Le document est un examen de mathématiques de l'université Larbi Ben M'hidi, portant sur des fonctions holomorphes, des séries entières et des intégrales. Il comprend trois exercices avec des points attribués, détaillant des thématiques telles que la convergence des séries et le calcul d'intégrales sur des courbes définies. Les dates et la durée de l'examen sont également indiquées.

1. Universit´e Larbi ben M’hidi Oum EL Bouaghi
D´epartement de sciences et de la technologie
Examen : MATHS 040
2i`eme
ann´ee ST
La date : 25− 05 − 2013
Dur´ee : 1h
: 30m
Exercice 1 :(6 points)
Montrer que les fonctions avec une variable complexe suivantes sont holomorphes :
a) z → cos z sur C
b) z → chz sur C
c) z → 2z3
sur C.
Exercice 2 : (7 points)
Soit les s´eries enti`eres suivantes :
f(z) =
+∞
n=0
(1 + i)n zn
n!
et g(z) =
+∞
n=0
(1 − i)n zn
n!
1) Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres f et g.
2) Calculer la somme des s´eries enti`eres f et g.
3) En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere les fonctions suivantes
h(z) = ez
cos z et l(z) = ez
sin z.
Exercice 3 : (7 points)
Calculer les int´egrales suivantes :
1)
γ
dz
2z2 − 5z + 2
o`u γ d´esignant le cercle unit´e | z |= 1.
2)
γ
sin(πz2
) + cos(πz2
)
(z − 1)(z − 2)
dz
o`u γ d´esignant le cercle | z |= 3.
3)
+∞
−∞
dx
x2 + x + 1
.
Bon courage
Responsable de module Djeddi K amel.