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BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021
Exercice 2 : Suites numériques
Clément Boulonne (CBMaths)
30 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 1 / 39
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 2 / 39
Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 3 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce
animale sur une île du Pacique.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce
animale sur une île du Pacique.
Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus.
On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa
population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce
animale sur une île du Pacique.
Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus.
On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa
population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un) dénie
par : (
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d'individus, en
milliers, au début de l'année 2020 + n.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce
animale sur une île du Pacique.
Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus.
On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa
population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un) dénie
par : (
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d'individus, en
milliers, au début de l'année 2020 + n.
1 Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.
c Déterminer la limite ` de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée
d'extinction.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée
d'extinction.
a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée
d'extinction.
a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
b Le biologiste a programmé en langage Python 1
la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée
d'extinction.
a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
b Le biologiste a programmé en langage Python 1
la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
1
Note de l'auteur : dans le sujet originel, il y avait une erreur de syntaxe au
niveau de la boucle while que j'ai corrigé.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
Corrigé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 7 / 39
Corrigé Question 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 8 / 39
Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce
animale sur une île du Pacique.
Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus.
On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa
population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un) dénie
par : (
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d'individus, en
milliers, au début de l'année 2020 + n.
1 Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 9 / 39
Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 10 / 39
Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
On considère la suite (un) dénie pour tout n ∈ N par :
(
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 10 / 39
Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
On considère la suite (un) dénie pour tout n ∈ N par :
(
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
On calcule :
u1 = 0,75 × u0(1 − 0,15u0) = 0,75 × 0,6(1 − 0,15 × 0,6)
= 0,75 × 0,6 × 0,91 ≈ 0,409 ;
u2 = 0,75 × u1(1 − 0,15u1) = 0,75 × 0,6(1 − 0,15 × 0,409)
= 0,75 × 0,409 × 0,938575 ≈ 0,288.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 10 / 39
Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 11 / 39
Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Or u1 (resp. u2) désigne le nombre d'individus sur l'île, en milliers, au
début de l'année 2021 (resp. 2022).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 11 / 39
Corrigé Question 1
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
Or u1 (resp. u2) désigne le nombre d'individus sur l'île, en milliers, au
début de l'année 2021 (resp. 2022).
Conclusion : en début d'année 2021, il y a environ 409 individus sur
l'île puis 288 au début de l'année 2022.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 11 / 39
Corrigé Question 2
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 12 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.
c Déterminer la limite ` de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 13 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
On développe l'expression de f (x) :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
On développe l'expression de f (x) :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
f est dérivable sur l'intervalle [0; 1] car f est une somme de deux
fonctions dérivables sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
On développe l'expression de f (x) :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
f est dérivable sur l'intervalle [0; 1] car f est une somme de deux
fonctions dérivables sur l'intervalle [0; 1].
On peut donc facilement déterminer la fonction f 0 dérivée de la
fonction f :
f 0
(x) = −0,225x + 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1]
revient à étudier le signe de f 0(x) sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1]
revient à étudier le signe de f 0(x) sur l'intervalle [0; 1].
On résout f 0(x) = 0 :
f 0
(x) = 0 ⇔ −0,225x + 0,75 = 0 ⇔ −0,225x = −0,75
⇔ x =
−0,75
−0,225
=
10
3
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1]
revient à étudier le signe de f 0(x) sur l'intervalle [0; 1].
On résout f 0(x) = 0 :
f 0
(x) = 0 ⇔ −0,225x + 0,75 = 0 ⇔ −0,225x = −0,75
⇔ x =
−0,75
−0,225
=
10
3
.
f 0 est une fonction ane avec a  0 et
10
3
 1 donc : f 0(x)  0 sur
l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1].
On peut calculer f (0) et f (1) :
f (0) = 0,75 × 0 − 0,1125 × 02
= 0
f (1) = 0,75 × 1 − 0,1125 × 12
= 0,75 − 0,1125 = 0,6375.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
Corrigé Question 2
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1].
