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Journée Internationale des Mathématiques 2019
Autour de Temple Run 2
Clément Boulonne (CBMaths)
14 mars 2019
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 1/52
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 2/52
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 3/52
Introduction
Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur
téléphone mobile :  Temple Run 2 .
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
Introduction
Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur
téléphone mobile :  Temple Run 2 .
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
Introduction
Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur
téléphone mobile :  Temple Run 2 .
Le but du jeu est de courir pour échapper à un monstre dont on lui a
volé une idole dans son antre.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
Introduction
Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur
téléphone mobile :  Temple Run 2 .
Le but du jeu est de courir pour échapper à un monstre dont on lui a
volé une idole dans son antre.
Courir, courir et éviter les obstacles qui sont devant vous : précipices,
rochers, piques, cascade d'eau...
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
Introduction
Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur
téléphone mobile :  Temple Run 2 .
Le but du jeu est de courir pour échapper à un monstre dont on lui a
volé une idole dans son antre.
Courir, courir et éviter les obstacles qui sont devant vous : précipices,
rochers, piques, cascade d'eau...
Dans cette présentation, nous allons nous intéresser à quelques
aspects du jeu et inventer quelques problèmes mathématiques
autour de ceux-ci.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
Calcul de vitesse de course
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
2 Obtenir le core au trésor
3 Achat du bonus  Vitesse 
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 5/52
Calcul de vitesse de course
Objectif du jour
L'objectif du jour s'ache dans le menu et m'indique que je dois
courir 10000 mètres avant ce soir.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 6/52
Calcul de vitesse de course
Objectif du jour
L'objectif du jour s'ache dans le menu et m'indique que je dois
courir 10000 mètres avant ce soir.
10000 mètres ou 10 kilomètres!!!
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 6/52
Calcul de vitesse de course
Objectif du jour
L'objectif du jour s'ache dans le menu et m'indique que je dois
courir 10000 mètres avant ce soir.
10000 mètres ou 10 kilomètres!!!
En combien de temps vais-je parcourir les 10000 kilomètres?
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 6/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 7/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, dans la vraie vie
Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse
de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en :
1. sérieusement
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, dans la vraie vie
Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse
de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en :
Distance (en km) 6,5 10
Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
1. sérieusement
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, dans la vraie vie
Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse
de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en :
Distance (en km) 6,5 10
Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
1. sérieusement
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, dans la vraie vie
Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse
de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en :
Distance (en km) 6,5 10
Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
Heu non, pardon! En 1 heure, 31 minutes et 48 secondes environ. Soit
1 heures 30 de marche donc.
1. sérieusement
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, dans la vraie vie
Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse
de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en :
Distance (en km) 6,5 10
Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
Heu non, pardon! En 1 heure, 31 minutes et 48 secondes environ. Soit
1 heures 30 de marche donc.
Il faudrait donc 1 heure 30 de jeu pour terminer les 10 kilomètres pour
l'objectif journalier.
1. sérieusement
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, dans la vraie vie
Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse
de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en :
Distance (en km) 6,5 10
Temps (en h) 1 t
6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t =
10
6,5
≈ 1,53 h.
en 1,53 heures!!
Heu non, pardon! En 1 heure, 31 minutes et 48 secondes environ. Soit
1 heures 30 de marche donc.
Il faudrait donc 1 heure 30 de jeu pour terminer les 10 kilomètres pour
l'objectif journalier.
Si on complète l'objectif journalier, on peut avoir des récompenses en pièces
d'or et en gemmes.
1. sérieusement
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, sur Temple Run 2
Sauf que dans  Temple Run 2 , le personne qu'on contrôle court!
Donc la vitesse est au moins doublée par rapport à de la marche
 sportive 2
2. que je pratique quasi quotidiennement !
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 9/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
sur 10000 mètres, sur Temple Run 2
Sauf que dans  Temple Run 2 , le personne qu'on contrôle court!
Donc la vitesse est au moins doublée par rapport à de la marche
 sportive 2
Alors, en combien de temps vais-je parcourir les 10000 kilomètres
dans le jeu Temple Run 2 ?
2. que je pratique quasi quotidiennement !
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 9/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Quelques mesures
On se place dans l'environnement  Sky Summit  avec le personnage
 Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en
contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Quelques mesures
On se place dans l'environnement  Sky Summit  avec le personnage
 Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en
contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements.
Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase
d'accélération du personnage;
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Quelques mesures
On se place dans l'environnement  Sky Summit  avec le personnage
 Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en
contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements.
Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase
d'accélération du personnage;
ensuite, chaque kilomètre se fait en 30 secondes.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Quelques mesures
On se place dans l'environnement  Sky Summit  avec le personnage
 Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en
contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements.
Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase
d'accélération du personnage;
ensuite, chaque kilomètre se fait en 30 secondes.
Si on fait un rapide calcul, on obtient :
t10 000 = 45 + 9 × 30 = 315 s,
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Quelques mesures
On se place dans l'environnement  Sky Summit  avec le personnage
 Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en
contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements.
Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase
d'accélération du personnage;
ensuite, chaque kilomètre se fait en 30 secondes.
Si on fait un rapide calcul, on obtient :
t10 000 = 45 + 9 × 30 = 315 s,
soit 5 minutes et 15 secondes.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Calcul de vitesse
La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc :
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Calcul de vitesse
La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc :
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,
ce qui nous fait du :
31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Calcul de vitesse
La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc :
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,
ce qui nous fait du :
31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h.
Conclusion : la vitesse moyenne du personnage dans le jeu est de
114,3 km/h.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Calcul de vitesse
La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc :
V =
D
T
=
10000
315
≈ 31,75 m/s,
ce qui nous fait du :
31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h.
Conclusion : la vitesse moyenne du personnage dans le jeu est de
114,3 km/h.
Conclusion sur les valeurs trouvées
Au vu des résultats trouvées (vitesse moyenne de course de 114,3 km/h),
on peut conclure que le jeu est irréaliste.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Quelques remarques
Boost de vitesse
Le temps de parcours a été calculé sans prendre en compte les boosts de
vitesse disséminés tout au long du parcours. Le boost de vitesse accélère
d'un facteur 2 le jeu pendant 500 mètres.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 12/52
Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres
Quelques remarques
Boost de vitesse
Le temps de parcours a été calculé sans prendre en compte les boosts de
vitesse disséminés tout au long du parcours. Le boost de vitesse accélère
d'un facteur 2 le jeu pendant 500 mètres.
Trébuchements
Tout au long du parcours, des obstacles se dressent devant nous. Si on
touche un des obstacles (exceptés ravins, cascades et piques), on trébuche.
Quand on trébuche, notre vitesse est réinitialisée et le monstre qui nous
poursuit apparaît à l'écran pour nous réduire la visibilité du parcours. Si on
trébuche une seconde fois alors que le monstre est toujours à l'écran, il
nous attrape pour nous dévorer (ce qui sonne la n de la partie).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 12/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 13/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation
Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de
vitesse ni trébuchements.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation
Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de
vitesse ni trébuchements.
On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la
vitesse moyenne n'est pas constante.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation
Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de
vitesse ni trébuchements.
On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la
vitesse moyenne n'est pas constante.
Cela vient du fait que la première partie de course (les 1000 premiers
mètres) se parcourt en un temps plus long que les autres parties. On
en dira plus à la n de cette section.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation
Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de
vitesse ni trébuchements.
On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la
vitesse moyenne n'est pas constante.
Cela vient du fait que la première partie de course (les 1000 premiers
mètres) se parcourt en un temps plus long que les autres parties. On
en dira plus à la n de cette section.
Si on voulait modéliser cette situation pour calculer la vitesse moyenne
pour un parcours de x mètres, on utilise ce que l'on appelle une
fonction dénie par morceaux.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation
Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de
vitesse ni trébuchements.
On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la
vitesse moyenne n'est pas constante.
Cela vient du fait que la première partie de course (les 1000 premiers
mètres) se parcourt en un temps plus long que les autres parties. On
en dira plus à la n de cette section.
Si on voulait modéliser cette situation pour calculer la vitesse moyenne
pour un parcours de x mètres, on utilise ce que l'on appelle une
fonction dénie par morceaux.
On va dans un premier temps dénir la fonction D qui donne la
distance parcourue (en mètres) au bout de t secondes de jeu (t  0).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de
boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt
1000 mètres en 30 secondes.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de
boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt
1000 mètres en 30 secondes.
Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de
boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt
1000 mètres en 30 secondes.
Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes.
Soit D3 la fonction dénie sur [45; +∞[ donnant la distance
parcourue après t secondes de jeu (t  45).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de
boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt
1000 mètres en 30 secondes.
Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes.
Soit D3 la fonction dénie sur [45; +∞[ donnant la distance
parcourue après t secondes de jeu (t  45).
D3 est une fonction ane (vitesse constante) telle que D3(45) = 1000
et D3(75) = 2000.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de
boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt
1000 mètres en 30 secondes.
Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes.
Soit D3 la fonction dénie sur [45; +∞[ donnant la distance
parcourue après t secondes de jeu (t  45).
D3 est une fonction ane (vitesse constante) telle que D3(45) = 1000
et D3(75) = 2000.
On cherche donc les coecients a et b tels que D3(t) = at + b sur
l'intervalle [45; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
On cherche donc les coecients a et b tels que f (t) = at + b sur
l'intervalle [45; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 16/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
On cherche donc les coecients a et b tels que f (t) = at + b sur
l'intervalle [45; +∞[.
On peut utiliser les propriétés des fonctions anes.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 16/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Après 1000 mètres
On cherche donc les coecients a et b tels que f (t) = at + b sur
l'intervalle [45; +∞[.
On peut utiliser les propriétés des fonctions anes.
