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Préparation E3C 2021
Exercice 2 : Fonctions
Clément Boulonne (CBMaths)
9 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 1 / 32
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 2 / 32
Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 3 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Vous pouvez travailler l'exercice puis continuer la lecture de cette
présentation pour dévoiler le corrigé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 6 / 32
Solutions
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 7 / 32
Solutions Question A1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 8 / 32
Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 9 / 32
Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
On a ainsi :
ex
× e−x
= ex+(−x)
= e0
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
On a ainsi :
ex
× e−x
= ex+(−x)
= e0
.
Or, d'après le cours : e0 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
On a ainsi :
ex
× e−x
= ex+(−x)
= e0
.
Or, d'après le cours : e0 = 1.
Conclusion : ex × e−x = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
Solutions Question A2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 32
Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 12 / 32
Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
On a alors :
f 0
(x) = u0
(x) × v(x) + u(x) × v0
(x)
= 1 × e−x
+ x × (−1) × e−x
= e−x
+ −xe−x
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
On a alors :
f 0
(x) = u0
(x) × v(x) + u(x) × v0
(x)
= 1 × e−x
+ x × (−1) × e−x
= e−x
+ −xe−x
.
On peut factoriser l'expression par e−x . Ainsi :
f 0
(x) = e−x
+ −xe−x
= e−x
(1 − x).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
On a alors :
f 0
(x) = u0
(x) × v(x) + u(x) × v0
(x)
= 1 × e−x
+ x × (−1) × e−x
= e−x
+ −xe−x
.
On peut factoriser l'expression par e−x . Ainsi :
f 0
(x) = e−x
+ −xe−x
= e−x
(1 − x).
Conclusion : f 0(x) = e−x (1 − x).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
Solutions Question A3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
On a ainsi :
e−2x2
= e−3x+1
⇔ −2x2
= −3x + 1 ⇔ −2x2
+ 3x − 1 = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
On a ainsi :
e−2x2
= e−3x+1
⇔ −2x2
= −3x + 1 ⇔ −2x2
+ 3x − 1 = 0.
On peut résoudre l'équation du second degré avec la méthode du
discriminant.
∆ = 32
− 4 × (−2) × (−1) = 9 − 8 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
On a ainsi :
e−2x2
= e−3x+1
⇔ −2x2
= −3x + 1 ⇔ −2x2
+ 3x − 1 = 0.
On peut résoudre l'équation du second degré avec la méthode du
discriminant.
∆ = 32
− 4 × (−2) × (−1) = 9 − 8 = 1.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
1 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Il y a donc deux solutions à l'équation −2x2 + 3x − 1 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
−3 − 1
2 × (−2)
=
−4
−4
= 1
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
−3 + 1
2 × (−2)
=
−2
−4
=
1
2
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32
Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Il y a donc deux solutions à l'équation −2x2 + 3x − 1 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
−3 − 1
2 × (−2)
=
−4
−4
= 1
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
−3 + 1
2 × (−2)
=
−2
−4
=
1
2
.
Conclusion : l'ensemble-solution de l'équation e−2x2
= e−3x+1 est
S =

1
2
; 1

.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32
Solutions Question B1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 32
Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 32
Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) :
f (1) = 2 × 13
− 15 × 12
+ 24 × 1
= 2 × 1 − 15 × 1 + 24
= 2 − 15 + 24 = 11.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) :
f (1) = 2 × 13
− 15 × 12
+ 24 × 1
= 2 × 1 − 15 × 1 + 24
= 2 − 15 + 24 = 11.
Ensuite, on calcule l'image de 4 par la fonction f , c'est-à-dire f (4) :
f (4) = 2 × 43
− 15 × 42
+ 24 × 4
= 2 × 64 − 15 × 16 + 96
= 128 − 240 + 96 = −16.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) :
f (1) = 2 × 13
− 15 × 12
+ 24 × 1
= 2 × 1 − 15 × 1 + 24
= 2 − 15 + 24 = 11.
Ensuite, on calcule l'image de 4 par la fonction f , c'est-à-dire f (4) :
f (4) = 2 × 43
− 15 × 42
+ 24 × 4
= 2 × 64 − 15 × 16 + 96
= 128 − 240 + 96 = −16.
Conclusion : f (1) = 11 et f (4) = −16.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
Solutions Question B2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 32
Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 32
Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R
car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R
car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R.