On peut calculer f (0) et f (1) :
f (0) = 0,75 × 0 − 0,1125 × 02
= 0
f (1) = 0,75 × 1 − 0,1125 × 12
= 0,75 − 0,1125 = 0,6375.
On peut donc construire le tableau de variation suivant :
x
f 0(x)
Variations de
f
0 1
+
0
0
0,6375
0,6375
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
Corrigé Question 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 17 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.
c Déterminer la limite ` de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 18 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
La fonction f est dénie, pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
La fonction f est dénie, pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
On peut résoudre facilement l'équation f (x) = x sur [0; 1] :
f (x) = x ⇔ 0,75x − 0,1125x2
= x ⇔ (0,75 − 1)x − 0,1125x2
= 0
⇔ −0,25x − 0,1125x2
= 0 ⇔ −x(0,25 + 0,1125x) = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
La fonction f est dénie, pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
On peut résoudre facilement l'équation f (x) = x sur [0; 1] :
f (x) = x ⇔ 0,75x − 0,1125x2
= x ⇔ (0,75 − 1)x − 0,1125x2
= 0
⇔ −0,25x − 0,1125x2
= 0 ⇔ −x(0,25 + 0,1125x) = 0.
−x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
−x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
−x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
La première équation nous donne comme solution x = 0 qui appartient
bien à l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
−x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
La première équation nous donne comme solution x = 0 qui appartient
bien à l'intervalle [0; 1].
La seconde équation nous donne comme solution
x =
−0,25
0,1125
=
−20
9
 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
Corrigé Question 3
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.
−x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
La première équation nous donne comme solution x = 0 qui appartient
bien à l'intervalle [0; 1].
La seconde équation nous donne comme solution
x =
−0,25
0,1125
=
−20
9
 0.
Conclusion : l'équation f (x) = x a une seule solution x = 0 sur
l'intervalle [0; 1].
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
Corrigé Question 3
Remarque
On pouvait utiliser le théorème de la bijection pour prouver l'existence
d'une solution à l'équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1].
Mais ce théorème est à réserver quand on ne peut pas facilement résoudre
algébriquement l'équation.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 21 / 39
Corrigé Question 4a
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 22 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.
c Déterminer la limite ` de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 23 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn :  0 6 un 6 1 . On démontre
que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn :  0 6 un 6 1 . On démontre
que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la
propriété P0 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn :  0 6 un 6 1 . On démontre
que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la
propriété P0 est vraie.
Hérédité : On suppose que, pour un rang n  0, la propriété Pn est
vraie, c'est-à-dire 0 6 un 6 1 (hypothèse de récurrence). On démontre
que la propriété Pn+1 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn :  0 6 un 6 1 . On démontre
que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la
propriété P0 est vraie.
Hérédité : On suppose que, pour un rang n  0, la propriété Pn est
vraie, c'est-à-dire 0 6 un 6 1 (hypothèse de récurrence). On démontre
que la propriété Pn+1 est vraie.
On a :
un+1 = 0,75un × (1 − 0,un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn :  0 6 un 6 1 . On démontre
que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la
propriété P0 est vraie.
Hérédité : On suppose que, pour un rang n  0, la propriété Pn est
vraie, c'est-à-dire 0 6 un 6 1 (hypothèse de récurrence). On démontre
que la propriété Pn+1 est vraie.
On a :
un+1 = 0,75un × (1 − 0,un).
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, 0 6 un 6 1 donc
0 6 0,75 × un 6 1 et 0 6 0,15 × un 6 1 :
0 6 0,15un 6 1 ⇔ −1 6 −0,15un 6 0 ⇔ 0 6 1 − 0,15un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.
Ainsi : 0 6 0,75un(1 − 0,15un) 6 1 ou encore 0 6 un+1 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.
Ainsi : 0 6 0,75un(1 − 0,15un) 6 1 ou encore 0 6 un+1 6 1.
La propriété Pn+1 est démontrée.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.
Ainsi : 0 6 0,75un(1 − 0,15un) 6 1 ou encore 0 6 un+1 6 1.
