Chapitre vi np complétude

Université Saad Dahleb de Blida

Faculté des Sciences
Département d’Informatique

Licence Génie des Systèmes Informatique (GSI)
Semestre 5 (3ème année)

ALGORITHMIQUE 02

CHAPITRE VI:
NP-COMPLÉTUDE
AROUSSI
2013-2014

Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/

PLAN DU CHAPITRE VI
 Introduction

(Vocabulaire Général)

 Classification

 Notion

de Réduction

 Théorie

de NP-Complétude

 Quelques


de Problème

Problèmes NP-Complets

Conclusion

2

INTRODUCTION
PROBLÈME DE DÉCISION


Pour des raisons de simplicité et techniques, la théorie de
la NP-Complétude se limite à l’étude des problèmes de

décision dont la solution est formulée en termes
oui/non.


Un problème de décision est une paire P =(X,Y), où


X est l’ensemble des instances de P ;



Y est l’ensemble des instances-«oui»



X Y est l’ensemble des instances-«non»
3

INTRODUCTION
PROBLÈME DE DÉCISION


Un algorithme pour un problème de décision (X,Y) est un
algorithme qui calcule la fonction F : X →{0, 1}, définie

par



Cette restriction aux problèmes de décision est justifiée
par le fait que les autres problèmes qui ne sont pas de

décision, comme les problèmes d’optimisation et de
recherche, peuvent être facilement transformés en un
problème de décision équivalent.

4

INTRODUCTION
PROBLÈME DE DÉCISION VS AUTRES PROBLÈMES


Problème de Recherche:

Exemple

Entrée

Réponse

Algorithme de recherche
(Trouver un arbre recouvrant)

G (X, E) non
orienté

Arbre recouvrant

Algorithme de décision
(Existence d’un arbre recouvrant)

G (X, E) non
orienté

Oui/Non

Réduction de la recherche à la décision par test
d'hypothèse (La connexité de G)
5

INTRODUCTION
PROBLÈME DE DÉCISION VS AUTRES PROBLÈMES


Problème d’Optimisation:

Exemple

Entrée

Réponse

Algorithme d’optimisation
(Trouver un arbre recouvrant de poids
minimum)

G (X, E, W)
non orienté

Arbre
recouvrant
minimum

Algorithme de décision
(Existence d’un arbre recouvrant de poids
 k)

G (X, E, W)
non orienté

Oui/Non

Lorsque le critère d'optimisation est borné a priori,
réduction de l'optimisation à la décision par test
d'hypothèse (La connexité de G et le poids de l’arbre
recouvrant).

6

INTRODUCTION
ALGORITHME DÉTERMINISTE VS NON-DÉTERMINISTE


Un algorithme déterministe est un algorithme dont la
solution qu’il produit peut être déduite des spécifications
de l’algorithme lui-même.



Un algorithme non déterministe est un algorithme dont

la solution est devinée puis vérifiée.

7

INTRODUCTION
ALGORITHME EFFICACE


Pour différentes raisons, la convention suivante s’est
imposée en informatique :

Un algorithme est efficace (ou facile) si sa complexité en
temps est polynomiale, c’est-à-dire en O(nk) pour un entier

k.


Un problème est de complexité polynomiale s'il existe un
algorithme de complexité polynomiale le résolvant.

8

CLASSIFICATION DES PROBLÈMES
CLASSE P


La classe P regroupe tous les problèmes de décision qui
peuvent être résolus par un algorithme déterministe de
complexité polynomiale.



Exemple:


Problème de l’existence de l’arbre de recouvrement de poids  k
(Algorithme de Kruskal)



9
Problème de l’existence d’un chemin de longueur  k (Algorithme

de Dijkstra)

CLASSE NP


La classe NP (Non deterministic Polynomial) regroupe

tous les problèmes de décision qui peuvent être résolus
par un algorithme non-déterministe de complexité
polynomiale (i.e. dont la solution peut être vérifiée en

temps polynomial)


Pour montrer qu’un problème est dans la classe
NP, il suffit de trouver un algorithme qui vérifie si une sol
ution donnée est valide en temps polynomiale.
10

CLASSE NP


Problème 1: Problème de Satisfaction en calcul

propositionnel (SAT)


Soit F = (x1, ...., xn) une formule du calcul propositionnel
en Forme Normale Conjonctive, i.e. F = C1  C2  .....  Cm
pour une collection de clauses {C1, C2, ....., Cm} sur l’

ensemble X = {x1, ...., xn } de variables booléennes
(littéraux).


Décider si F est satisfiable, c-à-d décider s’il existe x1, ....,

xn  {0, 1}n tel que F s’évalue en vraie pour cette valeur 11
de
ses variables (toutes les clauses de C soient vraies).

