Algebre_lineaire_GEOLOGIE-S1.pdf

Algèbre linéaire
Enseignant:
Pegdwindé Ousséni Fabrice OUEDRAOGO
Licence 1, Géologie
Iinstitut Teng Tuuma Geoscience de Ouagadougou (I.T.T.G.O)
2019-2020
P.O.Fabrice OUEDRAOGO Algèbre linéaire 2019-2020 1 / 131

Sommaire
1 Systèmes linéaires
2 Matrice
3 Espace vectoriel Rn
4 Déterminant

Systèmes linéaires
Introduction aux systèmes linéaires
L’algèbre linéaire est un outil essentiel pour toutes les branches
mathématiques, en particulier lorsqu’il s’agit de modéliser puis résoudre
numériquement des problèmes issus de divers domaines : des sciences
physiques ou mécaniques, des sciences du vivant, de la chimie, de
l’économie, des sciences de l’ingénieur... Les systèmes linéaires
interviennent à travers leurs applications dans de nombreux contextes, car
il forment de la base calculatoire de l’algèbre linéaire. Ils permettent
également de traiter une bonne partie de la théorie de l’algèbre linéaire en
dimension finie.

Équation de droite dans le plan (Oxy) :
ax + by = e (1)
a, b et e sont des paramètres réel, a et b non nuls simultanément.
L’équation (1) s’appelle équation linéaire dans les variables (ou
inconnues) x et y.

Exemple : deux droites dans le plan
On considère deux droites D1 et D2. On cherche les points qui sont
simultanément sur ces deux droites.
Un point (x, y) est dans l’intersection D1 ∩ D2 s’il est solution du système :
(
ax + by = e
cx + dy = f
(2)

Trois cas se présentent
Figure – Une solution unique, pas de solution et solution infinie

Résolution par substitution
Exemple : (
3x + 2y = 1
2x − 7y = −2
(3)
(3) ⇔
(
y = 1
2 − 3
2x
2x − 7(1
2 − 3
2x) = −2
⇔
(
y = 1
2 − 3
2x
x = 3
25
⇔
(
y = 8
25
x = 3
25
Le système (3) admet une solution unique 3
25, 8
25

. L’ensemble des
solutions est :
S =

3
25
,
8
25


Exemple : deux droites dans l’espace
Dans l’espace (Oxy), une équation linéaire est l’équation d’un plan :
ax + by + cz = d
a, b et c n’étant pas nuls simultanément.
L’intersection de deux plans dans l’espace correspond au système suivant à
2 équations et 3 inconnus.
(
ax + by + cz = d
a0x + b0y + c0z = d0
Si les plans sont parallèles (et distincts), il n’y a aucune solution au
système,
Si les plans sont confondus, il y a une infinité de solutions au système,
Si les plans se coupent en une droite, il y a une infinité de solutions.

Exemple : deux droites dans l’espace
Exemples :
1
(
2x + 3y − 4z = 7
4x + 6y − 8z = −1
2
(
2x + 3y − 4z = 7
4x + 6y − 8z = 14
3
(
7x + 2y − 2z = 1
2x + 3y + 2z = 1

Méthode de Cramer
On note
a b
c d
= ad − bc le déterminant. On considère que le système a
2 équations et 2 inconnues :
(
ax + by = e
cx + dy = f
Si ad − bc 6= 0, on trouve une unique solution dont les coordonnées (x, y)
sont :
x =
e b
f d
a b
c d
, y =
a e
c f
a b
c d

Méthode de Cramer
Exemple :
Résoudre le système (
tx − 2y = 1
3x + ty = 1
suivant la valeur du paramètre t ∈ R.

Résolution par inversion de matrice
En terme matriciel, le système linéaire
(
ax + by = e
cx + dy = f
est équivalent à
AX = Y où A =

a b
c d

, X =

x
y

, Y =

e
f

.
Si le déterminant de la matrice A est non nul, c’est-à-dire si ad − bc 6= 0,
alors la matrice A est inversible et
A−1
=
1
ad − bc

d −b
−c a

et l’unique solution X =

x
y

du système est donné par :
X = A−1
Y

Théorie des systèmes linéaires
- Définitions
Définition 1
On appelle équation linéaire dans les variables (ou inconnues) x1, . . . , xp
toute relation de la forme
a1x1 + · · · + apxp = b, (4)
où a1, . . . , ap et b sont des nombres réels donnés.
Soit n 1 un entier.
Définition 2
Un système de n équations à p inconnues est une liste de n équations
linéaires.

- Définitions
La forme générale d’un système de n équations à p inconnues est la
suivante :



















a11x1 +a12x2 +a13x3 + · · · +a1pxp = b1
a21x1 +a22x2 +a23x3 + · · · +a2pxp = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
ai1x1 +ai2x2 +ai3x3 + · · · +aipxp = bi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
an1x1 +an2x2 +an3x3 + · · · +anpxp = bn
Les nombres aij , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p, sont les coefficients du
système. Les nombres bi , i = 1, . . . , n, constituent le second membre du
système.

- Définitions
Définition 3
Une solution du système linéaire est une liste de p nombres réels
(s1, s2, . . . , sp) (un p-uplet) tels que si l’on substitue s1 pour x1, s2 pour
x2, etc., dans le système linéaire, on obtient une égalité. L’ensemble des
solutions du système est l’ensemble de tous ces n-uplets.
Exemple :
Le système
x1 − 3x2 + x3 = 1
−2x1 + 4x2 − 3x3 = 9
admet comme solution (−18; −6; 1), c’est-à-dire
x1 = −18, x2 = −6, x3 = 1

- Définitions
Définition 4
On dit que deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même
ensemble de solutions.

- Différents types de systèmes
Théorème 1
Un système d’équations linéaires n’a soit aucune solution, soit une seule
solution, soit une infinité de solutions.
En particulier, si vous trouvez 2 solutions différentes à un système linéaire,
alors c’est que vous pouvez en trouver une infinité ! Un système linéaire
qui n’a aucune solution est dit incompatible.

- Systèmes homogènes
Un cas particulier important est celui des systèmes homogènes, pour
lesquels b1 = b2 = · · · = bn = 0, c’est-à-dire dont le second membre est
nul. De tels systèmes sont toujours compatibles car ils admettent toujours
au moins la solution s1 = s2 = · · · = sp = 0. Cette solution est appelée
solution triviale.

Pivot de Gauss
- Systèmes échelonnés
Définition 5
Un système est dit échelonné si le nombre de coefficients nuls
commençant une ligne croı̂t strictement ligne après ligne.
Il est échelonné réduit si en plus :
le premier coefficient non nul d’une ligne vaut 1 ;
et c’est le seul élément non nul de sa colonne.
Exemple :



2x1 +3x2 +2x3 −x4 = 5
−x2 −2x3 = 4
3x4 = 1
est échelonné (mais pas réduit).

