Programmation par contraintes

Programmation Par Contraintes
Cours du Master “Systèmes Informatiques Intelligents” 2ème année

Dr Amar ISLI
Département d’Informatique
Faculté d’Electronique et d’Informatique
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène
BP 32, El-Alia, Bab Ezzouar
DZ-16111 ALGER

Nouvelle page :
http://www.usthb.dz/perso/info/aisli
Ancienne page :
http://www.usthb.dz/fei-deptinfo/perso/aisli/amarisli.htm

Master2SII->Programmation Par
05/01/2011 Contraintes 1

CHAPITRE I
Contraintes et problèmes de satisfaction
de contraintes

Contrainte
 Une contrainte est une relation sur un nombre
fini de variables (inconnues)
 Une variable admet un domaine
(d’instanciation) : l’ensemble où elle prend ses
valeurs
 Une contrainte restreint les valeurs que peuvent
prendre simultanément les variables qu’elle relie


CHAPITRE I
de contraintes

Définition d’une contrainte
 Définition en extension
 Définition en intention


CHAPITRE I
de contraintes

Problème de satisfaction de contraintes
 CSP : Constraint Satisfaction Problem
 Triplet P=(X,D,C) :
 X ensemble fini de variables : X={X1, …,Xn}
 D fonction associant à chaque variable Xi un domaine
D(Xi)
 C ensemble fini de contraintes sur les variables de P :
C={C1, …,Cm}


CHAPITRE I
de contraintes

Instanciation d’un CSP
 Une instanciation est un élément du
produit cartésien D(X1)x…xD(Xn)
 une instanciation associe à chacune des
variables du CSP un élément de son
domaine, le ième élément étant la valeur
associée à la variable Xi


CHAPITRE I
de contraintes

Solution d’un CSP
 Une solution est une instanciation
satisfaisant chacune des contraintes du CSP
 pour chacune des contraintes, si on remplace
chacune des variables sur lesquelles elle porte
par la valeur que lui associe l’instanciation,
ladite contrainte s’évalue à vrai


CHAPITRE I
de contraintes

Exemple : le problème de coloriage d’un graphe
 Description :
 Un graphe et une fonction cl associant à chaque nœud un
ensemble de couleurs permises
 Question :
 Peut-on colorier les nœuds du graphe, chacun avec une
couleur de l’ensemble que lui associe la fonction cl, de
telle sorte que deux noeuds adjacents (i.e., reliés par une
arête) n’aient pas la même couleur ?


CHAPITRE I
de contraintes

Exemple : le problème de coloriage d’un graphe
 Le graphe peut être vu comme une représentation
graphique d’une carte géographique à colorier :
 Les nœuds du graphe sont les différents pays de la carte
 Les couleurs associées à un nœud sont celles avec
lesquelles le pays correspondant peut être colorié
(drapeau)
 Deux nœuds sont adjacents si et seulement si les pays
correspondants sont limitrophes (voisins) l’un de l’autre


CHAPITRE I
de contraintes

Exemple : une instance du problème de
coloriage d’un graphe
 G=<V,E>
 V={R,S,T,U}
 E={(R,S),(R,T),(R,U),(S,U)}
 cl(R)=cl(S)={c1,c2} ; cl(T)={c1} ;
cl(U)={c2}

CHAPITRE I
de contraintes

Exemple : modélisation de l’instance avec un
CSP
 CSP P=(X,D,C) avec :
 X={X1,X2,X3,X4}
 D(X1)=D(X2)={c1,c2} ; D(X3)={c1} ; D(X4)={c2}
 C={X1≠X2,X1≠X3,X1≠X4,X2≠X4}
 Le CSP admet quatre instanciations possibles, qui sont tous
les éléments du produit cartésien des domaines
 (c1,c1,c1,c2), (c1,c2,c1,c2), (c2,c1,c1,c2), (c2,c2,c1,c2)
 Le CSP n’admet néanmoins aucune solution


CHAPITRE II
CSP binaires

CSP binaires
 Chacune des contraintes porte sur au plus deux variables
 Une contrainte unaire est un cas particulier de contrainte binaire
 Un CSP binaire peut donc être vu comme un CSP dont chacune
des contraintes porte exactement sur deux variables
 CSP discrets
 On se restreint aux domaines finis
 Un sous-ensemble fini de IN : Pairs_10={0,2,4,6,8,10}
 Un ensemble fini de couleurs : Couleurs={Blanc,Rouge,Vert}
 Un ensemble de personnes : Cadets=
{Hacène,Kamélia,Lilia,Ouerdouche,Younès}


CHAPITRE II
CSP binaires

CSP binaires
 CSP binaires continus
 Le domaine de chacune des variables est continu
 L’ensemble continu des points du temps modélisé par IR
 L’ensemble continu des points du plan modélisé par IR2
 Le sous-ensemble de IR2 constituant les intervalles de
temps : toutes les paires (d,f) de IR2 vérifiant d<f


CHAPITRE II
CSP binaires

CSP binaires
 CSP continus
 CSP quantitatifs
 TCSP : Temporal Constraint Satisfaction Problems
 CSP qualitatifs
 « make only as many distinctions as necessary »
 L’algèbre des points
 L’algèbre des intervalles
 L’algèbre des directions cardinales

CHAPITRE II
CSP binaires

CSP binaire discret
 P=(X,D,C)
 X={X1, …,Xn}
 D={D(X1), …,D(Xn)} : tous les domaines sont
discrets finis
 C={C1, …,Cm} : toutes les contraintes sont
binaires


CHAPITRE II
CSP binaires

Relations associées à une contrainte
 Soit P=(X,D,C) un CSP binaire discret, Ck
une contrainte de P, et Xi et Xj les variables
de P sur lesquelles porte Ck
 Les relations binaires associées à Ck, notées
Rk(Xi,Xj) et Rk(Xj,Xi), sont définies comme
suit :
 Rk(Xi,Xj)={(a,b)∈D(Xi)xD(Xj) : (Xi,Xj)=(a,b) satisfait Ck}
 Rk(Xj,Xi)={(a,b)∈D(Xj)xD(Xi) : (Xj,Xi)=(a,b) satisfait Ck}

CHAPITRE II
CSP binaires

Relations associées à une contrainte
 Si un CSP binaire est discret, les relations
Rk(Xi,Xj) et Rk(Xj,Xi) associées à la contrainte
Ck peuvent être représentées,
respectivement, par les matrices
booléennes Mk(Xi,Xj) et Mk(Xj,Xi) suivantes :
 Mk(Xi,Xj) a |D(Xi)| lignes et |D(Xj)| colonnes
 Mk(Xi,Xj)[p,q]=1 si (Xi,Xj)=(ap,bq) satisfait Ck, 0 sinon
 Mk(Xj,Xi) a |D(Xj)| lignes et |D(Xi)| colonnes
 Mk(Xj,Xi)[p,q]=1 si (Xj,Xi)=(ap,bq) satisfait Ck, 0 sinon