CLASSE NP


Problème 2: Problème de K-SAT (k>2)



Soit F = (x1, ...., xn) une formule du calcul propositionnel

en Forme Normale Conjonctive, i.e. F = C1  C2  .....  Cm
pour une collection de clauses {C1, C2, ....., Cm} sur
l’ensemble X = {x1, ...., xn } tel que chaque clause

contient exactement k littéraux |Ci| = k.


Décider si F est satisfiable, c-à-d décider s’il existe x1, ....,
xn  {0, 1}n tel que F s’évalue en vraie pour cette valeur de
ses variables (toutes les clauses de C soient vraies).

12

CLASSE NP


Problème 3: Problème de sac à dos entier



Soient un ensemble d’objets avec un poids Pi et une
valeur Vi, une capacité de sac à dos Pmax et un objectif de
valeur Vmax.



Déterminer s’il existe un ensemble d’objets dont le poids
total  Pmax et la valeur totale  Vmax.
13

CLASSE NP


Problème 4: Problème du cycle hamiltonien


Soit G = (X, E) un graphe non orienté



Déterminer s’il existe un cycle hamiltonien, c’est-à-dire décider

s’il existe un chaîne de G passant une fois et une seule par
chacun des sommet et revenant à son point de départ.


Variantes:

chaîne

hamiltonien,

hamiltonien, chemin hamiltonienne.

circuit
14

CLASSE NP


Problème 5: Problème de voyageur de commerce
(PVC)


Un représentant doit visiter n villes. Il souhaite faire une tournée

en visitant chaque ville exactement une fois et en terminant sa
tournée dans la ville de départ.


Le voyage entre la ville i et la ville j a un coût c (i, j), et le
représentant souhaite effectuer une tournée dont le coût total est
15

minimum.

CLASSE NP


Problème 5: Problème de voyageur de commerce
(PVC)


Le problème de décision correspondant est:


Soit un graphe G= (V, E, C) non orienté.



Décider s’il existe une tournée de coût  k.

16

CLASSE NP


Problème 6: Problème de Coloriage de Graphe


Étant donnée le graphe G = (X, E) non orienté,
déterminer le nombre minimal de couleurs pour
colorier les sommets X du G tel que deux sommets
adjacent soient de couleur différente.
17

CLASSE NP


Problème 6: Problème de Coloriage de Graphe



Le problème de décision correspondant est:


Soient un graphe G = (X, E) et un entier k



Déterminer si le graphe G admet un coloriage avec au
moins de k couleurs.



Ce problème de décision est connu sous le nom du
18

problème K-Coloriabilité

COMPARAISON ENTRE LES DEUX CLASSES P ET NP


Clairement, P  NP mais la question qui se pose est :

P = NP ?



C’est l’une des questions (voire la question) non résolue les
plus célèbres qui défie les chercheurs depuis plus de 40 ans :

elle a été placée parmi la liste des sept problèmes du prix du
millénaire réputés insurmontables posés par le l’institut Clay

Mathematical en 2000. L’institut offre un million de dollars
à qui déterminerait la réponse à cette question.

19

COMPARAISON ENTRE LES DEUX CLASSES P ET NP


Clairement, P  NP mais la question qui se pose est :

P = NP ?



Intérêt: Si P = NP, alors tous les problèmes vérifiables
polynomialement seraient décidables en temps polynomial.



La plupart des personnes pensent que ces deux classes sont
distinctes car il y a un très grand nombre de problèmes pour
lesquels on n’arrive pas à produire d’algorithme polynomiaux
depuis plus de 40 ans.

20

NOTION DE RÉDUCTION
IDÉE


Soient A et B deux problèmes. Si A se réduit à B (noté A

 B) , alors


le problème A est plus facile que le problème B, ou



le problème B est plus difficile que le problème A.

21

DÉFINITION


Soient A (XA, YA) et B (XB, YB) deux problèmes de

décision. Une réduction de A vers B (A  B) est une
fonction R : XA  XB calculable en temps polynomial telle
que

aYA ssi R(a) YB :

R

22

PROPRIÉTÉS


Soient A (XA, YA), B (XB, YB) et C (XC, YC) des problèmes
de décision.


AA



A  B et B  C impliquent A  C.



A  B

et B  A

impliquent A  B (A et B sont

équivalents).
23

APPLICATION À LA COMPARAISON DE DIFFICULTÉ


Intuitivement, si un problème est plus facile qu’un
problème polynomial, alors il est polynomial.



Formellement :


Si A  B, et si B  P alors A  P.



