Structures
caténaires
ARC-2007
Conception de structures
R. Pleau
École d’architecture, Université Laval
Structures caténaires
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Une structure caténaire est une structure qui, soumise à un ensemble de
charges donné, est sollici...
Deux types de formes caténaires
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On distingue deux types de
formes caténaires. D’une part,
les câbles suspendus qui
sont ...
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La forme caténaire est associée
à une combinaison de charges
donnée. Dans le cas des
structures tendues, elles ne
peuven...
Équilibre statique
d’une structure
caténaire
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La ci-dessous montre le profil d'un câble suspendu
qui supporte trois charges concentrées sur une
portée de 26 m. Si on i...
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En poussant la réflexion un peu
plus loin, on s'aperçoit qu'il est
possible de superposer les trois
polygones de forces d...
Présentation de la
méthode graphique
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diagramme de forme
10 m 6 m 4 m 6 m
200 kN 150 kN 300 kN
La première étape consiste à tracer, à l’échelle, le diagramme de...
La seconde étape consiste à ajouter la notation par intervalles. Les intervalles situés en-
dessous du câble et compris en...
Dans la troisième étape, on construit le polygone de forces en plaçant d’abord les points
qui correspondent aux charges ex...
À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
on commence par tracer le vecteur O-A sur le polygone de forces, puis o...
À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
… on poursuit en traçant le vecteur O-B sur le polygone de forces et on...
À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
… on fait de même pour le segment O-C …
polygone de forces
a
b
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À la quatrième étape, on trace le profil du câble.
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La cinquième et dernière étape consiste à calculer l’effort de tension maximal dans le
câble. On y parvient simplement en ...
Familles
de formes
caténaires
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Il est significatif de constater que la composante horizontale des efforts
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Pour y parvenir, on trace d'abord un premier polygone de forces en
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La seconde étape consiste à tracer, sur le diagramme de forme, une corde de
fermeture passant par les deux points d'app...
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Il suffit alors de retracer un polygone de forces à partir de la nouvelle
localisation du point o pour ensuite tracer le...
Structures caténaires
passant par trois points
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L'autre situation que l'on rencontre couramment consiste à trouver une
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La première étape consiste à tracé un polygone de forces en plaçant
arbitrairement le point o et, à partir du polygone ...
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Sur le diagramme de forme on trace la corde de fermeture entre les deux
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On peut alors tracer un nouveau polygone de forces à partir ce point o
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Structures caténaires
supportant une charge
uniformément répartie
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1ère stratégie: alourdir le tablier
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La première stratégie consiste à alourdir volontairement la structure
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3ème stratégie: appliquer une précontrainte
Une troisième stratégie de stabilisation consiste à utiliser le principe de...
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On peut étendre la portée de cette stratégie en orientant le câble
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5ème stratégie: rigidifier la tablier suspendu
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6ème stratégie: incliner les suspentes
Si on incline les suspentes, on peut
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Dans certains cas rares, on arrive parfois à rigidifier la structure porteuse
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Réactions horizontales aux points d’appui
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Pour conclure cette discussion sur la stabilité
des structures caténaires, on...
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Il existe quatre façons de reprendre cette
force horizontale. La première consiste
simplement à fixer le câble caténaire...
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16 caténaires

  1. 1. Structures caténaires ARC-2007 Conception de structures R. Pleau École d’architecture, Université Laval
  2. 2. Structures caténaires 2 Une structure caténaire est une structure qui, soumise à un ensemble de charges donné, est sollicitée uniquement en tension ou en compression. On emploie également le terme funiculaire pour décrire une structure qui est seulement sollicitée en tension. Une corde à linge représente un bon exemple de structure caténaire. Sous le poids des vêtements qui y sont suspendus, la corde va se déformer pour adopter une géométrie qui assure son équilibre statique mais en ne développant que des efforts de tension puisqu'elle n'offre aucune résistance à la compression ou à la flexion.
