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L.S.Marsa Elriadh
Divisibilité dans ℤ
M : Zribi
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Activité 1:
Soit l’entier a= -2365424.
Déterminer les entiers p,q et t tels que a=4p ; a=-8q et -a=16t.
a est-il divisible par -6.
Définition :
a un entier et b un entier non nul.
Dire que b divise a ( ou que a est divisible par b) si et seulement si il existe un entier q tel que a=bq.
On note alors b|a
Conséquences :
a un entier et b un entier non nul.
Si b divise a alors –b divise a.
b admet au moins pour diviseurs : 1 ;-1 ;b et –b.
les multiples de b sont les éléments de b ℤ ={bk,k∈ℤ }.
Application 1:
1) Déterminer l’ensemble des diviseurs de 21 ; -24.
2) Déterminer les multiples de -11 compris entre -25 et 142.
3) Déterminer tous les couples (x,y) d’entiers naturels tels que 4x²-y²=20.
Activité 2:
Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier. Montrer que :
1) Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b.
2) Si a divise b et b divise c alors a divise c.
3) Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β.
Propriétés :
Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier.
Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b.
Si a divise b et b divise c alors a divise c.
Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β.
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Application 2:
1) a et n deux entiers. Démontrer que si a|2n+5 et a|3n-1 alors a|17.
2) Soit a un entier . démontrer que 8|3a+5 si et seulement si 8|a+23.
3) Déterminer tous les entiers n tels que
2 8
2
n
n
+
−
est un entier naturel.
Exercice 1:
Déterminer tous les couples (a,b) d’entiers naturels tels que :
1) a²-b²=24
2) ab-3b²=18.
3) 9a²=y²+20.
Exercice 2:
a et n deux entiers . montrer que :
1) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|85.
2) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|17.
Exercice 3:
1) Démontrer que pour tout entier n, 2n4
+3n²+3=(n²+3)(2n²-3)+12.
2) Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on (n²+3)| 2n4
+3n²+3.
Exercice 4:
1) Soit n un entier naturel ; montrer que 8|(2n+1)²-1.
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3n+4
-52n+7
est divisible par 2.
Activité 3:
1) Déterminer le plus grand entier inferieur ou égale à
a
b
:
a=2257 et b= 53 ; a= -2257 et b=53
2) Déterminer le plus petit entier supérieur ou égale à
a
b
:
a=2257 et b= -53 ; a= -2257 et b=-53
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Définition :
a un entier et b un entier non nul.
On appelle quotient de a par b et on note q l’entier défini de la manière suivante :
Si b>0 ; q est le plus grand entier inferieur à
a
b
.
Si b<0 ; q est le plus petit entier supérieur ou égal à
a
b
.
Application 3:
Calculer le quotient de a par b dans chaque cas :
a 25698 45895 -326598 -259863
b -235 256 -145 1256
Activité 4:
a un entier, b un entier non nul et q le quotient de a par b. on pose r=a-bq.
Montrer que 0≤ r < |b|.
Définition :
a un entier, b un entier non nul.
On appelle reste de a par b l’entier r=a-bq ou q est le quotient de a par b.
Application 4:
Calculer le reste de a par b dans chaque cas :
a 25698 45895 -326598 -259863
b -235 256 -145 1256
Activité 5:
a un entier et b un entier non nul. Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (q,r) et (q’,r’) tels
que a=bq+r , 0≤r<|b| et a=bq’+r’ , 0≤r’<|b|.
montrer que q=q’ et r=r’.
Théorème :
Pour tout entier a et pour tout entier non nul b il existe un couple d’entiers unique (q,r) tel que
a=bq+r et 0≤ r < |b|. ( dite division euclidienne de a par b ; q le quotient et r le reste de a par b)
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Application 5:
Ecrire dans chaque cas la division euclidienne de a par b.
a -25698 78569 -6598 9657
b 56 -61 -29 31
Exercice 5:
1) Déterminer selon le reste de la division euclidienne de l’entier n par 6, le reste de la division
euclidienne de n² par 6.
2) Quel est le reste de la division euclidienne par 6 de 1943² ; 2000000² ?
Exercice 6:
Soit n un entier. Démontrer qu’un et un seul des entiers n, n+2, n+4 est divisible par 3.
