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Béton Armé III
Méthode bielles-tirants
Département GCU
Cours de 4ème année
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr.Ing.
qnguyen@insa-rennes.fr
Version 1
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 2
18.1 Généralités
18.2 Bielles
18.3 Tirants
18.4 Nœuds
18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison
18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau
18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques
18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs)
18.7.2 Angles de portiques dont l’intérieur est tendu (cas des moments positifs)
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 3
18.1 Généralités
• La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception
rationnelle pour le calcul de ferraillage de régions locales des structures
en béton armé (appelées régions D pour discontinuité);
• En général dans une structure chargée il y a deux types de régions:
9 Régions de continuité B (pour Bernoulli): les régions où l’hypothèse
de Navier-Bernoulli concernant une distribution linéaire des
déformations s’applique. Dans ces régions, les méthodes de la RdM
peuvent être appliquées pour le dimensionnement, avec certaine
précautions.
D D
D
B B
h
2h
h h
Régions B et D dans une poutre
simplement appuyé
Exemple de région de
discontinuité: Poutre cloison
H
9 Régions de discontinuité D: Les régions où la distribution des déformations relatives est non-linéaire et les
méthodes de la RdM ne peuvent être utilisées pour déterminer l’état de contrainte en un point. Il s’agit des
régions de discontinuité géométrique ou des régions au voisinage des points d’application des charges
concentrées).
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 4
D
2
h
2
h
1
h
1
h
D
h
h h
D
2
h
2
h
1
h
1
h
D
D
h
h
D
h
h
h
Régions de discontinuités géométriques ou dues à l’application de charge ponctuelle
(a) Poutre avec un changement
brutal de hauteur
(c) Nœud poteau/poutre
(b) Entourant une ouverture
(d) Jonction
poteau/semelle épaisse
(e) Poutre-cloison
(f) Poteau avec
corbeau
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 5
• La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception rationnelle pour le calcul de ferraillage de
régions locales des structures en béton armé (appelées régions D pour discontinuité);
• La méthode BT concerne l’idéalisation de zone de discontinuité par le biais d’un treillis interne capable de
représenter la distribution et le cheminement des forces à l’intérieur de la structure. Le treillis est composé des :
9 Bielles (ou membrures comprimées) représentant les chambres de contraintes de compression uniaxiale.
Les bielles sont généralement en béton mais peuvent inclure les armatures de compression ou des
armatures transversales servant à confiner le béton.
9 Tirants (éléments en traction) qui modélisent la traction dans les armatures.
9 Nœuds qui représentent les zones de rencontre des bielles, des tirants, des forces ou des réactions
d’appuis. Ce sont des volumes de béton sur lesquels des forces provenant de plusieurs directions se
rencontrent et s’équilibrent.
2F
F F
Modèle BT d’une poutre-cloison
soumis à une charge concentrée
tirant
b
i
e
l
l
e
b
i
e
l
l
e
nœud
nœud nœud
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 6
18.2 Bielles (EC2-1-1 §6.5.2)
• La contrainte limite de calcul des bielles est désignée par VRd,max
• Pour une bielle de béton soumise ou non à des contraintes de compression transversales, la résistance de calcul
est déterminée par
• Pour une bielle de béton dans des zones comprimées avec des fissures transversale, la résistance de calcul
dépend des contraintes de traction qui traversent l’axe de la bielle. A moins d'utiliser une approche plus
rigoureuse, cette résistance de calcul peut être déterminée par
Rd,max cd
f
V
Note: Dans les régions soumises à des contraintes
de compression multiaxiales, une contrainte limite de
calcul plus élevé peut être admise
ck
Rd,max cd
0.6 1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 7
18.3 Tirants (EC2-1-1 §6.5.3)
• Les armatures constituant les tirants doivent être totalement ancrées dans les nœuds.
• La contrainte limite de calcul des tirants est fyd =435 MPa.
• Les armatures requises pour équilibrer les forces au nœud de concentration d'efforts peuvent être réparties sur
une certaine longueur. Lorsque les armatures dans la zone du nœud s'étendent sur une longueur importante d'un
élément, il convient de répartir les armatures sur la zone où les isostatiques de compression sont courbes (tirants
et bielles). L'effort de traction T peut être obtenu au moyen des expressions suivantes :
¾ Pour le cas de régions de
discontinuité partielle (b ≤ H/2) :
¾ Pour le cas de régions de
discontinuité totale (b  H/2)
1
4
b a
T F
b

