Cours de Thermodynamique       IST Agral 1       Matthieu Tissier
Avant de lire ce qui suit...   J’ai pas mal h´sit´ avant de taper mes notes de cours. Ce qui m’y a finalement pouss´, c’est...
Table des mati`res              e1 Introduction                                                                           ...
Table des mati`res              e   VI. Entropie et ´tat d’´quilibre . . . . . . . . . .                     e     e      ...
Chapitre 1Introduction  On replace dans cette section la thermodynamique                    de la force ´lectromagn´tique ...
donc que, quand on s’int´resse a un syst`me compos´                           e      `         e             ed’un grand n...
Chapitre 2Description d’un syst`me                     emacroscopique, variables d’´tat                           eI.     ...
III.. Variables intensives / extensivesmain ne bouge pas ?                                            – On note que notre ...
Chapitre 2. Description d’un syst`me macroscopique, variables d’´tat                                                      ...
Chapitre 3´Energie, travail, chaleur, premierprincipe   Dans ce chapitre, on va d´crire en d´tail la notion               ...
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II.. L’´nergie potentielle       emath´matiques importantes pour la suite : d´riv´es, dif-     e                          ...
´                                                                             Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premi...
II.. L’´nergie potentielle       e                            R´sum´                             e   e D´finition : dEp = −...
´                                                                    Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier princi...
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  1. 1. Cours de Thermodynamique IST Agral 1 Matthieu Tissier
  2. 2. Avant de lire ce qui suit... J’ai pas mal h´sit´ avant de taper mes notes de cours. Ce qui m’y a finalement pouss´, c’est la tr`s mauvaise e e e e´criture dont m’a dot´e la Nature. Malheureusement, des notes de cours tap´es prennent tout de suite un cˆt´e e e oeformel, dogmatique, qui ne plaˆ pas .. . Mon exp´rience personnelle, c’est qu’on a toujours une lecture plus ıt ecritique .. quand on a entre les mains un document manuscrit. Pour lutter contre ce cˆt´ formel, je vous incite a gribouiller votre version imprim´e. Quant a moi, je me suis oe ` e `autoris´ un style t´l´graphique, plus oral qu’´crit. e ee e Enfin, je suis acheteur de toutes vos remarques et critiques. Ne doutez pas que ce document est truff´ d’erreurs e(malgr´ mes multiples relectures). Si vous tombez, au d´tour d’une ligne sur une partie louche, ou incompr´hensible, e e ec’est peut-ˆtre le texte qui est en cause, et pas vous. Donc n’h´sitez pas a me faire part de vos r´flexions pour lever e e ` eces doutes (par e-mail, t´l´phone, ou en live pendant le TD), et pour que j’am´liore le texte au cours des ann´es. ee e e Vous trouverez dans le texte des passages encadr´s, avec un ♥, qui indiquent les choses a connaˆ e ` ıtre pour lespartiels et autres examens. Les passages difficiles seront rep´r´s par le signe ee . Derni`re chose, je mettrai le cours au fur et a mesure de son ´criture sur le net. N’imprimez pas syst´matiquement e ` e etout le cours, mais s´lectionnez uniquement la partie que vous n’avez pas d´j`, pour ´viter la sur-consommation e ea ede papier...
  3. 3. Table des mati`res e1 Introduction 42 Description d’un syst`me macroscopique, e variables d’´tat e 6 I. Variables d’´tat . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 ´ II. Equation d’´tat . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III. Variables intensives / extensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV. Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ´3 Energie, travail, chaleur, premier principe 9 I. L’´nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 II. L’´nergie potentielle . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III. Le travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV. La chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 V. Le premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 VI. Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Le gaz parfait 20 I. Description macroscopique des gaz dilu´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 20 II. Quelques transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III. D´scription microscopique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 225 M´thodes de v´rification des calculs e e 23 I. Les pr´dictions sont-elles sens´es ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e e II. Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Le second principe 25 I. Notre postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 II. Mod`le d’un moteur . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 III. Le moteur id´al . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 IV. (In)´galit´s sur le rendement . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 V. Rendement du moteur r´versible . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 VI. Le moteur r´el . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 VII. Le r´frig´rateur id´al . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 VIII. La pompe a chaleur (pour Axel) . . . . . . ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 IX. Machines a n sources . . . . . . . . . . . . . ` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 X. Quelques mots sur la notion de temp´raturee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 L’entropie 31 I. Cycles r´versibles . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II. D´finition de l’entropie . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 III. Variation d’entropie de l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 IV. Transformations irr´versibles . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 V. Entropie d’un gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
  4. 4. Table des mati`res e VI. Entropie et ´tat d’´quilibre . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 VII. Entropie et d´gradation de l’´nergie . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 VIII. Interpr´tation probabiliste de l’irr´versibilit´ . e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IX. L’entropie en physique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Syst`mes purs e 40 I. Relations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 II. Relations entre d´riv´es partielles . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 III. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 IV. Comment reconstruire l’´nergie interne ? e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Les autres potentiels thermodynamiques 45 I. L’enthalpie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 II. L’´nergie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 47 III. Potentiel de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4810 Transitions de phase 49 I. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 II. Transition de vaporisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III. Le potentiel de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 IV. Humidit´ de l’air . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 V. Formation des nuages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611 R´actions chimiques e 59 I. Description du syst`me physique . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 II. Condition d’´quilibre dans une phase e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 III. M´lange de gaz parfaits inertes . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 IV. R´action entre gaz parfaits . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 V. Condition d’´quilibre entre phases . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 VI. Solution id´ale . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63A Annexes 66 I. ´ Energie : les unit´s, les ordres de grandeur . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 II. D´veloppements limit´s . . . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 III. Traitement statistique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 IV. Coefficients thermodynamiques et ´nergie interne e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 
  5. 5. Chapitre 1Introduction On replace dans cette section la thermodynamique de la force ´lectromagn´tique qui repousse les ´lec- e e edans une perspective historique (arrang´e a la sauce mo- e ` trons de ces atomes. Au niveau macroscopique, onderne). oublie toute cette complexit´ a l’´chelle microsco- e ` e Physique classique (Galil´e, Newton, 18e si`cle, etc.) e e pique, et on fait une mod´lisation tr`s simple de la e e ´ Etudie la trajectoire d’un corps dans diff´rents envi- e r´action de la table sur le livre. eronnements. – Une pomme / la lune dans le champ gravitationnel Dans ces probl`mes, on ne tient pas compte de nom- e de la terre breuses propri´t´s des corps consid´r´s, qui sont pour- ee ee – Un ´lectron dans un champ ´lectrique / magn´tique e e e tant tr`s int´ressantes : e e – Flottaison d’un bateau. – la temp´rature ; e Bas´e sur une ´quation fondamentale : la relation fon- e e – la phase de la substance (liquide, solide, vapeur,...) ;damentale de la dynamique : – les transformations chimiques ; – etc. F = ma ♥ Bref, on oublie toutes les propri´t´s internes (intimes) ee des corps macroscopiques. La thermodynamique vise jus-o` m est la masse du corps, a son acc´l´ration : u ee tement a ´tudier ces propri´t´s. Cette branche de la phy- `e ee sique a connu un tr`s fort d´veloppement au XIXe si`cle, e e e dv d2 r notamment pour comprendre / am´liorer le fonctionne- e a= = 2 dt dt ment des machines a vapeur. `et F la force exerc´e par l’environnement sur le corps. e On range les forces dans deux cat´gories : e Remarques importantes – Les forces fondamentales : gravitation, ´lectroma- e 1 On sait caract´riser depuis Newton la trajectoire e gn´tiques (plus 2 autres qui ne nous int´ressent pas e e d’une plan`te gravitant autour du Soleil. C’est ce qu’on e ici). appelle un probl`me a deux corps, et la trajectoire asso- e ` – Les forces effectives, macroscopiques : frottements, ci´e est une ellipse. En revanche, on ne sait pas r´soudre e e pouss´e d’Archim`de. Ces forces ont pour origine e e le probl`me a trois corps (le soleil plus deux plan`tes). Ce e ` e l’interaction entre atomes (` l’´chelle microsco- a e probl`me est tr`s compliqu´, et pr´sente notamment une e e e e pique) de corps macroscopiques1 . Quand on forte sensibilit´ aux conditions initiales, li´e a ce qu’on e e ` consid`re ces forces, le plus souvent on “oublie” e appelle en physique le chaos. leur origine microscopique, et on en fait une mo- Question : Comment alors esp´rer d´crire 1023 parti- e e d´lisation effective a l’´chelle macroscopique. Par e ` e cules en interaction ? exemple, quand on s’int´resse a un livre pos´ sur e ` e R´ponse : C’est impossible, mais ca n’est pas ce que e ¸ une table, on invoque la “r´action de la table sur e l’on veut faire. En thermodynamique, on s’int´resse aux e le livre”, qui compense le poids du livre. Si vous propri´t´s globales de la mati`re, pas au comportement ee e y r´flechissez, au niveau microscopique, cette force e de chacune des particules ind´pendamment 2 . On voit e est assez complexe. Elle r´sulte de la r´pulsion entre e e 2 Analogie Il est tr`s difficile de savoir si monsieur D. va vo- e les atomes solidaires de la table et ceux solidaires du ter pour tel ou tel candidat aux ´lections. Son choix d´pend de e e livre. Cette r´pulsion est elle-mˆme une cons´quence e e e son histoire personnelle, de ses rencontre, des d´bats auxquels il a e assist´, etc. Mais : e 1 c’est a dire compos´s d’un grand nombre de particules, typi- ` e – Le vote de Monsieur D. ne nous int´resse pas directement. On equement le nombre d’Avogadro Na ∼ 6, 02 1023 s’int´resse en premier lieu aux r´sultats des ´lections. e e e
  6. 6. donc que, quand on s’int´resse a un syst`me compos´ e ` e ed’un grand nombre de particules, certains concepts (tra-jectoire d’une particule) perdent de leur int´rˆt. Inverse- eement, nous verrons que de nouveaux concepts ´mergent e(par exemple la temp´rature). e 2 Les lois de la physique classique sont r´versibles edans le temps. – En termes math´matiques, si r(t) d´crit la trajec- e e toire d’un corps dans un environnement (c’est a dire ` que r(t) est une solution des ´quations du mouve- e ment), r(−t) est aussi une trajectoire autoris´e. e – Plus prosa¨ ıquement, si l’on filme une exp´rience de e physique classique, et qu’on passe le film a l’envers, ` rien de choquant.Toutefois, la vie est pleine de ph´nom`nes non- e er´versibles. e Par exemple : Battez un œuf pour faire une omelette.Le blanc se m´lange au jaune jusqu’` ce qu’on obtienne e aun m´lange homog`ne. C’est un processus irr´versible e e ecar on n’a jamais vu que, inversement, en “battant a `l’envers” notre m´lange, on reconstitue un jaune s´par´ e e edu blanc. Comment apparaˆ cette irr´versibilit´ macroscopique, ıt e ealors que la physique microscopique sous-jacente est r´-eversible ? – On peut faire des pr´dictions statistiques sur le vote des fran- e c ¸ais, et donc sur le r´sultat du scrutin. e 
  7. 7. Chapitre 2Description d’un syst`me emacroscopique, variables d’´tat eI. Variables d’´tat e et on appelle pression le coefficient de proportionnalit´ e entre surface et force : F = PS. D’autre part, la force estOn va s’int´resser dans ce cours a des e ` orthogonale a la surface : `syst`mes macroscopiques, c’est a dire e `constitu´s d’un grand nombre de parti- ecules. Pour fixer les id´es, commen¸ons e cpar un exemple simple : le gaz contenu Fdans une bouteille (ferm´e). On va sim- eplifier la discussion en consid´rant une e |F| = SP ♥seul esp`ce de gaz (pas de m´lange). e e On a en tˆte de faire subir a notre syst`me des trans- e ` eformations, et de voir comment il r´agit. Pour v´rifier e eles conclusions de nos exp´riences, on demande a des e ` Scoll`gues de les refaire. Il faut donc qu’on leur d´crive e e Il existe plusieurs unit´s pour la pression. L’unit´ du e enotre syst`me. Question : Quelles sont les quantit´s per- e e syst`me international est le Pascal (Pa). etinentes ? 1. volume 1 Pa = 1 N m−2 2. masse On exprime ´galement la pression en “atmosph`res”, e e 3. nombre de moles c’est a dire par rapport a la pression atmosph´rique au ` ` e 4. composition chimique niveau de la mer. 5. forme (g´om´trie) e e 1Atm = 1.013 105 Pa 6. pression ♥ = 1013 hPa (pour les m´t´orologues) ee 7. temp´rature eRemarque : Notez l’´conomie ! On arrive a d´crire notre e ` esyst`me de 1023 particules avec moins de 10 param`tres ! e e Exemple d’application : L’air atmosph´rique (` la e a D´crivons ces quantit´s : e e pression de 1 Atm.) exerce une pouss´e sur la paume de e Volume, masse, nombre de moles composition chi- ma main (de surface ∼ 20cm × 10cm ∼ 200cm2 ). Cettemique et forme, ca doit ˆtre clair pour tout le monde. ¸ e force est orthogonale a ma paume, et de norme : `Notons tout de mˆme que, en g´n´ral, la forme de notre e e esyst`me ne joue aucun rˆle en thermodynamique. e o |F| = PS = 2.10−2 × 105 = 2000 N1) La pression soit le poids d’un objet de 200kg.1 Alors pourquoi ma Lorsqu’un fluide (liquide, gaz, ...) est en contact avec 1 Vous pouvez vous souvenir qu’` la pression atmosph´rique, 1 a eune paroi, il exerce une pouss´e, une force sur cette der- e cm2 est soumis a une force ´quivalente au poids d’un objet de 1 ` eni`re. Plus la paroi est grande, plus la force est grande, e kg.
