Le document traite des matrices en mathématiques, en définissant divers types de matrices, notamment les matrices carrées, diagonales, triangulaires, symétriques et antisymétriques. Il aborde également les opérations sur les matrices, telles que l'addition, la multiplication et la détermination de matrices inversibles. Ce cours est destiné à des étudiants en mathématiques, module M10, semestre S3, et a été élaboré par la professeure Salma Dasser.

1. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
CHAPITRE 3 : MATRICES
I- Généralités.................................................................................................................................................2
I-1 Définition...........................................................................................................................................................2
I-2 Matrices particulières ......................................................................................................................................3
II- Matrices carrées ......................................................................................................................................4
II-1 Diagonale d’une matrice carrée.....................................................................................................................4
II-2 Matrice diagonale ...........................................................................................................................................4
II-3 Matrice triangulaire .......................................................................................................................................5
II-4 Matrice symétrique.........................................................................................................................................5
II-5 Matrice antisymétrique ..................................................................................................................................6
III- Opérations sur les matrices ...................................................................................................................6
III-1 Egalité.............................................................................................................................................................6
III-2 Addition..........................................................................................................................................................7
III-3 Multiplication par un scalaire......................................................................................................................7
III-4 Produit de deux matrices ..............................................................................................................................8
III-5 Puissance d’une matrice .............................................................................................................................10
III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices.......................................................................................................11
IV- Matrice inversible.................................................................................................................................12
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan........................................................................................12
V-1 Présentation...................................................................................................................................................12
V-2 Exemples ........................................................................................................................................................13
VI- Matrice associée à un système de vecteurs..........................................................................................16
VII- Matrice d’une application linéaire.....................................................................................................17
VIII- Changement de base .........................................................................................................................19
VIII-1 Matrice de passage ...................................................................................................................................19
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur.........................................................................................................................20
VIII-3 Application linéaire ..................................................................................................................................21
IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours...................................................................23
1
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2. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· On appelle une matrice A , de type (n, p) ( n, pÎIN* ) à coefficients réels, un tableau
de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la matrice
A . On note par :
a
M
1 1
a
M
a
ij
j
nj
­
L
M
L
M
L
L
M
L
M
L
colonne j
· On appelle le coefficient ij i n j p a ,1£ £ ,1£ £ de la matrice A , l’élément d’intersection de la
ij i n j p A = a £ £ £ £ ( ),1 , ,
· On note M(n, p) l’ensemble des matrices de type (n, p) .
4
1

  

=
  

= (3,2)
B ÎM

= D = (1 2)ÎM(1,2) E = (1)ÎM(1,1)
2
I- Généralités
I-1 Définition
Définition :
ligne i
a
M
a
M
a
a
M
11
a
M
a
A
p
ip
np
i
1
n
¬

     


     

=
1
ligne i et la colonne j .
· On note aussi la matrice A par :
i
  
désigne l'indice de la ligne
j
désigne l'indice de la colonne
Exemples :
3
2
1

¨ (2,3)

A Î M 4
5
 6
 
5
6
2
3


1

¨ (2,1)

C Î M 2
  
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3. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
o C’est toute matrice A de type (1, p) , (AÎM(1, p))
I-2-2 Matrice colonne
o C’est toute matrice A de type (n,1) , (AÎM(n,1))
I-2-3 Matrice nulle
o C’est la matrice de M(n, p) dont tous les coefficients ij a son nuls. On note n, p 0 .
I-2-4 Matrice unité ou identité
o C’est la matrice de M(n,n) dont les coefficients ij a vérifient
o La matrice opposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M(n, p) dont les
coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A . On note B = (-A) :
1 2

= : (2,2)

- -
) ( M A Î  
5
3
1
-
-
-


= : (2,3)
) ( M A Î  
2
1


=
tA ÎM
- = (3,2)
3
I-2 Matrices particulières
I-2-1 Matrice ligne
  
=
1
= ¹
a
ii
0 si
a i j
ij
. On note n I .
I-2-5 Matrice opposée
£ £ = -
i n
1 ,
£ £ =
j n
1 ,
1


=
tA 2
ÎM
1 2
M A Î  
1 3

=
M A t Î  
5
3
1
M A Î  
4
3
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j p
ij ij b a
£ £
1
o B = (-A) ssi A = (-B)
I-2-6 Matrice transposée
o La matrice transposée d’une matrice A de M(n, p) c’est la matrice B de M( p,n) dont les
lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A .
o On note B=tA :
i p
ij ji b a
£ £
1
o B=tA ssi A=tB
Exemples
¨ D et E sont des matrices lignes
¨ C et E sont des matrices colonnes
¨ A = (1 2 3)ÎM(1,3) : (-A) = (-1 - 2 - 3)ÎM(1,3) (3,1)
3
  

  

¨ (2,2)
3 4

 
3 4

 
- -
- = (2,2)
2 4

 
¨ (2,3)
6
4
2

 
6
4
2

 
-
-
-
6
5
  

  


4. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type ( n , n ) .
· On note M(n) l’ensemble des matrices de type (n,n) .
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ . Les coefficients
a i n ii ( )1 £ £ sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la
diagonale principale de la matrice A .
A . Les éléments diagonaux de la matrice A sont 1 11 a = et 4 22 a = .
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux
de la matrice sont nuls : (a 0 si i j) ij = ¹
a
0
0 0

    

=
    
L
O O M
¨ Matrice scalaire , ( )
A Î
M O O
0 0
¨ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec a = 1) :
4
II- Matrices carrées
Définition :
II-1 Diagonale d’une matrice carrée
Définition :
Exemple :


=
1 2
¨  
 
3 4
II-2 Matrice diagonale
Définition :
Exemples :


=
1 0
¨  
 
0 2
A
0
a IR
a


L

=
1 0 0
0
O O M
M O O
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
    

    

0
0 L
0 1
L
n I

5. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
· On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de la
diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = < :
0 0
a


11
a
= 21
£ £
    
    
L
O O M
A ij i j n
M O O
a a a
L -
1 ( 1)
n n n nn
· On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous de
la diagonale principale sont nuls (a 0 si i j) ij = > :
a a a

L

11 12 1
n
0
= £ £
    
    
O O M
A ij i j n
M O O
0 0
sont des matrices triangulaires inférieures.
sont des matrices triangulaires supérieures.
¨ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée tA est
triangulaire inférieure et inversement.
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
· On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice
transposée : A=tA (a a 1 i, j n) ji ij = " £ £
5
II-3 Matrice triangulaire
Définition :
Î
, (( ) )
0
a IR
1 ,


Î
, (( a ) IR
)
1 ,
-
( 1)
a
a
n n
nn


L
Exemples :
¨

  


  

0 0 0
-
0 1 0
1 0 2

1 0

3 2
 
et  
¨

  


  

0 1 2
-
0 1 3
0 0 2

1 3

0 2
 
et  
Remarque :
II-4 Matrice symétrique
Définition :
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6. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A a i j n ij = ( )1 £ , £ .
· On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est
égale à sa matrice opposée : tA = (-A) (a a 1 i, j n) ji ij = - " £ £
¨ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls :
(a a 1 i, j n) (a 0 1 i n) ji ij ii = - " £ £ ⇒ = " £ £
Deux matrices A et B de M(n, p) sont égales si elles ont les mêmes coefficients :
· A º B ssi a b i n j p ij ij = , "1 £ £ , "1 £ £ , avec ( ) ij A = a et ( ) ij B = b
6
Exemples :
¨

    


    

-
1 2 4 2
2 3 5 3
-
-
-
=
4 5 1 2
2 3 2 1
A

  


=
1 3
A  

0 1 2

= -
  

1 1 3
2 3 2
 
3 2
A
II-5 Matrice antisymétrique
Définition :
Exemples :
¨

    


    

0 2 4 2
-
-
2 0 5 3
- -
4 5 0 2
- -
=
2 3 2 0
A

  

 -
=
 
0 3
A  


  

-
0 1 2
-
-
=
1 0 3
2 3 0
3 0
A
Remarque :
III- Opérations sur les matrices
III-1 Egalité
Définition :
Propriété :
¨ t AºtB ssi A º B
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7. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· Soient A et B deux matrices de M(n, p) . La matrice C de M(n, p) définie par :
c a b ( 1 i n, 1 j p) ij ij ij = + " £ £ " £ £ s’appelle la matrice somme des matrices A et B .
¨ "A,B,C ÎM(n, p) : (A+ B) +C = A+ (B +C)
¨ "A,BÎM(n, p) : A + B = B + A
¨ "A,BÎM(n, p) : t (A + B)=tA+tB
+ + +
4 4 4
1 3 2 2 3 1


B   3 2 1

- - -
=
A et 1 2 3

 · Soient A une matrice de M(n, p) et a un réel (a Î IR) . La matrice C de M(n, p)
définie par : c a ( 1 i n, 1 j p) ij ij =a " £ £ " £ £ s’appelle la matrice produit externe de
la matrice A par le scalaire a .
¨ "AÎM(n, p) , "a ,b Î IR : (a +b ).A =a .A+b .A
¨ "A,BÎM(n, p) , "a Î IR : a .(A + B) =a .A +a .B
¨ AÎM(n, p) et a = 1 ⇒1.A = A
¨ AÎM(n, p) et a = 0 n p A , ⇒0. = 0
¨  
- ´ - ´ - ´ -
( 3) 1 ( 3) 2 ( 3) ( 1)
- ´ - ´ - ´ -
( 3) 2 ( 3) 1 ( 3) ( 2)
7
III-2 Addition
Définition :
· On note C = A + B .
Propriétés :
Exemple :

 

=
 
1 2 3
4 5 6
 

=  
 


- - -
 
⇒ + =
3 3 3
4 1 5 2 6 3
A B
III-3 Multiplication par un scalaire
Définition :
· On note C =a .A.
Propriétés :
Exemples :