CHAPITRE II
CSP binaires

Inverse d’une matrice
 L’inverse d’une matrice M à m lignes et n
colonnes est la matrice à n lignes et m
colonnes notée M-1 définie comme suit :
Pour tout i=1..n, pour tout j=1..m, M-1[i,j]=M[j,i]
 Les matrices booléennes Mk(Xi,Xj) et Mk(Xj,Xi)
représentant les relations associées à la
contrainte Ck d’un CSP binaire discret sont
inverses l’une de l’autre

CHAPITRE II
CSP binaires

Intersection de deux matrices booléennes
 L’intersection de deux matrices M et N, à m
lignes et n colonnes chacune, est la matrice
booléenne à m lignes et n colonnes notée
P=M∩N définie comme suit :
Pour tout i=1..m, pour tout j=1..n :
P[i,j]=1 si M[i,j]=1 et N[i,j]=1, 0 sinon


CHAPITRE II
CSP binaires

Union de deux matrices booléennes
 L’union de deux matrices booléennes M et
N, à m lignes et n colonnes chacune, est la
matrice booléenne à m lignes et n colonnes
notée P=M∪N définie comme suit :
Pour tout i=1..m, pour tout j=1..n :
P[i,j]=1 si M[i,j]=1 ou N[i,j]=1, 0 sinon


CHAPITRE II
CSP binaires

Produit de deux matrices booléennes
 Le produit de deux matrices booléennes M
et N, M à m lignes et n colonnes, et N à n
lignes et p colonnes, est la matrice
booléenne à m lignes et p colonnes notée
P=M°N définie comme suit :
Pour tout i=1..m, pour tout j=1..p :
 P[i,j]=1 s’il existe k=1…n tel que M[i,k]=1 et N[k,j]=1
 P[i,j]=0 sinon

CHAPITRE II
CSP binaires

Représentation graphique d’un CSP binaire
 La représentation graphique d’un CSP discret
P=(X,D,C) est un graphe orienté étiqueté
GP=(X,E,l) défini comme suit :
 L’ensemble des sommets de GP est l’ensemble X des variables de P
 Pour toutes variables Xi et Xj, si P admet une contrainte portant sur Xi et
Xj, alors GP contient un et un seul des deux arcs (Xi,Xj) et (Xj,Xi)
 Pour toutes variables Xi et Xj, si P n’admet aucune contrainte portant sur
Xi et Xj, alors GP ne contient ni l’arc (Xi,Xj) ni l’arc (Xj,Xi)
 Pour tout arc (Xi,Xj) de GP, l’étiquette l(Xi,Xj) de (Xi,Xj) est l’intersection de
toutes les matrices booléennes Mk(Xi,Xj) représentant les relations
Rk(Xi,Xj) associées aux différentes contraintes Ck de P portant sur Xi et Xj

CHAPITRE II
CSP binaires

Exemple
 Kamélia est moins de huit ans plus jeune que Hacène, qui lui
n’a pas le même âge que Younès
 Younès, à son tour, est plus jeune que Lilia, qui elle a le
même âge que Hacène
 Ouerdouche est plus de dix ans plus jeune que Hacène
 La différence d’âge entre Ouerdouche et Hacène est impaire
et n’est pas multiple de trois
 Tous les âges varient entre onze et vingt-quatre ans


CHAPITRE II
CSP binaires

Exemple
 Cinq variables : X1 (Hacène), X2 (Kamélia), X3 (Lilia), X4 (Ouerdouche), X5
(Younès)
 Kamélia est moins de huit ans plus jeune que Hacène, qui lui n’a pas le
même âge que Younès
 0<X1-X2<8 (C1), X1≠X5 (C2)
 Younès, à son tour, est plus jeune que Lilia, qui elle a le même âge que
Hacène
 X3-X5>0 (C3), X3=X1 (C4)
 Ouerdouche est plus de dix ans plus jeune que Hacène
 X1-X4>10 (C5)
 La différence d’âge entre Ouerdouche et Hacène est impaire et n’est pas
multiple de trois
 |X1-X4| impair (C6), |X1-X4| non multiple de 3 (C7)

CHAPITRE II
CSP binaires

Exemple
 Tous les âges varient entre onze et vingt-quatre
ans
 D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=D(X5)={11,12,…,24}


CHAPITRE II
CSP binaires

Représentation graphique d’un CSP
binaire
 Un CSP binaire est également appelé réseau
de contraintes :
 Parce que facilement représentable sous forme
d’un graphe orienté étiqueté
 CSP binaire discret mais également CSP binaire
continu


CHAPITRE II
CSP binaires

Représentation matricielle d’un CSP binaire
 La représentation matricielle d’un CSP discret P=(X,D,C) est
une matrice carrée de matrices, notée MP, à |X| lignes et |X|
colonnes définie comme suit :
 Pour toute variable Xi, MP[i,i] est la matrice carrée identité à |
D(Xi)| lignes et |D(Xi)| colonnes
 Pour toutes variables distinctes Xi et Xj, telles que (Xi,Xj) est arc
de GP, Mp[i,j] est l’étiquette de l’arc (Xi,Xj) et Mp[j,i] est l’inverse
de Mp[i,j]
 Pour toutes les autres paires (Xi,Xj) de variables :
 Mp[i,j] est la matrice universelle à |D(Xi)| lignes et |D(Xj)| colonnes
 Mp[j,i] est la matrice universelle à |D(Xj)| lignes et |D(Xi)| colonnes

CHAPITRE II
CSP binaires

Sous-CSP d’un CSP binaire
 Soit P=(X,D,C) un CSP binaire discret et X’ un sous-ensemble
de X
 Le sous-CSP de P sur les variables appartenant à X’ est le CSP
(X’,D’,C’) défini comme suit :
 D’={D(Xi) : Xi∈X’}
 C’ est l’ensemble des contraintes de C portant exclusivement sur
les variables appartenant à X’
 Une instanciation d’un sous-CSP strict de P est une
instanciation partielle de P
 Une solution d’un sous-CSP strict de P est une solution
partielle de P