On peut donc calculer f 0, la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) = 3 × 2x2
− 2 × 15x + 24 = 6x2
− 30x + 24.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R
car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R.
On peut donc calculer f 0, la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) = 3 × 2x2
− 2 × 15x + 24 = 6x2
− 30x + 24.
Conclusion : f 0(x) = 6x2 − 30x + 24.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
Solutions Question B3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 24 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On étudie le signe de la fonction dérivée de f :
f 0
(x) = 6x2
− 30x + 24
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On étudie le signe de la fonction dérivée de f :
f 0
(x) = 6x2
− 30x + 24
Pour cela, déterminons les racines du polynôme 6x2 − 30x + 24 grâce
à la méthode du discriminant :
∆ = (−30)2
− 4 × 6 × 24 = 302
− 242
= (30 − 24)(30 + 24) = 6 × 54 = 324.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On étudie le signe de la fonction dérivée de f :
f 0
(x) = 6x2
− 30x + 24
Pour cela, déterminons les racines du polynôme 6x2 − 30x + 24 grâce
à la méthode du discriminant :
∆ = (−30)2
− 4 × 6 × 24 = 302
− 242
= (30 − 24)(30 + 24) = 6 × 54 = 324.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
324 = 18.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Le polynôme 6x2 − 30x + 24 admet donc deux racines :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
30 − 18
12
=
12
12
= 1.
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
30 + 18
12
=
48
12
= 4.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Le polynôme 6x2 − 30x + 24 admet donc deux racines :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
30 − 18
12
=
12
12
= 1.
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
30 + 18
12
=
48
12
= 4.
Il y a donc deux changements de variations. De plus, le coecient
a = 6 du polynôme est positif.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On peut en déduire le tableau de variations suivant :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On peut en déduire le tableau de variations suivant :
x
f 0(x)
f
−∞ 1 4 +∞
+ 0 − 0 +
11
11
−16
−16
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On peut en déduire le tableau de variations suivant :
x
f 0(x)
f
−∞ 1 4 +∞
+ 0 − 0 +
11
11
−16
−16
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle
]−∞ ; 1] ∪ [4 ; +∞[ et décroissante sur l'intervalle [1 ; 4].
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
Solutions Question B4
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 29 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
On résout l'équation f (x) = 0 ou encore :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0.
On ne peut pas résoudre tel quel cette équation.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
On résout l'équation f (x) = 0 ou encore :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0.
On ne peut pas résoudre tel quel cette équation.
Par contre, on peut factoriser par x l'expression du membre de
gauche :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0 ⇔ x(2x2
− 15x + 24) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
On résout l'équation f (x) = 0 ou encore :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0.
On ne peut pas résoudre tel quel cette équation.
Par contre, on peut factoriser par x l'expression du membre de
gauche :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0 ⇔ x(2x2
− 15x + 24) = 0.
C'est une équation produit nul. Les solutions de l'équation
x(2x2 − 15x + 24) = 0 sont les nombres x tels que :
x = 0 ou 2x2
− 15x + 24 = 0.
On résout l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 par la méthode du
discriminant.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
∆ = (−15)2
− 4 × 2 × 24
= 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
33.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
∆ = (−15)2
− 4 × 2 × 24
= 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
33.
Il y a donc deux solutions à l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
15 −
√
33
2 × 2
=
15 −
√
33
4
≈ 2,31
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
15 +
√
33
2 × 2
=
15 +
√
33
4
≈ 5,19.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32
Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
∆ = (−15)2
− 4 × 2 × 24
= 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
33.
Il y a donc deux solutions à l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
15 −
√
33
2 × 2
=
15 −
√
33
4
≈ 2,31
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
15 +
√
33
2 × 2
=
15 +
√
33
4
≈ 5,19.
