Corrigé de l'examen BAC Spé Maths Amérique du Nord. Exercice 1 : Probabilités

1. BAC SpéMaths - Amérique du Nord 2021
Exercice 1 : Probabilités
Clément Boulonne (CBMaths)
29 mai 2021
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 1 / 33

2. Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 2 / 33

3. Énoncé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 3 / 33

4. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à 10−3.
Un laboratoire pharmaceutique vient d'élaborer un nouveau test
anti-dopage.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 4 / 33

5. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 5 / 33

6. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 5 / 33

7. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 5 / 33

8. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 5 / 33

9. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2 Démontrer que P(T) = 0,083.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 5 / 33

10. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2 Démontrer que P(T) = 0,083.
3 a Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 5 / 33

11. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2 Démontrer que P(T) = 0,083.
3 a Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
b Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 5 / 33

12. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 6 / 33

13. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 6 / 33

14. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 6 / 33

15. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
b Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 6 / 33

16. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
b Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
c Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 6 / 33

17. Énoncé
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
b Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
c Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
2 Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 6 / 33

18. Corrigé
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 7 / 33

19. Corrigé Question A1
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 8 / 33

20. Corrigé Question A1
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2 Démontrer que P(T) = 0,083.
3 a Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
b Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 9 / 33

21. Corrigé Question A1
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 10 / 33

22. Corrigé Question A1
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
D
T
T
D
T
T
0,08
0,98
0,02
0,92
0,005
0,995
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 10 / 33

23. Corrigé Question A2
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 11 / 33

24. Corrigé Question A2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2 Démontrer que P(T) = 0,083.
3 a Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
b Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 12 / 33

25. Corrigé Question A2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Démontrer que P(T) = 0,083.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 13 / 33

26. Corrigé Question A2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Démontrer que P(T) = 0,083.
On utilise la formule des probabilités totales :
P(T) = P(D ∩ T) + P(D ∩ T) = P(D)PD(T) + P(D)PD(T).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 13 / 33

27. Corrigé Question A2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Démontrer que P(T) = 0,083.
On utilise la formule des probabilités totales :
P(T) = P(D ∩ T) + P(D ∩ T) = P(D)PD(T) + P(D)PD(T).
Toutes les probabilités sont indiqués dans l'arbre pondéré construit
précédemment.
P(T) = 0,08 × 0,98 + 0,92 × 0,005 = 0,0784 + 0,0046 = 0,083.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 13 / 33

28. Corrigé Question A2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Démontrer que P(T) = 0,083.
On utilise la formule des probabilités totales :
P(T) = P(D ∩ T) + P(D ∩ T) = P(D)PD(T) + P(D)PD(T).
Toutes les probabilités sont indiqués dans l'arbre pondéré construit
précédemment.
P(T) = 0,08 × 0,98 + 0,92 × 0,005 = 0,0784 + 0,0046 = 0,083.
Conclusion : P(T) = 0,083.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 13 / 33

29. Corrigé Question A3a
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 14 / 33

30. Corrigé Question A3a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2 Démontrer que P(T) = 0,083.
3 a Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
b Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 15 / 33

31. Corrigé Question A3a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 16 / 33

32. Corrigé Question A3a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
On souhaite calculer la probabilité de l'événement D sachant la
réalisation de l'événement T, soit PT (D).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 16 / 33

33. Corrigé Question A3a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
On souhaite calculer la probabilité de l'événement D sachant la
réalisation de l'événement T, soit PT (D).
Pour cela, on peut revenir à la dénition de la probabilité
conditionnelle :
PT (D) =
P(T ∩ D)
P(T)
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 16 / 33

34. Corrigé Question A3a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
On souhaite calculer la probabilité de l'événement D sachant la
réalisation de l'événement T, soit PT (D).
Pour cela, on peut revenir à la dénition de la probabilité
conditionnelle :
PT (D) =
P(T ∩ D)
P(T)
.
On utilise le résultat de la question précédente pour calculer cette
probabilité :
PT (D) =
P(D)PD(T)
P(T)
=
0,08 × 0,98
0,083
≈ 0,945.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 16 / 33

35. Corrigé Question A3a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
On souhaite calculer la probabilité de l'événement D sachant la
réalisation de l'événement T, soit PT (D).
Pour cela, on peut revenir à la dénition de la probabilité
conditionnelle :
PT (D) =
P(T ∩ D)
P(T)
.
On utilise le résultat de la question précédente pour calculer cette
probabilité :
PT (D) =
P(D)PD(T)
P(T)
=
0,08 × 0,98
0,083
≈ 0,945.
Conclusion : la probabilité qu'un athlète soit dopé sachant qu'il
présente un test positif est de 0,945.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 16 / 33

