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103433 flexion hyperstatique

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Patrick.PAQUET

IUT GTE PAU

ETUDE DE LA FLEXION D'UNE POUTRE
EN MONTAGE HYPERSTATIQUE
1 Buts du TP
Les objectifs de ce TP sont les suivants :
Comprendre les notions de flèches, de déformée et d'efforts aux appuis.
Mesurer et calculer les déformations d'une poutre en montage hyperstatique dans
différentes conditions de charges.
Utiliser la méthode de superposition pour la résolution d'un problème.
Aborder l'aspect énergétique des déformations.

2 Présentation du problème
L'étude de la déformation d'une poutre en montage isostatique se conduit en deux
temps
Etude statique : on détermine complètement les actions exercées sur la
poutre
Etude de résistance des matériaux : on détermine les contraintes et les
déformations
Dans le cas d'une étude en montage hyperstatique, l'étude statique ne permet pas de
déterminer complètement les actions exercées sur la poutre. Il faut écrire les
équations de déformations et les conditions de mises en position pour pouvoir
déterminer les efforts. C'est calculs peuvent être longs et fastidieux.
L'exemple montre l'impossibilité de connaître les efforts avec les seuls outils de la
statique et la méthode de base pour résoudre ce type de problème.
Cette méthode n'est pas l'objet de l'étude.
L'exercice a pour but de montrer que cette étude peut être résolu à l'aide des
éléments de résolution des poutres isostatiques et du principe observé
expérimentalement.

Version 17/03/11

page 1
IUT GTE PAU

Patrick.PAQUET

2.1 Exemple
Soit l'étude d'une poutre sur trois appuis simples (bilatéraux) soumise à une action
F1 connue.

B

A

C

E

b
→

F1

c

e
L'étude statique de la poutre permet d'obtenir deux équations algébriques.
(1) actions proj /y
A + F1 + C + E
=
0
(2) moments /z
b F1 + c C + e E
=
0
La résolution complète de ce système n'est pas possible :
3 inconnues A, C, E,
2 équations.
Le système est dit hyperstatique
Il faut donc écrire les équations de déformation pour compléter le système.
zone 0≤x≤b
EIgz y" (x ) = Mf (x )
(Voir cours)
A

Mf (x ) = Ax
EIgz y 1 " (x ) = Ax

(Calcul du moment fléchissant en x)
→

A

2

=

EIgz y 1 ' (x )
EIgz y 1 (x )

=

Ax
+ C1 (Calcul de la primitive)
2
3
Ax
+ C1x + C 2 (Calcul de la deuxième primitive)
6

zone b≤x≤c
M f (x ) = Ax + F1 (x − b) (Calcul du moment
fléchissant en x)
M f ( x ) = ( A + F1 ) x − F1 b (Mise en forme du
polynome)
EIgz y 2 " (x ) = ( A + F1 )x − F1b

( A + F1 )x
− F1bx + C 3
2
3
2
( A + F1 )x
F1bx
−
+ C3 x + C 4
6
2
2

EIgz y 2 ' (x )
EIgz y 2 (x )

Version 17/03/11

=
=

page 2

B

A
→

A b
→

x

F1

x
IUT GTE PAU

Patrick.PAQUET

zone c≤x≤e

B

A

C

→

→

A b
M f (x ) = Ax + F1 (x − b) + C(x − c)
M f (x ) = ( A + F1 + C)x − (F1b + Cc)
EIgz y 3 " (x ) = ( A + F1 + C)x − (F1b + Cc)

→

c

C

F1
x

( A + F1 + C)x
EIgz y 3 ' (x ) =
− (F1b + Cc)x + C 5
2
3
2
( A + F1 + C)x
(F1b + Cc)x
EIgz y 3 (x ) =
−
+ C5 x + C6
6
2
2

A ce stade de l'étude il y a 9 inconnues ( A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6)
Ecriture des éléments connus de la déformée pour obtenir des équations.
zone 0≤x≤b
(3) y1(0)=0
appui en A
zone b≤x≤c
(4) y1(b)=y2(b)
continuité de la poutre au point B
(5) y1'(b)=y2'(b)
absence de point anguleux au point B
(6) y2(c)=0
appui en C
zone c≤x≤e
(7) y3(c)=0
appui en C
(8) y2'(c)=y3'(c)
absence de point anguleux au point C
(9) y3(e)=0
appui en E
La présence d'un appui supplémentaire (cause de l'hyperstatisme) permet d'écrire
une équation de plus et d'obtenir 9 équations.

