2. Fondements de la logique
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
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3. Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Le monde de la logique formelle classique
‚ Valeurs de vérité : vrai, faux
‚ Monde ouvert (non clos)
‚ Manipulation de propositions
ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu)
ñ Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique : est-elle bien formée ?
‚ Sémantique : a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses : propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion : proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sont suffisantes (et nécessaires) ?
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4. Fondements de la logique
Quelques exemples
§ Raisonnements non valides à divers niveaux
‚ Syntaxe
‚ Aristote mortel est
ñ Syntaxe de la prédication
ñ Contrainte liée au langage
‚ Sémantique
‚ Tout Socrates est mortel
ñ Sémantique de la quantification
ñ Contrainte liée au sens des symboles
‚ Raisonnement
‚ Tout chat est mortel
‚ Or Socrates est mortel
‚ Donc Socrates est un chat ?!
ñ Règles d’inférence (déduction)
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5. Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langage formel
‚ Formules (dont variables atomiques) : p, q, r …
‚ Parenthèses (op. syntaxique) : ( et )
‚ Négation (op. unaire) : ␣ (ou !, „,
_
)
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et : ^ (ou ., &)
‚ Disjonction, ou : _ (ou +, |)
‚ Implication : Ñ
‚ Équivalence : Ø
‚ Priorité (à gauche) des opérateurs : (, ), ␣, ^, _, Ñ, Ø
‚ Formules bien formées (définition récursive)
‚ Si p est une f.b.f. alors ␣pet(p) aussi
‚ Si p et q sont des f.b.f. alors p ^ q, p _ q, p Ñ q et p Ø q aussi
‚ Les autres formules ne sont pas bien formées
ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
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6. Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décomposition d’une formule sous forme d’arbre
‚ Éléments : nœuds (ronds) et arcs (traits)
‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
‚ Position des nœuds : racine (haut) et feuilles (bas)
ñ Description de la structure de l’expression
‚ Nœuds internes : opérateurs
‚ Feuilles : atomes
§ Exemple
‚ Formule : ␣p _ q ^ r
‚ Équivalente (priorité) à : ␣(p) _ ((q) ^ (r))
_
␣
p
^
q r
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7. Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeurs à des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de vérité V, F (ou 1, 0, J, K)
ñ Permet le calcul des formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule : ␣p _ q ^ r
‚ Assignation : p = V, q = V et r = V
‚ Calcul : ␣V _ V ^ V = F _ V ^ V = F _ V = V
‚ Assignation : p = V, q = F et r = V
‚ Calcul : ␣V _ F ^ V = F _ F ^ V = F _ F = F
‚ Assignation : p = F, q = F et r = F
‚ Calcul : ␣F _ F ^ F = V _ F ^ F = V _ F = V
ñ Pour n variables, 2n
assignations possibles
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8. Fondements de la logique
Tables de vérité (assignations)
Négation
p ␣p
V F
F V
Conjonction
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjonction
p q p _ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Implication
p q p Ñ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Équivalence
p q p Ø q
V V V
V F F
F V F
F F V
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9. Fondements de la logique
Exercice
§ Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la
table de vérité pour
‚ p ^ ␣q
‚ ␣(p _ q)
‚ p ^ ␣q _ ␣p ^ q
‚ ␣(p ^ q) _ (␣p ^ r) _ (p ^ ␣r)
‚ p Ñ q ^ r
‚ ␣p Ñ q
‚ (p Ñ q) ^ (q Ñ p)
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10. Fondements de la logique
Problème
§ Exprimez les relations entre les éléments suivants
‚ Transports :
tbus, metro, tram, rer, voiture, taxi, velo, moto, pied, autolibu
‚ Motorisation : tmoteur, pedale, 2roues, 4rouesu
‚ Caractéristiques :
tvehicule, elec, public, proprio, location, payant, gratuitu
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12. Formes normales
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
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13. Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p ^ q Ñ r et p ^ q Ñ r
‚ Identiques aux parenthèses près
p ^ q Ñ r et (p ^ q) Ñ r
‚ Identiques à une commutation près
p ^ q Ñ r et q ^ p Ñ r
‚ Et autres propriétés (associativité, distributivité, etc.)
‚ Pour toute assignation, les formules ont même valeur
p ^ q Ñ r et ␣(p ^ q) _ r
‚ …
ñ Notation avec ”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ?