  8. 8. III.. Variables intensives / extensivesmain ne bouge pas ? – On note que notre syst`me a 3 degr´s de libert´, e e e Parce que une force de mˆme norme, et de sens oppos´ e e c’est a dire qu’il est enti`rement d´crit par trois va- ` e es’exerce sur face de ma main, qui la compense exacte- riables (par exemple P, T , n). Si l’on fixe le nombrement. En plus, le sang a l’int´rieur de la mai est ´gale- ` e e de moles (syst`me ferm´), on peut repr´senter l’´tat e e e ement a la pression atmosph´rique, donc votre peau est ` e du syst`me par un point sur un graphe : esoumise a une force pressante, de norme ´gale a la force ` e ` Ppressante exerc´e par l’air, et de sens oppos´. e e Comment mettre en ´vidence la pression ? Par une dif- ef´rence de pression : e P2 S P1 S ´tat du syst`me e e P1 P2 (P1 − P2 ) S V On retrouve ce principe dans les ventouses, les sph`res e On peut ´videmment tracer le mˆme type de dia- e ede Magdeburg, etc. grammes en utilisant d’autres variables.2) La temp´rature e III. Variables intensives / On a une intuition de ce qu’est la temp´rature (Plus echaud, plus froid). Toutefois, m´fiance : Si vous mettez e extensivesune pi`ce sur un tapis en hiver, et que vous pausez le epied sur la pi`ce, la pi`ce vous paraˆ e e ıtra plus froide que On consid`re deux bouteilles identiques, contenant ele tapis, alors qu’un thermom`tre vous donnera la mˆme e e une mˆme quantit´ de gaz dans le mˆme ´tat (temp´- e e e e etemp´rature pour ces deux objets... e ratures, pressions, etc. ´gales). On joint ces bouteilles : e P, V, T , n P, V, T , nII. ´ Equation d’´tat e Toutes les variables que l’on a cit´es sont-elles ind´- e e bouteille I bouteille IIpendantes ? Non. Par exemple, connaissant l’esp`ce chimique et le e Quelles sont les caract´ristiques de notre nouveau enombre de moles n de gaz, la masse est fix´e. En plus de e gaz dans la bouteille Ices relations triviales, on remarque exp´rimentalement e syst`me e ? gaz dans la bouteille IIque, a volume V, nombre de moles n, temp´rature T ` efix´s, on ne peut pas faire varier la pression. Celle-ci eprend, dans ces conditions, une valeur bien d´termin´e. e e Le volume est 2 fois plus grandAutrement dit, on peut ´crire : e Le nombre de moles est 2 fois plus grand En revanche,  P = f(T, V, n) La densit´ est la mˆme   e e La pression est la mˆme e Remarques :   La temp´rature est la mˆme e e – La fonction f(T, V, n) peut ˆtre d´termin´e exp´ri- e e e e On va donc classer les variables d’´tat en deux e mentalement groupes : – de la relation P = f(T, V, n), on peut tirer les rela- – d’une part, les variables extensives qui se trans- tions : forment comme le volume ou le nombre de moles, – d’autre part les variables intensives qui se trans- V = g(T, P, n) forment comme la densit´, la pression et la tem- e n = h(T, V, P) p´rature. e 
  9. 9. Chapitre 2. Description d’un syst`me macroscopique, variables d’´tat e e Consid´rons maintenant deux bouteilles diff´rentes e e Conclusion : avant de parler de pression, s’assurer quecontenant un mˆme gaz, mais dans des conditions dif- e ca a un sens... Si on a un doute, ca peut ˆtre une bonne ¸ ¸ ef´rentes : e id´e de saucissonner notre syst`me en plusieurs petits e e bouts. P2 , V 2 , T 2 , n 2 P1 , V 1 , T 1 , n 1 2 Les choses se compliquent un peu quand on m´- e lange des gaz (on y reviendra). M´fiance aussi quand le e nombre de moles d’une esp`ce chimique peut varier, ce e bouteille I qui est le cas lors d’une r´action chimique. e bouteille II Que dire du nouveau syst`me ? e V = V 1 + V2 n = n 1 + n2 En revanche, on ne sait a priori rien dire sur lesautres variables. Cette propri´t´ peut ´galement nous ee epermettre de diff´rencier les variables intensives des va- eriables extensives.IV. Quelques remarques 1 Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement sup- e epos´ que les variables d’´tat ´taient bien d´finies dans e e e enotre syst`me. Attention, dans certaines situations, ca e ¸n’est pas le cas (ou au moins, il faut se m´fier) : e - Dans l’oc´an, la pression varie avec la profondeur. eDans ce cas, si on consid`re le syst`me “oc´an”, on ne e e esait pas d´terminer la pression de notre syst`me (en quel e epoint ?). Il apparaˆ alors que notre choix de syst`me ıt en’est pas bien adapt´, et pour s’affranchir de ce pro- ebl`me, on peut d´couper virtuellement notre oc´an en e e efines couches horizontales, suffisamment fines pour quela pression y soit quasiment homog`ne. e - Si on met une claque a notre syst`me, la pression ` evarie a cˆt´ du point d’impact. On arrive donc a une si- ` oe `tuation o`, comme dans l’exemple pr´c´dent, la pression u e en’est pas uniforme, et o` la pression de notre syst`me u en’est pas bien d´termin´e. Deux possibilit´s s’offrent a e e e `nous : – On attend que le syst`me se retrouve dans un ´tat e e d’´quilibre e – On d´coupe virtuellement notre syst`me en petites e e cellules, suffisamment petites pour que la pression et la temp´rature puissent ˆtre consid´r´es comme e e ee homog`nes, et l’on se retrouve dans la mˆme confi- e e guration que dans l’exemple de l’oc´an trait´ pr´c´- e e e e demment. Il faut s’attendre dans ce cas a ce que la ` pression d’une cellule varie avec le temps. 