36. Corrigé Question A3b
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 17 / 33

37. Corrigé Question A3b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie A
Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :
si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif
est 0,98 (sensibilité du test);
si un athlète n'est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit
négatif est 0,995 (spécicité du test).
On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des
participants à une compétition d'athlétisme. On note D l'événement
l'athlète est dopé et T l'événement le test est positif . On
admet que la probabilité de l'événement D est égale à 0,08.
1 Traduire la situation sous la forme d'un arbre pondéré.
2 Démontrer que P(T) = 0,083.
3 a Sachant qu'un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité
qu'il soit dopé?
b Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 18 / 33

38. Corrigé Question A3b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 19 / 33

39. Corrigé Question A3b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
La probabilité de l'événement un athlète présentant un test positif
est dopé a été calculée à la question précédente.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 19 / 33

40. Corrigé Question A3b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
La probabilité de l'événement un athlète présentant un test positif
est dopé a été calculée à la question précédente.
Cette probabilité est égale à PT (D) ≈ 0,945.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 19 / 33

41. Corrigé Question A3b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
La probabilité de l'événement un athlète présentant un test positif
est dopé a été calculée à la question précédente.
Cette probabilité est égale à PT (D) ≈ 0,945.
Or : 0,945 0,95.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 19 / 33

42. Corrigé Question A3b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de
l'événement un athlète présentant un test positif est dopé est
supérieure ou égale à 0,95.
Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé? Justier.
La probabilité de l'événement un athlète présentant un test positif
est dopé a été calculée à la question précédente.
Cette probabilité est égale à PT (D) ≈ 0,945.
Or : 0,945 0,95.
Conclusion : le test proposé par le laboratoire ne sera pas
commercialisé.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 19 / 33

43. Corrigé Question B1a
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 20 / 33

44. Corrigé Question B1a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
b Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
c Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
2 Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 21 / 33

45. Corrigé Question B1a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 22 / 33

46. Corrigé Question B1a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
On fait un contrôle anti-dopage sur 5 athlètes ayant une probabilité de
0,103 d'être positif. C'est donc une répétition d'expériences aléatoires
identiques et indépendantes.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 22 / 33

47. Corrigé Question B1a
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
On fait un contrôle anti-dopage sur 5 athlètes ayant une probabilité de
0,103 d'être positif. C'est donc une répétition d'expériences aléatoires
identiques et indépendantes.
Conclusion : X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,103.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 22 / 33

48. Corrigé Question B1b
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 23 / 33

49. Corrigé Question B1b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
b Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
c Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
2 Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 24 / 33

50. Corrigé Question B1b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 25 / 33

51. Corrigé Question B1b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,103. On peut
donc utiliser la formule de l'espérance d'une loi binomiale pour calculer
l'espérance de X.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 25 / 33

52. Corrigé Question B1b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,103. On peut
donc utiliser la formule de l'espérance d'une loi binomiale pour calculer
l'espérance de X.
E [X] = n × p = 5 × 0,103 = 0,515.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 25 / 33

53. Corrigé Question B1b
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,103. On peut
donc utiliser la formule de l'espérance d'une loi binomiale pour calculer
l'espérance de X.
E [X] = n × p = 5 × 0,103 = 0,515.
Conclusion : l'espérance de la variable aléatoire X est égale à 0,515.
Cela veut dire qu'en moyenne, pendant le contrôle des tests de 5
athlètes, on peut espérer trouver 0,515 athèle ayant un test positif.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 25 / 33

54. Corrigé Question B1c
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 26 / 33

55. Corrigé Question B1c
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
b Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
c Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
2 Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 27 / 33

56. Corrigé Question B1c
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 28 / 33

57. Corrigé Question B1c
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
On souhaite calculer P(X 1). Pour cela, il faut remarquer que
l'événement {X = 0} est l'événement contraire de {X 1}. Ainsi,
P(X 1) = 1 − P(X = 0).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 28 / 33

58. Corrigé Question B1c
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
On souhaite calculer P(X 1). Pour cela, il faut remarquer que
l'événement {X = 0} est l'événement contraire de {X 1}. Ainsi,
P(X 1) = 1 − P(X = 0).
Or, on peut facilement calculer P(X = 0) :
P(X = 0) =
n
0
× 0,1030
× 0,8975
≈ 0,581.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 28 / 33

59. Corrigé Question B1c
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
On souhaite calculer P(X 1). Pour cela, il faut remarquer que
l'événement {X = 0} est l'événement contraire de {X 1}. Ainsi,
P(X 1) = 1 − P(X = 0).
Or, on peut facilement calculer P(X = 0) :
P(X = 0) =
n
0
× 0,1030
× 0,8975
≈ 0,581.
Conclusion : P(X 1) ≈ 1 − 0,581 ≈ 0,419. La probabilité qu'au
moins un des 5 athlètes contrôlés présente un test positif est d'environ
0,419.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 28 / 33

