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Université Larbi Tébessi - Tébessa
Faculté Des Sciences Exactes et De La Nature et de la Vie
Département : Mathématiques et Informatique
Module : EDO
1ere
année Master EDP
Année Universitaire : 2017-2018
Serie 01
Exercice 01 :
Soit l’équation di¤érentielle
y
0
(t) = 2ty2
y (0) = 1
dé…nie sur U = R R (t 2 R et y 2 R)
Donner la nature de solution ( maximale où globale )
Exercice 02 :
Démontrer que l’équation di¤érentielle suivante
(
y
0
(t) =
sin(ty)
t2
; t > 0
y (1) = 1
admet une unique solution maximale.
Exercice 03 :
Donner l’ensemble des solutions maximales et globales dans R de l’équation
di¤érentielle
jtj x
0
+ x = t2
Exercice 04 :
a) Soit f : R ]0; +1[! R la fonction dé…nie par :
8t 2 R; 8x > 0; f (t; x) =
1
x
1. Montre que f est continue sur R ]0; +1[ et localement Lipschitzienne par
rapport à sa deuxième variable.
b) Soit x0 > 0. On considère le problème de Cauchy
8
<
:
x
0
(t) =
1
x (t)
x (0) = x0
(1)
1. Calculer explicitement la solution maximale au problème (1). On note
J =]t ; T [ son intervalle de dé…nition, avec t et T …nis ou in…nis.
2. Etudier le comportement de x (t) quand t ! T . Faire le lien avec le
théorème de sortie de compact.
1
Exercice 05 :
On considère le problème de Cauchy suivant
y
0
(t) =
p
jy(t)j; t 2 R
y(0) = 0
(2)
1) Construire une solution non nulle au problème (2).
2) Le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique-t-il ici ? pourquoi ?
Exercice 06 :
On considère le problème de Cauchy suivant
x
0
(t) = t2
+ x2
(t) ; t 2 R
x(0) = 0
1) Justi…er l’existence d’une unique solution maximale (x; I) à ce problème.
2) Montrer que x est impaire, et étudier sa monotonie, sa concavité.
3) Montrer que l’intervalle I est borné, puis étudier les limites de x aux bornes
de I.
Exercice 07 :
On considère l’équation di¤érentielle
y
0
= f (y)
avec f : R ! R donné par
f(x) =
8
<
:
0 si x 0
x si 0 < x 1
1 si x > 1
(3)
1) Montrer que pour tout (t0; y0) 2 R2
il existe une et une seule solution
globale y de (3) véri…ant y(t0) = y0.
2) Obtenir cette solution explicite dans le cas où t0 = 0 et 0 < y0 < 1.
2

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  • 1. Université Larbi Tébessi - Tébessa Faculté Des Sciences Exactes et De La Nature et de la Vie Département : Mathématiques et Informatique Module : EDO 1ere année Master EDP Année Universitaire : 2017-2018 Serie 01 Exercice 01 : Soit l’équation di¤érentielle y 0 (t) = 2ty2 y (0) = 1 dé…nie sur U = R R (t 2 R et y 2 R) Donner la nature de solution ( maximale où globale ) Exercice 02 : Démontrer que l’équation di¤érentielle suivante ( y 0 (t) = sin(ty) t2 ; t > 0 y (1) = 1 admet une unique solution maximale. Exercice 03 : Donner l’ensemble des solutions maximales et globales dans R de l’équation di¤érentielle jtj x 0 + x = t2 Exercice 04 : a) Soit f : R ]0; +1[! R la fonction dé…nie par : 8t 2 R; 8x > 0; f (t; x) = 1 x 1. Montre que f est continue sur R ]0; +1[ et localement Lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable. b) Soit x0 > 0. On considère le problème de Cauchy 8 < : x 0 (t) = 1 x (t) x (0) = x0 (1) 1. Calculer explicitement la solution maximale au problème (1). On note J =]t ; T [ son intervalle de dé…nition, avec t et T …nis ou in…nis. 2. Etudier le comportement de x (t) quand t ! T . Faire le lien avec le théorème de sortie de compact. 1
  • 2. Exercice 05 : On considère le problème de Cauchy suivant y 0 (t) = p jy(t)j; t 2 R y(0) = 0 (2) 1) Construire une solution non nulle au problème (2). 2) Le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique-t-il ici ? pourquoi ? Exercice 06 : On considère le problème de Cauchy suivant x 0 (t) = t2 + x2 (t) ; t 2 R x(0) = 0 1) Justi…er l’existence d’une unique solution maximale (x; I) à ce problème. 2) Montrer que x est impaire, et étudier sa monotonie, sa concavité. 3) Montrer que l’intervalle I est borné, puis étudier les limites de x aux bornes de I. Exercice 07 : On considère l’équation di¤érentielle y 0 = f (y) avec f : R ! R donné par f(x) = 8 < : 0 si x 0 x si 0 < x 1 1 si x > 1 (3) 1) Montrer que pour tout (t0; y0) 2 R2 il existe une et une seule solution globale y de (3) véri…ant y(t0) = y0. 2) Obtenir cette solution explicite dans le cas où t0 = 0 et 0 < y0 < 1. 2