  3. 3. Deux types de formes caténaires 3 On distingue deux types de formes caténaires. D’une part, les câbles suspendus qui sont sollicités uniquement en tension et, d’autre part, les arches qui sont sollicitées uniquement en compression.
  4. 4. 4 La forme caténaire est associée à une combinaison de charges donnée. Dans le cas des structures tendues, elles ne peuvent supporter aucun effort de flexion ce qui signifie que toute variation de charges amène une modification de géométrie. Dans l e c a s d e s s t r u c t u r e s comprimées, celles-ci sont rigides et les variations de charges ont donc peu d'influence sur leur géométrie. En revanche, lorsque le chargement s'éloigne de celui correspondant à la forme caténaire, des efforts de flexion sont induits dans l'arche et peuvent réduire considérablement sa résistance. Câble suspendu Arche
  5. 5. Équilibre statique d’une structure caténaire 5
  6. 6. 6 La ci-dessous montre le profil d'un câble suspendu qui supporte trois charges concentrées sur une portée de 26 m. Si on isole les trois noeuds - a, b et c - correspondant aux points d'attache des charges - chacun de ces noeuds est sollicité par trois charges: une charge externe et deux charges de tension dans le câble de part et d'autre du noeud. L'équilibre statique des forces fait en sorte qu'il est facile de trouver les efforts de tension dans le câble simplement en traçant le polygone des forces à chacun des noeuds.
  7. 7. 7 En poussant la réflexion un peu plus loin, on s'aperçoit qu'il est possible de superposer les trois polygones de forces de manière à obtenir un seul polygone de forces regroupant toutes les charges sollicitant le câble. Ce polygone prend la forme d'un triangle où toute les charges externes sont alignées sur une ligne verticale et où tous les efforts internes dans le câble convergent vers un même point. Cette forme constitue la caractéristique c o m m u n e à t o u t e s l e s structures caténaires.
  8. 8. Présentation de la méthode graphique 8
  9. 9. diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN La première étape consiste à tracer, à l’échelle, le diagramme de forme en y plaçant des lignes verticales pointillées alignées sur les deux points d’appui et les charges verticales.
  10. 10. La seconde étape consiste à ajouter la notation par intervalles. Les intervalles situés en- dessous du câble et compris entre les points d’appui et les charges externes seront désignés par des lettres (A, B, C, etc…). Par convention, tout l’intervalle situé en-dessous du câble sera désigné par la lettre O. polygone de forces a b c d o diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN O A B C D
  11. 11. Dans la troisième étape, on construit le polygone de forces en plaçant d’abord les points qui correspondent aux charges externes (i.e. les points a, b, c et d). On place ensuite le point O. polygone de forces a b c d o diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN O A B C D
  12. 12. À la quatrième étape, on trace le profil du câble. on commence par tracer le vecteur O-A sur le polygone de forces, puis on rapporte une ligne parallèle à ce vecteur sur le diagramme de forme pour tracer la ligne O-A sur le diagramme de forme … polygone de forces a b c d o diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN O A B C D
  13. 13. À la quatrième étape, on trace le profil du câble. … on poursuit en traçant le vecteur O-B sur le polygone de forces et on rapporte rapporte une ligne parallèle à ce vecteur sur le diagramme de forme pour y tracer la ligne O-B … polygone de forces a b c d o diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN O A B C D
  14. 14. À la quatrième étape, on trace le profil du câble. … on fait de même pour le segment O-C … polygone de forces a b c d o diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN O A B C D
  15. 15. À la quatrième étape, on trace le profil du câble. … et on complète le polygone de forces et le diagramme de forme en plaçant le segment O-D. On connaît maintenant le profil du câble caténaire. polygone de forces a b c d o diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN O A B C D
  16. 16. La cinquième et dernière étape consiste à calculer l’effort de tension maximal dans le câble. On y parvient simplement en mesurant le plus long segment qui converge vers le point O sur le polygone de forces. Pour l’exemple illustré ci-dessous, l’effort maximale de tension dans le câble est égal à 475 kN. polygone de forces a b c d o 475kN diagramme de forme 10 m 6 m 4 m 6 m 200 kN 150 kN 300 kN O A B C D
  17. 17. Familles de formes caténaires 17
  18. 18. 18 La figure ci-dessous montre le résultat de l'analyse statique pour le câble caténaire étudié précédemment. On remarque que les réactions d'appui aux deux extrémités du câble (G et D) correspondent aux efforts internes O-A et O-D sur le polygone de forces. Chacune de ces réactions pourraient être décomposées en deux composantes orthogonales: l'une verticale (Gv et Dv), l'autre horizontale (Gv et Dv).