60. Corrigé Question B2
Sommaire
1 Énoncé
2 Corrigé
Question A1
Question A2
Question A3a
Question A3b
Question B1a
Question B1b
Question B1c
Question B2
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 29 / 33

61. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Partie B
Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu'un
athlète contrôlé présente un test positif est 0,103.
1 Dans cette question, on suppose que les organisateurs décident de
contrôler 5 athlètes au hasard parmi les athlètes de cette compétition.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d'athlètes présentant
un test positif parmi les 5 athlètes contrôlés.
a Donner la loi suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres.
b Calculer l'espérance E [X] et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.
c Quelle est la probabilité qu'au moins un des 5 athlètes contrôlés
présente un test positif?
2 Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 30 / 33

62. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 31 / 33

63. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
On cherche le plus petit entier naturel n tel que P(Xn 1) 0,75
avec Xn suivant la loi binomiale de paramètres n et p = 0,103.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 31 / 33

64. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
On cherche le plus petit entier naturel n tel que P(Xn 1) 0,75
avec Xn suivant la loi binomiale de paramètres n et p = 0,103.
Comme, P(Xn 1) = 1 − P(Xn = 0) (voir question précédente pour
une justication rigoureuse avec X ∼ B(5,0,103)), on a les
équivalences suivantes :
P(Xn 1) 6 0,75 ⇔ 1 − P(Xn = 0) 6 0,75
⇔ −P(Xn = 0) 6 −0,25 ⇔ P(Xn = 0) 6 0,25.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 31 / 33

65. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 32 / 33

66. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Or :
P(Xn = 0) =
n
0
× 0,1030
× 0,897n
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 32 / 33

67. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Or :
P(Xn = 0) =
n
0
× 0,1030
× 0,897n
.
On pose la suite numérique (un) dénie pour tout n 1 par
un = 0,897n. On cherche le plus petit entier naturel n tel que
un 6 0,25.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 32 / 33

68. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Or :
P(Xn = 0) =
n
0
× 0,1030
× 0,897n
.
On pose la suite numérique (un) dénie pour tout n 1 par
un = 0,897n. On cherche le plus petit entier naturel n tel que
un 6 0,25.
un 6 0,25 ⇔ 0,897n
6 0,25 ⇔ ln(0,897n
) 6 ln(0,25)
⇔ n ln(0,897) 6 ln(0,25) ⇔ n
ln(0,25)
ln(0,897)
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 32 / 33

69. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 33 / 33

70. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
un 6 0,25 ⇔ 0,897n
6 0,25 ⇔ ln(0,897n
) 6 ln(0,25)
⇔ n ln(0,897) 6 ln(0,25) ⇔ n
ln(0,25)
ln(0,897)
.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 33 / 33

71. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
un 6 0,25 ⇔ 0,897n
6 0,25 ⇔ ln(0,897n
) 6 ln(0,25)
⇔ n ln(0,897) 6 ln(0,25) ⇔ n
ln(0,25)
ln(0,897)
.
Le changement de sens de l'inégalité dans la dernière ligne se justie
de la manière suivante : 0,897 1 donc ln(0,897) 0 (on change
donc le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif).
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 33 / 33

72. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
un 6 0,25 ⇔ 0,897n
6 0,25 ⇔ ln(0,897n
) 6 ln(0,25)
⇔ n ln(0,897) 6 ln(0,25) ⇔ n
ln(0,25)
ln(0,897)
.
Le changement de sens de l'inégalité dans la dernière ligne se justie
de la manière suivante : 0,897 1 donc ln(0,897) 0 (on change
donc le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif).
On obtient alors :
n 12,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 33 / 33

73. Corrigé Question B2
BAC SpéMaths AdN2021 - Probabilités
Combien d'athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la
probabilité de l'événement au moins un athlète contrôlé présente un
test positif soit supérieure ou égale à 0,75.
un 6 0,25 ⇔ 0,897n
6 0,25 ⇔ ln(0,897n
) 6 ln(0,25)
⇔ n ln(0,897) 6 ln(0,25) ⇔ n
ln(0,25)
ln(0,897)
.
Le changement de sens de l'inégalité dans la dernière ligne se justie
de la manière suivante : 0,897 1 donc ln(0,897) 0 (on change
donc le sens de l'inégalité quand on divise par un nombre négatif).
On obtient alors :
n 12,75.
Conclusion : à partir de 13 athlètes contrôlés, la probabilité qu'au
moins un athlète contrôlé présente un test positif est supérieure ou
égale à 0,75.
Clément Boulonne (CBMaths) BAC Spé Maths AdN2021 - Ex.1 29 mai 2021 33 / 33