Préparation E3C 2021 Exercice 3 : Suites numériques

1. Préparation E3C 2021
Exercice 3 : Suites numériques
Clément Boulonne (CBMaths)
9 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 1 / 40

2. Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 2 / 40

3. Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 3 / 40

4. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 40

5. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 40

6. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 40

7. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
4 Démontrer que la suite (un) est croissante.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 40

8. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
4 Démontrer que la suite (un) est croissante.
5 À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 4 / 40

9. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 40

10. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 40

11. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 40

12. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
4 Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 40

13. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
4 Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
5 En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 5 / 40

14. Énoncé
E3C2021 - Suites numériques
Vous pouvez travailler l'exercice puis continuer la lecture de cette
présentation pour dévoiler le corrigé.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 6 / 40

15. Solutions
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 7 / 40

16. Solutions Question A1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 8 / 40

17. Solutions Question A1
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
4 Démontrer que la suite (un) est croissante.
5 À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 9 / 40

18. Solutions Question A1
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 40

19. Solutions Question A1
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Calculer u0, u1, u2 et u3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 40

20. Solutions Question A1
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Calculer u0, u1, u2 et u3.
On a :
u0 = 03
− 02
+ 0 = 0
u1 = 13
− 12
+ 1 = 1 − 1 + 1 = 1
u2 = 23
− 22
+ 2 = 8 − 4 + 2 = 6
u3 = 33
− 32
+ 3 = 27 − 9 + 3 = 21.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 40

21. Solutions Question A1
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Calculer u0, u1, u2 et u3.
On a :
u0 = 03
− 02
+ 0 = 0
u1 = 13
− 12
+ 1 = 1 − 1 + 1 = 1
u2 = 23
− 22
+ 2 = 8 − 4 + 2 = 6
u3 = 33
− 32
+ 3 = 27 − 9 + 3 = 21.
Conclusion : u0 = 0, u1 = 1, u2 = 6 et u3 = 21. On peut conjecturer
que la suite (un) est croissante.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 10 / 40

22. Solutions Question A2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 11 / 40

23. Solutions Question A2
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
4 Démontrer que la suite (un) est croissante.
5 À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 12 / 40

24. Solutions Question A2
E3C2021 - Suites numériques
En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 40

25. Solutions Question A2
E3C2021 - Suites numériques
En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
On a, dans un premier temps :
(n + 1)3
= (n + 1) × (n + 1) × (n + 1)
| {z }
= (n + 1) × (n + 1)2
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 40

26. Solutions Question A2
E3C2021 - Suites numériques
En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
On a, dans un premier temps :
(n + 1)3
= (n + 1) × (n + 1) × (n + 1)
| {z }
= (n + 1) × (n + 1)2
.
Ainsi, on peut développer l'expression :
(n + 1)3
= (n + 1) × (n2
+ 2n + 1) = n3
+ 2n2
+ n + n2
+ 2n + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 40

27. Solutions Question A2
E3C2021 - Suites numériques
En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
On a, dans un premier temps :
(n + 1)3
= (n + 1) × (n + 1) × (n + 1)
| {z }
= (n + 1) × (n + 1)2
.
Ainsi, on peut développer l'expression :
(n + 1)3
= (n + 1) × (n2
+ 2n + 1) = n3
+ 2n2
+ n + n2
+ 2n + 1.
On réduit ensuite l'expression :
(n + 1)3
= n3
+ 2n2
+ n + n2
+ 2n + 1 = n3
+ 3n2
+ 3n + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 40

28. Solutions Question A2
E3C2021 - Suites numériques
En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
On a, dans un premier temps :
(n + 1)3
= (n + 1) × (n + 1) × (n + 1)
| {z }
= (n + 1) × (n + 1)2
.
Ainsi, on peut développer l'expression :
(n + 1)3
= (n + 1) × (n2
+ 2n + 1) = n3
+ 2n2
+ n + n2
+ 2n + 1.
On réduit ensuite l'expression :
(n + 1)3
= n3
+ 2n2
+ n + n2
+ 2n + 1 = n3
+ 3n2
+ 3n + 1.
Conclusion : (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 13 / 40

