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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Les ordinaux et fermés de Cantor.
Clément – Loïc – Christophe
Institut de Mathématique
Université de Mons
22 avril 2020
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 1 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
1 Rappel
Couple et Relation binaire.
Ordre partiels et totaux.
Voisinage et ensemble fermé.
2 Ordinaux
Qu’est ce qu’un ordinal ?
Propriétés sur les ordinaux.
3 Fermés de Cantor
4 Résolution
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 2 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Rappel
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Couple
Définition : (Provient de ZFC)
Soit (x, y). On définit (x, y) comme un couple si :
(x, y) est un ensemble.
Si (x, y) = (z, t), alors x = z et y = t
Preuve
Voir présentation sur ZFC 
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Relation binaire
Définition :
Une relation binaire R(X, Y) est définie par un sous-ensemble d’un produit
cartésien X × Y. C’est-à-dire des couples dont la première composante se
trouve dans X et la deuxième dans Y.
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Ordre partiel et totaux
Définition ordre partiels :
Soit X un ensemble et R une relation binaire.
On dit que (X, R) est un ordre partiel si :
(Réflexive) : ∀x R(x, x) est vraie.
(Anti-symétrique) : ∀x, y (R(x, y) ∧ R(y, x) ⇒ x = y).
(Transitive) : ∀x, y, z (R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z)).
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Ordre partiel et totaux
Définition ordre partiels :
Soit X un ensemble et R une relation binaire.
On dit que (X, R) est un ordre partiel si :
(Réflexive) : ∀x R(x, x) est vraie.
(Anti-symétrique) : ∀x, y (R(x, y) ∧ R(y, x) ⇒ x = y).
(Transitive) : ∀x, y, z (R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z)).
Définition ordre totaux :
(X, R) est un ordre total si (X, R) est
un ordre partiel
∀x, y (R(x, y) ∨ R(y, x))
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 6 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Définition ordre strict :
Soit X un ensemble et R une relation binaire.
On dit que (X, R) est un ordre partiel si :
(Anti-réflexive) : ∀x R(x, x) est faux.
(Anti-symétrique) : ∀x, y, (R(x, y) ∧ R(y, x) ⇒ x = y)
(Transitive) : ∀x, y, z (R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z)).
Définition bon ordre :
Soit α un ensemble et R une relation d’ordre.
R est un bon ordre si et seulement si
∀z ⊂ α [z 6= ∅ ⇒ ∃x ∈ z, ∀y ∈ z, (x ∈ y ∨ R(x, y))]
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Exemples :
Ordre partiel Ordre totaux
(P(X), ⊆) (R, ⩽)
(X, =) (N, ⩽)
(L(E), ⊆) (Q, ⩽)
(P(X), ⊆)
(N, )
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Chaine et segment initial
Définition chaine :
Soit (X, ⩽) un ordre partiel et soit C ⊆ X.
On dit que (C, ⊆) est une chaine si (C, ⊆) est un ordre total.
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Chaine et segment initial
Définition chaine :
Soit (X, ⩽) un ordre partiel et soit C ⊆ X.
On dit que (C, ⊆) est une chaine si (C, ⊆) est un ordre total.
Définition segment initial :
Soit Y un ensemble totalement ordonné par la relation binaire R.
X est un segment initial de Y si
X ⊆ Y
∀z, t ∈ Y , (R(t, z) ∧ z ∈ X ⇒ t ∈ X)
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 9 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Voisinage et ensemble fermé
Définition voisinage :
Va voisinage de a si ∃r  0, B||.||(x, r) ⊆ Va.
Définition fermé :
d1c ∀x ∈ Rn, ∀r  0, B||.||(x, r) ∩ X 6= ∅

⇒ x ∈ X
d2c ∀x ∈ Rn, (∃(xn)n∈N ⊆ X, xn → x) ⇒ x ∈ X
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Ordinaux
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Ordinal
Définition :
Un ordinal est un ensemble transitif x où ∈ est un bon ordre strict
c’est-à-dire un ordre total strict bien fondé (il n’admet pas de chaines
infinies descendantes).
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 12 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Exercice
Exercice 1 :
Si α est un ordinal, prouver que α ∪ {α} est un ordinal.
On dira que α ∪ {α} est le successeur de α.
Réponse dans la partie Résolution.
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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Une série de lemmes
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 14 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 1 :
Tout élément d’un ordinal est un ordinal.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 15 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Preuve du lemme 1 :
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 16 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 2 :
Le plus petit élément de tout ordinal non vide α est ∅.
Preuve :

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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 3 :
Soit α un ordinal, soit x transitif.
Si x ⊂ α, alors x ∈ α ou x = α
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 18 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Preuve du lemme 3 :
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 19 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 4 :
Tout segment initial x d’un ordinal α est un ordinal et,
soit x = α ,soit x ∈ α
Preuve :

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Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Remarque :
Si β ∈ α, avec α ordinal, on a par le lemme 1 que β est un ordinal et
donc β transitif, β est aussi un segment initial de α.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 21 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 5 :
Soit α un ordinal, si β ∈ α alors β ∪ {β} est un segment initial de α et,
soit β ∪ {β} ∈ α, soit β ∪ {β} = α
Preuve :

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 22 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Remarque :
Par la remarque précédente, nous savons que tout segment initial de α
(6= α) est un élément de α et réciproquement que ses éléments sont des
segments initiaux. De plus, vu que ce sont des éléments de α un ordinal, ils
sont comparables car ∈ est un ordre total (par la définition d’ordinal).
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 23 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème :
Soit β, γ deux ordinaux, alors soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit β = γ.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 24 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème :
Soit β, γ deux ordinaux, alors soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit β = γ.
Question :
Est-ce que quelqu’un voit comment on pourrait le prouver ? (Une idée ?)
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 24 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème :
Soit β, γ deux ordinaux, alors soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit β = γ.
