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La logique Propositionnelle
OUAGHLANI Chiheb & Bouchnag Kilani
1
Plan
2
 Introduction
 Logique de proposition
 Syntaxe
 Sémantique
 Les connecteurs (Tables de vérité)
 L’implication
 Consistance, inconsistance et validité
 Équivalences logiques
 Exemple
Introduction
La logique classique = exprimer des énoncés auxquels on attribue une valeur dite
de vérité : un énoncé est soit vrai soit faux et il n’y a pas d’autre valeur
possible. Par exemple quand je dis que « la Terre est plate », on peut sans
problème attribuer la valeur faux à cet énoncé.
En logique classique, c’est-à-dire la logique propositionnelle et la logique du
premier ordre, on ne s’intéresse pas à la dimension temporelle ou spatiale, ni à
l’incertitude d’un énoncé. En d’autres temps, affirmer « la Terre est plate » était
vrai ! On parle de la vérité compte tenu d’un monde possible.
Par exemple, « il fait beau » est vrai (ou faux ?) ici et maintenant, c’est-à dire dans
le monde que je suis en train de considérer, mais dans un autre monde (un autre
lieu et/ou un autre moment), cet énoncé peut avoir une valeur contraire.
3
Logique des propositions
Dans la logique propositionnelle, on étudie les relations entre des
énoncés, que l’on va appeler propositions ou encore des formules.
Ces relations peuvent être exprimées par l’intermédiaire de connecteurs
logiques qui permettent, par composition, de construire des formules
syntaxiquement correctes.
On trouve principalement : la conjonction, la disjonction (inclusive),
l’implication, l’équivalence et la négation.
4
Syntaxe
S’intéresser à la syntaxe de la logique propositionnelle, c’est considérer les formules qui sont “bien écrites”. Pour cela, on se
donne un alphabet. Un ensemble de symboles avec :
– un ensemble V = {p, q, r, . . .} dénombrable de lettres appelées variables propositionnelles. Il s’agit des propositions
atomiques telles que par exemple « 6 est divisible par 2 ».
– les constantes vrai et faux.
– un ensemble (fini) de connecteurs logiques : ∧, ∨, ¬, →, ≡
– les parenthèses (, )
Parmi les mots que l’on peut écrire avec cet alphabet, on va regarder ceux qui correspondent à des expressions logiques bien
formées.
1. toutes les propositions atomiques(p, q, r, . ) sont des expressions bien formées ;
2. si A est une expression bien formée, alors ¬A est une expression bien formée ;
3. si A et B sont deux expressions bien formées, alors (A ∧ B), (A ∨ B),(A → B) et (A ≡ B) sont des expressions bien formées
4. il n’y a pas d’autres expressions bien formées que celles des règles précédentes.
5
Sémantique
S’intéresser à la sémantique de la logique propositionnelle , c’est
déterminer la valeur de vérité d’un énoncé, c’est-à-dire d’une
formule, dans le cadre d’un de ses mondes possibles. On parle
de l’interprétation d’une formule :
il s’agit plus concrètement d’affecter une valeur vrai ou faux à
chacune des variables propositionnelles qui la compose. Pour
une formule à n variables , il y a 2n mondes possibles.
6
Les connecteurs (Tables de vérité) (1/3)
 On utilise ce qu’on appelle des tables de vérité pour réaliser
cette interprétation. Si p et q sont des propositions, on a :
7
Les connecteurs (Tables de vérité) (2/3)
8
Les connecteurs (Tables de vérité) (3/3)
9
L’implication
Dans le langage courant, l’implication est souvent traitée comme « si une hypothèse H est vérifiée, alors on
observe la conclusion C » ou bien on dit plus simplement que « H implique C ». En mathématiques on
dirait que H est une condition suffisante de C.
Une phrase telle que « si 2+2=5, alors Tokyo est la capitale du Japon » n’a pas beaucoup de sens pour nous,
pourtant cet énoncé est vrai du point de vue de la logique propositionnelle !
En effet, on ne s’intéresse pas à la véracité de l’hypothèse.
En résumé, en logique propositionnelle, l’énoncé « H implique C » est vrai dans le cas où C est vrai et dans
le cas où H est faux.
Pour s’en convaincre, il faut simplement constater que l’unique cas raisonnable pour que « H implique C »
soit faux est lorsque H est vrai et C est faux. Dans tous les autres cas, la règle est que l’énoncé est vrai.
10
Consistance, inconsistance et validité(1/3)
Consistance :On dit qu’une formule A est consistante ou satisfiable , s’il
existe une interprétation de ses variables propositionnelles qui la rende
vraie.
Autrement dit A est consistante ssi A a un modèle.
(p → (r ∧ s)) est une formule consistante.