La propriété Pn+1 est démontrée.
Conclusion : la propriété Pn a été initialisée pour n = 0 et est
héréditaire à partir du rang n = 0. Donc, d'après le principe de
récurrence, la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire :
0 6 un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn :  un+1 6 un . On démontre
que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn :  un+1 6 un . On démontre
que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Initialisation : pour n = 0, on a :
u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409
et donc : u1 6 u0. La propriété Q0 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn :  un+1 6 un . On démontre
que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Initialisation : pour n = 0, on a :
u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409
et donc : u1 6 u0. La propriété Q0 est vraie.
Hérédité : on suppose que la propriété Qn est vraie pour un certain
rang n  0, c'est-à-dire un+1 6 un. On démontre que la propriété
Qn+1 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
Corrigé Question 4a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn :  un+1 6 un . On démontre
que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.
Initialisation : pour n = 0, on a :
u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409
et donc : u1 6 u0. La propriété Q0 est vraie.
Hérédité : on suppose que la propriété Qn est vraie pour un certain
rang n  0, c'est-à-dire un+1 6 un. On démontre que la propriété
Qn+1 est vraie.
On part de l'hypothèse de récurrence un+1 6 un. D'après la question
2, la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et un+1 = f (un).
On a donc :
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
Corrigé Question 4a
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
Corrigé Question 4a
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
Corrigé Question 4a
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
La propriété Qn+1 est vraie.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
Corrigé Question 4a
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
La propriété Qn+1 est vraie.
Conclusion : la propriété Qn a été initialisée pour n = 0 et elle est
héréditaire à partir du rang n = 0. Donc, d'après le principe de
récurrence, la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire :
un+1 6 un.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
Corrigé Question 4a
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
La propriété Qn+1 est vraie.
Conclusion : la propriété Qn a été initialisée pour n = 0 et elle est
héréditaire à partir du rang n = 0. Donc, d'après le principe de
récurrence, la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire :
un+1 6 un.
En combinant les deux propriétés Pn et Qn, on a démontré par
récurrence que, pour tout n ∈ N :
0 6 un+1 6 un 6 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
Corrigé Question 4b
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 28 / 39
Corrigé Question 4b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.
c Déterminer la limite ` de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 29 / 39
Corrigé Question 4b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
En déduire que la suite (un) est convergente.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
Corrigé Question 4b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
En déduire que la suite (un) est convergente.
La question précédente a permis de démontrer d'une part que la suite
(un) est décroissante et d'autre part que, pour tout n ∈ N, tous les
termes de la suite (un) sont compris entre 0 et 1.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
Corrigé Question 4b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
En déduire que la suite (un) est convergente.
La question précédente a permis de démontrer d'une part que la suite
(un) est décroissante et d'autre part que, pour tout n ∈ N, tous les
termes de la suite (un) sont compris entre 0 et 1.
Cela veut dire que la suite (un) est décroissante et minorée par 0 (elle
est même bornée).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
Corrigé Question 4b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
En déduire que la suite (un) est convergente.
La question précédente a permis de démontrer d'une part que la suite
(un) est décroissante et d'autre part que, pour tout n ∈ N, tous les
termes de la suite (un) sont compris entre 0 et 1.
Cela veut dire que la suite (un) est décroissante et minorée par 0 (elle
est même bornée).
Conclusion : la suite (un) est convergente.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
Corrigé Question 4c
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 31 / 39
Corrigé Question 4c
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.
c Déterminer la limite ` de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 32 / 39
Corrigé Question 4c
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Déterminer la limite ` de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
Corrigé Question 4c
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Déterminer la limite ` de la suite (un).
On utilise un résultat des suites dénies par récurrence :  Si (un) est
dénie par récurrence avec un+1 = f (un) et si (un) converge vers `
alors ` vérie l'égalité f (`) = `. 
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
Corrigé Question 4c
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Déterminer la limite ` de la suite (un).