29. Solutions Question A3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 14 / 40

30. Solutions Question A3
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
4 Démontrer que la suite (un) est croissante.
5 À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 15 / 40

31. Solutions Question A3
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 40

32. Solutions Question A3
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Exprimer un+1 en fonction de n.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 40

33. Solutions Question A3
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Exprimer un+1 en fonction de n.
On a :
un+1 = (n + 1)3
− (n + 1)2
+ (n + 1)
et on peut utiliser les réponses de la question précédente.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 40

34. Solutions Question A3
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Exprimer un+1 en fonction de n.
On a :
un+1 = (n + 1)3
− (n + 1)2
+ (n + 1)
et on peut utiliser les réponses de la question précédente.
un+1 = n3
+ 3n2
+ 3n + 1 − (n2
+ 2n + 1) + n + 1
= n3
+ 3n2
+ 3n + 1 − n2
− 2n − 1 + n + 1
= n3
+ 2n2
+ 2n + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 40

35. Solutions Question A3
E3C2021 - Suites numériques
un = n3 − n2 + n.
Exprimer un+1 en fonction de n.
On a :
un+1 = (n + 1)3
− (n + 1)2
+ (n + 1)
et on peut utiliser les réponses de la question précédente.
un+1 = n3
+ 3n2
+ 3n + 1 − (n2
+ 2n + 1) + n + 1
= n3
+ 3n2
+ 3n + 1 − n2
− 2n − 1 + n + 1
= n3
+ 2n2
+ 2n + 1.
Conclusion : un+1 = n3 + 2n2 + 2n + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 16 / 40

36. Solutions Question A4
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 17 / 40

37. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
4 Démontrer que la suite (un) est croissante.
5 À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 18 / 40

38. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Démontrer que la suite (un) est croissante.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 40

39. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Démontrer que la suite (un) est croissante.
Pour cela, on étudie le signe de un+1 − un.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 40

40. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Démontrer que la suite (un) est croissante.
Pour cela, on étudie le signe de un+1 − un.
un+1 − un = n3
+ 2n2
+ 2n + 1 − (n3
− n2
+ n)
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 40

41. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Démontrer que la suite (un) est croissante.
Pour cela, on étudie le signe de un+1 − un.
un+1 − un = n3
+ 2n2
+ 2n + 1 − (n3
− n2
+ n)
ou encore :
un+1 − un = n2
+ 3n + 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 40

42. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Démontrer que la suite (un) est croissante.
Pour cela, on étudie le signe de un+1 − un.
un+1 − un = n3
+ 2n2
+ 2n + 1 − (n3
− n2
+ n)
ou encore :
un+1 − un = n2
+ 3n + 1.
Ici, pas besoin de la méthode du discriminant pour dire que
un+1 − un 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 40

43. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Démontrer que la suite (un) est croissante.
Pour cela, on étudie le signe de un+1 − un.
un+1 − un = n3
+ 2n2
+ 2n + 1 − (n3
− n2
+ n)
ou encore :
un+1 − un = n2
+ 3n + 1.
Ici, pas besoin de la méthode du discriminant pour dire que
un+1 − un 0.
En eet, on sait que n 0 et ainsi : n2 0 et 3n 0.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 40

44. Solutions Question A4
E3C2021 - Suites numériques
Démontrer que la suite (un) est croissante.
Pour cela, on étudie le signe de un+1 − un.
un+1 − un = n3
+ 2n2
+ 2n + 1 − (n3
− n2
+ n)
ou encore :
un+1 − un = n2
+ 3n + 1.
Ici, pas besoin de la méthode du discriminant pour dire que
un+1 − un 0.
En eet, on sait que n 0 et ainsi : n2 0 et 3n 0.
Conclusion : la suite (un) est croissante.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 19 / 40

45. Solutions Question A5
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 20 / 40

46. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
Partie A :
On considère la suite (un) dénie, pour tout n ∈ N par :
un = n3
− n2
+ n
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 En remarquant que (n + 1)3 = (n + 1) × (n + 1)2, développer et
réduire l'expression (n + 1)3.
3 Exprimer un+1 en fonction de n.
4 Démontrer que la suite (un) est croissante.
5 À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 21 / 40

47. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
1. Ici, on a choisi d'utiliser la calculatrice NumWorks.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 40

48. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
On entre la dénition de la suite (un) sur la calculatrice.1.
1. Ici, on a choisi d'utiliser la calculatrice NumWorks.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 40

49. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
On entre la dénition de la suite (un) sur la calculatrice.1.
1. Ici, on a choisi d'utiliser la calculatrice NumWorks.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 22 / 40

50. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 40

51. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Puis, dans le tableau des valeurs, on récupère la plus petite valeur de n
telle que un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 40

52. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Puis, dans le tableau des valeurs, on récupère la plus petite valeur de n
telle que un 5000.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 40

53. Solutions Question A5
E3C2021 - Suites numériques
À l'aide de la calculatrice, donner le plus petit entier naturel n tel que
un 5000.
Puis, dans le tableau des valeurs, on récupère la plus petite valeur de n
telle que un 5000.
Conclusion : un 5000 à partir de n 18.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 23 / 40

54. Solutions Question B1
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 24 / 40

55. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
4 Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
5 En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 25 / 40

56. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Calculer u0, u1, u2 et u3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 40

57. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Calculer u0, u1, u2 et u3.
D'après l'énoncé, la population initiale est de 40 crocodiles et sa
valeur diminue de 20 % chaque année.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 40

58. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Calculer u0, u1, u2 et u3.
D'après l'énoncé, la population initiale est de 40 crocodiles et sa
valeur diminue de 20 % chaque année.
Ainsi :
u0 = 40,
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 40

59. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Calculer u0, u1, u2 et u3.
D'après l'énoncé, la population initiale est de 40 crocodiles et sa
valeur diminue de 20 % chaque année.
Ainsi :
u0 = 40,
puis :
u1 = u0 −
20
100
u0 = u0
1 −
20
100
= u0 × (1 − 0,2) = 0,8 × u0 = 0,8 × 40 = 32.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 26 / 40

60. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Calculer u0, u1, u2 et u3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 40

61. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Calculer u0, u1, u2 et u3.
et ainsi de suite :
u2 = 0,8 × u1 = 32 × 0,8 = 25,6 ≈ 25
u3 = 0,8 × u2 = 25,6 × 0,8 = 20,48 ≈ 20.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 40

62. Solutions Question B1
E3C2021 - Suites numériques
Calculer u0, u1, u2 et u3.
et ainsi de suite :
u2 = 0,8 × u1 = 32 × 0,8 = 25,6 ≈ 25
u3 = 0,8 × u2 = 25,6 × 0,8 = 20,48 ≈ 20.
Conclusion : u0 = 40, u1 = 32, u2 ≈ 25 et u3 ≈ 20.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 27 / 40

63. Solutions Question B2
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 28 / 40

64. Solutions Question B2
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
4 Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
5 En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 29 / 40

65. Solutions Question B2
E3C2021 - Suites numériques
Quelle est la nature de la suite (un) ?
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 40

66. Solutions Question B2
E3C2021 - Suites numériques
Quelle est la nature de la suite (un) ?
On exprime un+1 en fonction de un. Pour cela, on peut s'aider de la
question précédente.
un+1 = un −
20
100
un = un
1 −
20
100
= un × (1 − 0,2) = 0,8 × un.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 40

67. Solutions Question B2
E3C2021 - Suites numériques
Quelle est la nature de la suite (un) ?
On exprime un+1 en fonction de un. Pour cela, on peut s'aider de la
question précédente.
un+1 = un −
20
100
un = un
1 −
20
100
= un × (1 − 0,2) = 0,8 × un.
Conclusion : la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8 et de
premier terme u0 = 40.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 30 / 40

68. Solutions Question B3
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 31 / 40

69. Solutions Question B3
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
4 Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
5 En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 32 / 40

70. Solutions Question B3
E3C2021 - Suites numériques
Exprimer (un) en fonction de n.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 33 / 40

