Révisions sur les méthodes d'étude de fonctions exponentielles.

1. Révisions à Choix Multiples
Calcul de termes de suites
Clément Boulonne (CBMaths)
19 août 2021
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 1 / 24

2. Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 2 / 24

3. Questions
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 3 / 24

4. Questions
Question 1
La fonction exponentielle (qu'on note x 7→ exp(x) ou x 7→ ex ) est l'unique
fonction dénie et dérivable sur R telle que :
A exp(0) = 0 et exp0(x) = exp(x) (pour tout x ∈ R)
B exp(0) = 1 et exp0(x) = exp(x) (pour tout x ∈ R)
C exp(1) = 1 et exp0(x) = exp(x) (pour tout x ∈ R)
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 4 / 24

5. Questions
Question 2
Soit la fonction f : x 7→
xex+1
ex
dénie et dérivable sur R.
L'image de 2 par la fonction f est :
A 0
B
2
e
C 2e
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 5 / 24

6. Questions
Question 3
Soit la fonction h : x 7→ ex − 1 dénie et dérivable sur R. L'inéquation
h(x) 0 a pour ensemble solution :
A S = [0 ; +∞[
B S = [−∞ ; 0[
C S = R
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 6 / 24

7. Questions
Question 4
Soit k ∈ R. La fonction f : x 7→ ek2
x dénie et dérivable sur R est :
A croissante sur R
B décroissante sur R
C cela dépend du signe de k
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 7 / 24

8. Questions
Question 5
On considère la fonction g : x 7→ xex dénie et dérivable sur R, Cf sa
courbe représentative et T la tangente à Cf au point d'abscisse 0.
L'équation réduite de la tangente T est :
A y = ex
B y = x + e
C y = x
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 8 / 24

9. Corrigé
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 9 / 24

10. Corrigé Question 1
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 10 / 24

11. Corrigé Question 1
Question 1
La fonction exponentielle (qu'on note x 7→ exp(x) ou x 7→ ex ) est l'unique
fonction dénie et dérivable sur R telle que :
A exp(0) = 0 et exp0(x) = exp(x) (pour tout x ∈ R)
B exp(0) = 1 et exp0(x) = exp(x) (pour tout x ∈ R)
C exp(1) = 1 et exp0(x) = exp(x) (pour tout x ∈ R)
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 11 / 24

12. Corrigé Question 1
Question 1
Il faut avoir en tête qu'une exponentielle agit comme une puissance.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 12 / 24

13. Corrigé Question 1
Question 1
Il faut avoir en tête qu'une exponentielle agit comme une puissance.
Ainsi, pour tout a 6= 0, on a : a0 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 12 / 24

14. Corrigé Question 1
Question 1
Il faut avoir en tête qu'une exponentielle agit comme une puissance.
Ainsi, pour tout a 6= 0, on a : a0 = 1.
On a donc : e0 = 1 ou exp(0) = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 12 / 24

15. Corrigé Question 1
Question 1
Il faut avoir en tête qu'une exponentielle agit comme une puissance.
Ainsi, pour tout a 6= 0, on a : a0 = 1.
On a donc : e0 = 1 ou exp(0) = 1.
La bonne réponse est :
B exp(0) = 1 et exp0(x) = exp(x) (pour tout x ∈ R)
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 12 / 24

16. Corrigé Question 2
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 13 / 24

17. Corrigé Question 2
Question 2
Soit la fonction f : x 7→
xex+1
ex
dénie et dérivable sur R.
L'image de 2 par la fonction f est :
A 0
B
2
e
C 2e
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 14 / 24

18. Corrigé Question 2
En utilisant les propriétés de puissances de l'exponentielle
(
ea
eb
= ea−b), on peut simplier l'expression de la fonction f :
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 15 / 24

19. Corrigé Question 2
En utilisant les propriétés de puissances de l'exponentielle
(
ea
eb
= ea−b), on peut simplier l'expression de la fonction f :
f (x) =
xex+1
ex
= xe1
.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 15 / 24