On utilise un résultat des suites dénies par récurrence :  Si (un) est
dénie par récurrence avec un+1 = f (un) et si (un) converge vers `
alors ` vérie l'égalité f (`) = `. 
Or, on a déjà résolu cette équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1] à la
question 3.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
Corrigé Question 4c
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Déterminer la limite ` de la suite (un).
On utilise un résultat des suites dénies par récurrence :  Si (un) est
dénie par récurrence avec un+1 = f (un) et si (un) converge vers `
alors ` vérie l'égalité f (`) = `. 
Or, on a déjà résolu cette équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1] à la
question 3.
Conclusion : la seule solution sur [0; 1] de l'équation f (x) = x étant
x = 0, la valeur de la limite ` de la suite (un) est donc 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
Corrigé Question 5a
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 34 / 39
Corrigé Question 5a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée
d'extinction.
a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
b Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 35 / 39
Corrigé Question 5a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
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Corrigé Question 5a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
D'après la question précédente, la limite de la suite (un) est ` = 0.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 36 / 39
Corrigé Question 5a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
D'après la question précédente, la limite de la suite (un) est ` = 0.
Cela veut dire qu'à partir d'un certain rang N, tous les termes de la
suite (un) seront inférieurs ou égaux 0,02.
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Corrigé Question 5a
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
D'après la question précédente, la limite de la suite (un) est ` = 0.
Cela veut dire qu'à partir d'un certain rang N, tous les termes de la
suite (un) seront inférieurs ou égaux 0,02.
Conclusion : selon son modèle, le biologiste a raison de penser que
l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
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Corrigé Question 5b
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 37 / 39
Corrigé Question 5b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée
d'extinction.
a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
b Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
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Corrigé Question 5b
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Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
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Corrigé Question 5b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02.
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Corrigé Question 5b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02.
Une exécution sur la calculatrice nous donne N = 11.
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Corrigé Question 5b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02.
Une exécution sur la calculatrice nous donne N = 11.
On peut aussi regarder le tableau de valeurs des termes de la suite
(un).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 39 / 39
Corrigé Question 5b
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02.
Une exécution sur la calculatrice nous donne N = 11.
On peut aussi regarder le tableau de valeurs des termes de la suite
(un).
Conclusion : à partir du début de l'année 2031, l'espèce sera
menacée d'extinction sur cette île.
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Préparation E3C 2021 - Exercice 4 : ProbabilitésPréparation E3C 2021 - Exercice 4 : Probabilités
Préparation E3C 2021 - Exercice 4 : Probabilités
 

BAC SpéMaths Amérique du Nord 2021 - Exercice 2 : Suites numériques

  • 1. BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021 Exercice 2 : Suites numériques Clément Boulonne (CBMaths) 30 mai 2021 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 1 / 39
  • 2. Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 2 / 39
  • 3. Énoncé Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 3 / 39
  • 4. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacique. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
  • 5. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacique. Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
  • 6. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacique. Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus. Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un) dénie par : ( u0 = 0,6 un+1 = 0,75un(1 − 0,15un) où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année 2020 + n. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
  • 7. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacique. Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus. Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un) dénie par : ( u0 = 0,6 un+1 = 0,75un(1 − 0,15un) où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année 2020 + n. 1 Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 4 / 39
  • 8. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 9. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 10. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 11. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 12. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 13. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 14. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. b En déduire que la suite (un) est convergente. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 15. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. b En déduire que la suite (un) est convergente. c Déterminer la limite ` de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 5 / 39
