Cours fonction logarithme népérien. 1. Fonction logarithme népérien. Définition La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction x→ 1/x sur l’intervalle ]0, +∞[ qui s’annule en 1 et notée ln est la fonction ln ]0, +∞[ → ℝ x → ln x … www.etude-generale.com

1. 2éme BAC PC-SVT
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Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Fonction Logarithme
1 Fonction logarithme népérien
Dé…nition 1 La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction
x 7 ! 1
x
sur l’
intervalle ]0; +1[ qui s’
annule en 1 et notée ln est la fonction
:
ln ]0; +1[ ! R
x 7 ! ln x
Conséquences
1) Dln = ]0; +1[
2) (8x 2 ]0; +1[); ln
0
x = 1
x
. Donc la fonction ln est strictement croissante
sur ]0; +1[ :
2 Propriétés
Propriété 2 1. (8x 2 ]0; +1[)(8y 2 ]0; +1[), ln x = ln y () x = y
2. (8x 2 ]0; +1[)(8y 2 ]0; +1[), ln x ln y () x y
3. (8x 2 ]0; +1[)(8y 2 ]0; +1[), ln x ln y () x y
4. ln 1 = 0
Propriété 3 L’
équation ln x = 1 possède une solution unique dans ]0; +1[,
cette solution est notée e; et une valeur approchée de e est 2; 718: Alors ln e =
1:
Conséquence :
(8x 2 ]0; +1[)(8a 2 R); ln x = a () x = ea
1

2. Pour tous réels x et y strictement positifs, et r 2 Q: On a :
1. ln(x y) = ln x + ln y
2. ln 1
x
= ln x
3. ln x
y
= ln x ln y
4. ln xr
= r ln x
Exemple 4 Simpli…er les deux expressions suivantes :
A = ln(3
p
5) + ln(3 +
p
5)
B = 3 ln 2 + ln 5 2 ln 3
L’
expression A :
A = ln(3
p
5) + ln(3 +
p
5)
= ln(3
p
5)(3 +
p
5)
= ln(9 5)
= ln 4 = 2 ln 2
L’
expression B :
B = 3 ln 2 + ln 5 2 ln 3
= ln 23
+ ln 5 ln 32
= ln 8 + ln 5 ln 9
= ln 40 ln 9
= ln
40
9
3 Limites usuelles
1. limx !+1 ln x = +1
2. limx !0
x 0
ln x = 1
3. limx !+1
ln x
x
= 0
2

3. 4. limx !+1
ln x
xn = 0; n 2 N
5. limx !0
x 0
x ln x = 0
6. limx !0
x 0
xn
ln x = 0; n 2 N
7. limx !1
ln x
x 1
= 1
8. limx !0
ln(1+x)
x
= 1
Exemple 5 Calculer les limites suivantes :
limx !+1 x ln x , limx !+1
ln x
x 1
et limx ! 1+ ln(3 2x
x+1
):
La limite : limx !+1 x ln x
lim
x !+1
x ln x = +1 1 (F.I)
Donc
lim
x !+1
x ln x = lim
x !+1
x(1
ln x
x
) = +1
Car : lim
x !+1
1
ln x
x
= 1
La limite : limx !+1
ln x
x 1
:
lim
x !+1
ln x
x 1
=
+1
+1
(F.I)
Donc
lim
x !+1
ln x
x 1
= lim
x !+1
ln x
x(1 1
x
)
= lim
x !+1
ln x
x
1
1 1
x
= 0
Car : lim
x !+1
ln x
x
= 0 et lim
x !+1
1
1 1
x
= 1
La limite : limx ! 1+ ln(3 2x
x+1
)
On a : limx ! 1+ 3 2x = 5 et limx ! 1+ x + 1 = 0+
: Donc :
lim
x ! 1+
ln(
3 2x
x + 1
) = +1
3

4. 4 Fonction de la forme ln u
Propriété 6 Si u est une fonction strictement positive sur un intervalle I
et si u est dérivable sur I: Alors la fonction x 7 ! ln(u(x)) est dérivable sur
I; et on a :
8x 2 I; (ln(u(x)))0
=
u0
(x)
u(x)
Propriété 7 Les fonctions primitives de la fonction x 7 ! u0(x)
u(x)
sont : x 7 !
ln ju(x)j + k (k 2 R):
Exemple 8 Soit f la fonction dé…nie sur ]1; +1[ ; par :
f(x) = ln(x 1)
Montrer que la fonction f est dérivable sur ]1; +1[ puis calculer sa fonc-
tion dérivée f0
:
On pose u la fonction dé…nie par : u : x 7 ! x 1:
u est dérivable sur R et surtout sur ]1; +1[ car c’
est une fonction polynôme,
et pour tout x 2 ]1; +1[ ; on a : u(x) 0: Ce qui signi…e que la fonction
f est dérivable sur ]1; +1[ :
Soit x 2 ]1; +1[ : Calculons u0
(x) :
f0
(x) = (ln(x 1))0
=
(x 1)0
(x 1)
=
1
x 1
5 L’
étude de la fonction ln
Soit f la fonction dé…nie sur ]0; +1[ ; par :
f(x) = ln x
On note (Cf ) la courbe de la fonction f dans un repère orthonormé
(O;
!
i ;
!
j ):
4