  19. 19. 19 Il est significatif de constater que la composante horizontale des efforts internes demeure constante sur toute la longueur du câble.
  20. 20. 20 En déplaçant le point o sur le polygone de forces, on pourrait tracer d'autres courbes caténaires associées au même cas de charge. Il existe en effet une infinité de forme caténaires capables de supporter la même combinaison de charges.
  21. 21. 21 Sur le diagramme de forme, on peut tracer la corde de fermeture qui est définie comme la ligne reliant les deux points d'appui. Sur le polygone de force si on trace une ligne parallèle à la corde de fermeture et passant par le point o, cette ligne interceptera l'axe vertical du polygone en un point que nous appellerons le point z. Si on déplace le point o sur cette ligne, on obtiendra une famille de courbes caténaires qui passent toutes par les deux mêmes points d’appui.
  22. 22. 22 Si on remplace l'ensemble des forces externes qui sollicitent le par une force résultante, celle-ci forme avec les deux réactions d'appui un système de trois forces non-parallèles. Ces trois forces convergent obligatoirement vers un même point pour préserver l'équilibre statique de la structure. Cette caractéristique peut être utile au concepteur pour choisir une forme caténaire.
  23. 23. 23 Si on inverse le polygone de forces en plaçant le point o à la gauche de l’axe vertical représentant les charges externes, on obtient alors une arche de forme caténaire où toutes les membrures sont sollicitées en compression. Cette arche possède le même profil, mais inversé, que celui d'un câble caténaire supportant les mêmes charges
  24. 24. Structures caténaires passant par deux points 24
  25. 25. 25 Dans la conception de structures caténaires, il arrive fréquemment que l'on souhaite tracer une courbe caténaire qui passe par deux points préalablement localisés dans l'espace. Prenons l'exemple d'un câble suspendu qui supporte 5 charges concentrées de 50 kN équidistante sur une portée de 30 m et qu'on souhaite attacher aux deux points d'ancrage illustrés ci-dessous. Si la résistance à la tension du câble (Tr) est égale à 200 kN, le problème consiste à trouver une courbe caténaire qui passe par les deux points d'appui et dont l'effort maximal de tension soit égal à 200 kN.
  26. 26. 26 Pour y parvenir, on trace d'abord un premier polygone de forces en choisissant arbitrairement un point o dans l'espace. À partir de ce polygone de forces on trace une courbe caténaire qui passe par le point d'appui gauche. On obtient alors une courbe caténaire qui passe par l'appui gauche... mais pas par l'appui droit polygone de forces a b c d e f o diagramme de forme 50kN 50kN 50kN 50kN 50kN A B C D E F 30 m O
  27. 27. 27 Sur le diagramme de forme on trace une corde de fermeture qui passe par les deux points d'appui et, sur le polygone de forces, on trace une ligne parallèle à la corde de fermeture et passant par le point o. Cette ligne intercepte l'axe vertical des forces externes en un point que l'on identifie comme le point z. Comme nous l'avons déjà mentionné, ce point z est commun à toutes les courbes caténaires associées à ce cas de charge.
  28. 28. 28 La seconde étape consiste à tracer, sur le diagramme de forme, une corde de fermeture passant par les deux points d'appui par lesquels on veut faire passer la courbe caténaire. Sur le polygone de forces, on trace une ligne qui est parallèle à cette corde de fermeture et qui passe par le point z. On sait que le point o sera situé quelque part sur cette ligne. Visuellement on constate que, à partir du point o le segment o-f sera le plus long. La localisation exacte du point o est donc située au point d'intersection entre la corde de fermeture et un segment 0-f de 200 kN de longueur. Il suffit alors de retracer un polygone de forces à partir de la nouvelle localisation du point o pour ensuite tracer le diagramme de forme qui correspond au profil caténaire de la structure recherchée au départ.