Détermination des coecients, fonction ane
On munit le plan d'un repère orthonormé (O,#»
ı ,#»
 ) et soit A (xA ; yA) et
B (xB ; yB) deux points distincts de ce plan. La droite passant par les
points A et B est la courbe représentative d'une fonction ane f telle que
f (x) = ax + b avec :
a =
yB − yA
xB − xA
et b = yA − axA = yB − axB.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 16/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
a =
yB − yA
xB − xA
et b = yA − axA = yB − axB.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 17/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
a =
yB − yA
xB − xA
et b = yA − axA = yB − axB.
On a ainsi :
a =
2000 − 1000
75 − 45
=
1000
30
=
100
3
.
et b = 1000 − 1000 ×
3
2
= −
1000
2
= −500.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 17/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
a =
yB − yA
xB − xA
et b = yA − axA = yB − axB.
On a ainsi :
a =
2000 − 1000
75 − 45
=
1000
30
=
100
3
.
et b = 1000 − 1000 ×
3
2
= −
1000
2
= −500.
Conclusion : D3(t) =
100
3
t − 500 sur [45; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 17/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Les 1000 premiers mètres
Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers
mètres, il nous faut d'autres mesures :
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Les 1000 premiers mètres
Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers
mètres, il nous faut d'autres mesures :
on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes
(12 secondes par 250 mètres).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Les 1000 premiers mètres
Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers
mètres, il nous faut d'autres mesures :
on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes
(12 secondes par 250 mètres).
on parcourt les 250 mètres suivants en 9 secondes.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Les 1000 premiers mètres
Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers
mètres, il nous faut d'autres mesures :
on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes
(12 secondes par 250 mètres).
on parcourt les 250 mètres suivants en 9 secondes.
Si on fait l'addition des temps sur les tronçons de 250 mètres, on
obtient bien :
t1 000 = 3 × 12 + 9 = 36 + 9 = 45 s,
ce qui valide notre temps mesuré lors des premières mesures.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Les 1000 premiers mètres
Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers
mètres, il nous faut d'autres mesures :
on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes
(12 secondes par 250 mètres).
on parcourt les 250 mètres suivants en 9 secondes.
Si on fait l'addition des temps sur les tronçons de 250 mètres, on
obtient bien :
t1 000 = 3 × 12 + 9 = 36 + 9 = 45 s,
ce qui valide notre temps mesuré lors des premières mesures.
On va devoir découper l'intervalle [0; 45] en deux : sur [0; 36], on
court à une vitesse constante et sur l'intervalle [36; 45], on a une
croissance de la vitesse (accélération).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [0; 36]
Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en
fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [0; 36]
Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en
fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane.
La fonction est même linéaire car sa courbe représentative (une droite)
passe par le point (0; 0).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [0; 36]
Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en
fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane.
La fonction est même linéaire car sa courbe représentative (une droite)
passe par le point (0; 0).
On peut ainsi déterminer le coecient de la fonction si on remarque
que la courbe représentative passe par le point (36; 750) :
a =
750
36
=
125
6
.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [0; 36]
Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en
fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane.
La fonction est même linéaire car sa courbe représentative (une droite)
passe par le point (0; 0).
On peut ainsi déterminer le coecient de la fonction si on remarque
que la courbe représentative passe par le point (36; 750) :
a =
750
36
=
125
6
.
Conclusion : la fonction qui modélise le temps de parcours en fonction
de la distance est la fonction D1(t) =
125t
6
dénie sur l'intervalle
[0; 36].
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [36; 45]
FFF
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 20/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [36; 45]
FFF
Sur l'intervalle [36; 45], on va procéder à un raccordement C1,
c'est-à-dire une fonction D2 dénie sur l'intervalle [36; 45] et telle
que : 










D2(36) = 125
6 × 36 = 750
D0
2(36) = 125
6
D2(45) = 1000
D0
2(45) = 100
3
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 20/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [36; 45]
FFF
Sur l'intervalle [36; 45], on va procéder à un raccordement C1,
c'est-à-dire une fonction D2 dénie sur l'intervalle [36; 45] et telle
que : 










D2(36) = 125
6 × 36 = 750
D0
2(36) = 125
6
D2(45) = 1000
D0
2(45) = 100
3
On fait donc une interpolation polynomiale, la fonction D2 admet 4
conditions donc son expression est,  au minimum , un polynôme de
degré 3. Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels
que :
D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 20/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [36; 45]
Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que :
D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 21/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [36; 45]
Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que :
D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.
On donne la dérivée de la fonction D2(t) en fonction de a, b, c et d :
D0
2(t) = 3at2
+ 2bt + c.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 21/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [36; 45]
Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que :
D2(t) = at3
+ bt2
+ ct + d.
On donne la dérivée de la fonction D2(t) en fonction de a, b, c et d :
D0
2(t) = 3at2
+ 2bt + c.
Les coecients a, b, c et d vérient le système d'équations suivant :











a × 363 + b × 362 + c × 36 + d = 750
a × 453 + b × 452 + c × 45 + d = 1000
3a × 362 + 2b × 36 + c = 125
6
3a × 452 + 2b × 45 + c = 100
3
⇔











46656a + 1296b + 36c + d = 750
91125a + 2025b + 45c + d = 1000
3888a + 72b + c = 125
6
6075a + 90b + c = 100
3 .
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 21/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [0,75; 1]
La solution du système donnée par le site WolframAlpha
(https://www.wolframalpha.com/) est la suivante :











a = − 25
1 458
b = 25
9
c = −225
2
d = 2000
; D2(t) = −
25
1458
t3
+
25
9
t2
−
225
2
t + 2000.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 22/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Modélisation sur l'intervalle [0,75; 1]
La solution du système donnée par le site WolframAlpha
(https://www.wolframalpha.com/) est la suivante :











a = − 25
1 458
b = 25
9
c = −225
2
d = 2000
; D2(t) = −
25
1458
t3
+
25
9
t2
−
225
2
t + 2000.
Conclusion : la fonction modélisant la distance parcourue au bout de t
secondes de jeu est la fonction D dénie sur [0; +∞[ de la manière
suivante :
f (x) :=





D1(x) = 125t
6 si x ∈ [0; 36]
D2(x) = − 25
1 458t3 + 25
9 t2 − 225
2 t + 2000 si x ∈ [36; 45]
D3(x) = 100t
3 − 500 si x ∈ [45; +∞[
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 22/52
Calcul de vitesse de course Généralisation
Tracé de la courbe représentative
On obtient ainsi CD la courbe représentative de la fonction D sur
l'intervalle [0; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 23/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 24/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
On s'intéresse à l'évolution de la vitesse moyenne tout au long du
parcours de notre fugitif.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 25/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
On s'intéresse à l'évolution de la vitesse moyenne tout au long du
parcours de notre fugitif.
On a vu, dans la partie précédente, que l'expression de la fonction
modélisant la distance parcourue par rapport au temps est diérente
sur trois intervalles donc ce n'est pas une fonction ane.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 25/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
On s'intéresse à l'évolution de la vitesse moyenne tout au long du
parcours de notre fugitif.
On a vu, dans la partie précédente, que l'expression de la fonction
modélisant la distance parcourue par rapport au temps est diérente
sur trois intervalles donc ce n'est pas une fonction ane.
La vitesse moyenne à l'instant t  0 correspond au coecient
directeur de la droite passant par les points (0,0) et (t,D(t)). Elle est
donnée par la formule :
VM(t) =
D(t) − D(0)
t − 0
=
D(t)
t
.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 25/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi
l'expression de VM :
VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi
l'expression de VM :
VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,
puis la dérivée V 0
M de la fonction VM :
V 0
M(t) =
500
t2
.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi
l'expression de VM :
VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,
puis la dérivée V 0
M de la fonction VM :
V 0
M(t) =
500
t2
.
Comme t2  0 pour tout t ∈ [45; +∞[, la fonction dérivée V 0
M est
positive sur [45; +∞[ et donc la fonction VM est croissante sur
[45; +∞[.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi
l'expression de VM :
VM(t) =
D(t)
t
=
D3(t)
t
=
100t
3 − 500
t
=
100
3
−
500
t
,
puis la dérivée V 0
M de la fonction VM :
V 0
M(t) =
500
t2
.
Comme t2  0 pour tout t ∈ [45; +∞[, la fonction dérivée V 0
M est
positive sur [45; +∞[ et donc la fonction VM est croissante sur
[45; +∞[.
On peut aussi s'intéresser à la limite de la fonction VM :
` = lim
t→+∞
VM(t) = lim
t→+∞
100
3
−
500
t
=
100
3
car lim
t→+∞
−
500
t
= 0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
La courbe représentative de la fonction VM sur [45; +∞[ est
l'hyperbole tracée ci-dessous :
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 27/52
Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne
Évolution de la vitesse moyenne
La courbe représentative de la fonction VM sur [45; +∞[ est
l'hyperbole tracée ci-dessous :
Voilà! Maintenant, vous savez tout sur comment a été programmé la
vitesse de course du fugitif dans Temple Run 2.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 27/52
Obtenir le core au trésor
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
2 Obtenir le core au trésor
3 Achat du bonus  Vitesse 
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 28/52
Obtenir le core au trésor Le problème
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 29/52
Obtenir le core au trésor Le problème
Obtenir le core au trésor
Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
Obtenir le core au trésor Le problème
Obtenir le core au trésor
Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course.
Ces cores sont à une hauteur h du sol.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
Obtenir le core au trésor Le problème
Obtenir le core au trésor
Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course.
Ces cores sont à une hauteur h du sol.
Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit
une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la
trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la
hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
Obtenir le core au trésor Le problème
Obtenir le core au trésor
Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course.
Ces cores sont à une hauteur h du sol.
Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit
une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la
trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la
hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core).