  10. 10. Chapitre 3´Energie, travail, chaleur, premierprincipe Dans ce chapitre, on va d´crire en d´tail la notion e e avec l’ext´rieur (l’ext´rieur, c’est tout ce qui n’est pas le e ed’´nergie. On va ´galement introduire / rappeler (sui- e e syst`me). Dans ce cas, on peut ´crire : e evant votre cursus) des notions math´matiques qui nous eseront utiles dans la suite, en particulier tout l’attirail de E2 = E1 + Eentrante − Esortanted´rivation-int´gration de fonctions a plusieurs variables. e e ` 2) Les diff´rentes formes d’´nergie e e Il existe plusieurs “formes” d’´nergie. C’est la somme eI. L’´nergie e de toutes ces formes d’´nergie qui se conserve dans un e syst`me isol´ (pas chaque ´nergie ind´pendamment) e e e e1) Introduction Exemples a) On connaˆ depuis le lyc´e l’´nergie cin´tique d’un ıt e e e Le concept d’´nergie est parmi les plus importants et e objet de masse m :les plus utilis´s en physique. On le retrouve dans toutes e `les branches de la physique. A ce sujet, il faut absolument 1lire ce qu’en dit Feynman dans le chapitre 4 de son livre Ec = 2 mv2 ♥de m´canique [1] e Lancez un satellite dans l’espace, loin de toute ´toile et e Pourquoi l’´nergie est un concept si important ? Parce e 1 de toute plan`te. Sa vitesse ne change pas avec le temps eque l’´nergie ob´it a une loi de conservation : e e ` (voir Galil´e). Son ´nergie est donc conserv´e. OK. e e e b) Revenons sur terre, et lˆchons un gravier (notre a L’´nergie d’un syst`me isol´ se conserve e e e ♥ syst`me). Au d´but de sa chute, la vitesse du syst`me e e e est nulle (Ec = 0). Mais lorsque le gravier arrive au sol,Dit autrement : v = 0, Ec = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? ! e e – Prenez un syst`me, aussi compliqu´ que vous voulez, e e Faux ! car notre syst`me a aussi une ´nergie potentielle e e que vous isolez du reste du monde (vous pouvez par due a la pr´sence du champ gravitationnel terrestre : ` e exemple le mettre dans un thermos) – Calculez l’´nergie de votre syst`me et appelez-la E1 e e Ep = mgz – Laissez le syst`me ´voluer selon les d´sirs de la na- e e e ture o` g est l’acc´l´ration gravitationnelle a la surface de la u ee ` – Attendez que tout se calme, et calculez a nouveau ` terre : l’´nergie de votre syst`me. Appelez cette valeur E2 e e g ∼ 9, 8 ms−2 ♥ – constatez que E1 = E2 ! Hosanna ! La conservation de l’´nergie d’un syst`me isol´ est la e e e et z est l’altitude, de sorte que Ec + Ep est conserv´. enotion la plus importante de ce chapitre. C’est la chose V´rification : edont il faut que vous vous souveniez dans 10 ans, quand De la relation fondamentale de la dynamique, et envous aurez tout oubli´ de ce chapitre. e fixant les constantes d’int´gration en donnant les condi- e Attention, il peut y avoir plusieurs pi`ges dans cette e 1 ce qui assure que notre satellite n’est soumis a aucune force, `histoire. Assurez vous que votre syst`me est bien isol´. e e mais rend notre exemple acad´mique, difficilement r´alisable en e eSi ca n’est pas le cas, il faut tenir compte des ´changes ¸ e pratique.
  11. 11. ´ Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principetions initiales z(t = 0) = h ; v(t = 0) = 0 on d´duit les e k est la constante de raideur du ressort, qui donne lerelations (v´rifiez que vous savez les retrouver) : e coefficient de proportionnalit´ entre force appliqu´e sur e e la masse et d´placement de la masse par rapport a sa e ` v(t) = −gt position d’´quilibre : e 1 z(t) = − gt2 + h F = −kx 2 v(z) = − 2g(h − z) On donne a la masse une pichenette. On observe un ` mouvement oscillatoire : v=0 x(t) = xm sin(ωt)Lorsqu’on lˆche le gravier : a 1 h o` ω2 = k/m. u Ec = m × 0 2 = 0 2 x Ep = mgh xmLorsque le gravier arrive ausol : √ v= 2gh 1 Ec = m × 2gz = mgz t 2 Ep = 0 On v´rifie qu’on a bien conservation de l’´nergie to- e e −xmtale... On peut dire que lors du d´placement du gravier, el’´nergie potentielle s’est transform´e en ´nergie cin´- e e e e La vitesse s’annule pour x = ±xm → Ec = 0tique. La vitesse est maximale pour x = 0 → Ec Pour compenser cette variation d’´nergie cin´tique, on e e E invoque la pr´sence d’une ´nergie potentielle. Dans ce e e mgz cas : Ec + Ep = cte 1 Ep = kx2 2 Ec de sorte que Ec + Ep se conserve. Jusque l` ca ressemble a¸ diablement a l’exemple pr´c´dent... Sauf que si on attend ` e e quelques oscillations, on