Le document traite des applications linéaires dans des espaces vectoriels, en montrant la linéarité d'une certaine application f et en calculant son noyau et son image. Il aborde également d'autres applications linéaires, leur formulation et la détermination de leur rang, noyau et image, ainsi que des isomorphismes. Des calculs détaillés et des corrections d'exercices sont fournis pour expliquer ces concepts mathématiques.

1. On considère l’application f définie de 3
IR vers 3
IR par : ),,()),,(( zzxzyzyxf +−=
1) Montrer que l’application f est linéaire.
2) Calculer ff o et en déduire que f est un automorphisme.
3) Déterminer )( fKer et )Im( f .
Exercice 2
1) On considère l’application linéaire f définie de 3
IR vers 4
IR par :
),,,()),,((:),,( 3
zyxxzzyyxzyxfIRzyx +++++=∈∀
a) Calculer l’image de la base canonique de 3
IR par f .
b) En déduire une base de )Im( f et le rang de f ( ))( frg .
c) Déterminer le noyau de f ( ))( fKer et en déduire le rang de f ( ))( frg .
2) Mêmes questions pour l’application linéaire g définie de 3
IR vers 4
IR par :
),,,()),,((:),,( 3
zyxzyxzyxzyxzyxgIRzyx −+−+−−+−−+=∈∀
1) Déterminer une base de )Im( f et une base de )( fKer pour chacune des applications
linéaires.
a) f définie de
3
IR vers
2
IR par : ),(),,( zyxzyxzyxf −−+−=
b) f définie de
3
IR vers
2
IR par : ),(),,( xzyzyxzyxf −+−−=
c) f définie de
2
IR vers
3
IR par : ),,(),( yxxyyxyxf −+−=
d) f définie de
3
IR vers
3
IR par : ),22,2(),,( zyxzyxzyxzyxf −+−++++=
e) f définie de
3
IR vers
3
IR par : ),,(),,( zyxzyxzyxzyxf −++−++=
2) Déterminer
1−
f si elle existe.
Dans 3
IR , on considère le sous espace vectoriel V défini par { }0/),,( 3
=−∈= zxIRzyxV .
1) Donner une base B du sous espace vectoriel V .
2) On considère l’application linéaire g définie de V vers 2
IR par :
),()),,(( yxyxzyxg −+=
a) Calculer l’image de la base B par f et en déduire une base de )Im(g .
b) Montrer que g est un isomorphisme de V vers 2
IR et déterminer
1−
g .
Série 2: Applications linéaires
Exercice 1
Exercice 3
Exercice 4
E-mail:djeddi.kamel@gmail.com
2015

2. Correction de l’exercice 1
1) Montrons que l’application f est linéaire.
♦ Soit ( )23
),( IRyx ∈ : ),,( 321 xxxx = et ),,( 321 yyyy =
On vérifie que 2
),( IR∈∀ βα , on a : ( ) ( )yfxfyxf ..)..( βαβα +=+
♦ L’application f est alors linéaire.
2)
♦ Calcul de l’application ff o .
( )( ) ( )( ) ( )zzxzyfzyxffzyxffzzxzyzyxf ,,,,,,),,()),,(( +−==⇒+−= o
( )( ) ( ) ( ) ),,(,)(,)(,,,, zyxzzzyzzxzzxzyzyxff =+−−+=+−=⇒ o
⇒ 3
IR
Idff =o
♦ f est un automorphisme :
L’application f est linéaire.
L’application f est bijective et ff =−1
: 3
IR
Idff =o
3) Déterminons )( fKer et )Im( f .
♦ Déterminons )( fKer : { })0,0,0(),,(/),,()( 3
=∈= zyxfIRzyxfKer
)(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0(),,( =+− zzxzy
ssi





=
=+
=−
0
0
0
z
zx
zy
ssi





=
=−=
==
0
0
0
z
zx
zy
{ })0,0,0()( =fKer
♦ Déterminons )Im( f : >=< )(),(),(Im 321 efefeff , { }321 ,, eee une base de 3
IR
{ }321 ,, eee la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e , )1,0,0(3 =e





−==
==
==
)1,1,1()(
)0,0,1()(
)0,1,0()(
33
22
11
efu
efu
efu
: >=< 321 ,,Im uuuf
On pose { }321 ,, uuuS = : >=< 321 ,,Im uuuf
Corrections
E-mail:djeddi.kamel@gmail.com

3. Correction de l’exercice 2
1) ),,,()),,(( zyxxzzyyxzyxf +++++=
a) Calculons l’image de la base canonique { }321 ,, eee de 3
IR par f .