CHAPITRE II
CSP binaires

Raffinement d’un CSP binaire
 Soit P=(X,D,C) un CSP binaire discret
 Un raffinement de P est un CSP P’ de la forme (X,D’,C’)
vérifiant
 D’(Xi)⊆D(Xi), pour toute variable Xi
 C ⊆ C’
 Une instanciation d’un raffinement de P est une instanciation
de P
 Une solution d’un raffinement de P est une solution de P
 Un raffinement de P est strict si son ensemble de solutions
est strictement inclus dans l’ensemble des solutions de P


CHAPITRE III
Résolution d’un CSP binaire

 Le CSP admet-il des solutions ?
 Le CSP admet-il des solutions ? Si oui, en
exhiber une
 Le CSP admet-il des solutions ? Si oui, les
exhiber toutes


CHAPITRE III
Algorithmes de résolution
 Algorithmes complets naïfs (recherche systématique d’une solution)
 Générer et tester (GET)
 Simple retour arrière (SRA)
 Algorithmes de propagation de contraintes
 Consistance locale : incomplets en général
 Consistance de nœud : consistance des sous-CSP de taille 1
 consistance d’arc : consistance des sous-CSP de taille 2
 consistance de chemin : consistance des sous-CSP de taille 3
 Complets pour certaines classes de CSP


CHAPITRE III
Algorithmes de résolution
 Algorithmes complets intelligents
 Quand une variable est instanciée, propager le changement aux
variables non encore instanciées
 À toutes les contraintes portant sur la variable venant d’être instanciée et les
variables non encore instanciées (forward-checking)
 à toutes les contraintes dont au moins une des variables sur lesquelles elles
portent est non encore instanciée (look-ahead)
 Instancier-et-propager


CHAPITRE III

Algorithmes de résolution d’un CSP binaire
 Heuristiques
 Ordre d’instanciation des variables (statique, dynamique)
 Ordre sur les valeurs du domaine de la variable en cours
d’instanciation (statique, dynamique)


CHAPITRE III

Algorithme « générer et tester » (GET)
n Initialement, aucune instanciation n’est marquée
n Considérer une instanciation i=(e1,…,en) non marquée
n Marquer i
n Si i satisfait toutes les contraintes du CSP :
 Retourner i
5. Si toutes les instanciations sont marquées
 Retourner « échec : le CSP n’admet pas de solution »
6. Aller en 2.


CHAPITRE III

Algorithme GET
fonction GET(A,(X,D,C)) : booléen
début
si toutes les variables de X sont instanciées alors
si A est solution alors retourner VRAI Sinon retourner FAUX finsi
Sinon
choisir une variable Xi de X qui n’est pas encore instanciée
pour toute valeur Vi du domaine D(Xi) faire
si GET(A ∪ {(Xi,Vi )}, (X,D,C)) alors retourner VRAI finsi finpour
retourner FAUX
finsi
fin

CHAPITRE III

Algorithme GET
fonction GET(A,(X,D,C)) :
 Au niveau de la racine de l’arbre de recherche (niveau 0):
 A vaut l’ensemble vide : aucune variable n’est instanciée
 Au niveau d’un noeud de niveau i≥1 :
 A est de cardinal i, et est de la forme {(X1,V1),…,(Xi,Vi)}
 A représente une instanciation du sous-CSP de (X,D,C) sur les variables X1,…,Xi
 A est une instanciation partielle du CSP (X,D,C)


CHAPITRE III
Algorithme GET : inconvénient majeur
 Si inexistence de solution ou unique solution consistant en la toute
dernière instanciation
 Parcours exhaustif de toutes les 2n instanciations possibles
Algorithme GET : amélioration
 Instancier pas à pas les variables (selon ordre préétabli)
 Si l’instanciation de la variable en cours ne permet plus de satisfaire toutes
les contraintes portant exclusivement sur les variables déjà instanciées
 Instancier avec une autre valeur du domaine si possible
 Si toutes les valeurs déjà essayées
 Retourner échec si toute première variable
 Retourner à la variable précédente
 Si toute dernière variable retourner “succès” sinon passer à la variable
suivante


CHAPITRE III
Algorithme « simple retour arrière » (SRA)
fonction SRA(A,(X,D,C)) : booléen
début
si A n’est pas solution partielle alors retourner FAUX finsi
si toutes les variables de X ont été instanciées alors retourner VRAI finsi
choisir une variable Xi non encore instanciée
pour toute valeur Vi du domaine D(Xi) faire
si SRA(A ∪ {(Xi ,Vi )}, (X,D,C)) alors retourner VRAI finsi
finpour
retourner FAUX
fin


CHAPITRE III

Exemple : le problème des quatre reines
 Echiquier de 16 cases (4x4)
 4 lignes L1, L2, L3 et L4
 4 colonnes C1, C2, C3 et C4
 4 reines R1, R2, R3 et R4 :
 La reine R1 se déplace sur la colonne C1


CHAPITRE III

Exemple : le problème des quatre reines
 Modélisation à l’aide d’un CSP P=(X,D,C)
 X = {X1, X2, X3, X4}
 D = {D(X1),D(X2),D(X3),D(X4)} avec
 D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)}={1,2,3,4}
 C=CLI∪CDA∪CDD
 CLI={Xi≠Xj,i≠j,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}
 CDA={Xi+i≠Xj+j,i≠j,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}
 CDD={Xi−i≠Xj−j,i≠j,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}


CHAPITRE III

Résolution du problème des quatre reines
 algorithme GET


CHAPITRE III

Résolution du problème des quatre reines
 algorithme SRA


CHAPITRE III


CHAPITRE III

Algorithme SRA : inconvénient majeur
 Améliore l’algorithme GET
 Réduction de l’espace de recherche
 Mais la détection des conflits reste tardive
 Solution : dans la construction pas à pas d’une
instanciation consistante
 Dès qu’une nouvelle variable est instanciée, propager le
changement aux variables non encore instanciées
 Consistance de nœud
 Consistance d’arc
 Consistance de chemin

CHAPITRE III

Filtrage durant la recherche récursive d’une solution :
 Filtrage à priori
 Prétraitement
 Avant le début effectif de la recherche
 Aucune variable n’est encore instanciée
 Réduction de l’espace de recherche
 CSP surcontraint et inconsistant : inconsistance généralement
détectée par le prétraitement
 Filtrage après chaque instanciation d’une nouvelle variable
 Instancier puis propager


CHAPITRE III

Consistance de nœud (node-consistency)
 Un CSP P=(X,D,C) est consistant de noeud si pour toute variable Xi de X, et pour
toute valeur v de D(Xi), l’instanciation partielle {(Xi,v)} satisfait toutes les
contraintes unaires de C portant sur Xi

