1. Patrick.PAQUET
IUT GTE PAU
ETUDE DE LA FLEXION D'UNE POUTRE
EN MONTAGE HYPERSTATIQUE
1 Buts du TP
Les objectifs de ce TP sont les suivants :
Comprendre les notions de flèches, de déformée et d'efforts aux appuis.
Mesurer et calculer les déformations d'une poutre en montage hyperstatique dans
différentes conditions de charges.
Utiliser la méthode de superposition pour la résolution d'un problème.
Aborder l'aspect énergétique des déformations.
2 Présentation du problème
L'étude de la déformation d'une poutre en montage isostatique se conduit en deux
temps
Etude statique : on détermine complètement les actions exercées sur la
poutre
Etude de résistance des matériaux : on détermine les contraintes et les
déformations
Dans le cas d'une étude en montage hyperstatique, l'étude statique ne permet pas de
déterminer complètement les actions exercées sur la poutre. Il faut écrire les
équations de déformations et les conditions de mises en position pour pouvoir
déterminer les efforts. C'est calculs peuvent être longs et fastidieux.
L'exemple montre l'impossibilité de connaître les efforts avec les seuls outils de la
statique et la méthode de base pour résoudre ce type de problème.
Cette méthode n'est pas l'objet de l'étude.
L'exercice a pour but de montrer que cette étude peut être résolu à l'aide des
éléments de résolution des poutres isostatiques et du principe observé
expérimentalement.
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2. IUT GTE PAU
Patrick.PAQUET
2.1 Exemple
Soit l'étude d'une poutre sur trois appuis simples (bilatéraux) soumise à une action
F1 connue.
B
A
C
E
b
→
F1
c
e
L'étude statique de la poutre permet d'obtenir deux équations algébriques.
(1) actions proj /y
A + F1 + C + E
=
0
(2) moments /z
b F1 + c C + e E
=
0
La résolution complète de ce système n'est pas possible :
3 inconnues A, C, E,
2 équations.
Le système est dit hyperstatique
Il faut donc écrire les équations de déformation pour compléter le système.
zone 0≤x≤b
EIgz y" (x ) = Mf (x )
(Voir cours)
A
Mf (x ) = Ax
EIgz y 1 " (x ) = Ax
(Calcul du moment fléchissant en x)
→
A
2
=
EIgz y 1 ' (x )
EIgz y 1 (x )
=
Ax
+ C1 (Calcul de la primitive)
2
3
Ax
+ C1x + C 2 (Calcul de la deuxième primitive)
6
zone b≤x≤c
M f (x ) = Ax + F1 (x − b) (Calcul du moment
fléchissant en x)
M f ( x ) = ( A + F1 ) x − F1 b (Mise en forme du
polynome)
EIgz y 2 " (x ) = ( A + F1 )x − F1b
( A + F1 )x
− F1bx + C 3
2
3
2
( A + F1 )x
F1bx
−
+ C3 x + C 4
6
2
2
EIgz y 2 ' (x )
EIgz y 2 (x )
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=
=
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B
A
→
A b
→
x
F1
x
3. IUT GTE PAU
Patrick.PAQUET
zone c≤x≤e
B
A
C
→
→
A b
M f (x ) = Ax + F1 (x − b) + C(x − c)
M f (x ) = ( A + F1 + C)x − (F1b + Cc)
EIgz y 3 " (x ) = ( A + F1 + C)x − (F1b + Cc)
→
c
C
F1
x
( A + F1 + C)x
EIgz y 3 ' (x ) =
− (F1b + Cc)x + C 5
2
3
2
( A + F1 + C)x
(F1b + Cc)x
EIgz y 3 (x ) =
−
+ C5 x + C6
6
2
2
A ce stade de l'étude il y a 9 inconnues ( A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6)
Ecriture des éléments connus de la déformée pour obtenir des équations.
zone 0≤x≤b
(3) y1(0)=0
appui en A
zone b≤x≤c
(4) y1(b)=y2(b)
continuité de la poutre au point B
(5) y1'(b)=y2'(b)
absence de point anguleux au point B
(6) y2(c)=0
appui en C
zone c≤x≤e
(7) y3(c)=0
appui en C
(8) y2'(c)=y3'(c)
absence de point anguleux au point C
(9) y3(e)=0
appui en E
La présence d'un appui supplémentaire (cause de l'hyperstatisme) permet d'écrire
une équation de plus et d'obtenir 9 équations.
