1. 1
LIMITES
Soient P et Q deux fonctions polynôme de degré n et m et du monôme de plus haut degré anxn et bnxm
respectivement alors
=
+∞→
)x(Plim
x
n
n
x
xalim
+∞→
; =
−∞→
)x(Plim
x
n
n
x
xalim
−∞→
=
+∞→ )x(Q
)x(P
lim
x m
m
n
n
x xb
xa
lim
+∞→
; =
−∞→ )x(Q
)x(P
lim
x m
m
n
n
x xb
xa
lim
−∞→
Exemple :
1x5x
1xx2x2
lim 2
43
x −+
−+−
−∞→
= 2
4
x x
x2
lim
−
−∞→
= 2
x
x2lim −
−∞→
= −∞
Limites trigonométries
1
x
)xsin(
lim
0x
=
→
; 1
x
)xtan(
lim
0x
=
→
;
2
1
x
)xcos(1
lim 20x
=
−
→
; 0
x
)xcos(1
lim
0x
=
−
→
a
x
)axsin(
lim
0x
=
→
; 1
x
)axtan(
lim
0x
=
→
;
2
a
x
)axcos(1
lim
2
20x
=
−
→
; 0
x
)axcos(1
lim
0x
=
−
→
Exemple :
)xsin(.x
)xcos(1
lim
0x
−
→
=
²x
)xsin(.x
²x
)xcos(1
lim
0x
−
→
=
x
)xsin(
²x
)xcos(1
lim
0x
−
→
=
2
1
1
2
1
=
Théorème d’encadrement
Soit f , g et h trois fonctions telles que :
Si
∈==
≤≤
)Rl(lglimflim
xdesinvoixpour)x(g)x(h)x(f
00 xx
0
alors lhlim
0x
= ( x0 fini on infini )
Exemple :
+
→ x
1
sinxlim
0x
On a : 1
x
1
sin1 ≤
≤− alors pour tout 0x > : x
x
1
sinxx ≤
≤−
Alors on a :
==−
≤
≤−
++
0xlim)x(lim
0desinvoixpourx
x
1
sin.xx
00
alors
+
→ x
1
sinxlim
0x
=0
Théorème de comparaison
Soit f et g deux fonctions telles que :
Si
+∞=
≥
glim
xdesinvoixpour)x(g)x(f
0x
0
alors +∞=flim
0x
Si
−∞=
≤
glim
xdesinvoixpour)x(g)x(f
0x
0
alors −∞=flim
0x
( x0 fini on infini )
Exemple : Soit f(x) = x².(2+cos(x) ). Calculer )x(flim
x +∞→
On a : 2 + cosx ≥ 2 + -1 alors 2 + cosx ≥ 1 ainsi f(x) ≥ x²
On a alors
+∞=
≥
∞+
²xlim
xdesinvoixpourx)x(f 0
2
alors )x(flim
x +∞→
= +∞
Théorème ; fonction composé
Soit f et g deux fonctions telles que :
yflim
0x
= et zglim
y
= alors zfglim
0x
= ( x0 , y et z finis ou infinis )
Exemple :
+
+∞→ x2
x1
sinlim
x
π
On peut écrire h = fg avec f : x
x2
x1 π+
֏ et g )xsin(֏ et h(x)
+
=
x2
x1
sin
π
Fiche de cours 4ème Maths
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2. 2
On a : =
+∞→
)x(flim
x x2
x1
lim
x
π+
+∞→
=
x2
x
lim
x
π
+∞→
=
22
lim
x
ππ
=
+∞→
et 1)x(glim
2
x
=
→
π
alors =
+∞→
)x(hlim
x
1
ASYMPTOTE
?)x(flim
x
=
∞→
b)x(flim
x
=
∞→
∞=
∞→
)x(flim
x
by:∆ = est un
asymptote
horizontale
?
x
)x(f
lim
x
=
∞→
a
x
)x(f
lim
x
=
∞→
∞=
∞→ x
)x(f
lim
x
0
x
)x(f
lim
x
=
∞→
( ) ?ax)x(flim
x
=−
∞→
Branche
parabolique
de directeur
(y’y)
Branche
parabolique
de directeur
(x’x)
( ) bax)x(flim
x
=−
∞→
( ) ∞=−
∞→
ax)x(flim
x
baxy:∆ += est
un asymptote
oblique
Branche
parabolique de
cœfficient
directeur a.