ñ Mettre les expressions sous forme normale
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14. Formes normales
Équivalence de formules logiques
Faux p ^ F ” F
p _ F ” p
Vrai p ^ V ” p
p _ V ” V
Contradiction p ^ ␣p ” F
Tiers-exclus p _ ␣p ” V
Double négation ␣␣p ” p
Implication p Ñ q ” ␣p _ q
Équivalence p Ø q ” (p Ñ q) ^ (q Ñ p) ” (p ^ q) _ (␣p ^ ␣q)
Lois de De Morgan ␣(p _ q) ” ␣p ^ ␣q
␣(p ^ q) ” ␣p _ ␣q
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15. Formes normales
Équivalence de formules logiques
Idempotence p ^ p ” p _ p ” p
Commutativité p ^ q ” q ^ p
p _ q ” q _ p
Associativité (p ^ q) ^ r ” p ^ (q ^ r) ” p ^ q ^ r
(p _ q) _ r ” p _ (q _ r) ” p _ q _ r
Distributivité p _ (q ^ r) ” (p _ q) ^ (p _ r)
p ^ (q _ r) ” (p ^ q) _ (p ^ r)
Absorption p _ (p ^ q) ” p
p ^ (p _ q) ” p
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16. Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs : ␣, ^, _
‚ Littéral : variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux
(p _ q) ^ (p _ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux
(p ^ q) _ (p ^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteurs Ñ, Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚ ␣p Ñ (q ^ r)
” ␣␣p _ (q ^ r)
” p _ (q ^ r)
” (p _ q) ^ (p _ r)
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17. Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FNC les formules
‚ ␣(p ^ q)
‚ p _ q ^ r
‚ (p Ñ q) ^ (p Ñ r)
‚ p _ ␣(q ^ r)
‚ q Ñ ␣p ^ ␣q _ r
‚ (p Ñ q) ^ ␣(q Ñ p)
‚ (␣p ^ q) _ r
‚ p Ø q
‚ ␣(p _ q) _ (p ^ r)
‚ (p _ q) Ñ r
‚ (␣p Ñ q) Ñ r
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18. Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FND les formules
‚ ␣(p Ñ q)
‚ p ^ ␣(q ^ r)
‚ p ^ (p Ñ q)
§ Dire si les équivalences suivantes sont justes
‚ p ^ q _ r ” ␣(p Ñ ␣q) _ r
‚ ␣(p _ q ^ ␣r) ” ␣p ^ ␣q _ r
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19. Formes normales
Problème
§ Mettre sous forme logique puis en FNC les propositions
‚ Un objet qui n’est ni solide ni gazeux est liquide
‚ Il est faux de dire qu’on peut être grand et petit
‚ Il n’existe pas de planète qui ne soit ronde
‚ Chacun est humain et homme ou humain et femme
‚ Si on est riche ou beau alors on ne peut être malheureux
‚ Si être riche rend bête, et être bête rend heureux, alors être
riche rend heureux
‚ On ne peut être bête et malheureux si on est riche
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20. Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité
‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
‚ FND
‚ Minterme : pour V, conjonction des littéraux
‚ Formule comme disjonction des mintermes
‚ FNC
‚ Maxterme : pour F, disjonction des négations de littéraux
‚ Formule comme conjonction des maxtermes
‚ Exemple
p q formule min/max terme
V V V min p ^ q
V F F max ␣p _ q
F V V min ␣p ^ q
F F F max p _ q
ñ FND : (p ^ q) _ (␣p ^ q)
ñ FNC : (␣p _ q) ^ (p _ q)
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21. Formes normales
Exercice
§ Donnez par la méthode des mintermes / maxtermes la FNC
et la FND pour la table de vérité suivante
p q r formule
V V V F
V V F V
V F V F
V F F F
F V V V
F V F V
F F V F
F F F V
§ Quelqu’un dit « Être héritier ou travailler permet de ne pas
être pauvre », traduisez cette proposition sous forme logique,
donnez sa table de vérité, puis calculez sa FNC et FND.
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22. Dérivations logiques
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 22 / 32
23. Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Système logique
‚ Théorèmes : formules admises ou démontrées
‚ Les formules admises (faits ou règles) sont des axiomes
‚ Symbole de la dérivation logique : $
‚ Utilisation de règles d’inférence (prémisses Ñ conclusion)
‚ Mécanismes d’interprétation des formules
ñ Le système est-il consistant, complet ?
