SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  2
Télécharger pour lire hors ligne
1
Théorème :
Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I. On a alors les propriétés suivantes :
(*) la fonction f est une bijection de I sur f(I)
(*)La fonction f -1 est une bijection de f(I) sur I et on a : (x I∈ , y = f(x) ) ⇔ ( y )I(f∈ , x = f -1 (y) )
(*)La fonction f -1 est strictement monotone sur f(I) et a la même sens de variations que f .
(*) Les courbes représentatives de f et f -1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la
première bissectrice du repère (y = x)
Si est du plus f est continue sur I alors f -1 est continue sur f(I)
Si est du plus f est dérivable sur I et f’(x) 0≠ pour tout x de I alors : ( ) ( ))x(f'f
1
)x(f 1
1
−
−
=
′
pour tout x de f(I)
Exemple :Soit f(x) =
1x2
1x
+
+
.
Montrer que f réalise une bijection de I= 





+∞− ,
2
1
sur un intervalle J qu l’on précisera.
Correction
Expliciter f -1 (x) pour tout x de J .
On a Ix ∈∀ : f’(x) = 0
)²1x2(
1
<
−
−
alors f est strictement décroissante et continue sur I alors f réalise une
bijection de I sur J = f(I) =
( )






+
−→+∞→
)x(flim);x(flim
5,0xx
= 





+∞,
2
1
Pour tout x J∈ : y = f -1(x) équivaut à x = f(y) et y I∈
équivaut à x =
1y2
1y
+
+
et y I∈ équivaut à : 2xy + x = y + 1 et y I∈ équivaut à y =
1x2
x1
−
−
et y I∈
alors pour tout x de J : f -1(x) =
1x2
x1
−
−
Théorème
La fonction réciproque de la fonction f définie sur R+ par : f(x) = xn ( n 2≥ ) est appelée fonction racine nième .
Pour toit x de R+ , le réel f -1(x) est noté n
x .( lire racine nième de x )
f -1(x) = n
x
(*) f -1 est définie , continue et strictement croissante sur R+ . elle est bijective de R+ sur R+
(*)Pour tout réel x de R+ , on a : n n
x = x et ( )n
n
x = x
(*) +∞=
+∞→
n
x
xlim
(*) x ֏ n
x est dérivable sur R+ est sa fonction dérivée est : x ֏





 −n 1n
xn
1
Exemple : Soit f(x) = 3
2x −
1°)Montrer que f est continue sur l’intervalle I = [ [+∞,2
2°)Calculer )x(flim
x +∞→
3°)Montrer que est strictement croissante sur I .
Correction :
1°)La fonction : g : x ֏ x – 2 est continue et positif sur I
La fonction : x ֏ 3
x est continue sur R+ )I(g⊃
Alors la fonction f est continue sur I car f est comme composée de fonction continues.
2°)on a : ( ) +∞=−
+∞→
2xlim
x
et on a : +∞=
+∞→
3
x
xlim donc d’apres le théoreme sur la limite d’une fonction composée
on a : +∞=
+∞→
)x(flim
x
3°)Soit a et b deux élément de I tel que a < b .
On a : a < b ⇒⇒⇒⇒ a – 2 < b – 2 ⇒⇒⇒⇒ 3
2a − < 3
2b − ⇒⇒⇒⇒ f(a) <f(b).Alors est strictement croissante sur I .
Fiche de cours 4ème Maths
Fonction reciproqueFonction reciproqueFonction reciproqueFonction reciproque
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
2
Résolution d’équation : xn = a
Soit a un réel et n un entier supérieur ou égale à 2 .
Si n est impair et a 0≥ , l’équation xn = a admet une unique solution : n
a
Si n est impair et a <0, l’équation xn = a admet une unique solution : n
a−−
Si n est pair et a 0≥ , l’équation xn = a admet comme solutions : - n
a et n
a
Si n est pair et a<0, l’équation xn = a n’admet aucune solution .
Théorème
Pour x et y ∈R+ , n et p deux entiers vérifiant : n 2≥ et p 2≥ on a :
n p
x = ( )p
n
x ; n p
x =
np
x ;
np p
x = n
x ; n xy = n
x n y× ; n
y
x
=
n
n
y
x
( y>0)
Théorème
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I et un entier n 2≥ .
La fonction n )x(ux:f ֏ est continue sur I et dérivable en tout réel x de I tel que 0)x(u ≠
Et on a ,






=
−n 1n
)x(un
)x('u
)x('f pour tout x de I tel que u(x) > 0

Contenu connexe

Tendances

Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdfFormes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdfVrazylandGuekou1
 
Analyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolationAnalyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolationJaouad Dabounou
 
Généralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et applicationGénéralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et applicationKamel Djeddi
 
Omp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexesOmp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexesAhmed Ali
 
analyse numerique
analyse numeriqueanalyse numerique
analyse numeriquehomme00
 
Math%E9matiques%20 Ct
Math%E9matiques%20 CtMath%E9matiques%20 Ct
Math%E9matiques%20 Ctglenoo
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourierMehdi Maroun
 
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...tuxette
 
Dérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériquesDérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériquesJaouad Dabounou
 
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexesIntérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexesJaouad Dabounou
 
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)AHMED ENNAJI
 
Fonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensembleFonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensembleJaouad Dabounou
 
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013Ibrahima Sow
 
Théorèmes de Carathéodory
Théorèmes de CarathéodoryThéorèmes de Carathéodory
Théorèmes de CarathéodoryJaouad Dabounou
 
Projection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensembleProjection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensembleJaouad Dabounou
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier Raed Ammar
 
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correctionAnalyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correctionJaouad Dabounou
 
Une formule de dérivation pour les fonctions exponentielles
Une formule de dérivation pour les fonctions exponentiellesUne formule de dérivation pour les fonctions exponentielles
Une formule de dérivation pour les fonctions exponentiellesClément Boulonne
 

Tendances (20)

Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdfFormes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
 
Analyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolationAnalyse numérique interpolation
Analyse numérique interpolation
 
Généralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et applicationGénéralisation du théorème de weierstrass et application
Généralisation du théorème de weierstrass et application
 
Omp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexesOmp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexes
 
analyse numerique
analyse numeriqueanalyse numerique
analyse numerique
 
Math%E9matiques%20 Ct
Math%E9matiques%20 CtMath%E9matiques%20 Ct
Math%E9matiques%20 Ct
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
 
Dérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériquesDérivation et Intégration numériques
Dérivation et Intégration numériques
 
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexesIntérieurs relatifs d’ensembles convexes
Intérieurs relatifs d’ensembles convexes
 
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
 
Fonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensembleFonction distance à un ensemble
Fonction distance à un ensemble
 
S2- Math
S2- Math S2- Math
S2- Math
 
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
 
Fonctions logarithmes
Fonctions logarithmesFonctions logarithmes
Fonctions logarithmes
 
Théorèmes de Carathéodory
Théorèmes de CarathéodoryThéorèmes de Carathéodory
Théorèmes de Carathéodory
 
Projection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensembleProjection d’un point sur un ensemble
Projection d’un point sur un ensemble
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
 
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correctionAnalyse Convexe TD – Série 1 avec correction
Analyse Convexe TD – Série 1 avec correction
 
Une formule de dérivation pour les fonctions exponentielles
Une formule de dérivation pour les fonctions exponentiellesUne formule de dérivation pour les fonctions exponentielles
Une formule de dérivation pour les fonctions exponentielles
 

En vedette

Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13
Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13
Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13Ezéchiel Recorbet
 
La reproduction des champignons
La reproduction des champignonsLa reproduction des champignons
La reproduction des champignonsmicro bio
 
Generalites sur les champignons dermatophyties
Generalites sur les champignons   dermatophytiesGeneralites sur les champignons   dermatophyties
Generalites sur les champignons dermatophytiesRIADH HAMMEDI
 
Consolidation 1 : le périmètre
Consolidation 1 : le périmètreConsolidation 1 : le périmètre
Consolidation 1 : le périmètreStephane Lefrancq
 
Atlas de poche microbiologie
Atlas de poche   microbiologieAtlas de poche   microbiologie
Atlas de poche microbiologieS/Abdessemed
 
Identification des bactéries "Galerie biohimique "API"
Identification  des bactéries "Galerie biohimique "API"Identification  des bactéries "Galerie biohimique "API"
Identification des bactéries "Galerie biohimique "API"S/Abdessemed
 

En vedette (9)

Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13
Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13
Programme Ecole des plantes de Bailleul 2012 13
 
Champignons et plantes
Champignons et plantesChampignons et plantes
Champignons et plantes
 
Ecologie bs 2 2
Ecologie bs 2 2Ecologie bs 2 2
Ecologie bs 2 2
 
Gr2013: Ecologie 2.0
Gr2013:  Ecologie 2.0Gr2013:  Ecologie 2.0
Gr2013: Ecologie 2.0
 
La reproduction des champignons
La reproduction des champignonsLa reproduction des champignons
La reproduction des champignons
 
