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Une formule de dérivation pour les fonctions
exponentielles
Clément Boulonne (CBMaths)
17 mars 2014
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 1 / 13
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Énoncé
Solution du 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 2 / 13
La formule
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 3 / 13
La formule
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Propriété
Soient u : R → R et v : R → R deux fonctions continues et dérivables sur
R. La fonction G : R → R dénie, pour tout x ∈ R, par :
G(x) = u(x)ev(x)
est continue et dérivable sur R et :
G0
(x) = (u0
(x) + u(x)v0
(x))ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 4 / 13
La démonstration
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 5 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée
d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée
d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R.
3. La formule s'appuie sur la formule de dérivation d'un produit de
fonctions :
(u(x)v(x))0
= u0
(x)v(x) + v0
(x)u(x),
et sur la formule de dérivable de la fonction exponentielle :
(eu(x))0 = u0(x)eu(x).
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée
d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R.
3. La formule s'appuie sur la formule de dérivation d'un produit de
fonctions :
(u(x)v(x))0
= u0
(x)v(x) + v0
(x)u(x),
et sur la formule de dérivable de la fonction exponentielle :
(eu(x))0 = u0(x)eu(x).
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
G0
(x) = u0
(x)ev(x)
+ v0
(x)u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
G0
(x) = u0
(x)ev(x)
+ v0
(x)u(x)ev(x)
.
On factorise, ensuite, par ev(x) :
G0
(x) = (u0
(x) + u(x)v0
(x))ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
G0
(x) = u0
(x)ev(x)
+ v0
(x)u(x)ev(x)
.
On factorise, ensuite, par ev(x) :
G0
(x) = (u0
(x) + u(x)v0
(x))ev(x)
.
D'où la formule. 
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
Applications
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 8 / 13
Applications Énoncé
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Énoncé
Solution du 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 9 / 13
Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ;
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
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Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ;
3 h(x) = (x2 − 1)ex3
;
4 u(x) = cos(x)esin(x).
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
Applications Solution du 1.
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Énoncé
Solution du 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 11 / 13
Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule
vue en première partie.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule
vue en première partie.
On a alors : u0(x) = 2 et v0(x) = 3.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule
vue en première partie.
On a alors : u0(x) = 2 et v0(x) = 3.
Puis :
f 0
(x) = (2 + 3(2x + 1))e3x−1
= (6x + 5)e3x−1
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Je vous laisse calculer les autres dérivées en exercice.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 13 / 13

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Une formule de dérivation pour les fonctions exponentielles

  • 1. Une formule de dérivation pour les fonctions exponentielles Clément Boulonne (CBMaths) 17 mars 2014 Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 1 / 13
  • 2. Sommaire 1 La formule 2 La démonstration 3 Applications Énoncé Solution du 1. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 2 / 13
  • 3. La formule Sommaire 1 La formule 2 La démonstration 3 Applications Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 3 / 13
  • 4. La formule Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Propriété Soient u : R → R et v : R → R deux fonctions continues et dérivables sur R. La fonction G : R → R dénie, pour tout x ∈ R, par : G(x) = u(x)ev(x) est continue et dérivable sur R et : G0 (x) = (u0 (x) + u(x)v0 (x))ev(x) . Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 4 / 13
  • 5. La démonstration Sommaire 1 La formule 2 La démonstration 3 Applications Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 5 / 13
  • 6. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
  • 7. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
  • 8. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . 2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
  • 9. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . 2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R. 3. La formule s'appuie sur la formule de dérivation d'un produit de fonctions : (u(x)v(x))0 = u0 (x)v(x) + v0 (x)u(x), et sur la formule de dérivable de la fonction exponentielle : (eu(x))0 = u0(x)eu(x). Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
  • 10. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . 2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R. 3. La formule s'appuie sur la formule de dérivation d'un produit de fonctions : (u(x)v(x))0 = u0 (x)v(x) + v0 (x)u(x), et sur la formule de dérivable de la fonction exponentielle : (eu(x))0 = u0(x)eu(x). 4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13