Preuve :
Considérons β ∩ γ.
Montrons que β ∩ γ est un segment initial de β (et de γ).
En effet, si α ∈ β ∩ γ et α0 ∈ α, on a α0 ∈ α ∈ β.
Par la transitivité de β (car β ordinal), on a que α0 ∈ β.
Nous faisons le même procédé pour γ, on obtient : α0 ∈ β ∩ γ.
Donc, β ∩ γ est un segment initial et par le lemme 4, c’est un ordinal.
Posons η = β ∩ γ. Supposons que η 6= β et η 6= γ, alors
η est un ensemble transitif qui est inclus à β et à γ.
Par le lemme 3, η ∈ β et η ∈ γ, donc η ∈ β ∩ γ = η ∈ β.
Donc, β n’est pas bien fondé or, β est un ordinal CONTRADICTION.
Donc, η = β ou η = γ, ce qui prouve le théorème. 
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 25 / 65
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Qu’est ce qu’On ?
On est une structure où tout ses éléments sont des ordinaux.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 26 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Exercice :
Exercice 2
Vérifier que ∈ est transitive sur On.
Exercice 3
Vérifier que ∈ est un bon ordre sur On.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 27 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 6 :
Tout ordinal λ qui n’est pas successeur est la borne supérieur de ces
éléments.
Autrement dit, λ = sup
B∈λ
B (on dit que λ est limite de ces éléments)
Preuve :
Clairement λ est un majorant (∈ est l’ordre sur On) de ces éléments
β(β ∈ λ). Si ce n’est pas le plus petit majorant, il existe α ∈ λ tel que
pour tout β ∈ λ, on a β ∈ α.
Mais alors α est un segment initial de λ et de même α ∪ {α} (lemme 5).
Puisque λ n’est pas successeur, on a α ∪ {α} ∈ λ. Donc, on aurait
α ∪ {α} ∈ α (puisque pour tout β ∈ λ, on a β ∈ α. Cette contradiction
termine la preuve.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 28 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 7 :
Tout segment initial x de On qui est un ensemble est un ordinal.
Preuve :
Le théorème 1 et les remarques (exercices) nous montrent que ∈ est un
bon ordre sur On, donc ∈ est un bon ordre sur tout sous-ensemble (ou
sous-classe) de On.
Par hypothèse, x est un segment initial c’est-à-dire x est transitif.
Donc, x est un ensemble transitif où ∈ est un bon ordre.
C’est un ordinal.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 29 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Paradoxe de Burali-Forti :
Ce paradoxe concerne On.
Si On était un ensemble, par le lemme prouvé précédemment,
ce serait un ordinal α.
On aurait, par la définition de On, α ∈ On = α.
Autrement dit, α ∈ α. Mais, ∈ est bien fondé sur On.
CONTRADICTION
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 30 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Paradoxe de Burali-Forti :
Ce paradoxe concerne On.
Si On était un ensemble, par le lemme prouvé précédemment,
ce serait un ordinal α.
On aurait, par la définition de On, α ∈ On = α.
Autrement dit, α ∈ α. Mais, ∈ est bien fondé sur On.
CONTRADICTION
Conclusion : On est une classe.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 30 / 65
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Lemme 8 :
Tout ensemble x d’ordinaux a une borne supérieur dans On.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 31 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Preuve :
Soit x a un plus grand élément, c’est sa borne supérieur.
Sinon considérons Ux = {z tel qu0il existe α ∈ x et z ∈ α}.
(Par la présentation sur ZF, on sait que Ux est un ensemble).
On remarque que α est un ordinal (par hypothèse) et donc z est un ordinal
par le lemme 1. On a donc que Ux est un ensemble d’ordinaux.
Nous allons affirmer 2 choses :
d1c Ux est transitif. Pour ce faire, prouvons-le.
Soit γ ∈ β ∈ Ux. Par définition de Ux, il existe α ∈ x tel que β ∈ α.
Donc, γ ∈ α (car α transitif). Puisque γ ∈ α ∈ x, par définition de
Ux, γ ∈ Ux. Ce qui montre la transitivité. Ux est donc transitif, donc
c’est un segment initial de On et donc un ordinal par le lemme 7.
d2c Ux est la borne supérieur de x (exercice 4).
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 32 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Exercice supplémentaire 1 :
Soit deux ordinaux α et β distincts.
Montrer qu’en tant que structure ordonnée (par ∈) ils ne sont pas
isomorphes. Ceci permet de conclure que la notion d’isomorphisme chez les
ordinaux se réduit à l’égalité.
Exercice supplémentaire 2 :
Transformer la preuve du lemme de Zorn en preuve très simple qui utilise
les ordinaux. (Indication : chaîne admissible, c’est presque un ordinal).
Exercice supplémentaire 3 :
Soit un bon ordre (x, ).
Prouver qu’il existe un seul ordinal α (l’unicité découle de l’exercice
supplémentaire 1) tel que (α, ∈) est isomorphe à (x, ).
Ceci permet de conclure que les ordinaux représentent tous les types de
bon ordres.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 33 / 65
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Fermés de Cantor
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 34 / 65
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Point d’accumulation et de condensation
Définition point d’accumulation :
On dit que a ∈ Rn est un point d’accumulation de X si tout voisinage de a
contient un point x ∈ X avec x 6= a.
Autrement dit, tout voisinage de a contient une infinité dénombrable de
points de x.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 35 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Point d’accumulation et de condensation
Définition point d’accumulation :
On dit que a ∈ Rn est un point d’accumulation de X si tout voisinage de a
contient un point x ∈ X avec x 6= a.
Autrement dit, tout voisinage de a contient une infinité dénombrable de
points de x.
Définition point de condensation :
On dit que a ∈ Rn est un point de condensation de X si tout voisinage de a
contient une infinité non dénombrable de points de x.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 35 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
La dérivée de X
Définition :
Soit X ⊂ Rn, on note X0 l’ensemble des points d’accumulation de X.