A et a = -3 :
 
-
1 2 1
-
=
2 1 2

 
- -
3 6 3

- -
 

=  
  
- =
6 3 6
( 3).A
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8. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice deM(m, p) . La matrice C de
m
ij ik kj £ £ " £ £ " =Σ=
M(n, p) définie par : c a b ( 1 i n , 1 j p
)
produit de la matrice A par la matrice B .
· On note C = A´ B .
· On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des
colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ).
¨ "AÎM(n,m) , BÎM(m, p) ,C ÎM( p,q) : (A´ B) ´C = A´(B ´C)ÎM(n,q)
¨ "AÎM(n,m) ,"B,C ÎM(m, p) : A´(B +C) = (A´ B) + (A´C)ÎM(n, p)
¨ "AÎM(n,m) et "BÎM(m, p) : t (A´ B)=tB´tAÎM( p,n)
III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne :
Soient ( , , , , ) i1 ik im A = a L a L a une matrice ligne (AÎM(1,m)) et
(B ÎM(m,1)) . La matrice C = A´ B est alors égale au scalaire défini par :
i j ik kj im mj C = a 1b1 +L+ a b +L+ a b , (AÎM(1,1))
A´ B = 1´(-2) + 2´0 + (-1) ´2 + 0´1+ (-2) ´(-1) = -2
8
III-4 Produit de deux matrices
III-4-1 Définition et propriétés
Définition :
1
k
s’appelle la matrice
Propriétés :

     


     

=
j
b
M
1
b
kj
M
b
mj
B
une matrice colonne
Exemple :
¨ A = (1,2,-1,0,-2) et

     
B :


     

-
-
=
2
0
2
1
1
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9. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel :
Soient A une matrice de M(n,m) et B une matrice de M(m, p) :
a
a

     

     
M
L
M
M
L
M
M
A ¬
i ligne L
Pour obtenir le coefficient ij P de la matrice produit P = A´ B ,on fait le produit de la ligne i L de
la matrice A ( i L : matrice ligne) par la colonne j C de la matrice B ( j C : matrice colonne) :
p
LC
1 1
M
LC
i p
M
L C
n p
B :
AÎM(2,3) et BÎM(3,2) ⇒(A´ B)ÎM(2,2) et (B ´ A)ÎM(3,3)


-

=  

 
´ ´
´ =
0 2
L C L C
1 1 1 2
L C L C
 
 
0 1
´ ´ ´
L C L C L C
1 1 1 2 1 3
´ ´ ´
L C L C L C
2 1 2 2 2 3
´ ´ ´
L C L C L C
3 1 2 3 3 3
9
,
1 1
a
11
1
1
i
m
im
nm
k
ik
nk
n
a
M
a
a
M
a
a
M
a


=
L
M
L
L
M
L
L
1 1
M
L
M
L
j
p
b
M
b
kp
M
b
mp
j
b
M
b
kj
M
b
mj
b
M
11
b
k
M
b
1
1
m
­
L
M
L
M
L
colonne C
B

     


     

=

     


     
M
M

=
j
LC
M
LC
i j
M
L C
n j
LC
1 1
LC
i
1
L C
n
P
L
M
L
M
L
L
M
L
M
L
1
, PÎM(n, p)
Exemples :


-
1 2 1
¨  
 
A et
-
=
2 1 2

  
1 0
0 1


= -
  

1 0
-
´ ´
2 1 2 2
A B
1 2 1

  
2 1 2
1 2 1


  

-
-
- -
=

  


   
´ =
B A
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10. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
=
B
AÎM(2,3) et BÎM(3,4) ⇒(A´ B)ÎM(2,4)
2 2 3 1



=  

 
´ ´ ´ ´
´ =
L C L C L C L C
1 1 1 2 1 3 1 4
L C L C L C L C

 ´ ´ ´ ´
2 1 2 2 2 3 2 4
On ne peut pas effectuer la multiplication B ´ A.
· Soit A une matrice carrée d’ordre n (AÎM(n)) . On définit les puissances de la
p = ´ ´ Î Î 14L243 , avec n A0 = I
matrice A par : A A A ( p IN* ), A M(n)
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n (A,BÎM(n)) .
Si les matrices A et B commutent (A´ B = B ´ A) , alors :
p
p
Σ Σ
A B p C A B C A B
( ) . .
=
0 k
0
Cette formule s’appelle la formule de Newton.