20. Corrigé Question 2
En utilisant les propriétés de puissances de l'exponentielle
(
ea
eb
= ea−b), on peut simplier l'expression de la fonction f :
f (x) =
xex+1
ex
= xe1
.
Ainsi, en remplaçant x par 2, on obtient l'image de 2 par la fonction
f :
f (2) = 2e.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 15 / 24

21. Corrigé Question 2
En utilisant les propriétés de puissances de l'exponentielle
(
ea
eb
= ea−b), on peut simplier l'expression de la fonction f :
f (x) =
xex+1
ex
= xe1
.
Ainsi, en remplaçant x par 2, on obtient l'image de 2 par la fonction
f :
f (2) = 2e.
La bonne réponse est donc :
C 2e
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 15 / 24

22. Corrigé Question 3
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 16 / 24

23. Corrigé Question 3
Question 3
Soit la fonction h : x 7→ ex − 1 dénie et dérivable sur R. L'inéquation
h(x) 0 a pour ensemble-solution :
A S = [0 ; +∞[
B S = [−∞ ; 0[
C S = R
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 17 / 24

24. Corrigé Question 3
Question 3
On résout l'inéquation suivante :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 18 / 24

25. Corrigé Question 3
Question 3
On résout l'inéquation suivante :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1.
Or, d'après la dénition de la fonction exp, on sait que e0 = 1. Donc :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1 ⇔ ex
e0
.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 18 / 24

26. Corrigé Question 3
Question 3
On résout l'inéquation suivante :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1.
Or, d'après la dénition de la fonction exp, on sait que e0 = 1. Donc :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1 ⇔ ex
e0
.
La fonction x 7→ ex est croissante sur R, on a donc l'équivalence
suivante (x,y ∈ R) : x y ⇔ ex ey .
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 18 / 24

27. Corrigé Question 3
Question 3
On résout l'inéquation suivante :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1.
Or, d'après la dénition de la fonction exp, on sait que e0 = 1. Donc :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1 ⇔ ex
e0
.
La fonction x 7→ ex est croissante sur R, on a donc l'équivalence
suivante (x,y ∈ R) : x y ⇔ ex ey .
Ainsi :
ex
− 1 0 ⇔ . . . ⇔ ex
e0
⇔ x 0.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 18 / 24

28. Corrigé Question 3
Question 3
On résout l'inéquation suivante :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1.
Or, d'après la dénition de la fonction exp, on sait que e0 = 1. Donc :
ex
− 1 0 ⇔ ex
1 ⇔ ex
e0
.
La fonction x 7→ ex est croissante sur R, on a donc l'équivalence
suivante (x,y ∈ R) : x y ⇔ ex ey .
Ainsi :
ex
− 1 0 ⇔ . . . ⇔ ex
e0
⇔ x 0.
La bonne réponse est donc :
A S = [0 ; +∞[
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 18 / 24

29. Corrigé Question 4
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 19 / 24

30. Corrigé Question 4
Question 4
Soit k ∈ R. La fonction f : x 7→ ek2
x dénie et dérivable sur R est :
A croissante sur R
B décroissante sur R
C cela dépend du signe de k
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 20 / 24

31. Corrigé Question 4
Question 4
Attention au piège ! Si le coecient devant x était k, la réponse
exacte serait la réponse C :
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 21 / 24

32. Corrigé Question 4
Question 4
Attention au piège ! Si le coecient devant x était k, la réponse
exacte serait la réponse C :
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est croissante sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 21 / 24

33. Corrigé Question 4
Question 4
Attention au piège ! Si le coecient devant x était k, la réponse
exacte serait la réponse C :
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est croissante sur R.
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est décroissante sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 21 / 24

34. Corrigé Question 4
Question 4
Attention au piège ! Si le coecient devant x était k, la réponse
exacte serait la réponse C :
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est croissante sur R.
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est décroissante sur R.
Si k = 0, la fonction x 7→ ekx
est constante sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 21 / 24