=
=
=
⇒





=
=
=
)1,1,1,0()(
)1,0,1,1()(
)1,1,0,1()(
)1,0,0(
)0,1,0(
)0,0,1(
3
2
1
3
2
1
ef
ef
ef
e
e
e
b) Déduisons en une base de )Im( f et ( ))( frg
♦ Déterminons une base de )Im( f
>>=<=< 321321 ,,)(),(),(Im uuuefefeff avec :





=
=
=
)1,1,1,0(
)1,0,1,1(
)1,1,0,1(
3
2
1
u
u
u
Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
Cherchons si 3)( =Srg : { }321 ,, uuuS = est-il libre ?
0
00
0
0
0
)0,0,0,0(... 321
321
213
23
21
321
31
32
21
332211 ===⇒







=++
=−=
−=
−=
⇒







=++
=+
=+
=+
⇒=++ ααα
ααα
ααα
αα
αα
ααα
αα
αα
αα
ααα uuu
Le système { }321 ,, uuuS = est alors libre 3)( =⇒ Srg
♦ { }321 ,, uuu est alors une base de fIm :
3
Im IRf =
♦ ⇒== 3)dim(Im)( ffrg 3)( =frg
c) Déterminons une base de )( fKer et ( ))( frg
♦ Déterminons une base de )( fKer : { })0,0,0,0(),,(/),,()( 3
=∈= zyxfIRzyxfKer
Déterminons le rang du système 321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
o Cherchons si 3)( =Srg : { }321 ,, uuuS = est-il libre ?
o )0,0,0(.. 332211 =++ uuu ααα
o )0,0,0()1,1,1.()0,0,1.()1,0,1.( 321 =−++⇒ ααα

4. )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0,0(),,,( =++++++ zyxzxzyyx
ssi







=++
=+
=+
=+
0
0
0
0
zyx
zx
zy
yx
ssi







−−=
−=
=−=
−=
zxy
xz
xyz
yx
ssi 0=== zyx
♦ Donc : { })0,0,0()( =fKer , ( ) 0)(dim =fKer
♦ ( ) ( ) ⇒−=⇒=+ )(dim3)(dim)(dim)( 3
fKerfrgIRfKerfrg 3)( =frg
2) ),,,()),,(( zyxzyxzyxzyxzyxg −+−+−−+−−+=
a) Calculons l’image de la base canonique { }321 ,, eee de 3
IR par g .





−−=
−−=
−−=
⇒





=
=
=
)1,1,1,1()(
)1,1,1,1()(
)1,1,1,1()(
)1,0,0(
)0,1,0(
)0,0,1(
3
2
1
3
2
1
eg
eg
eg
e
e
e
b) Déduisons en une base de )Im(g et ( ))(grg
♦ Déterminons une base de )Im(g
>>=<=< 321321 ,,)(),(),(Im uuuegegegf avec :





−−=
−−=
−−=
)1,1,1,1(
)1,1,1,1(
)1,1,1,1(
3
2
1
u
u
u
Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
Cherchons si 3)( =Srg : { }321 ,, uuuS = est-il libre ?
{ }321 ,, uuuS = est lié car 23 uu −= 3)( <⇒ Srg
• Cherchons si 2)( =Srg :
Le système { }21,uu (ou bien { }31,uu ) est libre (calcul) 2)( =⇒ Srg
♦ { }21,uu et { }31,uu sont deux base de gIm : >>=<=< 3121 ,,Im uuuug
♦ ⇒== 2)dim(Im)( ggrg 2)( =grg

5. c) Déterminons une base de )(gKer et ( ))(grg
♦ Déterminons une base de )(gKer :
{ })0,0,0,0(),,(/),,()( 3
=∈= zyxgIRzyxgKer
)(),,( gKerzyx ∈ ssi )0,0,0,0(),,,( =++++++ zyxzxzyyx
ssi







