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  • 1. Exo7 Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire Exercice 1 Mettre sous la forme a+ib (a;b 2 R) les nombres : 3+6i 34i ; 1+i 2i 2 + 3+6i 34i ; 2+5i 1i + 25i 1+i : Indication H Correction H Vidéo [000001] Exercice 2 Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : 1. Nombre de module 2 et d’argument p=3. 2. Nombre de module 3 et d’argument p=8. Indication H Correction H Vidéo [000003] Exercice 3 Calculer le module et l’argument de u = p 2 2 et v = 1i. En déduire le module et l’argument de w = uv p 6i . Indication H Correction H Vidéo [000011] Exercice 4 Déterminer le module et l’argument des nombres complexes : eeia et eiq +e2iq : Indication H Correction H Vidéo [000013] 2 Racines carrées, équation du second degré Exercice 5 Calculer les racines carrées de 1; i; 3+4i; 86i; et 7+24i. Indication H Correction H Vidéo [000027] Exercice 6 1. Calculer les racines carrées de 1p+i 2 . En déduire les valeurs de cos(p=8) et sin(p=8). 2. Calculer les valeurs de cos(p=12) et sin(p=12). 1
  • 2. Indication H Correction H Vidéo [000029] Exercice 7 Résoudre dans C les équations suivantes : z2+z+1 = 0 ; z2(1+2i)z+i1 = 0 ; z2 p 3zi = 0 ; z2(514i)z2(5i+12) = 0 ; z2(3+4i)z1+5i = 0 ; 4z22z+1 = 0 ; z4+10z2+169 = 0 ; z4+2z2+4 = 0: Indication H Correction H Vidéo [000031] 3 Racine n-ième Exercice 8 Calculer la somme Sn = 1+z+z2+ +zn. Indication H Correction H Vidéo [000047] Exercice 9 1. Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s’écrivent 1, j, j2. Calculer 1+ j+ j2 et en déduire les racines de 1+z+z2 = 0. 2. Résoudre zn = 1 et montrer que les racines s’écrivent 1; e; : : : ; en1. En déduire les racines de 1+z+z2+ +zn1 = 0. Calculer, pour p 2 N, 1+e p+e2p+ +e(n1)p. Correction H Vidéo [000048] Exercice 10 Trouver les racines cubiques de 22i et de 11+2i. Correction H Vidéo [000043] Exercice 11 1. Soient z1, z2, z3 trois nombres complexes distincts ayant le même cube. Exprimer z2 et z3 en fonction de z1. 2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans C de : z6+(7i)z388i = 0: (Indication : poser Z = z3 ; calculer (9+i)2) Correction H Vidéo [000056] 4 Géométrie Exercice 12 Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que : 1.
  • 14. z3 z5
  • 18. = p 2 2 : 2
  • 19. Indication H Correction H Vidéo [000060] Exercice 13 Montrer que pour u;v 2 C, on a ju+vj2+juvj2 = 2(juj2+jvj2): Donner une interprétation géométrique. Indication H Correction H Vidéo [000069] Exercice 14 Soit (A0;A1;A2;A3;A4) un pentagone régulier. On note O son centre et on choisit un repère orthonormé (O;!u ;!v ) avec !u = ! OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexes C. A0 A3 A1 A4 A2 i O 1 1. Donner les affixes w0; : : : ;w4 des points A0; : : : ;A4. Montrer que wk =w1 k pour k 2 f0;1;2;3;4g. Montrer que 1+w1+w2 1 +w3 1 +w4 1 = 0. 2. En déduire que cos( 2p 5 ) est l’une des solutions de l’équation 4z2 +2z1 = 0. En déduire la valeur de cos( 2p 5 ). 