seance-07.pdf

Sommaire Systèmes d’équations linéaires Étude de l’ensemble des solutions Méthode de résolution de Cramer Méthode
Résolution des systèmes
linéaires
M. Ghilani
Université Moulay Ismail, Meknès
25 mai 2021
M. Ghilani Algèbre linéaire

Sommaire
1 Systèmes d’équations linéaires
2 Étude de l’ensemble des solutions
3 Méthode de résolution de Cramer
4 Méthode de résolution de Gauss
5 Méthode de résolution de Gauss-Jordan
6 Inversion de matrice par la méthode de Gauss-Jordan

Systèmes des équations linéaires
Définition :
On appelle système rectangulaire de type (n, p) ou n × p :
(S)











a11x1 + · · · + a1pxp = b1
a21x1 + · · · + a2pxp = b2
.
.
.
an1x1 + · · · + anpxp = bn
où les inconnues sont les scalaires x1, . . . , xp ∈ K et où les données sont :
les coefficients aij ∈ K, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ p, les seconds membres
bi ∈ K, 1 ≤ i ≤ n. On appelle rang du système le rang de
A = (aij )1≤i≤n,1≤j≤p.

Définition :
Une solution du système est un p−uplet (x1, . . . , xp) ∈ Kp
qui
vérifie les n équations du système.
Un système est dit homogène si b1 = b2 = · · · = bn = 0.
Deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même ensemble
de solutions.
Remarque :
Un système homogène de type (n, p) admet toujours au moins une
solution. C’est le vecteur
(0, 0, . . . , 0) ∈ Kp
qualifié de solution banale ou triviale.

Systèmes d’équations linéaires
Un système peut avoir plus d’équations que d’inconnues : n > p
(système sur-abondant). C’est le cas du système 4 × 3 suivant :









−x1 + x2 − 5x3 = −7
2x1 − x2 − x3 = 4
3x1 − 2x2 + 4x3 = 11
3x1 + 4x2 − 2x3 = 11
.
Un système peut aussi avoir moins d’équations que d’inconnues : n < p
(système sous-abondant). C’est le cas du système 3 × 5 suivant :





2x1 − 3x2 + x3 + 6x4 − 6x5 = 3
2x1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 − 6x5 = 4
−2x1 + 4x2 + x3 − 8x4 + 3x5 = 0
.

Enfin, un système peut avoir autant d’équations que d’inconnues : n = p
(système carré). C’est le cas du système 3 × 3 suivant :





x1 + x2 = m
x2 + x3 = 2
x1 + 2x2 + x3 = 3
.
Nous verrons que ce système n’admet aucune solution si m 6= 1. Il en
admet une infinité si m = 1 :
(x1, x2, x3) = (−1 + x3, 2 − x3, x3) avec x3 ∈ R.
ATTENTION Ce n’est pas parce qu’un système possède autant
d’équations que d’inconnues qu’il possède nécessairement une solution. Le
« bon » critère porte non pas sur la taille du système mais sur son rang.

Le système (S) s’écrit sous la forme matricielle suivante :
(EM) AX=B.
Les données sont A et B. L ’inconnue est X :
A =





a11 . . . a1p
a21 . . . a2p
.
.
.
...
.
.
.
an1 . . . anp





= A1 · · · Ap

, B =



b1
b2
.
.
.bn


 et X =



x1
x2
.
.
.xn


 .
L’équation (EM) s’écrit aussi sous la forme matricielle :
(EM0
) x1A1 + x2A2 + . . . + xpAp = B.
où A1, A2, . . . , Ap désignent les colonnes de A.

Étude de l’ensemble des solutions
L’ équation matricielle AX = B peut s’écrire sous la forme vectorielle :
( EV) f(x) =b
où f est l’application linéaire de Kp
vers Kn
associée au système,
b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Kn
et l’inconnue x = (x1, . . . , xp) ∈ Kp
.
L’ensemble des solutions de (EV ) est défini par
S := {x ∈ Kp
: f (x) = b}.
En particulier si b = 0Kn alors S = Kerf 6= ∅.

Exemples :
Soit m ∈ R. On a équivalence entre le système réel 3 × 3 :





x1 + x2 = m
x2 + x3 = 2
x1 + 2x2 + x3 = 3
,
l’équation matricielle :


1 1 0
0 1 1
1 2 1




x1
x2
x3

 =


m
2
3


et l’équation vectorielle : f (x) = b où
x = (x1, x2, x3) ∈ R3
, b = (m, 2, 3) ∈ R3
et f : x ∈ R3
7→ y ∈ R3
, avec
y = (x1 + x2, x2 + x3, x1 + 2x2 + x3).

