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Logique des propositions
Damien Nouvel
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 1 / 32
Fondements de la logique
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 2 / 32
Fondements de la logique
Notions élémentaires
§ Le monde de la logique formelle classique
‚ Valeurs de vérité : vrai, faux
‚ Monde ouvert (non clos)
‚ Manipulation de propositions
ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu)
ñ Monde discret (logique non floue)
§ Validité d’une proposition
‚ Syntaxique : est-elle bien formée ?
‚ Sémantique : a-t-elle du sens ?
§ Validité d’un raisonnement
‚ Prémisses : propositions en condition (antécédent)
‚ Conclusion : proposition en conséquence
ñ Est-ce que les prémisses sont suffisantes (et nécessaires) ?
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 3 / 32
Fondements de la logique
Quelques exemples
§ Raisonnements non valides à divers niveaux
‚ Syntaxe
‚ Aristote mortel est
ñ Syntaxe de la prédication
ñ Contrainte liée au langage
‚ Sémantique
‚ Tout Socrates est mortel
ñ Sémantique de la quantification
ñ Contrainte liée au sens des symboles
‚ Raisonnement
‚ Tout chat est mortel
‚ Or Socrates est mortel
‚ Donc Socrates est un chat ?!
ñ Règles d’inférence (déduction)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 4 / 32
Fondements de la logique
Formules bien formées
§ Langage formel
‚ Formules (dont variables atomiques) : p, q, r …
‚ Parenthèses (op. syntaxique) : ( et )
‚ Négation (op. unaire) : ␣ (ou !, „,
_
)
‚ Connecteurs logiques (op. binaires)
‚ Conjonction, et : ^ (ou ., &)
‚ Disjonction, ou : _ (ou +, |)
‚ Implication : Ñ
‚ Équivalence : Ø
‚ Priorité (à gauche) des opérateurs : (, ), ␣, ^, _, Ñ, Ø
‚ Formules bien formées (définition récursive)
‚ Si p est une f.b.f. alors ␣pet(p) aussi
‚ Si p et q sont des f.b.f. alors p ^ q, p _ q, p Ñ q et p Ø q aussi
‚ Les autres formules ne sont pas bien formées
ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 5 / 32
Fondements de la logique
Arbre d’expression
§ Décomposition d’une formule sous forme d’arbre
‚ Éléments : nœuds (ronds) et arcs (traits)
‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s)
‚ Position des nœuds : racine (haut) et feuilles (bas)
ñ Description de la structure de l’expression
‚ Nœuds internes : opérateurs
‚ Feuilles : atomes
§ Exemple
‚ Formule : ␣p _ q ^ r
‚ Équivalente (priorité) à : ␣(p) _ ((q) ^ (r))
_
␣
p
^
q r
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 6 / 32
Fondements de la logique
Assignations
§ Association de valeurs à des variables atomiques
‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas
‚ Valeurs de vérité V, F (ou 1, 0, J, K)
ñ Permet le calcul des formules
‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique
‚ Connecteurs logiques qui les séparent
§ Exemple
‚ Formule : ␣p _ q ^ r
‚ Assignation : p = V, q = V et r = V
‚ Calcul : ␣V _ V ^ V = F _ V ^ V = F _ V = V
‚ Assignation : p = V, q = F et r = V
‚ Calcul : ␣V _ F ^ V = F _ F ^ V = F _ F = F
‚ Assignation : p = F, q = F et r = F
‚ Calcul : ␣F _ F ^ F = V _ F ^ F = V _ F = V
ñ Pour n variables, 2n
assignations possibles
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 7 / 32
Fondements de la logique
Tables de vérité (assignations)
Négation
p ␣p
V F
F V
Conjonction
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjonction
p q p _ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Implication
p q p Ñ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Équivalence
p q p Ø q
V V V
V F F
F V F
F F V
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 8 / 32
Fondements de la logique
Exercice
§ Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la
table de vérité pour
‚ p ^ ␣q
‚ ␣(p _ q)
‚ p ^ ␣q _ ␣p ^ q
‚ ␣(p ^ q) _ (␣p ^ r) _ (p ^ ␣r)
‚ p Ñ q ^ r
‚ ␣p Ñ q
‚ (p Ñ q) ^ (q Ñ p)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 9 / 32
Fondements de la logique
Problème
§ Exprimez les relations entre les éléments suivants
‚ Transports :
tbus, metro, tram, rer, voiture, taxi, velo, moto, pied, autolibu
‚ Motorisation : tmoteur, pedale, 2roues, 4rouesu
‚ Caractéristiques :
tvehicule, elec, public, proprio, location, payant, gratuitu
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 10 / 32
Fondements de la logique
Problème
§ Exprimez les relations entre les éléments suivants
‚ Aliments : tsalade, carotte, herbe, steak, oeuf, lait,
biscuit, compote, eau, jus, the, cafeu
‚ Mode d’alimentation :
tcarnivore, herbivore, omnivore, vegetarien, veganu
‚ Moments d’alimentation :
trepas, petitdej, dejeuner, diner, gouter, encasu
‚ Restauration :
tmenu, cafegourmant, entree, plat, dessert, boissonu
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 11 / 32
Formes normales
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 12 / 32
Formes normales
Comparaison de formules
ñ Quelles formules sont équivalentes ?
