BAC SpéMaths Amérique du Nord 2021 - Exercice 2 : Suites numériques

BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021
Exercice 2 : Suites numériques
Clément Boulonne (CBMaths)
30 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.2 30 mai 2021 1 / 39

Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé

Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Suites numériques
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce
animale sur une île du Pacique.

Énoncé
Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus.
On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa
population devient inférieure ou égale à 20 individus.

Énoncé
Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (un) dénie
par : (
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
où pour tout entier naturel n, un désigne le nombre d'individus, en
milliers, au début de l'année 2020 + n.

Énoncé
par : (
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
1 Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au
début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.

Énoncé
Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 1] par
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).

Énoncé
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
2 Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et dresser
son tableau de variations.

Énoncé
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
3 Résoudre dans l'intervalle [0 ; 1] l'équation f (x) = x.

Énoncé
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier n,
un+1 = f (un).

Énoncé
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
4 a Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.

Énoncé
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
0 6 un+1 6 un 6 1.
b En déduire que la suite (un) est convergente.

Énoncé
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
0 6 un+1 6 un 6 1.
c Déterminer la limite ` de la suite (un).

Énoncé

Énoncé
5 Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée
d'extinction.

Énoncé
d'extinction.
a Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.

Énoncé
d'extinction.
b Le biologiste a programmé en langage Python 1
la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction
menace().
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Énoncé
d'extinction.
b Le biologiste a programmé en langage Python 1
la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
menace().
1
Note de l'auteur : dans le sujet originel, il y avait une erreur de syntaxe au
niveau de la boucle while que j'ai corrigé.

Corrigé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé

Corrigé Question 1
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

Corrigé Question 1
par : (
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
1 Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au

Corrigé Question 1
Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au

Corrigé Question 1
On considère la suite (un) dénie pour tout n ∈ N par :
(
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)

Corrigé Question 1
On considère la suite (un) dénie pour tout n ∈ N par :
(
u0 = 0,6
un+1 = 0,75un(1 − 0,15un)
On calcule :
u1 = 0,75 × u0(1 − 0,15u0) = 0,75 × 0,6(1 − 0,15 × 0,6)
= 0,75 × 0,6 × 0,91 ≈ 0,409 ;
u2 = 0,75 × u1(1 − 0,15u1) = 0,75 × 0,6(1 − 0,15 × 0,409)
= 0,75 × 0,409 × 0,938575 ≈ 0,288.

Corrigé Question 1

Corrigé Question 1
Or u1 (resp. u2) désigne le nombre d'individus sur l'île, en milliers, au
début de l'année 2021 (resp. 2022).

Corrigé Question 1
Or u1 (resp. u2) désigne le nombre d'individus sur l'île, en milliers, au
début de l'année 2021 (resp. 2022).
Conclusion : en début d'année 2021, il y a environ 409 individus sur
l'île puis 288 au début de l'année 2022.

Corrigé Question 2
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

Corrigé Question 2
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
0 6 un+1 6 un 6 1.

Corrigé Question 2
Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et
dresser son tableau de variations.

Corrigé Question 2
On considère la fonction f dénie pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).

Corrigé Question 2
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
On développe l'expression de f (x) :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.

Corrigé Question 2
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
f est dérivable sur l'intervalle [0; 1] car f est une somme de deux
fonctions dérivables sur l'intervalle [0; 1].

Corrigé Question 2
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
f est dérivable sur l'intervalle [0; 1] car f est une somme de deux
fonctions dérivables sur l'intervalle [0; 1].
On peut donc facilement déterminer la fonction f 0 dérivée de la
fonction f :
f 0
(x) = −0,225x + 0,75.

Corrigé Question 2

Corrigé Question 2
Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 1]
revient à étudier le signe de f 0(x) sur l'intervalle [0; 1].

Corrigé Question 2
On résout f 0(x) = 0 :
f 0
(x) = 0 ⇔ −0,225x + 0,75 = 0 ⇔ −0,225x = −0,75
⇔ x =
−0,75
−0,225
=
10
3
.

Corrigé Question 2
On résout f 0(x) = 0 :
f 0
(x) = 0 ⇔ −0,225x + 0,75 = 0 ⇔ −0,225x = −0,75
⇔ x =
−0,75
−0,225
=
10
3
.
f 0 est une fonction ane avec a 0 et
10
3
1 donc : f 0(x) 0 sur
l'intervalle [0; 1].

