science physique semestre 1et 3

1. Cours d’optique géométrique
Application à la photographie
Année 2004-2005
DEUG SMa2
O. Jacquin
mailto: ojacquin@spectro.ujf-grenoble.fr
1

2. Introduction.
Qu’est ce que l’optique?
L’optique est une branche de la physique qui s’intéresse à l’étude des
phénomènes lumineux.
Domaine très large:
•Perception du monde qui nous entoure (formation des images).
•Instruments d’optiques (jumelles, télescope, microscope, ...).
•Propagation d’information via la lumière (fibre optique).
•Sources lumineuses (laser, lampe Sodium, ...).
•Détecteurs (Caméra IR, photodétecteur, matériaux SC).
Cours: Optique géométrique.
•Branche ancienne de l ’optique très utilisée en optique instrumentale.
•Formation des images à travers un système optique.
•Etude d ’instruments d’optique.
•L’étude d’un système optique bien connu : l’appareil photographique.
2

3. Nature de la Lumière.
Qu’est ce que la lumière?
Pendant plusieurs siècles deux tendances se sont affrontées: onde-corpuscule.
Au 17ème siècle:
•Corpusculaire pour expliquer la réflexion (Descartes, Newton).
•Ondulatoire pour expliquer la diffraction (Grimaldi, Huygens).
Du 17ème au 19ème siècle:
•Expériences validant l’aspect ondulatoire de la lumière (Fresnel, Maxwell)
•Expériences validant l’aspect corpusculaire de la lumière ( Hertz, Einstein)
Au 20ème siècle:
•Dualité onde-corpuscule comme les e- (Broglie, Heisenberg, Dirac)
Lumière = ondes et photons
3

4. Caractéristiques de l’onde lumineuse.
Ondes: Son, Houle. Période T
Caractéristiques:
•Amplitude. C
•Fréquence ν. [s-1]
•Vitesse C. [m.s-1]
•Longueur d’onde λ: λ = C = CT [m]
ν
Photon associé:
ν
•Énergie E : E=hν [j] où h est la constante de Plank h=6.626 10-34J.s
Caractéristiques de l’onde lumineuse:
•Onde sans support.
•Propagation dans le vide à la vitesse C.
•C = 299792456 m.s-1 (3 108 m.s-1 )
Quelques repères
•7 fois le tour de la terre en 1s.
•Distance terre-soleil en ≈8min.
4

5. Ondes électromagnétiques.
•La lumière visible fait partie d'une grande famille de phénomènes de même
nature: les ondes électromagnétiques.
•Variation d'un champ électrique et du champ magnétique, dans l’espace et
dans le temps.
•La lumière naturelle est donc une superposition d’ondes électromagnétiques
de différentes longueurs d’ondes (couleurs).
5

6. Visible = Spectre de l’œil.
Ordre de
grandeur de
bleu vert rouge λvisible ≈ 1µm
L'œil est sensible aux radiations lumineuses dont la longueur d'onde est comprise
entre 0.380 µm et 0.780 µm.
Œil est un photodétecteur ayant une bande passante particulière.
6

7. Interaction lumière-matière.
Quand la lumière rencontre un milieu homogène, isotrope et transparent
on peut observer:
Une interaction lumière-matière conduisant à
•Réflexion: une déviation de la trajectoire de la lumière du
même côté du corps d'où elle est venue.
Une interaction lumière-matière conduisant à
•Réfraction: une déviation de la trajectoire de la lumière au
moment où elle traverse deux milieux
transparents.
Une interaction lumière-matière conduisant à
•Dispersion: la décomposition de la lumière blanche en ses
différentes composantes.
7

8. Indice de réfraction.
Interaction Lumière-Matière définie par 1 seule grandeur physique : vitesse
de la lumière v dans le matériau.
C
Indice de réfraction: n(λ , T , P ) =
v (λ , T , P )
≈
n(verre)≈1.5
1,53
1,525
indice de réfrcation
B1
1,52
Dispersion : n(λ ) = A + loi de Cauchy 1,515
λ 2
1,51
1,505
1,5
0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8
lambda en µm
Exemple à T et P ambiante :
0.486 0.589 0.656
Longueur
(raie bleu de (raie D de (raie H de
d'onde en µm
l'hydrogène) sodium) l'hydrogène)
Eau 1.3371 1.3330 1.3311
Verre 1.5157 1.5100 1.5076 8

9. Rayons lumineux.
On peux également décrire la lumière par des rayons lumineux dans certain.
Notion intuitive:
Rayons lumineux:
•Pas de signification physique mais c’est un outil très intéressant pour décrire
la propagation de lumière dans des conditions bien définies.
•On peut les considérer comme la trajectoire de l’énergie lumineuse (milieux
isotropes).
•Ils sont à la base du développement de l’optique géométrique.
9

10. Description de la lumière.
Outil de description de la lumière: Ondes, Photons ou Rayons Lumineux selon
le contexte considéré.
Description: elle dépend de la dimension DO des objets par rapport à λ :
DO>>λ DO≈λ DO<<λ
Description Rayon Onde Photon
Formation des Interférence - Effet
Application
images diffraction photoélectrique
ème ème ème
Apparition 17 siècle 19 siècle 20 siècle
10

11. Principe 1 de l’optique géométrique.
Notions utiles:
•Rayons lumineux (trajectoire de l’énergie lumineuse).
•Indice de réfraction n(λ).
Contexte:
•Objet grand devant λ (λ≈1µm), le cm.
•Milieux homogènes, transparents et isotropes.
1er Principe : La lumière se propage en ligne droite.
Conséquences:
•Existence d’ombre. (exemple: éclipse solaire)
•Pas d’interaction entre les rayons lumineux.
Faisceaux lumineux :
•Faisceau conique convergent.
•Faisceau conique divergent.
•Faisceau cylindrique. 11

12. Conséquences du principe 1.
1er Principe : Existence d’ombre. (exemple: éclipse solaire)
Eclipse solaire : La lune s'interpose entre le soleil et la terre.
Explication avec la propagation
en ligne droite de la lumière
Eclipse lunaire : La terre s'interpose entre la lune et le soleil.
12

13. Principe 2 de l’optique géométrique.
2nd Principe : Loi de Snell (1621) - Descartes (1637)
•Comportement de la lumière à l’interface séparant 2 milieux homogènes,
transparents et isotropes, d’indice de réfraction n1 et n2.
n1 n2
? ?
Deux phénomènes possibles: :
•Réflexion.
•Réfraction.
Attention une réfraction est toujours accompagnée d’une réflexion.
13

14. Réflexion.
Réflexion : n1 n2
N i1
i2
Plan d’incidence: plan formé par le rayon incident et par la normale N à la
surface séparant les milieux 1 et 2.
Réflexion:
•Le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et dans le milieu 1.
•Le rayon réfléchi fait un angle i2 avec la N, tel que: i2=-i1
•En valeur absolue: i2=i1
Surfaces réfléchissantes:
•Séparation entre 2 milieux d’indices différents.
•Surfaces métallisées (Lampe de poche, cadran analogique).
14