3. On considère le point B d’affixe 1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sin p 10 puis de p 5 (on 10 = cos 2p 5 ). remarquera que sin p 4. On considère le point I d’affixe i2 , le cercle C de centre I de rayon 12 et enfin le point J d’intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur BJ. 5. Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer. Correction H Vidéo [000077] 5 Trigonométrie Exercice 15 Soit z un nombre complexe de module r, d’argument q, et soit z son conjugué. Calculer (z+z)(z2+z2) : : : (zn+ zn) en fonction de r et q. Indication H Correction H Vidéo [000020] Exercice 16 En utilisant les nombres complexes, calculer cos5q et sin5q en fonction de cosq et sinq. Indication H Correction H Vidéo [000080] 3
  • 20. 6 Divers Exercice 17 Soit Z[i] = fa+ib ; a;b 2 Zg. 1. Montrer que si a et b sont dans Z[i] alors a +b et ab le sont aussi. 2. Trouver les élements inversibles de Z[i], c’est-à-dire les éléments a 2 Z[i] tels qu’il existe b 2 Z[i] avec ab = 1. 3. Vérifier que quel que soit w 2 C il existe a 2 Z[i] tel que jw aj 1. 4. Montrer qu’il existe sur Z[i] une division euclidienne, c’est-à-dire que, quels que soient a et b dans Z[i] il existe q et r dans Z[i] vérifiant : a = bq+r avec jrj jbj: (Indication : on pourra considérer le complexe ab ) Correction H Vidéo [000096] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 4
  • 21. Indication pour l’exercice 1 N Pour se “débarrasser” d’un dénominateur écrivez z1 z2 = z1 z2 ¯z2 ¯z2 = z1 ¯z2 jz2j2 . Indication pour l’exercice 2 N Il faut bien connaître ses formules trigonométriques. En particulier si l’on connait cos(2q) ou sin(2q) on sait calculer cosq et sinq. Indication pour l’exercice 3 N Passez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances : eiaeib = ei(a+b) et eia=eib = ei(ab): Indication pour l’exercice 4 N Pour calculer un somme du type eiu+eiv il est souvent utile de factoriser par ei u+v 2 . Indication pour l’exercice 5 N Pour z = a+ib on cherche w = a +ib tel que (a +ib)2 = a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que jwj2 = jzj. Indication pour l’exercice 6 N Il s’agit de calculer les racines carrées de 1p+i 2 = ei p 4 de deux façons différentes. Indication pour l’exercice 7 N Pour les équation du type az4+bz2+c = 0, poser Z = z2. Indication pour l’exercice 8 N Calculer (1z)Sn. Indication pour l’exercice 12 N Le premier ensemble est une droite le second est un cercle. Indication pour l’exercice 13 N Pour l’interprétation géométrique cherchez le parallélogramme. Indication pour l’exercice 15 N Utiliser la formule d’Euler pour faire apparaître des cosinus. Indication pour l’exercice 16 N Appliquer deux fois la formule de Moivre en remarquant ei5q = (eiq )5. 5