Generalites sur les champignons dermatophyties
Generalites sur les champignons   dermatophytiesGeneralites sur les champignons   dermatophyties
Generalites sur les champignons dermatophyties
 
Consolidation 1 : le périmètre
Consolidation 1 : le périmètreConsolidation 1 : le périmètre
Consolidation 1 : le périmètre
 
Atlas de poche microbiologie
Atlas de poche   microbiologieAtlas de poche   microbiologie
Atlas de poche microbiologie
 
Identification des bactéries "Galerie biohimique "API"
Identification  des bactéries "Galerie biohimique "API"Identification  des bactéries "Galerie biohimique "API"
Identification des bactéries "Galerie biohimique "API"
 

Similaire à Cours fonctions réciproques

Cours maths s1.by m.e.goultine
Cours maths s1.by m.e.goultineCours maths s1.by m.e.goultine
Cours maths s1.by m.e.goultineAbdel Hakim
 
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsGénéralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsĂmîʼndǿ TrànCè
 
Mathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdfMathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdfsassbo_123
 
Cours developpements limites
Cours   developpements limitesCours   developpements limites
Cours developpements limiteshassan1488
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourierismailkziadi
 
Limites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suitesLimites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suitesĂmîʼndǿ TrànCè
 
Fonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdf
Fonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdfFonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdf
Fonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdfetude-generale
 
02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-supSALLAH BOUGOUFFA
 
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdfChapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdfetude-generale
 
Fonctions exponentielles et puissances
Fonctions exponentielles et puissancesFonctions exponentielles et puissances
Fonctions exponentielles et puissancesĂmîʼndǿ TrànCè
 
Math BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_CorrectionMath BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_CorrectionAchraf Frouja
 
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesL'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesCharvetXavier
 

Similaire à Cours fonctions réciproques (20)

Cours maths s1.by m.e.goultine
Cours maths s1.by m.e.goultineCours maths s1.by m.e.goultine
Cours maths s1.by m.e.goultine
 
Généralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctionsGénéralités sur les fonctions
Généralités sur les fonctions
 
Mathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdfMathématiques 1-Gestion.pdf
Mathématiques 1-Gestion.pdf
 
Cours developpements limites
Cours   developpements limitesCours   developpements limites
Cours developpements limites
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle05 exos fonction_exponentielle
05 exos fonction_exponentielle
 
Limites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suitesLimites de fonctions et de suites
Limites de fonctions et de suites
 
Fonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdf
Fonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdfFonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdf
Fonction-exponentielle-2eme-BAC-PC --www.etude-generale.com.pdf
 
cours2.pdf
cours2.pdfcours2.pdf
cours2.pdf
 
02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup
 
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdfChapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
Chapitre-02-Les-application-1ere-SM-www.etude-generale.com_.pdf
 
Cours integrale riemann
Cours integrale riemannCours integrale riemann
Cours integrale riemann
 
Fonctions exponentielles et puissances
Fonctions exponentielles et puissancesFonctions exponentielles et puissances
Fonctions exponentielles et puissances
 
Exercice logarithme
Exercice logarithmeExercice logarithme
Exercice logarithme
 
Cours dérivabilité
Cours dérivabilitéCours dérivabilité
Cours dérivabilité
 
Math BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_CorrectionMath BAC 2010_Correction
Math BAC 2010_Correction
 
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesL'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
 
sol_TD4.pdf
sol_TD4.pdfsol_TD4.pdf
sol_TD4.pdf
 
Espacesvec
EspacesvecEspacesvec
Espacesvec
 
Rappels math.
Rappels math.Rappels math.
Rappels math.
 

Plus de Yessin Abdelhedi

Plus de Yessin Abdelhedi (20)

Statistiques
StatistiquesStatistiques
Statistiques
 
Similitudes
SimilitudesSimilitudes
Similitudes
 
Série+probabilites++2013
Série+probabilites++2013Série+probabilites++2013
Série+probabilites++2013
 
Exercice suites réelles
Exercice suites réellesExercice suites réelles
Exercice suites réelles
 
Exercice similitudes
Exercice similitudesExercice similitudes
Exercice similitudes
 
Exercice probabilités
Exercice probabilitésExercice probabilités
Exercice probabilités
 
Exercice primitives
Exercice primitivesExercice primitives
Exercice primitives
 
Exercice nombres complexes
Exercice nombres complexesExercice nombres complexes
Exercice nombres complexes
 
Exercice isometrie du plan
Exercice isometrie du planExercice isometrie du plan
Exercice isometrie du plan
 
