JIM-2022 2 : TikZdrian

Journée Internationale des Mathématiques 2022
TikZdrian
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2022
Clément Boulonne (CBMaths) TikZdrian 14 mars 2022 1 / 81

Sommaire
1 Construction des images
2 Le code Python
3 Les images
4 Questions mathématiques
Répartition harmonieuse
Élection du tableau le plus colorié
Dénombrements

Motivations
Piet Mondrian est un peintre hollandais né en 1892 et mort en 1944. Il
est célèbre pour ses toiles Compositions composées de lignes
noires horizontaux et verticaux et de rectangles coloriées en rouge,
bleu ou jaune.

Motivations
Piet Mondrian est un peintre hollandais né en 1892 et mort en 1944. Il
est célèbre pour ses toiles Compositions composées de lignes
noires horizontaux et verticaux et de rectangles coloriées en rouge,
bleu ou jaune.
Dans cet exposé, nous allons nous inspirer de ses toiles pour faire de
l'art procédural avec un des moteurs graphiques de L
ATEX : TikZ.

Construction des images
Sommaire
2 Le code Python
3 Les images

Principes (1/2)
Nous allons faire 10 images toutes construites de la manière suivante :
On trace, avec Tikz, un carré de 8 × 5 (unité en cm).
(0,0) rectangle (8,5)

Principes (1/2)
On demande à Python de donner deux listes Lx et Ly chacune
comportant 10 nombres compris entre 0 et 10. Les éléments des deux
listes seront rangés dans l'ordre croissant.

Principes (1/2)
On trace, sur Tikz, les lignes verticales :
(Lx[k],0) (Lx[k],5)
pour k compris entre 0 et 9.

Principes (1/2)
On trace, sur Tikz, les lignes verticales :
(Lx[k],0) (Lx[k],5)
On trace, sur Tikz, les lignes horizontales :
(0,Ly[k]) (8,Ly[k])

Principes (2/2)
On prend un élément de chaque liste (disons Lx[x] et Ly[y] pour x
et y tiré aléatoirement, compris entre 0 et 8). On prend aussi pour
chaque élément, son successeur (c'est-à-dire Lx[x+1] et Ly[y+1].

Principes (2/2)
On colorie, avec Tikz, le rectangle de coordonnées :
(Lx[x],Ly[y]) (Lx[x],Ly[y+1]) (Lx[x+1],Ly[y+1])
(Lx[x+1],Ly[y]) cycle;

Principes (2/2)
On met le couple (x,y) dans une liste et ce couple ne sera pas tirer
dans les prochains tirages.

Principes (2/2)
On met le couple (x,y) dans une liste et ce couple ne sera pas tirer
dans les prochains tirages.
On recommence le processus pour tracer 8 rectangles au total.

De la couleur
Dans le carré, on mettra un peu de couleur. On coloriera des rectangles de
couleur :
rouge;

De la couleur
couleur :
rouge;
vert;

De la couleur
couleur :
rouge;
vert;
bleu;

De la couleur
couleur :
rouge;
vert;
bleu;
jaune ;

De la couleur
couleur :
rouge;
vert;
bleu;
jaune ;
orange.

De la couleur
couleur :
rouge;
vert;
bleu;
jaune ;
orange.
Il y en aura 2 de chaque couleur par image.

Le code Python
Sommaire
2 Le code Python
3 Les images

Le code Python
from random import *
Lx = [8* round(random (),2) for i in range (10)]
Ly = [5* round(random (),2) for i in range (10)]
C = []
R = []
Lx.sort()
Ly.sort()
for i in range (10):
x = randint (0,8)
y = randint (0,8)
while (x,y) in C:
x = randint (0,8)
y = randint (0,8)
C.append ([x,y])
R.append ([Lx[x],Ly[y]])
R.append ([Lx[x+1],Ly[y+1]])
print('Lx=',Lx)
print('Ly=',Ly)
print('C=',C)
print('R=',R)

Les images
Sommaire
2 Le code Python
3 Les images

Les images
Image 1 : résultats Python
Lx=[0.56 , 2.8, 2.88, 3.52, 3.76,
4.24, 4.8, 4.88, 5.12, 7.68]
Ly=[1.5, 1.6, 1.75, 1.85, 2.6,
3.3, 3.65, 3.7, 4.05, 4.9]
C= [[7, 1], [5, 2], [0, 2], [1, 1], [3, 3], [2, 6],
[7, 4], [8,7], [6, 4], [4, 3]]
R=[[4.88 , 1.6], [5.12, 1.75], [4.24, 1.75], [4.8, 1.85],
[0.56 ,1.75] , [2.8, 1.85] , [2.8, 1.6], [2.88 , 1.75] ,
[3.52 , 1.85] , [3.76 , 2.6] [2.88 , 3.65] , [3.52 , 3.7],
[4.88 , 2.6], [5.12 , 3.3], [5.12 , 3.7], [7.68 , 4.05] ,
[4.8, 2.6], [4.88, 3.3], [3.76 , 1.85] , [4.24 , 2.6]]

Les images
Image 1 : caractéristiques
Lignes verticales :
[0.56, 2.8, 2.88, 3.52, 3.76, 4.24, 4.8, 4.88, 5.12, 7.68]
Lignes horizontales :
[1.5, 1.6, 1.75, 1.85, 2.6, 3.3, 3.65, 3.7, 4.05, 4.9]
Rectangles :
rouge : (4.88,1.6) rectangle (5.12,1.75)
(2.88,3.65) rectangle (3.52,3.7) ;
vert : (4.24,1.75) rectangle (4.8,1.85)
(4.88,2.6) rectangle (5.12,3.3) ;
bleu : (0.56,1.75) rectangle (2.8,1.85)
(5.12,3.7) rectangle (7.68,4.05) ;
jaune : (2.8,1.6) rectangle (2.88,1.75)
(4.8,2.6) rectangle (4.88,3.3) ;
orange : (3.52,1.85) rectangle (3.76,2.6)
(3.76,1.85) rectangle (4.24, 2.6).