Conclusion : Les antécédents de 0 par la fonction f sont 0,
15 −
√
33
4
et
15 +
√
33
4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32

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Préparation E3C 2021 - Exercice 2 : Fonctions

  • 1. Préparation E3C 2021 Exercice 2 : Fonctions Clément Boulonne (CBMaths) 9 mai 2021 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 1 / 32
  • 2. Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 2 / 32
  • 3. Énoncé Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 3 / 32
  • 4. Énoncé E3C2021 - Fonctions Partie A : Cours 1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32
  • 5. Énoncé E3C2021 - Fonctions Partie A : Cours 1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? 2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32
  • 6. Énoncé E3C2021 - Fonctions Partie A : Cours 1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? 2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . 3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32
  • 7. Énoncé E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
  • 8. Énoncé E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . 2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
  • 9. Énoncé E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . 2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f . 3 Déterminer le sens de variations de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
  • 10. Énoncé E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . 2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f . 3 Déterminer le sens de variations de la fonction f . 4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32
  • 11. Énoncé E3C2021 - Fonctions Vous pouvez travailler l'exercice puis continuer la lecture de cette présentation pour dévoiler le corrigé. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 6 / 32
  • 12. Solutions Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 7 / 32
  • 13. Solutions Question A1 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 8 / 32
  • 14. Solutions Question A1 E3C2021 - Fonctions Partie A : Cours 1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? 2 Donner les variations sur R de la fonction x 7→ x × e−x . 3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 9 / 32
  • 15. Solutions Question A1 E3C2021 - Fonctions Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
  • 16. Solutions Question A1 E3C2021 - Fonctions Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle suivante : ea × eb = ea+b . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
  • 17. Solutions Question A1 E3C2021 - Fonctions Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle suivante : ea × eb = ea+b . On a ainsi : ex × e−x = ex+(−x) = e0 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
  • 18. Solutions Question A1 E3C2021 - Fonctions Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle suivante : ea × eb = ea+b . On a ainsi : ex × e−x = ex+(−x) = e0 . Or, d'après le cours : e0 = 1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
  • 19. Solutions Question A1 E3C2021 - Fonctions Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle suivante : ea × eb = ea+b . On a ainsi : ex × e−x = ex+(−x) = e0 . Or, d'après le cours : e0 = 1. Conclusion : ex × e−x = 1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32
  • 20. Solutions Question A2 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 32
  • 21. Solutions Question A2 E3C2021 - Fonctions Partie A : Cours 1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? 2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . 3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 12 / 32
  • 22. Solutions Question A2 E3C2021 - Fonctions Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
  • 23. Solutions Question A2 E3C2021 - Fonctions Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée des fonctions u et v : u0 (x) = 1 et v0 (x) = −e−x . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
  • 24. Solutions Question A2 E3C2021 - Fonctions Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée des fonctions u et v : u0 (x) = 1 et v0 (x) = −e−x . On a alors : f 0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v0 (x) = 1 × e−x + x × (−1) × e−x = e−x + −xe−x . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
  • 25. Solutions Question A2 E3C2021 - Fonctions Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée des fonctions u et v : u0 (x) = 1 et v0 (x) = −e−x . On a alors : f 0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v0 (x) = 1 × e−x + x × (−1) × e−x = e−x + −xe−x . On peut factoriser l'expression par e−x . Ainsi : f 0 (x) = e−x + −xe−x = e−x (1 − x). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
  • 26. Solutions Question A2 E3C2021 - Fonctions Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée des fonctions u et v : u0 (x) = 1 et v0 (x) = −e−x . On a alors : f 0 (x) = u0 (x) × v(x) + u(x) × v0 (x) = 1 × e−x + x × (−1) × e−x = e−x + −xe−x . On peut factoriser l'expression par e−x . Ainsi : f 0 (x) = e−x + −xe−x = e−x (1 − x). Conclusion : f 0(x) = e−x (1 − x). Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32
  • 27. Solutions Question A3 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 32