15. Réfraction.
Réfraction : n1 n2
n1> n2 i1 N
onde monochromatique
i2
Plan d’incidence: plan formé par le rayon incident et par la normale N de la
surface séparant les milieux 1 et 2.
Réfraction:
•Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et dans le milieu 2.
•Le rayon réfracté fait un angle i2 avec N, tel que: n1sin(i1)= n2sin(i2)
•Si n1> n2 alors i2> i1 sinus fonction croissante de 0 à π/2.
Rappel: n dépend de λ
•La réfraction dépend de λ ⇒décomposition de la lumière.
•Arc en ciel. 15

16. Construction de rayons réfractés.
n1< n2
i1 i1
I I H
n1 n2
i2
?
Montrer que cette construction satisfait
les relations de Snell-Descartes.
16

17. Exemple de rayons réfractés.
i1
i1
I H I H
n1 n2 n2 n1
i2
i2
i1
i2
i1
I H H
n1 n2 n2 n1
I
i2
Zone d’ombre
17

18. Rayons réfractés: cas limites.
n1 n2
n1> n2
i1 N
i2
Rayon réfracté maximum.
n 
•n1< n2 et i2 max = arcsin 1 
n 
 2
Réflexion totale:
n 
•n1> n2 et i1 réflection totale > arcsin 2
n 

 1 
•Application aux fibres optiques
n2
n1
18

19. Bilan :Loi de Snell.
n1> n2
n1 n2
i1
La réfraction dépend de λ
i2 i2’
•Les rayons réfracté et réfléchi sont dans le plan d’incidence.
•Le rayon réfléchi fait un angle ir avec la N, tel que: ir=-i1
λ λ
•Le rayon réfracté fait un angle i2’ avec la N, tel que: n1(λ)sin(i1)= n2(λ)sin(i2’)
•Quand n1< n2 : Rayon réfracté maximum i2max = arcsin(n2/ n1).
•Quand n1> n2 : Réflexion totale pour i1>ir= arcsin(n1/ n2).
Principe du retour inverse de la lumière: La symétrie de ces relations nous montre
que le chemin suivi par la lumière ne dépend pas du sens de propagation.
Remarque: Ces relations nous donnent des informations sur la direction de
propagation de la lumière mais pas sur la quantité d’énergie réfléchie ou réfractée.
19

20. Dispersion: l’arc en ciel.
20

21. Principe 3 de l’optique géométrique.
3èmé Principe : Formation des images à travers un système optique.
Système optique: un système optique est un ensemble de milieux homogènes,
transparents et isotropes, ou réflecteurs. En pratique, les surfaces séparant ces
milieux sont de forme géométrique simple.
Système optique centré: les surfaces de séparation entre les différents milieux
sont des surfaces de révolution autour d’un même axe: Axe du système optique ou
axe optique. Cette symétrie impose que les surfaces soient perpendiculaires à l’axe
optique.
Point source A: 1 point d’où partent des rayons lumineux: un faisceau conique
divergent.
n1 n1 n3 n4 n1
A
21

22. Image d’un point A.
Image A’ du point A est le point de croisement des rayons émergeant du système
optique. Le faisceau émergent est un faisceau conique de sommet A’.
2 cas possibles:
•Faisceau émergent convergent: image réelle.
n1 n1 n3 n4 n1
A A’
•Faisceau émergent divergent: image virtuelle.
n1 n1 n3 A’ n4 n1
A
22

23. Image d’un point A.
image réelle: on a de l’énergie au point A’. Toute l’énergie est concentrée au
point A’. Intéressant pour réaliser une réaction photochimique telle que
l’impression d’une pellicule photographique.
image virtuelle: on n’a pas d ’énergie au point A’. Impossible d’avoir l’image sur
un écran ou d’impressionner une pellicule photographique. Exemple le miroir.
Pas d’image nette: dans le cas où tous les rayons issus de A ne passent par un
point A’ alors un point donne une multitude de points. On a une image floue ou
pas d’image nette.
23

24. Miroir Plan.
Miroir plan: surface réfléchissante plane (surface métallisée).
Image d’un A:
A A’
N i1
i2
• Image virtuelle.
• Tous les rayons passent par A’ et ceci quelque soit A.
• A et A ’ sont symétriques par construction.
• Système unique: c’est le seul système pour lequel tous les rayons
passent par A’, et ceci quelque soit les rayons considérés et quelque
soit l ’objet A considéré.
24

25. Dioptre Plan.
Dioptre plan: séparation plane entre deux milieux d’indice n1 et n2.
n1 n2 n1< n2
A’ A H
i1 I N
i2
On a : IH = AH tan (i1 ) et IH = A ' H tan (i 2 )
sin (i1 ) cos(i 2 )
d' où : A ' H = AH
sin (i 2 ) cos(i1 )
2
n 
sin (i 2 ) = 1 sin (i1 ) , cos(i1 ) = 1 − sin 2 (i1 ) cos(i 2 ) = 1 −  1  sin 2 (i1 )
n
Or et n 
n2  2 
2
n 
1−  1
n  sin 2 (i1 )

n1  2 
On en déduit que : A ' H = AH
n2 1 − sin 2 (i1 ) 25

26. Dioptre Plan.
On a : n n2 n 1< n 2
1
A’ A H 2
n 
1 −  1  sin 2 (i1 )
n 
n1  2
i1 I N A' H = AH
i2 n2 1 − sin 2 (i1 )
• Image virtuelle.
• A’H=fct(i1) donc A’ n’est pas unique mais dépend du rayon considéré.
• Image floue : tous les rayons qui passent par A ne passent pas par A’.
• Si i1 petit : sin2(i)=0 alors A’H=AH n2/n1, on voit une image nette
(dépend des détecteurs et plus précisément de leur résolution).
•Si i1 petit : on voit alors une image nette (dépend des détecteurs et plus
précisément de leur résolution).
i1 petit : rayons peu inclinés (20° pour n=1.5) par rapport à l’axe optique.
26

27. i1 Petit: signification.
Dans le cas précédent : sin2(i1)<<1
On tracé sin2(i1) en fonction de i1:
0,5
0,4
sin(i1)^2
0,3
0,2
0,1
0
0 10 20 30 40
i1 en °
sin2(i1)<<1 jusqu’à environ 20°. (facteur 10)
27

28. Illustration: dioptre Plan.
Dioptre plan: séparation plane entre deux milieux d’indice 1 et 1.33 (eau).
n1= 1.33 n’= 1.5 n2=1 (air)
A’ A H
i1 N
I i2
•On peut le verre: système équivalent à un dioptre plan.
•i1 petit : A’H=AH n2/n1
•Image virtuelle.
•n1 >n2: La partie dans l’eau paraît plus proche.
28

