Syntaxe

1. 1
2 + 2 = 4
Il y a un seul énoncé vrai sur cette
diapositive (slide).

2. Introduction à la logique
Cours 3 : Syntaxe et preuve
Simon-Pierre Chevarie-Cossette, 17.10.2022

3. 3
1. Récapitulatif
2. La syntaxe de la logique
propositionnelle classique
3. La déduction naturelle
Plan

4. Deux définitions de la validité
Définition sémantique : c’est un argument tel qu’il est
logiquement impossible que ses prémisses soient vraies et sa
conclusion soit fausse (en même temps).
Définition syntaxique : c’est un argument dont la conclusion
peut être obtenue à partir des prémisses si on applique des
règles d’inférence.
Ex. au tableau.
4

5. Un problème
Nous ne sommes pas naturellement très bons pour départager
les arguments valides des arguments invalides.
5
P1 : Si le sens commun est fiable, alors la physique théorique est vraie.
P2 : Si la physique théorie est vraie, alors le sens commun n’est pas fiable.
C : Donc, le sens commun n’est pas fiable.
P1 : Il pleut.
P2 : Il ne pleut pas.
C : Donc, le Soleil est froid.

6. Le paradoxe de Daria
Nous avons deux définitions de la validité qui semblent
possiblement être en conflit.
Définition sémantique : c’est un argument tel qu’il est logiquement
impossible que ses prémisses soient vraies et sa conclusion soit
fausse (en même temps).
Définition syntaxique : c’est un argument dont la conclusion peut
être obtenue à partir des prémisses si on applique des règles
d’inférence.
6
P1 : Il pleut.
P2 : Il ne pleut pas.
C : Donc, le Soleil est froid.

7. Le besoin d’une méthode
Nous avons besoin d’une méthode pour remédier à notre
problème (et aussi pour résoudre le paradoxe).
La meilleure méthode n’est pas de travailler directement sur
des arguments en français.
Pourquoi ?
1. Il y a trop de formes d’arguments.
2. Il y a des problèmes langagiers (ambiguïtés) qui
compliquent tout.
7

8. Notre méthode
- Nous allons construire un langage, le langage de la logique
propositionnelle classique (LPC), qui nous permettra de
traduire les arguments du français à ce langage.
- Nous introduirons des règles intuitives de déduction pour
faire la preuve que certains arguments sont valides.
Pour les trois prochaines séances, nous utiliserons :
Définition syntaxique : un argument valide est un argument
dont la conclusion peut être obtenue à partir des prémisses si
on applique des règles d’inférence.
8

9. 9
1. Récapitulatif
2. La syntaxe de la logique
propositionnelle classique
3. La déduction naturelle
Plan

10. La logique propositionnelle
classique
Le nom le dit : la logique concerne les propositions.
L’unité de base de LPC, c’est un symbole qui renvoie à une
proposition.
◦ « Socrate est grand » : p
◦ Pas de symbole pour « est ».
◦ Pas de symbole pour « grand ».
Une proposition ≠ un énoncé (une phrase qui peut être vraie
ou fausse)
10

11. En français… énoncé vs proposition
11
Énoncé Proposition
Nature Ensemble de mots
grammaticalement
organisés
Contenu abstrait (ce que
l’énoncé exprime)
Contexte Peut changer de sens selon
les contextes
Non
Langage Compose le langage Non
Correspondance Peut exprimer deux
propositions (ambiguïtés)
Peut être exprimée par deux
énoncés
Londres est une ville où l’on mange bien.
London is a city where one eats well.
Il y a plus de trous dans le fromage.

12. La logique propositionnelle
classique
C’est une logique qui a certaines propriétés.
En particulier, le tiers exclus :
Pour tout énoncé A de LPC, A v ¬A est nécessairement vrai.
12
2+2 = 4
Il y a un seul énoncé vrai sur cette
diapositive (slide).