1
1 0.7
4
a
T F
h
§ ·

¨ ¸
© ¹
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 8
18.4 Nœuds (EC2-1-1 §6.5.4)
• Les règles pour les nœuds s'appliquent également aux
régions dans lesquelles des forces concentrées sont
transmises à un élément mais qui ne sont pas
dimensionnées à l'aide de la méthode des bielles.
• Les efforts agissant dans les nœuds doivent s'équilibrer.
On doit notamment tenir compte des efforts transversaux
de traction perpendiculaires au plan du nœud.
poutre-cloison soumis à une
charge concentrée
tirant
b
i
e
l
l
e
b
i
e
l
l
e
Nœud sans tirant
Nœud avec
tirants
cd,3
F cd,2
F
Nœud soumis à compression sans tirant
• Le dimensionnement des nœuds de concentration d’effort et les dispositions constructives correspondantes sont
déterminants pour l’établissement de la capacité résistante. Les nœuds de concentration d’effort peuvent
apparaître par exemple là où sont appliquées des charges ponctuelles, au droit des appuis, dans les zones
d'ancrage (avec concentration d'armatures de béton armé ou d'armatures de précontrainte), dans les parties
courbes des armatures et enfin dans les jonctions et angles des éléments.
1
a

cd,1 cd,1 cd,1
r l
F F F
cd,1r
F
cd,1l
F
cd,2
F
cd,3
F
V
R
d
,
2
V
R
d
,
3
VRd,1
2
a
3
a
nœud
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 9
¾ Dans un nœud soumis à compression sans tirant, la
contrainte maximale pouvant être appliquée sur les
faces du nœud VRd,max est déterminée par
• Les valeurs de calcul des contraintes de compression à l'intérieur des nœuds peuvent être déterminées de la
manière suivante :
ck
Rd,max cd
1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹
¾ Dans un nœud soumis à compression et à traction,
avec tirants ancrés dans une direction, la contrainte
maximale pouvant être appliquée sur les faces du
nœud VRd,max est déterminée par
1
a

cd,1 cd,1 cd,1
r l
F F F
cd,1r
F
cd,1l
F
cd,2
F
cd,3
F
V
R
d
,
2
V
R
d
,
3
VRd,1
2
a
3
a
nœud
V
Rd,2
VRd,1
cd,1
F
1
a
td
F
bd
l
cd,2
F 2
a
nœud Tc
Bielle d’about
ck
Rd,max cd
0.85 1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 10
¾ Dans un nœud soumis à compression et à traction, avec tirants ancrés dans plus d’une direction, la contrainte
maximale pouvant être appliquée sur les faces du nœud VRd,max est déterminée par
ck
Rd,max cd
0.75 1
250
f
f
V
§ ·

¨ ¸
© ¹
td,1
F
cd
F
td,2
F
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 11
18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison
L
H
a a
1
F
z
1
p
2
p
P
P
P
2
F
p
L
H
a a
F
F
4
L
4
L
z
Bielle
Tirant
2
pL
2
pL
Cas de charge répartie uniforme Cas de charge répartie linéaire
d d
0.6 0.8
L z L
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 12
18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison
• Cas d’une charge ponctuelle
Modèle BT pour une poutre-cloison de
petites dimensions
L
H
a a
F
F
2F
L
H
a a
F
F
Bielle
Tirant
2F
Modèle BT pour une poutre-cloison de
grandes dimensions
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 13
Exemple
• Considérons une poutre-cloison soumise à une charge concentrée à mi-portée. La charge concentrée consiste
en une charge permanente de 3000 kN incluant le poids propre de la poutre-cloison et une charge d’exploitation
de 1500 kN. Les dimensions de la poutre-cloison sont indiquées à la figure ci-dessous. Cette poutre-cloison sera
réalisée avec le béton C40. Dimensionner les armatures.
9 m
1 1
0.8
3.5
Ed
F
0.4
section droite
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 14
18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau
• Ce modèle BT est applicable pour une console courte (corbeau) qui
vérifie la condition suivante:
• L’inclinaison de la bielle est limitée par
corbeau

