Préparation E3C 2021 Exercice 2 : Fonctions

1. Préparation E3C 2021
Exercice 2 : Fonctions
Clément Boulonne (CBMaths)
9 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 1 / 32

2. Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 2 / 32

3. Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 3 / 32

4. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32

5. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32

6. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 32

7. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32

8. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32

9. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32

10. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 32

11. Énoncé
E3C2021 - Fonctions
Vous pouvez travailler l'exercice puis continuer la lecture de cette
présentation pour dévoiler le corrigé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 6 / 32

12. Solutions
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 7 / 32

13. Solutions Question A1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 8 / 32

14. Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 9 / 32

15. Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32

16. Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32

17. Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
On a ainsi :
ex
× e−x
= ex+(−x)
= e0
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32

18. Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
On a ainsi :
ex
× e−x
= ex+(−x)
= e0
.
Or, d'après le cours : e0 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32

19. Solutions Question A1
E3C2021 - Fonctions
Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
On peut utiliser la propriété algébrique de la fonction exponentielle
suivante :
ea
× eb
= ea+b
.
On a ainsi :
ex
× e−x
= ex+(−x)
= e0
.
Or, d'après le cours : e0 = 1.
Conclusion : ex × e−x = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 32

20. Solutions Question A2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 32

21. Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 12 / 32

22. Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32

23. Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32

24. Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
On a alors :
f 0
(x) = u0
(x) × v(x) + u(x) × v0
(x)
= 1 × e−x
+ x × (−1) × e−x
= e−x
+ −xe−x
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32

25. Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
On a alors :
f 0
(x) = u0
(x) × v(x) + u(x) × v0
(x)
= 1 × e−x
+ x × (−1) × e−x
= e−x
+ −xe−x
.
On peut factoriser l'expression par e−x . Ainsi :
f 0
(x) = e−x
+ −xe−x
= e−x
(1 − x).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32

26. Solutions Question A2
E3C2021 - Fonctions
Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
On pose u : x 7→ x et v : x 7→ e−x . On peut donc calculer la dérivée
des fonctions u et v :
u0
(x) = 1 et v0
(x) = −e−x
.
On a alors :
f 0
(x) = u0
(x) × v(x) + u(x) × v0
(x)
= 1 × e−x
+ x × (−1) × e−x
= e−x
+ −xe−x
.
On peut factoriser l'expression par e−x . Ainsi :
f 0
(x) = e−x
+ −xe−x
= e−x
(1 − x).
Conclusion : f 0(x) = e−x (1 − x).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 32

27. Solutions Question A3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 32

28. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Partie A : Cours
1 Soit x ∈ R. Quelle est la valeur de l'expression ex × e−x ?
2 Donner les variations sur R de la fonction f : x 7→ x × e−x .
3 Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 32

29. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32

30. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32

31. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
On a ainsi :
e−2x2
= e−3x+1
⇔ −2x2
= −3x + 1 ⇔ −2x2
+ 3x − 1 = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32

32. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
On a ainsi :
e−2x2
= e−3x+1
⇔ −2x2
= −3x + 1 ⇔ −2x2
+ 3x − 1 = 0.
On peut résoudre l'équation du second degré avec la méthode du
discriminant.
∆ = 32
− 4 × (−2) × (−1) = 9 − 8 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32

33. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
On peut utiliser la propriété suivante : ea = eb ⇔ a = b.
On a ainsi :
e−2x2
= e−3x+1
⇔ −2x2
= −3x + 1 ⇔ −2x2
+ 3x − 1 = 0.
On peut résoudre l'équation du second degré avec la méthode du
discriminant.
∆ = 32
− 4 × (−2) × (−1) = 9 − 8 = 1.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
1 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 32

34. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32

35. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Il y a donc deux solutions à l'équation −2x2 + 3x − 1 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
−3 − 1
2 × (−2)
=
−4
−4
= 1
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
−3 + 1
2 × (−2)
=
−2
−4
=
1
2
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32

36. Solutions Question A3
E3C2021 - Fonctions
Résoudre, sur R, l'équation e−2x2
= e−3x+1.
Il y a donc deux solutions à l'équation −2x2 + 3x − 1 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
−3 − 1
2 × (−2)
=
−4
−4
= 1
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
−3 + 1
2 × (−2)
=
−2
−4
=
1
2
.
Conclusion : l'ensemble-solution de l'équation e−2x2
= e−3x+1 est
S =
1
2
; 1
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 32

37. Solutions Question B1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 32

38. Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 32

39. Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32

40. Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32

41. Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) :
f (1) = 2 × 13
− 15 × 12
+ 24 × 1
= 2 × 1 − 15 × 1 + 24
= 2 − 15 + 24 = 11.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32

42. Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) :
f (1) = 2 × 13
− 15 × 12
+ 24 × 1
= 2 × 1 − 15 × 1 + 24
= 2 − 15 + 24 = 11.
Ensuite, on calcule l'image de 4 par la fonction f , c'est-à-dire f (4) :
f (4) = 2 × 43
− 15 × 42
+ 24 × 4
= 2 × 64 − 15 × 16 + 96
= 128 − 240 + 96 = −16.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32

43. Solutions Question B1
E3C2021 - Fonctions
Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
On calcule l'image de 1 par la fonction f , c'est-à-dire f (1) :
f (1) = 2 × 13
− 15 × 12
+ 24 × 1
= 2 × 1 − 15 × 1 + 24
= 2 − 15 + 24 = 11.
Ensuite, on calcule l'image de 4 par la fonction f , c'est-à-dire f (4) :
f (4) = 2 × 43
− 15 × 42
+ 24 × 4
= 2 × 64 − 15 × 16 + 96
= 128 − 240 + 96 = −16.
Conclusion : f (1) = 11 et f (4) = −16.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 32

