Espact4etryeryyer5yryreye Euclidien Rn.pdf

Algèbre 1
Chapitre IV: Espace Euclidien Rn
Mohammed Karmouni
Faculté polydisciplinaire-Safi-
SMPC
A.U: 2020-2021
Pr. Karmouni Mohammed (UCA) FPS 1 / 40

Sommaire
1 La structure de Rn
2 Systèmes de vecteurs Libres
3 La structure de l’espace euclidien Rn
4 Projecteurs et symétries orthogonaux

Sommaire

Définition
Soit n un entier naturel. Rn
est le produit cartésien de n copies de R. C’est à
dire
Rn
= {(a1,a2,a3,...,an) tel que a1,a2,a3,...,an ∈ R}
Pour n = 1, R1
= R
Pour n = 2, R2
=: {(a1,a2) tel que a1,a2 ∈ R}
Définition
Pour n ∈ N∗, on définit dans Rn
les deux opérations.
1 ∀a = (a1,a2,...,an) ∈ Rn
et b = (b1,b2,b3,...,bn) ∈ Rn
:
a +b = (a1,a2,...,an)+(b1,b2,...,bn) = (a1 +b1,a2 +b2,...,an +bn)
a +b est appelé la somme de a et b.
2 ∀α ∈ R et a = (a1,a2,...,an) ∈ Rn
: α(a1,a2,...,an) = (αa1,αa2,...,αan)
αa est appelé le produit de α par a. Cette opéartion est appelée la
multiplication externe dans Rn
sur R.

Définition
Soit n ∈ N∗.
On dit que Rn
, muni de l’addition et la multiplication externe sur R, est un
espace vectoriel et on note Rn
est un e.v.
Les éléments de R sont appelés les scalaires.
Les éléments de Rn
sont appelés les vecteurs de Rn
.
Le vecteur (0,0,0,...,0) est appelé le vecteur nul et noté 0n.
Définition
Soient n,p ∈ N∗ et a1,a2,...,ap ∈ Rn
. On dit que a est une combinaison
linéaire de a1,a2,...,ap s’il existe λ1,λ2,...,λp ∈ R tels que
a =
p
∑
i=1
λi ai = λ1a1 +λ2a2 +...+λpap

Définition
Une partie E de Rn
est dite sous espace vectoriel de Rn
et on note E est un
s.e.v s’elle vérifie les trois propriétés suivantes :
1 E est non vide : E 6= /
0.
2 E est stable par l’addition : ∀a,b ∈ E, a +b ∈ E.
3 E est stable par la multiplication par un scalaire : ∀a ∈ E,∀λ ∈ R, λa ∈ E.
Exemple :
1) Rn
est un sous espace vectoriel de Rn
.
2) {0n} est un s.e.v de Rn
.
Propriétés
1) Si E est un sous espace vectoriel de Rn
alors 0n ∈ E.
2) Si E et F sont deux sous espaces vectoriels de Rn
alors E ∩F est un sous
espaces vectoriel de Rn
.

Sommaire

Soit S = (a1,a2,...,an) un système de vecteurs de Rn
.
1 On note par Vect(S) = Vect(a1,a2,...,ap) l’ensemble des combinaisons
linéaires des vecteurs a1,a2,...,ap
Vect(S) = {α1a1 +α2a2 +...+αpap; α1,α2,...,αp ∈ R}
2 On note Vect(/
0) = {0n}
Vect(S) est un sous espace vectoriel de Rn
contenant a1,a2,...,ap et c’est le
plus petit sous espace vectoriel de Rn
contenant les vecteurs a1,a2,...,ap.

Définition
Soient n,p ∈ Nn
et S = (a1,a2,...,ap) un système de vecteurs de Rn
.
1 On dit que le système S est lié ou que a1,a2,...,ap sont linéairement
dépendants s’il existe des scalaires α1,α2,...,αp ∈ R non nuls tels que :
p
∑
i=1
αi ai = α1a1 +α2a2 +...+αpap = 0
2 Dans le cas contraire on dit que le système S est libre ou que a1,a2,...,ap
sont linéairement indépendants c’est à dire si on a :
∀α1,α2,...,αp ∈ R :
p
∑
i=1
αi ai = α1a1 +α2a2 +...+αpap = 0 =⇒
α1 = α2 = ... = αp = 0

Exemple
Soient a1 = (−2,1,3),a2 = (1,1,−1) et S = (a1,a2).
∀α,β ∈ R
αa1 +βa2 = (0,0,0) ⇐⇒ α(−2,1,3)+β(1,1,−1) = (0,0,0)
⇐⇒



−2α+β = 0 ;
α+β = 0 ;
3α−β = 0.
⇐⇒

β = 2α;
4α = 0.
⇐⇒ α = β = 0
Donc le système S est libre.