Exercice intégrales
Exercice intégralesExercice intégrales
Exercice intégrales
 
Exercice fonctions réciproques
Exercice fonctions réciproquesExercice fonctions réciproques
Exercice fonctions réciproques
 
Exercice exponontielle
Exercice exponontielleExercice exponontielle
Exercice exponontielle
 
Exercice espace
Exercice espaceExercice espace
Exercice espace
 
Exercice dérivabilité
Exercice dérivabilitéExercice dérivabilité
Exercice dérivabilité
 
Exercice continuité et limites
Exercice continuité et limitesExercice continuité et limites
Exercice continuité et limites
 
Exercice coniques
Exercice coniquesExercice coniques
Exercice coniques
 
Exercice arithmétiques
Exercice arithmétiquesExercice arithmétiques
Exercice arithmétiques
 
Espace
EspaceEspace
Espace
 
Divisibilité+
Divisibilité+Divisibilité+
Divisibilité+
 
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]
 

Dernier

Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)Gabriel Gay-Para
 
Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024
Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024
Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024Alain Marois
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdfSKennel
 
Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024
Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024
Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024Gilles Le Page
 
Bernard Réquichot.pptx Peintre français
Bernard Réquichot.pptx   Peintre françaisBernard Réquichot.pptx   Peintre français
Bernard Réquichot.pptx Peintre françaisTxaruka
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdfSKennel
 
Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...
Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...
Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...NaimDoumissi
 
Pas de vagues. pptx Film français
Pas de vagues.  pptx      Film   françaisPas de vagues.  pptx      Film   français
Pas de vagues. pptx Film françaisTxaruka
 
Bibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdf
Bibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdfBibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdf
Bibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdfBibdoc 37
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdfSKennel
 
PIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdf
PIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdfPIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdf
PIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdfRiDaHAziz
 
Pharmacologie des cardiotoniques pour Pharmacie
Pharmacologie des cardiotoniques pour PharmaciePharmacologie des cardiotoniques pour Pharmacie
Pharmacologie des cardiotoniques pour PharmacieLoloshka
 
Pas de vagues. pptx Film français
Pas de vagues.  pptx   Film     françaisPas de vagues.  pptx   Film     français
Pas de vagues. pptx Film françaisTxaruka
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdfSKennel
 
PIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdf
PIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdfPIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdf
PIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdfRiDaHAziz
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdfSKennel
 
LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...
LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...
LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...Faga1939
 
Le Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directe
Le Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directeLe Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directe
Le Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directeXL Groupe
 
Bibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdf
Bibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdfBibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdf
Bibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdfBibdoc 37
 

Dernier (20)

Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
Faut-il avoir peur de la technique ? (G. Gay-Para)
 
Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024
Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024
Zotero avancé - support de formation doctorants SHS 2024
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Conférence_SK.pdf
 
Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024
Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024
Presentation de la plateforme Moodle - avril 2024
 
Bernard Réquichot.pptx Peintre français
Bernard Réquichot.pptx   Peintre françaisBernard Réquichot.pptx   Peintre français
Bernard Réquichot.pptx Peintre français
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Bilan.pdf
 
Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...
Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...
Potentiel du Maroc en Produits du Terroir et Stratégie Adoptée pour le dévelo...
 
Pas de vagues. pptx Film français
Pas de vagues.  pptx      Film   françaisPas de vagues.  pptx      Film   français
Pas de vagues. pptx Film français
 
Bibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdf
Bibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdfBibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdf
Bibdoc 2024 - Les maillons de la chaine du livre face aux enjeux écologiques.pdf
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_EtudiantActeur.pdf
 
PIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdf
PIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdfPIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdf
PIE-A2-P 5- Supports stagiaires.pptx.pdf
 
Pharmacologie des cardiotoniques pour Pharmacie
Pharmacologie des cardiotoniques pour PharmaciePharmacologie des cardiotoniques pour Pharmacie
Pharmacologie des cardiotoniques pour Pharmacie
 
Pas de vagues. pptx Film français
Pas de vagues.  pptx   Film     françaisPas de vagues.  pptx   Film     français
Pas de vagues. pptx Film français
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_IA.pdf
 
PIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdf
PIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdfPIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdf
PIE-A2-P4-support stagiaires sept 22-validé.pdf
 
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdfSciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdf
SciencesPo_Aix_InnovationPédagogique_Atelier_FormationRecherche.pdf
 
LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...
LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...
LA MONTÉE DE L'ÉDUCATION DANS LE MONDE DE LA PRÉHISTOIRE À L'ÈRE CONTEMPORAIN...
 