Pivot de Gauss
- Systèmes échelonnés



2x1 +3x2 +2x3 −x4 = 5
−2x3 = 4
x3 +x4 = 1
n’est pas échelonné (la dernière
ligne commence avec la même variable que la ligne au-dessus).
Le système linéaire suivant est échelonné et réduit



x1 +2x3 = 26
x2 −2x3 = 16
x4 = 1

Pivot de Gauss
- Opérations sur les équations d’un système
Trois opérations élémentaires sur les équations :
1 Li ← λLi avec λ 6= 0 : on peut multiplier une équation par un réel
non nul.
2 Li ← Li + λLj avec λ ∈ R et j 6= i) : on peut ajouter à l’équation Li
un multiple d’une autre équation Lj ,
3 Li ↔ Lj : on peut échanger deux équations.
Ces trois opérations ne changent pas les solutions d’un système linéaire
mais transforment un système linéaire en un système équivalent.

Pivot de Gauss
- Opérations sur les équations d’un système
Exemple :
Utilisons des opérations élémentaires pour résoudre le système suivant :



x +y +7z = −1 (L1)
2x −y +5z = −5 (L2)
−x −3y −9z = −5 (L3)

Pivot de Gauss
- Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot de Gauss permet de trouver les solution de n’importe
quel système linéaire. Il s’agit d’une description précise d’une suite
d’opérations à effectuer, qui dépendent de la situation et d’un ordre précis.
Ce processus aboutit toujours (et en plus assez rapidement) à un système
échelonné puis réduit, qui conduit immédiatement aux solutions du
système.

Pivot de Gauss
Passage à une forme échelonnée
Soit le système suivant à résoudre :



−x2 +2x3 +13x4 = 5
x1 −2x2 +3x3 +17x4 = 4
−x1 +3x2 −3x3 −20x4 = −1
Pour appliquer la méthode du pivot de Gauss, il faut d’abord que le premier
coefficient de la première ligne soit non nul. Comme ce n’est pas le cas ici,
on échange les deux premières lignes par l’opération élémentaire L1 ↔ L2.



x1 −2x2 +3x3 +17x4 = 4 L1 ↔ L2
−x2 +2x3 +13x4 = 5
−x1 +3x2 −3x3 −20x4 = −1
Nous avons déjà un coefficient 1 devant le x1 de la première ligne. On dit
que nous avons un pivot en position (1, 1) (première ligne, première
colonne).

Pivot de Gauss
Il n’y a pas de terme x1 sur la seconde ligne. Faisons disparaı̂tre le terme
x1 de la troisième ligne ; pour cela on fait l’opération élémentaire
L3 ← L3 + L1 :



x1 −2x2 +3x3 +17x4 = 4
−x2 +2x3 +13x4 = 5
x2 −3x4 = 3 L3 ← L3 + L1
On change le signe de la seconde ligne (L2 ← −L2) pour faire apparaı̂tre 1
au coefficient du pivot (2, 2) (deuxième ligne, deuxième colonne) :



x1 −2x2 +3x3 +17x4 = 4
x2 −2x3 −13x4 = −5 L2 ← −L2
x2 −3x4 = 3

Pivot de Gauss
On fait apparaı̂tre le terme x2 de la troisième ligne, puis on fait apparaı̂tre
un coefficient 1 pour le pivot de la position (3, 3) :



x1 −2x2 +3x3 +17x4 = 4
x2 −2x3 −13x4 = −5
2x3 +10x4 = 8 L3 ← L3 − L2



x1 −2x2 +3x3 +17x4 = 4
x2 −2x3 −13x4 = −5
x3 +5x4 = 4 L3 ← 1
2L3
Le système est maintenant sous forme échelonnée.

Pivot de Gauss
Passage à une forme réduite
Il reste à mettre sous forme réduite. Pour cela, on ajoute à une ligne des
multiples adéquats des lignes situées au-dessous d’elle, en allant du bas à
droite vers le haut à gauche.
On fait apparaı̂tre des 0 sur la troisième colonne en utilisant le pivot de la
troisième ligne :



x1 −2x2 +3x3 +17x4 = 4
x2 −3x4 = 3 L2 ← L2 + 2L3
x3 +5x4 = 4



x1 −2x2 +2x4 = −8 L1 ← L1 − 3L3
x2 −3x4 = 3
x3 +5x4 = 4

Pivot de Gauss
On fait apparaı̂tre des 0 sur la deuxième colonne (en utilisant le pivot de la
deuxième ligne) :



x1 −4x4 = −2 L1 ← L1 + 2L2
x2 −3x4 = 3
x3 +5x4 = 4
Le système est sous la forme réduite.

Pivot de Gauss
Solutions
Le système est maintenant très simple à résoudre. En choisissant X4
comme variable libre on peux exprimer x1, x2, x3 en fonction de x4.
x1 = 4x4 − 2, x2 = 3x4 + 3, x3 = −5x4 + 4
Ce qui permet d’obtenir toutes les solution du système :
S = {(4x4 − 2, 3x4 + 3, −5x4 + 4, x4) | x4 ∈ R}.

Pivot de Gauss
- Systèmes homogènes
Théorème 2
Tout système homogène d’équations linaires dont nombre d’inconnues est
strictement plus grand que le nombre d’équations a une infinité de
solutions.
Exercice :
Résoudre le système suivant :







3x1 +3x2 −2x3 −x5 = 0
−x1 −x2 +x3 +3x4 +x5 = 0
2x1 +2x2 −x3 +2x4 +2x5 = 0
x3 +8x4 +4x5 = 0

Matrices
Définitions
Définition 6
Une matrice A est un tableau rectangulaire d’élément de K.
Elle est dite de taille n × p si le tableau possède n lignes et p colonnes.
Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A.
Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté ai,j .
La matrice A est représentée de la manière suivante :
A =








a1,1 a1,2 . . . a1,j . . . a1,p
a2,1 a2,2 . . . a2,j . . . a2,p
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ai,1 ai,2 . . . ai,j . . . ai,p
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an,1 an,2 . . . an,j . . . an,p








ou A = (ai,j )16i6n
16j6p
ou (ai,j ) .

Matrices
Définitions
Exemple :
A =

1 −2 5
0 3 7

est une matrice 2 × 3 avec, par exemple, a1,1 = 1 et a2,3 = 7.

Matrices
Définitions
Définition 7
Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les
coefficients correspondants sont égaux.
L’ensemble des matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K
est noté Mn,p(K). Les éléments de Mn,p(R) sont appelés matrices
réelles.