Les images
Image 1 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=red] (4.88 ,1.6) rectangle (5.12 ,1.75);
fill[color=green] (4.24 ,1.75) rectangle (4.8 ,1.85);
fill[color=blue] (0.56 ,1.75) rectangle (2.8 ,1.85);
fill[color=yellow] (2.8 ,1.6) rectangle (2.88 ,1.75);
fill[color=orange] (3.52 ,1.85) rectangle (3.76 ,2.6);
fill[color=red] (2.88 ,3.65) rectangle (3.52 ,3.7);
fill[color=green] (4.88 ,2.6) rectangle (5.12 ,3.3);
fill[color=blue] (5.12 ,3.7) rectangle (7.68 ,4.05);
fill[color=orange] (3.76 ,1.85) rectangle (4.24 , 2.6);
draw[line width=2bp] (0,0) rectangle (8,5);
draw[line width=1bp] (0.56 ,0) -- (0.56 ,5);
draw[line width=1bp] (0 ,1.5) -- (8 ,1.5);
end{tikzpicture}

Les images
Image 1

Les images
Lx= [1.6, 2.56, 2.64, 2.8, 2.96,
3.76, 5.12, 6.08, 6.96, 7.2]
Ly= [0.7, 1.35, 1.8, 1.85, 1.95,
4.0, 4.1, 4.15, 4.2, 4.8]
C= [[5, 7], [6, 3], [4, 0], [4, 6], [8, 6],
[6, 5], [3, 2], [3, 0], [7, 8], [2, 5]]
R=[[3.76 , 4.15], [5.12, 4.2], [5.12, 1.85], [6.08, 1.95],
[2.96 , 0.7], [3.76 , 1.35] , [2.96 , 4.1], [3.76 , 4.15] ,
[6.96 , 4.15] , [7.2, 4.2], [5.12 , 4.0], [6.08 , 4.1],
[2.8, 1.8], [2.96, 1.85] , [2.8, 0.7], [2.96 , 1.35] ,
[6.08 , 4.2], [6.96 , 4.8], [2.64 , 4.0], [2.8, 4.1]]

Les images
Image 2 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=red] (3.76, 4.15) rectangle (5.12, 4.2);
fill[color=green] (5.12 , 1.85) rectangle (6.08 , 1.95);
fill[color=blue] (2.96, 0.7) rectangle (3.76, 1.35);
fill[color=yellow] (2.96 , 4.1) rectangle (3.76 , 4.15);
fill[color=orange] (6.96 , 4.15) rectangle (7.2, 4.2);
fill[color=red] (5.12, 4.0) rectangle (6.08 , 4.1);
fill[color=green] (2.8, 1.8) rectangle (2.96, 1.85);
fill[color=blue] (2.8, 0.7) rectangle (2.96 , 1.35);
draw[line width=1bp] (1.6 ,0) -- (1.6 ,5); draw[line width=1bp] (2.56 ,0) -- (2.56 ,5);
draw[line width=1bp] (0 ,0.7) -- (8 ,0.7); draw[line width=1bp] (0 ,1.35) -- (8 ,1.35);
end{tikzpicture}

Les images
Lignes verticales :
[1.6, 2.56, 2.64, 2.8, 2.96, 3.76, 5.12, 6.08, 6.96, 7.2]
[0.7, 1.35, 1.8, 1.85, 1.95, 4.0, 4.1, 4.15, 4.2, 4.8]
Rectangles :
rouge : (3.76, 4.15) rectangle (5.12, 4.2)
(5.12, 4.0) rectangle (6.08, 4.1) ;
vert : (5.12, 1.85) rectangle (6.08, 1.95)
(2.8, 1.8) rectangle (2.96, 1.85) ;
bleu : (2.8, 0.7) rectangle (2.96, 1.35)
(2.8, 0.7) rectangle (2.96, 1.35) ;
jaune : (2.96, 4.1) rectangle (3.76, 4.15)
(6.08, 4.2) rectangle (6.96, 4.8) ;
orange : (6.96, 4.15) rectangle (7.2, 4.2)
(2.64, 4.0) rectangle (2.8, 4.1).

Les images
Image 2

Les images
Lx= [1.28, 1.44, 2.56, 3.36, 4.16,
4.64, 5.2, 5.28, 7.2, 7.28]
Ly= [0.05, 0.45, 1.05, 1.8, 2.4,
2.85, 3.45, 4.05, 4.25, 4.7]
C= [[3, 6], [0, 4], [3, 4], [2, 2], [2, 8],
[1, 6], [5, 0], [3, 5], [7, 7], [4, 5]]
R=[[3.36 , 3.45], [4.16, 4.05], [1.28, 2.4], [1.44, 2.85],
[3.36 , 2.4], [4.16 , 2.85] , [2.56 , 1.05] , [3.36 , 1.8],
[2.56 , 4.25] , [3.36 , 4.7], [1.44 , 3.45] , [2.56 , 4.05] ,
[4.64 , 0.05] , [5.2, 0.45] , [3.36 , 2.85] , [4.16 , 3.45] ,
[5.28 , 4.05] , [7.2, 4.25] , [4.16 , 2.85] , [4.64 , 3.45]]