Principe d’un algorithme de consistance de noeud
 filtrage des domaines
 pour chaque variable Xi
 enlever de D(Xi) toute valeur v telle que l’affectation partielle {(Xi,v)}
viole les contraintes unaires portant exclusivement sur Xi


CHAPITRE III

consistance d’arc (arc-consistency)
 Un CSP P=(X,D,C) est consistant d’arc si pour tout couple (Xi,Xj) de
variables, et pour toute valeur vi de D(Xi) , il existe une valeur vj de
D(Xj) telle que l’instanciation partielle {(Xi,vi),(Xj,vj)} satisfait toutes les
contraintes binaires de C portant exclusivement sur Xi et Xj

Principe d’un algorithme de consistance d’arc
 filtrage des domaines
 pour chaque variable Xi
 enlever de D(Xi) toute valeur vi telle qu’il existe une variable Xj pour
laquelle, pour toute valeur vj de D(Xj), l’instanciation partielle {(Xi,vi),
(Xj,vj)} viole les contraintes binaires portant exclusivement sur Xi et Xj


CHAPITRE III
consistance de chemin (path-consistency)
 Un CSP P=(X,D,C) est consistant de chemin si pour tout triplet (Xi,Xj,Xk) de
variables, et pour toute paire de valeurs (vi,vj) de D(Xi)x D(Xj) , il existe une
valeur vk de D(Xk) telle que l’instanciation partielle {(Xi,vi),(Xj,vj),(Xk,vk)} satisfait
toutes les contraintes binaires de C portant exclusivement sur Xi, Xj et Xk
Principe d’un algorithme de consistance de chemin
 filtrage des paires de valeurs permises
 pour chaque paire (Xi,Xj) de variables
 enlever de Mp[i,j) toute paire (vi,vj) de valeurs telle qu’il existe une
variable Xk pour laquelle, pour toute valeur vk de D(Xk)
 l’instanciation partielle {(Xi,vi),(Xk,vk)} viole les contraintes binaires
portant exclusivement sur Xi et Xk
 ou l’instanciation partielle {(Xk,vk),(Xj,vj)} viole les contraintes
binaires portant exclusivement sur Xk et Xj

CHAPITRE III

consistance de chemin (path-consistency)
 Pour les CSP binaires discrets, la consistance de chemin est
généralement jugée trop coûteuse
 On se restreint aux consistances de noeud et d’arc
 Un CSP binaire discret dont les domaines sont des singletons
 Si arc-consistant alors consistant
 CSP temporels et CSP spatiaux
 Vérifient les propriétés de consistance de noeud et de consistance
d’arc
 La consistance de chemin prend toute son importance


CHAPITRE III
Algorithmes de consistance d’arc
 AC ou REVISE :
 réduit la taille des domaines
 supprime les valeurs qui violent les contraintes binaires
 AC1 :
1. appliquer REVISE à tous les arcs sur lesquels il y a une contrainte
2. Si aucun domaine n’a été modifié, la procédure prend fin
3. Sinon aller à 1
 Inconvénient : réapplique REVISE à tous les arcs sur les lesquels il y a
une contrainte :
 Même aux arcs non modifiés par la passe précédente
 jusqu’à fermeture
 AC3 :
 ne réapplique REVISE qu’aux arcs modifés

CHAPITRE III
fonction REVISE((Xi , Xj ),(X,D,C)) : booléen
début
DELETE ← FAUX
pour tous les Vi de D(Xi) faire
si il n’y a pas de Vj dans D(Xj) telle que {(Xi,vi),(Xj,vj)} satisfait les
contraintes binaires entre Xi et Xj alors
supprimer Vi de D(Xi)
DELETE ← VRAI
finsi
fin pour
retourner DELETE
fin


CHAPITRE III
fonction AC1((X,D,C))
début
Q ← {(Xi,Xj) : il existe une contrainte entre Xi et Xj }
répéter
R ← FALSE
pour tous les (Xi,Xj) de Q faire
R ← (R ou REVISE((Xi,Xj),(X,D,C)))
fin pour
jusqu’à non R
retourner (X,D,C)
fin


CHAPITRE III
fonction AC3((X,D,C))
début
Q ← {(Xi,Xj ) : il existe une contrainte entre Xi et Xj }
tantque Q≠∅ faire
Prendre une paire (Xi,Xj) de variables de Q
supprimer la paire de Q : Q ← Q{(Xi,Xj)}
si REVISE((Xi,Xj),(X,D,C)) alors
Q←Q∪{(Xk,Xi) : il existe une contrainte entre Xk et Xi et Xk≠Xi et Xk≠Xj}
finsi
fin-tantque
retourner (X,D,C)
fin


CHAPITRE III

Forward checking et Look-ahead
 Combinaison du filtrage et du retour-arrière :
 filtrage durant la résolution : Quand une variable est instanciée,
propager le changement aux variables non encore instanciées
 Forward checking :
 Propager le changement à toutes les contraintes portant sur la variable
venant d’être instanciée et les variables non encore instanciées
 Look ahead :
 Propager le changement à toutes les contraintes dont au moins une des
variables sur lesquelles elles portent n’est pas encore instanciée


CHAPITRE III
fonction FC(A,(X,D,C)) : booléen
début
si toutes les variables de X sont instanciées alors retourner VRAI
sinon
pour toute valeur Vi de D(Xi) faire
non_instanciees={Xj∈X : Xj non encore instanciée}
domaine_vide=faux
D’=D //D’(Xj)=D(Xj), pour toute variable Xj
tantque (non_instanciees≠∅) et (domaine_vide=faux) faire
considérer une variable Xj de l’ensemble non_instanciees
non_instanciees=non_instanciees{Xj}
D’(Xj)={Vj∈D(Xj)|A∪{(Xi,Vi),(Xj,Vj)} est consistante }
si D’(Xj) vide alors domaine_vide=vrai finsi
fin-tantque
si (domaine_vide=faux) alors si FC(A ∪{(Xi,Vi)},(X,D’,C)) alors retourner VRAI finsi finsi
fin-pour
retourner FAUX //l’instanciation partielle A ne peut pas être étendue à la variable Xi
finsi Master2SII->Programmation Par
05/01/2011
fin Contraintes 54

CHAPITRE III


CHAPITRE III
fonction Look_Ahead(A,(X,D,C)) : booléen
début
si toutes les variables de X sont instanciées alors retourner VRAI
sinon
pour toute valeur Vi de D(Xi) faire
D’(Xi)={Vi}
D’=(D{D(Xi)})∪{D’(Xi)}
AC3(X,D’,C)
si (aucun domaine de D’ n’est vide) alors
si Look_Ahead(A ∪{(Xi,Vi)},(X,D’,C)) alors retourner VRAI finsi finsi
fin-pour
retourner FAUX //l’instanciation partielle A ne peut pas être étendue à la variable Xi
finsi
fin