Matrices
Définitions
- Matrices particulières
Si n = p (même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est
dite matrice carrée. On note Mn(K) au lieu de Mn,n(K).





a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an,1 an,2 . . . an,n





Les éléments a1,1, a2,2, . . . , an,n forment la diagonale principale de la
matrice.
Une matrice qui n’a qu’une seule ligne (n = 1) est appelée matrice
ligne ou vecteur ligne. On la note
a1,1 a1,2 . . . a1,p


Matrices
Définitions
- Matrices particulières
De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est
appelée matrice colonne ou vecteur colonne. on la note





a1,1
a2,1
.
.
.
an,1





La matrice (de taille n × p) dont tous les coefficients sont des zéros
est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0.
Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0
pour les réels.

Matrices
Définitions
- Addition de matrices
Définition 8 (Somme de deux matrices)
Soient A et B deux matrices ayant la même taille n × p. La somme
C = A + B est la matrice de taille n × p définie par
cij = aij + bij
Exemple :
Si A =

3 −2
1 7

et B =

0 5
2 −1

alors A + B =

3 3
3 6

.
Par contre si B0 =

−2
8

alors A + B0 n’est pas définie.

Matrices
Définitions
Définition 9 (Produit d’une matrice par un scalaire)
Le produit d’une matrice A = (aij ) de Mn,p(K) par un scalaire α ∈ K est
la matrice (α aij ) formée en multipliant chaque coefficient de A par α. Elle
est notée α · A (ou simplement αA).
Exemple :
Si A =

1 2 3
0 1 0

et α = 2 alors αA =

2 4 6
0 2 0

.
La matrice (−1)A est l’opposée de A et est notée −A. La différence
A − B est définie par A + (−B).

Matrices
Définitions
Exemple :
Si A =

2 −1 0
4 −5 2

et B =

−1 4 2
7 −5 3

alors
A − B =

3 −5 −2
−3 0 −1

.
Proposition 1
Soient A, B et C trois matrices appartenant à Mn,p(K). Soient α ∈ K et β ∈ K deux
scalaires.
1 A + B = B + A : la somme est commutative,
2 A + (B + C) = (A + B) + C : la somme est associative,
3 A + 0 = A : la matrice nulle est l’élément neutre de l’addition,
4 (α + β)A = αA + βA,
5 α(A + B) = αA + αB.

Matrices
Multiplication de matrice
- Définition du produit
Le produit de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre
de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.
Définition 10 (Produit de deux matrices)
Soient A = (aij ) une matrice n × p et B = (bij ) une matrice p × q. Alors le
produit C = AB est une matrice n × q dont les coefficients cij sont définis
par :
cij =
p
X
k=1
aikbkj
De façon plus développée on a :
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aikbkj + · · · + aipbpj

Matrices
- Définition du produit
Exemple :
1
A =

1 2 3
2 3 4

, B =


1 2
−1 1
1 1


AB = . . .
2 Le produit scalaire u × v : produit d’un vecteur ligne u et d’un
vecteur colonne v.
u = a1 a2 . . . an

, v =





b1
b2
.
.
.
bn





, u × v = . . .

Matrices
- Propriétés du produit de matrices
Proposition 2
1 A(BC) = (AB)C : associativité du produit,
2 A(B + C) = AB + AC et (B + C)A = BA + CA : distributivité du
produit par rapport à la somme.
3 A · 0 = 0 et 0 · A = 0

Matrices
Remarque :
Le produit de matrices n’est pas commutatif en général
1.) A =

1 2 3
2 3 4

, B =


1 2 0
−1 1 2
1 1 0

. Alors AB = . . .
mais BA est impossible car le nombre de colonnes de B n’est pas égal
au nombre de lignes de A.
2.) A =

5 1
3 −2

, B =

2 0
4 3

. Alors AB 6= BA

Matrices
AB = 0 n’implique pas A = 0 ou B = 0.
Exemple : A =

0 −1
0 5

, B =

2 −3
0 0

et AB =

0 0
0 0

.
AB = AC n’implique pas B = C. On peut avoir AB = AC et B 6= C
Exemple : A =

0 −1
0 3

, B =

4 −1
5 4

, C =

2 5
5 4

et
AB = AC = . . .

Matrices
- Matrice identité
Une matrice identité est une matrice carrée de la forme
In =





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 . . . 1





Ces éléments diagonaux sont égaux à 1 et tous ses autres éléments sont
égaux à 0. Elle se note In ou simplement I. Dans le calcul matriciel, la
matrice identité joue un rôle analogue à celui du nombre 1 pour les réels.

Matrices
- Matrice identité
Proposition 3
Si A est une matrice n × p, alors
In · A = A et A · Ip = A

Matrices
- Définition
Définition 11
Soit A une matrice carrée de taille n × n. S’il existe une matrice carrée B
de taille n × n telle que
AB = I et BA = I,
on dit que A est inversible. On appelle B l’inverse de A et on la note
A−1.
L’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est notée GLn(K).

Matrices
Inverse d’une matrice
- Exemples
Exemple 1 :
Soit A =

1 2
0 3

. Étudier si A est inversible, c’est étudier l’existence d’une
matrice B =

a b
c d

à coefficients dans K, telle que AB = I et BA = I.
AB = I ⇔

1 2
0 3

a b
c d

=

1 0
0 1

⇔

a + 2c b + 2d
3c 3d

=

1 0
0 1

Ce qui équivaut au système suivant :

Matrices
- Exemples











a + 2c = 1
b + 2d = 0
3c = 0
3d = 1
La résolution de ce système donne : a = 1; b = −2
3, c = 0, d = 1
3.
C’est-à-dire B =

1 −2
3
0 1
3

.
Il reste à vérifier que BA = I. (en exercice) .
La matrice A est donc inversible et A−1 =

1 −2
3
0 1
3

Exemple 2 :
A =

3 0
5 0

n’est pas inversible.

Matrices
- Propriétés
Proposition 4 (unicité de l’inverse)
Si A est inversible, alors son inverse est unique.
Proposition 5 (inverse de l’inverse)
Soit A une matrice inversible. Alors A−1 est aussi inversible et on a :
(A−1
)−1
= A

Matrices
- Propriétés
Proposition 6
Soient A et B deux matrices inversibles de même taille. Alors AB est
inversible et
(AB)−1
= B−1
A−1
Proposition 7
Soient A et B deux matrices de Mn(K) et C une matrice inversible de
Mn(K). Alors l’égalité AC = BC implique A = B.