  • 16. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
  • 17. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques 5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
  • 18. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques 5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
  • 19. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques 5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. b Le biologiste a programmé en langage Python 1 la fonction menace() ci-dessous. def menace(): u=0.6 n=0 while u0.02: u=0.75*u*(1-0,15*u) n=n+1 return n Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
  • 20. Énoncé BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques 5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. b Le biologiste a programmé en langage Python 1 la fonction menace() ci-dessous. def menace(): u=0.6 n=0 while u0.02: u=0.75*u*(1-0,15*u) n=n+1 return n Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 1 Note de l'auteur : dans le sujet originel, il y avait une erreur de syntaxe au niveau de la boucle while que j'ai corrigé. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 6 / 39
  • 21. Corrigé Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 7 / 39
  • 22. Corrigé Question 1 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 8 / 39
  • 23. Corrigé Question 1 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacique. Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus. Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un) dénie par : ( u0 = 0,6 un+1 = 0,75un(1 − 0,15un) où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année 2020 + n. 1 Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 9 / 39
  • 24. Corrigé Question 1 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 10 / 39
  • 25. Corrigé Question 1 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. On considère la suite (un) dénie pour tout n ∈ N par : ( u0 = 0,6 un+1 = 0,75un(1 − 0,15un) Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 10 / 39
  • 26. Corrigé Question 1 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. On considère la suite (un) dénie pour tout n ∈ N par : ( u0 = 0,6 un+1 = 0,75un(1 − 0,15un) On calcule : u1 = 0,75 × u0(1 − 0,15u0) = 0,75 × 0,6(1 − 0,15 × 0,6) = 0,75 × 0,6 × 0,91 ≈ 0,409 ; u2 = 0,75 × u1(1 − 0,15u1) = 0,75 × 0,6(1 − 0,15 × 0,409) = 0,75 × 0,409 × 0,938575 ≈ 0,288. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 10 / 39
  • 27. Corrigé Question 1 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 11 / 39
  • 28. Corrigé Question 1 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. Or u1 (resp. u2) désigne le nombre d'individus sur l'île, en milliers, au début de l'année 2021 (resp. 2022). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 11 / 39
  • 29. Corrigé Question 1 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022. Or u1 (resp. u2) désigne le nombre d'individus sur l'île, en milliers, au début de l'année 2021 (resp. 2022). Conclusion : en début d'année 2021, il y a environ 409 individus sur l'île puis 288 au début de l'année 2022. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 11 / 39
  • 30. Corrigé Question 2 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 12 / 39
  • 31. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. b En déduire que la suite (un) est convergente. c Déterminer la limite ` de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 13 / 39
  • 32. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
  • 33. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par : f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
  • 34. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par : f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). On développe l'expression de f (x) : f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2 . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
  • 35. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par : f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). On développe l'expression de f (x) : f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2 . f est dérivable sur l'intervalle [0; 1] car f est une somme de deux fonctions dérivables sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
  • 36. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par : f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). On développe l'expression de f (x) : f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2 . f est dérivable sur l'intervalle [0; 1] car f est une somme de deux fonctions dérivables sur l'intervalle [0; 1]. On peut donc facilement déterminer la fonction f 0 dérivée de la fonction f : f 0 (x) = −0,225x + 0,75. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 14 / 39
  • 37. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
  • 38. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1] revient à étudier le signe de f 0(x) sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
  • 39. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1] revient à étudier le signe de f 0(x) sur l'intervalle [0; 1]. On résout f 0(x) = 0 : f 0 (x) = 0 ⇔ −0,225x + 0,75 = 0 ⇔ −0,225x = −0,75 ⇔ x = −0,75 −0,225 = 10 3 . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
  • 40. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1] revient à étudier le signe de f 0(x) sur l'intervalle [0; 1]. On résout f 0(x) = 0 : f 0 (x) = 0 ⇔ −0,225x + 0,75 = 0 ⇔ −0,225x = −0,75 ⇔ x = −0,75 −0,225 = 10 3 . f 0 est une fonction ane avec a 0 et 10 3 1 donc : f 0(x) 0 sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 15 / 39