Nous avons vu qu’une équation homogène n’est jamais impossible (elle
admet toujours 0Kp pour solution). Et si elle n’est pas homogène ?
Proposition :
Soit b un vecteur de Kn
.
(a) Si b /
∈ Imf alors S = ∅.
(b) Si b ∈ Imf (l’équation (EV) est dite compatible) alors
S = {x0 + xpart : x0 ∈ Kerf }
où xpart est une solution particulière de (EV ), c’est-à-dire :
xpart ∈ Kp
et f (xpart) = b.

Remarque :
Si on note r = rg f alors dimK(Kerf ) = p − r. Supposons qu’il existe une
solution particulière xpart.
(i) Supposons r = p ( c’est-à-dire : dimK(Kerf ) = 0). Il n’ y a alors
qu’une seule solution : S = {xpart}.
(ii) Supposons r p ( c’est-à-dire dimK(Kerf ) ≥ 1). Notons
BKerf = (v1, . . . , vp−r ) une base de Kerf . Pour tout x ∈ S,
Par conséquent, la forme générale d’une solution dépend de p − r
paramètre(s). Il y a donc une infinité de solutions puisque p − r 0.

En conclusion, une équation vectorielle peut
ne possèder aucune solution ; c’est le cas si
b /
∈ Imf ;
posséder une solution unique ; c’est le cas si
b ∈ Imf et Kerf = {0Kp };
en posséder une infinité ; c’est le cas si
b ∈ Imf et Kerf 6= {0Kp };

Méthode de résolution de Cramer
Définition :
Un système linéaire de type(n, p) est dit de Cramer s’il possède autant
d’équations que d’inconnues (n = p) et si le rang r du système vérifie :
r = n = p.
Un système de Cramer est un système de la forme :











a11x1 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + · · · + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + · · · + annxn = bn
avec
a11 . . . a1n
a21 . . . a2n
.
.
.
...
.
.
.
an1 . . . ann
6= 0.

Interprétation vectorielle d’un système de Cramer
L ’application linéaire f : Kn
−→ Kn
est bijective :
f ∈ GLK(Kn
).
Ainsi, pour tout vecteur b de Kn
, il existe une unique solution x̃ ∈ Kn
.
On a :
f (x̃) = b ⇐⇒ x̃f −1
(b).
Interprétation matricielle d’un système de Cramer
La matrice A carrée d’ordre n est inversible :
A ∈ GL(K).
Ainsi, pour tout B ∈ Mn,1(K), il existe une unique solution
X̃ ∈ Mn,1(K). On a :
AX̃ = B ⇐⇒ X̃ = A−1
B.

Proposition :
Un système de Cramer possède une solution et une seule.
Proposition :
Les coordonnées X̃1, X̃2, . . . , X̃n de l’unique solution d’un système de
Cramer d’équation matricielle AX̃ = B sont :
∀j ∈ {1, . . . , n} X̃j =
det(A1, . . . , Aj−1, B, Aj+1, . . . , An)
det(A)
où A1, A2, . . . , An désignent les colonnes de la matrice A.

Exemples :
Considérons dans R le système 3 × 3 d’équation matricielle :


1 0 −1
0 −1 1
−1 2 0

 =


x1
x2
x3

 =


1
1
1

 .
C’est un système de Cramer car son déterminant est non nul (il vaut -1).
Son unique solution est (x̃1, x̃2, x̃2) ∈ R3
avec
x̃1 =
1 0 −1
1 −1 1
1 2 0
1 0 −1
0 −1 1
−1 2 0
, x̃2 =
1 1 −1
0 1 1
−1 1 0
1 0 −1
0 −1 1
−1 2 0
x̃3 =
1 0 −1
0 −1 1
−1 2 1
1 0 −1
0 −1 1
−1 2 0
On obtient x̃1 = 5, x̃2 = 3 et x̃3 = 4.