29. Lame à faces parallèles
Soit 3 milieux d’indice n1, n2 et n3 séparés par deux dioptres plans distant de e.
n1< n2 < n3 n1< n2 et n3= n1
i1 i1
n1 n1 I H
i2
n2 e n2 P e
i2 J
n3 n3
i3
i3
On a : n 1 sin (i1 ) = n 2 sin (i 2 ) et n 2 sin (i 2 ) = n 3 sin (i 3 )
Soit : n 1 sin (i1 ) = n 3 sin (i 3 ) la déviation D = (i 3 − i1 ) ne dépend pas du milieu intermédiaire d' indice n 2
Dans le cas n 1 = n 3 , on a pas de déviation : D = 0, on a juste un décalage ∆.
e
Par construction on a dans le triangle IJH : IJ =
cos(i 2 )
e
Par construction on a dans le triangle IJP : ∆ = IP = IJ sin (i1 − i 2 ) = sin (i1 − i 2 )
cos(i 2 )
29

30. Lame à faces parallèles
n1< n2 et n3= n1
i1
n1 I H Dans le cas n 1 = n 3 on a pas de déviation : D = 0
i2 On a juste un décalage ∆.
n2 P e e
J ∆ = IP = sin (i1 − i 2 )
cos(i 2 )
n3
i3
e  sin (i2 )cos(i1 ) 
∆ = IP = IJ sin (i1 − i2 ) = sin (i1 − i2 ) = e sin (i1 ) −
 
cos(i2 )  cos(i2 )  
2
n 
sin (i2 ) = 1 sin (i1 ) , cos(i1 ) = 1 − sin 2 (i1 ) cos(i2 ) = 1 −  1  sin 2 (i1 )
n
Or et n 
n2  2
 
 
 n 1 − sin (i1 ) 
2
On en déduit que : ∆ = e sin (i1 )1 − 1 
 n2  n1 
2 
 1 −   sin (i1 ) 
n 
2
  2 
 
Si i1 petit, alors ∆ = 0.
On a ni déviation(n1 = n 3 ), ni décalage(i1 ≈ 0). 30

31. Conditions de Gauss.
Contexte: à part le miroir plan un système optique ne donne pas d’image nette
sauf dans certaines conditions: les conditions de Gauss.
Images hors conditions de Gauss:
•Floues.
•Déformées.
•Distordues.
Image nette: dépend de la résolution du détecteur.
Condition de Gauss:
•Les rayons lumineux doivent être peu inclinés par rapport à l’axe
optique.
•Les rayons lumineux doivent être peu écartés de l’axe optique.
•On dit que les rayons sont paraxiaux.
Dans la pratique: on limite les rayons lumineux avec un diaphragme.
31

32. Conséquences des conditions de Gauss.
1. Linéarisation des relations de Snell:
n1i1= n2i2 loi de Kepler (vrai jusqu’à 20°)
Utilisation i en radian.
2. L’image d’un point A est un point A’:
Deux rayons suffisent pour déterminer l’image d’un point.
3. Le système est aplanétique:
L’image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe optique donne une image plane
perpendiculaire à l’axe optique.
4. Existence d’une relation de conjugaison.
Relation qui lie la position de l’image à la position de l’objet.
Ces conséquences nous donnent les informations nécessaires pour déterminer
l’image A’B’ d’un objet AB à travers un système optique centré.
32

33. Image d’un objet dans les conditions de
Gauss.
B 1
2 1
A’
A 3 3
B’
2
1. Le rayon 3 issu de A se propageant le long de l’axe optique n’est pas dévié.
car système est centré. Toutes les surfaces sont perpendiculaires à l’axe
optique. On en déduit que A’ est sur l’axe optique.
2. Deux rayons 1 et 2 issus de B permettent de déterminer B’.
3. AB est perpendiculaire à l’axe optique donc A’B’ l’est aussi car le
système est aplanétique. On en déduit que A’ est la projection de B’ sur
l’axe optique.
A’B’ est l’image de AB, image nette. 33

34. Rayons sont paraxiaux : signification.
Condition de Gauss: i petit
•Linéarisation de l’optique géométrique.
• n1sin(i1) ≈ n1 i1 ⇒ Loi de Kepler: n1i1= n2i2 (i en Rad).
•Comparaison loi de Snell et de Kepler:
1,2
1
n1=1 n2=1.5
angle de réfraction
0,8
Kepler
0,6
Snell
i1 N
0,4
0,2
i2
0
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5
angle d'incidence
i<0.34rad ou i< 20°.
34

35. Dioptre sphérique dans les conditions de Gauss.
Dioptre sphérique :
•Pas physique, mais essentiel pour réaliser des systèmes optiques
(lentilles).
•2 Milieux homogènes, transparents et isotropes d’indice n1et n2 séparés
par une surface sphérique de rayon R et de centre C.
•On travaille en notation algébrique. Le sens positif est la direction de
propagation de la lumière.
n1 n2
C S Axe optique
Remarque :
•SC <0, SC=-R= r
•Comme le dioptre plan, il ne donne pas d’image nette hors condition
de Gauss.
•4 cas possibles pour le dioptre sphérique.
35

36. Image d’un point lumineux.
•n1 < n2 et SC<0: Dioptre divergent.
•n1 > n2 et SC<0: Dioptre convergent.
•n1 < n2 et SC>0: Dioptre convergent.
•n1 > n2 et SC>0: Dioptre divergent.
Soit un rayon incident parallèle à l ’axe optique.
•Quand il se rapproche de l’axe optique = convergent.
•Quand il s’écarte de l’axe optique = divergent.
Permet de réaliser des systèmes convergents :c’est intéressant
pour la photographie.
36

37. Relations fondamentales du dioptre sphérique.
n1 n2
I i2
i1 Axe optique
A C H S A’
Contexte:
•n1 > n2 et SC= r <0: Dioptre convergent.
•Condition de Gauss.
•Notation algébrique. Le sens positif est la direction de propagation
de la lumière.
•Origine en S.
37

38. Calculs.
•Notation algébrique. n1 n2
•+→
•+ I i2
α i1 ω α’ Axe optique
A C H S A’
•Origine en S. •n1 > n2 et SC= r <0
•Dioptre convergent.
Relation entre SA et SA’ dans les Conditions de Gauss.
angles orientés : ω > 0, α > 0, α ' < 0, i1 > 0, i 2 > 0
π π
Dans le triangle AIH on a : α + + − ω + i1 = π soit : i1 = ω − α (1)
2 2
π π
Dans le triangle A' IH on a : (-α' ) + + π − i 2 − ( − ω) = π soit : ω − α ' − i 2 = 0 (2)
2 2
38