CHAPITRE IV
CSP binaires continus

 Le domaine de chacune des variables est
continu
 L’ensemble continu des points du temps modélisé par
IR
 L’ensemble continu des points du plan modélisé par
IR2
 Le sous-ensemble de IR2 constituant les intervalles de
temps : toutes les paires (d,f) de IR2 vérifiant d<f


CHAPITRE IV

 CSP quantitatifs
 TCSP : Temporal Constraint Satisfaction Problems
 CSP qualitatifs
 « make only as many distinctions as necessary »
 L’algèbre des points
 L’algèbre des intervalles
 L’algèbre des directions cardinales


CHAPITRE IV

 TCSP : Temporal Constraint Satisfaction
Problems
Paire P=(X,C) :
 C ensemble fini de contraintes sur les variables de P
 Le domaine de chacune des variables est l’ensemble
IR des réels ou l’ensemble Q des rationnels
 Le domaine commun des variables sera noté D(P)


CHAPITRE IV

 TCSP P=(X,C) : Contraintes
 Contraintes binaires
 (Xj-Xi)∈Cij, avec Cij⊆D(P)
 Contraintes unaires
 Xi ∈Ci, Ci⊆D(P)


CHAPITRE IV

 TCSP P=(X,C) : ajout d’une variable X0 origine
du monde
 X={X0,X1, …,Xn}
 Contraintes unaires transformées en contraintes
binaires
 Xi ∈Ci devient (Xi-X0)∈C0i
 C0i =Ci


CHAPITRE IV

Représentation graphique d’un TCSP
 La représentation graphique d’un TCSP P=(X,C) est
un graphe orienté étiqueté GP=(X,E,l) défini comme
suit :
 L’ensemble des sommets de GP est l’ensemble X des variables de P
 Pour toutes variables Xi et Xj, si P admet une contrainte portant sur Xi et
Xj, alors GP contient un et un seul des deux arcs (Xi,Xj) et (Xj,Xi)
 Pour toutes variables Xi et Xj, si P n’admet aucune contrainte portant sur
Xi et Xj, alors GP ne contient ni l’arc (Xi,Xj) ni l’arc (Xj,Xi)
 Pour tout arc (Xi,Xj) de GP, l’étiquette l(Xi,Xj) de (Xi,Xj) est tirée de la
contrainte (Xj-Xi)∈Cij de P portant sur Xi et Xj : l(Xi,Xj)= Cij


CHAPITRE IV

Représentation matricielle d’un TCSP
 La représentation matricielle d’un TCSP P=(X,C) est une
matrice carrée notée MP, à |X| lignes et |X| colonnes définie
comme suit :
 Pour toute variable Xi, MP[i,i]={0}
 Pour toutes variables distinctes Xi et Xj, telles que (Xi,Xj) est arc
de GP :
 Mp[i,j] est l’étiquette de l’arc (Xi,Xj)
 Mp[j,i] est l’inverse de Mp[i,j]
 Pour toutes les autres paires (Xi,Xj) de variables :
 Mp[i,j]=Mp[j,i]=D(P)


CHAPITRE IV

 TCSP P=(X,C)
 Inverse d’une contrainte
 Intersection de deux contraintes
 Composition de deux contraintes


CHAPITRE IV

 TCSP P=(X,C)
 Nœud-consistant
 Arc-consistant


CHAPITRE IV

 TCSP P=(X,C)
 Consistance de chemin : répéter jusqu’à fermeture
 Pour tout triplet (Xi,Xj,Xk) de variables ne vérifiant pas
Cij⊆Cik°Ckj
 Cij=Cij∩Cik°Ckj


CHAPITRE IV

 TCSP P=(X,C)
 STP : Simple Temporal Problem
 Toutes les contraintes sont convexes


CHAPITRE IV

 TCSP P=(X,C) : résolution
 Recherche d’un raffinement convexe chemin-consistant
 Ordre d’instanciation sur les paires de variables
 Une paire de variables est instanciée avec les blocs convexes
constituant son étiquette
 A chaque fois qu’une nouvelle paire est instanciée
 Filtrage : consistance de chemin
 Si inconsistance détectée : échec (retour arrière)
 Si instanciation avec succès de toutes les paires de variables
 raffinement convexe chemin-consistant (consistant)


CHAPITRE IV

Algèbre des points
 Objets et relations
 Objets : les points de la droite réelle (temps)
 Relations qualitatives sur des paires de points :
 Relations atomiques : < = >
 Relations générales (disjonctives) :
 Sous-ensembles de {<,=,>}


CHAPITRE IV

Algèbre des points
Relation Notation
{} ∅
{<} <
{=} =
{>} >
{<,=} ≤
{<,>} ≠
{>,=} ≥
{<,=,>} ?


CHAPITRE IV

Algèbre des points
 CSP qualitatif de points
Paire P=(X,C) :
 C ensemble fini de contraintes binaires sur des paires
de variables de P
IR des réels ou l’ensemble Q des rationnels


CHAPITRE IV

Algèbre des points
 CSP qualitatif de points P=(X,C) : Contraintes
 R(Xi,Xj), R étant une des huit relations de l’algèbre
des points


CHAPITRE IV

Algèbre des points
 CSP qualitatif de points P=(X,C)
 Représentation graphique
 Représentation matricielle


CHAPITRE IV
Algèbre des points
 Inverse

Relation atomique r Inverse r-1 de r
< >
= =
> <


CHAPITRE IV
Algèbre des points
 Intersection

∅ < = > ≤ ≠ ≥ ?
∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅
< ∅ < ∅ ∅ < < ∅ <
= ∅ ∅ = ∅ = ∅ = =
> ∅ ∅ ∅ > ∅ > > >
≤ ∅ < = ∅ ≤ < = ≤
≠ ∅ < ∅ > < ≠ > ≠
≥ ∅ ∅ = > = > ≥ ≥
? ∅ < = > ≤ ≠ ≥ ?