Les images
Image 3 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=green] (1.28 , 2.4) rectangle (1.44, 2.85);
fill[color=orange] (2.56 , 4.25) rectangle (3.36 , 4.7);
fill[color=yellow] (5.28 , 4.05) rectangle (7.2, 4.25);
end{tikzpicture}

Les images
Lignes verticales :
[1.28, 1.44, 2.56, 3.36, 4.16, 4.64, 5.2, 5.28, 7.2, 7.28]
[0.05, 0.45, 1.05, 1.8, 2.4, 2.85, 3.45, 4.05, 4.25, 4.7]
Rectangles :
rouge : (3.36, 3.45) rectangle (4.16, 4.05)
(1.44, 3.45) rectangle (2.56, 4.05) ;
vert : (1.28, 2.4) rectangle (1.44, 2.85)
(4.64, 0.05) rectangle (5.2, 0.45) ;
bleu : (3.36, 2.4) rectangle (4.16, 2.85)
(3.36, 2.85) rectangle (4.16, 3.45) ;
jaune : (2.56, 1.05) rectangle (3.36, 1.8)
(5.28, 4.05) rectangle (7.2, 4.25) ;
(4.16, 2.85) rectangle (4.64, 3.45).

Les images
Image 3

Les images
Lx= [1.04, 1.44, 2.16, 2.35, 2.56,
3.52, 3.76, 5.28, 6.4, 7.28]
Ly= [0.1, 0.25, 0.6, 1.25, 1.35,
2.35, 2.4, 2.45, 4.0 ,5.0]
C= [[8, 0], [8, 4], [4, 6], [5, 8], [4, 8],
[1, 3], [7, 5], [6, 0], [4, 5], [6, 1]]
R=[[6.4 , 0.1], [7.28, 0.25], [6.4, 1.35], [7.28 ,2.35] ,
[2.56 , 2.4], [3.52 , 2.45] , [3.52 , 4.0], [3.76 , 5.0],
[2.56 , 4.0], [3.52 , 5.0], [1.44 , 1.25] , [2.16 , 1.35] ,
[5.28 , 2.35] ,[6.4 , 2.4], [3.76 , 0.1], [5.28 , 0.25] ,
[2.56 , 2.35] ,[3.52 , 2.4], [3.76 , 0.25] , [5.28 , 0.6]]

Les images
Image 4 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=green] (6.4, 1.35) rectangle (7.28 ,2.35);
draw[line width=1bp](7.28 ,0) -- (7.28 ,5);
end{tikzpicture}

Les images
Lignes verticales :
[1.04, 1.44, 2.16, 2.35, 2.56, 3.52, 3.76, 5.28, 6.4, 7.28]
[0.1, 0.25, 0.6, 1.25, 1.35, 2.35, 2.4, 2.45, 4.0,5.0]
Rectangles :
rouge : (6.4, 0.1) rectangle (7.28, 0.25)
(1.44, 1.25) rectangle (2.16, 1.35) ;
vert : (6.4, 1.35) rectangle (7.28,2.35)
(5.28, 2.35) rectangle (6.4, 2.4) ;
bleu : (2.56, 2.4) rectangle (3.52, 2.45)
(3.76, 0.1) rectangle (5.28, 0.25) ;
jaune : (3.52, 4.0) rectangle (3.76, 5.0)
(2.56, 2.35) rectangle (3.52, 2.4) ;
(3.76, 0.25) rectangle (5.28, 0.6).

Les images
Image 4

Les images
Lx= [0.24, 1.2, 1.84, 2.08, 3.04,
5.28, 6.08, 6.96, 7.12, 7.36]
Ly= [0.15, 0.25, 0.6, 0.8, 1.7,
2.15 ,2.3 , 3.0, 4.0, 4.85]
C= [[6, 5], [8, 3], [3, 2], [2, 8], [2, 6],
[3, 0], [4, 7], [1, 4], [5, 8], [3, 7]]
R= [[6.08 , 2.15] , [6.96 , 2.3], [7.12, 0.8], [7.36 ,1.7] ,
[2.08 , 0.6] ,[3.04 , 0.8], [1.84 , 4.0], [2.08 , 4.85] ,
[1.84 , 2.3] ,[2.08 , 3.0], [2.08 , 0.15] , [3.04 , 0.25] ,
[3.04 , 3.0] ,[5.28 , 4.0], [1.2, 1.7], [1.84 , 2.15] ,
[5.28 , 4.0], [6.08 ,4.85] , [2.08 , 3.0], [3.04 , 4.0]]

Les images
Image 5 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=green] (7.12 , 0.8) rectangle (7.36 ,1.7);
fill[color=blue] (1.2, 1.7) rectangle (1.84 , 2.15);
fill[color=yellow] (5.28 , 4.0) rectangle (6.08 ,4.85);
end{tikzpicture}

Les images
Lignes verticales :
[0.24, 1.2, 1.84, 2.08, 3.04, 5.28, 6.08, 6.96, 7.12, 7.36]
[0.15, 0.25, 0.6, 0.8, 1.7, 2.15,2.3, 3.0, 4.0, 4.85]
Rectangles :
rouge : (6.08, 2.15) rectangle (6.96, 2.3)
(2.08, 0.15) rectangle (3.04, 0.25) ;
vert : (7.12, 0.8) rectangle (7.36,1.7)
(3.04, 3.0) rectangle (5.28, 4.0) ;
bleu : (2.08, 0.6) rectangle (3.04, 0.8)
(1.2, 1.7) rectangle (1.84, 2.15) ;
jaune : (1.84, 4.0) rectangle (2.08, 4.85)
(5.28, 4.0) rectangle (6.08,4.85) ;
(2.08, 3.0) rectangle (3.04, 4.0).

