Révisions sur les formules de dénombrements

1. Révisions à Choix Multiples
Calcul de termes de suites
Clément Boulonne (CBMaths)
20 août 2021
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 1 / 25

2. Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 2 / 25

3. Questions
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 3 / 25

4. Questions
Question 1
Maxime dispose de cartes numérotées de 1 à 100. Il prend 20 cartes au
hasard et sans remise dans le paquet et somme les nombres inscrits sur les
cartes.
Quelle somme maximale Maxime peut-il obtenir avec 20 cartes?
A 1810
B 1890
C 1790
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 4 / 25

5. Questions
Question 2
Lou dispose d'un échiquier de 64 cases. Elle dépose un grain de riz sur la
première case, deux grains de riz à la deuxième puis double la quantité
posée à la case précédente jusqu'à la 64e
case.
En admettant que l'opération est possible, combien Lou doit-elle disposer
de grains de riz pour parvenir à ses ns?
A 264 − 1
B 265 − 1
C 266 − 1
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 5 / 25

6. Questions
Question 3
Combien vaut le nombre 5! ?
A 120
B 15
C 25
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 6 / 25

7. Questions
Question 4
On considère l'ensemble E = {a; b; c; d; e}.
Combien de mots de 3 lettres (avec ou sans signication française) peut-on
former à l'aide des éléments de E ?
A 3 × 5
B 35
C 53
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 7 / 25

8. Questions
Question 5
Une grille de loto compte 49 numéros (de 1 à 49). On doit choisir 6
numéros pour former un tirage.
De combien de manières peut-on choisir un tirage?
A
49!
6!
B
49!
6! × 43!
C 40! × 6!
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 8 / 25

9. Corrigé
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 9 / 25

10. Corrigé Question 1
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 10 / 25

11. Corrigé Question 1
Question 1
Maxime dispose de cartes numérotées de 1 à 100. Il prend 20 cartes au
hasard et sans remise dans le paquet et somme les nombres inscrits sur les
cartes.
Quelle somme maximale Maxime peut-il obtenir avec 20 cartes?
A 1810
B 1890
C 1790
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 11 / 25

12. Corrigé Question 1
Question 1
Le nombre maximal qu'on peut obtenir avec les cartes est 100 donc la
main la plus forte est :
81 ; 82 ; 83 ; 84 ; . . . ; 100.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 12 / 25

13. Corrigé Question 1
Question 1
Le nombre maximal qu'on peut obtenir avec les cartes est 100 donc la
main la plus forte est :
81 ; 82 ; 83 ; 84 ; . . . ; 100.
La somme des valeurs des cartes peut être noter :
81 + 82 + 83 + · · · + 100 =
100
X
k=81
k.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 12 / 25

14. Corrigé Question 1
Question 1
Le nombre maximal qu'on peut obtenir avec les cartes est 100 donc la
main la plus forte est :
81 ; 82 ; 83 ; 84 ; . . . ; 100.
La somme des valeurs des cartes peut être noter :
81 + 82 + 83 + · · · + 100 =
100
X
k=81
k.
C'est la somme de termes d'une suite arithmétique de raison 1.
n
X
k=1
k =
n(n + 1)
2
ou
q
X
k=p
k =
q
X
k=1
k −
p−1
X
k=1
k =
q(q + 1) − p(p − 1)
2
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 12 / 25

15. Corrigé Question 1
Question 1
C'est la somme de termes d'une suite arithmétique de raison 1.
n
X
k=1
k =
n(n + 1)
2
ou
q
X
k=p
k =
q
X
k=1
k −
p−1
X
k=1
k =
q(q + 1) − p(p − 1)
2
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 13 / 25

16. Corrigé Question 1
Question 1
C'est la somme de termes d'une suite arithmétique de raison 1.
n
X
k=1
k =
n(n + 1)
2
ou
q
X
k=p
k =
q
X
k=1
k −
p−1
X
k=1
k =
q(q + 1) − p(p − 1)
2
On remplace p = 81 et q = 100 et on obtient :
100
X
k=81
k =
100 × 101 − 80 × 81
2
= 50 × 101 − 81 × 40 = 1810.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 13 / 25

17. Corrigé Question 1
Question 1
C'est la somme de termes d'une suite arithmétique de raison 1.
n
X
k=1
k =
n(n + 1)
2
ou
q
X
k=p
k =
q
X
k=1
k −
p−1
X
k=1
k =
q(q + 1) − p(p − 1)
2
On remplace p = 81 et q = 100 et on obtient :
100
X
k=81
k =
100 × 101 − 80 × 81
2
= 50 × 101 − 81 × 40 = 1810.
La bonne réponse est donc :
A 1810
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 13 / 25