39. Calculs.
n1
(2) associé à la relation de kepler donne : ω −α ' − i1 = 0 (3)
n2
n1
(3) associé à la relation (1) donne : ω −α ' − (ω − α )= 0
n2
soit : ω (n2 − n1 ) = n2α ' − n1α (4)
On est dans les conditions de Gauss donc ω , α ' et α sont petit et H peut être confondu avec S.
D' où : tan(ω ) ≈ ω et tan(ω ) =
HI HI
≈ soit ω ≈ −
HI
avec r = SC (5)
CH CS r
tan(α ) ≈ α et tan(α ) =
HI HI
≈ soit α ≈ −
HI
avec p = SA (6)
AH AS p
HI
tan(α ' ) ≈ α ' et tan(α ' ) = ≈
HI
soit α ' ≈ −
HI
avec p' = SA' (7 )
A' H A' S p'
(5), (6), et (7) associées (4) nous donne la relation suivante :
−
HI
(n2 − n1 ) = −n2 HI + n1 HI on simplifie par HI
r p' p
on obtient finalement : n2
1
− n1 = (n2 − n1 )
1 1 Relation de conjugaison
p' p r 39
du dioptre sphérique

40. Points particuliers de l’axe optique.
n1 n2
i2
I n 2 n1 n 2 − n1
− = =V
i1
Axe optique p' p r
A C H S A’ ou p = SA, p ' = SA ' , r = SC = −R
n 2p
p' =
n 1 + Vp
p ' = f (p ) et f ' (p ) > 0 donc p ' augmente avec p
n1r
Si p ' = ∞ alors p = − = f distance focale objet ⇒ point foyer objet F.
n 2 − n1
n 2r
Si p = ∞ alors p ' = + = f ' distance focale image ⇒ point foyer image F ' .
n 2 − n1
n1 n
f =− et f ' = + 2 ou V est la vergence du dioptre et se mesure en dioptrie δ [m -1 ].
V V
Si V > 0 on dit que le dioptre est convergent et f < 0 et f' > 0
Si V < 0 on dit que le dioptre est divergent et f > 0 et f' < 0
40

41. Autres formulations de la relation de
conjugaison du dioptre sphérique.
p = SA et p ' = SA' n1 n2
i2
I
r = SC = − R,
i1 Axe optique
f ' = SF ' et f = SF
A C H S A’
σ = FA et σ ' = F' A'
n2 n1 n2 − n1 n n
Relation classique : − = =V = 2 =- 1
p' p r f' f
f' f
Relation de Descartes : + =1
p' p
n2 n1 n2 p' n2 ( f '− p')
− = soit =
p' p f ' p n1 f'
n2 n1 n1 p n1 ( f − p )
− =
Relation de Newton : p' p f soit =
p ' n2 f d ' où : ( f − p )( f '− p') = ff ' = σσ '
f − p = SF − SA = − FA = −σ
f '− p' = SF ' − SA' = − F ' A' = −σ ' 41

42. Utilisation de F et F’
Utilisation de F et F ’:
•Tous les rayons incidents parallèles à l’axe optique passent par F’
•Tous les rayons incidents qui passent par F’ sortent du dioptre
parallèles à l ’axe optique.
•Si V>0 alors F et F’ sont respectivement du coté des rayons incidents
et du coté des rayon réfractés.
•Si V<0 alors F et F’ sont respectivement du coté des rayon réfractés
et du coté des rayons incidents.
V>0 V<0
F C S F’ F’ C S F
Remarque: le rayon qui passe par le centre C du dioptre n’est pas dévié.
42

43. Grandissement du dioptre sphérique
B n1 n2
n2 n1 n2 − n1 n n
− = =V= 2 =− 1
α A’ p' p r f' f
C
α S F’
ou p = SA, p ' = SA' , r = SC = − R
A
F
B’
A'B'
Grandissement tranversale: γ =
AB
A'B' AB A'B' CA' p' − r
par contruction géométrique on a: tan (α ) = = d'où: γ = = =
CA' CA AB CA p−r
n2 n1 (n2 − n1 ) (n − n ) pp'
D'après − = on trouve : r = 2 1
p' p r n2 p − n1 p'
A'B' p' − r n1 p' A'B' f p'
On en déduit que:γ = = = soit encore: γ = =−
AB p − r n2 p AB f' p
A'B' f p'
γ= =−
AB f' p 43

44. Grandissement en fonction de σ et σ’
A'B' n1 p' f p'
On a le Grandissement tranversale: γ = = = −
AB n2 p f' p
f p' f SA' f SF '+ F ' A' f f '+σ ' ff '+ fσ '
d ' où : γ = − =− =− =− =−
f' p f' SA f' SF + FA f' f + σ f ' f + f 'σ
ff '+ fσ ' σ'
γ=− =−
ff '2 f'
f'f +
σ'
En utilisant la relation de Newton, on a:
f'f2
ff '+
γ=− σ' = − f
f ' f + f 'σ σ
A'B' n1 p' f p' σ' f Relation du
On a donc : γ= = = − =− =−
AB n2 p f' p f' σ grandissement.
44

45. Miroir sphérique dans les conditions de Gauss.
Dioptre sphérique :
•Surface sphérique de rayon R et de centre C recouverte d’une
métallisation.
•On travaille en notation algébrique. Le sens positif est la direction
de propagation de la lumière.
I
1 1 2
i1 Axe optique + =
i2 p p r
'
A C A’ H S
où p = SA, p ' = SA' , r = SC
45

46. Les lentilles.
Les Lentilles sont des constituants essentiels des systèmes optiques (jumelles,
microscopes, télécospes et bien sûr l’appareil photographique).
Lentilles minces dans les conditions de Gauss permettent:
•De réaliser des images nettes.
•D’agrandir l’image d’un objet.
•De rétrécir l’image d’un objet.
•De renverser l’image d’un objet.
•De focaliser l’image d’un objet sur un écran ou un détecteur.
Définition:
•Une lentille est milieu homogène, transparent et isotrope séparé par 2
dioptres sphériques de rayon R1 et R2, l’un des 2 dioptres peut être plan.
•La droite qui joint les centres des dioptres est l’axe optique.
•Si l’un des dioptres est plan, alors il est perpendiculaire à l’axe optique.
•On travaille en notation algébrique.
46

47. Cas d’une lentille Mince.
C2 S1 S2 C1
r2=S2C2<0 r1=S1C1>0
Lentille :
•Système dioptrique centré.
•Le rayon incident va subir 2 réfractions.
Lentille mince:
•S1S2 << |r1-r2 |
47

48. Exemples de lentilles.
1 2 3 4 5
Type de lentille:
1. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=-1m, r2=1m et |r1-r2 |=2m
2. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=1m, r2= ∞ et |r1-r2 |=1m
3. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=1m, r2=-1m et |r1-r2 |=2m
4. Lentille mince car S1S2 =1mm, r1=-1m, r2= ∞ et |r1-r2 |=1m
5. Lentille épaisse car S1S2 =1mm, r1=1m, r2=1m et |r1-r2 |=0m
Cette partie du cours porte essentiellement sur les
48
lentilles minces.