Les images
Image 5

Les images
Lx= [0.32, 1.92, 2.16, 2.96, 3.44,
3.52, 5.2, 5.52, 6.08, 7.28]
Ly= [0.55, 0.9, 1.15, 1.6, 2.6,
2.7,2.85 , 3.1, 4.55, 4.7]
C= [[6, 1], [6, 5], [8, 8], [1, 5], [4, 7],
[0, 2], [5, 8], [6, 2],[4, 6], [6, 0]]
R=[[5.2 , 0.9], [5.52, 1.15], [5.2, 2.7] ,[5.52 , 2.85],
[6.08 , 4.55] ,[7.28 , 4.7], [1.92 , 2.7], [2.16 , 2.85] ,
[3.44 , 3.1] ,[3.52 , 4.55] , [0.32 , 1.15] , [1.92 , 1.6],
[3.52 , 4.55] ,[5.2 , 4.7], [5.2, 1.15] , [5.52 , 1.6],
[3.44 ,2.85] , [3.52 ,3.1] , [5.2, 0.55] , [5.52 ,0.9]]

Les images
Image 6 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=orange] (5.2, 0.55) rectangle (5.52 ,0.9);
end{tikzpicture}

Les images
Lignes verticales :
[0.32, 1.92, 2.16, 2.96, 3.44, 3.52, 5.2, 5.52, 6.08, 7.28]
[0.55, 0.9, 1.15, 1.6, 2.6, 2.7,2.85, 3.1, 4.55, 4.7]
Rectangles :
rouge : (5.2, 0.9) rectangle (5.52, 1.15)
(0.32, 1.15) rectangle (1.92, 1.6) ;
vert : (5.2, 2.7) rectangle (5.52, 2.85)
(3.52, 4.55) rectangle (5.2, 4.7) ;
bleu : (6.08, 4.55) rectangle (7.28, 4.7)
(5.2, 1.15) rectangle (5.52, 1.6) ;
jaune : (1.92, 2.7) rectangle (2.16, 2.85)
(3.44,2.85) rectangle (3.52,3.1) ;
(5.2, 0.55) rectangle (5.52,0.9).

Les images
Image 6

Les images
Lx= [0.4, 3.28, 4.16, 4.32, 4.48,
5.28, 6.0, 6.4, 6.72, 6.88]
Ly= [0.8, 2.0, 2.2, 2.85, 3.15,
3.25, 3.35, 3.75, 4.1, 4.9]
C= [[2, 2], [0, 1], [7, 4], [3, 5], [7, 5],
[0, 3], [7, 0], [7, 6], [1, 7], [5, 8]]
R= [[4.16 , 2.2], [4.32 , 2.85] , [0.4, 2.0], [3.28, 2.2],
[6.4, 3.15], [6.72 , 3.25] , [4.32 , 3.25] , [4.48 , 3.35] ,
[6.4, 3.25], [6.72 , 3.35] , [0.4, 2.85] , [3.28 , 3.15] ,
[6.4, 0.8], [6.72, 2.0], [6.4, 3.35] , [6.72 , 3.75] ,
[3.28 , 3.75] , [4.16 , 4.1], [5.28 , 4.1], [6.0, 4.9]]

Les images
Image 7 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=orange] (6.4, 3.25) rectangle (6.72 , 3.35);
end{tikzpicture}

Les images
Lignes verticales :
[0.4, 3.28, 4.16, 4.32, 4.48, 5.28, 6.0, 6.4, 6.72, 6.88]
[0.8, 2.0, 2.2, 2.85, 3.15, 3.25, 3.35, 3.75, 4.1, 4.9]
Rectangles :
rouge : (4.16, 2.2) rectangle (4.32, 2.85)
(0.4, 2.85) rectangle (3.28, 3.15) ;
vert : (0.4, 2.0) rectangle (3.28, 2.2)
(6.4, 0.8) rectangle (6.72, 2.0) ;
bleu : (6.4, 3.15) rectangle (6.72, 3.25)
(6.4, 3.35) rectangle (6.72, 3.75) ;
jaune : (4.32, 3.25) rectangle (4.48, 3.35)
(3.28, 3.75) rectangle (4.16, 4.1) ;
(5.28, 4.1) rectangle (6.0, 4.9).