  • 41. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
  • 42. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
  • 43. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1]. On peut calculer f (0) et f (1) : f (0) = 0,75 × 0 − 0,1125 × 02 = 0 f (1) = 0,75 × 1 − 0,1125 × 12 = 0,75 − 0,1125 = 0,6375. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
  • 44. Corrigé Question 2 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et dresser son tableau de variations. Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1]. On peut calculer f (0) et f (1) : f (0) = 0,75 × 0 − 0,1125 × 02 = 0 f (1) = 0,75 × 1 − 0,1125 × 12 = 0,75 − 0,1125 = 0,6375. On peut donc construire le tableau de variation suivant : x f 0(x) Variations de f 0 1 + 0 0 0,6375 0,6375 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 16 / 39
  • 45. Corrigé Question 3 Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 17 / 39
  • 46. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. b En déduire que la suite (un) est convergente. c Déterminer la limite ` de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 18 / 39
  • 47. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
  • 48. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. La fonction f est dénie, pour tout x ∈ [0; 1] par : f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2 . Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
  • 49. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. La fonction f est dénie, pour tout x ∈ [0; 1] par : f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2 . On peut résoudre facilement l'équation f (x) = x sur [0; 1] : f (x) = x ⇔ 0,75x − 0,1125x2 = x ⇔ (0,75 − 1)x − 0,1125x2 = 0 ⇔ −0,25x − 0,1125x2 = 0 ⇔ −x(0,25 + 0,1125x) = 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
  • 50. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. La fonction f est dénie, pour tout x ∈ [0; 1] par : f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2 . On peut résoudre facilement l'équation f (x) = x sur [0; 1] : f (x) = x ⇔ 0,75x − 0,1125x2 = x ⇔ (0,75 − 1)x − 0,1125x2 = 0 ⇔ −0,25x − 0,1125x2 = 0 ⇔ −x(0,25 + 0,1125x) = 0. −x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs donc : soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 19 / 39
  • 51. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
  • 52. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. −x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs donc : soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0 Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
  • 53. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. −x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs donc : soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0 La première équation nous donne comme solution x = 0 qui appartient bien à l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
  • 54. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. −x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs donc : soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0 La première équation nous donne comme solution x = 0 qui appartient bien à l'intervalle [0; 1]. La seconde équation nous donne comme solution x = −0,25 0,1125 = −20 9 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
  • 55. Corrigé Question 3 BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x. −x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs donc : soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0 La première équation nous donne comme solution x = 0 qui appartient bien à l'intervalle [0; 1]. La seconde équation nous donne comme solution x = −0,25 0,1125 = −20 9 0. Conclusion : l'équation f (x) = x a une seule solution x = 0 sur l'intervalle [0; 1]. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 20 / 39
  • 56. Corrigé Question 3 Remarque On pouvait utiliser le théorème de la bijection pour prouver l'existence d'une solution à l'équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1]. Mais ce théorème est à réserver quand on ne peut pas facilement résoudre algébriquement l'équation. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 21 / 39
  • 57. Corrigé Question 4a Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 22 / 39
  • 58. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. b En déduire que la suite (un) est convergente. c Déterminer la limite ` de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 23 / 39
  • 59. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
  • 60. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn : 0 6 un 6 1 . On démontre que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
  • 61. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn : 0 6 un 6 1 . On démontre que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la propriété P0 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
  • 62. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn : 0 6 un 6 1 . On démontre que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la propriété P0 est vraie. Hérédité : On suppose que, pour un rang n 0, la propriété Pn est vraie, c'est-à-dire 0 6 un 6 1 (hypothèse de récurrence). On démontre que la propriété Pn+1 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
  • 63. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn : 0 6 un 6 1 . On démontre que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la propriété P0 est vraie. Hérédité : On suppose que, pour un rang n 0, la propriété Pn est vraie, c'est-à-dire 0 6 un 6 1 (hypothèse de récurrence). On démontre que la propriété Pn+1 est vraie. On a : un+1 = 0,75un × (1 − 0,un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