X0 est appelé le dérivé de X.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 36 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Remarque :
d1c Si X = X0, on dit que X est un ensemble parfait.
d2c Si X ⊂ X0, on dit que X est dense en soi.
d3c Si a est point d’accumulation de X, alors a est limite d’une suite de
point (xn)n∈N ∈ X avec xn 6= a quelque soit n.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 37 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 0 :
X est fermé si et seulement si X0 ⊂ X.
Preuve :
Soit X un ensemble.
On sait que si X est fermé, toute limite de suite de Cauchy de points de X
est dans X (car Rn est complet), donc X0 ⊂ X.
Supposons X0 ⊂ X. Soit x ∈ Rn tel qu’on a (xn)n∈N ⊆ X, xn → x.
Pour chaque voisinage de x, on peut trouver un xn dans ce voisinage.
Donc x ∈ X0 ⊆ X, et donc comme x ∈ X, X fermé.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 38 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 1 :
X0 est fermé.
Preuve :
Par le lemme 0, prouvons que X00 ⊂ X0.
Soit a un point accumulation de X0.
En considérent les boules ouvertes B||.||(a, 1
n ) et en y piquant un point
xn 6= a de X’ (par définition), on voit que a est limite d’une suite
convergente de points (xn)na de X’.
Mais B||.||(a, 1
n ) est voisinage de ce point xn, donc par définition de
xn ∈ X0, on a que B||.||(a, 1
n ) 3 yn 6= xn ∧ yn 6= a ∧ yn ∈ X.
Donc a est limite de la suite de points yn et donc a ∈ X0.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 39 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème 0 (Bolzano-Weierstrass) :
Toute suite (xn)n∈N de points dans un ensemble borné de Rn a un point
limite.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 40 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Preuve :
On a par hypothèse que tous les xn sont dans un intervalle I = [a, b].
Le cas où la suite ne prend qu’un nombre fini de valeurs est trivial.
Supposons donc que {xn|n ∈ N} est infini.
Dans ce cas, soit I1 = [a, a+b
2 ] ou I2 = [a+b
2 , b] contient également une
infinité dénombrable de points de X = {xn|n ∈ N}.
On pose T1 = I1 si infini dénombrable ou I2 sinon.
En répétant cet argument, on construit une suite emboitée d’intervalles
fermés Tn, n ≥ 1 dont l’intersection est un point de a qui est un point
limite de X.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 41 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème 0’ :
Tout ensemble X ⊂ Rn non dénombrable a un point de condensation.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 42 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème 0’ :
Tout ensemble X ⊂ Rn non dénombrable a un point de condensation.
Preuve :
Supposons n = 1 pour donner l’idée de la preuve.
Par l’hypothèse, l’un des intervalles [z, z+1], z ∈ Z contient une infinité
non dénombrable de points et on repète la preuve du théorème 0.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 42 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Remarque :
Par rapport au preuves précédentes, on a fait usage du théorème suivant
sur les cardinaux :
Théorème :
Toute union d’au plus un nombre dénombrable d’ensembles qui sont
eux-même au plus dénombrable, est au plus dénombrable.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 43 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
On s’intéresse maintenant aux X(n) où X(n) 6= ∅ et X(n+1) ( X(n).
Définition :
Soit α ordinal. On définit par induction :



X(0) = X
X(α+1) = (X(α))0
X(λ) = ∩sλX(s) (Si λ est un ordinal limite)
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 44 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Remarque :
pour n ≥ 1, X(n) fermé.
X(ω) est fermé où ∀n ∈ N, n  ω
(intersection quelconque de fermés)
→ ∀α ≥ 1, ordinal, X(α) est fermé.
On identifie α par {β  α|β ordinal}.
Si cet ensemble est dénombrable, alors α est dénombrable.
{β  α|β ordinal} admet un plus petit élément (voir ordinaux).
Pour la suite, on suppose X fermé.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 45 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Remarque :
XX0 est au plus dénombrable.
Preuve (absurde) :
On a XX0 non dénombrable, alors on extrait a ∈ XX0, point de
condensation.
Donc a est limite d’éléments de X, donc a ∈ X0 ⊆ X. CONTRADICTION

ω1 est le plus petit ordinal non dénombrable.
On notera le cardinal de ω1 = {β  ω1|β ordinal} par ℵ1
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 46 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Lemme 2 :
Soit α  ω1, alors XX(α) (c’est-à-dire l’ensemble des points enlevés
jusqu’à l’étape α) est dénombrable.
Preuve :

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 47 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Remarque :
Si on a α ordinal tel que X(α) = X(α+1), alors pour tout
β  α, X(α) = X(β).
→ On dit que la suite des dérivés de X est stationnaire à partir de α.
→ Si la suite de dérivés de X n’est pas stationnaire avant ω1, alors à
chaque étape précédent ω1, on retire au moins un point. Donc,
XX(ω1) n’est pas dénombrable. (Théorème 0’ ⇒ XX(ω1) a un point
de condensation).
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 48 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème 1 :
Si X = X0 6= ∅ (c’est-à-dire si tous les points de x sont des points
d’accumulation), alors tous les points de X sont des points de condensation
et card X = 2ℵ0 .
Donc tout parfait non vide est de cardinalité 2ℵ0 .
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 49 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Preuve :
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 50 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Conclusion :
Si la suite x stabilise avec X(β) = X(β+1), alors :
X(β) = ∅ ou X(β) a 2ℵ0 points.
Donc, si X est fermé et X(β) = X(β+1) 6= ∅, alors card X = 2ℵ0 .
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 51 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Définition :
On définit Cond(X) ⊆ X, l’ensemble des points de condensation de X.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 52 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Cond(X) = ∅
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 53 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Cond(X) 6= ∅
Lemme 3 :
Si Y ⊂ X vérifie Y 0 = Y , alors pour tout α ∈ On, on a Y ⊂ X(α).