-
 
=
1 0

A et B
 ¨ Les matrices A et B commutent :


-
 
´ =
2 0
B A et  

9 0
B A et ) ( ) ( ) ( 2 B A B A B A + ´ + = +  
10


-
1 2 1
¨  
 
A et
-
=
2 1 2
1 0 0 1

  


  

0 1 1 0
- -
1 0 1 0
 
4 1 3 2
A B
III-5 Puissance d’une matrice
Définition :
p fois
Théorème :
k p -
k k
p
k k p k
p
+ = - =
=
k


=
2 0
Exemple :  
 
1 2
1 1

 

-
 
´ =
2 0
1 2
1 2
B A
¨ Le calcul direct de (A + B)2 :

 

 
+ =
3 0
0 3
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
 
⇒ + =
0 9
(A B)2

11. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
¨ La formule de Newton pour le calcul de (A + B)2 :
4 0 A2 A A ,  

1 0 B2 = B ´ B =
et  III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices
¨ M(n) est un espace vectoriel réel de dimension n2 :
La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi + .
Le symétrique de la matrice A pour la loi + est égal à sa matrice opposée.
B {E , 1 i, j n } ij = £ £ est une base de M(n) ,
=
1 si ( m , n ) ( i , j
)
  
=
:
( )
E ij mn ij
La base B s’appelle la base canonique de M(n) .


 ¨ La matrice identité est l’élément  neutre pour la loi ´ .

¨ En général A ´ B ¹ B ´ A : ´  




=  


´  
0 0
0 0
1 0
¨ En général n n n B A B A 0 ou 0 0 = = ⇒/ = ´ :  
11
(A + B)2 = A2 + 2.A´ B + B2


= ´ =
 
 
4 4


-
 
2 1


-
 
´ =
2 0
1 2
A B


⇒ + =
9 0
(A B)2
 
 
0 9
¬

     

      
=
0
M
0
0
M
1
0
M
0
L
M
L
M
E ligne i
M
0
­
L
M
L
L
M
L
colonne j

M
0
M
0
0 sinon


´  
 


¹  
 



 
1 0
1 0
0 1
0 1
0 1
0 1
1 0
1 0
 
 
 
0 0
0 1
0 0
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12. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
· Une matrice carrée A d’ordre n (AÎM(n)) est dite inversible s’il existe une matrice
carrée B d’ordre n (B ÎM(n)) telle que : n A´ B = B ´ A = I
· On note B = A-1
· La matrice B = A-1 s’appelle la matrice inverse de la matrice A .


-
-
=
3 2
A ,  
1 0


I A B B A =  
 
´ = ´ =
B : 2 0 1
La matrice A est alors inversible et A-1 = B .
0
a
c d




 ¹ ´ = 
B A ¹  
 
 
´ =
B : 2 2 0
La matrice A est alors non inversible.
Si deux matrices A et B de M(n) sont inversibles alors la matrice A´ B est
inversible et (A´ B)-1 = B-1 ´ A-1 .
En particulier si une matrice A de M(n) est inversible alors la matrice (A) p , pÎ IN *
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de
Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette méthode,
dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en n I et par la même occasion la
matrice n I en A-1 en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type addition à
chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un scalaire ou
permutation des lignes.
Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A ,
une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les
coefficients de la matrice n I dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible.
12
IV- Matrice inversible
Définition :
Exemples :


=
1 2
¨  
 
1 3
 
1 1


=
0 1
¨  


=
a b
A ,  
 
0 0
 
c d
0 0
I
c
I B A
Théorème :
est inversible et (Ap )-1 = (A-1) p .
V-1 Principe de la méthode
déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant.
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13. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
2 3 1
- -
1 2 1
2 4 1
Exposé de la méthode :
¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour
faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients
de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite:
¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite :
1 0 0
0 1 0
0 0 1
¨ On multiplie la 1ère ligne par (1/ 2) : 1 1 L ®(1/ 2).L :
1/ 2 0 0
0 1 0
0 0 1
¨ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne : 2 2 1 L ® L + L
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-2) : 3 3 1 L ® L - 2L

1/ 2 0 0
-   

1/ 2 1 0
1 0 1
¨ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne : 2 3 L « L
1/ 2 0 0

-
1 0 1
1/ 2 1 0
13
V-2 Exemples
V-2-1 Matrice inversible :

  


  

-
-
=
A

  


  

2 3 1

  
1 2 1
2 4 1


  

-
-
- -

  


  


  
1 3/ 2 1/ 2
1 2 1
2 4 1


  

-
- -
-

  


  


  

1 3/ 2 1/ 2
-
-
0 1/ 2 1/ 2
0 1 0

  

  


  


  

1 3/ 2 1/ 2
0 1 0
-
-
0 1/ 2 1/ 2
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14. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
¨ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par (-3/ 2) : 1 1 2 L ® L - (3/ 2)L
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (1/ 2) : 3 3 2 L ® L + (1/ 2)L
2 0 3/ 2
1 0 1
0 1 1/ 2
¨ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne : 1 1 3 L ® L + L
-
2 1 1
1 0 1
0 1 1/ 2
¨ On multiplie la 3ème ligne par (2) : 3 3 L ®2.L
2 1 1

  
1 0 1
0 2 1

¨ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité 3 I . La matrice qui
apparaît simultanément à la place de la matrice identité 3 I n’est autre que la matrice A-1 .