Exemple
Soient a1 = (−2,1),a2 = (1,1),a3 = (3,−1) et S = (a1,a2,a3) un système de
vecteurs de R2
.
∀α,β,γ ∈ R :
αa1 +βa2 +γa3 = (0,0)
⇐⇒ α(−2,1)+β(1,1)+γ(3,−1) = (0,0)
⇐⇒ (−2α+β+3α,α+β−γ) = (0,0)
⇐⇒

−2α+β+3α = 0
α+β−γ = 0
⇐⇒

α+4β = 0
α+β = γ
⇐⇒

α = −4β
γ = −3β
admet plusieurs solutions donc le système est lié.

Propriétés
1 (0n) est un système lié.
2 Tout système de vecteur de Rn
qui contient 0n est lié.
3 ∀a ∈ Rn
{0n}, le système (a) est libre.
4 ∀a,b ∈ Rn
avec a 6= 0n.
(a,b) est lié si et seulement s’il existe α ∈ R tel que b = αa (sont colinéaires.
Proposition
Soit S = (a1,a2,...,ap) un système de vecteurs de Rn
S est lié ⇐⇒ ∃k ∈ {1,...,p} tq ak est une combinaison linéaire des autres
vecteurs. C’est à dire
S est lié ⇐⇒ ∃k ∈ {1,...,p} tq ak ∈ Vect(a1,a2,...,ak−1,ak+1,...,ap)
Exemple : Soient u = (1,2,3),v = (5,1,−1),w = (3,−3,−7) et
S = (u,v,w). On a v = w +2u donc v ∈ Vect(u,w). D’où S est un système lié.

Définition : système générateur
Soient n ∈ N∗, E un sous espace vectoriel et S = (a1,a2,...,ap) un système
de vecteurs de Rn
.
On dit que S est un système générateur ou famille génératrice de E si on a :
E = Vect(S) = Vect(a1,a2,...,ap)
Exemple :
Dans E = Rn
, on pose ei = (0,...,0,1,0,...,0) ∈ Rn
où 1 se situe en ième
position. Le système B = (ei )1⩽i⩽n est une famille génératrice de Rn
. En effet,
pour tout x = (x1,...,xn) ∈ Rn
, on peut écrire x = x1e1 +...+xnen.
Définition : d’une Base
Soient E un sous espace vectoriel de Rn
et B un système de vecteurs de E.
On dit que B est une base de E si B est à la fois libre et générateur de E.

Proposition
Soit E un sous espace vectoriel de Rn
et B = (a1,a2,...,an) un système de
vecteurs de E.
B est une base de E
⇐⇒ ∀a ∈ E : ∃!α1,α2,...,αp ∈ R tq a = α1a1 +α2a2 +...+αpap
Dans ce cas α1,α2,...,αp sont appelés les composantes du vecteur a dans la
base B.
Exemple : Soient E = R2
et B = (a1,a2) un système de R2
avec a1 = (2,1),
a2 = (1,1). (a1,a2) est une base de R2
. En effet : ∀a = (x,y) ∈ R2
, ∀α,β ∈ R
a = αa1 +βa2 ⇐⇒ (x,y) = (2α+β,α+β)
⇐⇒

2α+β = x ;
α+β = y.
⇐⇒

α = x −y ;
β = 2y −x.
Donc B est une base de R2
et les composantes d’un vecteur a = (x,y) dans B
sont x −y et 2y −x.

Propriétés
Soient n ∈ N∗ et E un sous espace vectoriel de Rn
.
1 Si E = R2
, e1 = (1,0), e2 = (0,1). Alors B = (e1,e2) est un système libre
et générateur de R2
donc B est une base de R2
appelé la base
canonique de R2
2 En général :
Si E = Rn
, e1 = (1,0,...,0), e2 = (0,1,0,...,0),..., en = (0,0,...,0,1).
Alors B = (e1,e2,...,en) est un système libre et générateur de Rn
donc B
est une base de Rn
appelé la base canonique de Rn
Rappelons que si E est un ensemble fini, le nombre d’éléments de E est
appelé le cardinal de E et est noté card E.
Théorème/Définition
Si n ∈ Nn
et E un sous espace vectoriel de Rn
. Alors E admet des bases et
tous ces bases ont le même nombre de vecteurs appelé la dimension de E et
noté dimE et on a dimE ⩽ n. Ainsi, si B est une base de E alors
dimE = cardB ⩽ n