CHAPITRE IV

Algèbre des points
 Table de composition

< = >
< < < ?
= < = >
> ? > >


CHAPITRE IV

Algèbre des points
 Arc-consistant


CHAPITRE IV

Algèbre des points
Cij⊆Cik°Ckj


CHAPITRE IV

Algèbre des points
 L’algèbre des points est un formalisme polynomial
 La consistance de chemin, qui est de complexité cubique, décide la
consistance d’un CSP qualitatif de points :
 Si la consistance de chemin ne rencontre pas la relation ∅ alors le CSP en entrée est
consistant
 Il y a même mieux pour l’algèbre des points :
 Il y a un algorithme quadratique pour le problème de consistance d’un CSP qualitatif de
points


CHAPITRE IV

Algèbre des intervalles
 Objets : les intervalles de la droite réelle (temps)
 Relations qualitatives sur des paires d’intervalles :
 Relations atomiques : 13
 Sous-ensembles de relations atomiques : 213=8192


CHAPITRE IV
 Les 13 relations atomiques

Symbole Signification Traduction
< before avant
m meets rencontre
o overlaps chevauche
fi finished-by terminé-par
di contains contient
s starts commence
eq equals égale
si started-by commencé-par
d during durant
f finishes termine
oi overlapped-by chevauché-par
mi met-by rencontré-par
> after après

CHAPITRE IV

 CSP qualitatif d’intervalles
Paire P=(X,C) :
de variables de P
{(d,f)∈IR2 : d<f} ou l’ensemble {(d,f)∈Q2 : d<f}


CHAPITRE IV

CSP qualitatif d’intervalles P=(X,C) : Contraintes
 R(Xi,Xj), R étant une des 8192 relations de
l’algèbre des intervalles


CHAPITRE IV

 CSP qualitatif d’intervalles P=(X,C)


CHAPITRE IV

 Inverse
r r-1 r r-1
< > > <
m mi mi m
o oi oi o
s si si s
d di di d
f fi fi f
eq eq


CHAPITRE IV

 Intersection
 R1∩R2={r : r∈R1 et r∈R2}
 Intersection ensembliste


CHAPITRE IV

 Composition
 La composition faible de deux relations R1 et R2 est la
plus petite relation R telle que pour tous intervalles I,
J et K de la droite réelle :
 Si R1(I,K) et R2(K,J) alors R(I,J)
 R coïncide avec la composition exacte R1°R2 si pour
tous intervalles I et J tels que R(I,J), il existe un
intervalle K tel que R1(I,K) et R2(K,J)


CHAPITRE IV

 Composition
 Composition faible = composition exacte


R1°R2=∪ r1°r2
r1∈R1,r2∈R2


CHAPITRE IV

 Table 13x13 dont les lignes et les colonnes sont
indicées par les relations atomiques
 L’élément (r1,r2) donne la composition r1°r2 de r1 et r2


CHAPITRE IV

° < … oi …> eq
< < … {d,s,o,m,<} … ? <
… … … … … … …
s < … {oi,f,d} … > s
… … … … … … …
> ? … > … > >
eq < … … > eq


CHAPITRE IV

 Arc-consistant


CHAPITRE IV

Cij⊆Cik°Ckj


CHAPITRE IV

 L’algèbre des intervalles est un formalisme NP-complet
 La consistance de chemin, qui est de complexité cubique, décide
la consistance d’un CSP qualitatif atomique d’intervalles :
 Si la consistance de chemin ne rencontre pas la relation ∅ alors le
CSP en entrée est consistant
 Pour résoudre un CSP général d’intervalles :
 Utiliser la consistance de chemin comme algorithme de validation
 Choix (non-déterminisme) d’une relation atomique sur chacun des
arcs disjonctifs
 Appliquer la consistance de chemin au CSP atomique résultant


CHAPITRE IV

Algèbre des directions cardinales
 Objets : les points du plan (espace 2-dimensionnel)
 Relations qualitatives sur des paires de points :
 Relations atomiques : 9
 Sous-ensembles de relations atomiques : 29=512


CHAPITRE IV
 Les 9 relations atomiques

Symbole Signification Traduction Algèbre des
points
SW South-West sud-ouest (<,<)

W West ouest (<,=)

NW North-West nord-ouest (<,>)

S South sud (=,<)

EQ Equal Egal (=,=)

N North nord (=,>)

SE South-East sud-est (>,<)

E East est (>,=)
NE North-East nord-est (>,>)

CHAPITRE IV

 CSP qualitatif de directions cardinales
Paire P=(X,C) :
de variables de P
IR2 ou l’ensemble Q2


CHAPITRE IV


CSP qualitatif de directions cardinales P=(X,C) : Contraintes

 R(Xi,Xj), R étant une des 512 relations de l’algèbre
des directions cardinales


CHAPITRE IV

 CSP qualitatif de directions cardinales P=(X,C)


CHAPITRE IV

 Inverse
Relation atomique r Inverse r-1 de r
SW NE
W E
NW SE
S N
EQ EQ
N S
SE NW
E W
NE
05/01/2011 SWContraintes 99

CHAPITRE IV

 Intersection
 R1∩R2={r : r∈R1 et r∈R2}
 Intersection ensembliste


CHAPITRE IV

° SW … N … NE EQ
SW SW … {SW,W,NW … ? SW
… … … }
… … … …
S SW … {S,EQ,N} … {SW,W,NW S
}
… … … … … … …
NE ? … NE … NE NE
EQ SW … N … NE EQ


CHAPITRE IV

 Arc-consistant


CHAPITRE IV

Cij⊆Cik°Ckj



CHAPITRE IV

 L’algèbre des directions cardinales est un formalisme NP-complet
 La consistance de chemin, qui est de complexité cubique, décide
la consistance d’un CSP qualitatif atomique de directions
cardinales :
 Si la consistance de chemin ne rencontre pas la relation ∅ alors le
CSP en entrée est consistant
 Pour résoudre un CSP général de directions cardinales :
 Utiliser la consistance de chemin comme algorithme de validation
 Choix (non-déterminisme) d’une relation atomique sur chacun des
arcs disjonctifs
 Appliquer la consistance de chemin au CSP atomique résultant


CHAPITRE IV
Algorithmes de consistance de chemin
 REVISE :
 réduit les éléments de la représentation matricielle (les étiquettes des arcs de la
représentation matricielle)
 supprime des paires de valeurs permises par une contrainte binaire, et qui n’ont pas
de correspondant dans au moins une troisième variable
 PC1 :
1. appliquer REVISE à tous les triplets de variables
2. Si aucune étiquette n’a été modifiée, la procédure prend fin
3. Sinon aller à 1
 Inconvénient : réapplique REVISE à tous les triplets de variables :
 jusqu’à fermeture
 PC3 :
 ne réapplique REVISE qu’aux triplets présentant une étiquette modifiée