  • 22. Correction de l’exercice 1 N Remarquons d’abord que pour z 2 C, zz = jzj2 est un nombre réel, ce qui fait qu’en multipliant le dénominateur par son conjugué nous obtenons un nombre réel. 3+6i 34i = (3+6i)(3+4i) (34i)(3+4i) = 924+12i+18i 9+16 = 15+30i 25 = 3 5 + 6 5 i: Calculons 1+i 2i = (1+i)(2+i) 5 = 1+3i 5 ; et 1+i 2i 2 = 1+3i 5 2 = 8+6i 25 = 8 25 + 6 25 i: Donc 1+i 2i 2 + 3+6i 34i = 8 25 + 6 25 i 3 5 + 6 5 i = 23 25 + 36 25 i: Soit z = 2+5i 1i . Calculons z+z, nous savons déjà que c’est un nombre réel, plus précisément : z = 3 2 + 7 2 i et donc z+z = 3. Correction de l’exercice 2 N 1. z1 = 2ei p 3 +i sin p 3 ) = 2(12 3 = 2(cos p +i p 3 2 ) = 1+i p 3. 2. z2 = 3ei p 8 3i sin p 8 = 3 8 = 3cos p p 2+ p 2 2 3i p 2 p 2 2 . Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cos p 8 et sin p 8 : posons q = p 8 , alors 2q = p 4 et donc cos(2q) = p 2 2 = sin(2q). Mais cos(2q) = 2cos2 q 1. Donc cos2 q = cos(2q)+1 2 = 1 4 (2+ p 2). Et ensuite sin2 q = 1cos2 q = 14 (2 p 2). Comme 0 6 q = p 8 6 p 2 , cosq et sinq sont des nombres positifs. Donc cos p 8 = 1 2 q 2+ p 2 ; sin p 8 = 1 2 q 2 p 2: Correction de l’exercice 3 N Nous avons u = p 2i 2 p 6 = p 2 p 3 2 i 2 ! = p 2 cos p 6 i sin p 6 = p 2ei p 6 : puis v = 1i = p 2ei p 4 : Il ne reste plus qu’à calculer le quotient : u v = p 2ei p 6 p 2ei p 4 = ei p 6 +i p 4 = ei p 12 : Correction de l’exercice 4 N D’après la formule de Moivre pour eia nous avons : eeia = ecosa+i sina = ecosaei sina: Or ecosa 0 donc l’écriture précédente est bien de la forme “module-argument”. 6
  • 23. De façon générale pour calculer un somme du type eiu+eiv il est souvent utile de factoriser par ei u+v 2 . En effet eiu+eiv = ei u+v 2 ei uv 2 +ei uv 2 = ei u+v 2 2cos uv 2 = 2cos uv 2 ei u+v 2 : Ce qui est proche de l’écriture en coordonées polaires. Pour le cas qui nous concerne : z = eiq +e2iq = e3iq 2 h eiq 2 +eiq 2 i = 2cos q 2 e3iq 2 : Attention le module dans une décomposion en forme polaire doit être positif ! Donc si cos q 2 0 alors 2cos q 2 est le module de z et 3q=2 est son argument ; par contre si cos q 2 0 le module est 2jcos q 2 j et l’argument 3q=2+p (le +p compense le changement de signe car eip = 1). Correction de l’exercice 5 N Racines carrées. Soit z = a+ib un nombre complexe avec a;b 2 R; nous cherchons les complexes w 2 C tels que w2 = z. Écrivons w = a +ib. Nous raisonnons par équivalence : w2 = z,(a +ib)2 = a+ib ,a2b2+2iab = a+ib Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires : , ( a2b2 = a 2ab = b Sans changer l’équivalence nous rajoutons la condition jwj2 = jzj. , 8 : a2+b2 = p a2+b2 a2b2 = a 2ab = b Par somme et différence des deux premières lignes : , 8 : p a2+b2 2 a2 = a+ p a2+b2 2 b2 = a+ 2ab = b , 8 : q a = p a2+b2 2 a+ q b = p a2+b2 2 a+ ab est du même signe que b Cela donne deux couples (a;b) de solutions et donc deux racines carrées (opposées) w = a +ib de z. 7
  • 24. En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour z = 86i, w2 = z,(a +ib)2 = 86i ,a2b2+2iab = 86i , ( a2b2 = 8 2ab = 6 , 8 : a2+b2 = p 82+(6)2 = 10 le module de z a2b2 = 8 2ab = 6 , 8 : 2a2 = 18 b2 = 1 2ab = 6 , 8 : p 9 = 3 a = b = 1 a et b de signes opposés , 8 : a = 3 et b = 1 ou a = 3 et b = +1 Les racines de z = 86i sont donc w1 = 3i et w2 = w1 = 3+i. Pour les autres : – Les racines carrées de 1 sont : +1 et 1. – Les racines carrées de i sont : p 2 2 (1+i) et p 2 2 (1+i). – Les racines carrées de 3+4i sont : 2+i et 2i. – Les racines carrées de 7+24i sont : 4+3i et 43i. Correction de l’exercice 6 N Par la méthode usuelle