  • 64. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn : 0 6 un 6 1 . On démontre que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la propriété P0 est vraie. Hérédité : On suppose que, pour un rang n 0, la propriété Pn est vraie, c'est-à-dire 0 6 un 6 1 (hypothèse de récurrence). On démontre que la propriété Pn+1 est vraie. On a : un+1 = 0,75un × (1 − 0,un). Or, d'après l'hypothèse de récurrence, 0 6 un 6 1 donc 0 6 0,75 × un 6 1 et 0 6 0,15 × un 6 1 : 0 6 0,15un 6 1 ⇔ −1 6 −0,15un 6 0 ⇔ 0 6 1 − 0,15un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 24 / 39
  • 65. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
  • 66. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
  • 67. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1. Ainsi : 0 6 0,75un(1 − 0,15un) 6 1 ou encore 0 6 un+1 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
  • 68. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1. Ainsi : 0 6 0,75un(1 − 0,15un) 6 1 ou encore 0 6 un+1 6 1. La propriété Pn+1 est démontrée. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
  • 69. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1. Ainsi : 0 6 0,75un(1 − 0,15un) 6 1 ou encore 0 6 un+1 6 1. La propriété Pn+1 est démontrée. Conclusion : la propriété Pn a été initialisée pour n = 0 et est héréditaire à partir du rang n = 0. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire : 0 6 un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 25 / 39
  • 70. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
  • 71. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn : un+1 6 un . On démontre que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
  • 72. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn : un+1 6 un . On démontre que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Initialisation : pour n = 0, on a : u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409 et donc : u1 6 u0. La propriété Q0 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
  • 73. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn : un+1 6 un . On démontre que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Initialisation : pour n = 0, on a : u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409 et donc : u1 6 u0. La propriété Q0 est vraie. Hérédité : on suppose que la propriété Qn est vraie pour un certain rang n 0, c'est-à-dire un+1 6 un. On démontre que la propriété Qn+1 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
  • 74. Corrigé Question 4a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn : un+1 6 un . On démontre que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence. Initialisation : pour n = 0, on a : u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409 et donc : u1 6 u0. La propriété Q0 est vraie. Hérédité : on suppose que la propriété Qn est vraie pour un certain rang n 0, c'est-à-dire un+1 6 un. On démontre que la propriété Qn+1 est vraie. On part de l'hypothèse de récurrence un+1 6 un. D'après la question 2, la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et un+1 = f (un). On a donc : f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 26 / 39
  • 75. Corrigé Question 4a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
  • 76. Corrigé Question 4a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
  • 77. Corrigé Question 4a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1. La propriété Qn+1 est vraie. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
  • 78. Corrigé Question 4a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1. La propriété Qn+1 est vraie. Conclusion : la propriété Qn a été initialisée pour n = 0 et elle est héréditaire à partir du rang n = 0. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire : un+1 6 un. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
  • 79. Corrigé Question 4a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1. La propriété Qn+1 est vraie. Conclusion : la propriété Qn a été initialisée pour n = 0 et elle est héréditaire à partir du rang n = 0. Donc, d'après le principe de récurrence, la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire : un+1 6 un. En combinant les deux propriétés Pn et Qn, on a démontré par récurrence que, pour tout n ∈ N : 0 6 un+1 6 un 6 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 27 / 39
  • 80. Corrigé Question 4b Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 28 / 39
  • 81. Corrigé Question 4b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. b En déduire que la suite (un) est convergente. c Déterminer la limite ` de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 29 / 39
  • 82. Corrigé Question 4b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques En déduire que la suite (un) est convergente. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
  • 83. Corrigé Question 4b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques En déduire que la suite (un) est convergente. La question précédente a permis de démontrer d'une part que la suite (un) est décroissante et d'autre part que, pour tout n ∈ N, tous les termes de la suite (un) sont compris entre 0 et 1. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
  • 84. Corrigé Question 4b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques En déduire que la suite (un) est convergente. La question précédente a permis de démontrer d'une part que la suite (un) est décroissante et d'autre part que, pour tout n ∈ N, tous les termes de la suite (un) sont compris entre 0 et 1. Cela veut dire que la suite (un) est décroissante et minorée par 0 (elle est même bornée). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