35. Corrigé Question 4
Question 4
Attention au piège ! Si le coecient devant x était k, la réponse
exacte serait la réponse C :
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est croissante sur R.
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est décroissante sur R.
Si k = 0, la fonction x 7→ ekx
est constante sur R.
Mais ici, il faut voir que, pour k ∈ R, k2 0.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 21 / 24

36. Corrigé Question 4
Question 4
Attention au piège ! Si le coecient devant x était k, la réponse
exacte serait la réponse C :
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est croissante sur R.
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est décroissante sur R.
Si k = 0, la fonction x 7→ ekx
est constante sur R.
Mais ici, il faut voir que, pour k ∈ R, k2 0.
Ainsi, quelque soit la valeur de k ∈ R, la fonction f est croissante sur
R.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 21 / 24

37. Corrigé Question 4
Question 4
Attention au piège ! Si le coecient devant x était k, la réponse
exacte serait la réponse C :
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est croissante sur R.
Si k 0, la fonction x 7→ ekx
est décroissante sur R.
Si k = 0, la fonction x 7→ ekx
est constante sur R.
Mais ici, il faut voir que, pour k ∈ R, k2 0.
Ainsi, quelque soit la valeur de k ∈ R, la fonction f est croissante sur
R.
La bonne réponse est donc :
A croissante sur R
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 21 / 24

38. Corrigé Question 5
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 22 / 24

39. Corrigé Question 5
Question 5
On considère la fonction g : x 7→ xex dénie et dérivable sur R, Cf sa
courbe représentative et T la tangente à Cf au point d'abscisse 0.
L'équation réduite de la tangente T est :
A y = ex
B y = x + e
C y = x
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 23 / 24

40. Corrigé Question 5
Question 5
On rappelle l'expression de l'équation réduite de la tangente T à Cf au
point d'abscisse 0 :
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = f 0
(0)x + f (0).
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 24 / 24

41. Corrigé Question 5
Question 5
On rappelle l'expression de l'équation réduite de la tangente T à Cf au
point d'abscisse 0 :
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = f 0
(0)x + f (0).
On détermine la dérivée de la fonction f (formule (uv)0 = u0v + v0u) :
f 0
(x) = ex
+ xex
= ex
(x + 1).
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 24 / 24

42. Corrigé Question 5
Question 5
On rappelle l'expression de l'équation réduite de la tangente T à Cf au
point d'abscisse 0 :
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = f 0
(0)x + f (0).
On détermine la dérivée de la fonction f (formule (uv)0 = u0v + v0u) :
f 0
(x) = ex
+ xex
= ex
(x + 1).
On calcule maintenant f (0) et f 0(0) :
f (0) = 0 × e0
= 0 et f 0
(0) = e0
(0 + 1) = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 24 / 24

43. Corrigé Question 5
Question 5
On rappelle l'expression de l'équation réduite de la tangente T à Cf au
point d'abscisse 0 :
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = f 0
(0)x + f (0).
On détermine la dérivée de la fonction f (formule (uv)0 = u0v + v0u) :
f 0
(x) = ex
+ xex
= ex
(x + 1).
On calcule maintenant f (0) et f 0(0) :
f (0) = 0 × e0
= 0 et f 0
(0) = e0
(0 + 1) = 1.
puis on forme l'équation réduite de T :
y = 1 × x + 0 ⇔ y = x.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 24 / 24

44. Corrigé Question 5
Question 5
On rappelle l'expression de l'équation réduite de la tangente T à Cf au
point d'abscisse 0 :
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = f 0
(0)x + f (0).
On détermine la dérivée de la fonction f (formule (uv)0 = u0v + v0u) :
f 0
(x) = ex
+ xex
= ex
(x + 1).
On calcule maintenant f (0) et f 0(0) :
f (0) = 0 × e0
= 0 et f 0
(0) = e0
(0 + 1) = 1.
puis on forme l'équation réduite de T :
y = 1 × x + 0 ⇔ y = x.
La bonne réponse est donc :
C y = x
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 19 août 2021 24 / 24