Inconsistance :Une formule pour laquelle il n’existe pas d’interprétation
qui la rende vraie est dite inconsistante, ou encore insatisfiable, ou plus
simplement fausse. (p ∧ ¬p) est inconsistante :
11
Consistance, inconsistance et validité(2/3)
 Validité : Si une formule A est vraie pour n’importe quelle
interprétation de ses variables propositionnelles, on dit qu’elle est
valide. On dit encore que A est une tautologie et on le note:
 |= A. (p ∨ ¬p) est une tautologie :
12
Consistance, inconsistance et validité(3/3)
En logique classique, toutes les tautologies sont équivalentes. Ce
n’est pas forcément le cas dans des logiques non classiques où
ces principes ne sont pas nécessairement admis.
En résumé :
13
Équivalences logiques
Certain nombre de tautologies utilisées en calcul propositionnel
qualifiées d’équivalences logiques standards
14
Exemple
Dans quelle monde la formule (p → (r ∧ s)) est-elle
vraie ?
15
Exercices
16
 Exercice 1 (Reconnaître une formule) Les expressions
suivantes sont elles des formules , des formules avec priorité,
ni l’une ni l’autre ?
1. p^¬q
2. p v r
3. (p v (¬p))
4. (p v ¬p)
 Exercice 2
Pour chacune des formules suivantes, indiquez une notation
booléenne , la notation complètement parenthèse
1. a ^ b v ¬ c ^ d
2. a => b=> a ^ b
3. a=> ¬ b ^ c
4. (a v b) ^ ¬ c ^ d v e
5. ¬ (a v b) c^ ¬ d v e
Exercices
17
 Exercice 3:
Donnez les tables de vérités des formules suivantes.
Puis indiquez les
équivalences entre ces formules.
1. ¬(p ^ q)
2. ¬p v ¬q
3. ¬(p v q)
4. ¬p ^ ¬q
5. p v (p ^ q)
6. p ^ (p v q)
Correction
18
Exercice 1
 1. p^¬q est une formule avec priorité
 2. p v r n’est ni l’une, ni l’autre
 3. (p v (¬p)) est une formule avec priorité et pas une
formule car dans les formules, il n’y a pas de
parenthèses autour de ¬p.
 4. (p v ¬p) est une formule, donc aussi une formule
avec priorité car l’ensemble des formules est un sous
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Correction
19
Exercice 2
Exercice 3

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  • 1. La logique Propositionnelle OUAGHLANI Chiheb & Bouchnag Kilani 1
  • 2. Plan 2  Introduction  Logique de proposition  Syntaxe  Sémantique  Les connecteurs (Tables de vérité)  L’implication  Consistance, inconsistance et validité  Équivalences logiques  Exemple
  • 3. Introduction La logique classique = exprimer des énoncés auxquels on attribue une valeur dite de vérité : un énoncé est soit vrai soit faux et il n’y a pas d’autre valeur possible. Par exemple quand je dis que « la Terre est plate », on peut sans problème attribuer la valeur faux à cet énoncé. En logique classique, c’est-à-dire la logique propositionnelle et la logique du premier ordre, on ne s’intéresse pas à la dimension temporelle ou spatiale, ni à l’incertitude d’un énoncé. En d’autres temps, affirmer « la Terre est plate » était vrai ! On parle de la vérité compte tenu d’un monde possible. Par exemple, « il fait beau » est vrai (ou faux ?) ici et maintenant, c’est-à dire dans le monde que je suis en train de considérer, mais dans un autre monde (un autre lieu et/ou un autre moment), cet énoncé peut avoir une valeur contraire. 3
  • 4. Logique des propositions Dans la logique propositionnelle, on étudie les relations entre des énoncés, que l’on va appeler propositions ou encore des formules. Ces relations peuvent être exprimées par l’intermédiaire de connecteurs logiques qui permettent, par composition, de construire des formules syntaxiquement correctes. On trouve principalement : la conjonction, la disjonction (inclusive), l’implication, l’équivalence et la négation. 4
  • 5. Syntaxe S’intéresser à la syntaxe de la logique propositionnelle, c’est considérer les formules qui sont “bien écrites”. Pour cela, on se donne un alphabet. Un ensemble de symboles avec : – un ensemble V = {p, q, r, . . .} dénombrable de lettres appelées variables propositionnelles. Il s’agit des propositions atomiques telles que par exemple « 6 est divisible par 2 ». – les constantes vrai et faux. – un ensemble (fini) de connecteurs logiques : ∧, ∨, ¬, →, ≡ – les parenthèses (, ) Parmi les mots que l’on peut écrire avec cet alphabet, on va regarder ceux qui correspondent à des expressions logiques bien formées. 1. toutes les propositions atomiques(p, q, r, . ) sont des expressions bien formées ; 2. si A est une expression bien formée, alors ¬A est une expression bien formée ; 3. si A et B sont deux expressions bien formées, alors (A ∧ B), (A ∨ B),(A → B) et (A ≡ B) sont des expressions bien formées 4. il n’y a pas d’autres expressions bien formées que celles des règles précédentes. 5