49. Bord des lentilles: bords minces
i2
i1
n
S S2
C2 S2C2<0 1 S1C1= ∞
•Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort incliné vers l’axe
optique: lentille convergente.
•Les lentilles à bords minces sont convergentes.
Ne pas confondre lentille mince et à bords minces.
49

50. Bord des lentilles: bords épais
i1
i2
n
S1 S2
S1C1= ∞ S2C2>0 C2
•Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort écarté de l’axe optique:
lentille divergente.
•Les lentilles à bords épais sont divergentes.
Ici on a une lentille mince et à bords épais.
50

51. Bilan et notations.
Les lentilles:
•Système dioptrique centré.
•Le rayon incident va subir 2 réfractions.
•Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort incliné vers l’axe
optique: lentille convergente (lentille à bords minces).
•Si un rayon incident parallèle à l’axe optique sort écarté de l’axe optique:
lentille divergente (lentille à bords épais).
On représente les lentilles minces de la façon suivante:
Lentille convergente Lentille divergente
51

52. Relation de conjugaison.
Les lentilles: association de deux dioptres de sommets S1 et S2 séparant 3
milieux d’indice différents n1, n et n2:
S2C2= r2<0 B n1 n n2 S1C1 = r1 >0
Cas général: C2 A
A’
S1 O S2
A’’
C1
AB ⇒ A'B' ⇒ A''B'' B’ B’’
Dans l’approximation de Gauss on a :
n 1 n −1 1 n 1− n
Pour le dioptre 1 : − = et Pour le dioptre 2 : − =
S1 A' S1 A S1C1 S 2 A '' S 2 A' S 2C2
Lentille mince ⇒ S1 , S 2 et O sont confondus
n n − n1
n1 n n n −n
D' ou : − = et 2 − = 2
OA' OA r1 OA'' OA' r2
n n  (n − n ) (n1 − n ) 
On a alors : 2 − 1 =  2 r −  = V où V est la vergence de la lentille en δ
OA OA 
''
2 r1  
n2 n1
On note aussi : − =V 52
p' p

53. Points particuliers de l’axe optique.
n1 n2 n2 n1
On a : − = V ou p' = OA' et p = OA
p' p
 (n − n ) (n1 − n ) 
O
V = 2
 r − 
 2 r1  
1. Foyer image F ’: Si p= ∞ alors p ’=n2/V=f ’ où f ‘ est la distance focale image.
2. Foyer objet F: Si p ’= ∞ alors p =-n1/V=f où f est la distance focale objet.
n2 n1 n n
Relation de conjugaison: − = V = 2 = - 1 ou p' = OA' et p = OA
p' p f' f
Remarques :
• Relation de conjugaison identique à celle du dioptre sphérique.
• f et f ’ pas de même signe.
• Si la lentille est divergente (V<0) alors f est positif et f ’ négatif.
• Si la lentille est convergente (V>0) alors f est négatif et f ’ positif.
53

54. Relations de conjugaison.
p = SA et p ' = SA'
n1 n n2
B S1C1 = r1 >0
f ' = SF ' et f = SF S2C2= r2<0
A’ A’’
σ = FA et σ ' = F' A' C2 A S1 O S2 C1
V est la vergence B’ B’’
n2 n1  n2 − n n1 − n  n n
Relation classique : − = - =V = 2 =- 1
p' p  r2
 r1   f' f
f' f
Relation de Descartes : + =1
p' p
n2 n1 n2 p ' n2 ( f '− p ')
− = soit =
p' p f ' p n1 f'
n2 n1 n1 p n1 ( f − p )
− =
Relation de Newton : p' p f soit =
p' n2 f d ' ou : ( f − p )( f '− p') = ff ' = σσ '
f − p = SF − SA = − FA = −σ
f '− p ' = SF ' − SA' = − F ' A' = −σ ' 54

55. Lentilles minces "classiques".
En général, les deux milieux extrêmes sont de l’air: n1=n2=1.
1 1
Air Air On a : − = V ou p' = OA' et p = OA
p' p
O
1 1
V = (1 − n ) − 
r r 
 2 1
1. Foyer image F ’: Si p= ∞ alors p ’=n2/V=f ’ où f ‘ est la distance focale image.
2. Foyer objet F: Si p ’= ∞ alors p =-n1/V=f où f est la distance focale objet.
3. Centre optique : les rayons passant par le point O ne sont pas déviés. En effet,
en ce point la lentille est assimilable à une lame à faces parallèles.
Remarques :
•f et f ’ sont opposées.
•Si la lentille est divergente (V<0) alors f est positif et f ’ négatif.
•Si la lentille est convergente (V>0) alors f est négatif et f ’ positif. 55

56. Lentilles minces "classiques".
A partir de maintenant nous considérons des Lentilles
minces "classique", c’est à dire des lentilles dont les milieux
extrêmes sont de l’air.
O
F F’
1 1
Air Air − = V ou p' = OA' et p = OA
p' p
1 1
V = (1 − n ) − 
r r 
 2 1
O
F’ F
Air Air
56

57. Lentilles convergentes.
1 1 1
O
On a : − = où p' = OA' et p = OA
F F’ p' p f '
1 1 1
O
On a : − = où p' = OA' et p = OA
F F’ p' p f '
1 1 1
O
On a : − = où p' = OA' et p = OA
F F’ p' p f '
57

58. Lentilles divergentes.
1 1 1
O
On a : − = où p' = OA' et p = OA
F’ F p' p f '
1 1 1
O
On a : − = où p' = OA' et p = OA
F’ F p' p f '
1 1 1
O
On a : − = où p' = OA' et p = OA
F’ F p' p f '
58

59. Plans focaux pour lentilles.
Plans focaux:
•Plans perpendiculaires à l’axe optique passant par F et F’.
•Les rayons parallèles passent tous par un seul point P appartenant à un
des plans focaux.
F’
F O F’
F O
P
• Plan focal image et plan focal objet.
• Foyer secondaire image.
• Foyer secondaire objet.
• Idem pour les lentilles divergentes.
59

60. Espace objet et espace image.
A priori, un objet est situé du coté d’où vient la lumière avant la lentille et l’image
à travers la lentille se situe après cette dernière.
O
F F’
•Objet réel: avant la lentille. p<0
+
•Objet virtuel: après la lentille. p>0
•Image réelle: après la lentille. p>0
•Image virtuelle: avant la lentille. p<0
O
F’ F
• Objet virtuel n ’a pas d’existence physique, il s’agit en réalité de l’image d’un
objet à travers un système optique.
60

61. Formation d’une image, grandissement.
B
1 1 1
α F’
A’ On a : − =
O α p' p f '
A
F ou p' = OA' et p = OA
B’
A' B'
Grandissement tranversale : γ =
AB
par contruction géométrique on a :
A' B' AB
tan(α) = =
OA' OA
A' B' OA' p'
d ' ou : γ = = =
AB OA p
61