=−+−
=+−−
=+−
=−+
0
0
0
0
)4(
)3(
)2(
)1(
zyx
zyx
zyx
zyx
ssi



+−
=−+
zyx
zyx 0
)2(
)1(
ssi



=
=
−
+
zy
x 0
)2()1(
)2()1(
ssi )1,1,0.(),,0(),,( yyyzyx == , ( )IRy ∈
♦ Donc : >=< )1,1,0()(gKer , ( ) 1)(dim =gKer
♦ ( ) ( ) ⇒−=⇒=+ )(dim3)(dim)(dim)( 3
gKergrgIRgKergrg 2)( =grg
Correction de l’exercice 3
1) Déterminons )( fKer et )Im( f .
a. ),(),,( zyxzyxzyxf −−+−=
Déterminons une base de )( fKer : { })0,0(),,(/),,()( 3
=∈= zyxfIRzyxfKer
o )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0(),( =−−+− zyxzyx
o ssi



=−−
=+−
0
0
zyx
zyx
ssi



−=
=−
yxz
yx 0
ssi



=
=
0z
yx
o >=< )0,1,1()( fKer , { })0,1,1( est une base de )( fKer
Déterminons une base de )Im( f : >=< )(),(),(Im 321 efefeff
o { }321 ,, eee la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e , )1,0,0(3 =e
o On pose { }321 ,, uuuS = avec





−==
−−==
==
)1,1()(
)1,1()(
)1,1()(
33
22
11
efu
efu
efu
: >=< 321 ,,Im uuuf

6. o Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
• Cherchons si 3)( =Srg : { }321 ,, uuuS = est-il libre ?
{ }321 ,, uuuS = est lié car 12 uu −= 3)( <⇒ Srg
• Cherchons si 2)( =Srg :
Le système { }32,uu (ou bien { }31,uu ) est libre (calcul) 2)( =⇒ Srg
o { }32,uu et { }31,uu sont deux base de fIm
o >>=<=< 3132 ,,Im uuuuf ,
2
Im IRf =
b. ),(),,( xzyzyxzyxf −+−−=
Déterminons une base de )( fKer : { })0,0(),,(/),,()( 3
=∈= zyxfIRzyxfKer
o )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0(),( =++−−− zyxzyx
o ssi



=++−
=−−
0
0
zyx
zyx
ssi 0=−− zyx ssi zyx += , ( )IRzy ∈,
o ssi )1,0,1.()0,1,1.(),,(),,( zyzyzyzyx +=+= , ( )IRzy ∈,
o Donc : >=< )1,0,1(),0,1,1()( fKer , { })1,0,1(),0,1,1( est une base de )( fKer
Déterminons une base de )Im( f : >=< )(),(),(Im 321 efefeff
o { }321 ,, eee la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e , )1,0,0(3 =e
o On pose { }321 ,, uuuS = avec





−==
−==
−==
)1,1()(
)1,1()(
)1,1()(
33
22
11
efu
efu
efu
: >=< 321 ,,Im uuuf
o Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
• Cherchons si 3)( =Srg : { }321 ,, uuuS = est-il libre ?
{ }321 ,, uuuS = est lié car 123 uuu −== 3)( <⇒ Srg
• Cherchons si 2)( =Srg :
Le système { }21,uu est lié car 12 uu −=
Le système { }31,uu est lié car 13 uu −=
Le système { }32,uu est lié car 23 uu =
• 2)( <⇒ Srg

7. o Le système { }1u est libre 1)( =⇒ Srg
o { }1u est alors une base de fIm : >=>=<=< 321Im uuuf
c. ),,(),( yxxyyxyxf −+−=
Déterminons une base de )( fKer : { })0,0,0(),(/),()( 2
=∈= yxfIRyxfKer
o )(),( fKeryx ∈ ssi )0,0,0(),,( =−+− yxxyyx
o ssi



=+
=−
0
0
yx
yx
ssi



−=
=
yx
yx
ssi 0== yx
o Donc : { })0,0()( =fKer
Déterminons une base de )Im( f : >=< )(),(Im 21 efeff
o { }21,ee la base canonique de 2
IR : )0,1(1 =e , )1,0(2 =e
o On pose { }21,uuS = , avec



−−==
==
)1,1,1()(
)1,1,1()(
22
11
efu
efu
: >=< 21,Im uuf
o Déterminons le rang du système { }21,uuS = : 2)(1 ≤≤ Srg
• Cherchons si 2)( =Srg : { }21,uuS = est-il libre ? { }21,uuS = est libre (calcul)
o 2)( <⇒ Srg
o { }21,uuS = est alors une base de fIm : >=< 21,Im uuf
d. ),22,2(),,( zyxzyxzyxzyxf −+−++++=
Déterminons une base de )( fKer : { })0,0,0(),,(/),,()( 3
=∈= zyxfIRzyxfKer
o )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0(),22,2( =−+−++++ zyxzyxzyx
o ssi





