Quelques points sur les métaheuristiques

Quelques points sur les Métaheuristiques
Bensmaine Abderrahmane
Laboratoire MELT
Mercredi 13 Juin 2018
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Concepts de base des métaheuristiques
Gestion des contraintes
Recuit simulé
1 Concepts de base des métaheuristiques
Le besoin
Représentation des solutions
Fitness
2 Gestion des contraintes
Stratégie de réparation
Stratégie de rejet
Stratégie de pénalisation
Stratégie préventive
Stratégie basée sur le décodage
3 Recuit simulé
Principe
Algorithme
Bensmaine Abderrahmane Quelques points sur les Métaheuristiques 2 / 26

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Optimisation non basée sur le gradient
L’optimisation basée sur le gradient impose une contrainte
très forte : La fonction objectif doit être dérivable

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Optimisation non basée sur le gradient
L’optimisation basée sur le gradient impose une contrainte
très forte : La fonction objectif doit être dérivable
Une des méthodes les plus basiques qui permet de résoudre un
problème d’optimisation sans contrainte de dérivabilité est la
recherche locale, Hill Climbing en anglais

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Recherche locale
1 Générer une (ou plusieurs) solution initiale réalisable

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Recherche locale
Tout élément appartenant à l’espace de recherche est solution
réalisable

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Recherche locale
réalisable
2 « Déformer » aléatoirement la solution actuelle pour en faire
une nouvelle (voisine) qui ne soit pas très diﬀérente de
l’actuelle

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Recherche locale
réalisable
l’actuelle
3 Comparer la qualité des deux solutions ancienne et nouvelle
pour ne garder que la meilleure, qui deviendra solution actuelle

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Recherche locale
réalisable
l’actuelle
3 Comparer la qualité des deux solutions ancienne et nouvelle
pour ne garder que la meilleure, qui deviendra solution actuelle
4 Aller à l’étape 2

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Algorithme de la recherche locale
1 : s ← s0
2 : répéter
3 : s′ ← Déformer(s)
4 : si f (s′) < f (s) alors
5 : s ← s′
6 : ﬁn si
7 : jusqu’à Critère d’arrêt

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Limites
Inconvénient majeur
La recherche locale risque de stagner dans un minimum local

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Limites
Inconvénient majeur
La recherche locale risque de stagner dans un minimum local
M1
M2
M3
M4
x
f(x)

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Recuit simulé
Le besoin
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Explication
M1
M2
M3
M4
x
f(x)

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Explication
M1
M2
M3
M4
x
f(x)
Si une solution s atteint un minimum local, M2 par exemple,
chaque s′ voisine générée sera d’une qualité inférieure, et donc
la recherche ne progressera pas

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Explication
M1
M2
M3
M4
x
f(x)
Si une solution s atteint un minimum local, M2 par exemple,
chaque s′ voisine générée sera d’une qualité inférieure, et donc
la recherche ne progressera pas
Les métaheuristiques se présentent comme approches
sophistiqués avec des mécanismes spéciﬁques qui permettent
de s’échapper des minima locaux.

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Quand utiliser les Métaheuristiques
Les principaux cas où l’utilisation des métaheuristique est justiﬁée
peuvent se résumer dans :

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Recuit simulé
Le besoin
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Un problème facile avec une grande instance

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Recuit simulé
Le besoin
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Un problème facile avec une contrainte temps-réel forte

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Un problème diﬃcile avec une instance de taille
modérée/grande

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Recuit simulé
Le besoin
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Un problème diﬃcile avec une instance de taille
modérée/grande
Modèles non analytiques (boite noire) de problèmes
d’optimisation qui ne peuvent être résolus de manière
exhaustive.