  29. 29. 29 Il suffit alors de retracer un polygone de forces à partir de la nouvelle localisation du point o pour ensuite tracer le diagramme de forme qui correspond au profil caténaire de la structure recherchée au départ.
  30. 30. Structures caténaires passant par trois points 30
  31. 31. 31 L'autre situation que l'on rencontre couramment consiste à trouver une courbe caténaire passant par trois points préalablement localisés dans l'espace. Prenons l'exemple d'une arche caténaire qui supporte cinq charges concentrées et que l'on souhaite faire passer par trois points prédéfinis.
  32. 32. 32 La première étape consiste à tracé un polygone de forces en plaçant arbitrairement le point o et, à partir du polygone de forces, à tracer la forme caténaire correspondante sur le diagramme de forme en débutant par l'appui gauche. On constate que la forme ainsi tracée ne passe pas par les deux autres points choisis.
  33. 33. 33 Sur le diagramme de forme on trace la corde de fermeture entre les deux points d'extrémités et on ramène sur le polygone de forces une ligne parallèle à cette corde. Cela nous permet de localiser le point z sur l'axe vertical des charges externes. On trace également deux cordes reliant les points d'extrémité au point situé dans l'axe vertical du point central par lequel on souhaite faire passer la courbe caténaire (ces cordes sont représentées par des lignes pointillées jaune sur le diagramme de forme). On ramène sur le polygone de forces deux lignes parallèles à ces cordes pour localiser les points x et y sur l'axe vertical des charges externes. Comme le point z, les points x et y sont communs à toutes les formes caténaires supportant un même cas de charge.
  34. 34. 34 Maintenant que les points z, y et z sont localisés sur le polygone de forces, il suffit de tracer les cordes de fermeture entre les trois points choisis dans l'espace et à ramener sur le polygone de forces des lignes parallèles à ces trois cordes pour localiser le point o.
  35. 35. 35 On peut alors tracer un nouveau polygone de forces à partir ce point o et ramener des lignes parallèles sur le diagramme de forme pour obtenir une courbe caténaire qui passe par les trois points choisis au départ.
  36. 36. Structures caténaires supportant une charge uniformément répartie 36
  37. 37. 37 Lorsqu'une structure caténaire supporte une charge uniformément répartie, on peut tracer le profil de la structure en remplaçant la charge uniformément répartie par une série de charges concentrées équidistantes. Plus le nombre de charges concentrées est grand, meilleure sera l'approximation de la courbe caténaire. Dans la plupart des cas, une dizaine de charges suffisent pour obtenir une précision suffisante. Supposons, par exemple, que l'on veuille tracer le profil d'un arche caténaire de 60 m de portée qui supporte une charge uniformément répartie de 20 kN/m et qui passe par les trois points illustrés à la figure ci-dessous.
  38. 38. 38 On peux diviser la travée en 10 tranches de 6 m de largeur. Chacune de ces tranches supporte une charge totale de 120 kN (i.e. 6 × 20 kN). On pourrait donc remplacer la charge uniformément répartie de 20 kN/ m par une charge concentrée de 120 kN appliquée au centre de la tranche. On répète cette opération 10 fois pour tracer les charges qui sollicitent la structure.
  39. 39. 39 Nous avons déjà mentionné que, pour les structures caténaires, les deux réactions d'appui et la charge résultante convergent vers un même point. Lorsque la charge est uniformément répartie sur la structure, ce point de convergence se situe au centre de la portée à une hauteur correspondant à deux fois la flèche de la courbe caténaire. La flèche (appelée sag en anglais) correspond à la distance maximale entre la structure caténaire et sa corde de fermeture. Pour les charges symétriques, elle est située au centre de la portée.