§ Règles d’inférences
‚ Modus ponens : p, p Ñ q $ q
‚ Modus tollens : p Ñ q, ␣q $ ␣p
‚ Autre notation
p
p Ñ q
q
(modus ponens)
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24. Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Exemple d’inférence logique
‚ Axiomes
‚ $ ␣(p ^ q)
‚ $ p
‚ $ r Ñ q
‚ $ r Ø s
ñ On peut inférer : ␣r
ñ On peut inférer : ␣s
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25. Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entre sémantique et assignations
ñ Une formule peut être
‚ Valide : vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
‚ Satisfiable : au moins une interprétation qui la rend vraie
‚ Contingente : satisfiable et une interprétation la rend fausse
‚ Insatisfiable : aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F}
ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 25 / 32
26. Dérivations logiques
Résolution par réfutation
§ Principe de la réfutation (absurde / apagogie)
‚ Démontrer que q est la conséquence logique de p1, p2 . . . pn
” démontrer que p1, p2 . . . pn $ q
” démontrer que ␣(p1 ^ p2 . . . pn) _ q est valide
” démontrer que ␣(␣(p1 ^ p2 . . . pn) _ q) est insatisfiable
” démontrer que p1 ^ p2 . . . pn ^ ␣q est insatisfiable
§ Exemple
‚ Axiomes
‚ $ (p Ñ q) _ (p Ñ r) (1)
‚ $ p ^ ␣q (2)
‚ Démonstration que 1, 2 $ r par réfutation
‚ ((p Ñ q) _ (p Ñ r)) ^ (p ^ ␣q) ^ ␣(r)
” (␣p _ q _ ␣p _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
” (␣p _ q _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
” (␣p _ q _ r) ^ ␣(␣p _ q _ r) …(contradiction A ^ ␣A)
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27. Dérivations logiques
Exercice
§ Montrer par réfutation
‚ (p Ñ ␣q), q $ ␣p
‚ (␣p _ ␣q), p $ ␣q
‚ (p _ q), (p _ r), (p _ s), ␣p $ q ^ r ^ s
‚ (␣p Ñ ␣q) $ (q Ñ p)
‚ p Ñ q, q Ñ r $ p Ñ r
‚ ((p Ñ r) _ (q Ñ r)), ␣r $ (␣p _ ␣q)
‚ p _ q Ñ r, p _ s, ␣s $ r
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 27 / 32
28. Dérivations logiques
Complétude et cohérence des systèmes logiques
§ Cohérence (ou consistance)
‚ Il n’existe aucune formule telle qu’elle même et sa négation
soient conséquences du système
ñ Programme de Hilbert (Hilbert, 1900)
ñ Contre-exemple : p, ␣q, p Ñ q
ñ Contre-exemple : paradoxe du barbier (Russel, 1903)
§ Complétude
‚ Toute proposition que l’on sait sémantiquement correcte
peut être dérivée par le système
ñ Exemple : calcul des prédicats du 1er ordre (Gödel, 1929)
ñ Contre-exemple : théorème d’incomplétude (Gödel, 1931)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 28 / 32
29. Problème / exercice
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 29 / 32
30. Problème / exercice
Politiquement logique
§ Prouvez les assertions suivantes par réfutation
‚ Tout politicien ment, tu fais de la politique donc tu mens
‚ Tout politicien est menteur, tu ne ments pas, donc tu ne fais
pas de politique
‚ Je connais un politique qui ne ment pas : il n’est pas vrai
que tous les politiciens sont des menteurs
‚ Dans une démocratie, il y a des élections et des libertés et
dans une dictature, il n’y a ni l’un ni l’autre. Donc un
régime ne peut être à la fois démocratique et dictatorial
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 30 / 32
31. Problème / exercice
Cuisine logique
§ Sujet : un étudiant doit manger la veille d’un examen
§ Soient les (assertions) propositions suivantes
‚ (1) Je peux me faire des pâtes ou aller chercher une pizza
‚ (2) Tous les mardis et jeudis, il y a le camion à pizza
‚ (3) Si je mange mal et que je me couche tard je rate l’examen
‚ (4) Si je ne révise pas mon cours, je vais rater mon examen
‚ (5) Si je révise mon cours, je vais me coucher tard
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 31 / 32
32. Problème / exercice
Cuisine logique (suite)
§ Questions
‚ Traduire toutes les propositions en logique
‚ Donner les arbres d’expression des propositions (2) et (3)
‚ Mettre la formule (3) sous forme normale conjonctive
‚ Faire la table de vérité du (4), puis sa FNC par minmax
‚ Prouver par réfutation que le mercredi, l’étudiant mangera
nécessairement des pâtes
‚ Prouver que s’il veut réussir son examen, l’étudiant devra se
coucher tard
‚ En supposant qu’il ne sait pas cuisiner (les pâtes seront
ratées), que mangera l’étudiant si l’on est un jeudi et qu’il
veut réussir l’examen ?
‚ Que se serait-il passé si l’examen était un lundi ?
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 32 / 32