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4. IUT GTE PAU
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(3) C 2 = 0
3
( A + F1 )b
Fb
Ab
+ C 1b + C 2 =
− 1 + C 3b + C 4
6
6
2
2
2
( A + F1 )b
Ab
2
+ C1 =
− F1b + C 3
2
2
3
2
( A + F1 )c
F bc
− 1
+ C3c + C4 = 0
6
2
3
2
( A + F1 + C)c
(F1b + Cc)c
−
+ C5c + C6 = 0
6
2
2
2
( A + F1 )c
( A + F1 + C)c
− F1bc + C 3 =
− (F1b + Cc)c + C 5
2
2
3
2
( A + F1 + C)e
(F1b + Cc)e
−
+ C5e + C6 = 0
6
2
3
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
3
9 équations, 9 inconnues (A, C, E, C1, C2, C3, C4, C5, C6) la résolution est possible.
1
1
1
0
0
0
0
0
0
A
− F1
0
c
e
0
0
0
0
0
0
C
− bF 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
E
0
0
0
0
b
1
−b
−1
0
0
C1
− F1b
3
3
0
0
0
1
0
−1
0
0
0
C2
F1b
−
c
6
3
c
0
0
0
c
1
0
0
C3
=
−
3
c
−
6
0
e
6
0
e
6
0
0
0
0
0
c
1
C4
−
3
c
2
3
3
3
−
0
2
ce
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2
0
0
1
0
−1
0
0
0
0
0
d
1
C6
2
3
+
6
F1 c
3
+
6
C5
0
F1 c
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F 1 bc
2
2
F 1 bc
2
2
0
−
2
2
F1 e
6
3
+
F 1 be
2
2
5. IUT GTE PAU
Patrick.PAQUET
La solution de cette équation matricielle AX= B est la matrice X=A-1B
Application numérique
F
a
-10
b
d
300
500
900
1
1
0
500
0
0
0
0
0
0
2E+07
0
2E+07 -41666667
0
125000
1E+08 -81000000
1
900
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
-300
-1
500
0
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
500
-1
900
0
0
0
0
0
0
1
0
1
A
C
E
C1
C2
C3
C4
C5
C6
10
3000
0
90000000
450000
-166666667
-166666667
0
0
SOLUTIONS
A
C
E
C1
C2
C3
C4
C5
C6
2,9333
8,4
-1,333
-95556
0
-5E+05
5E+07
504444
-1E+08
La résolution par cette méthode est simple mais longue et fastidieuse.
Elle devient très lourde lorsque le nombre de nœuds augmente car on introduit
deux inconnues d'intégration à chaque tronçon d'étude supplémentaire.
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6. IUT GTE PAU
Patrick.PAQUET
2.2 Méthode de superposition
Le principe est le suivant : on décompose le problème en deux (ou plus) problèmes
isostatiques dont la superposition est équivalente au problème complet.
Dans ce cas l'appui C est remplacé par une force FC qui aurait le même effet. Une
force qui maintiendrait une déformation nulle de la poutre au point C
E
A
B
C
b
→
c
F1
A
B
e
E
C
→
b
Fc
→
c
F1
e
avec fc1+fc2=0
B
A
C
b
→
E
fc1
e
F1
B
A
C
c
→
Fc
Première poutre isostatique
(1)
(2)
e
A1 + F1 + E1
=
b F1 +e E1
=
2 équations, 2 inconnues
bF
F ( e − b)
E1 = − 1
A1 = − 1
e
e
Version 17/03/11
E
fc2
page 6
0
0
7. IUT GTE PAU
On retrouve la même configuration que dans les deux premières zones de l'étude de
la poutre hyperstatique
zone 0≤x≤b
zone b≤x≤e
EI gz y" (x ) = M f (x )
Mf (x ) = A 1x + F1 (x − b)
M f (x) = A 1 x
M f (x ) = ( A 1 + F1 )x − F1b
EIgz y 1 " (x ) = A 1x
EIgz y 2 " (x ) = ( A 1 + F1 )x − F1b
2
A 1x
2
EIgz y 1 ' (x ) =
+ C1
( A 1 + F1 )x
2
EIgz y 2 ' (x ) =
− F1bx + C 3
3
2
A 1x
3
2
EIgz y 1 (x ) =
+ C 1x + C 2
( A 1 + F1 )x
F1bx
6
EIgz y 2 (x ) =
−
+ C3 x + C 4
6
2
Patrick.PAQUET
zone 0≤x≤b
(3) y1(0)=0
zone b≤x≤e
(4) y1(b)=y2(b)
(5) y1'(b)=y2'(b)
(6) y2(e)=0
appui en A
continuité de la poutre au point B
absence de point anguleux au point B
appui en E
Ceci permet de déterminer la fonction de la déformée de la poutre
zone 0≤x≤b
3
2
F1b
1 − F1 (e − b)x
b − 3b)x
+
(2e +
y1 (x ) =
EIgz
6e
6
e
zone b≤x≤e
3
2
3
2
F1bx
F1b
1 F1bx
b )x − F1b
−
+
(2e +
y 2 (x) =
6
e
EIgz
6e
2
6
Application numérique
F en N
-10
b en mm
300
c