Les images
Image 7

Les images
Lx= [0.4, 1.12, 1.2, 1.76, 1.92,
2.08, 2.16, 3.36, 5.6, 6.72]
Ly= [0.1, 0.35, 0.4, 0.65, 0.75,
1.4, 1.65, 1.9, 2.35, 2.65]
C= [[5, 0], [3, 1], [1, 5], [5, 5], [6, 7],
[1, 6], [2, 5], [8, 3], [6, 5], [4, 6]]
R= [[2.08 , 0.1], [2.16 , 0.35] , [1.76, 0.35], [1.92, 0.4],
[1.12 , 1.4], [1.2, 1.65] , [2.08 , 1.4], [2.16 , 1.65] ,
[2.16 , 1.9], [3.36 , 2.35] , [1.12 , 1.65] , [1.2, 1.9],
[1.2, 1.4], [1.76, 1.65] , [5.6, 0.65] , [6.72 , 0.75] ,
[2.16 ,1.4] , [3.36, 1.65], [1.92, 1.65], [2.08, 1.9]]

Les images
Image 8 : code TikZ
begin{tikzpicture}
fill[color=green] (1.76 , 0.35) rectangle (1.92 , 0.4);
fill[color=yellow] (2.16 ,1.4) rectangle (3.36, 1.65);
end{tikzpicture}

Les images
Lignes verticales :
[0.4, 1.12, 1.2, 1.76, 1.92, 2.08, 2.16, 3.36, 5.6, 6.72]
[0.1, 0.35, 0.4, 0.65, 0.75, 1.4, 1.65, 1.9, 2.35, 2.65]
Rectangles :
rouge : (2.08, 0.1) rectangle (2.16, 0.35)
(1.12, 1.65) rectangle (1.2, 1.9) ;
vert : (1.76, 0.35) rectangle (1.92, 0.4)
(1.2, 1.4) rectangle (1.76, 1.65) ;
bleu : (1.12, 1.4) rectangle (1.2, 1.65)
(5.6, 0.65) rectangle (6.72, 0.75) ;
jaune : (2.08, 1.4) rectangle (2.16, 1.65)
(2.16,1.4) rectangle (3.36, 1.65) ;
(1.92, 1.65) rectangle (2.08, 1.9).

Les images
Image 8

Les images
Galerie d'images

Questions mathématiques
Sommaire
2 Le code Python
3 Les images

Questions mathématiques Répartition harmonieuse
Sommaire
2 Le code Python
3 Les images
Dénombrements

Problématique
L'inconvénient d'avoir pris des positions aléatoires pour tracer les
lignes horizontale et verticales, c'est que, des fois, les lignes sont trop
rapprochés et donnent l'impression que le tableau est tassé.

Problématique
L'inconvénient d'avoir pris des positions aléatoires pour tracer les
lignes horizontale et verticales, c'est que, des fois, les lignes sont trop
rapprochés et donnent l'impression que le tableau est tassé.
On pourrait donner une conguration où les lignes sont équitablement
répartis sur toute la longueur et la largeur du tableau.

Dispositions
La longueur de la ligne horizontale est de 8 et on doit disposer 10
barres verticales. On créé alors 11 intervalles sur cette ligne.

Dispositions
Ainsi, la longueur d'un intervalle doit être
8
11
≈ 0,73 (arrondi au
centième).

Dispositions
8
11
centième).
Donc : pour 1 6 k 6 10, l'abscisse de chaque barre verticale est
xk =
8k
11
.

Dispositions
8
11
centième).
xk =
8k
11
.
De même, la longueur de la ligne verticale est de 5 et on doit disposer
10 barres verticales. On créé alors 11 intervalles sur cette ligne.

Dispositions
8
11
centième).
xk =
8k
11
.
5
11
centième).

Dispositions
8
11
centième).
xk =
8k
11
.
5
11
centième).
Donc : pour 1 6 k 6 10, l'ordonnée de chaque barre horizontale est
yk =
5k
11
.

Un tableau harmonieux
Voici donc le tableau qui a l'espacement des lignes la plus harmonieuse.

Questions mathématiques Élection du tableau le plus colorié
Sommaire
2 Le code Python
3 Les images
Dénombrements

Problématique
Dans un premier temps, nous donnerons une formule de calcul d'aire de
rectangle grâce aux coordonnées des deux points constituant une de ses
diagonale. Puis, nous déterminerons un programme qui permettra de
calculer l'aire totale coloriée dans un tableau sachant les coordonnées des
rectangles coloriées.
Enn, nous élirons le tableau (parmi les 8 proposés dans la galerie) qui a la
surface coloriée la plus étendue.

Rectangle de coordonnées
On considère un rectangle ABCD et la diagonale |AC].
A B
C
D

A B
C
D
On note A(xA; yA) et C(xC ; yC ) les coordonnées des points A et C.
(on supposera que xC xA et yC yA).

A B
C
D
On note A(xA; yA) et C(xC ; yC ) les coordonnées des points A et C.
(on supposera que xC xA et yC yA).
Comme les côtés du rectangle doivent être horizontales et verticales,
on peut exprimer les coordonnées des points B et D à l'aide des
coordonnées des points A et C.
B(xA : yC ) et D(xC ; yA).

Aire d'un tel rectangle
A B
C
D

A B
C
D
L'aire du rectangle ABCD est égale au produit de la longueur du côté
[AB] et celle du côté [BC]. On a :

A B
C
D
AB =
q
(xA − xA)2 + (yC − yA)2 =
q
(yC − yA)2 = yC − yA
BC =
q
(xC − xA)2 + (yC − yC )2 =
q
(xC − xA)2 = xC − xA.

A B
C
D
AB =
q
(xA − xA)2 + (yC − yA)2 =
q
(yC − yA)2 = yC − yA
BC =
q
(xC − xA)2 + (yC − yC )2 =
q
(xC − xA)2 = xC − xA.
L'aire du rectangle se calcule donc :
A = (yC − yA)(xC − xA) .

Aire d'un rectangle harmonieux
Reprenons notre tableau harmonieux.

Reprenons notre tableau harmonieux.
Tous les rectangles ont même dimensions donc même aire. La
longueur du rectangle est de xk+1 − xk =
8
11
et la largeur de
yk+1 − yk =
5
11
(pour tout 1 6 k 6 9).