Version 17/03/11

page 3
IUT GTE PAU

Patrick.PAQUET

(3) C 2 = 0
3
( A + F1 )b
Fb
Ab
+ C 1b + C 2 =
− 1 + C 3b + C 4
6
6
2
2
2
( A + F1 )b
Ab
2
+ C1 =
− F1b + C 3
2
2
3
2
( A + F1 )c
F bc
− 1
+ C3c + C4 = 0
6
2
3
2
( A + F1 + C)c
(F1b + Cc)c
−
+ C5c + C6 = 0
6
2
2
2
( A + F1 )c
( A + F1 + C)c
− F1bc + C 3 =
− (F1b + Cc)c + C 5
2
2
3
2
( A + F1 + C)e
(F1b + Cc)e
−
+ C5e + C6 = 0
6
2
3

(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

3

9 équations, 9 inconnues (A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6) la résolution est possible.
1

1

1

0

0

0

0

0

0

A

− F1

0

c

e

0

0

0

0

0

0

C

− bF 1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

E

0

0

0

0

b

1

−b

−1

0

0

C1

− F1b

3

3
0

0

0

1

0

−1

0

0

0

C2

F1b

−

c
6

3

c

0

0

0

c

1

0

0

C3

=
−

3

c

−

6
0

e
6

0

e
6

0

0

0

0

0

c

1

C4
−

3
c
2

3

3

3

−

0

2

ce

Version 17/03/11

2

0

0

1

0

−1

0

0

0

0

0

d

1

C6

2
3

+

6
F1 c

3

+

6

C5

0

F1 c

page 4

F 1 bc

2

2
F 1 bc

2

2

0

−

2

2

F1 e
6

3

+

F 1 be
2

2
IUT GTE PAU

Patrick.PAQUET

La solution de cette équation matricielle AX= B est la matrice X=A-1B
Application numérique
F

a
-10

b

d

300

500

900

1
1
0
500
0
0
0
0
0
0
2E+07
0
2E+07 -41666667
0
125000
1E+08 -81000000

1
900
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
300
1
0
0
0
0

0
0
1
1
0
0
0
0
0

0
0
0
-300
-1
500
0
1
0

0
0
0
-1
0
1
0
0
0

0
0
0
0
0
0
500
-1
900

0
0
0
0
0
0
1
0
1

A
C
E
C1
C2
C3
C4
C5
C6

10
3000
0
90000000
450000
-166666667
-166666667
0
0

SOLUTIONS
A
C
E
C1
C2
C3
C4
C5
C6

2,9333
8,4
-1,333
-95556
0
-5E+05
5E+07
504444
-1E+08

La résolution par cette méthode est simple mais longue et fastidieuse.
Elle devient très lourde lorsque le nombre de nœuds augmente car on introduit
deux inconnues d'intégration à chaque tronçon d'étude supplémentaire.

Version 17/03/11

page 5
IUT GTE PAU

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2.2 Méthode de superposition
Le principe est le suivant : on décompose le problème en deux (ou plus) problèmes
isostatiques dont la superposition est équivalente au problème complet.
Dans ce cas l'appui C est remplacé par une force FC qui aurait le même effet. Une
force qui maintiendrait une déformation nulle de la poutre au point C
E
A
B
C
b
→

c

F1

A

B

e

E

C
→

b

Fc

→

c

F1

e
avec fc1+fc2=0

B

A

C

b
→

E

fc1

e

F1
B

A

C

c

→

Fc
Première poutre isostatique
(1)
(2)

e

A1 + F1 + E1
=
b F1 +e E1
=
2 équations, 2 inconnues
bF
F ( e − b)
E1 = − 1
A1 = − 1
e
e

Version 17/03/11

E

fc2

page 6

0
0

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103433 flexion hyperstatique