nous calculons les racines carrées w;w de z = 1p+i 2 , nous obtenons w = sp 2+1 p 2 2 sp +i 21 p 2 2 ; qui peut aussi s’écrire : w = 1 2 q 2+ p 2+i 1 2 q 2 p 2: Mais nous remarquons que z s’écrit également z = ei p 4 et ei p 8 vérifie ei p 8 2 8 = ei p = e2ip 4 : Cela signifie que ei p 8 est une racine carrée de z, donc ei p 8 =cos p 8 +i sin p 8 est égal à w ou w. Comme cos p 8 0 alors ei p 8 = w et donc par identification des parties réelles et imaginaires : cos p 8 = 1 2 q 2+ p 2 et sin p 8 = 1 2 q 2 p 2: 8
  • 25. Correction de l’exercice 7 N Équations du second degré. La méthode génerale pour résoudre les équations du second degré az2+bz+c=0 (avec a;b;c 2 C et a6= 0) est la suivante : soit D = b24ac le discriminant complexe et d une racine carrée de D (d2 = D) alors les solutions sont : z1 = b+d 2a et z2 = bd 2a : Dans le cas où les coefficients sont réels, on retrouve la méthode bien connue. Le seul travail dans le cas complexe est de calculer une racine d de D. Exemple : pour z2 p 3zi = 0, D = 3+4i, dont une racine carrée est d = 2+i, les solutions sont donc : z1 = p 3+2+i 2 et z2 = p 32i 2 : Les solutions des autres équations sont : – L’équation z2+z+1 = 0 a pour solutions : 1 2 (1+i p 3), 1 2 (1i p 3). – L’équation z2(1+2i)z+i1 = 0 a pour solutions : 1+i, i. – L’équation z2 p 3zi = 0 a pour solutions : 12 (2 p 3+i), 12 (2 p 3i) – L’équation z2(514i)z2(5i+12) = 0 a pour solutions : 512i, 2i. – L’équation z2(3+4i)z1+5i = 0 a pour solutions : 2+3i, 1+i. – L’équation 4z22z+1 = 0 a pour solutions : 1 p 3), 14 4 (1+i (1i p 3). – L’équation z4+10z2+169 = 0 a pour solutions : 2+3i, 23i, 23i, 2+3i. – L’équation z4+2z2+4 = 0 a pour solutions : p 2 2 (1+i p 3), p 3), p 2 2 (1i p 2 2 (1+i p 3), p 3). p 2 2 (1i Correction de l’exercice 8 N Sn = 1+z+z2+ +zn = nå k=0 zk: Nous devons retrouver le résultat sur la somme Sn = 1zn+1 1z d’une suite géométrique dans le cas où z6= 1 est un réel. Soit maintenant z6= 1 un nombre complexe. Calculons Sn(1z). Sn(1z) = (1+z+z2+ +zn)(1z) développons = 1+z+z2+ +znzz2 zn+1 les termes intermédiaires s’annulent = 1zn+1: Donc Sn = 1zn+1 1z ; pour z6= 1: Correction de l’exercice 9 N Calcul de racine n-ième. Soit z 2 C tel que zn = 1, déjà jzjn = 1 et donc jzj = 1. Écrivons z = eiq . L’équation devient einq = e0 = 1,nq = 0+2kp; k 2 Z,q = 2kp n ; k 2 Z: Les solution sont donc S = n e2ikp o : n ; k 2 Z Comme le polynôme zn1 est de degré n il a au plus n racines. Nous choisissons pour représentants : S = n e2ikp o : n ; k = 0; : : : ;n1 De plus si e = e2ip n alors S = ek; k = 0; : : : ;n1 : Ces racines sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité. 9