voit que les oscillations s’amor- tissent, et que finalement le ressort s’arrˆte : x = v = 0 e → Ec + Ep = 0. Tiens, l’´nergie n’est pas conserv´e ! ? ! e e Ep On remarque dans ce cas que la temp´rature due syst`me ressort+masse augmente. Comment interpr´ter e e ca ? On va dire que l’´nergie m´canique Em = Ec + Ep ¸ e e h z s’est transform´e sous une nouvelle forme, que l’on ap- e pelle ´nergie thermique parce que reli´e a une variation e e ` de temp´rature. e c) Consid´rons un ressort accroch´ au plafond, avec e e d) On peut continuer cette histoire, et introduireune masse attach´e a son extr´mit´. e ` e e d’autres formes d’´nergie (´nergie du champ ´lectroma- e e e gn´tique, ´nergie de masse E = mc2 , . . . ) e e k II. L’´nergie potentielle e On va s’int´resser ici a l’´nergie potentielle et a son e ` e ` m lien avec la force. En plus de son importance en pra- tique, on va utiliser ce concept pour (re)voir des notions 
  12. 12. II.. L’´nergie potentielle emath´matiques importantes pour la suite : d´riv´es, dif- e e e Num´riquement : ef´rentielles, . . . e Prenons un exemple, la fonction sin(x) autour de x = 1:1) Probl`me ` une dimension e a x sin(x) On consid`re un objet se d´pla¸ant le long d’une droite e e c 1, 000 0, 84147098 . . .(on d´crit sa position par une coordonn´e x), soumis a e e ` 1, 001 0, 84201087 . . .une force F(x). On va d´finir l’´nergie potentielle par la e e 1, 002 0, 84254991 . . .r`gle suivante : e 1, 003 0, 84308810 . . .Lorsqu’un objet se trouve en x, et qu’on le d´place e Calculons maintenant la diff´rence entre deux valeurs ede dx (dx est tr`s petit, infinit´simal), l’´nergie e e e cons´cutives : epotentielle varie de : x sin(x + 0, 001) − sin(x) 1, 000 5, 3988 . . . 10−4 dEp = −F(x)dx (∗) ♥ 1, 001 5, 3904 . . . 10−4 Ep Ep + dEp 1, 002 5, 3820 . . . 10−4 x x + dx x On remarque que les valeurs sont tr`s proches, ce qui e signifie que la fonction sin(x) est presque lin´aire au voi- e Plusieurs questions doivent vous venir en voyant cette sinage de x = 1.d´finition : e On peut ´crire : e – Quel est le sens de cette expression ? sin(1 + dx) − sin(1) 0, 539 dx (†) – Que signifie “dx petit, infinit´simal” pour un physi- e cien ? u o` signifie “` peu pres ´gal a”. En fait, on peut es- a e ` – comment d´terminer la variation d’´nergie poten- e e timer l’erreur commise en approximant la fonction par tielle lorsqu’on d´place l’objet de fa¸on appr´ciable e c e une droite. En effet l’´cart a la lin´arit´ est de l’ordre de e ` e e (pas infinit´simale) ? e −6 10 , c’est a dire de l’ordre de dx . ` 2 2 – Pourquoi choisis-t’on cette d´finition (et pas une e Quelle est la signification du 0, 539 . . . que l’on a d´- e autre) ? termin´ num´riquement ? C’est (` peu pr`s) le coefficient e e a eOn va r´pondre a ces questions s´quentiellement. e ` e directeur de la tangente, c’est a dire la d´riv´e de la fonc- ` e e tion sin(x) en x = 1. V´rification : e Que signifie l’expression (∗) ? D’abord que quand on sed´place tr`s peu, l’´nergie varie lin´airement avec le d´- e e e e e sin (1) = cos(1) = 0, 54030231placement, c’est a dire qu’on peut approximer notre ´ner- ` e Exp´rimentalement, on a d´termin´ la d´riv´e de la fonc- e e e e egie potentielle par une droite au voisinage d’un point. −3 tion avec une pr´cision de 10 , c’est a dire de l’ordre e `Est-ce raisonnable ? de dx (voir la note en bas de page 2 ) Ouvrons une parenth`se e Que se passe-t’il si l’on prend un dx de plus en plus petit ?Graphiquement : – L’´cart a la lin´arit´ (qui se comporte comme dx2 ) e ` e e Ep tend tr`s vite vers z´ro→ la fonction se comporte e e strictement comme une droite quand dx → 0 – Le coefficient de proportionnalit´ que l’on d´termine e e “exp´rimentalement” (voir l’´quation (†)), qui dif- e e f`re de la d´riv´e en x = 1 d’une quantit´ de l’ordre e e e e de dx , tend vers la d´riv´e quand dx → 0. e e On peut donc ´crire : e df = f (x)dx x qui devient une ´galit´ stricte (pas approch´e) quand e e e Dans l’intervalle mis en ´vidence sur le diagramme, e 2 Je vous encourage a v´rifier que l’erreur est de l’ordre de dx 2 ` eil est raisonnable d’approximer notre ´nergie potentielle e en recommen¸ant l’exp´rience avec un dx plus petit (par exemple c epar la droite tangente a la courbe au point x. ` remplacez les 0, 001 par des 0, 0001) et en observant ce qui change. 