‚ Identiques
p ^ q Ñ r et p ^ q Ñ r
‚ Identiques aux parenthèses près
p ^ q Ñ r et (p ^ q) Ñ r
‚ Identiques à une commutation près
p ^ q Ñ r et q ^ p Ñ r
‚ Et autres propriétés (associativité, distributivité, etc.)
‚ Pour toute assignation, les formules ont même valeur
p ^ q Ñ r et ␣(p ^ q) _ r
‚ …
ñ Notation avec ”
ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ?
ñ Mettre les expressions sous forme normale
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 13 / 32
Formes normales
Équivalence de formules logiques
Faux p ^ F ” F
p _ F ” p
Vrai p ^ V ” p
p _ V ” V
Contradiction p ^ ␣p ” F
Tiers-exclus p _ ␣p ” V
Double négation ␣␣p ” p
Implication p Ñ q ” ␣p _ q
Équivalence p Ø q ” (p Ñ q) ^ (q Ñ p) ” (p ^ q) _ (␣p ^ ␣q)
Lois de De Morgan ␣(p _ q) ” ␣p ^ ␣q
␣(p ^ q) ” ␣p _ ␣q
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 14 / 32
Formes normales
Équivalence de formules logiques
Idempotence p ^ p ” p _ p ” p
Commutativité p ^ q ” q ^ p
p _ q ” q _ p
Associativité (p ^ q) ^ r ” p ^ (q ^ r) ” p ^ q ^ r
(p _ q) _ r ” p _ (q _ r) ” p _ q _ r
Distributivité p _ (q ^ r) ” (p _ q) ^ (p _ r)
p ^ (q _ r) ” (p ^ q) _ (p ^ r)
Absorption p _ (p ^ q) ” p
p ^ (p _ q) ” p
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 15 / 32
Formes normales
Formes normales
§ Système suffisant de connecteurs : ␣, ^, _
‚ Littéral : variable atomique ou sa négation (p ou ␣p)
‚ Formes normales
‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux
(p _ q) ^ (p _ ␣r)
‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux
(p ^ q) _ (p ^ ␣r)
‚ Mise sous forme normale
‚ Suppression des connecteurs Ñ, Ø
‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan)
‚ Distributivité, commutativité, absorption
§ Exemple (FNC)
‚ ␣p Ñ (q ^ r)
” ␣␣p _ (q ^ r)
” p _ (q ^ r)
” (p _ q) ^ (p _ r)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 16 / 32
Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FNC les formules
‚ ␣(p ^ q)
‚ p _ q ^ r
‚ (p Ñ q) ^ (p Ñ r)
‚ p _ ␣(q ^ r)
‚ q Ñ ␣p ^ ␣q _ r
‚ (p Ñ q) ^ ␣(q Ñ p)
‚ (␣p ^ q) _ r
‚ p Ø q
‚ ␣(p _ q) _ (p ^ r)
‚ (p _ q) Ñ r
‚ (␣p Ñ q) Ñ r
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 17 / 32
Formes normales
Exercice
§ Mettre sous FND les formules
‚ ␣(p Ñ q)
‚ p ^ ␣(q ^ r)
‚ p ^ (p Ñ q)
§ Dire si les équivalences suivantes sont justes
‚ p ^ q _ r ” ␣(p Ñ ␣q) _ r
‚ ␣(p _ q ^ ␣r) ” ␣p ^ ␣q _ r
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 18 / 32
Formes normales
Problème
§ Mettre sous forme logique puis en FNC les propositions
‚ Un objet qui n’est ni solide ni gazeux est liquide
‚ Il est faux de dire qu’on peut être grand et petit
‚ Il n’existe pas de planète qui ne soit ronde
‚ Chacun est humain et homme ou humain et femme
‚ Si on est riche ou beau alors on ne peut être malheureux
‚ Si être riche rend bête, et être bête rend heureux, alors être
riche rend heureux
‚ On ne peut être bête et malheureux si on est riche
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 19 / 32
Formes normales