Si A  B, et si A  P alors B  P.

24

THÉORIE NP-COMPLÉTUDE
DÉFINITION


Un problème B est dit NP-complet, si
1.
2.



B  NP
 A  NP, A  B.

Les problèmes NP-complets sont donc les plus difficiles de
la classe NP.

25

PREUVE


Pour prouver la NP-complétude d’un problème B, il suffit
de prouver que :
1.

B est dans NP;

2.

A  B pour un problème A que l’on sait déjà NPcomplet.



La difficulté est d’arriver à en produire un premier
26

problème NP-Complet.

PROBLÈME 1: SAT


Théorème 1 (Cook-Levin, 1971): Le problème SAT est

NP-complet.


Le problème SAT est le premier problème montré comme
NP-complet.



Résultat admis: la preuve consiste en un codage d'une

machine de Turing qui vérifie les solutions de P en temps
polynomial.


Ce théorème va être utilisé pour en montrer par réduction

d’autres problèmes NP-Complet.

27

PROBLÈME 2: 3-SAT


Théorème 2 (Cook-Levin, 1971): Le problème de 3SAT est NP-Complet.



Preuve 2: Il faut montrer que :
1.

3-SAT est dans NP;

2.

SAT  3-SAT (réduire SAT à 3-SAT).

Fsat

R

F3-sat

F3-sat
est elle
satisfiable?

Oui
28

Non

PREUVE 2 : LE PROBLÈME DE DE 3-SAT EST NP-COMPLET


Preuve 2: SAT  3-SAT (réduire SAT à 3-SAT).



Toute clause du problème SAT peut être remplacée de manière
équivalente par un ensemble de clauses 3-SAT qui contiennent
chacune exactement trois littéraux.

29






Toute clause du problème SAT peut être remplacée de manière
équivalente par un ensemble de clauses 3-SAT qui contiennent
chacune exactement trois littéraux.

30






La

satisfiabilité

des

clauses

Z’

est

donc

équivalente

à

la

satisfaisabilité de l’ensemble initiale Z.


La réduction est manifestement polynomiale ; on a donc bien prouvé
que SAT se réduisait à 3-SAT; ce dernier est donc bien NP-complet

31

PROBLÈME 3: 3-COLORIABLE


Théorème 3: Le problème de 3-Coloriable est NPComplet.



1.

3-Coloriable est dans NP;

2.

3-SAT  3-Coloriable (réduire 3-SAT à 3-Coloriable).

F3-sat

R

G = (V, E)

G
est il 3Coloriable
?

Non

Oui
32

PREUVE 3 : LE PROBLÈME


DE

3-COLORIABLE EST NP-COMPLET

Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable.

On construit un graphe ayant 3 + 2 n + 5 m sommets tels que:


Les trois premiers sont notés VRAI, FAUX, NSP. Ces trois sommets
sont reliés deux à deux en triangle, de sorte qu’ils doivent être tous

trois

de

couleurs

différentes.

On

appellera

les

couleurs

correspondantes CVRAI(e.g. vert), CFAUX(e.g. rouge), CNSP (e.g. bleu)
NSP

VRAI

FAUX

33



DE





On associe un sommet à chaque variable (Xi) et au complémentaire
de chaque variable (Not Xi). Pour assurer qu’une variable prenne la

valeur VRAI ou FAUX, pour chaque variable xi on construit un
triangle dont les sommets sont Xi, NOT Xi, et NSP.
NSP

Xi

NSP

Not
Xi

Xi

Not
Xi

34



DE





Pour chaque clause {A, B, C}, on introduit le motif :
A

3
2

B

4

C



0

Ce motif sous graphe est 3-coloriable

VRAI

1

35



DE





Ce motif est 3-coloriable

A

3
2

B

CVRAI ou CFAUX
A

CVRAI ou CFAUX C

4

VRAI

C

1

3
2

B

0

0

4

VRAI

1

36




DE




Ce motif est 3-coloriable

A

3
2

CVRAI ou CFAUX

B

4

VRAI

C
CVRAI ou CFAUX

A

C

1

3
2

B

0

0

4

VRAI

1

37


DE







Considérons alors le graphe formé des trois sommets distingués, des
triangles formés sur les variables, et des motifs donnés. Si ce graphe
est 3-coloriable, alors en particulier tout sous-graphe est coloriable.



À partir d’une 3-coloration du graphe, on construit une affectation de
valeurs de vérité en mettant à 1 toutes les variables coloriées par

CVRAI.

Cette affectation est cohérente (une variable et son

complémentaire ont bien une valeur opposée) et au moins une
variable par clause est à 1.