5. On a
lim
x !+1
f(x) = lim
x !+1
ln x = +1 et lim
x !+1
f(x)
x
= 0
Donc (Cf ) admet une branche parabolique de direction l’
axe des ab-
scisses au voisinage de +1:
et : limx !0+ f(x) = limx !0+ ln x = 1: Donc (Cf ) admet une asymptote
verticale d’
équation x = 0:
Tableau de variations de la fonction f sur ]0; +1[ :
La fonction f est strictement croissante sur ]0; +1[ et on a ln 1 = 0 et
ln e = 1:
La courbe représentative de la fonction f
2 3 4 5 6 7
-1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y
Le signe de la fonction f sur ]0; +1[ :
5

6. La fonction f est strictement croissante sur ]0; +1[ : alors :
x ]0; 1] () 0 x 1
() f(x) f(1)
() f(x) 0:
et
x [1; +1[ () x 1
() f(x) f(1)
() f(x) 0:
Ceci signi…e que la fonction f est positive sur [1; +1[ et négative sur
]0; 1] :Donc
Exemple 9 On considère la fonction g dé…nie sur l’
intervalle ]0; +1[ par :
g(x) = x 1 ln x
1. Calculer g0
(x) pour tout x de l’
intervalle ]0; +1[ puis étudier le sens
de variations de la fonction g:
2. En déduire que : g(x) 0 pour tout x 2 ]0; +1[ :
Justi…ons la dérivabilité de la fonction g sur ]0; +1[ :
La fonction g s’
écrit comme la di¤érence de deux fonctions u et v telles
que : u(x) = x 1 et v(x) = ln x:
* u est une fonction polynôme dérivable sur R, et surtout sur ]0; +1[ :
* v est dérivable sur ]0; +1[ :
6

7. Donc, la fonction g est dérivable sur ]0; +1[ comme la di¤érence de deux
fonctions dérivables sur ]0; +1[ :Calculons g0
(x) pour tout x 2 ]0; +1[ :
g0
(x) = (x 1 ln x)0
= 1
1
x
=
x 1
x
comme x 0, alors le signe de g0
(x) sur ]0; +1[ est celui de x 1; et
comme l’
expression x 1 s’
annule en 1. Alors :
Ceci implique que :
(8x 2 ]0; 1]); g0
(x) 0 et (8x 2 [1; +1[); g0
(x) 0
Ce qui signi…e que la fonction g est décroissante sur ]0; 1] et croissante
sur [1; +1[ : Donc, on déduit le tableau de variations suivant :
limx !+1 g(x) = +1 et limx !0+ g(x) = +1:
D’
après le tableau de variations on déduit que la fonction g admet 0
comme valeur minimale en point d’
abscisse 1 sur ]0; +1[ : Ceci
signi…e que pour tout x de ]0; +1[ on a : g(x) g(1), et comme
g(1) = 0; alors :
8x 2 ]0; +1[ ; g(x) 0
7

8. 6 Fonction Logarithme de base a 2 R+n f1g
Dé…nition 10 La fonction logarithme de base a est la fonction dé…nie par :
8x 2 ]0; +1[ ; loga(x) =
ln x
ln a
Cas particuliers
loge(x) =
ln x
ln e
= ln x et loge(1) = 0
6.1 Propriétés
Pour tous réels x et y strictement positifs, et r 2 Q; on a :
1. loga(x y) = loga(x) + loga(y)
2. loga(xr
) = r loga(x)
3. loga(1
x
) = loga(x)
4. loga(x
y
) = loga(x) loga(y)
Propriété 11 Pour tous réels x et y strictement positifs, et r 2 Q; on a :
1. loga(x) = loga(y) () x = y
2. loga(x) = r () x = ar
6.2 Les variations de la fonction loga
Propriété 12 La fonction loga est dérivable sur ]0; +1[ ; et on a
8x 2 ]0; +1[ ; log0
a(x) =
1
x ln a
Cas 1
Si : 0 a 1, alors la fonction loga est strictement décroissante sur
]0; +1[ :
Cas 2
Si : a 1, alors la fonction loga est strictement croissante sur ]0; +1[ :
8

9. Propriété 13 si : a 2 ]0; 1[
1. loga(x) loga(y) () x y
2. limx !+1 loga(x) = 1 et limx !0+ loga(x) = +1
Propriété 14 si : a 2 ]1; +1[
1. loga(x) loga(y) () x y
2. limx !+1 loga(x) = +1 et limx !0+ loga(x) = 1
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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