=−+−
=++
=++
0
022
02
)3(
)2(
)1(
zyx
zyx
zyx
ssi





=+
−=+
=+
yzx
yzx
y
)(2
0
)3(
)2(
)3()1(
ssi





∈
−=
=
IRx
xz
y 0
o ssi )1,0,1.(),0,(),,( −=−= xxxzyx , ( )IRx∈
o Donc : >−=< )1,0,1()( fKer
Déterminons une base de )Im( f : >=< )(),(),(Im 321 efefeff
o { }321 ,, eee la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e , )1,0,0(3 =e

8. o On pose { }321 ,, uuuS = avec





−==
==
−==
)1,2,1()(
)1,1,2()(
)1,2,1()(
33
22
11
efu
efu
efu
: >=< 321 ,,Im uuuf
o Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
• Cherchons si 3)( =Srg : { }321 ,, uuuS = est-il libre ?
{ }321 ,, uuuS = est lié car 13 uu = 3)( <⇒ Srg
• Cherchons si 2)( =Srg :
Le système { }21,uu (ou bien { }32,uu ) est libre (calcul) 2)( =⇒ Srg
o { }21,uu et { }32,uu sont deux base de fIm : >>=<=< 3221 ,,Im uuuuf
e. ),,(),,( zyxzyxzyxzyxf −++−++=
Déterminons une base de )( fKer : { })0,0,0(),,(/),,()( 3
=∈= zyxfIRzyxfKer
o )(),,( fKerzyx ∈ ssi )0,0,0(),,( =−++−++ zyxzyxzyx
o ssi





=−+
=+−
=++
0
0
0
)3(
)2(
)1(
zyx
zyx
zyx
ssi





=
=
=
+
−
−
0
0
0
)3()2(
)2()1(
)3()1(
x
y
z
o Donc : { })0,0,0()( =fKer
Déterminons une base de )Im( f : >=< )(),(),(Im 321 efefeff
o { }321 ,, eee la base canonique de 3
IR : )0,0,1(1 =e , )0,1,0(2 =e , )1,0,0(3 =e
o On pose { }321 ,, uuuS = avec





−==
−==
==
)1,1,1()(
)1,1,1()(
)1,1,1()(
33
22
11
efu
efu
efu
: >=< 321 ,,Im uuuf
o Déterminons le rang du système { }321 ,, uuuS = : 3)(1 ≤≤ Srg
• Cherchons si 3)( =Srg : { }321 ,, uuuS = est-il libre ?
On vérifie que { }321 ,, uuuS = est libre (calcul).
• 3=⇒ S

9. o { }321 ,, uuu est alors une base de fIm :
3
Im IRf =
Pour déterminer une base de )Im( f , sans calcul, il suffit de remarquer que :
o f est injective car : { })0,0,0()( =fKer
o f est alors un endomorphisme injectif de 3
IR , donc f est bijective.
o Donc f est surjective et alors
3
Im IRf =
2) Déterminons
1−
f , lorsqu’elle existe.
a. f définie de
3
IR vers
2
IR par : ),(),,( zyxzyxzyxf −−+−=
23
dimdim IRIR > , donc f ne peut pas être injective donc f ne peut pas être bijective :
o
2
Im IRf = donc f est surjective.
o { })0,0,0()( ≠fKer donc f n’est pas injective.
b. f définie de
3
IR vers
2
IR par : ),(),,( xzyzyxzyxf −+−−=
23
dimdim IRIR > , donc f ne peut pas être injective donc f ne peut pas être bijective :
o 1)dim(Im =f , donc
2
Im IRf ≠ donc f n’est pas surjective.
o { })0,0,0()( ≠fKer donc f n’est pas injective.
c. f définie de
2
IR vers
3
IR par : ),,(),( yxxyyxyxf −+−=
23
dimdim IRIR < , donc f ne peut pas être surjective donc f ne peut pas être
bijective :
o 2)dim(Im =f , donc
3
Im IRf ≠ donc f n’est pas surjective.
o { })0,0()( =fKer donc f est injective.
o f définie de
3
IR vers
3
IR par : ),22,2(),,( zyxzyxzyxzyxf −+−++++=
33
dimdim IRIR = , donc f peut être bijective :
f est bijective ssi f est injective ssi f est surjective
o 2)dim(Im =f donc
3
Im IRf ≠ et f n’est pas surjective.
o { })0,0,0()( ≠fKer donc f n’est pas injective.
o f n’est alors pas un automorphisme de 3
IR .