13. Construire un langage :
Syntaxe : les règles qui déterminent ce qui compte comme un énoncé d’un langage.
Sémantique : les règles qui déterminent la signification des énoncés d’un langage.
Pour l’instant, on va se content pour la sémantique de dire…
¬ veut dire à peu près non.
∧ veut dire à peu près et.
v veut dire à peu près ou (inclusif).
→ veut dire à peu près si alors.
⟷ veut dire à peu près si et seulement si
13

14. Les éléments de LPC
1. Variables propositionnelles : p, q, r, p1, q1, r1, p2…
Renvoient à des énoncés : ex. « Il fait beau. » « Un chien jappe. »
« Anne aime les plantes ; Antoine préfère l’espace. »
2. Connecteurs logiques :
◦ Négation (non) : ¬ ou ~
◦ Conjonction (et) : ∧ ou &
◦ Disjonction (ou) : v
◦ Implication matérielle (si alors) : → ou ⊃
◦ Équivalence (SSI) : ⟷ ou ≡
3. Des parenthèses : ( )
14

15. La syntaxe de LPC
Les énoncés atomiques, composés d’une seule variable
propositionnelle (p, q, r, p1, q1, r1, p2…), sont des énoncés.
Si A est un énoncé, alors ¬ A est un énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A ∧ B) est un énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A v B) est un énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A → B) est un énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A ⟷ B) est un énoncé.
Rien d'autre n'est un énoncé.
15
Est-ce que « (A → B) » est un énoncé de LPC ?

16. Langage objet et métalangage
16
◦ Langage objet : p, q, r, (p → q), etc.
◦ Méta-langage : A, B, C, (A → B), etc.
◦ Le méta-langage est utilisé pour parler du langage objet.

17. 17
Quels énoncés parmi les suivants sont des
énoncés de LPC ?
1. (p ⟷ q)
2. r3
3. p →→q
4. p ∨ q2
5. (p)
6. ¬p ∧ q ∨ r
7. (¬p ∧ q) ∨ r
8. ¬A ∧ (B ∨ C)
9. ¬(¬p ∧ ¬q)
10. ¬¬¬¬p
11. (p ¬ → q)
12. (p ∧ ¬p)
13. ¬(p)
Les énoncés atomiques, composés d’une seule
variable propositionnelle (p, q, r, p1, q1, r1, p2…),
sont des énoncés.
Si A est un énoncé, alors ¬ A est un énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A ∧ B) est un
énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A v B) est un
énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A → B) est un
énoncé.
Si A et B sont des énoncés, alors (A ⟷ B) est un
énoncé.
Rien d'autre n'est un énoncé.

18. 18
Farnsworth House, Mies Van Der Rohe,
1946–1951
Pas de symboles
pour les objets.
Pas de symbole pour
les propriétés.
Pas de symbole pour
l’égalité.
Pas de symbole pour
les modalités.

19. 19
1. Récapitulatif
2. La syntaxe de la logique
propositionnelle classique
3. La déduction naturelle
Plan

20. La déduction naturelle
20
Le système de déduction naturelle est un
système de preuve.
On prouver la validité d’un argument.
On procède ainsi pour démarrer une
preuve (voir tableau).
Le symbole « ⊢ » signifie qu’il y a une
preuve. « p, p → q ⊢ q » signifie qu’il y a
une preuve de q à partir de p et de p →
q.

21. Une déduction naturelle
21
Supposons que je vous dise :
« Les trains suisses sont fiables. S’ils sont
fiables, ils sont meilleurs que les trains
français. Donc, les trains suisses sont
meilleurs que les trains français. »
Vous voyez immédiatement que le
raisonnement est bon. Implicitement, j’ai
appliqué une règle :
p
p → q
…
q

22. La recette
22
Pour chaque connecteur (→, ⟷, v, ∧), on a deux
règles.
Prenons ∧.
On a une règle d’introduction, utile pour prouver un
énoncé qui a ∧ comme connecteur principal.
Si on veut montrer que p ∧ (q → r), on a besoin d’une
règle qui nous permet de construire cela.
Une règle d’élimination, utile pour utiliser un
énoncé qu’on a qui ∧ comme connecteur principal.
Si on veut utiliser la prémisse p ∧ (q → r), on a besoin
d’apprendre à la déconstruire en morceaux.

23. Les règles les plus simples
23
Introduction
Élimination
Implication
Conjonction Équivalence
Négation Disjonction
⟷E, 1
⟷I, 1, 2
→E, 1, 2
¬E, 1
⟷E, 1

24. Essai
24
Montrez :
1. p ∧ ¬q, ¬q → r ⊢ r
2. p ∧ (q ∧ r) ⊢ q ∧ (r ∧ p)
3. p, (q ∧ ¬¬r) ⟷ p ⊢ r

25. Les règles restantes…
25
L’introduction de ¬
L’introduction de →
Les règles de v