Matrices
Inverse d’une matrice : Calculs
- Matrice 2 × 2
On considère la matrice 2 × 2 : A =

a b
c d

Proposition 8
Si ad − bc 6= 0, alors A est inversible et
A−1
=
1
ad − bc

d −b
−c a


Matrices
- Méthode de Gauss pour inverser les matrices
La méthode pour inverser une matrice A consiste à faire des opérations
élémentaires sur les lignes de la matrice A jusqu’à la transformer en la
matrice identité I. On fait simultanément les mêmes opérations en partant
de la matrice I. On aboutit alors à une matrice qui est A−1.
En pratique, on fait les deux opérations en même temps en adoptant la
disposition suivante : à côté de la matrice A que l’on veut inverser, on
rajoute la matrice identité pour former un tableau (A|I). Sur les lignes de
cette matrice augmentée, on effectue des opérations élémentaires jusqu’à
obtenir le tableau (I|B). Et alors B = A−1.

Matrices
- Exemple
Calculons l’inverse de A =


1 2 1
4 0 −1
−1 2 2

 , . . .

Matrices
- Matrice et systèmes linéaires
Le système linéaire







a11x1 + a12x2 + · · · + a1pxp = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2pxp = b2
· · ·
an1x1 + an2x2 + · · · + anpxp = bn
peut s’écrire sous la forme matricielle :





a11 . . . a1p
a21 . . . a2p
.
.
.
.
.
.
an1 . . . anp





| {z }
A





x1
x2
.
.
.
xp





| {z }
X
=





b1
b2
.
.
.
bn





| {z }
B

Matrices
On appelle A ∈ Mn,p(K) la matrice des coefficients du système.
B ∈ Mn,1(K) est le vecteur du second membre. Le vecteur
X ∈ Mp,1(K) est une solution du système ssi
AX = B

Matrices
On considère que A ∈ Mn(K).
Proposition 9
Si la matrice A est inversible, alors la solution du système AX = B est
unique et est :
X = A−1
B

Matrices
Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques
- Matrice triangulaires, matrices diagonales
Soit A une matrice de taille n ×n. On dit que A est triangulaire inférieure
si ses éléments au-dessus de la diagonale sont nuls, autrement dit :
i j =⇒ aij = 0
Une matrice triangulaire inférieure est de la forme suivante :









a11 0 · · · · · · 0
a21 a22
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
... 0
an1 an2 · · · · · · ann










Matrices
On dit que A est triangulaire supérieure si ses éléments en-dessous de la
diagonale sont nuls, autrement dit :
i j =⇒ aij = 0
Une matrice triangulaire supérieure est de la forme suivante :











a11 a12 · · · · · · · · · a1n
0 a22 · · · · · · · · · a2n
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
0 · · · · · · · · · 0 ann












Matrices

Matrices
Exemples : .................

Matrices
Une matrice qui est triangulaire inférieure et triangulaire supérieure est
dite diagonale. Autrement dit :
i 6= j =⇒ aij = 0
Exemple : .............
Théorème 3
Une matrice A de taille n × n, triangulaire, est inversible si et seulement si
ses éléments diagonaux sont tous non nuls.

Matrices
- Transposition
Soit A la matrice de taille n × p
A =





a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . anp





Définition 12
On appelle matrice transposée de A la matrice AT de taille p × n définie
par :
AT
=





a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1p a2p . . . anp






Matrices
- Transposition


1 2 3
4 5 −6
−7 8 9


T
= . . . ;


0 3
1 −5
−1 2


T
= . . . ; 1 −2 5
T
= . . .

Matrices
- Transposition
Théorème 4
1 (A + B)T = AT + BT
2 (αA)T = αAT
3 (AT )T = A
4 (AB)T = BT AT
5 Si A est inversible, alors AT l’est aussi et on a (AT )−1 = (A−1)T .

Matrices
- Trace
Soit A ∈ Mn(K)
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann





Définition 13
La trace de A est le nombre obtenu en additionnant les éléments
diagonaux de A, Autrement dit,
tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann.

Matrices
- Trace
Exemple :
A =

2 1
0 5

, tr(A) = . . .
B =


1 1 2
5 2 8
11 0 −10

, tr(B) = . . .

Matrices
- Trace
Théorème 5
Soient A et B deux matrices n × n, alors :
1 tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
2 tr(α A) = α tr(A), ∀α ∈ K,
3 tr(AT ) = tr(A),
4 tr(AB) = tr(BA)
Démonstration : . . .

Matrices
- Matrices symétriques
Définition 14
Une matrice A ∈ Mn(K) est symétrique si elle est égale à sa transposée :
A = AT
,
ou encore aij = aji , ∀i, j = 1, . . . , n. Les coefficients sont donc symétriques
par rapport à la diagonale.
Exemples :

0 2
2 4

,


−1 0 5
0 2 −1
5 −1 0


Pour une matrice B quelconque, B BT et BT B sont symétriques.
Preuve : . . .

Matrices
- Matrices antisymétriques
Définition 15
Une matrice A ∈ Mn(K) est antisymétrique si
AT
= −A,
c’est-à-dire si aij = −aji , ∀i, j = 1, . . . , n
Exemples :

0 −1
1 0

,


0 4 2
−4 0 −5
−2 5 0


Toute matrice carrée est la somme d’un matrice symétrique et d’une
matrice antisymétrique.
preuve : Pour toute matrice A de suffit de poser B = 1
2(A + AT ),
C = 1
2(A − AT ) et enfin A = B + C

Espace vectoriel Rn
Vecteurs de Rn
- Opérations sur les vecteurs
L’espace de dimension n d’éléments de R est l’ensemble des n-uples





x1
x2
.
.
.
xn





de nombres réels. On le note Rn.
Soient u =



u1
.
.
.
un


 et v =



v1
.
.
.
vn


 deux vecteurs de Rn. Alors

Espace vectoriel Rn
Vecteurs de Rn
Définition 16
Somme de deux vecteurs : Leurs sommes est par définition u + v =



u1 + v1
.
.
.
un + vn



Produit d’un vecteur par un scalaire : Soit λ ∈ R alors λ · u =



λu1
.
.
.
λun



Le vecteur nul de Rn
est le vecteur



0
.
.
.
0


,
L’opposé du vecteur u =



u1
.
.
.
un


 est le vecteur −u =



−u1
.
.
.
−un




Espace vectoriel Rn
Vecteurs de Rn
Théorème 6
Soient u =



u1
.
.
.
un


, v =



v1
.
.
.
vn


 et w =



w1
.
.
.
wn


 des vecteurs de Rn
et λ, µ ∈ R. Alors :
1 u + v = v + u
2 u + (v + w) = (u + v) + w
3 u + 0 = 0 + u = u,
4 u + (−u) = 0,
5 1 · u = u,
6 λ · (µ · u) = (λµ) · u
7 λ · (u + v) = λ · u + λ · v
8 (λ + µ) · u = λ · u + µ · u

Espace vectoriel Rn
Vecteurs de Rn
- Produit scalaire
Définition 17
Soient u =



u1
.
.
.
un


 et v =



v1
.
.
.
vn


 deux vecteurs de Rn
. On définit leur produit
scalaire par
hu | vi = uT
× v = u1v1 + u2v2 + . . . unvn
Exercices :
1 Faire un dessin pour chacune des 8 propriétés qui font de R2
un e.v.
2 Montrer que le produit scalaire vérifie hu | vi = hv | ui,
hu + v | wi = hu | wi + hv | wi, hλu | vi = λhu | vi pour tout u, v, w ∈ Rn
et λ ∈ R.
3 Soit u ∈ Rn
. Montrer que hu | ui 0. Montrer que hu | ui = 0 ssi u est le
vecteur nul.

