linéaires)       j j ij i g f u g f u g Σa v Σa g v Σa Σb w Σ Σb a w  =   = =  ( o )( ) ( ( )) ( ) = = = = = = 1 i 1 1 1 1 1 m ¨ Or u Î B , = Σon a : ( o )( ) j j kj k g f u c w k 1 n kj kia b c Σ= ¨ D’où : C = B ´ A ( ) 1 ¨ On a alors : M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E . n x x u x u x u n n i i i 1 1 1 L ' L ' ' x x v x v x v n n j j 23 Théorème : (matrice de la composée) Preuve : Î = i Î = i 1 i 1 k m k ij n i ki n i k m ij ki k n ij i n i   = = = ij i = Théorème : Soit un x vecteur de E . Si        = + + = Σ = = + + = n Σ = j 1 1 1 alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = , avec       =     x 1 X M n x et       =     x ' 1 M ' n x X ' Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 24. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice ' ( { } n B' v , ,v = 1 L est une base de E ) n · Or Σ= 1 j n : v a u , avec A = P j ij i BB' 1    n n n n · D’où : Σ Σ Σ Σ ' ' j ij i x x a u a x u  =   = = = = 1 1 1 1 et { } n B u , ,u = 1 L est une base de E ' et alors : . ' ' X P X BB = ¨ On montre de même que X P X B B' . ' = Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis des bases { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x vecteur de E . p x x u x u x u p p i i i 1 1 1 L ( ) L f x y v y v y v n n j j  1 .     ( { } p B u , ,u = 1 L est une base de E ) ( ) ( ) ( ) ( f est linéaire) j j f x f x u x f u j j 1 : ( ) , avec A = M( f / B,B' ) , donc : j ij i j p f u a v  n p ( ) ⇒ ( ) = Σ Σ ij j f x a x v ( ) et { } n B' v , ,v = 1 L est une base de F ⇒Y = M( f / B,B' ).X 24 Preuve : ¨ Montrons que . ' ' X P X BB = n · = ΣxÎ E : = j j x x v j 1 £ £ = i   = i i j ij j j i n = · Or = Σi i x x u i 1 n = · Donc = Σi ij j x a x j 1 Théorème : Si        = + + = Σ = = + + = n Σ = j 1 1 1 alors Y = M( f / B,B' ).X , où :       =    1 X M  x p x et  =    Y M  y n y Preuve : p ¨ = ΣxÎ E : = j j x x u j 1 p p Σ Σ = = ⇒ = = 1 j 1 j n = ¨ Or Σ£ £ = i 1   p n Σ Σ = =   = j ij i f x x a v j 1 i 1  = =   i i 1 j 1 n = ¨ Or = Σi i f x y v i 1 p Σ= ⇒ = i ij j y a x j 1 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007
  • 25. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers F . Si B1 et B'1 sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors : M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1 . M ( f / B , B ). P 1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1 ¨ { } p B u , ,u 1 = 1 L et { } p B' u' , ,u' 1 = 1 L deux bases de E : p p · xÎ E : = Σ = Σ ' ' , j j x x u x u = = 1 1     1 M alors . '  x ' ' p x ¨ { } n B v , , v 2 = 1 L et { } n B' v' , ,v' 2 = 1 L deux bases de F . n n · y = f (x)ÎF : = = Σ = Σ ( ) ' ' , i i y f x y v y v  1 M alors . '     ¨ Y M( f / B ,B ).X 1 2 = et ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X avec ¨ D’où . ' ( / , ). . ' = - 2 '2 1 2 1 '1 P Y M f B B P X B B B B = et alors ' ( ) . ( / , ). . ' 2 2 1 2 1 '1 1 2 ' ( / ' , ' ) ( ) . ( / , ). B B B B M f B B = P - M f B B P 25 Théorème : Preuve : j j j j · Si       =    1 X M  x p x et  =     X ' 1 '1 X P X B B = = = 1 i 1 i i i · Si       =    1 Y M  y n y et  =     y ' ' n y Y ' 2 '2 Y P Y B B =    = X P X = . ' . ' ' B B 1 1 Y P Y ' B B 2 2 1 ' Y P M f B B P X B B B B ¨ Or ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X donc 1 2 2 1 2 1 '1 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007