Méthode de résolution de Gauss
Cette méthode est aussi appelée méthode des pivot de Gauss.
Qu’est-ce que la méthode de Gauss ? C’est une méthode de résolution
systématique d’un système linéaire de type (n, p) :
(S)











a11x1 + · · · + a1pxp = b1
a21x1 + · · · + a2pxp = b2
.
.
.
an1x1 + · · · + anpxp = bn
avec, a priori, aucune condition ni sur l’entier n, ni sur l’entier p ( il faut ,
bien sûr, n ≥ 1 et p ≥ 1 ). On procède en trois étapes :
1 une étape d’élimination,
2 suivie d’une étape de discussion,
3 suivie (éventuellement) d’une étape de remontée.

Le but c’est d’écrire le système sous une forme échelonnée. Les
opérations utilisées sont identiques à celles utilisées dans la méthode des
zéros échelonnés :
1 Multiplication de l’équation Ek par un scalaire α ∈ K∗
:
Ek ←− αEk α ∈ K∗
.
2 Addition à une équation d’un multiple d’une autre :
Ek ←− Ek + βE0
k avec β ∈ K.
3 Échange d’équations
Ek ←→ Ek0 .

Soit m ∈ R. Considérons dans R le système 3 × 3 suivant :
(S)





x1 + x2 = m
x2 + x3 = 2
x1 + 2x2 + x3 = 3
.
Effectuons à partir du système (S) l’opération élémentaire
E3 ←− E3 − E1, puis E3 ←− E3 − E2. On obtient le système échelonnée :
(S0
)



x1 + x2 = m
x2 + x3 = 2
0 + 0 + 0 = m − 1
Le système (S0
) est équivalent au système (S). Ici r = 2.

Matrice augmentée :
1 1 0 m
0 1 1 2
1 2 1 3

Élimination ou Echelonnage ou Descente :
1 2 0 m
0 1 1 2
0 0 0 3 − m

Discussion :
(
• Si m 6= 3 le système est incompatible. Il n’y a pas de solutions.
• Si m = 3
(
x2 = 2 − x3
x1 = 2 − x2 = 2 − (2 − x3) = x3
S = {(x3, 2 − x3, x3)x3 ∈ R}. = (0, 2, 0) + vect{(1, −1, 1)}

À l’issue de l’étape d’élimination, nous nous retrouvons avec le système
(S0
), échelonnée et équivalent à (S), de la forme :



























a0
11x0
1 + a0
12x2 + · · · + a0
1r x0
r + . . . = b0
1
a0
22x2 + · · · + a0
2r x0
r + . . . = b0
2
...
.
.
.
a0
rr x0
r + . . . = b0
r
0 = b0
r+1
.
.
.
0 = b0
n
où les coefficients ( pivots) a0
11, a0
22, . . . , a0
rr sont tous non nuls et où ( en
l’absence de permutation des colonnes )
x0
1 = x1, x0
2 = x2, . . . , x0
p = xp.

Deux cas peuvent se produire :
1 S’il existe i ∈ {r + 1, . . . , n} tel que b0
i 6= 0 alors l’égalité ”0 = b0
i ”
absurde. Le système n’est pas compatible :
S = ∅.
2 Si b0
i = 0 pour tout i ∈ {r + 1, . . . , n} alors le système est
compatible (S 6= ∅) : il existe au moins une solution ( c’est un
vecteur de Kp
) qui dépend de p − r paramètre (s).
• Cette solution est peut-être unique. C’est le cas si
r = p.
• Il y en a peut-être une infinité. C’est le cas si
r p.

Matrice augmentée :





a11 a12 · · · a1p b1
a21 a22 · · · a2p b2
.
.
.
.
.
. · · ·
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · anp bn





Élimination ou Echelonnage ou Descente :












a11 a12 · · · a1r · · · b1
a0
22 · · · a0
2r · · · b0
2
...
.
.
.
a0
nr · · · b0
r
0 b0
r+1
.
.
.
0 b0
n













Discussion :













































• S0
ilexistei ∈ {r + 1, . . . , n} tel que b0
i 6= 0
alors l’égalité ”0 = b0
i ” absurde.
Le système n’est pas compatible. S = ∅.
• Si b0
i = 0 pour tout i ∈ {r + 1, . . . , n}
alors le système est compatible (S 6= ∅) :
il existe au moins une solution ( c’est un vecteur de Kp
)
qui dépend de p − r paramètre (s).