Corrigé Question 2

Corrigé Question 2
Conclusion : la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1].

Corrigé Question 2
On peut calculer f (0) et f (1) :
f (0) = 0,75 × 0 − 0,1125 × 02
= 0
f (1) = 0,75 × 1 − 0,1125 × 12
= 0,75 − 0,1125 = 0,6375.

Corrigé Question 2
On peut calculer f (0) et f (1) :
f (0) = 0,75 × 0 − 0,1125 × 02
= 0
f (1) = 0,75 × 1 − 0,1125 × 12
= 0,75 − 0,1125 = 0,6375.
On peut donc construire le tableau de variation suivant :
x
f 0(x)
Variations de
f
0 1
+
0
0
0,6375
0,6375

Corrigé Question 3
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

Corrigé Question 3
f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
0 6 un+1 6 un 6 1.

Corrigé Question 3
Résoudre dans l'intervalle [0; 1] l'équation f (x) = x.

Corrigé Question 3
La fonction f est dénie, pour tout x ∈ [0; 1] par :
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.

Corrigé Question 3
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
On peut résoudre facilement l'équation f (x) = x sur [0; 1] :
f (x) = x ⇔ 0,75x − 0,1125x2
= x ⇔ (0,75 − 1)x − 0,1125x2
= 0
⇔ −0,25x − 0,1125x2
= 0 ⇔ −x(0,25 + 0,1125x) = 0.

Corrigé Question 3
f (x) = 0,75x − 0,75x × 0,15x = 0,75x − 0,1125x2
.
On peut résoudre facilement l'équation f (x) = x sur [0; 1] :
f (x) = x ⇔ 0,75x − 0,1125x2
= x ⇔ (0,75 − 1)x − 0,1125x2
= 0
⇔ −0,25x − 0,1125x2
= 0 ⇔ −x(0,25 + 0,1125x) = 0.
−x(0,25 + 0,1125x) = 0 est une équation produit nulle à 2 facteurs
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0

Corrigé Question 3

Corrigé Question 3
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0

Corrigé Question 3
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
La première équation nous donne comme solution x = 0 qui appartient
bien à l'intervalle [0; 1].

Corrigé Question 3
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
La seconde équation nous donne comme solution
x =
−0,25
0,1125
=
−20
9
0.

Corrigé Question 3
donc :
soit : − x = 0 ou soit : 0,25 + 0,1125x = 0
La seconde équation nous donne comme solution
x =
−0,25
0,1125
=
−20
9
0.
Conclusion : l'équation f (x) = x a une seule solution x = 0 sur
l'intervalle [0; 1].

Corrigé Question 3
Remarque
On pouvait utiliser le théorème de la bijection pour prouver l'existence
d'une solution à l'équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1].
Mais ce théorème est à réserver quand on ne peut pas facilement résoudre
algébriquement l'équation.

Corrigé Question 4a
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
0 6 un+1 6 un 6 1.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
0 6 un+1 6 un 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Pn : 0 6 un 6 1 . On démontre
que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.

0 6 un+1 6 un 6 1.
Initialisation : Pour n = 0, u0 = 0,6 et 0 6 0,6 6 1. Donc la
propriété P0 est vraie.

0 6 un+1 6 un 6 1.
Hérédité : On suppose que, pour un rang n 0, la propriété Pn est
vraie, c'est-à-dire 0 6 un 6 1 (hypothèse de récurrence). On démontre
que la propriété Pn+1 est vraie.

0 6 un+1 6 un 6 1.
On a :
un+1 = 0,75un × (1 − 0,un).

0 6 un+1 6 un 6 1.
On a :
un+1 = 0,75un × (1 − 0,un).
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, 0 6 un 6 1 donc
0 6 0,75 × un 6 1 et 0 6 0,15 × un 6 1 :
0 6 0,15un 6 1 ⇔ −1 6 −0,15un 6 0 ⇔ 0 6 1 − 0,15un 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.
Ainsi : 0 6 0,75un(1 − 0,15un) 6 1 ou encore 0 6 un+1 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.
La propriété Pn+1 est démontrée.