  • 1. Patrick.PAQUET IUT GTE PAU ETUDE DE LA FLEXION D'UNE POUTRE EN MONTAGE HYPERSTATIQUE 1 Buts du TP Les objectifs de ce TP sont les suivants : Comprendre les notions de flèches, de déformée et d'efforts aux appuis. Mesurer et calculer les déformations d'une poutre en montage hyperstatique dans différentes conditions de charges. Utiliser la méthode de superposition pour la résolution d'un problème. Aborder l'aspect énergétique des déformations. 2 Présentation du problème L'étude de la déformation d'une poutre en montage isostatique se conduit en deux temps Etude statique : on détermine complètement les actions exercées sur la poutre Etude de résistance des matériaux : on détermine les contraintes et les déformations Dans le cas d'une étude en montage hyperstatique, l'étude statique ne permet pas de déterminer complètement les actions exercées sur la poutre. Il faut écrire les équations de déformations et les conditions de mises en position pour pouvoir déterminer les efforts. C'est calculs peuvent être longs et fastidieux. L'exemple montre l'impossibilité de connaître les efforts avec les seuls outils de la statique et la méthode de base pour résoudre ce type de problème. Cette méthode n'est pas l'objet de l'étude. L'exercice a pour but de montrer que cette étude peut être résolu à l'aide des éléments de résolution des poutres isostatiques et du principe observé expérimentalement. Version 17/03/11 page 1
  • 2. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET 2.1 Exemple Soit l'étude d'une poutre sur trois appuis simples (bilatéraux) soumise à une action F1 connue. B A C E b → F1 c e L'étude statique de la poutre permet d'obtenir deux équations algébriques. (1) actions proj /y A + F1 + C + E = 0 (2) moments /z b F1 + c C + e E = 0 La résolution complète de ce système n'est pas possible : 3 inconnues A, C, E, 2 équations. Le système est dit hyperstatique Il faut donc écrire les équations de déformation pour compléter le système. zone 0≤x≤b EIgz y" (x ) = Mf (x ) (Voir cours) A Mf (x ) = Ax EIgz y 1 " (x ) = Ax (Calcul du moment fléchissant en x) → A 2 = EIgz y 1 ' (x ) EIgz y 1 (x ) = Ax + C1 (Calcul de la primitive) 2 3 Ax + C1x + C 2 (Calcul de la deuxième primitive) 6 zone b≤x≤c M f (x ) = Ax + F1 (x − b) (Calcul du moment fléchissant en x) M f ( x ) = ( A + F1 ) x − F1 b (Mise en forme du polynome) EIgz y 2 " (x ) = ( A + F1 )x − F1b ( A + F1 )x − F1bx + C 3 2 3 2 ( A + F1 )x F1bx − + C3 x + C 4 6 2 2 EIgz y 2 ' (x ) EIgz y 2 (x ) Version 17/03/11 = = page 2 B A → A b → x F1 x
  • 3. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET zone c≤x≤e B A C → → A b M f (x ) = Ax + F1 (x − b) + C(x − c) M f (x ) = ( A + F1 + C)x − (F1b + Cc) EIgz y 3 " (x ) = ( A + F1 + C)x − (F1b + Cc) → c C F1 x ( A + F1 + C)x EIgz y 3 ' (x ) = − (F1b + Cc)x + C 5 2 3 2 ( A + F1 + C)x (F1b + Cc)x EIgz y 3 (x ) = − + C5 x + C6 6 2 2 A ce stade de l'étude il y a 9 inconnues ( A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6) Ecriture des éléments connus de la déformée pour obtenir des équations. zone 0≤x≤b (3) y1(0)=0 appui en A zone b≤x≤c (4) y1(b)=y2(b) continuité de la poutre au point B (5) y1'(b)=y2'(b) absence de point anguleux au point B (6) y2(c)=0 appui en C zone c≤x≤e (7) y3(c)=0 appui en C (8) y2'(c)=y3'(c) absence de point anguleux au point C (9) y3(e)=0 appui en E La présence d'un appui supplémentaire (cause de l'hyperstatisme) permet d'écrire une équation de plus et d'obtenir 9 équations. Version 17/03/11 page 3