8
11
et la largeur de
yk+1 − yk =
5
11

8
11
et la largeur de
yk+1 − yk =
5
11
Ainsi l'aire d'un rectangle harmonieux est :
A =
8
11
×
5
11
=
40
121
≈ 0,33 (arrondi au centième).

Les diaporamas suivants donnent le calcul des aires coloriées image par
image.
Pour les passer, on pourra cliquer sur ce bouton : Tableau résumé

Calcul de l'aire coloriée de l'image 1
On calcule, à la main, l'aire coloriée de l'image 1.
Rectangles de l'image 1 :
rouge : (4.88,1.6) rectangle (5.12,1.75)
(2.88,3.65) rectangle (3.52,3.7) ;
vert : (4.24,1.75) rectangle (4.8,1.85)
(4.88,2.6) rectangle (5.12,3.3) ;
bleu : (0.56,1.75) rectangle (2.8,1.85)
(5.12,3.7) rectangle (7.68,4.05) ;
jaune : (2.8,1.6) rectangle (2.88,1.75)
(4.8,2.6) rectangle (4.88,3.3) ;
orange : (3.52,1.85) rectangle (3.76,2.6)
(3.76,1.85) rectangle (4.24, 2.6).

Ainsi :
AC = (5,12 − 4,88) × (1.75 − 1.6) + (3,52 − 2,88) × (3,3 − 2,6)
+ (4,8 − 4,24) × (1,85 − 1,75) + (5,12 − 4,88) × (3,3 − 2,6)
+ (2,8 − 0,56) × (1,85 − 1,75) + (7,68 − 5,12) × (4,05 − 3,7)
+ (2,88 − 2,8) × (1,75 − 1,6) + (4,88 − 4,8) × (3,3 − 2,6)
+ (3,76 − 3,52) × (2,6 − 1,85) + (4,24 − 3,76) × (2,6 − 1,85)
= 2,436.

rouge : (3.76, 4.15) rectangle (5.12, 4.2)
(5.12, 4.0) rectangle (6.08, 4.1) ;
vert : (5.12, 1.85) rectangle (6.08, 1.95)
(2.8, 1.8) rectangle (2.96, 1.85) ;
bleu : (2.8, 0.7) rectangle (2.96, 1.35)
(2.8, 0.7) rectangle (2.96, 1.35) ;
jaune : (2.96, 4.1) rectangle (3.76, 4.15)
(6.08, 4.2) rectangle (6.96, 4.8) ;
(2.64, 4.0) rectangle (2.8, 4.1).

Ainsi :
AC = (5,12 − 3,76) × (4,2 − 4,15) + (6,08 − 5,12) × (4,1 − 4,0)
+ (6,08 − 5,12) × (1,95 − 1,85) + (2,96 − 2,8) × (1,85 − 1,8)
+ (2,96 − 2,8) × (1,35 − 0,7) + (2,96 − 2,8) × (1,35 − 0,7)
+ (3,76 − 2,96) × (4,15 − 4,1) + (6,96 − 6,08) × (4,8 − 4,2)
+ (7,2 − 6,96) × (4,2 − 4,15) + (2,8 − 2,64) × (4,1 − 4,0)
= 1,072.

rouge : (3.36, 3.45) rectangle (4.16, 4.05)
(1.44, 3.45) rectangle (2.56, 4.05) ;
vert : (1.28, 2.4) rectangle (1.44, 2.85)
(4.64, 0.05) rectangle (5.2, 0.45) ;
bleu : (3.36, 2.4) rectangle (4.16, 2.85)
(3.36, 2.85) rectangle (4.16, 3.45) ;
jaune : (2.56, 1.05) rectangle (3.36, 1.8)
(5.28, 4.05) rectangle (7.2, 4.25) ;
(4.16, 2.85) rectangle (4.64, 3.45).

Ainsi :
AC = (4,16 − 3,36) × (4,05 − 3,45) + (2,56 − 1,44) × (4,05 − 3,45)
+ (1,44 − 1,28) × (2,85 − 2,4) + (5,2 − 4,64) × (0,45 − 0,05)
+ (4,16 − 3,36) × (2,85 − 2,4) + (4,16 − 3,36) × (3,45 − 2,85)
+ (3,36 − 2,56) × (1,8 − 1,05) + (7,2 − 5,28) × (4,25 − 4,05)
+ (3,36 − 2,56) × (4,7 − 4,25) + (4,64 − 4,16) × (3,45 − 2,85)
= 3,92.

rouge : (6.4, 0.1) rectangle (7.28, 0.25)
(1.44, 1.25) rectangle (2.16, 1.35) ;
vert : (6.4, 1.35) rectangle (7.28,2.35)
(5.28, 2.35) rectangle (6.4, 2.4) ;
bleu : (2.56, 2.4) rectangle (3.52, 2.45)
(3.76, 0.1) rectangle (5.28, 0.25) ;
jaune : (3.52, 4.0) rectangle (3.76, 5.0)
(2.56, 2.35) rectangle (3.52, 2.4) ;
(3.76, 0.25) rectangle (5.28, 0.6).