  • 85. Corrigé Question 4b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques En déduire que la suite (un) est convergente. La question précédente a permis de démontrer d'une part que la suite (un) est décroissante et d'autre part que, pour tout n ∈ N, tous les termes de la suite (un) sont compris entre 0 et 1. Cela veut dire que la suite (un) est décroissante et minorée par 0 (elle est même bornée). Conclusion : la suite (un) est convergente. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 30 / 39
  • 86. Corrigé Question 4c Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 31 / 39
  • 87. Corrigé Question 4c BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par f (x) = 0,75x(1 − 0,15x). 2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations. 3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x. On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n, un+1 = f (un). 4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 6 un+1 6 un 6 1. b En déduire que la suite (un) est convergente. c Déterminer la limite ` de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 32 / 39
  • 88. Corrigé Question 4c BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Déterminer la limite ` de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
  • 89. Corrigé Question 4c BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Déterminer la limite ` de la suite (un). On utilise un résultat des suites dénies par récurrence : Si (un) est dénie par récurrence avec un+1 = f (un) et si (un) converge vers ` alors ` vérie l'égalité f (`) = `. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
  • 90. Corrigé Question 4c BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Déterminer la limite ` de la suite (un). On utilise un résultat des suites dénies par récurrence : Si (un) est dénie par récurrence avec un+1 = f (un) et si (un) converge vers ` alors ` vérie l'égalité f (`) = `. Or, on a déjà résolu cette équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1] à la question 3. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
  • 91. Corrigé Question 4c BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Déterminer la limite ` de la suite (un). On utilise un résultat des suites dénies par récurrence : Si (un) est dénie par récurrence avec un+1 = f (un) et si (un) converge vers ` alors ` vérie l'égalité f (`) = `. Or, on a déjà résolu cette équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1] à la question 3. Conclusion : la seule solution sur [0; 1] de l'équation f (x) = x étant x = 0, la valeur de la limite ` de la suite (un) est donc 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 33 / 39
  • 92. Corrigé Question 5a Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 34 / 39
  • 93. Corrigé Question 5a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques 5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. b Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous. def menace(): u=0.6 n=0 while u0.02: u=0.75*u*(1-0,15*u) n=n+1 return n Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 35 / 39
  • 94. Corrigé Question 5a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 36 / 39
  • 95. Corrigé Question 5a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. D'après la question précédente, la limite de la suite (un) est ` = 0. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 36 / 39
  • 96. Corrigé Question 5a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. D'après la question précédente, la limite de la suite (un) est ` = 0. Cela veut dire qu'à partir d'un certain rang N, tous les termes de la suite (un) seront inférieurs ou égaux 0,02. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 36 / 39
  • 97. Corrigé Question 5a BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. D'après la question précédente, la limite de la suite (un) est ` = 0. Cela veut dire qu'à partir d'un certain rang N, tous les termes de la suite (un) seront inférieurs ou égaux 0,02. Conclusion : selon son modèle, le biologiste a raison de penser que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 36 / 39
  • 98. Corrigé Question 5b Sommaire 1 Énoncé 2 Corrigé Question 1 Question 2 Question 3 Question 4a Question 4b Question 4c Question 5a Question 5b Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 37 / 39
  • 99. Corrigé Question 5b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques 5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison. b Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous. def menace(): u=0.6 n=0 while u0.02: u=0.75*u*(1-0,15*u) n=n+1 return n Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 38 / 39
  • 100. Corrigé Question 5b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 39 / 39
  • 101. Corrigé Question 5b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 39 / 39
  • 102. Corrigé Question 5b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02. Une exécution sur la calculatrice nous donne N = 11. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 39 / 39
  • 103. Corrigé Question 5b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02. Une exécution sur la calculatrice nous donne N = 11. On peut aussi regarder le tableau de valeurs des termes de la suite (un). Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 39 / 39
  • 104. Corrigé Question 5b BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02. Une exécution sur la calculatrice nous donne N = 11. On peut aussi regarder le tableau de valeurs des termes de la suite (un). Conclusion : à partir du début de l'année 2031, l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île. Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 39 / 39