  • 26. k=0 zk = 1zn Soit P(z) = ån1 1z pour z6= 1. Donc quelque soit z 2S n f1g P(z) = 0, nous avons ainsi trouver n1 racines pour P de degré n1, donc l’ensemble des racines de P est exactement S n f1g. Pour conclure soit Qp(z) = ån1 k=0 ekp. Si p = 0+`n, ` 2 Z alors ekp = ek`n = (en)k` = 1k` = 1. Donc Qp(z) = ån1 k=0 1 = n. Sinon Qp(z) est la somme d’une suite géométrique de raison e p : Qp(z) = 1(e p)n 1e p = 1(en)p 1e p = 11 1e p = 0: Correction de l’exercice 10 N 1. Les trois racines cubiques ont même module p 2, et leurs arguments sont p=12, 7p=12 et 5p=4. Des valeurs approchées sont 1;366030;36603i, 0;36603+1;36603i et 1i. p 3 2 (racine cubique de 1). 2. 12i, (12i) j et (12i) j2 où j = 1+i Correction de l’exercice 11 N Soient z1; z2; z3 trois nombres complexes distincts ayant le même cube. 1. z16= 0 car sinon on aurait z1 = z2 = z3 = 0. Ainsi ( z2 z1 )3 = ( z3 z1 )3 = 1. Comme les trois nombres 1; ( z2 z1 ) et ( z3 z1 ) sont distincts on en déduit que ce sont les trois racines cubiques de 1. Ces racines sont 1; j = e2ip 3 et j2 = e2ip 3 . A une permutation près des indices 2 et 3 on a donc : z2 = jz1 et z3 = j2z1: 2. Soit z 2 C. On a les équivalences suivantes : z6+(7i)z388i = 0,z3 est solution de Z2+(7i)Z88i = 0 Etudions l’équation Z2 +(7i)Z 88i = 0. D = (7i)2 +4(8+8i) = 80+18i = (9+i)2. Les solutions sont donc 8 et 1+i. Nous pouvons reprendre notre suite d’équivalences : z6+(7i)z388i = 0,z3 2 f8;1+ig ,z3 = (2)3 ou z3 = ( 6 p 2ei p 12 )3 3 ;2e2ip ,z 2 f2;2e2ip 3 g ou z 2 f 6 p 2ei p 12 ; 6 p 12 ; 6 p 2ei 9p 2ei 17p 12 g 3 ;2eip ,z 2 f2;2eip 3 ; 6 p 12 ; 6 p 2ei p 4 ; 6 p 2ei 3p 2ei 17p 12 g: L’ensemble des solutions est donc : f2;2eip 3 ; 6 p 3 ;2eip 12 ; 6 p 2ei p 4 ; 6 p 2ei 3p 2ei 17p 12 g: Correction de l’exercice 12 N Nous identifions C au plan affine et z = x+iy à (x;y) 2 RR. Remarquons que pour les deux ensembles z = 5 n’est pas solution, donc
  • 30. z3 z5
  • 34. = 1,jz3j = jz5j: Ce qui signifie préci´sement que les points d’affixe z sont situés à égale distance des points A;B d’affixes res-pectives 3 = (3;0) et 5 = (5;0). L’ensemble solution est la médiatrice du segment [A;B]. 10
  • 39. z3 z5
  • 43. = p 2 2 ,jz3j2 = 1 2 jz5j2 ,(z3)(z3) = 1 2 (z5)(z5) ,zz(z+z) = 7 ,jz1j2 = 8 p ,jz1j = 2 2 L’ensemble solution est donc le cercle de centre le point d’affixe 1 = (1;0) et de rayon 2 p 2. Correction de l’exercice 13 N ju+vj2+juvj2 = (u+v)( ¯ u+ ¯ v)+(uv)( ¯ u ¯ v) = 2u ¯ u+2v ¯ v = 2juj2+2jvj2: Géométriquement il s’agit de l’identité du parallélogramme. Les points d’affixes 0;u;v;u+v forment un paral-lélogramme. juj et jvj sont les longueurs des cotés, et ju+vj; juvj sont les longueurs des diagonales. Il n’est pas évident de montrer ceci sans les nombres complexes ! ! Correction de l’exercice 14 N ! OA0; 1. Comme (A0; : : : ;A4) est un pentagone régulier, on a OA0 =OA1 =OA2 =OA3 =OA4 =1 et ( ! OA1)= ! OA0; 2p 5 [2p]; ( ! OA2)= 4p ! OA0; 5 [2p]; ( ! OA3)=4p ! OA0; 5 [2p]; ( ! OA4)=2p 5 [2p];. On en déduit : w0 =1;w1 = e2ip 5 ;w3 = e4ip 5 ;w2 = e4ip 5 ;w4 = e2ip 5 = e6ip 5 = e8ip 5 ;. On a bien wi = wi1 . Enfin, comme w16= 0, 1+w1+ : : :+w4 1 = 1w5 1 1w1 = 11 1w1 = 0. 1 ) = 1+2cos( 2p 2. Re(1+w1 +: : :+w4 5 )+2cos( 4p 5 ). Comme cos( 4p 5 ) = 2cos2( 2p 5 )1 on en déduit : 4cos2( 2p 5 )+2cos( 2p 5 )1 = 0. cos( 2p 5 ) est donc bien une solution de l’équation 4z2 +2z1 = 0. Etu-dions cette équation : D = 20 = 22:5. Les solutions sont donc 1 p 5 4 et 1+ p 5 4 . Comme cos( 2p 5 ) 0, on en déduit que cos( 2p 5 ) = p 51 4 . 