  • 28. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Partie A : Cours 1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ? 2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x . 3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 32
  • 29. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
  • 30. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
  • 31. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b. On a ainsi : e−2x2 = e−3x+1 ⇔ −2x2 = −3x + 1 ⇔ −2x2 + 3x − 1 = 0. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
  • 32. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b. On a ainsi : e−2x2 = e−3x+1 ⇔ −2x2 = −3x + 1 ⇔ −2x2 + 3x − 1 = 0. On peut résoudre l'équation du second degré avec la méthode du discriminant. ∆ = 32 − 4 × (−2) × (−1) = 9 − 8 = 1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
  • 33. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b. On a ainsi : e−2x2 = e−3x+1 ⇔ −2x2 = −3x + 1 ⇔ −2x2 + 3x − 1 = 0. On peut résoudre l'équation du second degré avec la méthode du discriminant. ∆ = 32 − 4 × (−2) × (−1) = 9 − 8 = 1. Le discriminant ∆ est strictement positif et √ ∆ = √ 1 = 1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32
  • 34. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32
  • 35. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Il y a donc deux solutions à l'équation −2x2 + 3x − 1 = 0 : x1 = −b − √ ∆ 2a = −3 − 1 2 × (−2) = −4 −4 = 1 x2 = −b + √ ∆ 2a = −3 + 1 2 × (−2) = −2 −4 = 1 2 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32
  • 36. Solutions Question A3 E3C2021 - Fonctions Résoudre, sur R, l'équation e−2x2 = e−3x+1. Il y a donc deux solutions à l'équation −2x2 + 3x − 1 = 0 : x1 = −b − √ ∆ 2a = −3 − 1 2 × (−2) = −4 −4 = 1 x2 = −b + √ ∆ 2a = −3 + 1 2 × (−2) = −2 −4 = 1 2 . Conclusion : l'ensemble-solution de l'équation e−2x2 = e−3x+1 est S = 1 2 ; 1 . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32
  • 37. Solutions Question B1 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 32
  • 38. Solutions Question B1 E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . 2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f . 3 Déterminer le sens de variations de la fonction f . 4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 32
  • 39. Solutions Question B1 E3C2021 - Fonctions Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
  • 40. Solutions Question B1 E3C2021 - Fonctions Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
  • 41. Solutions Question B1 E3C2021 - Fonctions Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) : f (1) = 2 × 13 − 15 × 12 + 24 × 1 = 2 × 1 − 15 × 1 + 24 = 2 − 15 + 24 = 11. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
  • 42. Solutions Question B1 E3C2021 - Fonctions Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) : f (1) = 2 × 13 − 15 × 12 + 24 × 1 = 2 × 1 − 15 × 1 + 24 = 2 − 15 + 24 = 11. Ensuite, on calcule l'image de 4 par la fonction f , c'est-à-dire f (4) : f (4) = 2 × 43 − 15 × 42 + 24 × 4 = 2 × 64 − 15 × 16 + 96 = 128 − 240 + 96 = −16. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
  • 43. Solutions Question B1 E3C2021 - Fonctions Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) : f (1) = 2 × 13 − 15 × 12 + 24 × 1 = 2 × 1 − 15 × 1 + 24 = 2 − 15 + 24 = 11. Ensuite, on calcule l'image de 4 par la fonction f , c'est-à-dire f (4) : f (4) = 2 × 43 − 15 × 42 + 24 × 4 = 2 × 64 − 15 × 16 + 96 = 128 − 240 + 96 = −16. Conclusion : f (1) = 11 et f (4) = −16. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32
  • 44. Solutions Question B2 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 32
  • 45. Solutions Question B2 E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . 2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f . 3 Déterminer le sens de variations de la fonction f . 4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 32
  • 46. Solutions Question B2 E3C2021 - Fonctions Calculer f 0, la fonction dérivée de f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
  • 47. Solutions Question B2 E3C2021 - Fonctions Calculer f 0, la fonction dérivée de f . La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
  • 48. Solutions Question B2 E3C2021 - Fonctions Calculer f 0, la fonction dérivée de f . La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R. On peut donc calculer f 0, la dérivée de la fonction f : f 0 (x) = 3 × 2x2 − 2 × 15x + 24 = 6x2 − 30x + 24. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
  • 49. Solutions Question B2 E3C2021 - Fonctions Calculer f 0, la fonction dérivée de f . La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R. On peut donc calculer f 0, la dérivée de la fonction f : f 0 (x) = 3 × 2x2 − 2 × 15x + 24 = 6x2 − 30x + 24. Conclusion : f 0(x) = 6x2 − 30x + 24. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32
  • 50. Solutions Question B3 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 24 / 32
  • 51. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . 2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f . 3 Déterminer le sens de variations de la fonction f . 4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 32
  • 52. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
  • 53. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . On étudie le signe de la fonction dérivée de f : f 0 (x) = 6x2 − 30x + 24 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