Preuve :

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 54 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Cond(X) 6= ∅
Lemme 4 :
Cond(X) = (Cond(X))’
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 55 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Preuve :
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 56 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème 2 :
Soit X fermé, alors X(α) = X(α+1), implique X(α) = Cond(X) et le plus
petit α pour lequel cette égalité est vérifiée est dénombrable.
Preuve :
C’est une conséquence des lemmes précédents et de la remarque slide 48.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 57 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Théorème 3 :
Tout ensemble fermé de X est soit fini, dénombrable ou de cardinalité 2ℵ0 .
En fait, X est l’union disjointe de Cond(X) et d’un ensemble dénombrable
de points.
Preuve :
Découle des résultats précédents.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 58 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Résolution
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 59 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Résolution de l’exercice 1 :
∈ ordonne un bon ordre sur α.
Par définition, pour tout x ∈ α ∪ {α}, on a soit x ∈ α, soit x = α.
Donc, si x, y ∈ α ∪ {α}, on a que x ∈ y ou y ∈ x.
Donc ∈ est un bon ordre total sur α ∪ {α}.
L’ordre est-il resté un bon ordre ?
Soit X ⊂ α ∪ {α} et X 6= ∅. Deux cas sont possibles :
d1c Soit X ∩ α 6= ∅ et donc, il y a un plus petit élément dans X car α est
un bon ordre.
d2c Soit X ∩ α = ∅ c’est-à-dire X = {α} et donc il y a un plus petit
élément.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 60 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Résolution de l’exercice 1 : (suite)
Montrons la transitivité de α ∪ {α}.
Soit x ∈ y ∧ y ∈ α ∪ {α}, deux cas sont possibles :
d3c Soit y ∈ α, alors de par la transitivité de α, on aura donc x ∈ α
c’est-à-dire x ∈ α ∪ {α}.
d4c Soit y /
∈ α, alors y = α car y ∈ α ∪ {α} et on doit prouver que
x ∈ α ∪ {α}. Ce qui est trivial.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 61 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Résolution de l’exercice 2 :
Montrons que ∈ est transitive sur On.
C’est-à-dire ∀x, y (y ∈ x ∧ x ∈ On ⇒ y ∈ On).
Soit x, y. Supposons y ∈ x et x ∈ On.
Montrons que y ∈ On.
Par hypothèse, on sait x ∈ On donc, x est un ordinal.
Par le lemme 1 et y ∈ x, on a que y est aussi un ordinal.
Donc, y ∈ On. Donc, ∈ est transitive sur On.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 62 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Résolution de l’exercice 3 : Montrons que ∈ est un bon ordre sur On.
C’est-à-dire ∈ est un ordre total sur On et qu’il soit bien fondé.
C’est-à-dire ∈ est un ordre partiel sur On et ∀x, y (x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ x = y).
C’est-à-dire
d1c ∀x, y (x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ x = y)
d2c ∀x, y (x ∈ y ∧ y ∈ x ⇒ x = y)
d3c ∀x, y, z (x ∈ y ∧ y ∈ z ⇒ x ∈ z)
d1c Soient x, y ∈ On. Montrons que soit x ∈ y ou y ∈ x ou x = y.
Ok par le théorème.
d2c Soient x, y ∈ On. Montrons que x ∈ y ∧ y ∈ x ⇒ x = y.
Ok par le théorème (car prémise toujours fausse).
d3c Soient x, y, z ∈ On. Montrons que x ∈ y ∧ y ∈ z ⇒ x ∈ z.
Ok par la définition d’ordinal sur z.
Montrons que On est bien fondé. Soit X ⊆ On avec X 6= ∅. Si x n’avait
pas de minimum, on aurait donc soit α ∈ X, il existerait γ ∈ X tq γ ∈ α.
En répétant ce processus indéfiniment, on aurait une chaine ∞ descendant.
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 63 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Résolution de l’exercice 4 :
Rappel :
x est un ensemble d’ordinaux.
Ux = {z tel qu0il existe α ∈ x et z ∈ α}
Ux est un ordinal.
Montrons que Ux est un majorant.
Tout d’abord, rappelons que soit β, γ deux éléments de x, comme x est un
ensemble d’ordinaux, on a soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit γ = β, donc tout les
éléments de x sont comparables.
On a également que x n’a pas d’élément max.
C’est-à-dire ¬ (∃γ ∈ x, ∀β ∈ x, β ∈ γ ∨ β = γ)
C’est-à-dire (∀γ ∈ x, ∃β ∈ x, β /
∈ γ ∧ β 6= γ)
C’est-à-dire (∀γ ∈ x, ∃β ∈ x, γ ∈ β) d1c
(Suite à la slide suivante)
Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 64 / 65
Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution
Résolution de l’exercice 4 : (suite)
Soit β ∈ x, montrons que β ∈ Ux.
On a par d1c, γ ∈ x tel que β ∈ γ.
Donc β ∈ Ux par définition de Ux.
Donc Ux est un majorant de x.
Montrons que c’est le plus petit majorant.
Soit A majorant de x, comme A et Ux ordinaux, on a soit A ∈ Ux, soit
A = Ux, soit Ux ∈ A. Les cas A = Ux et Ux ∈ A sont acceptables.
Montrons que le cas A ∈ Ux est impossible.
Comme A ∈ Ux, il existe α ∈ x tel que A ∈ α, ceci contredit le fait que A
majore x.
On a donc bien montré que Ux est la borne supérieure de x.

Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 65 / 65

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  • 2. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution 1 Rappel Couple et Relation binaire. Ordre partiels et totaux. Voisinage et ensemble fermé. 2 Ordinaux Qu’est ce qu’un ordinal ? Propriétés sur les ordinaux. 3 Fermés de Cantor 4 Résolution Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 2 / 65
  • 3. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Rappel Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 3 / 65
  • 4. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Couple Définition : (Provient de ZFC) Soit (x, y). On définit (x, y) comme un couple si : (x, y) est un ensemble. Si (x, y) = (z, t), alors x = z et y = t Preuve Voir présentation sur ZFC Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 4 / 65
  • 5. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Relation binaire Définition : Une relation binaire R(X, Y) est définie par un sous-ensemble d’un produit cartésien X × Y. C’est-à-dire des couples dont la première composante se trouve dans X et la deuxième dans Y. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 5 / 65
  • 6. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Ordre partiel et totaux Définition ordre partiels : Soit X un ensemble et R une relation binaire. On dit que (X, R) est un ordre partiel si : (Réflexive) : ∀x R(x, x) est vraie. (Anti-symétrique) : ∀x, y (R(x, y) ∧ R(y, x) ⇒ x = y). (Transitive) : ∀x, y, z (R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z)). Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 6 / 65
  • 7. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Ordre partiel et totaux Définition ordre partiels : Soit X un ensemble et R une relation binaire. On dit que (X, R) est un ordre partiel si : (Réflexive) : ∀x R(x, x) est vraie. (Anti-symétrique) : ∀x, y (R(x, y) ∧ R(y, x) ⇒ x = y). (Transitive) : ∀x, y, z (R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z)). Définition ordre totaux : (X, R) est un ordre total si (X, R) est un ordre partiel ∀x, y (R(x, y) ∨ R(y, x)) Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 6 / 65
  • 8. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Définition ordre strict : Soit X un ensemble et R une relation binaire. On dit que (X, R) est un ordre partiel si : (Anti-réflexive) : ∀x R(x, x) est faux. (Anti-symétrique) : ∀x, y, (R(x, y) ∧ R(y, x) ⇒ x = y) (Transitive) : ∀x, y, z (R(x, y) ∧ R(y, z) ⇒ R(x, z)). Définition bon ordre : Soit α un ensemble et R une relation d’ordre. R est un bon ordre si et seulement si ∀z ⊂ α [z 6= ∅ ⇒ ∃x ∈ z, ∀y ∈ z, (x ∈ y ∨ R(x, y))] Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 7 / 65
  • 9. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Exemples : Ordre partiel Ordre totaux (P(X), ⊆) (R, ⩽) (X, =) (N, ⩽) (L(E), ⊆) (Q, ⩽) (P(X), ⊆) (N, ) Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 8 / 65
  • 10. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Chaine et segment initial Définition chaine : Soit (X, ⩽) un ordre partiel et soit C ⊆ X. On dit que (C, ⊆) est une chaine si (C, ⊆) est un ordre total. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 9 / 65
  • 11. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Chaine et segment initial Définition chaine : Soit (X, ⩽) un ordre partiel et soit C ⊆ X. On dit que (C, ⊆) est une chaine si (C, ⊆) est un ordre total. Définition segment initial : Soit Y un ensemble totalement ordonné par la relation binaire R. X est un segment initial de Y si X ⊆ Y ∀z, t ∈ Y , (R(t, z) ∧ z ∈ X ⇒ t ∈ X) Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 9 / 65
  • 12. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Voisinage et ensemble fermé Définition voisinage : Va voisinage de a si ∃r 0, B||.||(x, r) ⊆ Va. Définition fermé : d1c ∀x ∈ Rn, ∀r 0, B||.||(x, r) ∩ X 6= ∅ ⇒ x ∈ X d2c ∀x ∈ Rn, (∃(xn)n∈N ⊆ X, xn → x) ⇒ x ∈ X Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 10 / 65
  • 13. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Ordinaux Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 11 / 65
  • 14. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Ordinal Définition : Un ordinal est un ensemble transitif x où ∈ est un bon ordre strict c’est-à-dire un ordre total strict bien fondé (il n’admet pas de chaines infinies descendantes). Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 12 / 65
  • 15. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Exercice Exercice 1 : Si α est un ordinal, prouver que α ∪ {α} est un ordinal. On dira que α ∪ {α} est le successeur de α. Réponse dans la partie Résolution. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 13 / 65
  • 16. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Une série de lemmes Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 14 / 65
  • 17. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 1 : Tout élément d’un ordinal est un ordinal. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 15 / 65
  • 18. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Preuve du lemme 1 : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 16 / 65
  • 19. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 2 : Le plus petit élément de tout ordinal non vide α est ∅. Preuve : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 17 / 65
  • 20. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 3 : Soit α un ordinal, soit x transitif. Si x ⊂ α, alors x ∈ α ou x = α Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 18 / 65
  • 21. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Preuve du lemme 3 : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 19 / 65
  • 22. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 4 : Tout segment initial x d’un ordinal α est un ordinal et, soit x = α ,soit x ∈ α Preuve : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 20 / 65
  • 23. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Remarque : Si β ∈ α, avec α ordinal, on a par le lemme 1 que β est un ordinal et donc β transitif, β est aussi un segment initial de α. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 21 / 65
  • 24. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 5 : Soit α un ordinal, si β ∈ α alors β ∪ {β} est un segment initial de α et, soit β ∪ {β} ∈ α, soit β ∪ {β} = α Preuve : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 22 / 65