0 6 un+1 6 un 6 1.
On a donc : 0 6 0,75un 6 1 et 0 6 1 − 0,15un 6 1.
La propriété Pn+1 est démontrée.
Conclusion : la propriété Pn a été initialisée pour n = 0 et est
héréditaire à partir du rang n = 0. Donc, d'après le principe de
récurrence, la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire :
0 6 un 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.
Soit n ∈ N, on pose la propriété Qn : un+1 6 un . On démontre
que la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N par récurrence.

0 6 un+1 6 un 6 1.
Initialisation : pour n = 0, on a :
u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409
et donc : u1 6 u0. La propriété Q0 est vraie.

0 6 un+1 6 un 6 1.
u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409
Hérédité : on suppose que la propriété Qn est vraie pour un certain
rang n 0, c'est-à-dire un+1 6 un. On démontre que la propriété
Qn+1 est vraie.

0 6 un+1 6 un 6 1.
u0 = 0,6 et u1 ≈ 0,409
Hérédité : on suppose que la propriété Qn est vraie pour un certain
rang n 0, c'est-à-dire un+1 6 un. On démontre que la propriété
Qn+1 est vraie.
On part de l'hypothèse de récurrence un+1 6 un. D'après la question
2, la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 1] et un+1 = f (un).
On a donc :
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.

0 6 un+1 6 un 6 1.

0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.

0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
La propriété Qn+1 est vraie.

0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
Conclusion : la propriété Qn a été initialisée pour n = 0 et elle est
récurrence, la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire :
un+1 6 un.

0 6 un+1 6 un 6 1.
f (un+1) 6 f (un) ⇔ un+2 6 un+1.
Conclusion : la propriété Qn a été initialisée pour n = 0 et elle est
récurrence, la propriété Qn est vraie pour tout n ∈ N, c'est-à-dire :
un+1 6 un.
En combinant les deux propriétés Pn et Qn, on a démontré par
récurrence que, pour tout n ∈ N :
0 6 un+1 6 un 6 1.

Corrigé Question 4b
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
0 6 un+1 6 un 6 1.

En déduire que la suite (un) est convergente.

La question précédente a permis de démontrer d'une part que la suite
(un) est décroissante et d'autre part que, pour tout n ∈ N, tous les
termes de la suite (un) sont compris entre 0 et 1.

Cela veut dire que la suite (un) est décroissante et minorée par 0 (elle
est même bornée).

Cela veut dire que la suite (un) est décroissante et minorée par 0 (elle
est même bornée).
Conclusion : la suite (un) est convergente.

Corrigé Question 4c
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

f (x) = 0,75x(1 − 0,15x).
un+1 = f (un).
0 6 un+1 6 un 6 1.

Déterminer la limite ` de la suite (un).

On utilise un résultat des suites dénies par récurrence : Si (un) est
dénie par récurrence avec un+1 = f (un) et si (un) converge vers `
alors ` vérie l'égalité f (`) = `.

Or, on a déjà résolu cette équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1] à la
question 3.

Or, on a déjà résolu cette équation f (x) = x sur l'intervalle [0; 1] à la
question 3.
Conclusion : la seule solution sur [0; 1] de l'équation f (x) = x étant
x = 0, la valeur de la limite ` de la suite (un) est donc 0.

Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

d'extinction.
b Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
menace().

Justier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.

D'après la question précédente, la limite de la suite (un) est ` = 0.

Cela veut dire qu'à partir d'un certain rang N, tous les termes de la
suite (un) seront inférieurs ou égaux 0,02.

Cela veut dire qu'à partir d'un certain rang N, tous les termes de la
suite (un) seront inférieurs ou égaux 0,02.
Conclusion : selon son modèle, le biologiste a raison de penser que
l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.

Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4a
Question 4b
Question 4c
Question 5a
Question 5b

d'extinction.
b Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace()
ci-dessous.
def menace():
u=0.6
n=0
while u0.02:
u=0.75*u*(1-0,15*u)
n=n+1
return n
menace().

menace().

menace().
Le programme donne en sortie le plus petit entier N tel que uN 6 0,02.

menace().
Une exécution sur la calculatrice nous donne N = 11.

menace().
On peut aussi regarder le tableau de valeurs des termes de la suite
(un).

menace().
On peut aussi regarder le tableau de valeurs des termes de la suite
(un).
Conclusion : à partir du début de l'année 2031, l'espèce sera
menacée d'extinction sur cette île.

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