e
500
900
E1
3,33333333
A1
6,66666667
y2(500)= -37,370704
Version 17/03/11
E en MPa Igz en mm4
74000
45
page 7
8. IUT GTE PAU
Patrick.PAQUET
Deuxième poutre isostatique
Par analogie avec la première poutre isostatique
A 2 + F c + E2
c Fc +e E2
2 équations, 2 inconnues
E2 = −
zone 0≤x≤c
1
y 3 (x ) =
EIgz
zone c≤x≤e
1
y 4 (x) =
EIgz
cFc
e
A2 = −
=
=
0
0
Fc (e − c)
e
3
2
Fc c
− Fc (e − c)x
c − 3c)x
+
(2e +
6e
6
e
3
Fccx
−
6e
2
2
Fccx
Fcc
c )x − Fcc
(2e +
+
2
6
e
6
3
Pour que cette deuxième poutre convienne il faut que y3(500)+y2(500)=0
− y 2 (500)EIgz
Fc =
2
− (e − c)500 3 c
c − 3c)500
+ (2e +
6e
6
e
Application numérique
A1
6,66666667
A2
-3,73333333
A=A1+A2
2,93333333
Fc
8,4
C=Fc
8,4
Courbes en annexe
Version 17/03/11
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E1
3,33333333
E2
-4,66666667
E=E1+E2
-1,33333333
9. IUT GTE PAU
Patrick.PAQUET
3 Travail demandé
→
h
B
A
F2
D
C
E
b
→
c
F1
d
e
3.1 Mesures
On se propose de vérifier expérimentalement le principe de superposition
Mettre en place les comparateurs pour mesurer les flèches en
X1= 150
X2= 400
X3= 600
avec b= 300 c= 500
e= 800
section 5*20
Effectuer les mesures en faisant varier F1 et F2
Reporter les mesures sur les tableaux
3.2 Vérification
Compléter le tableau de mesure en calculant les valeurs des chargements
multiples (F1>0 et F2>0), à partir des mesures obtenues lors des chargements
simples (F1=0 ou F2=0)
Comparer résultats des mesures et résultats des calculs. Conclusion.
3.3 Calcul informatique
Rédiger un cahier des charges de calcul pour le groupe RDM afin de Calculer
les valeurs des flèches aux points de mesure pour le chargement maximum,
en précisant :
Les dimensions utiles
Le chargement
Les caractéristiques de la poutre
Les résultats attendus
Comparer les résultats fournis par le groupe RDM avec vos mesures.
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10. Patrick.PAQUET
IUT GTE PAU
3.4 Calcul
Pour ces calculs vous utiliserez dans la mesure du possible les résultats littéraux
développés dans l'exemple ou le formulaire, attention les valeurs numériques du
cas à traiter sont différentes de l'exemple.
Déterminer les 3 poutres isostatiques équivalentes au problème posé
En notant b2 le b du formulaire, exprimer b2 et L du formulaire en fonction
de b et e de l'exemple. Montrer que les deux formules de flèches sont
équivalentes.
En utilisant les expressions générales de la flèche données dans l'exemple,
calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le
chargement maximum de la poutre isostatique faisant apparaître F1.
Etudier l'équilibre de la poutre isostatique faisant apparaître F2
En utilisant les expressions générales de la flèche donnée dans le formulaire,
calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le
chargement maximum de la poutre isostatique faisant apparaître F2.
Ecrire la condition devant être respectée par la troisième poutre isostatique,
en déduire la force exercée sur cette poutre. (on se servira, en les adaptant,
des résultats de l'exemple)
En utilisant les expressions générales de la flèche données dans l'exemple,
calculer les valeurs des flèches aux points de mesure et au point C pour le
chargement maximum de la troisième poutre isostatique.
Calculer les valeurs des flèches aux points de mesure pour le chargement
maximum pour la poutre hyperstatique.
Comparer avec les résultats de vos mesures et du groupe RDM.
Conclure
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