1. 1
Théorème :
Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I. On a alors les propriétés suivantes :
(*) la fonction f est une bijection de I sur f(I)
(*)La fonction f -1 est une bijection de f(I) sur I et on a : (x I∈ , y = f(x) ) ⇔ ( y )I(f∈ , x = f -1 (y) )
(*)La fonction f -1 est strictement monotone sur f(I) et a la même sens de variations que f .
(*) Les courbes représentatives de f et f -1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la
première bissectrice du repère (y = x)
Si est du plus f est continue sur I alors f -1 est continue sur f(I)
Si est du plus f est dérivable sur I et f’(x) 0≠ pour tout x de I alors : ( ) ( ))x(f'f
1
)x(f 1
1
−
−
=
′
pour tout x de f(I)
Exemple :Soit f(x) =
1x2
1x
+
+
.
Montrer que f réalise une bijection de I=
+∞− ,
2
1
sur un intervalle J qu l’on précisera.
Correction
Expliciter f -1 (x) pour tout x de J .
On a Ix ∈∀ : f’(x) = 0
)²1x2(
1
<
−
−
alors f est strictement décroissante et continue sur I alors f réalise une
bijection de I sur J = f(I) =
( )
+
−→+∞→
)x(flim);x(flim
5,0xx
=
+∞,
2
1
Pour tout x J∈ : y = f -1(x) équivaut à x = f(y) et y I∈
équivaut à x =
1y2
1y
+
+
et y I∈ équivaut à : 2xy + x = y + 1 et y I∈ équivaut à y =
1x2
x1
−
−
et y I∈
alors pour tout x de J : f -1(x) =
1x2
x1
−
−
Théorème
La fonction réciproque de la fonction f définie sur R+ par : f(x) = xn ( n 2≥ ) est appelée fonction racine nième .
Pour toit x de R+ , le réel f -1(x) est noté n
x .( lire racine nième de x )
f -1(x) = n
x
(*) f -1 est définie , continue et strictement croissante sur R+ . elle est bijective de R+ sur R+
(*)Pour tout réel x de R+ , on a : n n
x = x et ( )n
n
x = x
(*) +∞=
+∞→
n
x
xlim
(*) x ֏ n
x est dérivable sur R+ est sa fonction dérivée est : x ֏
−n 1n
xn
1
Exemple : Soit f(x) = 3
2x −
1°)Montrer que f est continue sur l’intervalle I = [ [+∞,2
2°)Calculer )x(flim
x +∞→
3°)Montrer que est strictement croissante sur I .
Correction :
1°)La fonction : g : x ֏ x – 2 est continue et positif sur I
La fonction : x ֏ 3
x est continue sur R+ )I(g⊃
Alors la fonction f est continue sur I car f est comme composée de fonction continues.
2°)on a : ( ) +∞=−
+∞→
2xlim
x
et on a : +∞=
+∞→
3
x
xlim donc d’apres le théoreme sur la limite d’une fonction composée
on a : +∞=
+∞→
)x(flim
x
3°)Soit a et b deux élément de I tel que a < b .
On a : a < b ⇒⇒⇒⇒ a – 2 < b – 2 ⇒⇒⇒⇒ 3
2a − < 3
2b − ⇒⇒⇒⇒ f(a) <f(b).Alors est strictement croissante sur I .
Fiche de cours 4ème Maths
Fonction reciproqueFonction reciproqueFonction reciproqueFonction reciproque
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2. 2
Résolution d’équation : xn = a
Soit a un réel et n un entier supérieur ou égale à 2 .
Si n est impair et a 0≥ , l’équation xn = a admet une unique solution : n
a
Si n est impair et a <0, l’équation xn = a admet une unique solution : n
a−−
Si n est pair et a 0≥ , l’équation xn = a admet comme solutions : - n
a et n
a
Si n est pair et a<0, l’équation xn = a n’admet aucune solution .
Théorème
Pour x et y ∈R+ , n et p deux entiers vérifiant : n 2≥ et p 2≥ on a :
n p
x = ( )p
n
x ; n p
x =
np
x ;
np p
x = n
x ; n xy = n
x n y× ; n
y
x
=
n
n
y
x
( y>0)
Théorème
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I et un entier n 2≥ .
La fonction n )x(ux:f ֏ est continue sur I et dérivable en tout réel x de I tel que 0)x(u ≠
Et on a ,
=
−n 1n
)x(un
)x('u
)x('f pour tout x de I tel que u(x) > 0