71. Solutions Question B3
E3C2021 - Suites numériques
Exprimer (un) en fonction de n.
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier
terme u0 = 40.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 33 / 40

72. Solutions Question B3
E3C2021 - Suites numériques
Exprimer (un) en fonction de n.
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier
terme u0 = 40.
On peut donc écrire la formule explicite de la suite grâce à la théorie
du cours sur les suites géométriques.
un = u0 × qn
= 40 × (0,8)n
.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 33 / 40

73. Solutions Question B3
E3C2021 - Suites numériques
Exprimer (un) en fonction de n.
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier
terme u0 = 40.
On peut donc écrire la formule explicite de la suite grâce à la théorie
du cours sur les suites géométriques.
un = u0 × qn
= 40 × (0,8)n
.
Conclusion : un = 40 × (0,8)n.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 33 / 40

74. Solutions Question B4
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 34 / 40

75. Solutions Question B4
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
4 Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
5 En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 35 / 40

76. Solutions Question B4
E3C2021 - Suites numériques
Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 36 / 40

77. Solutions Question B4
E3C2021 - Suites numériques
Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 36 / 40

78. Solutions Question B4
E3C2021 - Suites numériques
Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8.
Or 0,8 1 et d'après la théorie du cours des suites géométriques, si
q 1, la suite (un) est décroissante.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 36 / 40

79. Solutions Question B4
E3C2021 - Suites numériques
Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8.
Or 0,8 1 et d'après la théorie du cours des suites géométriques, si
q 1, la suite (un) est décroissante.
Conclusion : la suite (un) est décroissante.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 36 / 40

80. Solutions Question B4
E3C2021 - Suites numériques
Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8.
Or 0,8 1 et d'après la théorie du cours des suites géométriques, si
q 1, la suite (un) est décroissante.
Conclusion : la suite (un) est décroissante.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 36 / 40

81. Solutions Question B4
E3C2021 - Suites numériques
Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,8.
Or 0,8 1 et d'après la théorie du cours des suites géométriques, si
q 1, la suite (un) est décroissante.
Conclusion : la suite (un) est décroissante.
Remarque
L'énoncé nous disait : la population baisse de 20 % chaque année mais
pour être plus précis, il fallait utiliser le résultat sur le sens de variation des
suites géométriques.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 36 / 40

82. Solutions Question B5
Sommaire
1 Énoncé
2 Solutions
Question A1
Question A2
Question A3
Question A4
Question A5
Question B1
Question B2
Question B3
Question B4
Question B5
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 37 / 40

83. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
Partie B :
On étudie la population de crocodiles dans une réserve naturelle d'Afrique.
Au début de l'année 2020, il y avait 40 crocodiles et on considère que la
population diminue de 20 % par an.
On note (un) la population de crocodiles (valeur tronquée à l'unité près) en
début d'année 2020 + n.
1 Calculer u0, u1, u2 et u3.
2 Quelle est la nature de la suite (un) ?
3 Exprimer (un) en fonction de n.
4 Justier mathématiquement le sens de variation de la suite (un).
5 En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 38 / 40

84. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 39 / 40

85. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
On entre la dénition de la suite (un) sur la calculatrice.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 39 / 40

86. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
On entre la dénition de la suite (un) sur la calculatrice.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 39 / 40

87. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 40 / 40

88. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Puis on regarde la plus petite valeur de n telle que un 3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 40 / 40

89. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Puis on regarde la plus petite valeur de n telle que un 3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 40 / 40

90. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Puis on regarde la plus petite valeur de n telle que un 3.
Ainsi, à partir de n 12, un 3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 40 / 40

91. Solutions Question B5
E3C2021 - Suites numériques
En début de quelle année la population de crocodiles est inférieure
strictement à 3? (on pourra s'aider de la calculatrice).
Puis on regarde la plus petite valeur de n telle que un 3.
Ainsi, à partir de n 12, un 3.
Conclusion : Au début de l'année 2032, la population de crocodiles
sera inférieure strictement à 3.
Clément Boulonne (CBMaths) Préparation E3C 2021 9 mai 2021 40 / 40