Le document traite de la divisibilité des entiers, en définissant divers concepts tels que le quotient, le reste et les congruences. Il présente des exercices et des applications qui illustrent les propriétés de la divisibilité, y compris des démonstrations de théorèmes et de relations entre les entiers. Les activités et exercices couvrent des thèmes variés, allant de la détermination des diviseurs et multiples à l'utilisation des congruences dans des équations.

1. L.S.Marsa Elriadh
Divisibilité dans ℤ
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 1
Activité 1:
Soit l’entier a= -2365424.
Déterminer les entiers p,q et t tels que a=4p ; a=-8q et -a=16t.
a est-il divisible par -6.
Définition :
a un entier et b un entier non nul.
Dire que b divise a ( ou que a est divisible par b) si et seulement si il existe un entier q tel que a=bq.
On note alors b|a
Conséquences :
a un entier et b un entier non nul.
Si b divise a alors –b divise a.
b admet au moins pour diviseurs : 1 ;-1 ;b et –b.
les multiples de b sont les éléments de b ℤ ={bk,k∈ℤ }.
Application 1:
1) Déterminer l’ensemble des diviseurs de 21 ; -24.
2) Déterminer les multiples de -11 compris entre -25 et 142.
3) Déterminer tous les couples (x,y) d’entiers naturels tels que 4x²-y²=20.
Activité 2:
Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier. Montrer que :
1) Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b.
2) Si a divise b et b divise c alors a divise c.
3) Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β.
Propriétés :
Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier.
Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b.
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β.

2. L.S.Marsa Elriadh
Divisibilité dans ℤ
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 2
Application 2:
1) a et n deux entiers. Démontrer que si a|2n+5 et a|3n-1 alors a|17.
2) Soit a un entier . démontrer que 8|3a+5 si et seulement si 8|a+23.
3) Déterminer tous les entiers n tels que
2 8
2
n
n
+
−
est un entier naturel.
Exercice 1:
Déterminer tous les couples (a,b) d’entiers naturels tels que :
1) a²-b²=24
2) ab-3b²=18.
3) 9a²=y²+20.
Exercice 2:
a et n deux entiers . montrer que :
1) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|85.
2) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|17.
Exercice 3:
1) Démontrer que pour tout entier n, 2n4
+3n²+3=(n²+3)(2n²-3)+12.
2) Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on (n²+3)| 2n4
+3n²+3.
Exercice 4:
1) Soit n un entier naturel ; montrer que 8|(2n+1)²-1.
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3n+4
-52n+7
est divisible par 2.
Activité 3:
1) Déterminer le plus grand entier inferieur ou égale à
a
b
:
a=2257 et b= 53 ; a= -2257 et b=53
2) Déterminer le plus petit entier supérieur ou égale à
a
b
:
a=2257 et b= -53 ; a= -2257 et b=-53

3. L.S.Marsa Elriadh
Divisibilité dans ℤ
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 3
Définition :
a un entier et b un entier non nul.
On appelle quotient de a par b et on note q l’entier défini de la manière suivante :
Si b>0 ; q est le plus grand entier inferieur à
a
b
.
Si b<0 ; q est le plus petit entier supérieur ou égal à
a
b
.
Application 3:
Calculer le quotient de a par b dans chaque cas :
a 25698 45895 -326598 -259863
b -235 256 -145 1256
Activité 4:
a un entier, b un entier non nul et q le quotient de a par b. on pose r=a-bq.
Montrer que 0≤ r < |b|.
Définition :
a un entier, b un entier non nul.
On appelle reste de a par b l’entier r=a-bq ou q est le quotient de a par b.
Application 4:
Calculer le reste de a par b dans chaque cas :
a 25698 45895 -326598 -259863
b -235 256 -145 1256
Activité 5:
a un entier et b un entier non nul. Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (q,r) et (q’,r’) tels
que a=bq+r , 0≤r<|b| et a=bq’+r’ , 0≤r’<|b|.
montrer que q=q’ et r=r’.
Théorème :
Pour tout entier a et pour tout entier non nul b il existe un couple d’entiers unique (q,r) tel que
a=bq+r et 0≤ r < |b|. ( dite division euclidienne de a par b ; q le quotient et r le reste de a par b)