62. Association de systèmes optiques simples.
• Systèmes optiques simples: Dioptres plans, dioptre sphériques, lentilles minces.
• Nous allons nous intéresser essentiellement aux associations de systèmes optiques
simples constituant un système optique centré: la lentille mince est par exemple un
système optique centré constitué par une association de 2 dioptres (Association particulière
car S1S2=0).
• Quand on utilise un système optique on veut avoir une relation de conjugaison et une
relation de grandissement transversal.
• Ces relations doivent être les plus simples possibles d’utilisation, comme pour le
dioptre sphérique.
• On a vu précédemment que pour le dioptre sphérique et la lentille ces relations étaient
identiques.
• On parle alors de relations de de conjugaison "universelles".
• Dans le cas d’une association on va vouloir se ramener à ces relations de conjugaison
"universelles".
• Il faudra pour cela opérer à certain nombre de calculs et de transformations que nous
allons voir dans la suite. 62

63. Relations de conjugaison "universelles".
Attention les origines de :
B
p et p ' , f ' et f ne sont n1 n2
toujours les mêmes!
A’
A F F’
σ = FA et σ ' = F' A' B’
n2 n1 n n
Relation classique : − =V = 2 =- 1
p' p f' f Pour tout association on
veut se ramener à ces
f' f relations.
Relation de Descartes : + =1
p' p
Pour cela, on peut être
Relation de Newton : ( f − p )( f '− p') = ff ' = σσ ' amener à changer nos
origines pour p, p’, f et f’
f p' σ f
Grandissement : γ = - =− =−
f' p f' σ'
63

64. Doublet quelconque.
Soit 2 systèmes optiques quelconques:
• De sommets S1 et S2. A’’ S2 A’’
• De focales images f1’ et f2’. S1
• De focales objets f1 et f2. A
e
• Séparés d ’une distance e
e = S1S 2
A donne A’ à travers le 1er système optique
A’ est alors objet pour le 2nd système optique
A’ donne A’’ à travers le 2nd système optique
A’’ est donc l ’image de A à travers le doublet formé par l’association des 2 systèmes
optique.
On veut une relation de conjugaison reliant les positions de A et de A’’
On a les relations suivantes (Descartes) pour chacun des systèmes optiques:
f1' f1 f 2' f1
+ = 1 et + =1
p1' p1 p2 p1
'
f1 = S1 F1 et f1' = S1 F1' f 2 = S 2 F2 et f 2' = S 2 F2'
Avec : et
p1 = S1 A et p = S1 A'
'
1 p2 = S 2 A' et p '2 = S1 A' ' 64

65. Mise en équation.
Les relations des Descartes nous donnent les expressions suivantes:
f1' p1
p =
'
(1)
p1 − f1
1
f1 p1'
p1 = ' (2) f1 = S1 F1 et f1' = S1 F1'
p1 − f1' f 2 = S 2 F2 et f 2' = S 2 F2'
Avec : et
f p2 '
p1 = S1 A et p = S1 A'
'
p2 = S 2 A' et p '2 = S1 A' '
p =
' 2
(3) 1
p2 − f 2
2
f 2 p2
'
p2 = ' (4)
p2 − f 2'
A donne A’ à travers le 1er système optique
A’ est alors objet pour le 2nd système optique
p1’ et p2 sont donc relié par e :
p1 = S1 A'' = S1S 2 + S 2 A'' = e + p2
'
(5)
Avec e = S1S 2
65

66. Mise en équation.
On veut p1 en fonction de p2’ et p2’ en fonction de p1, c’est à dire une relation entre la
position de l’image A’’ et la position de l’objet A:
f1 (e + p2 )
(2) et (5) donne : p1 = (6)
(e + p2 ) − f1'
 f 2 p2 
'
f1  e + ' 
(6) et (4) donne : p1 = 
 ' 
p2 − f 2  (
p2 f1 e + f 2 − ef 2' f1
'
)

e + '
f 2 p2 
'
 − f1'
soit p1 = '
( )
p2 e + f 2 − f1' + f 2' f1' − e ( ) (8)
 p2 − f 2' 
 
(2) et (5) donne : p = '
'f 2' p1' − e ( ) (7 )
(
p1 − e − f 2
2
)
 f1' p1 
f  '
− e
(6) et (1) donne : p2 =
p −f
2
 1 1

 ( )
p1 f 2' f1' − e − ef 2' f1
soit p =
) (9)
' '
 f1' p1


− e  − f2
2
( )
p1 f1' − e − f 2 + f1 f 2 + e (
p −f 
 1 1 
Attention p2’ et p1 n’ont pas même origine.
66

67. Foyer objet et image du doublet.
Le foyer objet correspond à p2’= ∞ dans l’équation (9), soit:
(
p2 = ∞ quand p1 f1' − e − f 2 + f1 f 2 + e = 0
'
) ( )
d' ou : p1 =
(
f1 f 2 + e f
= 1 2
)
+e
= S1 F
(f ) (10) (
avec ∆ = e + f 2 − f1' )
(
e + f 2 − f1'
∆ )
Le foyer image correspond à p1 = ∞ dans l’équation (8), soit:
(
soit p1 = ∞ quand p2 e + f 2 − f1' + f 2' f1' − e = 0
'
) ( )
d' ou p = '
' f 2' f1' − e(=
)
f 2' e − f1'
= S2 F '
( ) (11) (
avec ∆ = e + f 2 − f1' )
2
(
f1 − e − f 2 ∆ )
∆ est appelé intervalle optiue B
(
∆ = e + f 2 − f1' ) S1 S2 A’
∆ = S1S 2 + S 2 F2 − S1 F1 ' A F F’
e B’
∆ = F1 ' F2
Attention les foyers objet et image n’ont pas même origine.
67

68. Relation de Newton
Si on pose :
f1 ( f 2 + e )
p1 = S1 A = S1 F + FA = +σ (12)
∆
f ' (e − f1 ')
p 2 ' = S 2 A' = S 2 F ' + F ' A' = 2 + σ ' (13)
∆
Avec : σ = FA et σ ' = F ' A'
et que l' injecte (12) et (13) dans la relation (8) on obtient après simplificaftion :
f f f'f '
σσ ' = − 1 2 1 2 (14)
∆
L ’expression (14) est l ’équivalent de la relation de Newton de nos relations de
conjugaisons "universelles". Elle nous donne une relation entre les positions de l ’objet
et de l ’image à travers notre doublet avec pour origines respectivement les foyers objet
et image du doublet.
B
A’
A F F’
e B’ 68