Méthode des mintermes / maxtermes
§ Trouver une formule à partir de sa table de vérité
‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales
‚ FND
‚ Minterme : pour V, conjonction des littéraux
‚ Formule comme disjonction des mintermes
‚ FNC
‚ Maxterme : pour F, disjonction des négations de littéraux
‚ Formule comme conjonction des maxtermes
‚ Exemple
p q formule min/max terme
V V V min p ^ q
V F F max ␣p _ q
F V V min ␣p ^ q
F F F max p _ q
ñ FND : (p ^ q) _ (␣p ^ q)
ñ FNC : (␣p _ q) ^ (p _ q)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 20 / 32
Formes normales
Exercice
§ Donnez par la méthode des mintermes / maxtermes la FNC
et la FND pour la table de vérité suivante
p q r formule
V V V F
V V F V
V F V F
V F F F
F V V V
F V F V
F F V F
F F F V
§ Quelqu’un dit « Être héritier ou travailler permet de ne pas
être pauvre », traduisez cette proposition sous forme logique,
donnez sa table de vérité, puis calculez sa FNC et FND.
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 21 / 32
Dérivations logiques
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 22 / 32
Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Système logique
‚ Théorèmes : formules admises ou démontrées
‚ Les formules admises (faits ou règles) sont des axiomes
‚ Symbole de la dérivation logique : $
‚ Utilisation de règles d’inférence (prémisses Ñ conclusion)
‚ Mécanismes d’interprétation des formules
ñ Le système est-il consistant, complet ?
§ Règles d’inférences
‚ Modus ponens : p, p Ñ q $ q
‚ Modus tollens : p Ñ q, ␣q $ ␣p
‚ Autre notation
p
p Ñ q
q
(modus ponens)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 23 / 32
Dérivations logiques
Théorèmes et démonstrations
§ Exemple d’inférence logique
‚ Axiomes
‚ $ ␣(p ^ q)
‚ $ p
‚ $ r Ñ q
‚ $ r Ø s
ñ On peut inférer : ␣r
ñ On peut inférer : ␣s
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 24 / 32
Dérivations logiques
Interprétations et modèles
§ Interprétations
‚ Lien entre sémantique et assignations
ñ Une formule peut être
‚ Valide : vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie)
‚ Satisfiable : au moins une interprétation qui la rend vraie
‚ Contingente : satisfiable et une interprétation la rend fausse
‚ Insatisfiable : aucune interprétation ne la rend vraie
§ Modèles de formule
‚ Interprétations qui rendent la formule vraie
ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F}
ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 25 / 32
Dérivations logiques
Résolution par réfutation
§ Principe de la réfutation (absurde / apagogie)
‚ Démontrer que q est la conséquence logique de p1, p2 . . . pn
” démontrer que p1, p2 . . . pn $ q
” démontrer que ␣(p1 ^ p2 . . . pn) _ q est valide
” démontrer que ␣(␣(p1 ^ p2 . . . pn) _ q) est insatisfiable
” démontrer que p1 ^ p2 . . . pn ^ ␣q est insatisfiable
§ Exemple
‚ Axiomes
‚ $ (p Ñ q) _ (p Ñ r) (1)
‚ $ p ^ ␣q (2)
‚ Démonstration que 1, 2 $ r par réfutation
‚ ((p Ñ q) _ (p Ñ r)) ^ (p ^ ␣q) ^ ␣(r)
” (␣p _ q _ ␣p _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