FONCTION CONTINUE
Définition 1 :
Une fonction f est continue en un point a si )a(f)x(flim
ax
=
→
Définition 2 :
Une fonction f est continue sur un intervalle I, si elle est définie sur cet intervalle et si : pour tout réel a de I
)a(f)x(flim
ax
=
→
La fonction partie entière
*) La fonction Partie entière qui à tout réel x associe le plus grand entier relatif
inférieur à x , noté E(x) , est représentée ci-dessous.
Pour tout réel x , on a 1)x(Ex)x(E +<≤
par exemple : 2)2,2(E = et 3)2,2(E −=−
E est-elle continue en 2 ?
Pour [ [2,1x ∈ , E(x) = 1donc 1)x(Elim
2x
=−
→
Pour [ [3,2x ∈ , E(x)=2 donc 2)x(Elim
2x
=+
→
Ces limites étant différentes, la fonction E n’admet pas de limite en 2.
Donc E n’est pas continue en 2.
*) la fonction Partie entière n’est pas continue sur R. Elle est continue sur
tout intervalle du type [ [1n,n + , où n est un entier relatif quelconque.
3. 3
Théorème
*)L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
*)les fonctions polynômes sont continues sur R .
*)les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine de définition c’est à dire en tout point où le
dénominateur ne s’annule pas.
*)Si f est continue en x0 et g est continue en f(x0), alors fg est continue en x0
Théorème :
*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type [ [b,a ( b finie ou infini)
Si la fonction f est croissante et majorée alors f possède une limite finie en b.
Si la fonction f est croissante et non majorée alors f tend vers +∞ en b.
*) Soit f une fonction f définie sur un intervalle de type ] ]b,a (a finie ou infini)
Si la fonction f est décroissante et minorée alors f possède une limite finie en a.
Si la fonction f est décroissante et non minorée alors f tend vers −∞ en a .
Théorème de la valeur intermédiaire
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a,b], alors pour tout réel c compris entre f (a) et f (b) , l’équation
f (x) = c admet aux moins une solution α∈ [a,b].
Corollaire 1 de TVI
Si f est continue sur I = [a,b] et telle que f(a) × f(b) < 0 alors il existe au moins un réel x0∈]a,b[ tel que f(x0) = 0 .
Et si de plus f est strictement monotone sur I alors il existe un unique réel x0∈]a,b[ tel que f(x0) = 0 .
Corollaire 2 de TVI
Si f est continue sur I = [a,b] et ne s’annule pas alors elle garde un signe constante sur I
Exemple : I=[1,2] et f(x) = x3 + x – 3
f est dérivable sur I et on a : f’(x) = 3x² +1 0>
f(1)=-1 et f(2)=7
Alors on a : f est continue sur I , f(1) × f(2) < 0 et f est strictement croissante sur I
Alors il existe un unique réel x0∈]1,2[ tel que f(x0) = 0 .
Illustrations graphiques
f est continue et strictement croissante sur
l’intervalle [ a ; b ].
L’équation f (x) = c admet une solution unique.
f est continue et strictement décroissante sur
l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c admet une solution unique .
f est continue mais n’est pas monotone sur
l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c peut avoir plusieurs solutions
f n’est pas continue sur l’intervalle [ a ; b ] .
L’équation f (x) = c peut ne pas avoir de solutions.
a b
f ( a)
f ( b)
c
y = c
Oa α 1 b
f ( a)
f ( b)
c
y = c
α 2 α 3O
a α b
f ( a)
f ( b)
c
y = c
O
a α b
f ( a)
f ( b)
c y = c
O