Ainsi :
AC = (7,28 − 6,4) × (0,25 − 0,1) + (2,16 − 1,44) × (1,35 − 1,25)
+ (7,28 − 6,4) × (2,35 − 1,35) + (6,4 − 5,28) × (2,4 − 2,35)
+ (3,52 − 2,56) × (2,45 − 2,4) + (5,28 − 3,76) × (0,25 − 0,1)
+ (3,76 − 3,52) × (5,0 − 4,0) + (3,52 − 2,56) × (2,4 − 2,35)
+ (3,52 − 2,56) × (5,0 − 4,0) + (5,28 − 3,76) × (0,6 − 0,25)
= 3,196.

rouge : (6.08, 2.15) rectangle (6.96, 2.3)
(2.08, 0.15) rectangle (3.04, 0.25) ;
vert : (7.12, 0.8) rectangle (7.36,1.7)
(3.04, 3.0) rectangle (5.28, 4.0) ;
bleu : (2.08, 0.6) rectangle (3.04, 0.8)
(1.2, 1.7) rectangle (1.84, 2.15) ;
jaune : (1.84, 4.0) rectangle (2.08, 4.85)
(5.28, 4.0) rectangle (6.08,4.85) ;
(2.08, 3.0) rectangle (3.04, 4.0).

Ainsi :
AC = (6,96 − 6,08) × (2,3 − 2,15) + (3,04 − 2,08) × (0,25 − 0,15)
+ (7,36 − 7,12) × (1,7 − 0,8) + (5,28 − 3,04) × (4,0 − 3,0)
+ (3,04 − 2,08) × (0,8 − 0,6) + (1,84 − 1,2) × (2,15 − 1,7)
+ (2,08 − 1,84) × (4,85 − 4,0) + (6,08 − 5,28) × (4,85 − 4,0)
+ (2,08 − 1,84) × (3,0 − 2,3) + (3,04 − 2,08) × (4,0 − 3,0)
= 5,176.

rouge : (5.2, 0.9) rectangle (5.52, 1.15)
(0.32, 1.15) rectangle (1.92, 1.6) ;
vert : (5.2, 2.7) rectangle (5.52, 2.85)
(3.52, 4.55) rectangle (5.2, 4.7) ;
bleu : (6.08, 4.55) rectangle (7.28, 4.7)
(5.2, 1.15) rectangle (5.52, 1.6) ;
jaune : (1.92, 2.7) rectangle (2.16, 2.85)
(3.44,2.85) rectangle (3.52,3.1) ;
(5.2, 0.55) rectangle (5.52,0.9).

Ainsi :
AC = (5,52 − 5,2) × (1,15 − 0,9) + (1,92 − 0,32) × (1,6 − 1,15)
+ (5,52 − 5,2) × (2,85 − 2,7) + (5,2 − 3,52) × (4,7 − 4,55)
+ (7,28 − 6,08) × (4,7 − 4,55) + (5,52 − 5,2) × (1,6 − 1,15)
+ (2,16 − 1,92) × (2,85 − 2,7) + (3,52 − 3,44) × (3,1 − 2,85)
+ (3,52 − 3,44) × (4,55 − 3,1) + (5,52 − 5,2) × (0,9 − 0,55)
= 1,708.

rouge : (4.16, 2.2) rectangle (4.32, 2.85)
(0.4, 2.85) rectangle (3.28, 3.15) ;
vert : (0.4, 2.0) rectangle (3.28, 2.2)
(6.4, 0.8) rectangle (6.72, 2.0) ;
bleu : (6.4, 3.15) rectangle (6.72, 3.25)
(6.4, 3.35) rectangle (6.72, 3.75) ;
jaune : (4.32, 3.25) rectangle (4.48, 3.35)
(3.28, 3.75) rectangle (4.16, 4.1) ;
(5.28, 4.1) rectangle (6.0, 4.9).

Ainsi :
AC = (4,32 − 4,16) × (2,85 − 2,2) + (3,28 − 0,4) × (3,15 − 2,85)
+ (3,28 − 0,4) × (2,2 − 2,0) + (6,72 − 6,4) × (2,0 − 0,8)
+ (6,72 − 6,4) × (3,25 − 3,15) + (6,72 − 6,4) × (3,75 − 3,35)
+ (4,48 − 4,32) × (3,35 − 3,25) + (4,16 − 3,28) × (4,1 − 3,75)
+ (6,72 − 6,4) × (3,35 − 3,25) + (6,0 − 5,28) × (4,9 − 4,1)
= 3,02.

rouge : (2.08, 0.1) rectangle (2.16, 0.35)
(1.12, 1.65) rectangle (1.2, 1.9) ;
vert : (1.76, 0.35) rectangle (1.92, 0.4)
(1.2, 1.4) rectangle (1.76, 1.65) ;
bleu : (1.12, 1.4) rectangle (1.2, 1.65)
(5.6, 0.65) rectangle (6.72, 0.75) ;
jaune : (2.08, 1.4) rectangle (2.16, 1.65)
(2.16,1.4) rectangle (3.36, 1.65) ;
(1.92, 1.65) rectangle (2.08, 1.9).

Ainsi :
AC = (2,16 − 2,08) × (0,35 − 0,1) + (1,2 − 1,12) × (1,9 − 1,65)
+ (1,92 − 1,76) × (0,4 − 0,35) + (1,76 − 1,2) × (1,65 − 1,4)
+ (1,2 − 1,12) × (1,65 − 1,4) + (6,72 − 5,6) × (0,75 − 0,65)
+ (2,16 − 2,08) × (1,65 − 1,4) + (3,36 − 2,18) × (1,65 − 1,4)
+ (3,36 − 2,16) × (2,35 − 1,9) + (2,08 − 1,92) × (1,9 − 1,65)
= 1,215.

Résumé et conclusion
Voici un tableau qui résume les calculs précédents. On calcule aussi le
pourcentage (arrondi au centième près) de remplissage par rapport à
la surface totale du tableau.