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Codage
Une métaheuristique nécessite une représentation (codage) d’une
solution. Le choix de l’encodage joue un rôle majeur dans
l’eﬃcacité des métaheuristiques
Les représentations les plus répandues sont :

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Codage
Codage binaire

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Codage
Codage binaire
Codage en nombre entier

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Codage
Codage binaire
Codage en nombre réel

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Codage
Codage binaire
Codage en nombre réel
Codage avec permutation

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Fitness
Chaque solution dans l’espace de recherche possède une
ﬁtness qui mesure sa qualité

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Fitness
La ﬁtness va guider la recherche vers les bonnes directions et
les bonnes solutions

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Fitness
Il suﬃt en général de considérer la valeur de la fonction
objectif comme ﬁtness d’une solution

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Fitness
Il suffit en général de considérer la valeur de la fonction
objectif comme fitness d’une solution
Il existe des situations où il est préférable d’utiliser une fitness
qui se base sur d’autres indicateurs que la fonction objectif
initiale.

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Recuit simulé
Le besoin
Fitness
Example (Problème SAT)
Le problème SAT est un problème de décision qui détermine s’il
existe une assignation des variables rendant une formule logique
donnée vraie. formule vraie. Par exemple
f = (v1 ∨ ¬v4) ∧ (v1 ∨ v2 ∨ v3) ∧ (v1 ∨ v3 ∨ v4) (1)
Maximiser f consiste à trouver une solution s∗ = (v∗
1 , v∗
2 , v∗
3 , v∗
4 )
tel que f (s∗) = 1. Le problème avec cette fonction objectif est que
toute solution non optimale s donne toujours f (s) = 0, ce qui fait
qu’on ne peut pas dire si l’algorithme d’optimisation est en train
d’améliorer ou détériorer une solution que si elle est optimale, et
par conséquent la recherche devient aveugle car elle n’est pas
guidée.

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Recuit simulé
Stratégie de rejet

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Cette stratégie consiste en des algorithmes heuristiques
transformant une solution irréalisable en une solution réalisable.
Les heuristiques de réparation sont spéciﬁques au problème
d’optimisation en question, et leurs qualités sont cruciales pour le
succès de cette stratégie.

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Stratégie de rejet
La stratégie de rejet est une approche simple, où seules des
solutions réalisables sont conservées pendant la recherche, alors
que les solutions irréalisables sont automatiquement rejetées.

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Stratégie de Pénalisation
Les solutions irréalisables sont considérées lors du processus de
recherche. La fonction objective est prolongée par une fonction de
pénalité. Exemple de stratégie de pénalisation : compter le nombre
de contraintes violées. Étant donné m contraintes, la fonction
pénalisée fp(x) de f (x) est définie comme suit :
fp(x) = f (x) +
m∑
i=1
wi αi (2)
Où
αi =
{
1 si la contrainte i est violée
0 sinon
(3)
wi est un coefficient associé à la contrainte i. Si les wi sont petits,
la solution finale risque d’être irréalisable.

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Dans cette stratégie, une représentation spéciﬁque ainsi que les
opérateurs de transformation vont assurer la génération de
solutions réalisables.Une stratégie valable pour une pour un
problème spéciﬁque ne peut pas être généralisés sur tous les
problèmes d’optimisation.

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Dans cette stratégie, une représentation spéciﬁque ainsi que les
opérateurs de transformation vont assurer la génération de
solutions réalisables.Une stratégie valable pour une pour un
problème spéciﬁque ne peut pas être généralisés sur tous les
problèmes d’optimisation.
Example
Codage avec permutation pour le problème du voyageur de
commerce

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Une procédure de décodage peut être vue comme une fonction
R → S qui associe à chaque représentation r ∈ R une solution
réalisable s ∈ S dans l’espace de recherche. Cette stratégie consiste
à utiliser des codages indirects. La fonction de décodage doit avoir
les propriétés suivantes ;
A chaque représentation r ∈ R correspond une solution s ∈ S
A chaque solution s ∈ S, il existe une représentation r inR qui
lui correspond.
La fonction de décodage ne doit pas être complexe du point
de vue calcul.
Les solution dans S doivent avoir le même nombre de
représentations correspondantes dans R.