18. Corrigé Question 2
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 14 / 25

19. Corrigé Question 2
Question 2
Lou dispose d'un échiquier de 64 cases. Elle dépose un grain de riz sur la
première case, deux grains de riz à la deuxième puis double la quantité
posée à la case précédente jusqu'à la 64e
case.
En admettant que l'opération est possible, combien Lou doit-elle disposer
de grains de riz pour parvenir à ses ns?
A 264 − 1
B 265 − 1
C 266 − 1
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 15 / 25

20. Corrigé Question 2
Lou dépose un grain riz sur la première case, deux grains de riz sur la
deuxième case, quatre grains de riz sur la troisième puis on double le
nombre de grains sur chaque case.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 16 / 25

21. Corrigé Question 2
Lou dépose un grain riz sur la première case, deux grains de riz sur la
deuxième case, quatre grains de riz sur la troisième puis on double le
nombre de grains sur chaque case.
Doubler veut dire qu'à chaque fois, on multiplie par 2. On a donc
aaire à des puissance.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 16 / 25

22. Corrigé Question 2
Lou dépose un grain riz sur la première case, deux grains de riz sur la
deuxième case, quatre grains de riz sur la troisième puis on double le
nombre de grains sur chaque case.
Doubler veut dire qu'à chaque fois, on multiplie par 2. On a donc
aaire à des puissance.
Si on veut connaître le nombre total de grains de riz à déposer, on doit
calculer la somme suivante :
1 + 2 + 4 + · · · + 263
= 20
+ 21
+ 22
+ · · · + 263
| {z }
64 termes
.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 16 / 25

23. Corrigé Question 2
Lou dépose un grain riz sur la première case, deux grains de riz sur la
deuxième case, quatre grains de riz sur la troisième puis on double le
nombre de grains sur chaque case.
Doubler veut dire qu'à chaque fois, on multiplie par 2. On a donc
aaire à des puissance.
Si on veut connaître le nombre total de grains de riz à déposer, on doit
calculer la somme suivante :
1 + 2 + 4 + · · · + 263
= 20
+ 21
+ 22
+ · · · + 263
| {z }
64 termes
.
On reconnaît la somme de termes d'une suite géométrique de raison 2.
20
+ 21
+ 22
+ · · · + 263
| {z }
64 termes
=
63
X
k=0
2k
=
264 − 20
2 − 1
= 264
− 1.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 16 / 25

24. Corrigé Question 2
Lou dépose un grain riz sur la première case, deux grains de riz sur la
deuxième case, quatre grains de riz sur la troisième puis on double le
nombre de grains sur chaque case.
Doubler veut dire qu'à chaque fois, on multiplie par 2. On a donc
aaire à des puissance.
Si on veut connaître le nombre total de grains de riz à déposer, on doit
calculer la somme suivante :
1 + 2 + 4 + · · · + 263
= 20
+ 21
+ 22
+ · · · + 263
| {z }
64 termes
.
On reconnaît la somme de termes d'une suite géométrique de raison 2.
20
+ 21
+ 22
+ · · · + 263
| {z }
64 termes
=
63
X
k=0
2k
=
264 − 20
2 − 1
= 264
− 1.
La bonne réponse est donc :
A 264 − 1
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 16 / 25

25. Corrigé Question 3
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 17 / 25

26. Corrigé Question 3
Question 3
Combien vaut le nombre 5! ?
A 120
B 15
C 25
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 18 / 25

27. Corrigé Question 3
On dénit la factorielle d'un nombre entier n par :
n! = 1 × 2 × · · · × n.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 19 / 25

28. Corrigé Question 3
On dénit la factorielle d'un nombre entier n par :
n! = 1 × 2 × · · · × n.
On cherche la valeur de 5!. On remplace n par 5 dans la formule :
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 6 × 20 = 120.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 19 / 25

29. Corrigé Question 3
On dénit la factorielle d'un nombre entier n par :
n! = 1 × 2 × · · · × n.
On cherche la valeur de 5!. On remplace n par 5 dans la formule :
5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 6 × 20 = 120.
La bonne réponse est donc :
A 120
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 19 / 25

30. Corrigé Question 4
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 20 / 25

31. Corrigé Question 4
Question 4
On considère l'ensemble E = {a; b; c; d; e}.
Combien de mots de 3 lettres (avec ou sans signication française) peut-on
former à l'aide des éléments de E ?
A 3 × 5
B 35
C 53
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 21 / 25