69. Distance focale du doublet
Pour le moment on a les foyers objet et image mais pas l ’équivalent des distances
focales objet f et image f ’. Pour déterminer f et f ’ nous allons utiliser la relation du
grandissement. L’expression "universelle" du grandissement est:
f p' σ f
γ =- =− =−
f' p f' σ'
L ’expression du grandissement du doublet est égale au produit des grandissements des
deux systèmes optiques qui constituent le doublet, soit:
f1 p1 ' f 2 p2 ' f ( p '−f ')
γ = γ 1γ 2 = en utulisant (1) et (4 ) on a : γ = γ 1γ 2 = 1 2 2 (15)
f1 ' p1 f 2 ' p2 f 2 ' ( p1 − f1 )
f1 ∆σ '−f 2 f 2 '
En injectant dans (15) les relation (12) et (13) on obtient : γ = (16)
f 2 ' ∆σ − f1f1 '
f1f 2
γ =−
∆σ
En utilisant (14) dans (16) on a alors :
f 'f '
γ= 1 2
∆σ '
Par indentification dans la relation du grandissement on en deduit :
f=
f1f 2 f 'f '
et f' = − 1 2 (17 )
∆ ∆ 69

70. Points principaux.
Les distances focales objet f et image f ’ sont donc égale à :
f1f 2 f 'f '
f= et f' = − 1 2
∆ ∆
La relation de Newton devient alors: σσ ' = ff'
Cette relation est alors tout à fait semblable à cette des relations de conjugaison
"universelle", comme la relation du grandissement du doublet.
Il est important de noter que nous ne pouvons pas matérialiser ces distance focale image
et objet car nous ne connaissons pas leur origine. En revanche, si l ’on considère deux
points conjugués H et H’ tel que leurs grandissement est égal à 1, on a alors:
σ f
γ =− =− = 1 d' où : HF = −σ = f et HF' = −σ ' = f '
f' σ'
H et H’ sont donc par définition respectivement à une distance focale objet du foyer
objet et à une distance image du foyer image. On a va donc utiliser ces point H et H ’
comme origine respectives de l ’objet et de l’image. Ces points sont appelés point
principaux. 70

71. Relation de conjugaison du doublet.
Si on utilise les point H et H ’ comme origines respectives de l’objet et de l’image. On a
alors:
σ = FA = FH + HA = -f + p et σ' = F'A' = F'H' + H'A' = -f' + p'
si on injecte ces exp ressions dans la relation de Newton on obte int alors:
σσ' = (-f + p )(-f' + p' ) = ff' c'est à dire pf' + p'f = pp'
f' f
Soit + =1 relation de Descartes
p' p
On retrouve une relation de conjugaison simple qui est la relation de Descartes de nos
relations de conjugaison "universelle", ce qui justifie l ’introduction des points
principaux et leur utilisation comme origine respectives de l’objet et de l’image de notre
doublet. Le système équivalent au doublet est donc:
B
H H’ A’ f' f f = HF et p = HA
+ = 1 avec
A F F’ p' p f ' = H ' F ' et p' = H ' A'
B’
71

72. Système optique équivalent au doublet.
Le doublet est formé 2 systèmes optiques
quelconques: A’’ S2 A’’
• De sommets S1 et S2. S1
• De focales images f1’ et f2’. A
e
• De focales objets f1 et f2.
• Séparés d ’une distance e e = S1S 2
Le système optique équivalent est :
B
H H’ A’ f' f f = HF et p = HA
F’ + = 1 avec
A F p' p f ' = H ' F ' et p ' = H ' A'
B’
f p' σ f
Le grandissement est : γ =- =− =− avec σ = FA et σ ' = F ' A'
f' p f' σ'
Distance entre les plans principaux: HH' = HF + FS1 + S1S2 + S2 F' + F' H'
e( f 2 '+ ∆ − f1 )
D’après (10), (11) et (17) on a : HH' = 72
∆

73. Convergence du doublet.
Le doublet est: f1f 2 f 'f '
• Convergent si f <0 et f ’>0 f= et f' = − 1 2
Avec ∆ ∆
∆ = (e + f 2 − f1 ')
• Divergent si f >0 et f ’<0
Signe de f ’ en fonction de f1’, f2’ et ∆ : f1’ f2’ ∆ F1'F2 f'
<0 >0 Si e < f1’-f2 alors ∆ positif
 >0 >0
n1 n2 n3 <0 >0 
Si e > f1’-f2 alors ∆ négatif <0 <0
A’’ S2 A’’ <0 <0 Positif quelque soit e >0 <0
>0 >0 Si e < f1’+f2 alors ∆ négatif <0
 >0
A S1
e >0 >0 Si e > f1’+f2 alors ∆ positif
 >0 <0
>0 <0 Si e > f1’-f2 alors ∆ positif
 >0 >0
e = S1S 2 >0 <0 Si e < f1’-f2 alors ∆ négatif
 <0 >0
Pour la convergence du doublet on peut également raisonner sur la vergence V du
f f'
doublet. Par définition on a: V = − = ou n et n' sont respectivement les indices de
n1 n3
réfraction du lieu d' entrée et du milieu de sortie du doublet.
73

74. Vergence du doublet.
Le doublet est formé 2 systèmes optiques
V1 V2
de vergence V1 et V2 tel que:
n1 n2 n3
n1 n2 n
V1 = − et V1 = soit f1 = − 1 f1 ' f1 f’1 f2 f’2
f1 f1 ' n2
n2 n3 n e
V2 = − et V1 = soit f 2 = − 2 f 2 ' S1 S2
f2 f2 ' n3
Le calcul de V donne :
n1 n3 f 'f ' ff
V=− = avec f' = − 1 2 et f = 1 2
f f' ∆ ∆
n n∆ ne n f n f'
V= 3 =− 3 =− 3 − 3 2 + 3 1
f' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 ' eV1V2
soit : d' où : V = V1 + V2 −
1 n2 n3e n3 n2 n3 n2
V=− + +
n2 f1 ' f 2 ' f1 ' n3 f 2 '
eV1V2
Cette relation est la relation de Gullstrand: V = V1 + V2 −
n2
74

75. Résumé des associations.
n1 n2 n3
Le système optique équivalent A’’ S2 A’’
à cette association, A S1
e
e = S1S 2
B
est le système suivant: H H’ A’
A F F’
B’
(
f f +e
S1 F = 1 2
) et S2 F ' =
(
f 2' e − f1' ) avec ∆ = (e + f 2 − f1 ')
∆ ∆
f1f 2 f 'f '
f= et f' = − 1 2
n3 n1 n n f = HF et p = HA ∆ ∆
− =V = 3 =- 1 avec et
p' p f' f f ' = H ' F ' et p ' = H ' A' V1V2
V = V1 + V2 − e
n2
f p' σ f
γ =- =− =− avec σ = FA et σ ' = F ' A'
f' p f' σ'
75