3. BA22 = jw2+1j2 = jcos( 4p 5 )+i sin( 4p 5 )+1j2 = 1+2cos( 4p 5 )+cos2( 4p 5 )+sin2( 4p 5 ) = 4cos2( 2p 5 ). Donc BA2 = p 51 2 . 4. BI = ji=2+1j = p 5 2 . BJ = BI1=2 = p 51 2 . 5. Pour tracer un pentagone régulier, on commence par tracer un cercle C1 et deux diamètres orthogonaux, qui jouent le rôle du cercle passant par les sommets et des axes de coordonnées. On trace ensuite le milieu d’un des rayons : on obtient le point I de la question 4. On trace le cercle de centre I passant par le centre de C1 : c’est le cercle C . On trace le segment BI pour obtenir son point J d’intersection avec C . On trace enfin le cercle de centre B passant par J : il coupe C1 en A2 et A3, deux sommets du pentagone. Il suffit pour obtenir tous les sommets de reporter la distance A2A3 sur C1, une fois depuis A2, une fois depuis A3. (en fait le cercle de centre B et passant par J0, le point de C diamétralement opposé à J, coupe C1 en A1 et A4, mais nous ne l’avons pas justifié par le calcul : c’est un exercice !) Correction de l’exercice 15 N 11
  • 44. Écrivons z = reiq , alors z = reiq . Donc P = nÕ k=1 zk +zk = nÕ k=1 rk (eiq )k +(eiq )k = nÕ k=1 rk eikq +eikq ) = nÕ k=1 2rk cos kq = 2n:r:r2: : : : :rn nÕ k=1 coskq = 2nr n(n+1) 2 nÕ k=1 cos kq: Correction de l’exercice 16 N Nous avons par la formule de Moivre cos5q +i sin5q = ei5q = (eiq )5 = (cosq +i sinq)5: On développe ce dernier produit, puis on identifie parties réelles et parties imaginaires. On obtient : cos5q = cos5 q 10cos3 q sin2 q +5cosq sin4 q sin5q = 5cos4 q sinq 10cos2 q sin3 q +sin5 q Remarque : Grâce à la formule cos2 q +sin2 q = 1, on pourrait continuer les calculs et exprimer cos5q en fonction de cosq, et sin5q en fonction de sinq. Correction de l’exercice 17 N 1. Soit a;b 2 Z[i]. Notons a = a+ib et b = c+id avec a;b;c;d 2 Z. Alors a +b = (a+c)+i(b+d) et a+c 2 Z, b+d 2 Z donc a +b 2 Z[i]. De même, ab = (acbd)+i(ad +bc) et acbd 2 Z, ad+bc 2 Z donc ab 2 Z[i]. 2. Soit a 2 Z[i] inversible. Il existe donc b 2 Z[i] tel que ab = 1. Ainsi, a6= 0 et 1a 2 Z[i]. Remar-quons que tout élément non nul de Z[i] est de module supérieur ou égal à 1 : en effet 8z 2 C; jzj sup(jRe(z)j; jIm(z)j) et si z 2 Z[i]n f0g, sup(jRe(z)j; jIm(z)j) 1. Si jaj6= 1 alors jaj 1 et j1=aj 1. On en déduit 1=a = 0 ce qui est impossible. Ainsi jaj = 1, ce qui implique a 2 f1;1; i;ig. Réciproquement, 11 = 1 2 Z[i]; (1)1 = 1 2 Z[i]; i1 = i 2 Z[i]; (i)1 = i 2 Z[i]. Les éléments inversibles de Z[i] sont donc 1;1; i et i. 3. Soit w 2 C. Notons w = x+iy avec x;y 2 R. soit E(x) la partie entière de x, i.e. le plus grand entier inférieur ou égal à x : E(x) 6 x E(x)+1. Si x 6 E(x)+1=2, notons nx = E(x), et si x E(x)+ 1=2, notons nx = E(x)+1. nx est le, ou l’un des s’il y en a deux, nombre entier le plus proche de x : jxnxj 6 1=2. Notons ny l’entier associé de la même manière à y. Soit alors a = nx +i ny. z 2 Z[i] et jw aj2 = (xnx)2+(yny)2 6 1=4+1=4 = 1=2. Donc jw aj 1. 4. Soit a;b 2 Z[i], avec b6= 0. Soit alors q 2 Z[i] tel que jab qj 1. Soit r = a bq. Comme a 2 Z[i] et bq 2 Z[i], r 2 Z[i]. De plus jrb j = jab qj 1 donc jrj jbj. 12