Espace vectoriel Rn
Exemples d’applications linéaires
Soient
f1 : Rp
−→ R f2 : Rp
−→ R . . . fn : Rp
−→ R
n fonctions de p variables réelles à valeurs réelles ; chaque fi est une
fonction :
fi : Rp
−→ R, (x1, x2, . . . , xp) 7→ fi (x1, . . . , xp)
On construit une application
f : Rp
−→ Rn
définie par
f (x1, . . . , xp) = (f1(x1, . . . , xp), . . . , fn(x1, . . . , xp))

Espace vectoriel Rn
- Application linéaire
Définition 18
Une application f : Rp −→ Rn définie par f (x1, . . . , xp) = (y1, . . . , yn) est
dite une application linéaire si









y1 = a11x1 + a12x2 + · · · + a1pxp
y2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2pxp
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn = an1x1 + an2x2 + · · · + anpxp
En notation matricielle on a
f





x1
x2
.
.
.
xp





=





y1
y2
.
.
.
yp





=





a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . anp










x1
x2
.
.
.
xp






Espace vectoriel Rn
- Application linéaire
ou encore, si on note X =





x1
x2
.
.
.
xp





et A ∈ Mn,p(R) la matrice (ai j),
f (X) = AX
Exemple 1 :
La fonction f : R4 −→ R3 définie par



y1 = −2x1 + 5x2 + 2x3 − 7x4
y2 = 4x1 + 2x2 − 3x3 + 3x4
y3 = 7x1 − 3x2 + 9x3
s’exprime sous forme matricielle comme suit : .......

Espace vectoriel Rn
- Exemples / Réflexion par rapport à l’axe (oy)
Réflexion par rapport à
l’axe (oy)
La fonction
f : R2
−→ R2
,

x
y

7→

−x
y

est la réflexion par rapport à
l’axe des ordonnées (oy), et
sa matrice est

−1 0
0 1

Figure – Réflexion par rapport à
l’axe (oy)

Espace vectoriel Rn
- Exemples /Ré flexion par rapport à l’axe (ox)
Réflexion par rapport à
l’axe (ox)
La réflexion par rapport à
l’axe des abscisses (ox) est
donnée par sa matrice

1 0
0 −1

Figure – Réflexion par rapport à
l’axe (ox)

Espace vectoriel Rn
- Exemples / Homothétie
Homothéties
L’homothétie de rapport λ
centré à l’origine est :
f : R2
−→ R2
,

x
y

7→

λx
λy

Sa matrice est alors

λ 0
0 λ

Figure – Homothétie de rapport λ

Espace vectoriel Rn
- Exemples / Rotations
rotations
Soit f : R2 −→ R2 la rotation
d’angle θ, centrée à l’origine.
Les coordonnées x et y sont
données par :

x = r cos α
y = r sin α
Les coordonnées de la
rotation d’angle θ sont alors

x0 = r cos(α + θ)
y0 = r sin(α + θ)
Figure – Rotation d’angle θ

Espace vectoriel Rn
- Exemples / Rotations
Ainsi en utilisant les formules de trigonométrie pour cos(α + θ) et
sin(α + θ) on obtient

x0 = r cos α cos θ − r sin α sin θ
y0 = r cos α sin θ + r sin α cos θ
⇒

x0 = x cos θ − y sin θ
y0 = x sin θ + y cos θ
donc
x0
y0

=

cos θ − sin θ
sin θ cos θ

x
y

Autrement dit, la matrice de rotation d’angle θ est donnée par la matrice

cos θ − sin θ
sin θ cos θ


Espace vectoriel Rn
Propriétés des applications linéaires
- Composition d’applications linéaires et produit de matrices
Soient
f : Rp
−→ Rn
et g : Rq
−→ Rp
deux applications. Leur composition :
Rq g
−→ Rp f
−→ Rn
f ◦ g : Rq
−→ Rn
est une application linéaire.
Notons
A = Mat(f ) ∈ Mn,p(R) la matrice associée à f ,
B = Mat(g) ∈ Mp,q(R) la matrice associée à g,
C = Mat(f ◦ g) ∈ Mn,q(R) la matrice associée à f ◦ g.

Espace vectoriel Rn
Pour tout vecteur X ∈ Rq :
(f ◦ g)(X) = f (g(X)) = f (BX) = A(BX) = (AB)X
La matrice associée C de f ◦ g est alors C = AB.
Autrement dit :
Mat(f ◦ g) = Mat(f ) × Mat(g)

Espace vectoriel Rn
Exemple :
Soit f : R2 −→
R2 la réflexion par
rapport à la droite
(y = x) et soit g :
R2 −→ R2 la ro-
tation d’angle θ =
π
3 (centrée à l’ori-
gine) .
............
Figure – f ◦ g, f : reflexion d’axe y = x et g : rotation
d’ange θ = π/3

Espace vectoriel Rn
- Applications linéaires bijectives et matrices inversibles
Théorème 7
Une application linéaire f : Rn −→ Rn est bijective ssi sa matrice associée
A = Mat(f ) ∈ Mn(R) est inversible.
Corrolaire 1
Si f est bijective, alors
Mat(f −1
) = (Mat(f ))−1
Exemple : Soit f : R2 −→ R2 la rotation d’angle θ. Alors f −1 : R2 −→ R2
est la rotation d’angle −θ.

Espace vectoriel Rn
- Applications linéaires bijectives et matrices inversibles
Théorème 8
Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) La matrice A est inversible.
(ii) Le système linéaire AX =



0
.
.
.
0


 a une unique solution X =



0
.
.
.
0


.
(iii) Pour tout second membre Y , le système linéaire AX = Y a une
unique solution X.
Démonstration : Exercice....