Inversement, étant donné une affectation de valeurs de vérité, il est
38
aisé de déduire une 3-coloration du graphe.


DE







L’existence d’une 3-coloration du graphe est donc
équivalente à la satisfaisabilité de la formule initiale.



La réduction est manifestement polynomiale ; on a donc
bien prouvé que 3-SAT se réduisait à 3-COLORABILITE ;
ce dernier est donc bien NP-complet.
39

PROBLÈME 4: CYCLE HAMILTONIEN


Théorème 4 (Karp, 1972): Le problème de Cycle
Hamiltonien est NP-Complet.



1.

Cycle Hamiltonien est dans NP;

2.

Plusieurs méthodes:
a.

3-SAT  Cycle Hamiltonien.

b.

3-SAT  Recouvrement de Sommets Cycle Hamiltonien

c.

40

3-SAT  Stable  Recouvrement de Sommets  Cycle
hamiltonien

PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET


Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) :

3-SAT  Cycle Hamiltonien.
F3-sat

R

G = (V, E)

G
contient il
un C. H?

Oui

Non

41






On construit le graphe de la manière suivante:



Pour chaque variable, on introduit le sous graphe suivant:
X

Not X


Chaque nouvelle variable est liée à la précédente
X1

X2

Xn
42







Pour chaque clause, on introduit la structure B :

Aucun cycle hamiltonien de
G ne peut traverser à la fois

L1, L2 et L3.

U'

L3

L2

L1

U

43







Les clauses sont liées comme suit:

C1

X1

C2

X2

Cm

Xn
44







Les littéraux de chaque clause sont liés aux variables la structure A
suivante:

45






Par exemple, le graphe suivant présente ces clauses

C1

C2

A
A

A

C3
A

A

A
A

A
X1

A
46

X2

X3






Nous affirmons maintenant que G est hamiltonien si et seulement si
F3-sat est satisfaisable. Soit C un cycle hamiltonien. On définit un
assignement en fixant un littéral à vrai si et seulement si C contient
l’arête correspondante. D’après les propriétés des structures A et B,
chaque clause contient un littéral qui est vrai.



Inversement, tout assignement satisfaisant définit un ensemble
d’arêtes qui correspondent à des littéraux qui sont vrai. Comme
chaque clause contient un littéral qui est vrai, cet ensemble d’arêtes
peut être complété en un cycle hamiltonien de G.



Enﬁn, la réduction est trivialement polynomiale.

47

PROBLÈME 5: PVC


Théorème

5:

Le

problème

du

voyageur

de

Commerce (PVC) est NP-Complet.


1.

2.



PVC est dans NP;
Cycle Hamiltonien  PVC.

Le problème PVC revient à trouver un cycle hamiltonien
48

C dont la somme des poids des arêtes soit minimum.

PROBLÈME 6: SAC À DOS


Théorème 6: Le problème du sac à dos est NPComplet.




1.

Sac à Dos est dans NP;

2.

3-SAT  Stable 

Recouvrement des sommets 

Somme de sous ensemble  Sac à dos
49

PREUVE 6 : LE PROBLÈME DE SAC À DOS EST NP-COMPLET


Preuve 6: 3-SAT  Stable 

Recouvrement des

sommets  Somme de sous ensemble  Sac à dos.


Théorème 6.1 (Karp, 1972): Le problème du stable est NP-

Complet.


Théorème 6.2 (Karp, 1972): Le problème du recouvrement des
sommets est NP-Complet.



Théorème 6.3 (Karp, 1972): Le problème de somme de sous
50

ensemble est NP-Complet.

PROBLÈME 6.1: STABLE


Soit un graphe non orienté G et un entier k. Le problème
consiste à décider s’il existe un ensemble d'au moins k
sommets, ne contenant aucune paire de sommets voisins.



On appelle un tel ensemble un stable ou un ensemble

indépendant de G.
51

PROBLÈME 6.1: STABLE


Théorème 6.1 (Karp, 1972): Le problème du stable
est NP-Complet.



Preuve 6.1: Il faut montrer que :

1.

Stable est dans NP;

2.

3-SAT  Stable.
F3-sat

R

G = (V, E)

G
contient il un
stable de
taille k?

Oui
52

Non

PREUVE 6.1 : LE PROBLÈME DE STABLE EST NP-COMPLET


Preuve 6.1: 3-SAT  Stable



On construit un graphe G avec 3m sommets (m le nombre
des clauses):



Pour chaque littéral xi, G possède une arête entre chaque
sommet associé à un littéral xi et chaque sommet associé

à un littéral not xi


Xi

Not
Xi

Ainsi, un stable de G correspond à une affectation de
valeurs de vérité à une partie des variables;
53






On construit un graphe G avec 3m sommets (m le nombre
des clauses):



Pour chaque clause C = L1  L2  L3, on associe un
triangle.