  • 25. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Remarque : Par la remarque précédente, nous savons que tout segment initial de α (6= α) est un élément de α et réciproquement que ses éléments sont des segments initiaux. De plus, vu que ce sont des éléments de α un ordinal, ils sont comparables car ∈ est un ordre total (par la définition d’ordinal). Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 23 / 65
  • 26. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème : Soit β, γ deux ordinaux, alors soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit β = γ. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 24 / 65
  • 27. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème : Soit β, γ deux ordinaux, alors soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit β = γ. Question : Est-ce que quelqu’un voit comment on pourrait le prouver ? (Une idée ?) Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 24 / 65
  • 28. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème : Soit β, γ deux ordinaux, alors soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit β = γ. Preuve : Considérons β ∩ γ. Montrons que β ∩ γ est un segment initial de β (et de γ). En effet, si α ∈ β ∩ γ et α0 ∈ α, on a α0 ∈ α ∈ β. Par la transitivité de β (car β ordinal), on a que α0 ∈ β. Nous faisons le même procédé pour γ, on obtient : α0 ∈ β ∩ γ. Donc, β ∩ γ est un segment initial et par le lemme 4, c’est un ordinal. Posons η = β ∩ γ. Supposons que η 6= β et η 6= γ, alors η est un ensemble transitif qui est inclus à β et à γ. Par le lemme 3, η ∈ β et η ∈ γ, donc η ∈ β ∩ γ = η ∈ β. Donc, β n’est pas bien fondé or, β est un ordinal CONTRADICTION. Donc, η = β ou η = γ, ce qui prouve le théorème. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 25 / 65
  • 29. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Qu’est ce qu’On ? On est une structure où tout ses éléments sont des ordinaux. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 26 / 65
  • 30. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Exercice : Exercice 2 Vérifier que ∈ est transitive sur On. Exercice 3 Vérifier que ∈ est un bon ordre sur On. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 27 / 65
  • 31. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 6 : Tout ordinal λ qui n’est pas successeur est la borne supérieur de ces éléments. Autrement dit, λ = sup B∈λ B (on dit que λ est limite de ces éléments) Preuve : Clairement λ est un majorant (∈ est l’ordre sur On) de ces éléments β(β ∈ λ). Si ce n’est pas le plus petit majorant, il existe α ∈ λ tel que pour tout β ∈ λ, on a β ∈ α. Mais alors α est un segment initial de λ et de même α ∪ {α} (lemme 5). Puisque λ n’est pas successeur, on a α ∪ {α} ∈ λ. Donc, on aurait α ∪ {α} ∈ α (puisque pour tout β ∈ λ, on a β ∈ α. Cette contradiction termine la preuve. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 28 / 65
  • 32. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 7 : Tout segment initial x de On qui est un ensemble est un ordinal. Preuve : Le théorème 1 et les remarques (exercices) nous montrent que ∈ est un bon ordre sur On, donc ∈ est un bon ordre sur tout sous-ensemble (ou sous-classe) de On. Par hypothèse, x est un segment initial c’est-à-dire x est transitif. Donc, x est un ensemble transitif où ∈ est un bon ordre. C’est un ordinal. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 29 / 65
  • 33. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Paradoxe de Burali-Forti : Ce paradoxe concerne On. Si On était un ensemble, par le lemme prouvé précédemment, ce serait un ordinal α. On aurait, par la définition de On, α ∈ On = α. Autrement dit, α ∈ α. Mais, ∈ est bien fondé sur On. CONTRADICTION Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 30 / 65
  • 34. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Paradoxe de Burali-Forti : Ce paradoxe concerne On. Si On était un ensemble, par le lemme prouvé précédemment, ce serait un ordinal α. On aurait, par la définition de On, α ∈ On = α. Autrement dit, α ∈ α. Mais, ∈ est bien fondé sur On. CONTRADICTION Conclusion : On est une classe. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 30 / 65
  • 35. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 8 : Tout ensemble x d’ordinaux a une borne supérieur dans On. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 31 / 65
  • 36. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Preuve : Soit x a un plus grand élément, c’est sa borne supérieur. Sinon considérons Ux = {z tel qu0il existe α ∈ x et z ∈ α}. (Par la présentation sur ZF, on sait que Ux est un ensemble). On remarque que α est un ordinal (par hypothèse) et donc z est un ordinal par le lemme 1. On a donc que Ux est un ensemble d’ordinaux. Nous allons affirmer 2 choses : d1c Ux est transitif. Pour ce faire, prouvons-le. Soit γ ∈ β ∈ Ux. Par définition de Ux, il existe α ∈ x tel que β ∈ α. Donc, γ ∈ α (car α transitif). Puisque γ ∈ α ∈ x, par définition de Ux, γ ∈ Ux. Ce qui montre la transitivité. Ux est donc transitif, donc c’est un segment initial de On et donc un ordinal par le lemme 7. d2c Ux est la borne supérieur de x (exercice 4). Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 32 / 65
  • 37. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Exercice supplémentaire 1 : Soit deux ordinaux α et β distincts. Montrer qu’en tant que structure ordonnée (par ∈) ils ne sont pas isomorphes. Ceci permet de conclure que la notion d’isomorphisme chez les ordinaux se réduit à l’égalité. Exercice supplémentaire 2 : Transformer la preuve du lemme de Zorn en preuve très simple qui utilise les ordinaux. (Indication : chaîne admissible, c’est presque un ordinal). Exercice supplémentaire 3 : Soit un bon ordre (x, ). Prouver qu’il existe un seul ordinal α (l’unicité découle de l’exercice supplémentaire 1) tel que (α, ∈) est isomorphe à (x, ). Ceci permet de conclure que les ordinaux représentent tous les types de bon ordres. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 33 / 65
  • 38. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Fermés de Cantor Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 34 / 65