Propriétés
Soient E et F deux sous espaces vectoriels de Rn
. Alors :
1 Si S est une partie génératrice de E alors cardS ⩾ dimE
2 Si S est une partie libre de E alors cardS ⩽ dimE
3 Si E ⊆ F et dimE = dimF alors E = F.
4 Si dimE = n alors E = Rn
.
Théorème
Soient F un sous espace de Rn
de dimension p et B un système de F de
cardinal p. Alors, les propriétés suivantes sont équivalentes :
1 B est un système libre.
2 B est un système générateur de F
3 B est une base de F
Corollaire
Soit n ∈ N∗. Un système libre de Rn
ayant n éléments est une base de Rn
.

Exemple
les vecteurs v1 = (0,1,1), v2 = (1,0,1) et v3 = (1,1,0) forment une base de
R3
. Montrons que le système {v1,v2,v3} est libre. Soit une combinaison
linéaire nulle av1 +bv2 +cv3 = 0, nous devons montrer qu’alors les coefficients
a,b,c sont nuls. Ici le vecteur nul est 03 = (0,0,0)
av1 +bv2 +cv3 = (0,0,0)
⇐⇒ a(0,1,1)+b(1,0,1)+c(1,1,0) = (0,0,0)
⇐⇒ (b +c,a +c,a +b) = (0,0,0)
⇐⇒





b +c = 0
a +c = 0
a +b = 0
⇐⇒





a = 0
b = 0
c = 0
Ainsi les coefficients vérifient a = b = c = 0, cela prouve que la famille est
libre, et on a card{v1,v2,v3} = 3. Donc {v1,v2,v3} est une base.

Théoréme de la base incomplète
Soit E un s.e.v. de Rn
. Si S et T sont deux parties finies de E qui vérifient les
deux propriétés suivantes :
1) S est une partie libre de E.
2) T est une partie génératrice de E.
Alors il existe une base B de E telle que S ⊂ B ⊂ S ∪T.

Sommaire

Produit scalaire
Définition
Soient a = (a1,a2,...,an) et b = (b1,b2,...,bn) deux vecteurs de Rn
.
1 Le produit scalaire de a et b est la quantité notée a,b et défini par
a,b =
n
∑
i=1
ai bi
2 La norme de a est la quantité notée kak et défini par :
kak =
√
a,a
3 La distance entre a et b est la quantité notée d(a,b) et défini par
d(a,b) = ka −bk
Rn
muni du produit scalaire canonique est un espace vectoriel euclidien. On dit
alors que Rn
est muni de sa structure vectorielle euclidienne canonique.

Exemple : Dans R2
, (1,2),(2,2) = 6, k(0,5)k = 5,
d((1,2),(−1,3)) = k(2,−1)k =
√
5

Propriétés
Soient a, b et c ∈ Rn
, α ∈ R, alors on a :
1 a,b = b,a
2 a +b,c = a,c + b,c
3 a,b +c = a,b + a,c
4 αa,b = a,αb = α a,b
5 kak2
= a,a ⩾ 0, on dit que le produit scalaire est positif.
6 kak2
= a,a = 0 =⇒ a = 0.
7 ka +bk2
= kak2
+2 a,b +kbk2
8 ka −bk2
= kak2
−2 a,b +kbk2
9 a +b,a −b = kak2
−kbk2
10 a,b = 1
4
(ka +bk2
−ka −bk2
) (identité de polarisation)
11 | a,b | ⩽ kakkbk (Inégalité de Cauchy Schwartz). L’égalité est vérifié
si et seulement si a et b sont colinéaires.

