Dans cette présentation, on donne un algorithme qui permet de trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions.

1. Un algorithme pour trouver le dénominateur commun de
plusieurs fractions
Clément Boulonne (CBMaths)
13 octobre 2020
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 1/20

2. Sommaire
1 Une opération à eectuer
2 L'algorithme
3 Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 2/20

3. Introduction
Dans cet article, je vous propose de découvrir un algorithme qui permet de
mettre sous même dénominateurs plusieurs fractions. Cette méthode est
utile pour ranger des fractions dans l'ordre croissant ou décroissant ou faire
des additions ou soustractions de fractions.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 3/20

4. Une opération à eectuer
Sommaire
1 Une opération à eectuer
2 L'algorithme
3 Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 4/20

5. Une opération à eectuer
Une opération
On souhaite eectuer l'opération suivante :
2
3
−
1
4
+
1
5
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 5/20

6. Une opération à eectuer
Une opération
On souhaite eectuer l'opération suivante :
2
3
−
1
4
+
1
5
.
Pour cela, on doit trouver le dénominateur commun des fractions
2
3
,
1
4
et
1
5
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 5/20

7. Une opération à eectuer
Une opération
On souhaite eectuer l'opération suivante :
2
3
−
1
4
+
1
5
.
Pour cela, on doit trouver le dénominateur commun des fractions
2
3
,
1
4
et
1
5
.
La recherche du dénominateur commun des fractions
2
3
,
1
4
et
1
5
est,
en fait, la détermination du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des
nombres 3, 4 et 5.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 5/20

8. L'algorithme
Sommaire
1 Une opération à eectuer
2 L'algorithme
3 Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 6/20

9. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Pour trouver facilement, le PPCM des nombres 3, 4 et 5, on peut
tracer un tableau de trois colonnes et autant de lignes qu'il y a de
fractions avec des dénominateurs diérents. On rajoutera une ligne
pour découvrir le Dénominateur Commun (DC) ou PPCM.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 7/20

10. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Pour trouver facilement, le PPCM des nombres 3, 4 et 5, on peut
tracer un tableau de trois colonnes et autant de lignes qu'il y a de
fractions avec des dénominateurs diérents. On rajoutera une ligne
pour découvrir le Dénominateur Commun (DC) ou PPCM.
.
.
.
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 7/20

11. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Pour trouver facilement, le PPCM des nombres 3, 4 et 5, on peut
tracer un tableau de trois colonnes et autant de lignes qu'il y a de
fractions avec des dénominateurs diérents. On rajoutera une ligne
pour découvrir le Dénominateur Commun (DC) ou PPCM.
.
.
.
.
Ici, le tableau est constitué de 3 colonnes et 3 + 1 = 4 lignes
symbolisés par des points.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 7/20

12. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la première colonne, on notera sur la première DC (pour
Dénominateur Commun) et on met sur les lignes suivantes tous les
dénominateurs dans l'ordre d'apparition.
DC
3
4
5
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 8/20

13. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième colonne, on met, dans un premier temps, la
décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur. Ici :
3 = 3 × 1, 4 = 2 × 2 et 5 = 1 × 5.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 9/20

14. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième colonne, on met, dans un premier temps, la
décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur. Ici :
3 = 3 × 1, 4 = 2 × 2 et 5 = 1 × 5.
DC
3 3
4 2 2
5 5
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 9/20

15. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième colonne, on met, dans un premier temps, la
décomposition en facteurs premiers de chaque dénominateur. Ici :
3 = 3 × 1, 4 = 2 × 2 et 5 = 1 × 5.
DC
3 3
4 2 2
5 5
Remarque : il est inutile de mettre les 1 de la décomposition en
facteurs premiers.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 9/20

16. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 10/20

17. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.
DC
3 3
4 2 2
5 5
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 10/20

18. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.
DC
3 3
4 2 2
5 5
Puis, on entoure, dans les lignes suivants, les facteurs premiers qui ne
sont pas déjà entourés dans les lignes déjà visitées.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 10/20

19. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On entoure, dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, tous les
facteurs du premier dénominateur.
DC
3 3
4 2 2
5 5
Puis, on entoure, dans les lignes suivants, les facteurs premiers qui ne
sont pas déjà entourés dans les lignes déjà visitées.
DC
3 3
4 2 2
5 5
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 10/20

20. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 11/20

21. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
DC
3 3
4 2 2
5 5
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 11/20

22. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
DC
3 3
4 2 2
5 5
On note les facteurs entourés de la deuxième colonne sur la première
ligne (cellule à droite de DC ) puis on eectue le produit de tous
les facteurs dans la troisième colonne
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 11/20

23. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
Par exemple, si on a déjà entouré 2 facteurs de 2 et dans une autre
décomposition, il y ait 3 facteurs de 2, on entoure uniquement le
troisième facteur de 2.
DC
3 3
4 2 2
5 5
On note les facteurs entourés de la deuxième colonne sur la première
ligne (cellule à droite de DC ) puis on eectue le produit de tous
les facteurs dans la troisième colonne
DC 2 2 3 5 60
3 3
4 2 2
5 5
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 11/20

24. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On complète la troisième colonne par la division du nombre situé
première ligne troisième colonne par les dénominateurs successifs.
Tous les résultats obtenus dans la troisième colonne sont des nombres
entiers.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 12/20

25. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On complète la troisième colonne par la division du nombre situé
première ligne troisième colonne par les dénominateurs successifs.
Tous les résultats obtenus dans la troisième colonne sont des nombres
entiers.
DC 2 2 3 5 60
3 3 20
4 2 2 15
5 5 12
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 12/20

26. L'algorithme
Déroulement de l'algorithme
On complète la troisième colonne par la division du nombre situé
première ligne troisième colonne par les dénominateurs successifs.
Tous les résultats obtenus dans la troisième colonne sont des nombres
entiers.
DC 2 2 3 5 60
3 3 20
4 2 2 15
5 5 12
On peut donc eectuer l'opération en s'aidant du tableau :
2
3
−
1
4
+
1
5
=
2 × 20 − 1 × 15 + 1 × 12
60
=
40 − 15 + 12
60
=
37
60
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 12/20

27. Un autre exemple
Sommaire
1 Une opération à eectuer
2 L'algorithme
3 Un autre exemple
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 13/20

28. Un autre exemple
Un exemple plus subtil
Pour illustrer la subtilité de l'algorithme, on va eectuer le calcul
suivant :
5
12
−
1
8
+
5
42
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 14/20

29. Un autre exemple
Un exemple plus subtil
Pour illustrer la subtilité de l'algorithme, on va eectuer le calcul
suivant :
5
12
−
1
8
+
5
42
.
Les trois fractions présents dans le calcul sont irréductible donc pas
besoin de calcul supplémentaire pour débuter l'algorithme.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 14/20

30. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On recherche le dénominateur commun des trois fractions :
5
12
,
1
8
et
5
42
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 15/20

31. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On recherche le dénominateur commun des trois fractions :
5
12
,
1
8
et
5
42
.
Pour cela, on peut tracer un tableau de 3 colonnes et 4 lignes comme
précédemment.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 15/20

32. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On recherche le dénominateur commun des trois fractions :
5
12
,
1
8
et
5
42
.
Pour cela, on peut tracer un tableau de 3 colonnes et 4 lignes comme
précédemment.
DC
12
8
42
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 15/20

33. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 16/20

34. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12 = 2 × 2 × 3 ;
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 16/20

35. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12 = 2 × 2 × 3 ;
8 = 2 × 2 × 2 ;
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 16/20

36. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12 = 2 × 2 × 3 ;
8 = 2 × 2 × 2 ;
42 = 2 × 3 × 7.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 16/20

37. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
On note dans la deuxième colonne, les décompositions en facteurs
premiers des nombres :
12 = 2 × 2 × 3 ;
8 = 2 × 2 × 2 ;
42 = 2 × 3 × 7.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 16/20

38. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 17/20

39. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 17/20

40. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré 2
facteurs de 2. Donc, ligne suivante, on n'entoure que le troisième
facteur de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 8.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 17/20

41. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on peut entourer tous
les facteurs premiers de 12.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Dans la deuxième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré 2
facteurs de 2. Donc, ligne suivante, on n'entoure que le troisième
facteur de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 8.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 17/20

42. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 18/20

43. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 18/20

44. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
On peut nalement inscrire dans la première ligne de la deuxième
colonne, tous les termes précédemment entourés dans les lignes
suivantes.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 18/20

45. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Dans la troisième ligne de la deuxième colonne, on a déjà entouré un
facteur de 2 et un facteur de 3. Donc, ligne suivante, on n'entoure que
le facteur 7 dans la décomposition en facteurs premiers de 42.
DC
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
On peut nalement inscrire dans la première ligne de la deuxième
colonne, tous les termes précédemment entourés dans les lignes
suivantes.
DC 2 2 2 3 7
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 18/20

46. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 19/20

47. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .
DC 2 2 2 3 7 168
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 19/20

48. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .
DC 2 2 2 3 7 168
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
et de faire la division de ce nombre par les dénominateurs successifs.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 19/20

49. Un autre exemple
Déroulement de l'algorithme
Il ne reste plus qu'à calculer le produit de tous les termes inscrits dans
la cellule à droite de DC .
DC 2 2 2 3 7 168
12 2 2 3
8 2 2 2
42 2 3 7
et de faire la division de ce nombre par les dénominateurs successifs.
DC 2 2 2 3 7 168
12 2 2 3 14
8 2 2 2 21
42 2 3 7 4
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 19/20

50. Un autre exemple
Finalisation du calcul
DC 2 2 2 3 7 168
12 2 2 3 14
8 2 2 2 21
42 2 3 7 4
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 20/20

51. Un autre exemple
Finalisation du calcul
DC 2 2 2 3 7 168
12 2 2 3 14
8 2 2 2 21
42 2 3 7 4
On peut donc nir le calcul :
5
12
−
1
8
+
5
42
=
5 × 14 − 21 × 1 + 5 × 4
168
=
69
168
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 20/20

52. Un autre exemple
Finalisation du calcul
DC 2 2 2 3 7 168
12 2 2 3 14
8 2 2 2 21
42 2 3 7 4
On peut donc nir le calcul :
5
12
−
1
8
+
5
42
=
5 × 14 − 21 × 1 + 5 × 4
168
=
69
168
.
168 et 69 sont tous divisibles par 3, la fraction irréductible de
69
168
est
donc
23
56
.
Clément Boulonne (CBMaths) Mise au même dénominateur 13 octobre 2020 20/20