CHAPITRE IV
fonction REVISE((Xi,Xk,Xj),(X,D,C)) : booléen
début
temp=Cik
Cik=Cik∩Cij°Cjk
si temp=Cik alors retourner FAUX
sinon{
Cki=(Cik)-1
retourner VRAI
}
finsi
fin

CHAPITRE IV
fonction PC1((X,D,C))
début
Q ← {(Xi,Xk,Xj) : i<k et j∉{i,k}}
répéter
R ← FALSE
pour tous les (Xi,Xk,Xj) de Q faire
R ← (R ou REVISE((Xi,Xk,Xj),(X,D,C)))
fin pour
jusqu’à non R
retourner (X,D,C)
fin

CHAPITRE IV
fonction PC3((X,C))
début
Q ← {(Xi,Xj) : (i<j) et il existe une contrainte entre Xi et Xj}
tantque Q≠∅ faire
Prendre une paire (Xi,Xj) de variables de Q
supprimer la paire de Q : Q ← Q{(Xi,Xj)}
pour toute variable Xk différente de Xi et de Xj faire
si REVISE((Xi,Xk,Xj),(X,C)) alors Q←Q∪{(Xk,Xi)}
finsi
si REVISE((Xj,Xk,Xi),(X,C)) alors Q←Q∪{(Xk,Xi)}
finsi
fait
fin-tantque
retourner (X,C)
fin


CHAPITRE IV
fonction Look_Ahead((X,C)) : booléen
début
PC3(X,C)
si (C contient des éléments vides) alors retourner FAUX finsi
si toutes les paires de variables sont instanciées alors retourner VRAI
Sinon
choisir une paire (Xi,Xj) de variables qui n’est pas encore instanciée
pour tout élément r de C[i,j] faire //r bloc convexe si TCSP
C’=C //r relation atomique si CSP qualitatif
C’[i,j]=r
C’[j,i]=r-1
Look_Ahead((X,C’))
fin-pour
finsi
fin


CHAPITRE IV
Exemple 1 : TCSP
 Le problème de fragmentation
 Remède : consistance de chemin faible

Xk
[-2,-1]∪[5,6] [-4,-3]∪[10,15]

Xi Xj
[-7,-1]∪[1,20]

[-6,-4]∪[1,3]∪[8,14]∪[15,20]


CHAPITRE IV

Exemple 2 :

 Béjaia est à l’est d’Alger
 Oran est à l’ouest d’Alger
 Le bâteau est au nord-est d’Alger
 satellite 1 à l’instant t
 Le bâteau est au nord ou au nord-est d’Oran
 satellite 2 au même instant t


CHAPITRE IV

Exemple 3 :

 Le bâteau est au au nord ou au nord-est d’Alger
 Le bâteau est au nord-est d’Oran


CHAPITRE IV

Exemple 4 :

 Le bâteau est au nord-ouest d’Alger
 Le bâteau est au nord-est de Béjaia


CHAPITRE IV
Programmation logique

Les termes
 Les objets manipulés par un programme (données)
 Les variables
 Les termes élémentaires (termes atomiques)
 Les termes composés


CHAPITRE IV

Les variables
 Chaîne alphanumérique commençant par une
majuscule (Var, X, Var_longue_2) ou par un
souligné (_objet, _100)
 La variable anonyme est notée "_"


CHAPITRE IV

Les termes élémentaires (termes atomiques)
 Les nombres
 entiers ou flottants
 Les identificateurs (aussi appelés atomes)
 chaîne alphanumérique commençant par une minuscule
 Exemples : alger bureau226 bab_ezzouar
 Les chaînes de caractères entre guillemets
 Exemples : "#{@" "alger" "2010’’


CHAPITRE IV

Les termes composés :
 foncteur(t1,…,tn)
 foncteur : chaine alphanumérique commençant
par une minuscule
 t1, …,tn : termes
 n : arité du terme
 Exemples
 adresse(18,"rue de la dignité",Ville)

 cons(a,cons(X,nil))


CHAPITRE IV

Les relations ou atomes logiques
 symbole_de_prédicat(t , ..., t )
1 n

 symbole_de_prédicat : chaîne
alphanumérique commençant par une
minuscule
 t1, …, tn : termes
 Exemples
 pere(rachid,ines)
 habite(X,adresse(1,"rue de la dignité",alger))

CHAPITRE IV

Les clauses
 Une clause

 affirmation inconditionnelle (fait)
 affirmation conditionnelle (règle)


CHAPITRE IV

Les clauses
 fait : atome logique A

 la relation définie par A est vraie (sans
condition)
 Exemple
 pere(rachid,ines)
 la relation "rachid est le père de ines" est vraie
(sans condition)


CHAPITRE IV

Les clauses
 règle : A0 :- A1,…,An.
 A0,A1,…,An : atomes logiques
 La relation A0 est vraie si les relations A1,
…,An sont vraies
 A0 : tête de clause
 A1,…,An : corps de clause

CHAPITRE IV

Les clauses
 Une variable apparaissant dans la tête d'une règle (et
éventuellement dans son corps) est quantifiée
universellement
 Une variable apparaissant dans le corps d'une clause
mais pas dans sa tête est quantifiée existentiellement


CHAPITRE IV

Les clauses : exemple
 meme_pere(X,Y) :- pere(P,X), pere(P,Y).
 pour tout X et pour tout Y
 meme_pere(X,Y) est vrai s'il existe un P tel que pere(P,X) et
pere(P,Y) soient vrais


CHAPITRE IV

Un programme prolog
 Suite de clauses regroupées en paquets
 L’ordre dans lequel sont définis les paquets n’est pas significatif
 Paquet :
 Suite de clauses ayant le même atome de tête
 L’arité de l’atome de tête (d’un même paquet) est la même au niveau de
toutes les clauses du paquet
 Un paquet définit un prédicat (dont le nom est l’atome de tête du paquet)
 Un paquet définit une disjonction de clauses
 L’ordre des clauses dans un paquet est donc important, voire crucial
 L’efficacité de la résolution en dépend
 Un programme prolog définit une conjonction de paquets


CHAPITRE IV

Un programme prolog : exemple
personne(X) :- homme(X).
personne(X) :- femme(X).