-
  

=
14

  


-
  

-

  

 -
  

1 0 1/ 2
0 1 0
0 0 1/ 2

  


-
  


  


  

1 0 0
0 1 0
0 0 1/ 2

-
  

-

  
1 0 0
0 1 0
0 0 1


  

¨ En effet :

  
1 0 0
0 1 0
0 0 1


=
  

2 3 1

  
1 2 1
2 4 1


  

-
-
- -
2 1 1

  
1 0 1
0 2 1

-
2 1 1

  
1 0 1
0 2 1


-
  

-
2 3 1

  
1 2 1
2 4 1


  

-
-
- -
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15. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice

=
A
Exposé de la méthode :
¨ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice 3 I dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice 3 I pour
faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice 3 I à gauche et les coefficients
de la matrice A-1 apparaîtront ainsi à droite:
¨ On écrit A à gauche et 3 I à droite :
¨ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (-1) : 3 3 1 L ® L - L

  
1 0 0
0 1 0
1 0 1

¨ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (-1) : 3 3 2 L ® L - L

  
1 0 0
0 1 0
1 1 1

¨ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement nulle
( 3 L ), la matrice A est alors non inversible.
15
V-2-2 Matrice non inversible :

  

  

1 0 1
0 1 0
1 1 1

  
1 0 0
0 1 0
0 0 1


  

1 0 1

  
0 1 0
1 1 1


  


  
1 0 1

  


- 
  

0 1 0
0 1 0

  

  


- - 
  

1 0 1
0 1 0
0 0 0
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16. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
VI- Matrice associée à un système de vecteurs
Soit (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base { } n B e , , e = 1 L .
Soit un système de p vecteurs de E , { } p S u , ,u = 1 L .
· On appelle la matrice du système { } p S u , ,u = 1 L , relativement à la base { } n B e , , e = 1 L ,
L
1 1 1
ij
j
nj
a
M
a
M
a
a
11
M
a
M
a

     

1
1
M
M
M
L
M
L
L
M
L
M
L
­ ­ ­
u u u
a
a
a
j p
où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur j u du système
{ } p S u , ,u = 1 L dans la base { } n B e , , e = 1 L : u a ei j p
· On note A = M(S / B) : (AÎM(n, p))
¨ La matrice A dépend de la base B choisie.
¨ E = IR3
¨ { } 1 2 3 B = e , e , e la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 e = , (0,1,0) 2 e = et (0,0,1) 3 e = .
¨ { } 1 2 3 S = u ,u ,u : (2,0, 2) 1 u = - , (1, 2,1) 2 u = - et (0, 2,3) 3 u = - :
= - = + + -
(2,0, 2) 2.(1,0,0) 0.(0,1,0) ( 2).(0,0,1)
= - = + - +
(1, 2,1) 1.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 1.(0,0,1)
= - = + - +
(0, 2,3) 0.(1,0,0) ( 2).(0,1,0) 3.(0,0,1)
16
Définition :
la matrice suivante :
e
e
i
e
n
p
ip
np
i
n
A
¬
¬
¬

     

=
1
n
= =Σ=
j ij , 1,
i
1
Remarque :
Exemple :
2 1 0
⇒ = - -
0 2 2

  
2 1 3

  

-
­ ­ ­
u u u
1 2 3
e
1
e
2
e
3
u
1
2
3
A

 
u

 
u
¬
¬
¬


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17. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
VII- Matrice d’une application linéaire
Soient (E,+,.) un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base
{ } p B u , ,u = 1 L et (F,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base
{ } n B' v , ,v = 1 L . Soit f une application linéaire de (E,+,.) vers (F,+,.) .
· La matrice de f relativement aux bases B et B' , notée par M( f / B,B' ) c’est la
matrice du système { ( ), , ( )} 1 p S = f u L f u , relativement à la base { } n B' v , , v = 1 L .
¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors :
v
a
a
¬

L
1 1 1
a
11
1
1
p
ip
np
ij
j
nj
i
n
M
a
M
a
M
a
M
a
M
a
M
a
M
L
M
L
L
M
L
M
L
­ ­ ­
     

( ) ( ) ( )

     

f u f u f u
j p
¨ La colonne j de la matrice M( f / B,B' ) représente les coordonnées du vecteur ( ) j f u
= + + + +
( )
f u a v L a v L
a v
1 11 1 1 1
i i n n
= + + + +
M
( )
f u a v L a v L
a v
1 1
j j ij i nj n
= + + + +
M
( )
f u a v L a v L
a v
1 1
p p ip i np n
¨ La matrice M( f / B,B' ) dépend des bases choisies B et B' .
17
Définition :
Remarques :
( / , ' )
1
i
n
v
v
M f B B
¬
¬
=
, (M( f / B,B' )ÎM(n, p))
dans la base B' :

   
  