  • 11. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
  • 12. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi : V 0 (x) = v0 (x)eV (x) puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de dérivation d'un produit de fonctions : G0 (x) = u0 (x)V (x) + u(x)V 0 (x) Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
  • 13. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi : V 0 (x) = v0 (x)eV (x) puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de dérivation d'un produit de fonctions : G0 (x) = u0 (x)V (x) + u(x)V 0 (x) G0 (x) = u0 (x)ev(x) + v0 (x)u(x)ev(x) . Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
  • 14. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi : V 0 (x) = v0 (x)eV (x) puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de dérivation d'un produit de fonctions : G0 (x) = u0 (x)V (x) + u(x)V 0 (x) G0 (x) = u0 (x)ev(x) + v0 (x)u(x)ev(x) . On factorise, ensuite, par ev(x) : G0 (x) = (u0 (x) + u(x)v0 (x))ev(x) . Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
  • 15. La démonstration Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Démonstration. 4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par : G(x) = u(x)ev(x) . On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi : V 0 (x) = v0 (x)eV (x) puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de dérivation d'un produit de fonctions : G0 (x) = u0 (x)V (x) + u(x)V 0 (x) G0 (x) = u0 (x)ev(x) + v0 (x)u(x)ev(x) . On factorise, ensuite, par ev(x) : G0 (x) = (u0 (x) + u(x)v0 (x))ev(x) . D'où la formule. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13
  • 16. Applications Sommaire 1 La formule 2 La démonstration 3 Applications Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 8 / 13
  • 17. Applications Énoncé Sommaire 1 La formule 2 La démonstration 3 Applications Énoncé Solution du 1. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 9 / 13
  • 18. Applications Énoncé Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Exercice : calcul de dérivées Calculer la dérivée des fonctions suivantes : Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
  • 19. Applications Énoncé Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Exercice : calcul de dérivées Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ; Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
  • 20. Applications Énoncé Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Exercice : calcul de dérivées Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ; 2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ; Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
  • 21. Applications Énoncé Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Exercice : calcul de dérivées Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ; 2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ; 3 h(x) = (x2 − 1)ex3 ; Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
  • 22. Applications Énoncé Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Exercice : calcul de dérivées Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ; 2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ; 3 h(x) = (x2 − 1)ex3 ; 4 u(x) = cos(x)esin(x). Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13
  • 23. Applications Solution du 1. Sommaire 1 La formule 2 La démonstration 3 Applications Énoncé Solution du 1. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 11 / 13
  • 24. Applications Solution du 1. Formule de dérivation pour la fonction exponentielle On considère la fonction : f : R −→ R x 7−→ (2x + 1)e3x−1. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
  • 25. Applications Solution du 1. Formule de dérivation pour la fonction exponentielle On considère la fonction : f : R −→ R x 7−→ (2x + 1)e3x−1. On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que : f (x) = u(x)ev(x) . Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
  • 26. Applications Solution du 1. Formule de dérivation pour la fonction exponentielle On considère la fonction : f : R −→ R x 7−→ (2x + 1)e3x−1. On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que : f (x) = u(x)ev(x) . Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule vue en première partie. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
  • 27. Applications Solution du 1. Formule de dérivation pour la fonction exponentielle On considère la fonction : f : R −→ R x 7−→ (2x + 1)e3x−1. On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que : f (x) = u(x)ev(x) . Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule vue en première partie. On a alors : u0(x) = 2 et v0(x) = 3. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
  • 28. Applications Solution du 1. Formule de dérivation pour la fonction exponentielle On considère la fonction : f : R −→ R x 7−→ (2x + 1)e3x−1. On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que : f (x) = u(x)ev(x) . Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule vue en première partie. On a alors : u0(x) = 2 et v0(x) = 3. Puis : f 0 (x) = (2 + 3(2x + 1))e3x−1 = (6x + 5)e3x−1 . Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13
  • 29. Applications Solution du 1. Formule de dérivation pour la fonction exponentielle Je vous laisse calculer les autres dérivées en exercice. Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 13 / 13