c 0
a z
T
d d
1 tan 2.5
La hauteur du corbeau
peut être constante ou
variable le long de sa
portée
Nœud
Nœud
Rd,max
V
Ed
F
Ed
H
Ed
F
td
F
wd
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 15
Etape 1: Vérification de la compression des bielles de béton
Il faut que ( cas d’absence de traction transversale, slide 5)
où Vc est la contrainte de compression dans la bielle principale de béton:
Rd,max cd
c
f
V V
d
c
c
F
ab
V
• Fc est l’effort de compression dans le bielle principale de béton, déterminé
en faisant l’équilibre de moment au point A au droit de la face du poteau:
• ܽ est la largeur de la bielle, déterminée par
• ܾ est la largeur du corbeau.
Ed Ed
c Ed Ed c
sin 0
sin
c H
c c H
A
c
F a H a
M F a F a H a F
a
T
T

  o
¦
est l'angle d'inclinaison de la bielle vérifiant 1 tan 2.5
T T
d d
2 tan cos
c
a d a T T
Ed Ed
2
c
1 tan
tan tan
2
c H
c
c c
F a H a
F
ab ba d a
T
T T
V
 
o

Nota: est une fonction décroissante sur l'intervalle 1 tan 2.5
on choisit le cas le plus défavorable tan 1
c
V T
T
d d
o
Avec le choix de cotT il faut vérifier les conditions géométriques suivantes
pour assurer qu’il s’agit bien d’une console courte et que le modèle BT
s’applique:
1) 0 tan
2) sin
c
h p
a d a
a a h
T
T
! o !
d
Ed
F
Ed
H
td
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T
c
F
c
V
A
B
a
h
a
v
a
T
p
h
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 16
Etape 2: Calcul des armatures tendues « principales » As,main
Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de traction dans le tirant avec une contrainte Vs = fyd . D’où
leur section As,main est déterminée par:
td
s,main
yd
F
A
f
td 0 Ed Ed 0 td Ed Ed
0 0
Ed
td Ed
0 1
1
tan tan
c H
c H
B
H
c
a a
M F z F a H z a F F H
z z
F a
F H
a
T T
§ ·
   o  
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
§ ·
o  
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
¦
Les armatures supérieures tendues peuvent être constituées:
• de cadres horizontaux
• de barres avec crochet d’extrémité, ancrées
Ed
F
Ed
H
td
F
c
a
H
a
0
z d c
h
Bielle
Tirant
T
c
F
c
V
A
B
a
h
a
v
a
T
p
h
• Ftd est l’effort de traction dans le tirant « principal », , déterminé en faisant
l’équilibre de moment au point B au droit de la face du poteau:
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 17
Etape 3: Dispositions constructives des armatures dans les corbeaux
1. Les armatures supérieures tendues peuvent être constituées:
• De cadres horizontaux
• De barres avec crochet d’extrémité, ancrées:
9 dans l’élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du poteau les plus proches de cette
paroi ;
9 au voisinage du nez du corbeau, au-delà du bord intérieur de la zone chargée.
• L’armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de corbeau pour éviter la rupture de l’angle
supérieur du corbeau.
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 18
2. Armatures horizontales de répartition
Si ac  0,5hc, en plus des armature principales, As,main,
des armatures horizontales de répartition, As,lnk ≥ As,main,
sont à prévoir sous la forme de cadres fermés
horizontaux ou inclinés.
s,main
A
s,main
A
s s n
,lnk ,mai
cadres fermés horizontaux ou n
0.25
incli és
A A
t
¦
A
A - Dispositif d’ancrage ou boucles
c
h
c
a) Ferraillage pour 0.5 c
a h
d
c 0.5 c
a h
d
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 19
3. Armatures verticales
Si ac  0,5hc et FEd  VRd,c, en plus des armature
principales, As,main, il convient de prévoir des cadres
fermés verticaux As,lnk ≥ 0,5FEd/fyd
s,main
A
VRd,c : l’effort tranchant de
référence = effort tranchant
résistant de l’élément sans
armatures verticales (voir
Chapitre 9)
Note: Les armatures horizontales de répartition ne sont pas requises dans ce cas.
Néanmoins, par mesure de sécurité, on met la section minimale requise 0,25As,main
s,main
A
A
- Armatures de couture (cadres fermés verticaux)
c
h
c Ed Rd,c
b) Ferraillage pour 0.5 et
c
a h F V
! t
c 0.5 c
a h
!
B
B
E
v
s,lnk
d
yd
0.5
F
A
f
t
¦
Ed
F
s,main
h
s,lnk 0.25A
A
¦
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 20
Exemple
Considérons deux corbeaux d’appui de la poutre. Il est demandé de vérifier la rupture locale du béton et de
dimensionner les armatures dans ces corbeaux.
Données:
- Les dimensions des élément sont indiquées dans la figure ci-dessous.
- Actions sur la poutre:
• Charges permanentes (poids propre inclus):
• Charges d’exploitation
¾ Composante verticale:
¾ Résultante des composantes horizontales:
11.26 kN/m
k
g
15.73 kN/m
k
q
26.95 kN
k
H
Béton C40
Acier B500B
1000
25
10
15
35
40
50 cm
50 cm
15
Poutre 30x50ht
50
Poteau
40x50
H
2
25
40
10
35
Poteau
40x50
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 21
Ed 40.425 kN
H
Ed 193.98 kN
F
25
10 35
50 cm
Poteau
40x50
2
40
As,main
4HA14
Cadre HA6 Armatures verticales
cadres HA6
5 55
Armatures horizontale de répartition
cadres HA6
Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 22
18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques
Dans un portique en BA, le moment d’encastrement d’une poutre doit se retourner dans le poteau. Il faut donc
assurer la continuité des armatures tendues au niveau des angles du portique.
18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs)
Cas 1: poutre et poteau de dimensions sensiblement égales
Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique
avec 45
T q