Espace vectoriel Rn
- Caractérisation des applications linéaires
Théorème 9
Une application f : Rp −→ Rn est linéaire ssi pour tous les vecteurs u, v
de Rp et pour tout scalaire λ ∈ R, on a
(i) f (u + v) = f (u) + f (v),
(i) f (λu) = λf (u).
Dans le cadre général des espaces vectoriels, ce sont ces deux propriétés (i)
et (ii) qui définissent une application linéaire.

Espace vectoriel Rn
Définition 19
Les vecteurs
e1 =







1
0
0
.
.
.
0







, e2 =







0
1
0
.
.
.
0







, . . . , ep =







0
0
.
.
.
0
1







sont appelés les vecteurs de la base canonique de Rp

Espace vectoriel Rn
Corrolaire 2
Soit f : Rp −→ Rn une application linéaire, et soient e1, . . . , ep les
vecteurs de la base canonique de Rp. Alors la matrice de f (dans les bases
canoniques de Rp vers Rn) est donnée par
Mat(f ) = ( f (e1) f (e2) . . . f (ep) );
autrement dit les vecteurs colonnes de Mat(f ) sont les images par f des
vecteurs de la base canonique (e1, . . . , ep).

Espace vectoriel Rn
Exemple :
Considérons l’application linéaire f : R3 −→ R4 définie par







y1 = 2x1 + x2 − x3
y2 = −x1 − 4x2
y3 = 5x1 + x2 + x3
y4 = 3x2 + 2x3
Calculons les images des vecteurs de la base canonique
e1 =


1
0
0

 , e2 =


0
1
0

 , e3 =


0
0
1

 :
f


1
0
0

 =




2
−1
5
0



 , f


0
1
0

 =




1
−4
1
3



 , f


0
0
1

 =




−1
0
1
2





Espace vectoriel Rn
Donc la matrice de f est :
Mat(f ) =




2 1 −1
−1 −4 0
5 1 1
0 3 2





Espace vectoriel
Espace vectoriel
- Définition d’un espace vectoriel
Comme dans les sections précédente, K désignera dans cette section un
corps et dans la plupart des exemples, ce sera le corps des réels R.
Définition 20
Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni :
d’une loi de composition interne, c’est-à-dire d’une application de
E × E dans E :
E × E → E
(u, v) 7→ u + v
d’une loi de composition externe, c’est-à-dire d’une application de
K × E dans E :
K × E → E
(λ, u) 7→ λ · u
qui vérifie les propriétés suivantes :

Espace vectoriel
Espace vectoriel
1 u + v = v + u (pour tout u, v ∈ E)
2 u + (v + w) = (u + v) + w (pour tout u, v, w ∈ E)
3 Il existe un élément neutre 0E ∈ E tel que u + 0E = u (pour tout
u ∈ E)
4 Tout u ∈ E admet un symétrique u0 tel que u + u0 = 0E . Cet
élément u0 est noté −u.
5 1 · u = u (pour tout u ∈ E)
6 λ · (µ · u) = (λµ) · u (pour tous λ, µ ∈ K, u ∈ E)
7 λ · (u + v) = λ · u + λ · v (pour tout λ ∈ K, u, v ∈ E)
8 (λ + µ) · u = λ · u + µ · u (pour tous λ, µ ∈ K, u ∈ E).

Espace vectoriel
Espace vectoriel
Exemple :
Le R-ev R2.
Le R-ev Rn.
Tout plan passant par l’origine de R3 est un e.v (par rapport aux
opérations habituelles sur les vecteurs). En posant K = R et E = P
un plan passant par l’origine (ce plan admet une équation de la forme
ax + by + cz = 0, où a, b et c sont des réels non nuls) on peut
montrer que ce plan vérifie les propriétés du théorème précédent.

Espace vectoriel
Espace vectoriel
Exercices :
1 Vérifier les 8 axiomes qui font d’une droite D de R3 passant par
l’origine définie par

ax + by + cz = 0
a0x + b0y + c0y = 0
2 Justifier que les ensembles suivants ne sont pas des e.v :
{(x, y) ∈ R2 | xy = 0} ; {(x, y) ∈ R2 | x = 1} ;
{(x, y) ∈ R2 | x 0 et y 0} ;
{(x, y) ∈ R2 | − 1 6 x 6 1 et − 1 6 y 6 1}.

Espace vectoriel
Espace vectoriel
- Détails des axiomes de la définition
Loi interne
La loi de composition interne de E, c’est une application de E × E dans E :
E × E → E
(u, v) 7→ u + v
c’est-à-dire qu’à partir de deux vecteurs u et v de E, on nous fournit un
troisième, qui noté u + v.
Loi externe
La loi de composition externe, c’est une application de K × E dans E :
K × E → E
(λ, u) 7→ λ · u
C’est-à-dire qu’à partir,’un scalaire λ ∈ K et d’un vecteur u ∈ E, on nous
fournit un autre vecteur, qui sera noté λ · u.

Espace vectoriel
Espace vectoriel
Axiomes relatifs à la loi interne
1 Commutativité. Pour tous u, v ∈ E, u + v = v + u.
2 Associativité. Pour tous u, v, w ∈ E, on a
u + (v + w) = (u + v) + w .
3 Element neutre. Il existe un élément de E noté 0E , vérifiant : pour
tout u ∈ E , u + 0E = u. L’élément neutre 0E est appelé vecteur nul.
4 Symétrique (ou opposé) : Il existe un élément u0 de E tel que
u + u0 = 0E . Cet élément u0 est noté −u.

Espace vectoriel
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Proposition 10
S’il existe un élément neutre 0E vérifiant l’axiome (3) ci-dessus, alors
il est unique.
Soit u un élément de E. S’il existe un élément symétrique u0 de E
vérifiant l’axiome (4), alors il est unique.
Preuve : .......

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Axiomes relatifs à la loi externe
1 Soit 1 l’élément neutre de la multiplication de K. Pour tout élément u
de E, on a
1 · u = u
2 Pour tous éléments λ et µ de K et pour tout élément u de E, on a
λ · (µ · u) = (λ × µ) · u

Espace vectoriel
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Axiomes liant les deux lois
1 Distributivité par rapport à l’addition des vecteurs. Pour tout
élément λ ∈ K et pour tout u ∈ E, on a
λ · (u + v) = λ · u + λ · v
2 Distributivité par rapport à l’addition des scalaires. Pour tous
λ, µ ∈ K et pour tout élément u ∈ E, on a
(λ + µ) · u = λ · u + µ · u
La loi interne et la loi externe doivent satisfaire tous ces axiomes énuméré
ci-dessus pour que (E, +, ·) soit un e.v sur K.