  • 39. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Point d’accumulation et de condensation Définition point d’accumulation : On dit que a ∈ Rn est un point d’accumulation de X si tout voisinage de a contient un point x ∈ X avec x 6= a. Autrement dit, tout voisinage de a contient une infinité dénombrable de points de x. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 35 / 65
  • 40. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Point d’accumulation et de condensation Définition point d’accumulation : On dit que a ∈ Rn est un point d’accumulation de X si tout voisinage de a contient un point x ∈ X avec x 6= a. Autrement dit, tout voisinage de a contient une infinité dénombrable de points de x. Définition point de condensation : On dit que a ∈ Rn est un point de condensation de X si tout voisinage de a contient une infinité non dénombrable de points de x. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 35 / 65
  • 41. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution La dérivée de X Définition : Soit X ⊂ Rn, on note X0 l’ensemble des points d’accumulation de X. X0 est appelé le dérivé de X. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 36 / 65
  • 42. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Remarque : d1c Si X = X0, on dit que X est un ensemble parfait. d2c Si X ⊂ X0, on dit que X est dense en soi. d3c Si a est point d’accumulation de X, alors a est limite d’une suite de point (xn)n∈N ∈ X avec xn 6= a quelque soit n. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 37 / 65
  • 43. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 0 : X est fermé si et seulement si X0 ⊂ X. Preuve : Soit X un ensemble. On sait que si X est fermé, toute limite de suite de Cauchy de points de X est dans X (car Rn est complet), donc X0 ⊂ X. Supposons X0 ⊂ X. Soit x ∈ Rn tel qu’on a (xn)n∈N ⊆ X, xn → x. Pour chaque voisinage de x, on peut trouver un xn dans ce voisinage. Donc x ∈ X0 ⊆ X, et donc comme x ∈ X, X fermé. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 38 / 65
  • 44. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 1 : X0 est fermé. Preuve : Par le lemme 0, prouvons que X00 ⊂ X0. Soit a un point accumulation de X0. En considérent les boules ouvertes B||.||(a, 1 n ) et en y piquant un point xn 6= a de X’ (par définition), on voit que a est limite d’une suite convergente de points (xn)na de X’. Mais B||.||(a, 1 n ) est voisinage de ce point xn, donc par définition de xn ∈ X0, on a que B||.||(a, 1 n ) 3 yn 6= xn ∧ yn 6= a ∧ yn ∈ X. Donc a est limite de la suite de points yn et donc a ∈ X0. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 39 / 65
  • 45. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème 0 (Bolzano-Weierstrass) : Toute suite (xn)n∈N de points dans un ensemble borné de Rn a un point limite. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 40 / 65
  • 46. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Preuve : On a par hypothèse que tous les xn sont dans un intervalle I = [a, b]. Le cas où la suite ne prend qu’un nombre fini de valeurs est trivial. Supposons donc que {xn|n ∈ N} est infini. Dans ce cas, soit I1 = [a, a+b 2 ] ou I2 = [a+b 2 , b] contient également une infinité dénombrable de points de X = {xn|n ∈ N}. On pose T1 = I1 si infini dénombrable ou I2 sinon. En répétant cet argument, on construit une suite emboitée d’intervalles fermés Tn, n ≥ 1 dont l’intersection est un point de a qui est un point limite de X. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 41 / 65
  • 47. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème 0’ : Tout ensemble X ⊂ Rn non dénombrable a un point de condensation. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 42 / 65
  • 48. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème 0’ : Tout ensemble X ⊂ Rn non dénombrable a un point de condensation. Preuve : Supposons n = 1 pour donner l’idée de la preuve. Par l’hypothèse, l’un des intervalles [z, z+1], z ∈ Z contient une infinité non dénombrable de points et on repète la preuve du théorème 0. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 42 / 65
  • 49. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Remarque : Par rapport au preuves précédentes, on a fait usage du théorème suivant sur les cardinaux : Théorème : Toute union d’au plus un nombre dénombrable d’ensembles qui sont eux-même au plus dénombrable, est au plus dénombrable. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 43 / 65
  • 50. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution On s’intéresse maintenant aux X(n) où X(n) 6= ∅ et X(n+1) ( X(n). Définition : Soit α ordinal. On définit par induction :    X(0) = X X(α+1) = (X(α))0 X(λ) = ∩sλX(s) (Si λ est un ordinal limite) Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 44 / 65
  • 51. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Remarque : pour n ≥ 1, X(n) fermé. X(ω) est fermé où ∀n ∈ N, n ω (intersection quelconque de fermés) → ∀α ≥ 1, ordinal, X(α) est fermé. On identifie α par {β α|β ordinal}. Si cet ensemble est dénombrable, alors α est dénombrable. {β α|β ordinal} admet un plus petit élément (voir ordinaux). Pour la suite, on suppose X fermé. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 45 / 65
  • 52. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Remarque : XX0 est au plus dénombrable. Preuve (absurde) : On a XX0 non dénombrable, alors on extrait a ∈ XX0, point de condensation. Donc a est limite d’éléments de X, donc a ∈ X0 ⊆ X. CONTRADICTION ω1 est le plus petit ordinal non dénombrable. On notera le cardinal de ω1 = {β ω1|β ordinal} par ℵ1 Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 46 / 65
  • 53. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Lemme 2 : Soit α ω1, alors XX(α) (c’est-à-dire l’ensemble des points enlevés jusqu’à l’étape α) est dénombrable. Preuve : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 47 / 65
  • 54. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Remarque : Si on a α ordinal tel que X(α) = X(α+1), alors pour tout β α, X(α) = X(β). → On dit que la suite des dérivés de X est stationnaire à partir de α. → Si la suite de dérivés de X n’est pas stationnaire avant ω1, alors à chaque étape précédent ω1, on retire au moins un point. Donc, XX(ω1) n’est pas dénombrable. (Théorème 0’ ⇒ XX(ω1) a un point de condensation). Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 48 / 65