  • 4. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET (3) C 2 = 0 3 ( A + F1 )b Fb Ab + C 1b + C 2 = − 1 + C 3b + C 4 6 6 2 2 2 ( A + F1 )b Ab 2 + C1 = − F1b + C 3 2 2 3 2 ( A + F1 )c F bc − 1 + C3c + C4 = 0 6 2 3 2 ( A + F1 + C)c (F1b + Cc)c − + C5c + C6 = 0 6 2 2 2 ( A + F1 )c ( A + F1 + C)c − F1bc + C 3 = − (F1b + Cc)c + C 5 2 2 3 2 ( A + F1 + C)e (F1b + Cc)e − + C5e + C6 = 0 6 2 3 (4) (5) (6) (7) (8) (9) 3 9 équations, 9 inconnues (A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6) la résolution est possible. 1 1 1 0 0 0 0 0 0 A − F1 0 c e 0 0 0 0 0 0 C − bF 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 E 0 0 0 0 b 1 −b −1 0 0 C1 − F1b 3 3 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 C2 F1b − c 6 3 c 0 0 0 c 1 0 0 C3 = − 3 c − 6 0 e 6 0 e 6 0 0 0 0 0 c 1 C4 − 3 c 2 3 3 3 − 0 2 ce Version 17/03/11 2 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 0 d 1 C6 2 3 + 6 F1 c 3 + 6 C5 0 F1 c page 4 F 1 bc 2 2 F 1 bc 2 2 0 − 2 2 F1 e 6 3 + F 1 be 2 2
  • 5. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET La solution de cette équation matricielle AX= B est la matrice X=A-1B Application numérique F a -10 b d 300 500 900 1 1 0 500 0 0 0 0 0 0 2E+07 0 2E+07 -41666667 0 125000 1E+08 -81000000 1 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 300 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -300 -1 500 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 500 -1 900 0 0 0 0 0 0 1 0 1 A C E C1 C2 C3 C4 C5 C6 10 3000 0 90000000 450000 -166666667 -166666667 0 0 SOLUTIONS A C E C1 C2 C3 C4 C5 C6 2,9333 8,4 -1,333 -95556 0 -5E+05 5E+07 504444 -1E+08 La résolution par cette méthode est simple mais longue et fastidieuse. Elle devient très lourde lorsque le nombre de nœuds augmente car on introduit deux inconnues d'intégration à chaque tronçon d'étude supplémentaire. Version 17/03/11 page 5
  • 6. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET 2.2 Méthode de superposition Le principe est le suivant : on décompose le problème en deux (ou plus) problèmes isostatiques dont la superposition est équivalente au problème complet. Dans ce cas l'appui C est remplacé par une force FC qui aurait le même effet. Une force qui maintiendrait une déformation nulle de la poutre au point C E A B C b → c F1 A B e E C → b Fc → c F1 e avec fc1+fc2=0 B A C b → E fc1 e F1 B A C c → Fc Première poutre isostatique (1) (2) e A1 + F1 + E1 = b F1 +e E1 = 2 équations, 2 inconnues bF F ( e − b) E1 = − 1 A1 = − 1 e e Version 17/03/11 E fc2 page 6 0 0
  • 7. IUT GTE PAU On retrouve la même configuration que dans les deux premières zones de l'étude de la poutre hyperstatique zone 0≤x≤b zone b≤x≤e EI gz y" (x ) = M f (x ) Mf (x ) = A 1x + F1 (x − b) M f (x) = A 1 x M f (x ) = ( A 1 + F1 )x − F1b EIgz y 1 " (x ) = A 1x EIgz y 2 " (x ) = ( A 1 + F1 )x − F1b 2 A 1x 2 EIgz y 1 ' (x ) = + C1 ( A 1 + F1 )x 2 EIgz y 2 ' (x ) = − F1bx + C 3 3 2 A 1x 3 2 EIgz y 1 (x ) = + C 1x + C 2 ( A 1 + F1 )x F1bx 6 EIgz y 2 (x ) = − + C3 x + C 4 6 2 Patrick.PAQUET zone 0≤x≤b (3) y1(0)=0 zone b≤x≤e (4) y1(b)=y2(b) (5) y1'(b)=y2'(b) (6) y2(e)=0 appui en A continuité de la poutre au point B absence de point anguleux au point B appui en E Ceci permet de déterminer la fonction de la déformée de la poutre zone 0≤x≤b 3 2 F1b 1  − F1 (e − b)x b − 3b)x    + (2e + y1 (x ) =  EIgz  6e 6 e   zone b≤x≤e 3 2 3 2 F1bx F1b 1  F1bx b )x − F1b    − + (2e + y 2 (x) = 6  e EIgz  6e 2 6   Application numérique F en N -10 b en mm 300 c e 500 900 E1 3,33333333 A1 6,66666667 y2(500)= -37,370704 Version 17/03/11 E en MPa Igz en mm4 74000 45 page 7
  • 8. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET Deuxième poutre isostatique Par analogie avec la première poutre isostatique A 2 + F c + E2 c Fc +e E2 2 équations, 2 inconnues E2 = − zone 0≤x≤c 1   y 3 (x ) = EIgz   zone c≤x≤e 1   y 4 (x) = EIgz   cFc e A2 = − = = 0 0 Fc (e − c) e 3 2 Fc c − Fc (e − c)x c − 3c)x   + (2e +  6e 6 e  3 Fccx − 6e 2 2 Fccx Fcc c )x − Fcc (2e + + 2 6 e 6 3     Pour que cette deuxième poutre convienne il faut que y3(500)+y2(500)=0 − y 2 (500)EIgz Fc = 2  − (e − c)500 3 c c − 3c)500    + (2e +   6e 6 e   Application numérique A1 6,66666667 A2 -3,73333333 A=A1+A2 2,93333333 Fc 8,4 C=Fc 8,4 Courbes en annexe Version 17/03/11 page 8 E1 3,33333333 E2 -4,66666667 E=E1+E2 -1,33333333