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18. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Exemple : E = IR2 , F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x)
¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = .
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = .
= - = + -
( ) (1,1, 1)
f u v v v
1 1 2 3
= - = - + +
f u v v v
2 1 2 3
¨ { } 1 2 B = u ,u une base de IR2 : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = -
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v une base de IR3 : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - -
= =
( ) (0,2,0) 2
f u v
1 2
= - = +
( ) ( 2,0,2) 2 2
f u v v
2 2 3
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et
B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors :
M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' )
Exemple : E = IR3 , F = IR2 et G = IR2 : f (x, y, z) = (x + y, y + z) et g(x, y) = ( y, x)
¨ B 
= { e  , e , e } la base canonique de IR3 : e = (1,0,0) , e = (0,1,0) et e =
(0,0,1) 1 2 3 1 2 3 ¨ B' = B= { e ,e } la base canonique de IR2 : e = (1,0) et e = (0,1) .
1 2 1 2 ¨ f (x, y, z) = (x + y, y + z) ⇒ M( f / B, B' )
=


0 1
¨ g(x, 
 y) = ( y, x) ⇒ M(g / B',B)
=


0 1 1
¨ 
 (g o f )(x, y, z) = ( y + z, x + y) ⇒ M(g o f / B,B)
=
¨ M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' ) :




=  


´  
) ' , / ( ) , ' / ( B B f g M B B f M B B g M o =  
18
·
1 1

  
1 1
1 1


  

-
-
⇒ =



( / , ' )
( ) ( 1,1,1)
M f B B
·

  


  

⇒ =



0 0
2 2
0 2
( / , ' )
M f B B
¨ M( f / B,B' ) ¹ M( f / B,B' )
Théorème : (matrice de la composée)


 
1 1 0
0 1 1
 
1 0
 
1 1 0
( / , )
0 1 1
1 1 0
1 1 0
0 1 1
0 1
1 0
 
 
 
´ =
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19. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soient B {u , ,un} = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L deux bases d’un espace vectoriel réel E . On
appelle la matrice de passage de la base B à la base B' et on note BB' P , la matrice du
système { } n B' v , , v = 1 L relativement à la base { } n B u , ,u = 1 L .
¨ Si { } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L alors :
L
1 1 1
ij
j
nj
a
M
a
M
a
a
11
M
a
M
a

     

1
1
M
M
M
L
M
L
L
M
L
M
L
­ ­ ­
v v v
a
a
a
j n
¨ La colonne j de la matrice de passage BB' P représente les coordonnées du vecteur j v
= + + + +
v a u L a u L
a u
1 11 1 1 1
i i n n
= + + + +
M
v a u L a u L
a u
1 1
j j ij i nj n
= + + + +
M
v a u L a u L
a u
1 1
n n in i nn n
¨ Si B et B' sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors :
· BB n P = I , où Id est l’application identité de E .
· ( / ', ) ' P M Id B B BB = , où Id est l’application identité de E .
Si { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E , alors
( )- 1
= .
' la matrice de passage de B à B' , est inversible et BB B B P P '
19
VIII- Changement de base
VIII-1 Matrice de passage
Définition :
Remarques :
i
n
n
in
nn
P
=
'
BB i
n
u
u
u
¬
¬
¬

     

1
, ( ( )) ' P M n BB Î
dans la base B :

  

  

Théorème :
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20. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
¨ Dans IR2 , on considère les bases B et B' :
e ' (1,1)
e e
e e e
1 1 2
' ( 1,1)
2 1 2
'
1
'
1
(1,0)
e e e
1 1 2
'
2
1
'
2
1
(0,1)
e e e
1 1 2
Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E .
n
x x u x u x u
n n i i
i
1
1 1
L
' L ' '
x x v x v x v
n n j j
= , : = (1,0), =
(0,1)
' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1)
B e e e e
1 2 1 2
= = = -
B e e e e
1 2 1 2
= 2
-
x e e

= +
1 2
' ' ' '
x x e x e
1 1 2 2
X : ' ' ' ' (2, 1) ' (1,1) ' ( 1,1) 1 1 2 2 1 2 x = x e +x e ⇒ - = x + x -
' 1/ 2
1
' 3/ 2
X par la formule de changement de base X P X B B' . ' = :

= = ⇒ 


-
⇒ =
1/ 2

 P X ' P .
X B ' B B ' B 20
Exemple :


{ }
{ } 
= , : = (1,0), =
(0,1)
' ' , ' : ' (1,1), ' ( 1,1)
B e e e e
1 2 1 2
= = = -
B e e e e
1 2 1 2
·



= = +
= - = - +
1 1


 -

⇒ =
1 1
BB' P
·



= = -
= = +
2
2



-

⇒ =
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
B'B P
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur
Théorème :
Soit un x vecteur de E .
Si

 

 

= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = ,
avec

  


=
  
1
X M

x
n x
et

  


=
  

x
'
1
M
'
n x
X
'
Exemple : E = IR2 et


{ }
{ } 
deux bases de E = IR2
¨ x = (2,-1)ÎIR2 :



 

=  
 

2

-
 
⇒ =
'
x
1
'
2
et '
X X
1
x
'
x
 

¨ Calcul direct de =
  
1
'
2
'
x
  
=
= -
  
⇒
- =
' ' 2
x x
1 2
+ = -
⇒
' ' 1
2
x x
1 2
x
x

 

-
 
⇒ =
1/ 2
3/ 2
X '


=
'
x
1
'
¨ Calcul de  
 
2
'
x

 

- 
 


-


-

=
2
1
.
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2
 
3/ 2
X '
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007

21. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis respectivement des bases
{ } p B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x
vecteur de E .
p
x x u x u x u
p p i i
i
1
1 1
L
( ) L
f x y v y v y v
n n j j

1
.
  

Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x)
¨ { } 1 2 B = u ,u la base canonique de IR2 : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u = .
¨ { } 1 2 3 B' = v , v , v la base canonique de IR3 : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v = .
⇒ =


x
1
x
1 2 x = (x , x )ÎIR : 1 1 2 2 u x u x x + =  
=

  



-
=
2
¨ Si 2 ) 1 , 2 ( IR x Î - = , alors  
X et
1
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers
F . Si 1 B et 1 B' sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors :
M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1
. M ( f / B , B ). P
1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1
21
VIII-3 Application linéaire
Théorème :
Si

 

 

= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors Y = M( f / B,B' ).X ,
où :

  


=
  
1
X M

x
p x
et

=
  
Y M

y
n y
¨
1 1

  
1 1
1 1


  

-
-



= - = + -
( ) (1,1, 1)
f u v v v
1 1 2 3
= - = - + +
( / , ' )
( ) ( 1,1,1)
f u v v v
2 1 2 3
M f B B
¨ Soit 2
 
⇒ =
2
X
¨ Y = M( f / B,B' ).X

  


  

-
x x
1 2
+
x x
1 2
-

=  

 
1 1

  
.
1 1
1 1


  

-
-

=  

 

   
⇒
x x
2 1
x
1
2
x
1
2
y
1
2
3
( / , ' ).
x
x
M f B B
y
y
 

  


  

-

=  
1 1


-   

 

  

-
-
=

  


  

3
1
3
2
1
.
1 1
1 1
y
1
2
3
y
y
Théorème :
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007

22. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Exemple : E = IR2 et F = IR3 : f (x, y) = (x - y, x + y, y - x)
o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,0) 1 u = et (0,1) 2 u =
o { } 1 1 2 B = u ,u : (1,1) 1 u = et ( 1,1) 2 u = -
o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,0,0) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et (0,0,1) 3 v =
o { } 2 1 2 3 B = v , v , v : (1,1,1) 1 v = , (0,1,0) 2 v = et ( 1, 1,1) 3 v = - -
1 1

 -
=
( / , ) 1 2 B B f M et 

  
1/ 2 0 1/ 2
= -

( / , ) . ( / , ). 1 2 B B 1 2 B B M f B B = P M f B B P
2 2 1 1
1/ 2 0 1/ 2
1 1 0
1/ 2 0 1/ 2
= = =
( ) ((1,1)) (0,2,0) 2
f u f v
1 2 M f B B
= - = - = +
( ) (( 1,1)) ( 2,0,2) 2 2
f u f v v
2 2 3
22
¨ Dans IR2 , on considère les bases
¨ Dans IR3 , on considère les bases
¨
1 1

  
1 1
1 1


  

-
-
=

1 1
B1B1 P
¨

  

-

  

  

⇒
1
= - -
v v v v
1 1 2 3
=
2
v v
2 2
1
= +
1 1 0
1/ 2 0 1/ 2
1
v v v
3 1 3
2
2
1
2
B B P
2 2
¨

  


= 
  

1 1
.

 -

1 1

  
1 1
1 1


  

-
-

  
.


  
⇒ = -

-
0 0
2 2
0 2
1 1
( / , ) 1 2 M f B B
¨ Calcul direct de ( / , ) 1 2 M f B B :

  


  

⇒ =
  
0 0
2 2
0 2
( / , )
1 2
Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007

23. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
IX- Compléments : preuves de quelques théorèmes du cours
Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels, muni des bases respectives B , B' et
B' ' . Si f : E a F et g : F aG sont deux applications linéaires alors :
M(g o f / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' )
¨ { } p B u , ,u = 1 L , { } n B' v , ,v = 1 L et { } m B w , ,w = 1 L bases respectives de E , F et G :
n
· Σ=
: ( ) , où A = M( f / B,B' )
j j ij i u B f u a v
1
n
· Σ=
': ( ) , où B = M(g / B',B)
i i ki k v B g v b v
n
· Σ=
: ( o )( ) , où C = M(g o f / B,B)
Î =
j j kj k u B g f u c v
¨ u B j Î , on a alors : ( f et g sont linéaires)






j j ij i g f u g f u g Σa v Σa g v Σa Σb w Σ Σb a w

= 

= = 
( o )( ) ( ( )) ( )
= = = = = =
1 i
1 1 1 1 1
m
¨ Or u Î B , =
Σon a : ( o )( )
j j kj k g f u c w
k
1
n
kj kia b c Σ=
¨ D’où : C = B ´ A ( )
1
¨ On a alors : M( f o g / B,B) = M(g / B',B) ´M( f / B,B' )
Soient { } n B u , ,u = 1 L et { } n B' v , ,v = 1 L sont deux bases d’un espace vectoriel réel E .
n
x x u x u x u
n n i i
i
1
1 1
L
' L ' '
x x v x v x v
n n j j
23
Théorème : (matrice de la composée)
Preuve :
Î =
i
Î =
i
1
i
1
k
m
k
ij
n
i
ki
n
i
k
m
ij ki
k
n
ij i
n
i