” (␣p _ q _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r)
” (␣p _ q _ r) ^ ␣(␣p _ q _ r) …(contradiction A ^ ␣A)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 26 / 32
Dérivations logiques
Exercice
§ Montrer par réfutation
‚ (p Ñ ␣q), q $ ␣p
‚ (␣p _ ␣q), p $ ␣q
‚ (p _ q), (p _ r), (p _ s), ␣p $ q ^ r ^ s
‚ (␣p Ñ ␣q) $ (q Ñ p)
‚ p Ñ q, q Ñ r $ p Ñ r
‚ ((p Ñ r) _ (q Ñ r)), ␣r $ (␣p _ ␣q)
‚ p _ q Ñ r, p _ s, ␣s $ r
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 27 / 32
Dérivations logiques
Complétude et cohérence des systèmes logiques
§ Cohérence (ou consistance)
‚ Il n’existe aucune formule telle qu’elle même et sa négation
soient conséquences du système
ñ Programme de Hilbert (Hilbert, 1900)
ñ Contre-exemple : p, ␣q, p Ñ q
ñ Contre-exemple : paradoxe du barbier (Russel, 1903)
§ Complétude
‚ Toute proposition que l’on sait sémantiquement correcte
peut être dérivée par le système
ñ Exemple : calcul des prédicats du 1er ordre (Gödel, 1929)
ñ Contre-exemple : théorème d’incomplétude (Gödel, 1931)
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 28 / 32
Problème / exercice
Plan
1. Fondements de la logique
2. Formes normales
3. Dérivations logiques
4. Problème / exercice
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 29 / 32
Problème / exercice
Politiquement logique
§ Prouvez les assertions suivantes par réfutation
‚ Tout politicien ment, tu fais de la politique donc tu mens
‚ Tout politicien est menteur, tu ne ments pas, donc tu ne fais
pas de politique
‚ Je connais un politique qui ne ment pas : il n’est pas vrai
que tous les politiciens sont des menteurs
‚ Dans une démocratie, il y a des élections et des libertés et
dans une dictature, il n’y a ni l’un ni l’autre. Donc un
régime ne peut être à la fois démocratique et dictatorial
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 30 / 32
Problème / exercice
Cuisine logique
§ Sujet : un étudiant doit manger la veille d’un examen
§ Soient les (assertions) propositions suivantes
‚ (1) Je peux me faire des pâtes ou aller chercher une pizza
‚ (2) Tous les mardis et jeudis, il y a le camion à pizza
‚ (3) Si je mange mal et que je me couche tard je rate l’examen
‚ (4) Si je ne révise pas mon cours, je vais rater mon examen
‚ (5) Si je révise mon cours, je vais me coucher tard
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 31 / 32
Problème / exercice
Cuisine logique (suite)
§ Questions
‚ Traduire toutes les propositions en logique
‚ Donner les arbres d’expression des propositions (2) et (3)
‚ Mettre la formule (3) sous forme normale conjonctive
‚ Faire la table de vérité du (4), puis sa FNC par minmax
‚ Prouver par réfutation que le mercredi, l’étudiant mangera
nécessairement des pâtes
‚ Prouver que s’il veut réussir son examen, l’étudiant devra se
coucher tard
‚ En supposant qu’il ne sait pas cuisiner (les pâtes seront
ratées), que mangera l’étudiant si l’on est un jeudi et qu’il
veut réussir l’examen ?
‚ Que se serait-il passé si l’examen était un lundi ?
Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 32 / 32

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  • 1. Logique des propositions Damien Nouvel Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 1 / 32
  • 2. Fondements de la logique Plan 1. Fondements de la logique 2. Formes normales 3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 2 / 32
  • 3. Fondements de la logique Notions élémentaires § Le monde de la logique formelle classique ‚ Valeurs de vérité : vrai, faux ‚ Monde ouvert (non clos) ‚ Manipulation de propositions ñ Pas d’ambigüités (tiers exclu) ñ Monde discret (logique non floue) § Validité d’une proposition ‚ Syntaxique : est-elle bien formée ? ‚ Sémantique : a-t-elle du sens ? § Validité d’un raisonnement ‚ Prémisses : propositions en condition (antécédent) ‚ Conclusion : proposition en conséquence ñ Est-ce que les prémisses sont suffisantes (et nécessaires) ? Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 3 / 32
  • 4. Fondements de la logique Quelques exemples § Raisonnements non valides à divers niveaux ‚ Syntaxe ‚ Aristote mortel est ñ Syntaxe de la prédication ñ Contrainte liée au langage ‚ Sémantique ‚ Tout Socrates est mortel ñ Sémantique de la quantification ñ Contrainte liée au sens des symboles ‚ Raisonnement ‚ Tout chat est mortel ‚ Or Socrates est mortel ‚ Donc Socrates est un chat ?! ñ Règles d’inférence (déduction) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 4 / 32
  • 5. Fondements de la logique Formules bien formées § Langage formel ‚ Formules (dont variables atomiques) : p, q, r … ‚ Parenthèses (op. syntaxique) : ( et ) ‚ Négation (op. unaire) : ␣ (ou !, „, _ ) ‚ Connecteurs logiques (op. binaires) ‚ Conjonction, et : ^ (ou ., &) ‚ Disjonction, ou : _ (ou +, |) ‚ Implication : Ñ ‚ Équivalence : Ø ‚ Priorité (à gauche) des opérateurs : (, ), ␣, ^, _, Ñ, Ø ‚ Formules bien formées (définition récursive) ‚ Si p est une f.b.f. alors ␣pet(p) aussi ‚ Si p et q sont des f.b.f. alors p ^ q, p _ q, p Ñ q et p Ø q aussi ‚ Les autres formules ne sont pas bien formées ñ Syntaxe (hors-contexte) des formules logiques Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 5 / 32
  • 6. Fondements de la logique Arbre d’expression § Décomposition d’une formule sous forme d’arbre ‚ Éléments : nœuds (ronds) et arcs (traits) ‚ Relations entre nœuds : parent, enfant(s), frère(s) ‚ Position des nœuds : racine (haut) et feuilles (bas) ñ Description de la structure de l’expression ‚ Nœuds internes : opérateurs ‚ Feuilles : atomes § Exemple ‚ Formule : ␣p _ q ^ r ‚ Équivalente (priorité) à : ␣(p) _ ((q) ^ (r)) _ ␣ p ^ q r Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 6 / 32
  • 7. Fondements de la logique Assignations § Association de valeurs à des variables atomiques ‚ Les variables atomiques ne se décomposent pas ‚ Valeurs de vérité V, F (ou 1, 0, J, K) ñ Permet le calcul des formules ‚ Valeur de vérité pour chaque variable atomique ‚ Connecteurs logiques qui les séparent § Exemple ‚ Formule : ␣p _ q ^ r ‚ Assignation : p = V, q = V et r = V ‚ Calcul : ␣V _ V ^ V = F _ V ^ V = F _ V = V ‚ Assignation : p = V, q = F et r = V ‚ Calcul : ␣V _ F ^ V = F _ F ^ V = F _ F = F ‚ Assignation : p = F, q = F et r = F ‚ Calcul : ␣F _ F ^ F = V _ F ^ F = V _ F = V ñ Pour n variables, 2n assignations possibles Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 7 / 32
  • 8. Fondements de la logique Tables de vérité (assignations) Négation p ␣p V F F V Conjonction p q p ^ q V V V V F F F V F F F F Disjonction p q p _ q V V V V F V F V V F F F Implication p q p Ñ q V V V V F F F V V F F V Équivalence p q p Ø q V V V V F F F V F F F V Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 8 / 32