10. d. f définie de
3
IR vers
3
IR par : ),,(),,( zyxzyxzyxzyxf −++−++=
33
dimdim IRIR = , donc f peut être bijective :
f est bijective ssi f est injective ssi f est surjective
o 3
Im IRf = donc f est surjective.
o { })0,0,0()( =fKer donc f est injective.
o f est alors un automorphisme de 3
IR .
♦ Déterminons alors
1−
f .
1−
f définie de
3
IR vers
3
IR par : ),,(),,(1
zyxZYXf =−
ssi ),,(),,( ZYXzyxf =
),,(),,( ZYXzyxf = ssi ),,(),,( ZYXzyxzyxzyx =−++−++
ssi





=−+
=+−
=++
Zzyx
Yzyx
Xzyx
)3(
)2(
)1(
ssi





+=
−=
−=
+
−
−
ZYx
YXy
ZXz
2
2
2
)3()2(
)2()1(
)3()1(
ssi








+=
−=
−=
ZYx
YXy
ZXz
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
♦ La bijection réciproque
1−
f de ),,(),,( zyxzyxzyxzyxf −++−++= est alors définie de
3
IR vers
3
IR par : 





−−+=−
ZXYXZYZYXf
2
1
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
2
1
),,(1
Correction de l’exercice 2
1) Déterminons une base de { }0/),,( 3
=−∈= zxIRzyxV :
♦ Vzyx ∈),,( ssi 0== zx ssi )1,0,1.()0,1,0.(),,(),,( xyxyxzyx +== , ( )IRyx ∈,
♦ Donc : { })1,0,1(),0,1,0(=B est une base de V , 2dim =V
2) l’application linéaire g définie de V vers 2
IR par : ),()),,(( yxyxzyxg −+=

11. a) Calculons l’image de la base B de V par g .
{ }



=
−=
⇒



=
=
=
)1,1()(
)1,1()(
)1,0,1(
)0,1,0(
:,
2
1
2
1
21
ug
ug
u
u
uuB
b) Montrons que g est un isomorphisme de V vers 2
IR et déterminons
1−
g .
♦ Montrons que g est un isomorphisme de V vers 2
IR :
g est une application linéaire de V vers 2
IR et 2)dim(dim 2
== IRV
Pour montrer que g est un isomorphisme, il suffit alors de montrer que g est injective
ou g est surjective.
Montrons que g est injective : { })0,0,0()(
?
=gKer
o Déterminons )(gKer : { })0,0(),,(/),,()( =∈= zyxgVzyxfKer
o )(),,( gKerzyx ∈ ssi





=−
=+
=−
0
0
0
yx
yx
zx
ssi 0=== zyx
o Donc : { })0,0,0()( =gKer
g est alors injective donc bijective.
Ou bien :
Montrons que g est surjective :
2
?
)Im( IRg =
o >>=<=< 2121 ,))(),(Im vvugugg avec :



=
−=
)1,1(
)1,1(
2
1
v
v
o Déterminons le rang du système { }21,vvS = : 2)(1 ≤≤ Srg
o Le système { }21,vvS = est libre (calcul) 2)dim(Im2)( =⇒=⇒ gSrg
o { }21,uu est alors une base de gIm :
2
)Im( IRg =
g est alors surjective donc bijective.
♦ g est alors un isomorphisme de V vers 2
IR .

12. ♦ Déterminons
1−
g : ),,(),(1
zyxYXg =−
ssi ),(),,( YXzyxg = , avec Vzyx ∈),,(
( )VzyxYXzyxg ∈= ),,(),,(),,( ssi





=−
=+
=−
Yyx
Xyx
zx 0
)3(
)2(
)1(
ssi





−=
+=
=
−
+
YXy
YXx
xz
2
2
)3()2(
)3()2(
)1(
ssi








−=
+=
+=
YXy
YXx
YXz
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
♦ L’isomorphisme réciproque
1−
g de ),()),,(( yxyxzyxg −+= est alors définie de 2
IR vers
par : 





+−+=−
YXYXYXYXg
2
1
2
1
,
2
1
2
1
,
2
1
2
1
),(1