  • 9. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET 3 Travail demandé → h B A F2 D C E b → c F1 d e 3.1 Mesures On se propose de vérifier expérimentalement le principe de superposition Mettre en place les comparateurs pour mesurer les flèches en X1= 150 X2= 400 X3= 600 avec b= 300 c= 500 e= 800 section 5*20 Effectuer les mesures en faisant varier F1 et F2 Reporter les mesures sur les tableaux 3.2 Vérification Compléter le tableau de mesure en calculant les valeurs des chargements multiples (F1>0 et F2>0), à partir des mesures obtenues lors des chargements simples (F1=0 ou F2=0) Comparer résultats des mesures et résultats des calculs. Conclusion. 3.3 Calcul informatique Rédiger un cahier des charges de calcul pour le groupe RDM afin de Calculer les valeurs des flèches aux points de mesure pour le chargement maximum, en précisant : Les dimensions utiles Le chargement Les caractéristiques de la poutre Les résultats attendus Comparer les résultats fournis par le groupe RDM avec vos mesures. Version 17/03/11 page 9
  • 10. Patrick.PAQUET IUT GTE PAU 3.4 Calcul Pour ces calculs vous utiliserez dans la mesure du possible les résultats littéraux développés dans l'exemple ou le formulaire, attention les valeurs numériques du cas à traiter sont différentes de l'exemple. Déterminer les 3 poutres isostatiques équivalentes au problème posé En notant b2 le b du formulaire, exprimer b2 et L du formulaire en fonction de b et e de l'exemple. Montrer que les deux formules de flèches sont équivalentes. En utilisant les expressions générales de la flèche données dans l'exemple, calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le chargement maximum de la poutre isostatique faisant apparaître F1. Etudier l'équilibre de la poutre isostatique faisant apparaître F2 En utilisant les expressions générales de la flèche donnée dans le formulaire, calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le chargement maximum de la poutre isostatique faisant apparaître F2. Ecrire la condition devant être respectée par la troisième poutre isostatique, en déduire la force exercée sur cette poutre. (on se servira, en les adaptant, des résultats de l'exemple) En utilisant les expressions générales de la flèche données dans l'exemple, calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le chargement maximum de la troisième poutre isostatique. Calculer les valeurs des flèches aux points de mesure pour le chargement maximum pour la poutre hyperstatique. Comparer avec les résultats de vos mesures et du groupe RDM. Conclure Version 17/03/11 page 10
  • 11. 35 25 5 -5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 page 11 IUT GTE PAU 15 -15 Patrick.PAQUET -35 y1 y2 Y1 poutre isostatique1 y3 y4 Y2 poutre isostatique2 somme Y1et Y2 -45 Version 17/03/11 -25
  • 14. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET Comparateur 1 F1 F2 0 5N 10 N 20 N 0 mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul 2N 5N 10 N Comparateur 2 F1 F2 0 5N 10 N 20 N 0 mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul 2N 5N 10 N Comparateur 3 F1 F2 0 5N 10 N 20 N 0 mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul mesure calcul 2N 5N 10 N Version 17/03/11 page 14
  • 15. IUT GTE PAU Patrick.PAQUET R Tableau des résultats X1 X2 Poutre Isostatique 1 Poutre Isostatique 2 Poutre Isostatique 3 Poutre Hyperstatique Informatique Mesure Ecart relatif Version 17/03/11 page 15 C X3