  13. 13. ´ Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principedx est infinit´simal (aussi petit que vous voulez). On e A Bappelle cette relation une forme diff´rentielle, ou plus e dEpsimplement une diff´rentielle, ou si il y a un doute la e dxdiff´rentielle de f. e – On somme les dEp sur chaque intervalle : Remarque conceptuelle profonde : la physique est unescience exp´rimentale. On ne peut donc jamais contrˆ- e o Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEpler une quantit´ avec une pr´cision arbitrairement. Pour e enous physiciens, l’op´ration de prise de limite dx → 0 est eabstraite puisqu’elle ne peut jamais ˆtre mise en œuvre e – En prenant dx infinit´simal, on obtient : een pratique3 . Donc pour nous, dx est petit (pas forc´- ement infinit´simal), et suffisamment petit pour que l’er- e xBreur induite par sa finitude soir ind´tectable exp´rimen- e e Ep (xB ) = Ep (xA ) + dEptalement. Ceci r´pond a la deuxi`me question qu’on se e ` e xA xBposait tout a l’heure. Si on franchit le pas de prendre ` = Ep (xA ) − F(x)dxun dx infinit´simal, c’est pour pouvoir faire le lien avec e xAles math´matiques, et utiliser le puissant formalisme des ed´riv´es. e e Ceci r´pond a la troisi`me question soulev´e plus haut. e ` e e Remarque moins subtile : Si on utilise la notation Remarquez que notre d´finition nous permet de d´- e e df terminer l’´nergie potentielle en Ep (xB ) a une constante e ` f (x) = dx pr`s (on n’a acc`s qu’` des diff´rences d’´nergies poten- e e a e ela diff´rentielle s’´crit : e e tielles). Il est donc n´cessaire de compl´ter notre d´fini- e e e tion, en fixant par exemple la valeur de l’´nergie poten- e df tielle en un point. Ce choix est arbitraire. Choisissez ce df = dx dx qui vous arrange le plus, mais une fois que vous avez faitce qui est une forme assez parlante : si on “simplifie par un choix, vous devez vous y tenir !dx” on tombe sur une ´galit´ tr`s simple. Cette expres- e e esion est un bon moyen mn´motechnique pour retrouver e Passons maintenant a la quatri`me question qu’on se ` ela formule de la diff´rentielle, mais attention, du point e posait tout a l’heure. Si l’on fait ce choix de d´finition ` ede vue math´matique, cette simplification par dx n’a e pour l’´nergie potentielle, c’est parce que avec cette d´fi- e eaucun sens ! ! ! nition, on v´rifie que l’´nergie m´canique est conserv´e. e e e e V´rifions-le : e fin de la parenth`se e Revenons a notre d´finition de l’´nergie potentielle. En ` e e Em (v(t), x(t)) = Ec (v(t)) + Ep (x(t))utilisant les conclusions tir´es de la parenth`se, elle nous e edit finalement que : dEp (x) F(x) = −Ep (x) = − (‡) dEm (v(t), x(t)) Ec (v(t)) Ep (x(t)) dx = + dt dt dtforme qui doit vous ˆtre plus famili`re. Connaissant e e Ec (v(t)) dv(t) Ep (x(t)) dx(t)l’´nergie potentielle, on en d´duit la force par d´rivation. e e e = + dv(t) dt dx(t) dt Consid´rons maintenant le probl`me inverse. Connais- e e =a × mv + v × (−F)sant la force F(x), comment en d´duit-on l’´nergie poten- e etielle ? Si on connaˆ l’´nergie potentielle en xA , on en ıt e =v(ma − F)d´duit l’´nergie potentielle en xB de la fa¸on suivante : e e c =0 – On d´coupe l’intervalle [xA , xB ] en petits intervalles e de taille dx o` l’on a utilis´ dans la derni`re ligne la relation fonda- u e e 3 Les gens qui travaillent sur la “gravitation quantique” pensent mentale de la dynamique et pour la 3o ligne l’expressiond’ailleurs que, a des distances de l’ordre de 10−35 m, notre espace `a une structure tellement biscornue que l’on ne peut plus d´river` e de Ec et l’´quation (‡). Avec notre d´finition de l’´nergie e e eaussi facilement . . . potentielle, l’´nergie m´canique est conserv´e ! ! ! e e e 
  14. 14. II.. L’´nergie potentielle e R´sum´ e e D´finition : dEp = −F(x)dx e d’o` l’on tire : u F(x) = −Ep (x) ♥ xB Ep (xB ) − Ep (xA ) = − F(x)dx xA Il faut se fixer une origine des ´nergies (par exemple e Ep (xA ) = 0) pour en d´duire Ep (xB ) e On voit que dans le voisinage du point o` l’on a consi- u d´r´ le plan tangent, il est tr`s raisonnable d’approximer ee e la fonction par un plan.2) Probl`me ` deux dimensions e a Connaissant l’´nergie potentielle, comment en d´duit- e e on la force ? Si on se d´place le long de l’axe des x uni- e On va maintenant g´n´raliser la discussion pr´c´dente e e e e quement (dy = 0), on se retrouve dans le cas unidimen-au cas d’un objet se d´pla¸ant dans un plan (position e c sionnel (comparez nos d´finitions de l’´nergie potentielle e ed´termin´e par 2 coordonn´es x et y). Contraintes : e e e dans le cas unidimensionnel, et dans le cas bidimension- nel avec dy = 0). Donc : Fx = −d´riv´e de Ep par rap- e e – Remplacer dx par dr port a x en gardant y fixe. Remarquez que