  40. 40. 40 Cette propriété fait en sorte qu'il est possible de localiser directement le point o sur le polygone de forces en y rapportant la corde de fermeture et des deux segments d'extrémité qui correspondent aux réactions d'appui. Le point o se situe alors au croisement de ces trois droites. On complète le polygone de forces et il suffit alors de ramener des droites parallèles aux divers segments sur le diagramme de forme pour tracer la courbe caténaire de la structure. 6 m typ.3 m 60 m 10 × 120 kN A B C D E F G H O 9 m 9 m
  41. 41. 41 Dans le cas usuels des câbles caténaires supportant une charge uniformément répartie, le constructeur a besoin de connaître la longueur du câble (Lc) qu'il devra suspendre aux points d'appui pour obtenir la forme caténaire recherchée. Cette longueur peut être approximée par l'expression suivante: où L représente la distance horizontale entre les deux points d'appui, s la flèche et h la différence de hauteur entre les deux points d'appui.
  42. 42. 42 Considérons, par exemple, le câble caténaire illustré à la figure ci- dessous. Sa longueur serait égale à:
  43. 43. Stabilité des structures caténaires tendues 43
  44. 44. 44 Les structures conçues par l'homme doivent non seulement être résistantes, mais aussi suffisamment stables. La stabilité d'une structure est définie comme sa capacité à ne pas subir de modifications excessives de sa géométrie (déformations et/ou vibrations) dans des conditions normales d'utilisation. Les câbles caténaires ne possèdent aucune résistance à la flexion et leur forme s'adapte au profil des charges qui la sollicitent. Si le profil des charges subit des variations importantes, les structures caténaires tendues se déforment facilement et leur stabilité devient souvent un enjeu important au moment de leur conception. Une structure est dite stable si les déformations qu'elle subit demeurent en-dessous d'un seuil acceptable et si cette structure n'est pas soumise à des vibrations excessives. Les concepteurs ont recours à diverses stratégies pour assurer la stabilité de leurs structures.
  45. 45. 1ère stratégie: alourdir le tablier 45 La première stratégie consiste à alourdir volontairement la structure de sorte que les variations de la charge vive demeurent petites p/r à la charge morte. Prenons l'exemple d'une passerelle piétonne où deux câbles caténaires supportent un mince pontage de bois. Comme le poids du piéton est important comparativement au poids de la passerelle, le câble subit des déformations importantes quand le piéton se déplace et la structure est sensible aux vibrations. En remplaçant le mince pontage de bois par un pontage en béton beaucoup plus lourd, le poids de piéton devient négligeable p/r à celui de la passerelle qui devient alors beaucoup moins déformable et sensible aux vibrations quand le piéton se déplace.
  46. 46. 46 tablier léger tablier lourd
  47. 47. 47 La stabilité du tablier peut aussi être obtenue, du moins en partie, en rigidifiant le tablier. Par exemple, le pont Tatzelwurm en Bavière est l'un des plus long ponts entièrement construits en bois. Les membrures de bois qui supportent son tablier épousent une forme caténaire et elles sont principalement sollicitées en tension pour supporter les charge verticales qui s'exercent sur le tablier. Mais, contrairement à un câble, ces membrures sont suffisamment rigides pour supporter des efforts de flexion significatifs ce qui contribue à rigidifier le tablier et à lui assurer une bonne stabilité lorsque le profil de charges s'écarte de la charge uniformément répartie qui a servie à définir la forme caténaire. 2ème stratégie: rigidifier le tablier
  48. 48. 48 3ème stratégie: appliquer une précontrainte Une troisième stratégie de stabilisation consiste à utiliser le principe de la précontrainte. Des gaines sont alors installées dans le tablier de la structure caténaire qui est habituellement constituée de plusieurs segments en béton armé. Un câble est enfilé dans la gaine et mis sous tension pour lier les segments de tablier à la manière d'un collier de perles. Lorsque la tension est relâchée, la forme caténaire se trouve comprimée et se comporte comme une arche inversée ce qui lui confère une bien meilleure stabilité. La charge d'utilisation qui sera ajoutée par la suite génère des efforts de tension dans le câble caténaire qui viennent s'opposer à l'effort de compression initial sans complètement l'annuler.