76. Lentilles minces et épaisses.
eV1V2
Soit deux lentilles: V = V1 + V2 −
n
n n I. e =0,5cm, r1=4cm, r2=-2cm
V1= 0,125cm-1 et V2= 0,25cm-1 1 1
e e II. e =0,5cm, r1=-4cm, r2=-4cm V= =-
f' f
V1= -0,125cm-1 et V2= 0,167cm-1
n=1,5 car nextrême = 1
I II
• Un lentille est dite mince lorsque l’on peut négliger son épaisseur e.
• Ve≠0 ≈ Ve=0 ou f’e≠0 ≈ f’e=0
≠ ≠
V1 + V2
• Ce qui revient à : e << n =Ω
V1V2
I. Ω =18, donc on peut dire que la lentille I est mince. On a: f’e≠0=2,74cm et
≠
f’e=0=2,66cm, soit une erreur de 2,5%
II. Ω = 2,95, on ne peut pas dire que e<< Ω, on a f’e≠0=28,8cm et f’e=0=24cm, soit une
≠
erreur de 20%, on ne peut pas négliger e. La lentille II est épaisse.
(r2 -r1 )
Ω= n d'où e << Ω é equivaut en 1ère approxiamation à: e << (r2 -r1 )
(n − 1 ) 76

77. Formulation Matricielle du dioptre sphérique
n1 n2
Nous allons relier le rayon
I
incident au rayon réfracté par
une matrice de transfert. Les α α’ Axe optique
rayons sont représentés par A C H S A’
un vecteur contenant l’angle optique n1α
et la distance IH. A la sortie du dioptre
le rayon réfracté est donné par un vecteur
contenant l’angle optique n2α’ et la distance IH. On a alors:
 y   y' 

I=   rayon incident avec y = IH et I = 
  n α '  rayon incident avec y' = IH

 n1α   2 
Dans l' approximation de Gauss on confondre H et S et on peut écrire : y = y' = -pα = − p 'α '
n 2 n1 n 2 − n1
En combinant ces realtion avec celles du dioptre sphèrique : - =
p' p r
α 'n2 αn 1 n 2 − n1 n 2 − n1
On obtient : - + = d' où : n 2α ' = - y + n1α , de plus y' = y
y y r r
 y'   1
 n 2 − n1
0  y   1
 0  y   1 
0  y 
 Matrice
On en déduit : 
 n α ' =  - = 
 n α  =  − n 2 
 2  
 1  n1α   - V
  1  1   1  n1α  de réfraction
r   f'  
77

78. Matrice de propagation
Pour une propagation dans I’ α’
n2
dans milieu d ’indice de
I α
réfraction n, on a :
H H’
 y   y' 
I =   rayon incident avec y = IH et
  I=   nα '  rayon incident avec y' = I' H'

 nα   
e
Dans l' approximation de Gauss on peut écrire : y' = y + nα et nα ' = nα
n
 y'   1 e   y 
 

1
e


On en déduit :  =
  n 
 n est la matrice de réfraction
 nα '  0 1  nα  
   0 1
A partir des matrices de réfraction et de propagation on peut déterminer la focale
image et objet de toute association constitué de dioptre par simple produit de matrice.
A l ’issu du produit de matrice on obtient une matrice ABCD
A B
C D 
  C = -V où V est la vergence du système optique décrit par cette matrice.
  78

79. Exemple d’association: lentille.
Prenons le cas d’une lentille d ’épaisseur e: n
S1 S2
• Dioptre S1 a un rayon de courbure r1 e
 1 0
 n −1   1 0
il est décrit par la matrice: S1 =  - = 
1   - n/f ' 1 
 r   
 1  1
• Dioptre S2 a un rayon de courbure r2
 1 0
il est décrit par la matrice: S 2 =  - 1 − n   1 0
 = 
1   - 1/f ' 1 
 r   
 2  2
 e
Cette lentille est donc décrite par la matrice S=S2PS1 avec P =  1 
n
0 1 
 e e 
 1− 
Le terme C de la matrice est égale à - V
S = 
f1 ' n
 n 1 e e 
− - +
 f ' f ' f 'f ' − + 1 V etant la vergence de l' association des 2 dioptres
 1 2 1 2 nf 2 ' 
n 1 e e
La vergence de la lentille est donc : V = + − = V1 + V2 − V1V2 ⇒ Gullstrand. 79
f1 ' f 2 ' f1 ' f 2 ' n

80. Signification et utilisation de ABCD.
Soit un système optique centré constitué de N éléments optiques:
• Premier élément en S1
• Dernier élément en S2
Ce système est caractérisé par ma matrice S
n1 n2
S1 S2
A B  y'   A B  y 
S = C D  avec
  n α '  =  C D  n α 
    
   1    2 
C = −V
n n
f = − 1 = 1 = HF
V C
n n
f '= 2 = − 2 = H'F'
V C
D −1 H H’
S1 H =
C
1− A F S1 F’ S2
S2 H ' =
C
80

81. Aberrations chromatiques: causes
La focale d’une lentille dépend de la longueur d’onde:
n(verre)=1.5
• L’indice de réfraction dépend de λ. 1,53
Vergence dépend de λ.
1,525
indice de réfrcation
• 1,52
• Quand n(λ) augmente V augmente. 1,515
Quand λ diminueV augmente.
1,51
• 1,505
• f ’ plus petite pour le bleu que pour 1,5
le rouge (λb < λr).
0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8
lambda en µm
1 1
− =V
p' p
1 1
= (1 − n ) −  = V
1
r r 
f'  2 1 
81

82. Aberrations chromatiques: conséquences
Aberration longitudinale.
• Dispersion des foyers.
V I B V J O R
Aberration latérale.
• Anneaux concentriques
Dispersion chromatique = dispersion des foyers
de différentes couleurs.
On observe une image irisée, formée de plusieurs couleurs.
Les aberrations chromatiques sont bien connues et bien corrigées.
En principe, elles ne sont plus présentes dans les systèmes optiques
(appareils photographiques).
Correction:
• Lentille convergente + lentille divergente.
• Les verres (dispersion), les rayons de courbure, les focales et la distance
entre les deux lentilles doivent être bien choisis.
82

83. Aberrations chromatiques: correction.
Définition du pouvoir dispersif des verres:
1 1
= (1 − n ) −  = V
1 df ' dV dn
On a : r r  la dérivée logarithmique donne : − = =−
f'  2 1 f' V (1 − n )
On pose : K =
(n F − n C ) = 1 λ F = 486.1nm, λ D = 587.56nm, λ C = 656.3nm
(n D − 1) A
K = pouvoir dispersif et A est appelé constrinsgence.
A > 0. Si A < 40 alors la dispersion est élevé et si A > 45 alors la dispersion est faible.
Association de deux lentilles L1 et L2 de focale f1 et f2:
1 1 1 e
On a d' aprés Gullstrand pour un doublet de lentille : = + −
f ' f '2 f '1 f '2 f '1
df ' df ' df ' e( f '1 df '2 + f '2 df '1 )
la dérivée donne : - = − 21 − 22 +
f '2 f '1 f '2 f '1 f '2
2 2
e est la distance entre les deux lentilles L1 et L 2 . e = O1O2 où O1 et O 2 sont respectivement les centres de L1 et L 2
df ' 1 1 e 1 1 
On a : - = + −  + 
f '2 A1 f '1 A2 f '2 f '1 f '2  A1 A2 
 
Où A1 est la constringence du verre de L1 et A 2 est la constringence du verre de L 2 .
83