Le fugitif attrape le core s'il atteint 60 % de la hauteur maximale du
saut.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
Obtenir le core au trésor Le problème
Obtenir le core au trésor
Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course.
Ces cores sont à une hauteur h du sol.
Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit
une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la
trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la
hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core).
Le fugitif attrape le core s'il atteint 60 % de la hauteur maximale du
saut.
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
Obtenir le core au trésor Le problème
Obtenir le core au trésor
Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course.
Ces cores sont à une hauteur h du sol.
Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit
une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la
trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la
hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core).
Le fugitif attrape le core s'il atteint 60 % de la hauteur maximale du
saut.
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.
À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour
que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor?
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 31/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que
la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être
modélisée par une fonction du second degré :
S(x) = ax2
+ bx + c.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que
la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être
modélisée par une fonction du second degré :
S(x) = ax2
+ bx + c.
Le coureur est au niveau du sol à d0 mètres du départ et atterit de
nouveau sur le sol à d0 + 40 mètres.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que
la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être
modélisée par une fonction du second degré :
S(x) = ax2
+ bx + c.
Le coureur est au niveau du sol à d0 mètres du départ et atterit de
nouveau sur le sol à d0 + 40 mètres.
De plus, la trajectoire de la parabole atteint son maximum h en
d0 + 20.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que
la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être
modélisée par une fonction du second degré :
S(x) = ax2
+ bx + c.
Le coureur est au niveau du sol à d0 mètres du départ et atterit de
nouveau sur le sol à d0 + 40 mètres.
De plus, la trajectoire de la parabole atteint son maximum h en
d0 + 20.
On a donc trois images de la fonction S :





S(d0) = 0
S(d0 + 20) = h
S(d0 + 40) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Pour que la modélisation soit cohérente, on peut noter Sd0 la fonction
dénie sur [d0 ; d0 + 40] et telle que :





Sd0(d0) = 0
Sd0(d0 + 20) = h
Sd0(d0 + 40) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 33/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Pour que la modélisation soit cohérente, on peut noter Sd0 la fonction
dénie sur [d0 ; d0 + 40] et telle que :





Sd0(d0) = 0
Sd0(d0 + 20) = h
Sd0(d0 + 40) = 0.
On peut xer la valeur d0 = 0 en remarquant que la trajectoire du
saut en un instant d0 quelconque peut se déduire par une translation
de la trajectoire du saut en l'instant 0. Soit donc à interpoler la
fonction suivante : 




S0(0) = 0
S0(20) = h
S0(40) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 33/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le
polynôme s'écrit de la manière suivante :
S0(d) = αd(d − 40).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le
polynôme s'écrit de la manière suivante :
S0(d) = αd(d − 40).
On cherche donc α tel que S(20) = h. On a :
S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = −
h
400
.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le
polynôme s'écrit de la manière suivante :
S0(d) = αd(d − 40).
On cherche donc α tel que S(20) = h. On a :
S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = −
h
400
.
Ainsi :
S0(d) = −
h
400
× d × (d − 40)
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le
polynôme s'écrit de la manière suivante :
S0(d) = αd(d − 40).
On cherche donc α tel que S(20) = h. On a :
S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = −
h
400
.
Ainsi :
S0(d) = −
h
400
× d × (d − 40)
et les translatées horizontales (pour d0  0) sont de la forme :
Sd0(d) = −
h
400
× (d − d0) × (d − d0 − 40).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
Obtenir le core au trésor Modélisation du saut
Modélisation du saut
Sur la gure suivante, on a tracé les courbes représentatives des fonctions
S0, S10, S20 et S30 en prenant comme valeur h = 2.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 35/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 36/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.
À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour
que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor?
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.
À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour
que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor?
On cherche donc d tel que S0(d)  60
100h. On résout l'équation :
S0(d) =
60
100
h ⇔ −
h
400
d(d−40) =
60h
100
⇔
−h
400
d2
+
40h
400
d−
60
100
h = 0
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.
À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour
que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor?
On cherche donc d tel que S0(d)  60
100h. On résout l'équation :
S0(d) =
60
100
h ⇔ −
h
400
d(d−40) =
60h
100
⇔
−h
400
d2
+
40h
400
d−
60
100
h = 0
⇔ −
h
400
d2
+
−h
400
(−40d) +
−h
400
× 240 = 0
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à
1000 mètres du départ.
À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour
que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor?
On cherche donc d tel que S0(d)  60
100h. On résout l'équation :
S0(d) =
60
100
h ⇔ −
h
400
d(d−40) =
60h
100
⇔
−h
400
d2
+
40h
400
d−
60
100
h = 0
⇔ −
h
400
d2
+
−h
400
(−40d) +
−h
400
× 240 = 0
⇔ −
h
400
(d2 − 40d + 240) = 0 .
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Comme −
h
400
est diérent de 0 (car h  0), on se retrouve à résoudre
l'équation suivante :
d2
− 40d + 240 = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Comme −
h
400
est diérent de 0 (car h  0), on se retrouve à résoudre
l'équation suivante :
d2
− 40d + 240 = 0.
On calcule le discriminant de l'équation :
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640  0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Comme −
h
400
est diérent de 0 (car h  0), on se retrouve à résoudre
l'équation suivante :
d2
− 40d + 240 = 0.
On calcule le discriminant de l'équation :
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640  0.
√
∆ =
√
640 =
√
8 × 8 × 10 = 8
√
10.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Comme −
h
400
est diérent de 0 (car h  0), on se retrouve à résoudre
l'équation suivante :
d2
− 40d + 240 = 0.
On calcule le discriminant de l'équation :
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640  0.
√
∆ =
√
640 =
√
8 × 8 × 10 = 8
√
10.
On a donc deux solutions à l'équation :
d1 =
40 − 8
√
10
2
= 20− 4
√
10 et d2 =
40 + 8
√
10
2
= 20+ 4
√
10.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Résolution
Comme −
h
400
est diérent de 0 (car h  0), on se retrouve à résoudre
l'équation suivante :
d2
− 40d + 240 = 0.
On calcule le discriminant de l'équation :
∆ = (−40)2
− 4 × 240 = 1600 − 960 = 640  0.
√
∆ =
√
640 =
√
8 × 8 × 10 = 8
√
10.
On a donc deux solutions à l'équation :
d1 =
40 − 8
√
10
2
= 20− 4
√
10 et d2 =
40 + 8
√
10
2
= 20+ 4
√
10.
Ainsi, entre la position d1 = 20 − 4
√
10 et d2 = 20 + 4
√
10,
le fugitif peut rattraper le core.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Conclusion nale
Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Conclusion nale
Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10
⇔ d0 = 980 + 4
√
10 ≈ 992,65 m.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Conclusion nale
Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10
⇔ d0 = 980 + 4
√
10 ≈ 992,65 m.
Ainsi, le point (1000; 6h
10 ) appartient à la courbe représentative de la
fonction S992,645, il faudra donc sauter au maximum à 992,65 mètres
après le ligne de départ pour pouvoir obtenir le core qui se situe à
1000 mètres du départ.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
Obtenir le core au trésor Résolution
Conclusion nale
Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4
√
10) = 1000. Soit :
d0 + (20 − 4
√
10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4
√
10
⇔ d0 = 980 + 4
√
10 ≈ 992,65 m.
Ainsi, le point (1000; 6h
10 ) appartient à la courbe représentative de la
fonction S992,645, il faudra donc sauter au maximum à 992,65 mètres
après le ligne de départ pour pouvoir obtenir le core qui se situe à
1000 mètres du départ.
Sur la gure suivante, on a pris la valeur h = 2 et 6h
10 = 1,2.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
Achat du bonus  Vitesse 
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
2 Obtenir le core au trésor
3 Achat du bonus  Vitesse 
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 40/52
Achat du bonus  Vitesse  Le problème
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 41/52
Achat du bonus  Vitesse  Le problème
Achat du bonus  Vitesse 
Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets
tels que des masques ou des reliques.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
Achat du bonus  Vitesse  Le problème
Achat du bonus  Vitesse 
Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets
tels que des masques ou des reliques.
Un masque rapporte 3 gemmes et une relique (plus rare) 7 gemmes.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
Achat du bonus  Vitesse  Le problème
Achat du bonus  Vitesse 
Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets
tels que des masques ou des reliques.
Un masque rapporte 3 gemmes et une relique (plus rare) 7 gemmes.
Avec 25 gemmes, on peut s'acheter le bonus  Vitesse  qui nous
permettra (avec un nombre de pièces susant pendant la course),
courir 2 fois plus vite sur une distance de 250 mètres.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
Achat du bonus  Vitesse  Le problème
Achat du bonus  Vitesse 
Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets
tels que des masques ou des reliques.
Un masque rapporte 3 gemmes et une relique (plus rare) 7 gemmes.
Avec 25 gemmes, on peut s'acheter le bonus  Vitesse  qui nous
permettra (avec un nombre de pièces susant pendant la course),
courir 2 fois plus vite sur une distance de 250 mètres.
Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser
pour obtenir le bonus  Vitesse ?
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
Achat du bonus  Vitesse  Rappel de cours
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 43/52
Achat du bonus  Vitesse  Rappel de cours
Achat du bonus  Vitesse 
Pour résoudre rigoureusement ce problème, un petit rappel de cours
d'arithmétique s'impose :
Équation diophantienne
Soient a, b et c trois nombres entiers relatifs. Résoudre une équation
diophantienne, c'est déterminer tous les nombres entiers relatifs x et y qui
vérient :
ax + by = c.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 44/52
Achat du bonus  Vitesse  Rappel de cours
Achat du bonus  Vitesse 
Pour résoudre de tels équations, nous allons utiliser (sans les démontrer) les
résultats suivants :
Théorème de Bézout
L'équation ax + by = 1 (avec a et b deux entiers relatifs) admet des
solutions entières si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (c'est-à-dire si a et b
sont premiers entre eux).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 45/52
Achat du bonus  Vitesse  Rappel de cours
Achat du bonus  Vitesse 
Pour résoudre de tels équations, nous allons utiliser (sans les démontrer) les
résultats suivants :
Théorème de Bézout
L'équation ax + by = 1 (avec a et b deux entiers relatifs) admet des
solutions entières si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (c'est-à-dire si a et b
sont premiers entre eux).