4. L.S.Marsa Elriadh
Divisibilité dans ℤ
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 4
Application 5:
Ecrire dans chaque cas la division euclidienne de a par b.
a -25698 78569 -6598 9657
b 56 -61 -29 31
Exercice 5:
1) Déterminer selon le reste de la division euclidienne de l’entier n par 6, le reste de la division
euclidienne de n² par 6.
2) Quel est le reste de la division euclidienne par 6 de 1943² ; 2000000² ?
Exercice 6:
Soit n un entier. Démontrer qu’un et un seul des entiers n, n+2, n+4 est divisible par 3.
Exercice 7:
Déterminer l’ensemble des entiers n tels que n3
-n+1 soit divisible par 7.
Exercice 8:
1) Soit n un entier non nul. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de n² par4 ?
2) Existe-t-il des entiers a et b tel que a²+b²=10147 ?
Définition :
Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers.
Dire que a congru à b modulo n signifie que a-b est multiple de n.
On note alors a≡b[n]
Application 6:
Les congruences suivantes sont-elles vraies ?
127≡37[3] ; -31 ≡ -96[7] ; 145≡1315 [5]
Activité 6:
Soit n un entier naturel non nul ; a un entier. Montrer qu’il existe un unique entier r appartenant à
{0,1,…,n-1} tel que a≡r[n].
Théorème :
Soit n un entier naturel non nul.
Pour tout entier a il existe un unique entier r appartenant à {0,1,.,n-1} tel que a≡r[n].

5. L.S.Marsa Elriadh
Divisibilité dans ℤ
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 5
r est dit le reste modulo n de a
Application 7:
Déterminer le reste modulo 7 de 3256 et de -2356.
Activité 7:
n un entier naturel non nul, a et b deux entiers.
1) Montrer que si a et b ont le même reste modulo n alors a et b sont congrus modulo n.
2) Montrer que si a et b sont congru modulo n alors a et b ont le même reste modulo n.
Théorème :
Soit n un entier naturel non nul.
Deux entiers sont congrus modulo n, si et seulement si , ils ont le même reste modulo n.
Activité 8:
Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que :
1) a≡a[n]
2) si a≡b[n] alors b≡a[n].
3) si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n].
Propriétés :
Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul.
a≡a[n]
si a≡b[n] alors b≡a[n].
si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n].
Activité 9:
Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que :
1) si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n].
2) si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et am
≡bm
[n] pour out entier m>0
Propriétés :
Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul.
si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n].
si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et am
≡bm
[n] pour out entier m>0

6. L.S.Marsa Elriadh
Divisibilité dans ℤ
M : Zribi
4 ème
Maths Cours
www.zribimaths.jimdo.com 6
Application 8:
1) démontrer que si [ ] [ ] [ ]2 5 3 5 ² ² 1 5a et b alors a b≡ ≡ + ≡ .
2) résoudre dans [ ]: 4 2 5x ≡ℤ .
3) démontrer que 1809235
-1 est divisible par 8.
Exercice 9:
Démontrer que :
1) pour tout entier naturel n, 32n
-2n
est divisible par 7.
2) Pour tout entier naturel n, 33n+2
+2n+4
est divisible par 5.
3) Pour tout entier n, n3
-6n²-n est divisible par 6.
Exercice 10:
1) Démontrer que pour tout entier naturel k ; [ ]3
4 1 9k
≡ .
2) En déduire que pour tout k et r de IN, [ ]3
4 4 9k r r+
≡ .
3) Soit n un entier naturel. Quels sont les restes possible module 9 de 4n+2
?
4) Montrer que pour tout entier naturel n, 10n
+3.4n+2
+5 est divisible par 9.
Exercice 11:
1) Soit n un entier naturel.
a) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 3n
.
b) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 4n
.
2) Déterminer les entiers naturels n tel que [ ]3 4
3 4 0 11n n+ +
− ≡ .
Exercice 12:
1) a) démontrer que pour tout entier naturel n, 23n
-1 est un multiple de 7.
b) en déduire que, pour tout entier naturel n, 23n+1
-2 est un multiple de 7 et 23n+2
-4 est un
multiple de 7.
2) Déterminer les restes possibles modulo 7 des puissances de 2.
3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère l’entier Ap=2p
+22p
+23p
.
a) Si p=3n, quel est le reste modulo 7 de Ap ?
b) Démontrer que si p=3n+1, alors Ap est divisible par7.
c) Etudier le cas ou p=3n+2.
4) On considère les nombres a=1001001000 et b=1000100010000, sont ils divisibles par 7.