Le Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directe
Le Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directeLe Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directe
Le Lean sur une ligne de production : Formation et mise en application directe
 
Bibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdf
Bibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdfBibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdf
Bibdoc 2024 - Ecologie du livre et creation de badge.pdf
 
DO PALÁCIO À ASSEMBLEIA .
DO PALÁCIO À ASSEMBLEIA                 .DO PALÁCIO À ASSEMBLEIA                 .
DO PALÁCIO À ASSEMBLEIA .
 

Cours fonctions réciproques

  • 1. 1 Théorème : Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I. On a alors les propriétés suivantes : (*) la fonction f est une bijection de I sur f(I) (*)La fonction f -1 est une bijection de f(I) sur I et on a : (x I∈ , y = f(x) ) ⇔ ( y )I(f∈ , x = f -1 (y) ) (*)La fonction f -1 est strictement monotone sur f(I) et a la même sens de variations que f . (*) Les courbes représentatives de f et f -1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère (y = x) Si est du plus f est continue sur I alors f -1 est continue sur f(I) Si est du plus f est dérivable sur I et f’(x) 0≠ pour tout x de I alors : ( ) ( ))x(f'f 1 )x(f 1 1 − − = ′ pour tout x de f(I) Exemple :Soit f(x) = 1x2 1x + + . Montrer que f réalise une bijection de I=       +∞− , 2 1 sur un intervalle J qu l’on précisera. Correction Expliciter f -1 (x) pour tout x de J . On a Ix ∈∀ : f’(x) = 0 )²1x2( 1 < − − alors f est strictement décroissante et continue sur I alors f réalise une bijection de I sur J = f(I) = ( )       + −→+∞→ )x(flim);x(flim 5,0xx =       +∞, 2 1 Pour tout x J∈ : y = f -1(x) équivaut à x = f(y) et y I∈ équivaut à x = 1y2 1y + + et y I∈ équivaut à : 2xy + x = y + 1 et y I∈ équivaut à y = 1x2 x1 − − et y I∈ alors pour tout x de J : f -1(x) = 1x2 x1 − − Théorème La fonction réciproque de la fonction f définie sur R+ par : f(x) = xn ( n 2≥ ) est appelée fonction racine nième . Pour toit x de R+ , le réel f -1(x) est noté n x .( lire racine nième de x ) f -1(x) = n x (*) f -1 est définie , continue et strictement croissante sur R+ . elle est bijective de R+ sur R+ (*)Pour tout réel x de R+ , on a : n n x = x et ( )n n x = x (*) +∞= +∞→ n x xlim (*) x ֏ n x est dérivable sur R+ est sa fonction dérivée est : x ֏       −n 1n xn 1 Exemple : Soit f(x) = 3 2x − 1°)Montrer que f est continue sur l’intervalle I = [ [+∞,2 2°)Calculer )x(flim x +∞→ 3°)Montrer que est strictement croissante sur I . Correction : 1°)La fonction : g : x ֏ x – 2 est continue et positif sur I La fonction : x ֏ 3 x est continue sur R+ )I(g⊃ Alors la fonction f est continue sur I car f est comme composée de fonction continues. 2°)on a : ( ) +∞=− +∞→ 2xlim x et on a : +∞= +∞→ 3 x xlim donc d’apres le théoreme sur la limite d’une fonction composée on a : +∞= +∞→ )x(flim x 3°)Soit a et b deux élément de I tel que a < b . On a : a < b ⇒⇒⇒⇒ a – 2 < b – 2 ⇒⇒⇒⇒ 3 2a − < 3 2b − ⇒⇒⇒⇒ f(a) <f(b).Alors est strictement croissante sur I . Fiche de cours 4ème Maths Fonction reciproqueFonction reciproqueFonction reciproqueFonction reciproque Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 Résolution d’équation : xn = a Soit a un réel et n un entier supérieur ou égale à 2 . Si n est impair et a 0≥ , l’équation xn = a admet une unique solution : n a Si n est impair et a <0, l’équation xn = a admet une unique solution : n a−− Si n est pair et a 0≥ , l’équation xn = a admet comme solutions : - n a et n a Si n est pair et a<0, l’équation xn = a n’admet aucune solution . Théorème Pour x et y ∈R+ , n et p deux entiers vérifiant : n 2≥ et p 2≥ on a : n p x = ( )p n x ; n p x = np x ; np p x = n x ; n xy = n x n y× ; n y x = n n y x ( y>0) Théorème Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I et un entier n 2≥ . La fonction n )x(ux:f ֏ est continue sur I et dérivable en tout réel x de I tel que 0)x(u ≠ Et on a ,       = −n 1n )x(un )x('u )x('f pour tout x de I tel que u(x) > 0