Proposition
Si le couple (x; y) est solution de l'équation ax + by = 1 alors, pour d ∈ Z,
le couple (dx; dy) est solution de l'équation ax + by = d.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 45/52
Achat du bonus  Vitesse  Rappel de cours
Achat du bonus  Vitesse 
Pour résoudre de tels équations, nous allons utiliser (sans les démontrer) les
résultats suivants :
Théorème de Bézout
L'équation ax + by = 1 (avec a et b deux entiers relatifs) admet des
solutions entières si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (c'est-à-dire si a et b
sont premiers entre eux).
Proposition
Si le couple (x; y) est solution de l'équation ax + by = 1 alors, pour d ∈ Z,
le couple (dx; dy) est solution de l'équation ax + by = d.
Lemme de Gauss
Si un nombre entier a divise bc (b et c étant deux nombres entiers) et si
pgcd(a; b) = 1, alors a divise c.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 45/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Sommaire
1 Calcul de vitesse de course
sur 10000 mètres
Généralisation
Évolution de la vitesse moyenne
2 Obtenir le core au trésor
Le problème
Modélisation du saut
Résolution
3 Achat du bonus  Vitesse 
Le problème
Rappel de cours
Résolution du problème
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 46/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser
pour obtenir le bonus  Vitesse ?
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser
pour obtenir le bonus  Vitesse ?
Pour résoudre le problème, il nous faut résoudre l'équation
diophantienne d'inconnues m et r suivante :
3m + 7r = 25 (E)
avec m le nombre de masques ramassés et r le nombre de reliques.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser
pour obtenir le bonus  Vitesse ?
Pour résoudre le problème, il nous faut résoudre l'équation
diophantienne d'inconnues m et r suivante :
3m + 7r = 25 (E)
avec m le nombre de masques ramassés et r le nombre de reliques.
Comme m et r désignent des quantités, les valeurs m et r doivent être
positifs.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser
pour obtenir le bonus  Vitesse ?
Pour résoudre le problème, il nous faut résoudre l'équation
diophantienne d'inconnues m et r suivante :
3m + 7r = 25 (E)
avec m le nombre de masques ramassés et r le nombre de reliques.
Comme m et r désignent des quantités, les valeurs m et r doivent être
positifs.
On résout donc le système suivant :





3m + 7r = 25
m  0
r  0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On remarque tout d'abord que pgcd(3; 7) = 1 donc, d'après le
théorème de Bézout, l'équation :
3m + 7r = 1 (E1)
a des solutions entières.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 48/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On remarque tout d'abord que pgcd(3; 7) = 1 donc, d'après le
théorème de Bézout, l'équation :
3m + 7r = 1 (E1)
a des solutions entières.
Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser l'algorithme
d'Euclide inversée :
7 = 3 × 2 + 1
1 = 7 − 3 × 2
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 48/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On remarque tout d'abord que pgcd(3; 7) = 1 donc, d'après le
théorème de Bézout, l'équation :
3m + 7r = 1 (E1)
a des solutions entières.
Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser l'algorithme
d'Euclide inversée :
7 = 3 × 2 + 1
1 = 7 − 3 × 2
Ainsi, une solution particulière de (E1) est :
m0 = −2 et r0 = 1.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 48/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On peut déduire une solution particulière de (E) en considérant
m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors :
3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0)
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 49/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On peut déduire une solution particulière de (E) en considérant
m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors :
3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0)
On peut alors combiner l'équation (E0) et (E) comme suivant :
−3 × 50 + 7 × 25 − (3m + 7r) = (25 − 25)
⇔ −(3 × 50 − 7 × 25) + 3m + 7r = 0
⇔ 3m − 3 × 50 + 7r − 7 × 25 ⇔ 3(m + 50) + 7(r − 25) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 49/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On peut déduire une solution particulière de (E) en considérant
m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors :
3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0)
On peut alors combiner l'équation (E0) et (E) comme suivant :
−3 × 50 + 7 × 25 − (3m + 7r) = (25 − 25)
⇔ −(3 × 50 − 7 × 25) + 3m + 7r = 0
⇔ 3m − 3 × 50 + 7r − 7 × 25 ⇔ 3(m + 50) + 7(r − 25) = 0.
En passant +7(r − 25)  de l'autre côté du signe = , on obtient :
3(m + 50) = −7(r − 25).
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 49/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit :
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit :
3 divise −7(r − 25) et pgcd(3; −7) = pgcd(3; 7) = 1 donc 3 divise
(r − 25). Il existe donc un entier relatif k tel que 3k = r − 25,
c'est-à-dire r = 3k + 25.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit :
3 divise −7(r − 25) et pgcd(3; −7) = pgcd(3; 7) = 1 donc 3 divise
(r − 25). Il existe donc un entier relatif k tel que 3k = r − 25,
c'est-à-dire r = 3k + 25.
−7 divise 3(m + 50) et pgcd(3; −7) = 1 donc −7 divise (m + 50). Il
existe donc un entier relatif k tel que −7k = m + 50, c'est-à-dire
m = −7k − 50.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit :
3 divise −7(r − 25) et pgcd(3; −7) = pgcd(3; 7) = 1 donc 3 divise
(r − 25). Il existe donc un entier relatif k tel que 3k = r − 25,
c'est-à-dire r = 3k + 25.
−7 divise 3(m + 50) et pgcd(3; −7) = 1 donc −7 divise (m + 50). Il
existe donc un entier relatif k tel que −7k = m + 50, c'est-à-dire
m = −7k − 50.
Ainsi les solutions de l'équation diophantienne (E) sont les éléments
de l'ensemble :
{k ∈ Z : m = −7k − 50 et r = 3k + 25} .
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On cherche maintenant les solutions simultanément positives,
c'est-à-dire les entiers relatifs k vériant :
(
3k + 25  0
−7k − 50  0
⇔
(
3k  −25
−7k  50
⇔
(
k  −25
3
k 6 −50
7
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 51/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
On cherche maintenant les solutions simultanément positives,
c'est-à-dire les entiers relatifs k vériant :
(
3k + 25  0
−7k − 50  0
⇔
(
3k  −25
−7k  50
⇔
(
k  −25
3
k 6 −50
7
En combinant les deux inéquations et en remarquant que :
−
25
3
≈ 8,33 et −
50
7
≈ −7,14,
on obtient :
−8,33 6 k 6 −7,14.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 51/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
Ainsi, il existe une solution entière simultanément positive pour
k = −8.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 52/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
Ainsi, il existe une solution entière simultanément positive pour
k = −8.
On a donc :
r = 3 × (−8) + 25 = 1 et m = −7 × (−8) − 50 = 56 − 50 = 6.
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 52/52
Achat du bonus  Vitesse  Résolution du problème
Achat du bonus  Vitesse 
Ainsi, il existe une solution entière simultanément positive pour
k = −8.
On a donc :
r = 3 × (−8) + 25 = 1 et m = −7 × (−8) − 50 = 56 − 50 = 6.
Il faut donc ramasser une relique et six masques au minimum pour
obtenir le bonus  Vitesse .
Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 52/52

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JIM2019 - 1-Autour de Temple Run 2

  • 1. Journée Internationale des Mathématiques 2019 Autour de Temple Run 2 Clément Boulonne (CBMaths) 14 mars 2019 Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 1/52
  • 2. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 2/52
  • 3. Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 3/52
  • 4. Introduction Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur téléphone mobile : Temple Run 2 . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
  • 5. Introduction Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur téléphone mobile : Temple Run 2 . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
  • 6. Introduction Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur téléphone mobile : Temple Run 2 . Le but du jeu est de courir pour échapper à un monstre dont on lui a volé une idole dans son antre. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
  • 7. Introduction Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur téléphone mobile : Temple Run 2 . Le but du jeu est de courir pour échapper à un monstre dont on lui a volé une idole dans son antre. Courir, courir et éviter les obstacles qui sont devant vous : précipices, rochers, piques, cascade d'eau... Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
  • 8. Introduction Jeux...Mathématiques...Aujourd'hui, j'ai joué à mon jeu préféré sur téléphone mobile : Temple Run 2 . Le but du jeu est de courir pour échapper à un monstre dont on lui a volé une idole dans son antre. Courir, courir et éviter les obstacles qui sont devant vous : précipices, rochers, piques, cascade d'eau... Dans cette présentation, nous allons nous intéresser à quelques aspects du jeu et inventer quelques problèmes mathématiques autour de ceux-ci. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 4/52
  • 9. Calcul de vitesse de course Sommaire 1 Calcul de vitesse de course 2 Obtenir le core au trésor 3 Achat du bonus Vitesse Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 5/52
  • 10. Calcul de vitesse de course Objectif du jour L'objectif du jour s'ache dans le menu et m'indique que je dois courir 10000 mètres avant ce soir. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 6/52
  • 11. Calcul de vitesse de course Objectif du jour L'objectif du jour s'ache dans le menu et m'indique que je dois courir 10000 mètres avant ce soir. 10000 mètres ou 10 kilomètres!!! Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 6/52
  • 12. Calcul de vitesse de course Objectif du jour L'objectif du jour s'ache dans le menu et m'indique que je dois courir 10000 mètres avant ce soir. 10000 mètres ou 10 kilomètres!!! En combien de temps vais-je parcourir les 10000 kilomètres? Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 6/52
  • 13. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 7/52
  • 14. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, dans la vraie vie Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en : 1. sérieusement Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
  • 15. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, dans la vraie vie Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en : Distance (en km) 6,5 10 Temps (en h) 1 t 6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t = 10 6,5 ≈ 1,53 h. 1. sérieusement Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
  • 16. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, dans la vraie vie Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en : Distance (en km) 6,5 10 Temps (en h) 1 t 6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t = 10 6,5 ≈ 1,53 h. en 1,53 heures!! 1. sérieusement Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
  • 17. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, dans la vraie vie Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en : Distance (en km) 6,5 10 Temps (en h) 1 t 6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t = 10 6,5 ≈ 1,53 h. en 1,53 heures!! Heu non, pardon! En 1 heure, 31 minutes et 48 secondes environ. Soit 1 heures 30 de marche donc. 1. sérieusement Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
  • 18. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, dans la vraie vie Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en : Distance (en km) 6,5 10 Temps (en h) 1 t 6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t = 10 6,5 ≈ 1,53 h. en 1,53 heures!! Heu non, pardon! En 1 heure, 31 minutes et 48 secondes environ. Soit 1 heures 30 de marche donc. Il faudrait donc 1 heure 30 de jeu pour terminer les 10 kilomètres pour l'objectif journalier. 1. sérieusement Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
  • 19. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, dans la vraie vie Pour un marcheur aguerri (comme moi1) qui marcherait à une vitesse de 6,5 km/h, les 10 kilomètres pourraient se faire en : Distance (en km) 6,5 10 Temps (en h) 1 t 6,5 × t = 10 × 1 ⇔ t = 10 6,5 ≈ 1,53 h. en 1,53 heures!! Heu non, pardon! En 1 heure, 31 minutes et 48 secondes environ. Soit 1 heures 30 de marche donc. Il faudrait donc 1 heure 30 de jeu pour terminer les 10 kilomètres pour l'objectif journalier. Si on complète l'objectif journalier, on peut avoir des récompenses en pièces d'or et en gemmes. 1. sérieusement Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 8/52
  • 20. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, sur Temple Run 2 Sauf que dans Temple Run 2 , le personne qu'on contrôle court! Donc la vitesse est au moins doublée par rapport à de la marche sportive 2 2. que je pratique quasi quotidiennement ! Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 9/52
  • 21. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres sur 10000 mètres, sur Temple Run 2 Sauf que dans Temple Run 2 , le personne qu'on contrôle court! Donc la vitesse est au moins doublée par rapport à de la marche sportive 2 Alors, en combien de temps vais-je parcourir les 10000 kilomètres dans le jeu Temple Run 2 ? 2. que je pratique quasi quotidiennement ! Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 9/52
  • 22. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Quelques mesures On se place dans l'environnement Sky Summit avec le personnage Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
  • 23. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Quelques mesures On se place dans l'environnement Sky Summit avec le personnage Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements. Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase d'accélération du personnage; Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
  • 24. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Quelques mesures On se place dans l'environnement Sky Summit avec le personnage Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements. Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase d'accélération du personnage; ensuite, chaque kilomètre se fait en 30 secondes. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
  • 25. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Quelques mesures On se place dans l'environnement Sky Summit avec le personnage Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements. Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase d'accélération du personnage; ensuite, chaque kilomètre se fait en 30 secondes. Si on fait un rapide calcul, on obtient : t10 000 = 45 + 9 × 30 = 315 s, Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
  • 26. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Quelques mesures On se place dans l'environnement Sky Summit avec le personnage Guy Dangerous . Les mesures sont sensiblement les mêmes en contrôlant d'autres personnages sur d'autres environnements. Les premiers 1000 mètres se font en 45 secondes car il y a une phase d'accélération du personnage; ensuite, chaque kilomètre se fait en 30 secondes. Si on fait un rapide calcul, on obtient : t10 000 = 45 + 9 × 30 = 315 s, soit 5 minutes et 15 secondes. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 10/52
  • 27. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Calcul de vitesse La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc : V = D T = 10000 315 ≈ 31,75 m/s, Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
  • 28. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Calcul de vitesse La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc : V = D T = 10000 315 ≈ 31,75 m/s, ce qui nous fait du : 31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
  • 29. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Calcul de vitesse La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc : V = D T = 10000 315 ≈ 31,75 m/s, ce qui nous fait du : 31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h. Conclusion : la vitesse moyenne du personnage dans le jeu est de 114,3 km/h. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
  • 30. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Calcul de vitesse La vitesse moyenne du jeu (en m/s) pour faire 10000 est donc : V = D T = 10000 315 ≈ 31,75 m/s, ce qui nous fait du : 31,75 × 3,6 ≈ 114,3 km/h. Conclusion : la vitesse moyenne du personnage dans le jeu est de 114,3 km/h. Conclusion sur les valeurs trouvées Au vu des résultats trouvées (vitesse moyenne de course de 114,3 km/h), on peut conclure que le jeu est irréaliste. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 11/52
  • 31. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Quelques remarques Boost de vitesse Le temps de parcours a été calculé sans prendre en compte les boosts de vitesse disséminés tout au long du parcours. Le boost de vitesse accélère d'un facteur 2 le jeu pendant 500 mètres. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 12/52
  • 32. Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Quelques remarques Boost de vitesse Le temps de parcours a été calculé sans prendre en compte les boosts de vitesse disséminés tout au long du parcours. Le boost de vitesse accélère d'un facteur 2 le jeu pendant 500 mètres. Trébuchements Tout au long du parcours, des obstacles se dressent devant nous. Si on touche un des obstacles (exceptés ravins, cascades et piques), on trébuche. Quand on trébuche, notre vitesse est réinitialisée et le monstre qui nous poursuit apparaît à l'écran pour nous réduire la visibilité du parcours. Si on trébuche une seconde fois alors que le monstre est toujours à l'écran, il nous attrape pour nous dévorer (ce qui sonne la n de la partie). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 12/52
  • 33. Calcul de vitesse de course Généralisation Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 13/52
  • 34. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de vitesse ni trébuchements. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
  • 35. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de vitesse ni trébuchements. On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la vitesse moyenne n'est pas constante. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
  • 36. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de vitesse ni trébuchements. On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la vitesse moyenne n'est pas constante. Cela vient du fait que la première partie de course (les 1000 premiers mètres) se parcourt en un temps plus long que les autres parties. On en dira plus à la n de cette section. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
  • 37. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de vitesse ni trébuchements. On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la vitesse moyenne n'est pas constante. Cela vient du fait que la première partie de course (les 1000 premiers mètres) se parcourt en un temps plus long que les autres parties. On en dira plus à la n de cette section. Si on voulait modéliser cette situation pour calculer la vitesse moyenne pour un parcours de x mètres, on utilise ce que l'on appelle une fonction dénie par morceaux. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