  • 54. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . On étudie le signe de la fonction dérivée de f : f 0 (x) = 6x2 − 30x + 24 Pour cela, déterminons les racines du polynôme 6x2 − 30x + 24 grâce à la méthode du discriminant : ∆ = (−30)2 − 4 × 6 × 24 = 302 − 242 = (30 − 24)(30 + 24) = 6 × 54 = 324. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
  • 55. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . On étudie le signe de la fonction dérivée de f : f 0 (x) = 6x2 − 30x + 24 Pour cela, déterminons les racines du polynôme 6x2 − 30x + 24 grâce à la méthode du discriminant : ∆ = (−30)2 − 4 × 6 × 24 = 302 − 242 = (30 − 24)(30 + 24) = 6 × 54 = 324. Le discriminant ∆ est strictement positif et √ ∆ = √ 324 = 18. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32
  • 56. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32
  • 57. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . Le polynôme 6x2 − 30x + 24 admet donc deux racines : x1 = −b − √ ∆ 2a = 30 − 18 12 = 12 12 = 1. x2 = −b + √ ∆ 2a = 30 + 18 12 = 48 12 = 4. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32
  • 58. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . Le polynôme 6x2 − 30x + 24 admet donc deux racines : x1 = −b − √ ∆ 2a = 30 − 18 12 = 12 12 = 1. x2 = −b + √ ∆ 2a = 30 + 18 12 = 48 12 = 4. Il y a donc deux changements de variations. De plus, le coecient a = 6 du polynôme est positif. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32
  • 59. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
  • 60. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . On peut en déduire le tableau de variations suivant : Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
  • 61. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . On peut en déduire le tableau de variations suivant : x f 0(x) f −∞ 1 4 +∞ + 0 − 0 + 11 11 −16 −16 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
  • 62. Solutions Question B3 E3C2021 - Fonctions Déterminer le sens de variations de la fonction f . On peut en déduire le tableau de variations suivant : x f 0(x) f −∞ 1 4 +∞ + 0 − 0 + 11 11 −16 −16 Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle ]−∞ ; 1] ∪ [4 ; +∞[ et décroissante sur l'intervalle [1 ; 4]. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32
  • 63. Solutions Question B4 Sommaire 1 Énoncé 2 Solutions Question A1 Question A2 Question A3 Question B1 Question B2 Question B3 Question B4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 29 / 32
  • 64. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Partie B : Une étude de fonction On considère la fonction f dénie sur R par : f : x 7→ 2x3 − 15x2 + 24x. 1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f . 2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f . 3 Déterminer le sens de variations de la fonction f . 4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 32
  • 65. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
  • 66. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . On résout l'équation f (x) = 0 ou encore : 2x3 − 15x2 + 24x = 0. On ne peut pas résoudre tel quel cette équation. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
  • 67. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . On résout l'équation f (x) = 0 ou encore : 2x3 − 15x2 + 24x = 0. On ne peut pas résoudre tel quel cette équation. Par contre, on peut factoriser par x l'expression du membre de gauche : 2x3 − 15x2 + 24x = 0 ⇔ x(2x2 − 15x + 24) = 0. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
  • 68. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . On résout l'équation f (x) = 0 ou encore : 2x3 − 15x2 + 24x = 0. On ne peut pas résoudre tel quel cette équation. Par contre, on peut factoriser par x l'expression du membre de gauche : 2x3 − 15x2 + 24x = 0 ⇔ x(2x2 − 15x + 24) = 0. C'est une équation produit nul. Les solutions de l'équation x(2x2 − 15x + 24) = 0 sont les nombres x tels que : x = 0 ou 2x2 − 15x + 24 = 0. On résout l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 par la méthode du discriminant. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32
  • 69. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32
  • 70. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . ∆ = (−15)2 − 4 × 2 × 24 = 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33. Le discriminant ∆ est strictement positif et √ ∆ = √ 33. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32
  • 71. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . ∆ = (−15)2 − 4 × 2 × 24 = 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33. Le discriminant ∆ est strictement positif et √ ∆ = √ 33. Il y a donc deux solutions à l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 : x1 = −b − √ ∆ 2a = 15 − √ 33 2 × 2 = 15 − √ 33 4 ≈ 2,31 x2 = −b + √ ∆ 2a = 15 + √ 33 2 × 2 = 15 + √ 33 4 ≈ 5,19. Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32
  • 72. Solutions Question B4 E3C2021 - Fonctions Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f . ∆ = (−15)2 − 4 × 2 × 24 = 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33. Le discriminant ∆ est strictement positif et √ ∆ = √ 33. Il y a donc deux solutions à l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 : x1 = −b − √ ∆ 2a = 15 − √ 33 2 × 2 = 15 − √ 33 4 ≈ 2,31 x2 = −b + √ ∆ 2a = 15 + √ 33 2 × 2 = 15 + √ 33 4 ≈ 5,19. Conclusion : Les antécédents de 0 par la fonction f sont 0, 15 − √ 33 4 et 15 + √ 33 4 Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32