Exercice 7:
Déterminer l’ensemble des entiers n tels que n3
-n+1 soit divisible par 7.
Exercice 8:
1) Soit n un entier non nul. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de n² par4 ?
2) Existe-t-il des entiers a et b tel que a²+b²=10147 ?
Définition :
Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers.
Dire que a congru à b modulo n signifie que a-b est multiple de n.
On note alors a≡b[n]
Application 6:
Les congruences suivantes sont-elles vraies ?
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Activité 6:
Soit n un entier naturel non nul ; a un entier. Montrer qu’il existe un unique entier r appartenant à
{0,1,…,n-1} tel que a≡r[n].
Théorème :
Soit n un entier naturel non nul.
Pour tout entier a il existe un unique entier r appartenant à {0,1,.,n-1} tel que a≡r[n].
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r est dit le reste modulo n de a
Application 7:
Déterminer le reste modulo 7 de 3256 et de -2356.
Activité 7:
n un entier naturel non nul, a et b deux entiers.
1) Montrer que si a et b ont le même reste modulo n alors a et b sont congrus modulo n.
2) Montrer que si a et b sont congru modulo n alors a et b ont le même reste modulo n.
Théorème :
Soit n un entier naturel non nul.
Deux entiers sont congrus modulo n, si et seulement si , ils ont le même reste modulo n.
Activité 8:
Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que :
1) a≡a[n]
2) si a≡b[n] alors b≡a[n].
3) si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n].
Propriétés :
Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul.
a≡a[n]
si a≡b[n] alors b≡a[n].
si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n].
Activité 9:
Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que :
1) si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n].
2) si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et am
≡bm
[n] pour out entier m>0
Propriétés :
Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul.
si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n].
si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et am
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Application 8:
1) démontrer que si [ ] [ ] [ ]2 5 3 5 ² ² 1 5a et b alors a b≡ ≡ + ≡ .
2) résoudre dans [ ]: 4 2 5x ≡ℤ .
3) démontrer que 1809235
-1 est divisible par 8.
Exercice 9:
Démontrer que :
1) pour tout entier naturel n, 32n
-2n
est divisible par 7.
2) Pour tout entier naturel n, 33n+2
+2n+4
est divisible par 5.
3) Pour tout entier n, n3
-6n²-n est divisible par 6.
Exercice 10:
1) Démontrer que pour tout entier naturel k ; [ ]3
4 1 9k
≡ .
2) En déduire que pour tout k et r de IN, [ ]3
4 4 9k r r+
≡ .
3) Soit n un entier naturel. Quels sont les restes possible module 9 de 4n+2
?
4) Montrer que pour tout entier naturel n, 10n
+3.4n+2
+5 est divisible par 9.
Exercice 11:
1) Soit n un entier naturel.
a) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 3n
.
b) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 4n
.
2) Déterminer les entiers naturels n tel que [ ]3 4
3 4 0 11n n+ +
− ≡ .
Exercice 12:
1) a) démontrer que pour tout entier naturel n, 23n
-1 est un multiple de 7.
b) en déduire que, pour tout entier naturel n, 23n+1
-2 est un multiple de 7 et 23n+2
-4 est un
multiple de 7.
2) Déterminer les restes possibles modulo 7 des puissances de 2.
3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère l’entier Ap=2p
+22p
+23p
.
a) Si p=3n, quel est le reste modulo 7 de Ap ?
b) Démontrer que si p=3n+1, alors Ap est divisible par7.
c) Etudier le cas ou p=3n+2.
4) On considère les nombres a=1001001000 et b=1000100010000, sont ils divisibles par 7.