Espace vectoriel
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- Exemples
L’espace vectoriel des fonction de R dans R
L’ensemble des fonctions f : R → R est noté F(R, R), muni de
l’opérateur d’addition dans les fonctions ” + ” et de l’opérateur de
multiplication des fonctions par un scalaire (un réels) ” · ”.
Le R-e.v des suites réelles.
On muni l’ensemble S des suites réelles (un)n∈N de l’addition dans les
suites et de la multiplication par un scalaire.

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- Calculs
Proposition 11
Soient E un e.v sur un corps K. Soient u ∈ E et λ ∈ K. Alors on a :
1 0 · u = 0E
2 λ · 0E = 0E
3 (−1) · u = −u
4 λ · u = 0E ⇔ λ = 0 ou u = 0E

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Sous-espace vectoriel
- définition
Définition 21
Soie E un K-e.v. Une partie F de E est appelée un sous espace vectoriel
(s.e.v) si :
0E ∈ F
u + v ∈ F pour tous u, v ∈ F,
λ · u ∈ F pour tout λ ∈ K et tout u ∈ F.
Exemple :
1 L’ensemble F = {(x, y) ∈ R2 | x + y = 0} est un s.e.v de R2
2 L’ensemble des fonctions continues sur R est un s.e.v de l’e.v des
fonctions de R vers R
3 L’ensemble F1 = {(x, y) ∈ R2 | x + y = 2} n’est pas un s.e.v de R2.
4 L’ensemble F2 = {(x, y) ∈ R2 | x = 0 ou y = 0} n’est pas un s.e.v de
R2.

Espace vectoriel
- définition
Théorème 10
Soit E un K-ev et F un s.e.v de E. Alors F lui même est un K-ev pour les
lois induites par E.
Methodologie : Pour montrer qu’un ensemble F est un e.v, une façon
plus efficace est de trouver un e.v E qui contient F et ensuite prouver que
F est un s.e.v de E. Dans ce cas il y a seulement 3 propriétés à vérifier au
lieu de 8.

Espace vectoriel
- caractérisation d’un s.e.v et intersection de deux s.e.v
Théorème 11 (Caractérisation d’un s.e.v)
Soient E un K-e.v et F une partie non vide de E. F est un s.e.v de E si et
seulement si
λu + µv ∈ F pour tous u, v ∈ F et tous λ, µ ∈ K
Proposition 12 (Intersection de deux s.e.v)
Soient F, G deux s.e.v d’un K-e.v E. L’intersection F ∩ G est un s.e.v de
E.

Espace vectoriel
- somme de deux s.e.v
Définition 22 (Somme de deux s.e.v)
Soient F et G deux s.e.v d’un K-e.v E. L’ensemble de tous les éléments
u + v, où u est un élément de F et v est un élément de G, est appelé
somme des s.e.v F et G. Cette somme est notée F + G. On a donc
F + G = {u + v | u ∈ F, v ∈ G}
Proposition 13
Soient F et G deux s.e.v d’un K-e.v E.
1 F + G est un s.e.v de E.
2 F + G est le plus petit s.e.v contenant à la fois F et G.

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- somme de deux s.e.v
Exemple :
Déterminer F + G dans le cas où F et G sont les s.e.v de R3 suivants :
F = {(x, y, z) ∈ R3
| y = z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R3
| x = z = 0}

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- s.e.v supplémentaires
Définition 23
Soient F et G deux s.e.v de E. F et G sont en somme directe dans E si
• F ∩ G = {0E },
• F + G = E.
On note alors F ⊕ G = E.
Si F et G sont en somme directe, on dit que F et G sont des s.e.v
supplémentaires dans E.
Proposition 14
F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si tout élément de E
s’écrit d’une manière unique comme la somme d’un élément de F et d’un
élément de G.

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- s.e.v supplémentaires
Exemple :
Soient F = {(x, 0) | x ∈ R} et G = {(0, y) | y ∈ R}. Monter que
F ⊕ G = R2.

Espace vectoriel
- sous-espace engendré
Théorème 12 (Théorème de structure l’ensemble des combinaisons
linéaires)
Soit {ν1, . . . , νn} un ensemble fini de vecteurs d’un K-e.v E. Alors :
L’ensemble de combinaisons linéaires des vecteurs {ν1, . . . , νn} est un
s.e.v de E.
C’est le plus petit s.e.v de E (au sens de l’inclusion) contenant les
vecteurs ν1, . . . , νn.
Notation : Ce s.e.v est appelé sous-espace engendré par ν1, . . . , νn. et
est nonté Vect(ν1, . . . , νn). On a donc
u ∈ Vect(ν1, . . . , νn) ⇐⇒ il existe λ1, . . . , λn ∈ K tel que u = λ1ν1 +· · ·+λnνn

Espace vectoriel
- sous-espace engendré
Méthodologie : On peut démontrer qu’une partie F d’un e.v E est un
s.e.v de E en montrant que F est égal à l’ensemble des combinaisons
linéaires d’un nombre fini de vecteurs de E.
Exemple :
Est-ce que F = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y − z = 0} est un s.e.v de R3 ?

Espace vectoriel
Application linéaire
- définition
Soient E et F deux K-e.v . Une application f de E dans F est une
application linéaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :
1 f (u + v) = f (u) + f (v), pour tous u, v ∈ E ;
2 f (λ · u) = λ · f (u), pour tout u ∈ E et tout λ ∈ K.
Autrement dit : une application est linéaire si elle respecte les deux
lois d’u e.v .
Notation : L’ensemble des applications linéaires de E dans F est noté
L(E, F).
Exemple : L’application f définie par
f : R3 → R2
(x, y, z) 7→ (−2x, y + 3z)
est une application linéaire.

Espace vectoriel
- propriétés
Proposition 15
Soient E et F deux K-e.v. Si f est une application linéaire de E dans F,
alors :
f (0E ) = 0F ,
f (−u) = −f (u), pour tout u ∈ E.
Proposition 16 (Caractérisation d’une application linéaire)
Soient E et F deux K-e.v et f une application linéaire de E dans F.
L’application f est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs u et v de
E et pour tous scalaires λ, µ de K,
f (λu + µv) = λf (u) + µf (v)

Espace vectoriel
- Image d’une application linéaire
Soient E et F deux ensembles et f une application linéaire de E dans F.
Soit A un sous-ensemble de E. L’ensemble des image par f des éléments
de A, appelé image directe de A par f , est noté f (A). C’est un
sous-ensemble de F. On a par définition
f (A) = {f (x) | x ∈ A}
Dans la suite, E et F désigneront des K-e.v et f : E → F sera une
application linéaire. f (E) s’appelle l’image de l’application linéaire f et est
noté Im(f )

Espace vectoriel
- Image d’une application linéaire
Proposition 17 (Structure de l’image d’un s.e.v)
1 Si E0 est un s.e.v de E, alors f (E0) est un s.e.v de F.
2 En particulier Im(f ) est un s.e.v de F.
Remarque
On a par définition de l’image directe f (E) :
f est surjective ssi Im(f ) = F

Espace vectoriel
- Noyau d’une application linéaire
Définition 24
Soient E et F deux K-e.v et f une application linéaire de E dans F. Le
noyau de f , noté ker(f ) est l’ensemble des éléments de E dont l’image est
0F :
ker(f ) = {x ∈ E | f (x) = 0F }
Autrement dit, le noyau est l’image réciproque du vecteur nul de l’espace
d’arrivée : ker(f ) = f −1{0F }.
Proposition 18
Soient E et F deux K-e.v et f une application linéaire de E dans F. Le
noyau de f est un s.e.v de E.