32. Corrigé Question 4
Question 4
Pour former le mot de 3 lettres, on doit choisir les 3 lettres parmi les
éléments de l'ensemble E. On peut prendre deux (ou trois) fois le
même élément pour composer le mot (ex : aaa est un mot valide).
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 22 / 25

33. Corrigé Question 4
Question 4
Pour former le mot de 3 lettres, on doit choisir les 3 lettres parmi les
éléments de l'ensemble E. On peut prendre deux (ou trois) fois le
même élément pour composer le mot (ex : aaa est un mot valide).
Pour la première lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 22 / 25

34. Corrigé Question 4
Question 4
Pour former le mot de 3 lettres, on doit choisir les 3 lettres parmi les
éléments de l'ensemble E. On peut prendre deux (ou trois) fois le
même élément pour composer le mot (ex : aaa est un mot valide).
Pour la première lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Pour la deuxième lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble
E.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 22 / 25

35. Corrigé Question 4
Question 4
Pour former le mot de 3 lettres, on doit choisir les 3 lettres parmi les
éléments de l'ensemble E. On peut prendre deux (ou trois) fois le
même élément pour composer le mot (ex : aaa est un mot valide).
Pour la première lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Pour la deuxième lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble
E.
Pour la troisième lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 22 / 25

36. Corrigé Question 4
Question 4
Pour former le mot de 3 lettres, on doit choisir les 3 lettres parmi les
éléments de l'ensemble E. On peut prendre deux (ou trois) fois le
même élément pour composer le mot (ex : aaa est un mot valide).
Pour la première lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Pour la deuxième lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble
E.
Pour la troisième lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Pour former le mot, on a ainsi :
5 × 5 × 5 = 53
= 125 possibilités.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 22 / 25

37. Corrigé Question 4
Question 4
Pour former le mot de 3 lettres, on doit choisir les 3 lettres parmi les
éléments de l'ensemble E. On peut prendre deux (ou trois) fois le
même élément pour composer le mot (ex : aaa est un mot valide).
Pour la première lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Pour la deuxième lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble
E.
Pour la troisième lettre, on a le choix entre 5 lettres dans l'ensemble E.
Pour former le mot, on a ainsi :
5 × 5 × 5 = 53
= 125 possibilités.
La bonne réponse est donc :
C 53
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 22 / 25

38. Corrigé Question 5
Sommaire
1 Questions
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Question 5
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 23 / 25

39. Corrigé Question 5
Question 5
Une grille de loto compte 49 numéros (de 1 à 49). On doit choisir 6
numéros pour former un tirage.
De combien de manières peut-on choisir un tirage?
A
49!
6!
B
49!
6! × 43!
C 40! × 6!
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 24 / 25

40. Corrigé Question 5
Ici, on doit choisir 6 nombres parmi les 49 présents dans la liste.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 25 / 25

41. Corrigé Question 5
Ici, on doit choisir 6 nombres parmi les 49 présents dans la liste.
On choisit les numéros simultanément (successivement et sans remise).
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 25 / 25

42. Corrigé Question 5
Ici, on doit choisir 6 nombres parmi les 49 présents dans la liste.
On choisit les numéros simultanément (successivement et sans remise).
L'ordre n'est pas important car le tirage 5-21-39-22-12-49 est le même
que 21-5-22-12-49-39.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 25 / 25

43. Corrigé Question 5
Ici, on doit choisir 6 nombres parmi les 49 présents dans la liste.
On choisit les numéros simultanément (successivement et sans remise).
L'ordre n'est pas important car le tirage 5-21-39-22-12-49 est le même
que 21-5-22-12-49-39.
On doit calculer le nombre de combinaisons de 6 nombres parmi 49.
C'est-à-dire le nombre :
49
6
=
49!
6! × 43!
= 13983816.
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 25 / 25

44. Corrigé Question 5
Ici, on doit choisir 6 nombres parmi les 49 présents dans la liste.
On choisit les numéros simultanément (successivement et sans remise).
L'ordre n'est pas important car le tirage 5-21-39-22-12-49 est le même
que 21-5-22-12-49-39.
On doit calculer le nombre de combinaisons de 6 nombres parmi 49.
C'est-à-dire le nombre :
49
6
=
49!
6! × 43!
= 13983816.
La bonne réponse est donc :
B
49!
6! × 43!
Clément Boulonne (CBMaths) RCM Suites 20 août 2021 25 / 25