  49. 49. 49 4ème stratégie: ajout d’un câble stabilisateur L'ajout d'un câble s t a b i l i s a t e u r c o n s t i t u e u n e quatrième stratégie simple et efficace qui consiste à attacher un (ou plusieurs) p o i n t d u c â b l e c a t é n a i r e p o u r r e s t r e i n d r e s o n déplacement.
  50. 50. 50 On peut maximiser l'efficacité de cette méthode en utilisant un câble stabilisateur qui adopte une forme caténaire de courbure inversée p/r au câble porteur. Le câble porteur supporte toutes les charges orientées vers le bas alors que le câble stabilisateur reprend toutes les charges dirigées vers le haut. Cette stratégie permet de construire des structures qui sont très légères, mais aussi, très rigides. Le câble stabilisateur peut être situé en-dessous, ou au-dessus du câble porteur. Les deux câbles peuvent même se croiser.
  51. 51. 51 On peut étendre la portée de cette stratégie en orientant le câble stabilisateur perpendiculairement au câble porteur. Plusieurs toitures en forme de selle exploitent ce principe ce câbles croisés.
  52. 52. 52 5ème stratégie: rigidifier la tablier suspendu Il arrive souvent qu'un tablier soit suspendu à un câble caténaire par une série de suspentes verticales comme dans le cas d'un pont suspendu. Une cinquième stratégie consiste à rigidifier le tablier pour stabiliser le câble. Lorsque le profil de charge s'écarte de la charge uniformément répartie qui a servie à définir la forme caténaire, le tablier est alors sollicité en flexion et il est suffisamment rigide pour s’opposer aux déformations.
  53. 53. 53 6ème stratégie: incliner les suspentes Si on incline les suspentes, on peut aussi créer une triangulation entre le câble caténaire et la structure qu'il supporte. L'espace entre le câble caténaire et la structure agit alors comme un treillis pour stabiliser la structure.
  54. 54. 54 Dans certains cas rares, on arrive parfois à rigidifier la structure porteuse caténaire en remplaçant le câble par des membrures rigides. C’est le cas notamment du célèbre pont de Londres qui constitue un très bel exemple de cette stratégie.
  55. 55. Réactions horizontales aux points d’appui 55 Pour conclure cette discussion sur la stabilité des structures caténaires, on doit aborder la question des réactions d'appui aux extrémités du câble qui peuvent être décomposés en deux constituantes: l'une verticale (Fv), l'autre horizontale (Fh). La réaction d'appui horizontale (Fh) est inversement proportionnelle au rapport s/L (flèche/portée) et elle est généralement plus importante que la réaction d'appui verticale (Fv).
  56. 56. 56 Il existe quatre façons de reprendre cette force horizontale. La première consiste simplement à fixer le câble caténaire au sol. Cela nous oblige à s'ancrer directement au roc (lorsque cela est possible) ou à construire une imposante fondation en béton. La deuxième façon consiste à accrocher le câble caténaire au sommet d'un poteau qui sera sollicité en flexion pour transmettre la force horizontales aux fondations. Comme les efforts de flexion sont considérables, les poteaux doivent habituellement être très costauds pur résister à ces efforts. Une troisième technique prône l'ajout de tirants qui fixent le sommet du poteau au sol. Cela fait en sorte que les poteaux ne sont sollicités qu'en compression et que la composante horizontale est transmise à la fondation à la base du tirant. La quatrième et dernière option consiste à placer une membrure horizontale pour unir les deux sommets des poteaux. Cette membrure sera comprimée pour reprendre les réactions horizontales aux extrémités du câbles caténaires et aucune force horizontale ne sera transmise aux fondations ce qui offre un grand avantage, en particulier lorsque la structure est déposée sur un sol de faible résistance.

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