  • 9. Fondements de la logique Exercice § Ajouter les parenthèses, déterminer l’arbre d’expression et la table de vérité pour ‚ p ^ ␣q ‚ ␣(p _ q) ‚ p ^ ␣q _ ␣p ^ q ‚ ␣(p ^ q) _ (␣p ^ r) _ (p ^ ␣r) ‚ p Ñ q ^ r ‚ ␣p Ñ q ‚ (p Ñ q) ^ (q Ñ p) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 9 / 32
  • 10. Fondements de la logique Problème § Exprimez les relations entre les éléments suivants ‚ Transports : tbus, metro, tram, rer, voiture, taxi, velo, moto, pied, autolibu ‚ Motorisation : tmoteur, pedale, 2roues, 4rouesu ‚ Caractéristiques : tvehicule, elec, public, proprio, location, payant, gratuitu Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 10 / 32
  • 11. Fondements de la logique Problème § Exprimez les relations entre les éléments suivants ‚ Aliments : tsalade, carotte, herbe, steak, oeuf, lait, biscuit, compote, eau, jus, the, cafeu ‚ Mode d’alimentation : tcarnivore, herbivore, omnivore, vegetarien, veganu ‚ Moments d’alimentation : trepas, petitdej, dejeuner, diner, gouter, encasu ‚ Restauration : tmenu, cafegourmant, entree, plat, dessert, boissonu Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 11 / 32
  • 12. Formes normales Plan 1. Fondements de la logique 2. Formes normales 3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 12 / 32
  • 13. Formes normales Comparaison de formules ñ Quelles formules sont équivalentes ? ‚ Identiques p ^ q Ñ r et p ^ q Ñ r ‚ Identiques aux parenthèses près p ^ q Ñ r et (p ^ q) Ñ r ‚ Identiques à une commutation près p ^ q Ñ r et q ^ p Ñ r ‚ Et autres propriétés (associativité, distributivité, etc.) ‚ Pour toute assignation, les formules ont même valeur p ^ q Ñ r et ␣(p ^ q) _ r ‚ … ñ Notation avec ” ñ Méthode pour déterminer l’équivalence ? ñ Mettre les expressions sous forme normale Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 13 / 32
  • 14. Formes normales Équivalence de formules logiques Faux p ^ F ” F p _ F ” p Vrai p ^ V ” p p _ V ” V Contradiction p ^ ␣p ” F Tiers-exclus p _ ␣p ” V Double négation ␣␣p ” p Implication p Ñ q ” ␣p _ q Équivalence p Ø q ” (p Ñ q) ^ (q Ñ p) ” (p ^ q) _ (␣p ^ ␣q) Lois de De Morgan ␣(p _ q) ” ␣p ^ ␣q ␣(p ^ q) ” ␣p _ ␣q Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 14 / 32
  • 15. Formes normales Équivalence de formules logiques Idempotence p ^ p ” p _ p ” p Commutativité p ^ q ” q ^ p p _ q ” q _ p Associativité (p ^ q) ^ r ” p ^ (q ^ r) ” p ^ q ^ r (p _ q) _ r ” p _ (q _ r) ” p _ q _ r Distributivité p _ (q ^ r) ” (p _ q) ^ (p _ r) p ^ (q _ r) ” (p ^ q) _ (p ^ r) Absorption p _ (p ^ q) ” p p ^ (p _ q) ” p Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 15 / 32
  • 16. Formes normales Formes normales § Système suffisant de connecteurs : ␣, ^, _ ‚ Littéral : variable atomique ou sa négation (p ou ␣p) ‚ Formes normales ‚ Conjonctive (FNC) : conjonction de disjonctions de littéraux (p _ q) ^ (p _ ␣r) ‚ Disjonctive (FND) : disjonction de conjonctions de littéraux (p ^ q) _ (p ^ ␣r) ‚ Mise sous forme normale ‚ Suppression des connecteurs Ñ, Ø ‚ Réduction des négations (doubles négations, lois De Morgan) ‚ Distributivité, commutativité, absorption § Exemple (FNC) ‚ ␣p Ñ (q ^ r) ” ␣␣p _ (q ^ r) ” p _ (q ^ r) ” (p _ q) ^ (p _ r) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 16 / 32
  • 17. Formes normales Exercice § Mettre sous FNC les formules ‚ ␣(p ^ q) ‚ p _ q ^ r ‚ (p Ñ q) ^ (p Ñ r) ‚ p _ ␣(q ^ r) ‚ q Ñ ␣p ^ ␣q _ r ‚ (p Ñ q) ^ ␣(q Ñ p) ‚ (␣p ^ q) _ r ‚ p Ø q ‚ ␣(p _ q) _ (p ^ r) ‚ (p _ q) Ñ r ‚ (␣p Ñ q) Ñ r Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 17 / 32