c’est mainte- ` dEp – Remplacer F(x) par F(r) nant tr`s ambigu d’´crire e e pour la d´riv´e puisque e e dx – Lorsqu’on varie une seule coordonn´e, on doit re- e 5 dEp d´pend de deux variables Pour ´viter cette ambi- e e trouver les r´sultats pr´c´dents. e e e gu¨ e, on introduit une nouvelle notation : les ∂ (on dit ıt´ le “d rond” oppos´ au d qu’on appelle le “d droit”) e Tout naturellement, notre nouvelle d´finition de l’´ner- e egie potentielle est : On note ∂Ep ∂x y ♥ x la d´riv´e de Ep par rapport a x en gardant y fix´. e e ` e lorsque l’objet se trouve en r = , et qu’on le y p ∂E dx Tr`s souvent, on notera uniquement ∂x quand ca e ¸ d´place de dr = e (dr est tr`s petit, infinit´- e e n’est pas ambigu. Avec notre nouvelle notation : dy simal), l’´nergie potentielle varie de : e ♥ ∂Ep Fx = − dEp = −F(r) · dr ∂x y = −Fx (r) · dx − Fy (r) · dy On trouve de la mˆme fa¸on : e c ∂Ep Fy = − ∂y x La relation pr´c´dente signifie que, au voisinage du e epoint r, l’´nergie potentielle varie lin´airement avec dx et e e On va introduire une derni`re notation tr`s utile : le e eavec dy. Ca signifie que, au voisinage de r, on approxime ¸ gradient . Le gradient est un “vecteur” dont les coor-Ep (r) par un plan :4 le plan tangent a la courbe. Sur ` donn´es sont des op´rations de d´rivation : e e ele diagramme suivant, j’ai repr´sent´ une fonction a 2 e e ` ∂variables (surface avec traits pleins) et le plan tangent a` = ∂x ∂cette fonction (surface avec pointill´s). e ∂y Ainsi ∂f f= ∂x ∂f ∂y 5 Regardez ce a quoi ressemblerait notre d´finition dans le cas ` e ˆ 4 Etes-vous convaincus de ¸a ? Si non, r´fl´chissez-y, faites des c e e bidimensionnel si on “divisait” par dx, et observez que ¸a ne donne cdessins... pas du tout ce qu’on voudrait. 
  15. 15. ´ Chapitre 3. Energie, travail, chaleur, premier principeet l’on peut donc ´crire F = − Ep . e – En prenant dr infinit´simal, on obtient : e Remarque tr`s importante pour la suite : si l’on rem- e rBplace, dans notre d´finition de l’´nergie potentielle Fx et e e Ep (xB ) = Ep (xA ) + dEpde Fy par leurs expressions en terme de d´riv´es de Ep , e e rA rBon trouve : = Ep (rA ) − F(r) · dr rA ∂Ep ∂Ep dEp = dx + dy ∂x ∂y = Ep · dr III. Le travailCette expression est vraie pour toute fonction a deux va- ` 1) Introductionriables (pas uniquement pour l’´nergie potentielle). Dans e Dans tout ce qui pr´c`de, on a implicitement suppos´ e e ela suite, on va utiliser cette relation dans tous les sens. que a toute force on peut associer une ´nergie potentielle. ` eIl faut absolument comprendre la signification Mais ca n’est pas toujours le cas. Par exemple la force ¸de cette relation ! de frottement visqueux subi par un solide qui se d´place e lentement dans l’eau : F = −αv ne peut pas ˆtre obtenue e Avec notre d´finition de l’´nergie potentielle, l’´nergie e e e en faisant −d/dx de quelque chose. Il faut donc bienm´canique est conserv´e. V´rification : e e e distinguer : – Les forces conservatives (toutes les forces ´l´men- ee dEm dEc dEp taires) qui d´coulent d’une ´nergie potentielle. e e = + dt dt dt – Les forces non-conservatives (typiquement les forces dvx ∂Ec dx ∂Ep de frottement) qui ne d´coulent pas d’une ´nergie. e e + dt ∂x + = dt y∂vx c dv ∂E + dy ∂Ep Pour ces derni`res, on introduit le concept de travail, e dt ∂vy dt ∂y qui est le petit fr`re de l’´nergie potentielle (comparez e e = m(vx ax + vy ay ) + (−vx Fx − vy Fy ) l’encadr´ qui suit a celui qui pr´c`de) e ` e e = v(ma − F) Lorsqu’on se d´place de dx (petit, infinit´simal), le e e =0 travail de la force F est (notez le signe !) :Cette d´monstration est compl`tement similaire a celle e e ` δW = Fdxqu’on a fait dans le cas unidimensionnel. Pour un d´placement fini, e ♥ B Connaissant la force, comment trouver l’´nergie po- e WA→B = F dxtentielle ? On va suivre la mˆme d´marche que dans le e e Acas unidimensionnel : – On choisit un chemin allant de A a B ` L’´nergie potentielle n’existe que pour les forces e – On d´coupe le chemin en petits intervalles de taille e conservatives. En revanche, on peut calculer le travail dr aussi bien pour une force conservative que pour une B force non-conservative. Remarquez que pour une force conservative, le travail prend une forme particuli`rement e simple : dEp WA→B = Ep (A) − Ep (B) (§) dr 2) Quelques propri´t´s e e Trois questions (au moins) se posent : A 1 Quelle est la diff´rence avec ce qu’on a fait pour e les forces conservatives ? Quoi de neuf ? – On somme les dEp sur chaque intervalle : 2 Pourquoi cette notation ´trange δW ? e 3 Pourquoi introduit-on cette quantit´ ? Quelle signi- e Ep (xB ) = Ep (xA ) + somme des dEp fication ? Quel int´rˆt ? ee 

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