Orthogonalité
Définition
On dit que deux vecteurs a et b de Rn
sont orthogonaux si leur produit scalaire
est nul, et on écrit a⊥b.
Exemple :
1) Pour tout a ∈ Rn
on a a⊥0.
2) Soient a = (1,−1) et b = (1,1), a,b ∈ R2
. On a a,b = 0, donc a et b
sont orthogonaux.
Proposition : [Théorème de Pythagore]
Deux vecteurs a et b sont orthogonaux si, et seulement si,
ka +bk2
= kak2
+kbk2

Définition
Un système de vecteurs (a1,a2,...,an) est dite orthogonale si et seulement si
ai ,aj = 0 pour tout i 6= j.
Exemple :
Le système de vecteurs (a1,a2,a3) de R4
avec a1 = (1,0,0,2),
a2 = (−1,0,0, 1
2
), a3 = (0,1,1,0) est un système orthogonal de R4
.
Proposition
Soit n ∈ N∗. Tout système orthogonal formée de vecteurs non nuls de Rn
est
libre.

Définition
Soit F un s.e.v de Rn
. On note F⊥ = {x ∈ Rn
, ∀y ∈ F,x⊥y} (ensemble des
éléments de E orthogonaux à tout les éléments de F) F⊥ est un sous espace
de Rn
, appelé l’orthogonal de F.
Théorème/Définition
Soient F et G deux s.e.v de Rn
.
F et G sont orthogonaux ⇐⇒ ∀x ∈ F ∀y ∈ G,x ⊥ y ⇐⇒ F ⊂ G⊥ et G ⊂ F⊥
On note alors F ⊥ G

Exemple

Définition
Soit B = (a1,a2,...,an) une base de Rn
.
1) B est appelée base orthogonale si (a1,a2,...,an) est un système orthogonal.
2) B est appelée base orthonormale si B est orthogonale et kai k = 1 pour tout
i = 1,...,n.
Exemple : La base canonique de Rn
est une famille orthonormée.
√
Normer un vecteur non nul x, c’est considérer le vecteur unitaire u = x
kxk .
Etant donné un système orthogonal formée de vecteurs non nuls (a1,a2,...,an)
de Rn
, on peut facilement construire un système orthonormal en normalisant
les vecteurs ai : a0
i = ai
kai k Ainsi, le système (a0
1,a0
2,...,a0
n) est orthonormal.

Exemple
le système S = (a1,a2,a3) avec
a1 = (1,0,2),a2 = (−1,0,
1
2
),a3 = (0,1,0)
est une base orthogonale de R3
. En effet, elle est orthogonale puisque
a1,a2 = a1,a3 = a3,a2 = 0
et cardS = 3. Mais S n’est pas orthonormale puisque
ka1k = k(1,0,2)k =
√
5 6= 1.
On peut déduire de B une base orthonormale, il suffit de diviser chacun des
vecteurs par sa norme. Donc, la famille de vecteurs (a0
1,a0
2,a0
3) où
a0
1 =
1
√
5
(1,0,2), a0
2 =
r
4
5
(−1,0,
1
2
), a0
3 = a3
est une base orthonormale de R3
.

Orthogonalisation de Gram-Schmidt
Théorème
Soient n,r ∈ N∗. Soit (v1,v2,...,vr ) un système libre de Rn
. Alors il existe un
unique système (u1,u2,...,ur ) vérifant :
1) Vect(u1,u2,...,ui ) = Vect(v1,v2,...,vi ) pour tout i = 1,...,r
2) (u1,u2,...,ur ) est un système orthonormal.
3) vi ,ui ⩾ 0 pour tout i = 1,...,r.
Le système (u1,u2,...,ur ) est appelé orthonormalisé de Gram-Schmidt de
(v1,v2,...,vr ).
On part de u1 =
v1
kv1k
et on construit les autres vecteurs par la formule de
récurrence de Gram-Schmidt
uj+1 =
wj+1
kwj+1k
avec wj+1 = vj+1 −
j
∑
q=1
vj+1,uq uq.

Exemple
1) Dans R2
, orthonormalisons la base B = {(1,1),(2,0)}. Posons
u1 =
(1,1)
k(1,1)k
=
r
1
2
(1,1)
Posons
w2 = (2,0)− (2,0),u1 u1 = (2,0)−(1,1) = (1,−1)
Soit u2 =
w2
kw2k
=
r
1
2
(1,−1)
En fin (u1,u2) est l’orthonormalisé de Gram-Schmidt de la base B.