= =
=
ij
i
=
Théorème :
Soit un x vecteur de E .
Si

 

 

= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors : . ' ' X P X BB = et X P X B B' . ' = ,
avec

  


=
   
x
1
X M
n x
et

  


=
  

x
'
1
M
'
n x
X
'
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24. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
' ( { } n B' v , ,v = 1 L est une base de E )
n
· Or Σ=
1 j n : v a u
, avec A = P
j ij i BB' 1



n
n
n
n
· D’où : Σ Σ Σ Σ
' '
j ij i x x a u a x u

= 

= = = =
1 1 1 1
et { } n B u , ,u = 1 L est une base de E
' et alors : . ' ' X P X BB =
¨ On montre de même que X P X B B' . ' =
Soient (E,+,.) et (F,+,.) deux espaces vectoriels réels munis des bases { } p B u , ,u = 1 L
et { } n B' v , ,v = 1 L . Soient f une application linéaire de E vers F et x vecteur de E .
p
x x u x u x u
p p i i
i
1
1 1
L
( ) L
f x y v y v y v
n n j j

1
.
  

( { } p B u , ,u = 1 L est une base de E )
( ) ( ) ( ) ( f est linéaire)
j j f x f x u x f u
j j
1 : ( ) , avec A = M( f / B,B' ) , donc :
j ij i j p f u a v

n
p
( ) ⇒ ( )
=
Σ Σ
ij j f x a x v
( ) et { } n B' v , ,v = 1 L est une base de F
⇒Y = M( f / B,B' ).X
24
Preuve :
¨ Montrons que . ' ' X P X BB =
n
· =
ΣxÎ E : =
j j x x v
j
1
£ £ =
i


=
i
i
j
ij j
j
i
n
=
· Or =
Σi i x x u
i
1
n
=
· Donc =
Σi ij j x a x
j
1
Théorème :
Si

 

 

= + + =
Σ
=
= + + =
n
Σ
=
j
1
1 1
alors Y = M( f / B,B' ).X ,
où :

  


=
  
1
X M

x
p x
et

=
  
Y M

y
n y
Preuve :
p
¨ =
ΣxÎ E : =
j j x x u
j
1
p
p
Σ Σ
= =
⇒ = =
1 j
1
j
n
=
¨ Or Σ£ £ =
i
1
 
p
n
Σ Σ
= =


=
j ij i f x x a v
j
1 i
1

= =


i
i
1 j
1
n
=
¨ Or =
Σi i f x y v
i
1
p
Σ=
⇒ =
i ij j y a x
j
1
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25. Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 3 : Matrice
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f une application linéaire de E vers
F . Si B1 et B'1 sont deux bases de E , 2 B et 2 B' deux bases de F alors :
M ( f / B ' , B ' ) = P . M ( f / B , B ). P = ( P ) - 1
. M ( f / B , B ). P
1 2 B ' B 1 2 B B ' B B ' B B 2 2 1 1 2 2 1 2 1 '1
¨ { } p B u , ,u 1 = 1 L et { } p B' u' , ,u' 1 = 1 L deux bases de E :
p
p
· xÎ E : = Σ =
Σ
' ' ,
j j x x u x u
= =
1 1

  
1
M alors . '

x
'
'
p x
¨ { } n B v , , v 2 = 1 L et { } n B' v' , ,v' 2 = 1 L deux bases de F .
n
n
· y = f (x)ÎF : = = Σ =
Σ
( ) ' ' ,
i i y f x y v y v

1
M alors . '
  

¨ Y M( f / B ,B ).X 1 2 = et ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X avec
¨ D’où . ' ( / , ). . '
= -
2 '2 1 2 1 '1 P Y M f B B P X B B B B = et alors ' ( ) . ( / , ). . '
2 2 1 2 1 '1
1 2 ' ( / ' , ' ) ( ) . ( / , ). B B B B M f B B = P - M f B B P
25
Théorème :
Preuve :
j
j j
j
· Si

  


=
  
1
X M

x
p x
et

=
  

X
'
1 '1 X P X B B =
= =
1 i
1
i i
i
· Si

  


=
  
1
Y M

y
n y
et

=
  

y
'
'
n y
Y
'
2 '2 Y P Y B B =
  
=
X P X
=
. '
. '
'
B B
1 1
Y P Y
'
B B
2 2
1
' Y P M f B B P X B B B B
¨ Or ' ( / ' , ' ). ' 1 2 Y = M f B B X donc
1
2 2 1 2 1 '1
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