L1

L3


Ainsi,

L2

un stable de G contient au plus un des trois

sommets associés à la clause C

54






Par exemple, le graphe suivant présente ces clauses

X1

Not
X2

Not
X1
Not
X3

X2

Not
X3

Not
X1

X3

Not
X2

55






Soit m le nombre de clauses dans F. On démontre que F
est satisfiable ssi G possède un stable de taille m.



En effet, si F est satisfiable, on considère une assignation
des variables satisfaisant F. Pour chaque clause C de F,
on choisit un littéral de C rendu vrai par l’assignation :
cela définit m sommets formant un stable de G.

56






Réciproquement, si G a un stable de taille m, alors il a
nécessairement un sommet dans chaque triangle. Ce
sommet correspond à un littéral rendant la clause
associée vraie, et forme une assignation des variables
cohérente par construction des arêtes.



La réduction est clairement polynomiale.

57

PROBLÈME 6.2: RECOUVREMENT DES SOMMETS


Soit un graphe non orienté G et un entier k. Le problème
consiste à décider s’il existe un ensemble d'au plus k
sommets couvrants toutes les arêtes (au moins une des 2

extrémités est couverte).


Théorème

6.2

(Karp,

1972):

Le

problème

du

recouvrement des sommets est NP-Complet.
58

PROBLÈME 6.2: RECOUVREMENT DES SOMMETS



1.

Stable est dans NP;

2.

Stable  Recouvrement des sommets.



Le problème recouvrement des sommets est équivalent
au problème stable par passage au complémentaire:

Si G = (V, E) admet un stable X de taille k alors V-X
59

est un couvrant de taille n-k de G.

PROBLÈME 6.3: SOMME DE SOUS ENSEMBLE


Soit un ensemble fini d'entiers E et un entier t. Le
problème consiste à décider s’il existe un sous ensemble
E’ E tel que



Théorème 6.2 (Karp, 1972): Le problème de somme

de sous ensemble est NP-Complet.
60




1.

Stable est dans NP;

2.

Recouvrement des sommets  Somme de sous ensemble.

Un graphe
G = (A, B)

R

Oui
Un ensemble
d’entier E et
un entier t

?

Non
61



Preuve 6.3: Recouvrement des sommets  Somme

de sous ensemble.


Numéroter les sommets (A) entre 0 et n-1 et les arêtes (B) entre 0 et
m-1.



Soit D = (dij) la matrice d’incidence arête-sommet, c.-à-d.: que dij = 1
si l’arête i est incidente au sommet j, dij = 0 sinon.



Construire l'ensemble E à partir de G comme suit:



Pour chaque arête i est associé l'entier bi (b4)



Pour chaque sommet j est associé un poids aj tel que:

62




de sous ensemble.


Construire l'ensemble E à partir de G comme suit:



Pour chaque arête i est associé l'entier bi (b4)



Pour chaque sommet j est associé un poids aj tel que:



On construit l'entier t :
63




de sous ensemble.
1.

Pour tout sous-ensemble E’ de somme t, il y a k termes
correspondant à des sommets dans E’.

2.

Inversement, étant donnée une couverture de sommets,

on construit l’ensemble E’ en prenant tout simplement
les sommets de la couverture.
3.

Il est facile de voir que la réduction s’effectue en temps

polynomial.

64

PROBLÈME 6: SAC À DOS


Théorème 6: Le problème du sac à dos est NPComplet.




1.

Sac à Dos est dans NP;

2.

Somme de sous ensemble  Sac à dos



En particulier pour ai = pi et Pmax = Vmax = t, on trouve
65

problème de somme de sous ensemble.

SOURCES DE CE COURS


Olivier Bournez, Fondements de l’informatique Logique, modèles, et calculs,

Chapitre 12: Quelques problèmes NP-complets, Cours INF423 de l’Ecole
Polytechnique, 2013, pp. 234.


Jean Fonlupt et Alexandre Skoda. Optimisation combinatoire – Théorie et

algorithmes, Chapitre 15: NP-complétude, 2010, 664p.


Gilles Schaeffer, Cours 4: Réduction et NP-complétude, 2010, pp. 124,
Disponible

sur

http://www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF550/Cours1011/
INF550-2010-5.pdf


Johanne Cohen, La NP-complétude, PRISM/CNRS, 2012, pp. 95, Disponible
66

sur http://www.prism.uvsq.fr/~joco/enseignement/Complexite.pdf

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