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Quelle stratégie choisir ?
Rejet :
Pénalisation :
Réparation :
Préventive :
Décodage :

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Rejet : Nombre de solutions non réalisables est faible
Pénalisation :
Réparation :
Préventive :
Décodage :

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Pénalisation : Nombre de solutions non réalisables important
Réparation :
Préventive :
Décodage :

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Réparation : Compromis entre lourdeur de la réparation et
nombre de solutions non réalisables
Préventive :
Décodage :

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Préventive : Existence d’un codage le permettant
Décodage :

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Recuit simulé
Stratégie de rejet
Préventive : Existence d’un codage le permettant
Décodage : Existence d’un codage le permettant et nombre de
solutions non réalisables considérable

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Recuit simulé

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Principe
Le recuit simulé est un algorithme stochastique à base de
solution unique
l’aspect stochastique permet dans certaines conditions la
dégradation d’une solution en vue d’échapper aux optima
locaux
A partir d’une solution initiale, l’algorithme procède en
plusieurs itérations
À chaque itération, un voisin aléatoire est généré. Les
mouvements qui améliorent la fonction de coût sont toujours
acceptés
Pour les mouvements qui dégradent la fonction, le voisin est
accepté avec une probabilité

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Paramètres de l’algorithme
Tmax : Température maximale
Tmin : Température minimale
La fonction g() : Refroidissement
Nombre d’itérations pour chaque température

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
1 : s ← InitialiserSolutionInitiale
2 : T ← Tmax
3 : répéter{Processus de refroidissement}
4 : répéter{Répéter pour chaque valeur de T}
5 : s′ ← GénérerVoisin(s)
6 : ∆E ← f (s′) − f (s)
7 : si ∆E ≤ 0 alors
8 : s ← s′
9 : sinon
10 : P ← e
−∆E
T
11 : s ← s′ avec probabilité P
12 : ﬁn si
13 : jusqu’à Condition d’arrêt{Équilibre thermique}
14 : T ← g(T){Baisser la température (refroidissement)}
15 : jusqu’à T < Tmin

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Implémentation
Initialisation : aléatoire ou heuristique

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Implémentation
Le refroidissement :
Forme linéaire (Ti+1 = Ti − β) avec β positif constant
Forme géométrique (Ti+1 = Ti × α) avec α ∈]0, 1[
Forme logarithmique (Ti+1 = T0
log(i) )

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Implémentation
log(i) )
Voisinage : s′ est générée à partir de s
Si les modiﬁcations sont trop petites : convergence trop lente
modiﬁcation importante : recherche aléatoire

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Implémentation
log(i) )
Voisinage : s′ est générée à partir de s
Si les modifications sont trop petites : convergence trop lente
modification importante : recherche aléatoire
Tolérance aux « mauvaises solutions » : la probabilité
d’accepter un voisin non-améliorant e
−∆E
T est proportionnelle
à la température T et inversement proportionnelle au
changement de la fonction fitness ∆E = f (s′) − f (s).

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
TSP Algérie

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Recuit simulé
Principe
Algorithme
Quelques références
Dréo J, et al., Métaheuristique pour l’optimisation diﬃcile, Eyrolles
2003 (Disponible à la bibliothèque de la faculté de technologie de
l’université de Tlemcen)
Cote Localisation Section
004.005.2.19/02 magasin d’ouvrages 004.005.2.Info.
Elghazali T, Metaheuristics from design to implementation, Wiley
2009
Sean Luke, Essentials of Metaheuristics, Lulu 2013, second edition,
available for free at
http ://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics/
García del Amo I.J. et al. (2006) From Theory to Implementation :
Applying Metaheuristics. In : Liberti L., Maculan N. (eds) Global
Optimization. Nonconvex Optimization and Its Applications, vol 84.
Springer, Boston, MA.

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