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  • 1. L.S.Marsa Elriadh Divisibilité dans ℤ M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 1 Activité 1: Soit l’entier a= -2365424. Déterminer les entiers p,q et t tels que a=4p ; a=-8q et -a=16t. a est-il divisible par -6. Définition : a un entier et b un entier non nul. Dire que b divise a ( ou que a est divisible par b) si et seulement si il existe un entier q tel que a=bq. On note alors b|a Conséquences : a un entier et b un entier non nul. Si b divise a alors –b divise a. b admet au moins pour diviseurs : 1 ;-1 ;b et –b. les multiples de b sont les éléments de b ℤ ={bk,k∈ℤ }. Application 1: 1) Déterminer l’ensemble des diviseurs de 21 ; -24. 2) Déterminer les multiples de -11 compris entre -25 et 142. 3) Déterminer tous les couples (x,y) d’entiers naturels tels que 4x²-y²=20. Activité 2: Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier. Montrer que : 1) Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b. 2) Si a divise b et b divise c alors a divise c. 3) Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β. Propriétés : Soit a et b deux entiers non nuls et c un entier. Si a divise b et b divise a alors a=b ou a=-b. Si a divise b et b divise c alors a divise c. Si a divise b et a divise c alors a divise ∝b+βc pour tous entiers α et β.
  • 2. L.S.Marsa Elriadh Divisibilité dans ℤ M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 2 Application 2: 1) a et n deux entiers. Démontrer que si a|2n+5 et a|3n-1 alors a|17. 2) Soit a un entier . démontrer que 8|3a+5 si et seulement si 8|a+23. 3) Déterminer tous les entiers n tels que 2 8 2 n n + − est un entier naturel. Exercice 1: Déterminer tous les couples (a,b) d’entiers naturels tels que : 1) a²-b²=24 2) ab-3b²=18. 3) 9a²=y²+20. Exercice 2: a et n deux entiers . montrer que : 1) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|85. 2) Si a|15n+2 et a|10n+7 alors a|17. Exercice 3: 1) Démontrer que pour tout entier n, 2n4 +3n²+3=(n²+3)(2n²-3)+12. 2) Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on (n²+3)| 2n4 +3n²+3. Exercice 4: 1) Soit n un entier naturel ; montrer que 8|(2n+1)²-1. 2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 3n+4 -52n+7 est divisible par 2. Activité 3: 1) Déterminer le plus grand entier inferieur ou égale à a b : a=2257 et b= 53 ; a= -2257 et b=53 2) Déterminer le plus petit entier supérieur ou égale à a b : a=2257 et b= -53 ; a= -2257 et b=-53
  • 3. L.S.Marsa Elriadh Divisibilité dans ℤ M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 3 Définition : a un entier et b un entier non nul. On appelle quotient de a par b et on note q l’entier défini de la manière suivante : Si b>0 ; q est le plus grand entier inferieur à a b . Si b<0 ; q est le plus petit entier supérieur ou égal à a b . Application 3: Calculer le quotient de a par b dans chaque cas : a 25698 45895 -326598 -259863 b -235 256 -145 1256 Activité 4: a un entier, b un entier non nul et q le quotient de a par b. on pose r=a-bq. Montrer que 0≤ r < |b|. Définition : a un entier, b un entier non nul. On appelle reste de a par b l’entier r=a-bq ou q est le quotient de a par b. Application 4: Calculer le reste de a par b dans chaque cas : a 25698 45895 -326598 -259863 b -235 256 -145 1256 Activité 5: a un entier et b un entier non nul. Supposons qu’il existe deux couples d’entiers (q,r) et (q’,r’) tels que a=bq+r , 0≤r<|b| et a=bq’+r’ , 0≤r’<|b|. montrer que q=q’ et r=r’. Théorème : Pour tout entier a et pour tout entier non nul b il existe un couple d’entiers unique (q,r) tel que a=bq+r et 0≤ r < |b|. ( dite division euclidienne de a par b ; q le quotient et r le reste de a par b)
  • 4. L.S.Marsa Elriadh Divisibilité dans ℤ M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 4 Application 5: Ecrire dans chaque cas la division euclidienne de a par b. a -25698 78569 -6598 9657 b 56 -61 -29 31 Exercice 5: 1) Déterminer selon le reste de la division euclidienne de l’entier n par 6, le reste de la division euclidienne de n² par 6. 2) Quel est le reste de la division euclidienne par 6 de 1943² ; 2000000² ? Exercice 6: Soit n un entier. Démontrer qu’un et un seul des entiers n, n+2, n+4 est divisible par 3. Exercice 7: Déterminer l’ensemble des entiers n tels que n3 -n+1 soit divisible par 7. Exercice 8: 1) Soit n un entier non nul. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de n² par4 ? 2) Existe-t-il des entiers a et b tel que a²+b²=10147 ? Définition : Soit n un entier naturel non nul et a et b deux entiers. Dire que a congru à b modulo n signifie que a-b est multiple de n. On note alors a≡b[n] Application 6: Les congruences suivantes sont-elles vraies ? 127≡37[3] ; -31 ≡ -96[7] ; 145≡1315 [5] Activité 6: Soit n un entier naturel non nul ; a un entier. Montrer qu’il existe un unique entier r appartenant à {0,1,…,n-1} tel que a≡r[n]. Théorème : Soit n un entier naturel non nul. Pour tout entier a il existe un unique entier r appartenant à {0,1,.,n-1} tel que a≡r[n].