  • 6. Sémantique S’intéresser à la sémantique de la logique propositionnelle , c’est déterminer la valeur de vérité d’un énoncé, c’est-à-dire d’une formule, dans le cadre d’un de ses mondes possibles. On parle de l’interprétation d’une formule : il s’agit plus concrètement d’affecter une valeur vrai ou faux à chacune des variables propositionnelles qui la compose. Pour une formule à n variables , il y a 2n mondes possibles. 6
  • 7. Les connecteurs (Tables de vérité) (1/3)  On utilise ce qu’on appelle des tables de vérité pour réaliser cette interprétation. Si p et q sont des propositions, on a : 7
  • 8. Les connecteurs (Tables de vérité) (2/3) 8
  • 9. Les connecteurs (Tables de vérité) (3/3) 9
  • 10. L’implication Dans le langage courant, l’implication est souvent traitée comme « si une hypothèse H est vérifiée, alors on observe la conclusion C » ou bien on dit plus simplement que « H implique C ». En mathématiques on dirait que H est une condition suffisante de C. Une phrase telle que « si 2+2=5, alors Tokyo est la capitale du Japon » n’a pas beaucoup de sens pour nous, pourtant cet énoncé est vrai du point de vue de la logique propositionnelle ! En effet, on ne s’intéresse pas à la véracité de l’hypothèse. En résumé, en logique propositionnelle, l’énoncé « H implique C » est vrai dans le cas où C est vrai et dans le cas où H est faux. Pour s’en convaincre, il faut simplement constater que l’unique cas raisonnable pour que « H implique C » soit faux est lorsque H est vrai et C est faux. Dans tous les autres cas, la règle est que l’énoncé est vrai. 10
  • 11. Consistance, inconsistance et validité(1/3) Consistance :On dit qu’une formule A est consistante ou satisfiable , s’il existe une interprétation de ses variables propositionnelles qui la rende vraie. Autrement dit A est consistante ssi A a un modèle. (p → (r ∧ s)) est une formule consistante. Inconsistance :Une formule pour laquelle il n’existe pas d’interprétation qui la rende vraie est dite inconsistante, ou encore insatisfiable, ou plus simplement fausse. (p ∧ ¬p) est inconsistante : 11
  • 12. Consistance, inconsistance et validité(2/3)  Validité : Si une formule A est vraie pour n’importe quelle interprétation de ses variables propositionnelles, on dit qu’elle est valide. On dit encore que A est une tautologie et on le note:  |= A. (p ∨ ¬p) est une tautologie : 12
  • 13. Consistance, inconsistance et validité(3/3) En logique classique, toutes les tautologies sont équivalentes. Ce n’est pas forcément le cas dans des logiques non classiques où ces principes ne sont pas nécessairement admis. En résumé : 13
  • 14. Équivalences logiques Certain nombre de tautologies utilisées en calcul propositionnel qualifiées d’équivalences logiques standards 14
  • 15. Exemple Dans quelle monde la formule (p → (r ∧ s)) est-elle vraie ? 15
  • 16. Exercices 16  Exercice 1 (Reconnaître une formule) Les expressions suivantes sont elles des formules , des formules avec priorité, ni l’une ni l’autre ? 1. p^¬q 2. p v r 3. (p v (¬p)) 4. (p v ¬p)  Exercice 2 Pour chacune des formules suivantes, indiquez une notation booléenne , la notation complètement parenthèse 1. a ^ b v ¬ c ^ d 2. a => b=> a ^ b 3. a=> ¬ b ^ c 4. (a v b) ^ ¬ c ^ d v e 5. ¬ (a v b) c^ ¬ d v e
  • 17. Exercices 17  Exercice 3: Donnez les tables de vérités des formules suivantes. Puis indiquez les équivalences entre ces formules. 1. ¬(p ^ q) 2. ¬p v ¬q 3. ¬(p v q) 4. ¬p ^ ¬q 5. p v (p ^ q) 6. p ^ (p v q)
  • 18. Correction 18 Exercice 1  1. p^¬q est une formule avec priorité  2. p v r n’est ni l’une, ni l’autre  3. (p v (¬p)) est une formule avec priorité et pas une formule car dans les formules, il n’y a pas de parenthèses autour de ¬p.  4. (p v ¬p) est une formule, donc aussi une formule avec priorité car l’ensemble des formules est un sous ensemble de celui des formules avec priorité.