Image no Aire coloriée Pourcentage
1 2,436 6,09 %
2 1,072 2,68 %
3 3,92 9,8 %
4 3,196 7,99 %
5 5,176 12,94 %
6 1,708 4,27 %
7 3,02 7,55 %
8 1,215 3,04 %

Image no Aire coloriée Pourcentage
1 2,436 6,09 %
2 1,072 2,68 %
3 3,92 9,8 %
4 3,196 7,99 %
5 5,176 12,94 %
6 1,708 4,27 %
7 3,02 7,55 %
8 1,215 3,04 %
Conclusion : le tableau le plus colorié est le tableau no 5.

Compléments algorithmiques
Cette section a été produite après la conception des images grâce à
l'algorithme Python plus haut.

Bien entendu, on aurait pu éviter de faire les calculs à la main (cela
m'a pris une petite heure à le faire) en ajoutant quelques lignes sur le
programme.

Bien entendu, on aurait pu éviter de faire les calculs à la main (cela
m'a pris une petite heure à le faire) en ajoutant quelques lignes sur le
programme.
On donne dans le diaporama suivant, les ajouts pour pouvoir calculer
l'aire coloriée du tableau.

from random import *
Lx = [8* round(random (),2) for i in range (10)]
Ly = [5* round(random (),2) for i in range (10)]
C = []
Diff = []
Lx.sort()
Ly.sort()
aire=0
for i in range (10):
x = randint (0,8)
y = randint (0,8)
while (x,y) in C:
x = randint (0,8)
y = randint (0,8)
C.append ([x,y])
Diff.append ([Lx[x+1]-Lx[x],Ly[y+1]-Ly[y]])
aire=aire+(Lx[x+1]-Lx[x])*(Ly[y+1]-Ly[y])
print('Lx=',Lx)
print('Ly=',Ly)
print('C=',C)
print('diff=',Diff)
print('aire=',aire)

Voici un résultat d'exécution de l'algorithme précédent :
Lx= [0.4, 0.4, 1.68, 2.88, 3.6,
3.84, 6.16, 7.6, 7.6, 7.76]
Ly= [0.0, 0.3, 0.5, 0.95, 1.15,
2.65 ,3.25 , 3.4, 4.75, 4.75]
C= [[7, 4], [4, 4], [7, 8], [7, 0], [2, 2],
[1, 8], [1, 0], [7, 5], [7, 6], [6, 6]]
diff= [[0.0, 1.5], [0.24, 1.5], [0.0, 0.0],
[0.0, 0.3], [1.2 ,0.45] , [1.28 , 0.0], [1.28 ,0.3] ,
[0.0, 0.6], [0.0 ,0.15] , [1.44 , 0.15]]
aire = 1.5

Questions mathématiques Dénombrements
Sommaire
2 Le code Python
3 Les images
Dénombrements

Problématique
Pour terminer notre étude mathématiques des tableaux, on s'intéresse sur
le nombre total que l'on peut fabriquer grâce au langage Python et le
moteur graphique Tikz.

Choix d'un coloriage dans une conguration donnée
Il y a 10 séparations horizontales et verticales qui délimitent un damier
de 11 × 11 cases, c'est-à-dire 121 rectangles.

Pour une conguration donnée (par exemple, celle du tableau
harmonieux), pour poser le premier rectangle d'une première couleur,
on a 121 choix;

on a 121 choix;
puis 120 choix pour une deuxième couleur (car on ne peut pas
reprendre le rectangle choisi précédemment, on a donc un tirage sans
remise);

on a 121 choix;
remise);
119 pour une troisième couleur;

on a 121 choix;
remise);
...

on a 121 choix;
remise);
...
On doit choisir 10 rectangles donc le nombre total de choix pour la
répartition des 10 rectangles est :
CR = 121 × 120 × 119 × 118 × · · · × 112 =
121!]
111!
≈ 4,59 × 1020
.

Choix d'une conguration
Cela fait déjà beaucoup pour une seule conguration. Mais on peut
aussi compter le nombre de conguration total, c'est-à-dire le nombre
de possibilités de placer les 10 séparations horizontales et verticales.

Pour les séparations horizontales, cela revient à choisir un nombre
entre 0 et 8 (0 et 8 exclus) avec deux décimales sans remise ou encore
de choisir un nombre eniter entre 0 et 800 (0 et 800 exclus) sans
remise.

remise.
Le nombre total de possibilités de choisir les 10 abscisses des
séparations horizontales est de :
CH = 799 × 798 × 797 × 796 × · · · × 790 =
799!
789!
≈ 1,00 × 1029
.

remise.
Le nombre total de possibilités de choisir les 10 abscisses des
séparations horizontales est de :
CH = 799 × 798 × 797 × 796 × · · · × 790 =
799!
789!
≈ 1,00 × 1029
.
De même pour les séparation verticales, cela revient à choisir un
nombre entier entre 0 et 500 (¿0 et 500 exclus) sans remise.
CV = 499 × 498 × 497 × 496 × · · · × 490 =
499!
489!
≈ 8,74 × 1026
.

Conclusion
Conclusion : le nombre total de tableaux que l'on peut fabriquer avec une
telle procédure est de :
C = CH × CV × CR = 1,00 × 1029
× 8,74 × 1026
× 4,59 × 1020
C ≈ 3,99 × 1076
.
On peut écrire le nombre total de tableaux avec un 4 suivi de 76 zéros
devant.

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