  • 38. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation Dans cette sous-section, on considère un parcours sans boosts de vitesse ni trébuchements. On peut remarquer que si on augmente la longueur du parcours, la vitesse moyenne n'est pas constante. Cela vient du fait que la première partie de course (les 1000 premiers mètres) se parcourt en un temps plus long que les autres parties. On en dira plus à la n de cette section. Si on voulait modéliser cette situation pour calculer la vitesse moyenne pour un parcours de x mètres, on utilise ce que l'on appelle une fonction dénie par morceaux. On va dans un premier temps dénir la fonction D qui donne la distance parcourue (en mètres) au bout de t secondes de jeu (t 0). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 14/52
  • 39. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt 1000 mètres en 30 secondes. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
  • 40. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt 1000 mètres en 30 secondes. Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
  • 41. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt 1000 mètres en 30 secondes. Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes. Soit D3 la fonction dénie sur [45; +∞[ donnant la distance parcourue après t secondes de jeu (t 45). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
  • 42. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt 1000 mètres en 30 secondes. Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes. Soit D3 la fonction dénie sur [45; +∞[ donnant la distance parcourue après t secondes de jeu (t 45). D3 est une fonction ane (vitesse constante) telle que D3(45) = 1000 et D3(75) = 2000. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
  • 43. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres Après 1000 mètres, si l'on ne trébuche pas et si on ne prend pas de boosts de vitesse, nous courons à vitesse constante et on parcourt 1000 mètres en 30 secondes. Pour rappel, on a parcouru les 1000 premiers mètres en 45 secondes. Soit D3 la fonction dénie sur [45; +∞[ donnant la distance parcourue après t secondes de jeu (t 45). D3 est une fonction ane (vitesse constante) telle que D3(45) = 1000 et D3(75) = 2000. On cherche donc les coecients a et b tels que D3(t) = at + b sur l'intervalle [45; +∞[. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 15/52
  • 44. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres On cherche donc les coecients a et b tels que f (t) = at + b sur l'intervalle [45; +∞[. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 16/52
  • 45. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres On cherche donc les coecients a et b tels que f (t) = at + b sur l'intervalle [45; +∞[. On peut utiliser les propriétés des fonctions anes. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 16/52
  • 46. Calcul de vitesse de course Généralisation Après 1000 mètres On cherche donc les coecients a et b tels que f (t) = at + b sur l'intervalle [45; +∞[. On peut utiliser les propriétés des fonctions anes. Détermination des coecients, fonction ane On munit le plan d'un repère orthonormé (O,#» ı ,#»  ) et soit A (xA ; yA) et B (xB ; yB) deux points distincts de ce plan. La droite passant par les points A et B est la courbe représentative d'une fonction ane f telle que f (x) = ax + b avec : a = yB − yA xB − xA et b = yA − axA = yB − axB. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 16/52
  • 47. Calcul de vitesse de course Généralisation a = yB − yA xB − xA et b = yA − axA = yB − axB. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 17/52
  • 48. Calcul de vitesse de course Généralisation a = yB − yA xB − xA et b = yA − axA = yB − axB. On a ainsi : a = 2000 − 1000 75 − 45 = 1000 30 = 100 3 . et b = 1000 − 1000 × 3 2 = − 1000 2 = −500. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 17/52
  • 49. Calcul de vitesse de course Généralisation a = yB − yA xB − xA et b = yA − axA = yB − axB. On a ainsi : a = 2000 − 1000 75 − 45 = 1000 30 = 100 3 . et b = 1000 − 1000 × 3 2 = − 1000 2 = −500. Conclusion : D3(t) = 100 3 t − 500 sur [45; +∞[. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 17/52
  • 50. Calcul de vitesse de course Généralisation Les 1000 premiers mètres Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers mètres, il nous faut d'autres mesures : Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
  • 51. Calcul de vitesse de course Généralisation Les 1000 premiers mètres Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers mètres, il nous faut d'autres mesures : on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes (12 secondes par 250 mètres). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
  • 52. Calcul de vitesse de course Généralisation Les 1000 premiers mètres Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers mètres, il nous faut d'autres mesures : on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes (12 secondes par 250 mètres). on parcourt les 250 mètres suivants en 9 secondes. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
  • 53. Calcul de vitesse de course Généralisation Les 1000 premiers mètres Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers mètres, il nous faut d'autres mesures : on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes (12 secondes par 250 mètres). on parcourt les 250 mètres suivants en 9 secondes. Si on fait l'addition des temps sur les tronçons de 250 mètres, on obtient bien : t1 000 = 3 × 12 + 9 = 36 + 9 = 45 s, ce qui valide notre temps mesuré lors des premières mesures. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
  • 54. Calcul de vitesse de course Généralisation Les 1000 premiers mètres Pour modéliser par une fonction la situation sur les 1000 premiers mètres, il nous faut d'autres mesures : on parcourt les 750 premiers mètres à vitesse constante en 36 secondes (12 secondes par 250 mètres). on parcourt les 250 mètres suivants en 9 secondes. Si on fait l'addition des temps sur les tronçons de 250 mètres, on obtient bien : t1 000 = 3 × 12 + 9 = 36 + 9 = 45 s, ce qui valide notre temps mesuré lors des premières mesures. On va devoir découper l'intervalle [0; 45] en deux : sur [0; 36], on court à une vitesse constante et sur l'intervalle [36; 45], on a une croissance de la vitesse (accélération). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 18/52
  • 55. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [0; 36] Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
  • 56. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [0; 36] Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane. La fonction est même linéaire car sa courbe représentative (une droite) passe par le point (0; 0). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
  • 57. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [0; 36] Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane. La fonction est même linéaire car sa courbe représentative (une droite) passe par le point (0; 0). On peut ainsi déterminer le coecient de la fonction si on remarque que la courbe représentative passe par le point (36; 750) : a = 750 36 = 125 6 . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
  • 58. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [0; 36] Sur l'intervalle [0; 36], on peut modéliser le temps de parcours en fonction de la distance parcourue à l'aide d'une fonction ane. La fonction est même linéaire car sa courbe représentative (une droite) passe par le point (0; 0). On peut ainsi déterminer le coecient de la fonction si on remarque que la courbe représentative passe par le point (36; 750) : a = 750 36 = 125 6 . Conclusion : la fonction qui modélise le temps de parcours en fonction de la distance est la fonction D1(t) = 125t 6 dénie sur l'intervalle [0; 36]. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 19/52
  • 59. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [36; 45] FFF Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 20/52
  • 60. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [36; 45] FFF Sur l'intervalle [36; 45], on va procéder à un raccordement C1, c'est-à-dire une fonction D2 dénie sur l'intervalle [36; 45] et telle que :            D2(36) = 125 6 × 36 = 750 D0 2(36) = 125 6 D2(45) = 1000 D0 2(45) = 100 3 Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 20/52
  • 61. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [36; 45] FFF Sur l'intervalle [36; 45], on va procéder à un raccordement C1, c'est-à-dire une fonction D2 dénie sur l'intervalle [36; 45] et telle que :            D2(36) = 125 6 × 36 = 750 D0 2(36) = 125 6 D2(45) = 1000 D0 2(45) = 100 3 On fait donc une interpolation polynomiale, la fonction D2 admet 4 conditions donc son expression est, au minimum , un polynôme de degré 3. Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que : D2(t) = at3 + bt2 + ct + d. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 20/52
  • 62. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [36; 45] Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que : D2(t) = at3 + bt2 + ct + d. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 21/52
  • 63. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [36; 45] Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que : D2(t) = at3 + bt2 + ct + d. On donne la dérivée de la fonction D2(t) en fonction de a, b, c et d : D0 2(t) = 3at2 + 2bt + c. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 21/52
  • 64. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [36; 45] Il faut donc déterminer les coecients réels a, b, c et d tels que : D2(t) = at3 + bt2 + ct + d. On donne la dérivée de la fonction D2(t) en fonction de a, b, c et d : D0 2(t) = 3at2 + 2bt + c. Les coecients a, b, c et d vérient le système d'équations suivant :            a × 363 + b × 362 + c × 36 + d = 750 a × 453 + b × 452 + c × 45 + d = 1000 3a × 362 + 2b × 36 + c = 125 6 3a × 452 + 2b × 45 + c = 100 3 ⇔            46656a + 1296b + 36c + d = 750 91125a + 2025b + 45c + d = 1000 3888a + 72b + c = 125 6 6075a + 90b + c = 100 3 . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 21/52
  • 65. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [0,75; 1] La solution du système donnée par le site WolframAlpha (https://www.wolframalpha.com/) est la suivante :            a = − 25 1 458 b = 25 9 c = −225 2 d = 2000 ; D2(t) = − 25 1458 t3 + 25 9 t2 − 225 2 t + 2000. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 22/52
  • 66. Calcul de vitesse de course Généralisation Modélisation sur l'intervalle [0,75; 1] La solution du système donnée par le site WolframAlpha (https://www.wolframalpha.com/) est la suivante :            a = − 25 1 458 b = 25 9 c = −225 2 d = 2000 ; D2(t) = − 25 1458 t3 + 25 9 t2 − 225 2 t + 2000. Conclusion : la fonction modélisant la distance parcourue au bout de t secondes de jeu est la fonction D dénie sur [0; +∞[ de la manière suivante : f (x) :=      D1(x) = 125t 6 si x ∈ [0; 36] D2(x) = − 25 1 458t3 + 25 9 t2 − 225 2 t + 2000 si x ∈ [36; 45] D3(x) = 100t 3 − 500 si x ∈ [45; +∞[ Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 22/52
  • 67. Calcul de vitesse de course Généralisation Tracé de la courbe représentative On obtient ainsi CD la courbe représentative de la fonction D sur l'intervalle [0; +∞[. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 23/52
  • 68. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 24/52
  • 69. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne On s'intéresse à l'évolution de la vitesse moyenne tout au long du parcours de notre fugitif. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 25/52
  • 70. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne On s'intéresse à l'évolution de la vitesse moyenne tout au long du parcours de notre fugitif. On a vu, dans la partie précédente, que l'expression de la fonction modélisant la distance parcourue par rapport au temps est diérente sur trois intervalles donc ce n'est pas une fonction ane. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 25/52
  • 71. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne On s'intéresse à l'évolution de la vitesse moyenne tout au long du parcours de notre fugitif. On a vu, dans la partie précédente, que l'expression de la fonction modélisant la distance parcourue par rapport au temps est diérente sur trois intervalles donc ce n'est pas une fonction ane. La vitesse moyenne à l'instant t 0 correspond au coecient directeur de la droite passant par les points (0,0) et (t,D(t)). Elle est donnée par la formule : VM(t) = D(t) − D(0) t − 0 = D(t) t . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 25/52