44. Solutions Question B2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 32

45. Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 32

46. Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32

47. Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R
car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32

48. Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R
car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R.
On peut donc calculer f 0, la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) = 3 × 2x2
− 2 × 15x + 24 = 6x2
− 30x + 24.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32

49. Solutions Question B2
E3C2021 - Fonctions
Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
La fonction f est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur R
car elle est somme de fonctions monômes dérivables sur R.
On peut donc calculer f 0, la dérivée de la fonction f :
f 0
(x) = 3 × 2x2
− 2 × 15x + 24 = 6x2
− 30x + 24.
Conclusion : f 0(x) = 6x2 − 30x + 24.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 32

50. Solutions Question B3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 24 / 32

51. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 32

52. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32

53. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On étudie le signe de la fonction dérivée de f :
f 0
(x) = 6x2
− 30x + 24
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32

54. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On étudie le signe de la fonction dérivée de f :
f 0
(x) = 6x2
− 30x + 24
Pour cela, déterminons les racines du polynôme 6x2 − 30x + 24 grâce
à la méthode du discriminant :
∆ = (−30)2
− 4 × 6 × 24 = 302
− 242
= (30 − 24)(30 + 24) = 6 × 54 = 324.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32

55. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On étudie le signe de la fonction dérivée de f :
f 0
(x) = 6x2
− 30x + 24
Pour cela, déterminons les racines du polynôme 6x2 − 30x + 24 grâce
à la méthode du discriminant :
∆ = (−30)2
− 4 × 6 × 24 = 302
− 242
= (30 − 24)(30 + 24) = 6 × 54 = 324.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
324 = 18.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 32

56. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32

57. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Le polynôme 6x2 − 30x + 24 admet donc deux racines :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
30 − 18
12
=
12
12
= 1.
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
30 + 18
12
=
48
12
= 4.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32

58. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Le polynôme 6x2 − 30x + 24 admet donc deux racines :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
30 − 18
12
=
12
12
= 1.
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
30 + 18
12
=
48
12
= 4.
Il y a donc deux changements de variations. De plus, le coecient
a = 6 du polynôme est positif.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 32

59. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32

60. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On peut en déduire le tableau de variations suivant :
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32

61. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On peut en déduire le tableau de variations suivant :
x
f 0(x)
f
−∞ 1 4 +∞
+ 0 − 0 +
11
11
−16
−16
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32

62. Solutions Question B3
E3C2021 - Fonctions
Déterminer le sens de variations de la fonction f .
On peut en déduire le tableau de variations suivant :
x
f 0(x)
f
−∞ 1 4 +∞
+ 0 − 0 +
11
11
−16
−16
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle
]−∞ ; 1] ∪ [4 ; +∞[ et décroissante sur l'intervalle [1 ; 4].
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 32

63. Solutions Question B4
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 29 / 32

64. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Partie B : Une étude de fonction
On considère la fonction f dénie sur R par :
f : x 7→ 2x3
− 15x2
+ 24x.
1 Calculer l'image de 1 et 4 par la fonction f .
2 Calculer f 0, la fonction dérivée de f .
3 Déterminer le sens de variations de la fonction f .
4 Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 32

65. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32

66. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
On résout l'équation f (x) = 0 ou encore :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0.
On ne peut pas résoudre tel quel cette équation.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32

67. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
On résout l'équation f (x) = 0 ou encore :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0.
On ne peut pas résoudre tel quel cette équation.
Par contre, on peut factoriser par x l'expression du membre de
gauche :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0 ⇔ x(2x2
− 15x + 24) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32

68. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
On résout l'équation f (x) = 0 ou encore :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0.
On ne peut pas résoudre tel quel cette équation.
Par contre, on peut factoriser par x l'expression du membre de
gauche :
2x3
− 15x2
+ 24x = 0 ⇔ x(2x2
− 15x + 24) = 0.
C'est une équation produit nul. Les solutions de l'équation
x(2x2 − 15x + 24) = 0 sont les nombres x tels que :
x = 0 ou 2x2
− 15x + 24 = 0.
On résout l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 par la méthode du
discriminant.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 32

69. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32

70. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
∆ = (−15)2
− 4 × 2 × 24
= 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
33.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32

71. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
∆ = (−15)2
− 4 × 2 × 24
= 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
33.
Il y a donc deux solutions à l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
15 −
√
33
2 × 2
=
15 −
√
33
4
≈ 2,31
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
15 +
√
33
2 × 2
=
15 +
√
33
4
≈ 5,19.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32

72. Solutions Question B4
E3C2021 - Fonctions
Déterminer les antécédents de 0 de la fonction f .
∆ = (−15)2
− 4 × 2 × 24
= 225 − 4 × 48 = 225 − 192 = 33.
Le discriminant ∆ est strictement positif et
√
∆ =
√
33.
Il y a donc deux solutions à l'équation 2x2 − 15x + 24 = 0 :
x1 =
−b −
√
∆
2a
=
15 −
√
33
2 × 2
=
15 −
√
33
4
≈ 2,31
x2 =
−b +
√
∆
2a
=
15 +
√
33
2 × 2
=
15 +
√
33
4
≈ 5,19.
Conclusion : Les antécédents de 0 par la fonction f sont 0,
15 −
√
33
4
et
15 +
√
33
4
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 32