  • 5. L.S.Marsa Elriadh Divisibilité dans ℤ M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 5 r est dit le reste modulo n de a Application 7: Déterminer le reste modulo 7 de 3256 et de -2356. Activité 7: n un entier naturel non nul, a et b deux entiers. 1) Montrer que si a et b ont le même reste modulo n alors a et b sont congrus modulo n. 2) Montrer que si a et b sont congru modulo n alors a et b ont le même reste modulo n. Théorème : Soit n un entier naturel non nul. Deux entiers sont congrus modulo n, si et seulement si , ils ont le même reste modulo n. Activité 8: Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que : 1) a≡a[n] 2) si a≡b[n] alors b≡a[n]. 3) si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n]. Propriétés : Soit a, b et c trois entiers et n un entier naturel non nul. a≡a[n] si a≡b[n] alors b≡a[n]. si a≡b[n] et b≡c[n] alors a≡c[n]. Activité 9: Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul. Montrer que : 1) si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n]. 2) si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et am ≡bm [n] pour out entier m>0 Propriétés : Soit a, b, c et d des entiers et n un entier naturel non nul. si a≡b[n] et c≡d[n] alors a+c≡b+d[n] et ac≡bd[n]. si a≡b[n] alors ah≡bh[n] pour tout entier h et am ≡bm [n] pour out entier m>0
  • 6. L.S.Marsa Elriadh Divisibilité dans ℤ M : Zribi 4 ème Maths Cours www.zribimaths.jimdo.com 6 Application 8: 1) démontrer que si [ ] [ ] [ ]2 5 3 5 ² ² 1 5a et b alors a b≡ ≡ + ≡ . 2) résoudre dans [ ]: 4 2 5x ≡ℤ . 3) démontrer que 1809235 -1 est divisible par 8. Exercice 9: Démontrer que : 1) pour tout entier naturel n, 32n -2n est divisible par 7. 2) Pour tout entier naturel n, 33n+2 +2n+4 est divisible par 5. 3) Pour tout entier n, n3 -6n²-n est divisible par 6. Exercice 10: 1) Démontrer que pour tout entier naturel k ; [ ]3 4 1 9k ≡ . 2) En déduire que pour tout k et r de IN, [ ]3 4 4 9k r r+ ≡ . 3) Soit n un entier naturel. Quels sont les restes possible module 9 de 4n+2 ? 4) Montrer que pour tout entier naturel n, 10n +3.4n+2 +5 est divisible par 9. Exercice 11: 1) Soit n un entier naturel. a) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 3n . b) Déterminer les restes possibles modulo 11 de 4n . 2) Déterminer les entiers naturels n tel que [ ]3 4 3 4 0 11n n+ + − ≡ . Exercice 12: 1) a) démontrer que pour tout entier naturel n, 23n -1 est un multiple de 7. b) en déduire que, pour tout entier naturel n, 23n+1 -2 est un multiple de 7 et 23n+2 -4 est un multiple de 7. 2) Déterminer les restes possibles modulo 7 des puissances de 2. 3) Le nombre p étant un entier naturel, on considère l’entier Ap=2p +22p +23p . a) Si p=3n, quel est le reste modulo 7 de Ap ? b) Démontrer que si p=3n+1, alors Ap est divisible par7. c) Etudier le cas ou p=3n+2. 4) On considère les nombres a=1001001000 et b=1000100010000, sont ils divisibles par 7.