2) Dans R3
, orthonormalisons la base B = {(1,0,1),(0,1,−1),(0,1,1)}.
Posons
u1 =
(1,0,1)
k(1,0,1)k
=
r
1
2
(1,0,1)
Posons w2 = (0,1,−1)− (0,1,−1),
q
1
2
(1,0,1)
q
1
2
(1,0,1) =
(0,1,−1)+(1
2
,0, 1
2
) = (1
2
,1,−1
2
)
u2 =
w2
kw2k
=
r
2
3
(
1
2
,1,−
1
2
)
Posons w3 = (0,1,1)− (0,1,1),
q
2
3
(1
2
,1,−1
2
)
q
2
3
(1
2
,1,−1
2
)−
(0,1,1),
q
1
2
(1,0,1)
q
1
2
(1,0,1). Alors w3 = 2
3
(−1,1,1) et
u3 =
w3
kw3k
=
√
3
3
(−1,1,1)
Donc l’orthonormalisée de Gram-Schmidt de la base B est le système
(u1,u2,u3).

Sommaire

Soient E et F deux s.e.v de Rn
. On appelle somme de E et F, l’ensemble
E +F défini par
E +F = {a +b,a ∈ E,b ∈ F}
Définition
Soient E et F deux s.e.v de Rn
.
On dit que la somme de E et F est directe si ∀a ∈ E +F, il existe d’une façon
unique aE ∈ E et aF ∈ F tel que a = aE +aF , dans ce cas :
1 E +F est noté aussi E ⊕F
2 E ⊕F est appelé somme directe de E et F
3 ∀a ∈ E +F

aE est appelé la projection de a sur E parallélement à F ;
aF est appelé la projection de a sur F parallélement à E.
4 Si G est un s.e.v de Rn
et E ⊕F = G, on dit que E et F sont
supplémentaires dans G ou E est un supplémentaire de F dans G
5 Si E et F sont supplémentaires dans Rn
, on dit aussi que E et F son
supplémentaires.

Proposition
E ⊕F = Rn
⇐⇒

E +F = Rn
;
E ∩F = {0n}.
Propriétés
Soient E et F deux s.e.v. de Rn
. Si B est une base de E est B0 est une base de
F alors :
La somme de E et F est directe ⇐⇒

B ∩B0 = /
0 ;
B ∪B0 est libre .
Dans ce cas B ∪B0 est une base de E ⊕F.
Soit E un sous espace vectoriel de Rn
. Alors E admet au moins un
suplementaire dans Rn
.
Proposition
, alors Rn
= F ⊕F⊥
F = (F⊥)⊥

Proposition
Soient E et F deux sous espaces vectoriels de Rn
. Alors
dim(E +F) = dimE +dimF −dim(E ∩F) ⩽ dimE +dimF.
Si en plus la somme de E et F est directe alors
dim(E ⊕F) = dimE +dimF.

Définition
Soit F un sous-espace vectoriel de Rn
. Alors on appelle projection orthogonale
sur F la projection sur F parallèlement à son supplémentaire orthogonal.
Pour x ∈ Rn
, p le projecteur orthogonal sur F, alors p(x) est appelé la
projection orthogonale de x sur F.

Ainsi, p(x) est l’unique élément de F tel que x s’écrive : x = p(x)+u, avec
u ∈ F⊥. (car Rn
= F ⊕F⊥, et x ∈ Rn
, p(x) ∈ F).
Autrement dit, p(x) est l’unique élément de F tel que x −p(x) ∈ F⊥. Ainsi,
pour
y ∈ Rn
,y = p(x) ⇐⇒

y ∈ F ;
x −y ∈ F⊥.
Remarque
Soit F un sous-espace de Rn
. Si BF = {b1,...,bd } est une base orthonormée
de F, et si pF est la projection orthogonale sur F, alors
∀x ∈ Rn
,pF (x) =
d
∑
j=1
bj ,x bj .

Théorème
, soit p le projecteur orthogonal sur F, soit x0 ∈ E. Alors
p(x0) est l’unique élément de F tel que
d(x0,F) = kx0 −p(x0)k
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Pour tout
x ∈ E, il existe un unique couple (a,b) ∈ F ×G vérifiant x = a +b. Posons
s(x) = a −b, on définit ainsi une application s(x) : E −→ E. s est appelée
symétrie (vectorielle) par rapport à F

Définition
Soit F un sous-espace vectoriel de Rn
. Alors on appelle symétrie orthogonale
par rapport à F l’application
s : E = F ⊕F⊥
−→ E
x = x0
+x00
−→ x0
−x00

Proposition
Soit f une symétrie sur Rn
. On a l’équivalence suivante :
f est une symétrie orthogonale ⇐⇒ ∀x ∈ Rn
k f(x) k=k x k
De plus :
f(x) = 2p(x)−x, où p(x) est la projection orthogonale sur F.

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