  • 18. Formes normales Exercice § Mettre sous FND les formules ‚ ␣(p Ñ q) ‚ p ^ ␣(q ^ r) ‚ p ^ (p Ñ q) § Dire si les équivalences suivantes sont justes ‚ p ^ q _ r ” ␣(p Ñ ␣q) _ r ‚ ␣(p _ q ^ ␣r) ” ␣p ^ ␣q _ r Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 18 / 32
  • 19. Formes normales Problème § Mettre sous forme logique puis en FNC les propositions ‚ Un objet qui n’est ni solide ni gazeux est liquide ‚ Il est faux de dire qu’on peut être grand et petit ‚ Il n’existe pas de planète qui ne soit ronde ‚ Chacun est humain et homme ou humain et femme ‚ Si on est riche ou beau alors on ne peut être malheureux ‚ Si être riche rend bête, et être bête rend heureux, alors être riche rend heureux ‚ On ne peut être bête et malheureux si on est riche Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 19 / 32
  • 20. Formes normales Méthode des mintermes / maxtermes § Trouver une formule à partir de sa table de vérité ‚ Calcul des (min/max)termes pour les formes normales ‚ FND ‚ Minterme : pour V, conjonction des littéraux ‚ Formule comme disjonction des mintermes ‚ FNC ‚ Maxterme : pour F, disjonction des négations de littéraux ‚ Formule comme conjonction des maxtermes ‚ Exemple p q formule min/max terme V V V min p ^ q V F F max ␣p _ q F V V min ␣p ^ q F F F max p _ q ñ FND : (p ^ q) _ (␣p ^ q) ñ FNC : (␣p _ q) ^ (p _ q) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 20 / 32
  • 21. Formes normales Exercice § Donnez par la méthode des mintermes / maxtermes la FNC et la FND pour la table de vérité suivante p q r formule V V V F V V F V V F V F V F F F F V V V F V F V F F V F F F F V § Quelqu’un dit « Être héritier ou travailler permet de ne pas être pauvre », traduisez cette proposition sous forme logique, donnez sa table de vérité, puis calculez sa FNC et FND. Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 21 / 32
  • 22. Dérivations logiques Plan 1. Fondements de la logique 2. Formes normales 3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 22 / 32
  • 23. Dérivations logiques Théorèmes et démonstrations § Système logique ‚ Théorèmes : formules admises ou démontrées ‚ Les formules admises (faits ou règles) sont des axiomes ‚ Symbole de la dérivation logique : $ ‚ Utilisation de règles d’inférence (prémisses Ñ conclusion) ‚ Mécanismes d’interprétation des formules ñ Le système est-il consistant, complet ? § Règles d’inférences ‚ Modus ponens : p, p Ñ q $ q ‚ Modus tollens : p Ñ q, ␣q $ ␣p ‚ Autre notation p p Ñ q q (modus ponens) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 23 / 32
  • 24. Dérivations logiques Théorèmes et démonstrations § Exemple d’inférence logique ‚ Axiomes ‚ $ ␣(p ^ q) ‚ $ p ‚ $ r Ñ q ‚ $ r Ø s ñ On peut inférer : ␣r ñ On peut inférer : ␣s Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 24 / 32
  • 25. Dérivations logiques Interprétations et modèles § Interprétations ‚ Lien entre sémantique et assignations ñ Une formule peut être ‚ Valide : vraie quelle que soit l’interprétation (tautologie) ‚ Satisfiable : au moins une interprétation qui la rend vraie ‚ Contingente : satisfiable et une interprétation la rend fausse ‚ Insatisfiable : aucune interprétation ne la rend vraie § Modèles de formule ‚ Interprétations qui rendent la formule vraie ñ En calcul des propositions, interprétations dans {V,F} ñ Approfondissement : logique des prédicats (quantification) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 25 / 32