 Un paquet à deux clauses
 pour tout X
 personne(X) est vrai si homme(X) est vrai ou
femme(X) est vrai


CHAPITRE IV

Exécution d’un programme prolog
 Exécuter un programme prolog revient à poser une
question à l’interprète PROLOG
 Question (également appelée but ou activant)
 Suite d’atomes logiques séparés par des virgules
 Réponse de l’interprète PROLOG à une question
 yes si la question est une conséquence logique du
programme
 no sinon (si la question n’est pas une conséquence logique
du programme)


CHAPITRE IV

 une question peut inclure des variables, qui sont
alors quantifiées existentiellement
 La réponse de Prolog à une telle question est l'ensemble des
valeurs des variables pour lesquelles la question est une
conséquence logique du programme
 Toutes les instanciations satisfaisant la formule
"programme implication-logique question"


CHAPITRE IV

?- pere(rachid,X), pere(X,Y).

 Existe-t-il un X et un Y tels que
pere(rachid,X) et pere(X,Y) soient vrais
 Réponse de prolog :
 enfants et petits-enfants de rachid si rachid
est grand-père

CHAPITRE IV

Substitution
 Fonction s de l’ensemble des variables dans
l’ensemble des termes
 s={XY,Zf(a,Y)} est la substitution remplaçant
X par Y et Z par f(a,Y), et laisse inchangées les
autres variables
 Une substitution peut être appliquée à un atome :
 s(p(X,f(Y,Z)))=p(s(X),f(s(Y),s(Z))=P(Y,f(Y,f(a,Y)))


CHAPITRE IV

Instance
 Une instance d’un atome logique A est l’atome
s(A) obtenu par application d’une substitution s à
A
 L’atome pere(rachid, ines) est une instance de
l’atome pere(rachid,X) :
 Appliquer, par exemple, la substituion s={Xines}


CHAPITRE IV

Unificateur
 Un unificateur de deux atomes logiques A1 et A2
est une substitution s telle que s(A1)=s(A2)
 s={Xa,Zf(a,Y)} est un unificateur des deux
atomes A1=p(X,f(X,Y)) et A2=p(a,Z)
 s(A1)=s(A2)=p(a,f(a,Y))


CHAPITRE IV

Unificateur plus général
 Un unificateur s de deux atomes logiques A1 et A2
est dit unificateur le plus général (upg) si pour
tout autre unificateur s’, il existe une substitution
s’’ telle que s’=s’’(s)
 s={XY} est un upg des deux atomes p(X,b) et
p(Y,b)
 s’={Xa,Ya} est un unificateur de p(X,b) et
p(Y,b) mais pas un upg


CHAPITRE IV

Algorithme d’unification de Robinson
 Entrée : deux atomes A1 et A2
 Sortie :
 un upg de A1 et A2 si A1 et A2 sont unifiables
 Échec sinon


CHAPITRE IV

Dénotation d’un programme Prolog
 La dénotation d’un programme Prolog P est
l’ensemble de tous les atomes logiques A qui sont
des conséquences logiques de P
 Lorsqu’on exécute un programme Prolog P en
posant une question (ou but) Q :
 La réponse de Prolog est l’ensemble des instances de la
question Q qui font partie de la dénotation de P


CHAPITRE IV

 La dénotation d’un programme Prolog P peut être
calculée par une approche ascendante (en
chaînage avant)
 Partir des faits
 Appliquer les règles pour déduire de nouveaux faits,
jusqu’à fermeture


CHAPITRE IV

parent(rachid,ines).
parent(ines,mohamed).
parent(ali,younes).
parent(younes,said).

homme(rachid).
homme(ali).

pere(X,Y):-parent(X,Y),homme(X).

gdpere(X,Y):-pere(X,Z),parent(Z,Y).

CHAPITRE IV

 L’ensemble des faits de P (relations vraies sans condition) :
 E0={parent(rachid,ines),
parent(ines,mohamed),
parent(ali,younes),
parent(younes,said),
homme(rachid),
homme(ali)}
 On applique les règles de P à E0 pour obtenir :
 E1={pere(rachid,ines),
pere(ali,younes)}


CHAPITRE IV

 On applique les règles de P à E0∪E1 pour obtenir :
 E2={gdpere(rachid,mohamed),
gdpere(ali,said)}
 L’application des règles de P à E0∪E1∪E2 ne permet pas de déduire
de nouveaux faits
 La dénotation de P est donc
E0∪E1∪E2 ={parent(rachid,ines),parent(ines,mohamed),
parent(ali,younes),parent(younes,said),
homme(rachid),homme(ali),
pere(rachid,ines),pere(ali,younes),
gdpere(rachid,mohamed),
gdpere(ali,said)}


CHAPITRE IV

 La dénotation d’un programme peut être infinie :
plus(0,X,X).
plus(succ(X),Y,Z):-plus(X,Y,Z).
 E={plus(0,X,X),
plus(succ(0),X,succ(X)),
plus(succ(succ(0)),X,succ(succ(X))),
plus(succ(succ(succ(0))),X,succ(succ(succ(X)))), …}


CHAPITRE IV

 Sémantique logique


CHAPITRE IV

Sémantique opérationnelle
 L’ensemble de toutes les conséquences

logiques d’un programme (dénotation) ne peut
donc pas toujours être calculé
 MAIS on peut montrer si une but (question)

est une conséquence logique d’un programme
 But : suite d’atomes logiques (conjonction d’atomes)


CHAPITRE IV
Sémantique opérationnelle
 Pour prouver si un but B=A1,…,An est une conséquence
logique d’un programme P :
 Approche descendante (en chaînage arrière)
 Commencer par prouver que A1 est une conséquence logique de P
 Chercher une clause règle de P dont l’atome de tête s’unifie avec
A1
C0:-C1,…,Cm telle que upg (A1,C0)=s
 Le nouveau but à prouver est
But=s(C1),…,s(Cm),s(A2),…,s(An)
 Réitérer le processus jusqu’à ce que le but à prouver devienne vide


CHAPITRE IV
procedure prouver(But: liste d'atomes logiques )
si But = [] alors
/* le but initial est prouvé */
/* afficher les valeurs des variables du but initial */
sinon soit But = [A1, A2, .., An]
pour toute clause (C0 :- C1, C2, ..,Cm) du programme:
(où les variables ont été renommées)
s=upg(A1 ,C0)
si s != echec alors
prouver([s(C1), s(C2), .. s(Cm), s(A2), .. s(An)])
finsi
finpour
finsi


CHAPITRE IV
Programmation logique par contraintes
Programmation logique  Programmation logique par
contraintes :
 Fixer une structure d’interprétation S représentant l’univers du
discours
 Distinguer dans un programme les deux choses suivantes :
 Le langage de contraintes défini sur S, supposé décidable
 Le langage des prédicats défini par des formules logiques
 Les formules logiques permettant de définir des prédicats sont
restreintes aux clauses de Horn de la forme :
A:-c1,…,cm,A1,…,An.
 CLP(S)


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