  • 55. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème 1 : Si X = X0 6= ∅ (c’est-à-dire si tous les points de x sont des points d’accumulation), alors tous les points de X sont des points de condensation et card X = 2ℵ0 . Donc tout parfait non vide est de cardinalité 2ℵ0 . Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 49 / 65
  • 56. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Preuve : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 50 / 65
  • 57. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Conclusion : Si la suite x stabilise avec X(β) = X(β+1), alors : X(β) = ∅ ou X(β) a 2ℵ0 points. Donc, si X est fermé et X(β) = X(β+1) 6= ∅, alors card X = 2ℵ0 . Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 51 / 65
  • 58. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Définition : On définit Cond(X) ⊆ X, l’ensemble des points de condensation de X. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 52 / 65
  • 59. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Cond(X) = ∅ Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 53 / 65
  • 60. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Cond(X) 6= ∅ Lemme 3 : Si Y ⊂ X vérifie Y 0 = Y , alors pour tout α ∈ On, on a Y ⊂ X(α). Preuve : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 54 / 65
  • 61. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Cond(X) 6= ∅ Lemme 4 : Cond(X) = (Cond(X))’ Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 55 / 65
  • 62. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Preuve : Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 56 / 65
  • 63. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème 2 : Soit X fermé, alors X(α) = X(α+1), implique X(α) = Cond(X) et le plus petit α pour lequel cette égalité est vérifiée est dénombrable. Preuve : C’est une conséquence des lemmes précédents et de la remarque slide 48. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 57 / 65
  • 64. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Théorème 3 : Tout ensemble fermé de X est soit fini, dénombrable ou de cardinalité 2ℵ0 . En fait, X est l’union disjointe de Cond(X) et d’un ensemble dénombrable de points. Preuve : Découle des résultats précédents. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 58 / 65
  • 65. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Résolution Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 59 / 65
  • 66. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Résolution de l’exercice 1 : ∈ ordonne un bon ordre sur α. Par définition, pour tout x ∈ α ∪ {α}, on a soit x ∈ α, soit x = α. Donc, si x, y ∈ α ∪ {α}, on a que x ∈ y ou y ∈ x. Donc ∈ est un bon ordre total sur α ∪ {α}. L’ordre est-il resté un bon ordre ? Soit X ⊂ α ∪ {α} et X 6= ∅. Deux cas sont possibles : d1c Soit X ∩ α 6= ∅ et donc, il y a un plus petit élément dans X car α est un bon ordre. d2c Soit X ∩ α = ∅ c’est-à-dire X = {α} et donc il y a un plus petit élément. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 60 / 65
  • 67. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Résolution de l’exercice 1 : (suite) Montrons la transitivité de α ∪ {α}. Soit x ∈ y ∧ y ∈ α ∪ {α}, deux cas sont possibles : d3c Soit y ∈ α, alors de par la transitivité de α, on aura donc x ∈ α c’est-à-dire x ∈ α ∪ {α}. d4c Soit y / ∈ α, alors y = α car y ∈ α ∪ {α} et on doit prouver que x ∈ α ∪ {α}. Ce qui est trivial. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 61 / 65
  • 68. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Résolution de l’exercice 2 : Montrons que ∈ est transitive sur On. C’est-à-dire ∀x, y (y ∈ x ∧ x ∈ On ⇒ y ∈ On). Soit x, y. Supposons y ∈ x et x ∈ On. Montrons que y ∈ On. Par hypothèse, on sait x ∈ On donc, x est un ordinal. Par le lemme 1 et y ∈ x, on a que y est aussi un ordinal. Donc, y ∈ On. Donc, ∈ est transitive sur On. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 62 / 65
  • 69. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Résolution de l’exercice 3 : Montrons que ∈ est un bon ordre sur On. C’est-à-dire ∈ est un ordre total sur On et qu’il soit bien fondé. C’est-à-dire ∈ est un ordre partiel sur On et ∀x, y (x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ x = y). C’est-à-dire d1c ∀x, y (x ∈ y ∨ y ∈ x ∨ x = y) d2c ∀x, y (x ∈ y ∧ y ∈ x ⇒ x = y) d3c ∀x, y, z (x ∈ y ∧ y ∈ z ⇒ x ∈ z) d1c Soient x, y ∈ On. Montrons que soit x ∈ y ou y ∈ x ou x = y. Ok par le théorème. d2c Soient x, y ∈ On. Montrons que x ∈ y ∧ y ∈ x ⇒ x = y. Ok par le théorème (car prémise toujours fausse). d3c Soient x, y, z ∈ On. Montrons que x ∈ y ∧ y ∈ z ⇒ x ∈ z. Ok par la définition d’ordinal sur z. Montrons que On est bien fondé. Soit X ⊆ On avec X 6= ∅. Si x n’avait pas de minimum, on aurait donc soit α ∈ X, il existerait γ ∈ X tq γ ∈ α. En répétant ce processus indéfiniment, on aurait une chaine ∞ descendant. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 63 / 65
  • 70. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Résolution de l’exercice 4 : Rappel : x est un ensemble d’ordinaux. Ux = {z tel qu0il existe α ∈ x et z ∈ α} Ux est un ordinal. Montrons que Ux est un majorant. Tout d’abord, rappelons que soit β, γ deux éléments de x, comme x est un ensemble d’ordinaux, on a soit β ∈ γ, soit γ ∈ β, soit γ = β, donc tout les éléments de x sont comparables. On a également que x n’a pas d’élément max. C’est-à-dire ¬ (∃γ ∈ x, ∀β ∈ x, β ∈ γ ∨ β = γ) C’est-à-dire (∀γ ∈ x, ∃β ∈ x, β / ∈ γ ∧ β 6= γ) C’est-à-dire (∀γ ∈ x, ∃β ∈ x, γ ∈ β) d1c (Suite à la slide suivante) Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 64 / 65
  • 71. Rappel Ordinaux Fermés de Cantor Résolution Résolution de l’exercice 4 : (suite) Soit β ∈ x, montrons que β ∈ Ux. On a par d1c, γ ∈ x tel que β ∈ γ. Donc β ∈ Ux par définition de Ux. Donc Ux est un majorant de x. Montrons que c’est le plus petit majorant. Soit A majorant de x, comme A et Ux ordinaux, on a soit A ∈ Ux, soit A = Ux, soit Ux ∈ A. Les cas A = Ux et Ux ∈ A sont acceptables. Montrons que le cas A ∈ Ux est impossible. Comme A ∈ Ux, il existe α ∈ x tel que A ∈ α, ceci contredit le fait que A majore x. On a donc bien montré que Ux est la borne supérieure de x. Clément – Loïc – Christophe Les ordinaux et fermés de Cantor. 22 avril 2020 65 / 65