BAC SpéMaths Amérique du Nord 2021 - Exercice A : VF sur les fonctions exponentielles

BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021
Exercice A : Vrai ou faux sur les fonctions exponentielles
Clément Boulonne (CBMaths)
31 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.A 31 mai 2021 1/24

Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5

Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé

Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - VF exponentielles
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il
indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Énoncé
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B. Il
indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Exercice A
Principaux domaines abordés :
Fonction exponentielle
Convexité

Énoncé
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou
fausse. On justiera chaque réponse.

Énoncé
Armation 1 : Pour tous réels a et b, ea+b
2
= e2a + e2b.

Énoncé
2
= e2a + e2b.
Armation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point
A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f dénie sur R
par f (x) = −2 + (3 − x)ex admet pour équation réduite y = 2x + 1.

Énoncé
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.

Énoncé
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 4 : L'équation 1 − x + e−x = 0 admet une seule solution
appartenant à l'intervalle [0 ; 2].

Énoncé
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
Armation 5 : la fonction g dénie sur R par g(x) = x2 − 5x + ex
est convexe.

Corrigé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé

Corrigé Armation 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5

Corrigé Armation 1
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
est convexe.

Corrigé Armation 1
2
= e2a + e2b.

Corrigé Armation 1
2
= e2a + e2b.
On utilise les propriétés suivantes sur les exponentielles :
Pour tous réels x et y, ex+y
= ex
× ey
,
(ex
)y
= ex×y
.

Corrigé Armation 1
2
= e2a + e2b.
= ex
× ey
,
(ex
)y
= ex×y
.
Ainsi :

ea+b
2
=

ea
× eb
2
= (ea
)2
×

eb
2
= e2a
× e2b
.

Corrigé Armation 1
2
= e2a + e2b.
= ex
× ey
,
(ex
)y
= ex×y
.
Ainsi :

ea+b
2
=

ea
× eb
2
= (ea
)2
×

eb
2
= e2a
× e2b
.
Conclusion : l'armation 1 est fausse.

Corrigé Armation 2
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5

Corrigé Armation 2
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
est convexe.

Corrigé Armation 2

Corrigé Armation 2
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ R par :
f (x) = −2 + (3 − x)ex
.

Corrigé Armation 2
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ R par :
f (x) = −2 + (3 − x)ex
.
On calcule la dérivée f 0 de la fonction f . On pose u(x) = 3 − x et
v(x) = ex . Les dérivées de ces deux fonctions sont : u0(x) = −1 et
v0(x) = ex .
f (x) = −ex
+ (3 − x)ex
= ex
(3 − x − 1) = (2 − x)ex
.

Corrigé Armation 2

Corrigé Armation 2
f 0(x) = (2 − x)ex . On détermine ensuite l'équation réduite de la
tangente au point A d'abscisse 0 de Cf .
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0
× x + (−2 + 3e0
)

Corrigé Armation 2
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0
× x + (−2 + 3e0
)
Or e0 = 1, on obtient donc :
y = 2x − 2 + 3 ⇔ y = 2x + 1.

Corrigé Armation 2
y = f 0
(0)(x − 0) + f (0) ⇔ y = 2e0
× x + (−2 + 3e0
)
Or e0 = 1, on obtient donc :
y = 2x − 2 + 3 ⇔ y = 2x + 1.
Conclusion : l'armation 2 est vraie.

Corrigé Armation 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5

Corrigé Armation 3
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
est convexe.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
On note G(x) = e2x − ex +
3
x
.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
3
x
.
On peut remarquer d'abord que : e2x = (ex )2
, puis :
G(x) = (ex
)2
− ex
+
3
x
= ex
× ex
− ex
+
3
x
.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
3
x
.
On peut remarquer d'abord que : e2x = (ex )2
, puis :
G(x) = (ex
)2
− ex
+
3
x
= ex
× ex
− ex
+
3
x
.
On peut factoriser l'expression par ex .
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.
On sait que lim
x→+∞
ex = +∞ et lim
x→+∞
3
xex
= 0. Ainsi :
lim
x→+∞
G(x) = +∞.

Corrigé Armation 3
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
G(x) = ex

ex
− 1 +
3
xex

.
On sait que lim
x→+∞
ex = +∞ et lim
x→+∞
3
xex
= 0. Ainsi :
lim
x→+∞
G(x) = +∞.
Conclusion : l'armation 3 est fausse.

Corrigé Armation 4
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5

Corrigé Armation 4
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
est convexe.

Corrigé Armation 4

Corrigé Armation 4
On considère la fonction f dénie, pour tout x ∈ [0 ; 2] par :
f (x) = 1 − x + e−x
.

Corrigé Armation 4
f (x) = 1 − x + e−x
.
On étudie les variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 1].
f 0
(x) = −1 − e−x
= −(1 + e−x
).

Corrigé Armation 4
f (x) = 1 − x + e−x
.
f 0
(x) = −1 − e−x
= −(1 + e−x
).
1 + e−x 0 sur l'intervalle [0 ; 2] donc f 0(x) 6 0 sur l'intervalle [0 ; 2].
La fonction f est décroissante sur [0 ; 2].

Corrigé Armation 4
f (x) = 1 − x + e−x
.
f 0
(x) = −1 − e−x
= −(1 + e−x
).
1 + e−x 0 sur l'intervalle [0 ; 2] donc f 0(x) 6 0 sur l'intervalle [0 ; 2].
La fonction f est décroissante sur [0 ; 2].
On a :
f (0) = 1−0+e0
= 2 et f (2) = 1−2+e−2
= −1+e−2
≈ −0,86.

Corrigé Armation 4

Corrigé Armation 4
On peut tracer le tableau de variations de f :
x
f 0(x)
Variations
de f
0 2
−
2
2
−0,86
−0,86

Corrigé Armation 4
x
f 0(x)
Variations
de f
0 2
−
2
2
−0,86
−0,86
La fonction f est continue et strictement décroissante sur [0 ; 2]. On
a : f (0) = 2 0 et f (2) ≈ −0,86 6 0. Donc, d'après le théorème de
la bijection, il existe un unique α sur [0 ; 2] solution de l'équation
f (x) = 0.

Corrigé Armation 5
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Armation 1
Armation 2
Armation 3
Armation 4
Armation 5

Corrigé Armation 5
2
= e2a + e2b.
Armation 3 : lim
x→+∞
e2x − ex +
3
x
= 0.
est convexe.

Corrigé Armation 5
est convexe.

Corrigé Armation 5
est convexe.
On considère la fonction g dénie sur R par :
g(x) = x2
− 5x + ex
.

Corrigé Armation 5
est convexe.
g(x) = x2
− 5x + ex
.
Pour étudier la convexité de la fonction g, on étudie le signe de la
dérivée seconde de la fonction g.
g0
(x) = 2x − 5 + ex
g00
(x) = 2 + ex
.

Corrigé Armation 5
est convexe.
g(x) = x2
− 5x + ex
.
g0
(x) = 2x − 5 + ex
g00
(x) = 2 + ex
.
ex 0 pour tout x ∈ R donc la dérivée seconde g00 est toujours
positive sur R. La fonction g est donc convexe sur R.

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