xr =
1
a0
rr

b0
r − a0
rr+1xr+1 + · · · a0
rpxp

.
.
. =
.
.
.
x1 =
1
a11

b1 − a12x2 + · · · a1pxp


Exemples :
Reprenons l’exemple précédent. Considérons donc le système échelonné :
(S0
)





x1 + x2 = m
x2 + x3 = 2
x1 + 2x2 + x2 = 3
.
Considérons les deux cas suivants :
1 Si m 6= 1 alors le système est incompatible. Il n’y a donc pas de
solution : S = ∅.
2 Si m = 1 alors le système est compatible. Il y a au moins une
solution qui dépend de 3 − 2 = 1 paramètre. Il y a donc une infinité
de solutions

Comment obtenir la (ou les) solution(s) ? On procède en deux temps.
1 On commence par écrire le système (S00
) obtenu à partir du
système échelonné (S0
)
• en supprimant les équations de la forme « 0 = 0 »,
• en faisant passer aux seconds membres les x0
r+1, . . . , x0
p.
Les inconnues sont à présent les scalaires x0
1, x0
2, . . . , x0
r . Ce sont les
inconnues principales. Le système (S00
) est de Cramer.
2 On résout ensuite (S00
) en partant de la dernière équation, puis en
remontant jusqu’à la première équation.
À l’issue de cette étape de remontée, les inconnues principales de cette
étape de remontée, les inconnues principales x0
1, x0
2, . . . , x0
r s’expriment de
x0
r+1, . . . , x0
p.

Exemples :
Reprenons l’exemple précédent. Soit m = 1(C 6= ∅). Remplaçons (S0
) par
le système suivant :
(S00
)
(
x1 + x2 = 1
x2 = 2 −x3
d’inconnues x1, x2 et paramétré par x3. On obtient : x2 = 2 − x3, puis
x1 = −1 + x3. Une solution générale est un vecteur de R3
d’expression :
(x1, x2, x3) = (−1 + x3, 2 − x3, x3) avec x3 ∈ R.
L’ensemble des solutions s’écrit ainsi :
S = {x0 + xpart : x0 ∈ Kerf }
avec part = (−1, 2, 0) et Kerf = R(1, −1, 1).

Remarque :
Si r = n alors le système échelonné équivalent (S0
) s’écrit :
(S0
)











a0
11x0
1 + a0
12x2 + · · · + a0
1nx0
n+ . . . = b0
1
a0
22x2 + · · · + a0
2nx0
n+ . . . = b0
2
...
.
.
.
a0
nnx0
n+ . . . = b0
n
Remarquons qu’il n’y a pas d’égalité de la forme 0 = bi ’.
• Cela traduit le fait que le système est nécessairement compatible. Il
y a donc au moins une solution, c’est-à-dire une seule ou une
infinité.
• L’étape de discussion est donc ici inutile. On peut passer
directement à l’étape de remontée.
C’est exactement le cas dans l’exemple qui suit.

Étude d’un système sous-abondant
Considérons dans R le système 3 × 5 suivant :





2x1 − 3x2 + x3 + 6x4 − 6x5 = 3
2x1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 − 6x5 = 4
−2x1 + 4x2 + x3 − 8x4 + 3x5 = 3
L ’étape d’élimination conduit au système échelonné équivalent (r=3) :





2x1 − 3x2 + x3 + 6x4 − 6x5 = 3
x2 + x3 − 2x4 = 1
x3 − 3x5 = 2
Il s’en suit que le système est compatible. Il y a au moins une solution qui
dépend de 5 − 3 = 2 paramètres. Il y a donc une infinité de solutions.

L’étape remontée consiste à résoudre le système :





2x1 − 3x2 + x3 = 3 − 6x4 + 6x5
x2 + x3 = 1 + 2x4
x3 2 + x5
d’inconnues x1, x2 et x3 et paramétré par x4 et x5. On a :
x3 = 2 + 3x5, x2 = −1 + 2x4 − 3x5, x1 = −1 − 3x5.
Une solution générale est un vecteur de R5
de la forme :
(x1, x2, x3, x4, x5) = (−1 − 3x5, −1 + 2x4 − 3x5, 2 + 3x5, x4, x5)
où chacun des paramètres x4 et x5 parcourt R. L’ensemble des solutions
s’écrit ainsi :
S = {x0 + xpart : x0 ∈ Kerf } avec xpart = (−1, −1, 2, 0, 0)
et
Kerf = Vect

(0, 2, 0, 1, 0), (−3, −3, 3, 0, 1)

.