  • 26. Dérivations logiques Résolution par réfutation § Principe de la réfutation (absurde / apagogie) ‚ Démontrer que q est la conséquence logique de p1, p2 . . . pn ” démontrer que p1, p2 . . . pn $ q ” démontrer que ␣(p1 ^ p2 . . . pn) _ q est valide ” démontrer que ␣(␣(p1 ^ p2 . . . pn) _ q) est insatisfiable ” démontrer que p1 ^ p2 . . . pn ^ ␣q est insatisfiable § Exemple ‚ Axiomes ‚ $ (p Ñ q) _ (p Ñ r) (1) ‚ $ p ^ ␣q (2) ‚ Démonstration que 1, 2 $ r par réfutation ‚ ((p Ñ q) _ (p Ñ r)) ^ (p ^ ␣q) ^ ␣(r) ” (␣p _ q _ ␣p _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r) ” (␣p _ q _ r) ^ (p ^ ␣q ^ ␣r) ” (␣p _ q _ r) ^ ␣(␣p _ q _ r) …(contradiction A ^ ␣A) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 26 / 32
  • 27. Dérivations logiques Exercice § Montrer par réfutation ‚ (p Ñ ␣q), q $ ␣p ‚ (␣p _ ␣q), p $ ␣q ‚ (p _ q), (p _ r), (p _ s), ␣p $ q ^ r ^ s ‚ (␣p Ñ ␣q) $ (q Ñ p) ‚ p Ñ q, q Ñ r $ p Ñ r ‚ ((p Ñ r) _ (q Ñ r)), ␣r $ (␣p _ ␣q) ‚ p _ q Ñ r, p _ s, ␣s $ r Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 27 / 32
  • 28. Dérivations logiques Complétude et cohérence des systèmes logiques § Cohérence (ou consistance) ‚ Il n’existe aucune formule telle qu’elle même et sa négation soient conséquences du système ñ Programme de Hilbert (Hilbert, 1900) ñ Contre-exemple : p, ␣q, p Ñ q ñ Contre-exemple : paradoxe du barbier (Russel, 1903) § Complétude ‚ Toute proposition que l’on sait sémantiquement correcte peut être dérivée par le système ñ Exemple : calcul des prédicats du 1er ordre (Gödel, 1929) ñ Contre-exemple : théorème d’incomplétude (Gödel, 1931) Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 28 / 32
  • 29. Problème / exercice Plan 1. Fondements de la logique 2. Formes normales 3. Dérivations logiques 4. Problème / exercice Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 29 / 32
  • 30. Problème / exercice Politiquement logique § Prouvez les assertions suivantes par réfutation ‚ Tout politicien ment, tu fais de la politique donc tu mens ‚ Tout politicien est menteur, tu ne ments pas, donc tu ne fais pas de politique ‚ Je connais un politique qui ne ment pas : il n’est pas vrai que tous les politiciens sont des menteurs ‚ Dans une démocratie, il y a des élections et des libertés et dans une dictature, il n’y a ni l’un ni l’autre. Donc un régime ne peut être à la fois démocratique et dictatorial Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 30 / 32
  • 31. Problème / exercice Cuisine logique § Sujet : un étudiant doit manger la veille d’un examen § Soient les (assertions) propositions suivantes ‚ (1) Je peux me faire des pâtes ou aller chercher une pizza ‚ (2) Tous les mardis et jeudis, il y a le camion à pizza ‚ (3) Si je mange mal et que je me couche tard je rate l’examen ‚ (4) Si je ne révise pas mon cours, je vais rater mon examen ‚ (5) Si je révise mon cours, je vais me coucher tard Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 31 / 32
  • 32. Problème / exercice Cuisine logique (suite) § Questions ‚ Traduire toutes les propositions en logique ‚ Donner les arbres d’expression des propositions (2) et (3) ‚ Mettre la formule (3) sous forme normale conjonctive ‚ Faire la table de vérité du (4), puis sa FNC par minmax ‚ Prouver par réfutation que le mercredi, l’étudiant mangera nécessairement des pâtes ‚ Prouver que s’il veut réussir son examen, l’étudiant devra se coucher tard ‚ En supposant qu’il ne sait pas cuisiner (les pâtes seront ratées), que mangera l’étudiant si l’on est un jeudi et qu’il veut réussir l’examen ? ‚ Que se serait-il passé si l’examen était un lundi ? Damien Nouvel (Inalco) Logique des propositions 32 / 32