bac math tun

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Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0, + ∞[ , prend la valeur 0 en x = 1, est continue
sur ]0, + ∞[ et admet pour dérivée la fonction x
x
1
֏ . ] [ ∫→+∞
x
1 t
dt
x,R,0:ln ֏
Soit a et b deux réels strictement positifs et a1,a2,…an>0
( )
( ) ( ) aln
2
1
alnalnnalnaln...alnalna...a.aln
aln
b
1
lnblnaln
b
a
lnblnalnb.aln
n
n21n21 ==+++=
−=





−=





+=
• ln x < 0 si et seulement si 0 < x <
• lnx = 0 si et seulement si x = 1
• ln x > 0 si et seulement si x ∈ ]1 ; + ∞[
• La fonction x xln֏ est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
Soit n et m deux entiers naturels non nuls
( ) 0xlnxlim0
x
xln
lim1
1x
xln
lim1
x
x1ln
lim
0xlnxlim0
x
xln
limxlnlimxlnlim
nm
0xm
n
x1x0x
0xx0xx
===
−
=
+
==−∞=+∞=
+
++
→+∞→→→
→+∞→→+∞→
Tableau de variations et courbe de ln
la fonction ln réalise une bijection de
RversR*
+ donc il existe un unique réel, noté e,
vérifiant lne = 1.
x 0 +∞
x
1 +
ln(x) +∞
−∞
Dérivées et primitives
1°) Dérivée de ln u
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction x ֏ ln (u(x)) , notée ln u, est dérivable sur I et on a (ln u)' =
u
'u
2°) Primitive de ln u
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I qui ne s’annule pas sur I
La primitive sur l'intervalle I de la fonction
u
'u
est la fonction ln |u| + c
3°)Primitive de x→→→→lnx
La fonction x ֏ xlnx-x est une primitive de la fonction xlnx ֏ sur *
R+
Fonction logarithme décimale :
C’est la fonction log, définie ] [+∞,0 par
10ln
xln
xlog = , ( )x10log,110log x
==
Fiche de cours 4ème Maths
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