Espace vectoriel
- Noyau d’une application linéaire
On reprend l’application linéaire f définie par
f : R3 → R2
(x, y, z) 7→ (−2x, y + 3z)
Calculons ker(f ) et Im(f )

Déterminants
dimensions 2 et 3
Matrice 2 × 2
det

a b
c d

= ad − cd
Matrice 3 × 3
Soit A ∈ M3(K) une matrice 3 × 3


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12

Déterminants
dimensions 2 et 3
- règle de Sarrus
Un moyen plus facile pour effectuer le calcul de déterminant d’une matrice
3 × 3 est la règle de Sarrus : On recopie les deux premières colonnes à
droite de la matrice, puis on additionne les produits des trois termes en les
regroupant selon la direction de la diagonale descendante (à gauche), et
on soustrait ensuite les produits de trois termes regroupés selon la
direction de la diagonale montante (à droite).

Déterminants
dimensions 2 et 3
- exemple
Exemple :
Calculer le déterminant de la matrice A =


2 1 0
1 −1 3
3 2 1



Déterminants
Définition du déterminant
- définitions
Le déterminant peut être caractérisé comme une application, qui à une
matrice carrée associe un scalaire :
det : Mn(K) −→ K
Théorème 13
Il existe une unique application de Mn(K) dans K, appelée déterminant,
telle que
(i) le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne,les
autres étant fixés ;
(ii) si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son déterminant
est nul ;
(iii) le déterminant de la matrice identité In vaut 1.

Déterminants
- définitions
On note le déterminant d’une matrice A = (aij ) par :
det(A) ou
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
Si on note Ci la i-ème colonne de A, alors
det(A) = |C1 C2 · · · Cn| = det(C1, C2, . . . , Cn)
Avec cette notation, la propriété (i) de linéarité par rapport à la colonne j
s’écrit : pour tout λ, µ ∈ K,
det(C1, . . . , λCj + µC0
j , . . . , Cn) = λdet(C1, . . . , Cj , . . . , Cn)
+ µdet(C1, . . . , Cj , . . . , Cn)

Déterminants
- définitions
Exemples :
6 5 4
7 −10 −3
12 25 −1
= 5 ×
6 1 4
7 −2 −3
12 5 −1
3 2 4 − 3
7 −5 3 − 2
9 2 10 − 4
=
3 2 4
7 −5 3
9 2 10
−
3 2 3
7 −5 2
9 2 4

Déterminants
- propriétés
Proposition 19
Soit A ∈ Mn(K) une matrice ayant les colonnes C1, C2, . . . , Cn. On note A0
la matrice obtenue par une des opérations élémentaires sur les colonnes,
qui sont :
1 Ci ← λCi avec λ 6= 0 : A0 est obtenue en multipliant une colonne de
A par un scalaire non nul. Alors det(A0) = λdet(A).
2 Ci ← Ci + λCj avec λ ∈ K (et j 6= i) : A0 est obtenue en ajoutant à
une colonne de A un multiple d’une autre colonne de A. Alors
det(A0) = det(A).
3 Ci ↔ Cj : A0 est obtenue en échangeant deux colonnes distinctes de
A. Alors det(A0) = −det(A).

Déterminants
- propriétés
Corrolaire 3
Si une colonne Ci de la matrice A est combinaison linéaire des autres
colonnes, alors det(A) = 0.
Proposition 20
Le déterminant d’une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) est
égal au produit des termes diagonaux.
Corrolaire 4
Le déterminant d’une matrice diagonale est égal au produit des termes
diagonaux.

Déterminants
Propriétés du déterminant
- Exercice
Exercice : En utilisant des opération élémentaires sur les colonnes,
calculer det(A) où A =


0 3 2
1 −6 6
5 9 1



Déterminants
Propriétés du déterminant
- déterminant d’un produit, d’une matrice inversible et de la transposée
Théorème 14 (Déterminant d’un produit)
det(AB) = det(A) · det(B)
Corrolaire 5 (Déterminant d’une matrice inversible)
Une matrice carré A est inversible si et seulement si son déterminant est
non nul. De plus si A est inversible, alors :
det(A−1
) =
1
det(A)
Corrolaire 6 (Déterminant de la transposée)
det(AT
) = det(A)

Déterminants
Calcul de déterminants
- Cofacteur
Définition 25
Soit A = (aij ) ∈ Mn(K) une matrice carrée.
On note Aij la matrice extraite, obtenue en effaçant la ligne i et la
colonne j de A.
Le nombre det(Aij ) est un mineur d’ordre n − 1 de la matrice A.
Le nombre Cij = (−1)i+j det(Aij ) est le cofacteur de A relatif au
coefficient aij .
Exercice :
Soit A =


1 2 3
4 2 1
0 1 1

. Calculer A11, C11, A32, C32.

Déterminants
- développement suivant une ligne ou un e colonne
Théorème 15 (Développement suivant une ligne ou une colonne)
Formule de développement par rapport à la ligne i :
det(A) =
n
X
j=1
(−1)i+j
aij det(Aij ) =
n
X
j=1
aij Cij
Formule de développement par rapport à la colonne j :
det(A) =
n
X
i=1
(−1)i+j
aij det(Aij ) =
n
X
i=1
aij Cij
Exercice :
Calculer le déterminant de la matrice A =




4 0 3 1
4 2 1 0
0 3 1 −1
1 0 2 3





Déterminants
- inverse d’une matrice
Soit A ∈ Mn(K) une matrice carrée.
On lui associe la matrice C des cofacteurs, appelée comatrice, et notée
Com(A)
C = (Cij ) =





C11 C12 · · · C1n
C21 C22 · · · C2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cn1 Cn2 · · · Cnn





Théorème 16
Soit A une matrice inversible, et C sa comatrice. On a alors
A−1
=
1
det(A)
CT

Déterminants
- inverse d’une matrice
Exercice : Calculer l’inversible de la matrice A =


1 1 0
0 1 1
1 0 1



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