Méthode de Gauss
Considérons dans R le système suivant :



x1 + x2 + 2x3 = −1
3x1 + 2x2 + x3 = 2
−2x1 − x2 + x3 = −3
;


1 1 2 -1
3 2 1 2
-2 -1 1 -3

 Matrice augmentée


1 1 2 -1
3 2 1 2
-2 -1 1 -3




1 1 2 -1
0 -1 -5 5
0 1 5 -5




1 1 2 -1
0 -1 -5 5
0 0 0 0




1 1 2 -1
0 1 5 -5
0 0 0 0

 Matrice augmentée échelonnée

Méthode de résolution de Gauss-Jordan
Soi à résoudre le système suivant :





2x + y − 4z = 8
3x + 3y − 5z = 14
4x + 5y − 2z = 16
;


2 1 −4 8
3 3 −5 14
4 5 −2 16

 ; Matrice augmentée


1 1/2 −2 4
3 3 −5 14
4 5 −2 16




1 1/2 −2 4
0 3/2 1 2
0 3 6 0

 ;


1 1/2 −2 4
0 1 2/3 4/3
0 3 6 0

 ;


1 0 −7/3 10/3
0 1 2/3 4/3
0 0 4 −4

 ;


1 0 −7/3 10/3
0 1 2/3 4/3
0 0 1 −1

 ;


1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −1

 ;
Matrice augmentée échelonnée réduite
S = {(1, 2, −1)}

Soit à résoudre le système :



x1 + x2 + 2x3 = −1
3x1 + 2x2 + x3 = 2
−2x1 − x2 + x3 = −3
;


1 1 2 -1
3 2 1 2
-2 -1 1 -3

 Matrice augmentée


1 1 2 -1
0 -1 -5 5
0 1 5 -5

 ;


1 1 2 -1
0 1 5 -5
0 1 5 -5

 ;


1 0 -3 4
0 1 5 -5
0 0 0 0


Le système est compatible. x1 et x2 sont des variables principales
x3 est une variable auxilliaire.
S = {(4 + 3x, −5 − 5x, x)x ∈ R} = (4, −5, 0) + vect{(3, 5, 1)}

Inversion de matrice par la méthode de
Gauss-Jordan
Soit A ∈ GLK(Kn
) (matrice inversible) d’inverse A−1
. Notons par
C1, · · · , Cn les colonnes de A−1
.
A A−1
= A(C1 C2 · · · Cn) = (e1 e2 · · · en)
= (AC1 AC2 · · · ACn) = (e1 e2 · · · en)
Résolution de n systèmes linéaire :
AC1 = e1, matrice augmentée associée est (A|e1);
AC2 = e2, matrice augmentée associée est (A|e2);
.
.
. =
.
.
.
ACn = en, matrice augmentée associée est (A|en);
On peut écrire simultanément tous ces systèmes sous la forme de :
(A|e1e2 · · · en) = (A|In)

Inversion de matrice par la méthode de
Gauss-Jordan
Calcul de l’inverse de la matrice A :
A =


2 1 −4
3 3 −5
4 5 −2

 ;


2 1 −4 1 0 0
3 3 −5 0 1 0
4 5 −2 0 0 1

 , matrice augmentée


1 1/2 −2 1/2 0 0
3 3 −5 0 1 0
4 5 −2 0 0 1

 ;


1 1/2 −2 1/2 0 0
0 3/2 1 −3/2 1 0
0 3 6 −2 0 1

 ;


1 1/2 −2 1/2 0 0
0 1 2/3 −1 2/3 0
0 3 6 −2 0 1

 ;


1 0 −7/3 1 −1/3 0
0 1 2/3 −1 2/3 0
0 0 4 1 −2 1

 ;


1 0 −7/3 1 −1/3 0
0 1 2/3 −1 2/3 0
0 0 1 1/4 −1/2 1/4

 ;


1 0 0 19/12 −3/2 7/12
0 1 0 −7/6 1 −1/6
0 0 1 1/4 −1/2 1/4



I3 est la matrice échelonnée réduite de A.
A−1
=


19/12 −3/2 7/12
−7/6 1 −1/6
1/4 −1/2 1/4

 =
1
12


19 −18 7
−14 12 −2
3 −6 3

 ;

Fin du chapitre

seance-07.pdf

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à seance-07.pdf

Similaire à seance-07.pdf (20)

Dernier

Dernier (15)

seance-07.pdf