  • 72. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi l'expression de VM : VM(t) = D(t) t = D3(t) t = 100t 3 − 500 t = 100 3 − 500 t , Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
  • 73. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi l'expression de VM : VM(t) = D(t) t = D3(t) t = 100t 3 − 500 t = 100 3 − 500 t , puis la dérivée V 0 M de la fonction VM : V 0 M(t) = 500 t2 . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
  • 74. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi l'expression de VM : VM(t) = D(t) t = D3(t) t = 100t 3 − 500 t = 100 3 − 500 t , puis la dérivée V 0 M de la fonction VM : V 0 M(t) = 500 t2 . Comme t2 0 pour tout t ∈ [45; +∞[, la fonction dérivée V 0 M est positive sur [45; +∞[ et donc la fonction VM est croissante sur [45; +∞[. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
  • 75. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne On étudie la fonction VM sur l'intervalle [45; +∞[. On a ainsi l'expression de VM : VM(t) = D(t) t = D3(t) t = 100t 3 − 500 t = 100 3 − 500 t , puis la dérivée V 0 M de la fonction VM : V 0 M(t) = 500 t2 . Comme t2 0 pour tout t ∈ [45; +∞[, la fonction dérivée V 0 M est positive sur [45; +∞[ et donc la fonction VM est croissante sur [45; +∞[. On peut aussi s'intéresser à la limite de la fonction VM : ` = lim t→+∞ VM(t) = lim t→+∞ 100 3 − 500 t = 100 3 car lim t→+∞ − 500 t = 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 26/52
  • 76. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne La courbe représentative de la fonction VM sur [45; +∞[ est l'hyperbole tracée ci-dessous : Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 27/52
  • 77. Calcul de vitesse de course Évolution de la vitesse moyenne Évolution de la vitesse moyenne La courbe représentative de la fonction VM sur [45; +∞[ est l'hyperbole tracée ci-dessous : Voilà! Maintenant, vous savez tout sur comment a été programmé la vitesse de course du fugitif dans Temple Run 2. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 27/52
  • 78. Obtenir le core au trésor Sommaire 1 Calcul de vitesse de course 2 Obtenir le core au trésor 3 Achat du bonus Vitesse Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 28/52
  • 79. Obtenir le core au trésor Le problème Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 29/52
  • 80. Obtenir le core au trésor Le problème Obtenir le core au trésor Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
  • 81. Obtenir le core au trésor Le problème Obtenir le core au trésor Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course. Ces cores sont à une hauteur h du sol. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
  • 82. Obtenir le core au trésor Le problème Obtenir le core au trésor Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course. Ces cores sont à une hauteur h du sol. Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
  • 83. Obtenir le core au trésor Le problème Obtenir le core au trésor Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course. Ces cores sont à une hauteur h du sol. Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core). Le fugitif attrape le core s'il atteint 60 % de la hauteur maximale du saut. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
  • 84. Obtenir le core au trésor Le problème Obtenir le core au trésor Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course. Ces cores sont à une hauteur h du sol. Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core). Le fugitif attrape le core s'il atteint 60 % de la hauteur maximale du saut. Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à 1000 mètres du départ. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
  • 85. Obtenir le core au trésor Le problème Obtenir le core au trésor Le fugitif peut ramasser des cores au trésor tout au long de sa course. Ces cores sont à une hauteur h du sol. Le fugitif peut sauter, chaque saut mesure 40 mètres. Le saut décrit une courbe parfaitement parabolique et symétrique (c'est-à-dire que la trajectoire atteint son maximum 20 mètres après le début du saut et la hauteur atteinte en son maximum correspond à la hauteur h du core). Le fugitif attrape le core s'il atteint 60 % de la hauteur maximale du saut. Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à 1000 mètres du départ. À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor? Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 30/52
  • 86. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 31/52
  • 87. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être modélisée par une fonction du second degré : S(x) = ax2 + bx + c. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
  • 88. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être modélisée par une fonction du second degré : S(x) = ax2 + bx + c. Le coureur est au niveau du sol à d0 mètres du départ et atterit de nouveau sur le sol à d0 + 40 mètres. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
  • 89. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être modélisée par une fonction du second degré : S(x) = ax2 + bx + c. Le coureur est au niveau du sol à d0 mètres du départ et atterit de nouveau sur le sol à d0 + 40 mètres. De plus, la trajectoire de la parabole atteint son maximum h en d0 + 20. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
  • 90. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Dans l'énoncé, il est marqué que chaque saut mesure 40 mètres et que la trajectoire est parfaitement parabolique. Elle peut donc être modélisée par une fonction du second degré : S(x) = ax2 + bx + c. Le coureur est au niveau du sol à d0 mètres du départ et atterit de nouveau sur le sol à d0 + 40 mètres. De plus, la trajectoire de la parabole atteint son maximum h en d0 + 20. On a donc trois images de la fonction S :      S(d0) = 0 S(d0 + 20) = h S(d0 + 40) = 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 32/52
  • 91. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Pour que la modélisation soit cohérente, on peut noter Sd0 la fonction dénie sur [d0 ; d0 + 40] et telle que :      Sd0(d0) = 0 Sd0(d0 + 20) = h Sd0(d0 + 40) = 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 33/52
  • 92. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Pour que la modélisation soit cohérente, on peut noter Sd0 la fonction dénie sur [d0 ; d0 + 40] et telle que :      Sd0(d0) = 0 Sd0(d0 + 20) = h Sd0(d0 + 40) = 0. On peut xer la valeur d0 = 0 en remarquant que la trajectoire du saut en un instant d0 quelconque peut se déduire par une translation de la trajectoire du saut en l'instant 0. Soit donc à interpoler la fonction suivante :      S0(0) = 0 S0(20) = h S0(40) = 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 33/52
  • 93. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le polynôme s'écrit de la manière suivante : S0(d) = αd(d − 40). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
  • 94. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le polynôme s'écrit de la manière suivante : S0(d) = αd(d − 40). On cherche donc α tel que S(20) = h. On a : S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = − h 400 . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
  • 95. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le polynôme s'écrit de la manière suivante : S0(d) = αd(d − 40). On cherche donc α tel que S(20) = h. On a : S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = − h 400 . Ainsi : S0(d) = − h 400 × d × (d − 40) Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
  • 96. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Les racines du polynômes S0 se situent en d1 = 0 et d2 = 40 donc le polynôme s'écrit de la manière suivante : S0(d) = αd(d − 40). On cherche donc α tel que S(20) = h. On a : S0(20) = h ⇔ α × 20 × (−20) = h ⇔ −400α = h ⇔ α = − h 400 . Ainsi : S0(d) = − h 400 × d × (d − 40) et les translatées horizontales (pour d0 0) sont de la forme : Sd0(d) = − h 400 × (d − d0) × (d − d0 − 40). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 34/52
  • 97. Obtenir le core au trésor Modélisation du saut Modélisation du saut Sur la gure suivante, on a tracé les courbes représentatives des fonctions S0, S10, S20 et S30 en prenant comme valeur h = 2. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 35/52
  • 98. Obtenir le core au trésor Résolution Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 36/52
  • 99. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à 1000 mètres du départ. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
  • 100. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à 1000 mètres du départ. À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor? Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
  • 101. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à 1000 mètres du départ. À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor? On cherche donc d tel que S0(d) 60 100h. On résout l'équation : S0(d) = 60 100 h ⇔ − h 400 d(d−40) = 60h 100 ⇔ −h 400 d2 + 40h 400 d− 60 100 h = 0 Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
  • 102. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à 1000 mètres du départ. À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor? On cherche donc d tel que S0(d) 60 100h. On résout l'équation : S0(d) = 60 100 h ⇔ − h 400 d(d−40) = 60h 100 ⇔ −h 400 d2 + 40h 400 d− 60 100 h = 0 ⇔ − h 400 d2 + −h 400 (−40d) + −h 400 × 240 = 0 Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
  • 103. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Dans une course aléatoirement générée, le premier core apparaît à 1000 mètres du départ. À quelle distance minimale du départ doit-il commencer son saut pour que le fugitif soit sûr d'atteindre le trésor? On cherche donc d tel que S0(d) 60 100h. On résout l'équation : S0(d) = 60 100 h ⇔ − h 400 d(d−40) = 60h 100 ⇔ −h 400 d2 + 40h 400 d− 60 100 h = 0 ⇔ − h 400 d2 + −h 400 (−40d) + −h 400 × 240 = 0 ⇔ − h 400 (d2 − 40d + 240) = 0 . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 37/52
  • 104. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Comme − h 400 est diérent de 0 (car h 0), on se retrouve à résoudre l'équation suivante : d2 − 40d + 240 = 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
  • 105. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Comme − h 400 est diérent de 0 (car h 0), on se retrouve à résoudre l'équation suivante : d2 − 40d + 240 = 0. On calcule le discriminant de l'équation : ∆ = (−40)2 − 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
  • 106. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Comme − h 400 est diérent de 0 (car h 0), on se retrouve à résoudre l'équation suivante : d2 − 40d + 240 = 0. On calcule le discriminant de l'équation : ∆ = (−40)2 − 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0. √ ∆ = √ 640 = √ 8 × 8 × 10 = 8 √ 10. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
  • 107. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Comme − h 400 est diérent de 0 (car h 0), on se retrouve à résoudre l'équation suivante : d2 − 40d + 240 = 0. On calcule le discriminant de l'équation : ∆ = (−40)2 − 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0. √ ∆ = √ 640 = √ 8 × 8 × 10 = 8 √ 10. On a donc deux solutions à l'équation : d1 = 40 − 8 √ 10 2 = 20− 4 √ 10 et d2 = 40 + 8 √ 10 2 = 20+ 4 √ 10. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
  • 108. Obtenir le core au trésor Résolution Résolution Comme − h 400 est diérent de 0 (car h 0), on se retrouve à résoudre l'équation suivante : d2 − 40d + 240 = 0. On calcule le discriminant de l'équation : ∆ = (−40)2 − 4 × 240 = 1600 − 960 = 640 0. √ ∆ = √ 640 = √ 8 × 8 × 10 = 8 √ 10. On a donc deux solutions à l'équation : d1 = 40 − 8 √ 10 2 = 20− 4 √ 10 et d2 = 40 + 8 √ 10 2 = 20+ 4 √ 10. Ainsi, entre la position d1 = 20 − 4 √ 10 et d2 = 20 + 4 √ 10, le fugitif peut rattraper le core. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 38/52
  • 109. Obtenir le core au trésor Résolution Conclusion nale Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000. Soit : d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4 √ 10 Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
  • 110. Obtenir le core au trésor Résolution Conclusion nale Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000. Soit : d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4 √ 10 ⇔ d0 = 980 + 4 √ 10 ≈ 992,65 m. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
  • 111. Obtenir le core au trésor Résolution Conclusion nale Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000. Soit : d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4 √ 10 ⇔ d0 = 980 + 4 √ 10 ≈ 992,65 m. Ainsi, le point (1000; 6h 10 ) appartient à la courbe représentative de la fonction S992,645, il faudra donc sauter au maximum à 992,65 mètres après le ligne de départ pour pouvoir obtenir le core qui se situe à 1000 mètres du départ. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
  • 112. Obtenir le core au trésor Résolution Conclusion nale Pour trouver la distance d0 tel que d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000. Soit : d0 + (20 − 4 √ 10) = 1000 ⇔ d0 = 1000 − 20 + 4 √ 10 ⇔ d0 = 980 + 4 √ 10 ≈ 992,65 m. Ainsi, le point (1000; 6h 10 ) appartient à la courbe représentative de la fonction S992,645, il faudra donc sauter au maximum à 992,65 mètres après le ligne de départ pour pouvoir obtenir le core qui se situe à 1000 mètres du départ. Sur la gure suivante, on a pris la valeur h = 2 et 6h 10 = 1,2. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 39/52
  • 113. Achat du bonus Vitesse Sommaire 1 Calcul de vitesse de course 2 Obtenir le core au trésor 3 Achat du bonus Vitesse Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 40/52
  • 114. Achat du bonus Vitesse Le problème Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 41/52
  • 115. Achat du bonus Vitesse Le problème Achat du bonus Vitesse Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets tels que des masques ou des reliques. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
  • 116. Achat du bonus Vitesse Le problème Achat du bonus Vitesse Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets tels que des masques ou des reliques. Un masque rapporte 3 gemmes et une relique (plus rare) 7 gemmes. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
  • 117. Achat du bonus Vitesse Le problème Achat du bonus Vitesse Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets tels que des masques ou des reliques. Un masque rapporte 3 gemmes et une relique (plus rare) 7 gemmes. Avec 25 gemmes, on peut s'acheter le bonus Vitesse qui nous permettra (avec un nombre de pièces susant pendant la course), courir 2 fois plus vite sur une distance de 250 mètres. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
  • 118. Achat du bonus Vitesse Le problème Achat du bonus Vitesse Quand on ramasse des cores au trésor, on peut collecter des objets tels que des masques ou des reliques. Un masque rapporte 3 gemmes et une relique (plus rare) 7 gemmes. Avec 25 gemmes, on peut s'acheter le bonus Vitesse qui nous permettra (avec un nombre de pièces susant pendant la course), courir 2 fois plus vite sur une distance de 250 mètres. Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser pour obtenir le bonus Vitesse ? Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 42/52
  • 119. Achat du bonus Vitesse Rappel de cours Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 43/52
  • 120. Achat du bonus Vitesse Rappel de cours Achat du bonus Vitesse Pour résoudre rigoureusement ce problème, un petit rappel de cours d'arithmétique s'impose : Équation diophantienne Soient a, b et c trois nombres entiers relatifs. Résoudre une équation diophantienne, c'est déterminer tous les nombres entiers relatifs x et y qui vérient : ax + by = c. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 44/52
  • 121. Achat du bonus Vitesse Rappel de cours Achat du bonus Vitesse Pour résoudre de tels équations, nous allons utiliser (sans les démontrer) les résultats suivants : Théorème de Bézout L'équation ax + by = 1 (avec a et b deux entiers relatifs) admet des solutions entières si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (c'est-à-dire si a et b sont premiers entre eux). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 45/52
  • 122. Achat du bonus Vitesse Rappel de cours Achat du bonus Vitesse Pour résoudre de tels équations, nous allons utiliser (sans les démontrer) les résultats suivants : Théorème de Bézout L'équation ax + by = 1 (avec a et b deux entiers relatifs) admet des solutions entières si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (c'est-à-dire si a et b sont premiers entre eux). Proposition Si le couple (x; y) est solution de l'équation ax + by = 1 alors, pour d ∈ Z, le couple (dx; dy) est solution de l'équation ax + by = d. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 45/52
  • 123. Achat du bonus Vitesse Rappel de cours Achat du bonus Vitesse Pour résoudre de tels équations, nous allons utiliser (sans les démontrer) les résultats suivants : Théorème de Bézout L'équation ax + by = 1 (avec a et b deux entiers relatifs) admet des solutions entières si et seulement si pgcd(a; b) = 1 (c'est-à-dire si a et b sont premiers entre eux). Proposition Si le couple (x; y) est solution de l'équation ax + by = 1 alors, pour d ∈ Z, le couple (dx; dy) est solution de l'équation ax + by = d. Lemme de Gauss Si un nombre entier a divise bc (b et c étant deux nombres entiers) et si pgcd(a; b) = 1, alors a divise c. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 45/52
  • 124. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Sommaire 1 Calcul de vitesse de course sur 10000 mètres Généralisation Évolution de la vitesse moyenne 2 Obtenir le core au trésor Le problème Modélisation du saut Résolution 3 Achat du bonus Vitesse Le problème Rappel de cours Résolution du problème Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 46/52
  • 125. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser pour obtenir le bonus Vitesse ? Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
  • 126. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser pour obtenir le bonus Vitesse ? Pour résoudre le problème, il nous faut résoudre l'équation diophantienne d'inconnues m et r suivante : 3m + 7r = 25 (E) avec m le nombre de masques ramassés et r le nombre de reliques. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
  • 127. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser pour obtenir le bonus Vitesse ? Pour résoudre le problème, il nous faut résoudre l'équation diophantienne d'inconnues m et r suivante : 3m + 7r = 25 (E) avec m le nombre de masques ramassés et r le nombre de reliques. Comme m et r désignent des quantités, les valeurs m et r doivent être positifs. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
  • 128. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse Combien de masques et de reliques (au maximum) faut-il ramasser pour obtenir le bonus Vitesse ? Pour résoudre le problème, il nous faut résoudre l'équation diophantienne d'inconnues m et r suivante : 3m + 7r = 25 (E) avec m le nombre de masques ramassés et r le nombre de reliques. Comme m et r désignent des quantités, les valeurs m et r doivent être positifs. On résout donc le système suivant :      3m + 7r = 25 m 0 r 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 47/52
  • 129. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On remarque tout d'abord que pgcd(3; 7) = 1 donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation : 3m + 7r = 1 (E1) a des solutions entières. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 48/52
  • 130. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On remarque tout d'abord que pgcd(3; 7) = 1 donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation : 3m + 7r = 1 (E1) a des solutions entières. Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide inversée : 7 = 3 × 2 + 1 1 = 7 − 3 × 2 Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 48/52
  • 131. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On remarque tout d'abord que pgcd(3; 7) = 1 donc, d'après le théorème de Bézout, l'équation : 3m + 7r = 1 (E1) a des solutions entières. Pour trouver une solution particulière, on peut utiliser l'algorithme d'Euclide inversée : 7 = 3 × 2 + 1 1 = 7 − 3 × 2 Ainsi, une solution particulière de (E1) est : m0 = −2 et r0 = 1. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 48/52
  • 132. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On peut déduire une solution particulière de (E) en considérant m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors : 3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0) Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 49/52
  • 133. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On peut déduire une solution particulière de (E) en considérant m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors : 3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0) On peut alors combiner l'équation (E0) et (E) comme suivant : −3 × 50 + 7 × 25 − (3m + 7r) = (25 − 25) ⇔ −(3 × 50 − 7 × 25) + 3m + 7r = 0 ⇔ 3m − 3 × 50 + 7r − 7 × 25 ⇔ 3(m + 50) + 7(r − 25) = 0. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 49/52
  • 134. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On peut déduire une solution particulière de (E) en considérant m1 = 25m0 = −50 et r1 = 25r0 = 25. On a alors : 3 × (−50) + 7 × 25 = 25. (E0) On peut alors combiner l'équation (E0) et (E) comme suivant : −3 × 50 + 7 × 25 − (3m + 7r) = (25 − 25) ⇔ −(3 × 50 − 7 × 25) + 3m + 7r = 0 ⇔ 3m − 3 × 50 + 7r − 7 × 25 ⇔ 3(m + 50) + 7(r − 25) = 0. En passant +7(r − 25) de l'autre côté du signe = , on obtient : 3(m + 50) = −7(r − 25). Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 49/52
  • 135. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit : Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
  • 136. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit : 3 divise −7(r − 25) et pgcd(3; −7) = pgcd(3; 7) = 1 donc 3 divise (r − 25). Il existe donc un entier relatif k tel que 3k = r − 25, c'est-à-dire r = 3k + 25. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
  • 137. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit : 3 divise −7(r − 25) et pgcd(3; −7) = pgcd(3; 7) = 1 donc 3 divise (r − 25). Il existe donc un entier relatif k tel que 3k = r − 25, c'est-à-dire r = 3k + 25. −7 divise 3(m + 50) et pgcd(3; −7) = 1 donc −7 divise (m + 50). Il existe donc un entier relatif k tel que −7k = m + 50, c'est-à-dire m = −7k − 50. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
  • 138. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On utilise ensuite deux fois le lemme de Gauss comme suit : 3 divise −7(r − 25) et pgcd(3; −7) = pgcd(3; 7) = 1 donc 3 divise (r − 25). Il existe donc un entier relatif k tel que 3k = r − 25, c'est-à-dire r = 3k + 25. −7 divise 3(m + 50) et pgcd(3; −7) = 1 donc −7 divise (m + 50). Il existe donc un entier relatif k tel que −7k = m + 50, c'est-à-dire m = −7k − 50. Ainsi les solutions de l'équation diophantienne (E) sont les éléments de l'ensemble : {k ∈ Z : m = −7k − 50 et r = 3k + 25} . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 50/52
  • 139. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On cherche maintenant les solutions simultanément positives, c'est-à-dire les entiers relatifs k vériant : ( 3k + 25 0 −7k − 50 0 ⇔ ( 3k −25 −7k 50 ⇔ ( k −25 3 k 6 −50 7 Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 51/52
  • 140. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse On cherche maintenant les solutions simultanément positives, c'est-à-dire les entiers relatifs k vériant : ( 3k + 25 0 −7k − 50 0 ⇔ ( 3k −25 −7k 50 ⇔ ( k −25 3 k 6 −50 7 En combinant les deux inéquations et en remarquant que : − 25 3 ≈ 8,33 et − 50 7 ≈ −7,14, on obtient : −8,33 6 k 6 −7,14. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 51/52
  • 141. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse Ainsi, il existe une solution entière simultanément positive pour k = −8. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 52/52
  • 142. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse Ainsi, il existe une solution entière simultanément positive pour k = −8. On a donc : r = 3 × (−8) + 25 = 1 et m = −7 × (−8) − 50 = 56 − 50 = 6. Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 52/52
  • 143. Achat du bonus Vitesse Résolution du problème Achat du bonus Vitesse Ainsi, il existe une solution entière simultanément positive pour k = −8. On a donc : r = 3 × (−8) + 25 = 1 et m = −7 × (−8) − 50 = 56 − 50 = 6. Il faut donc ramasser une relique et six masques au minimum pour obtenir le bonus Vitesse . Clément Boulonne (CBMaths) JIM2019 : Temple Run 2 14 mars 2019 52/52