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Méthode bielles-tirants

  • 1. Béton Armé III Méthode bielles-tirants Département GCU Cours de 4ème année Quang Huy Nguyen MCF-HDR, Dr.Ing. qnguyen@insa-rennes.fr Version 1
  • 2. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 2 18.1 Généralités 18.2 Bielles 18.3 Tirants 18.4 Nœuds 18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison 18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau 18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques 18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs) 18.7.2 Angles de portiques dont l’intérieur est tendu (cas des moments positifs)
  • 3. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 3 18.1 Généralités • La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception rationnelle pour le calcul de ferraillage de régions locales des structures en béton armé (appelées régions D pour discontinuité); • En général dans une structure chargée il y a deux types de régions: 9 Régions de continuité B (pour Bernoulli): les régions où l’hypothèse de Navier-Bernoulli concernant une distribution linéaire des déformations s’applique. Dans ces régions, les méthodes de la RdM peuvent être appliquées pour le dimensionnement, avec certaine précautions. D D D B B h 2h h h Régions B et D dans une poutre simplement appuyé Exemple de région de discontinuité: Poutre cloison H 9 Régions de discontinuité D: Les régions où la distribution des déformations relatives est non-linéaire et les méthodes de la RdM ne peuvent être utilisées pour déterminer l’état de contrainte en un point. Il s’agit des régions de discontinuité géométrique ou des régions au voisinage des points d’application des charges concentrées).
  • 4. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 4 D 2 h 2 h 1 h 1 h D h h h D 2 h 2 h 1 h 1 h D D h h D h h h Régions de discontinuités géométriques ou dues à l’application de charge ponctuelle (a) Poutre avec un changement brutal de hauteur (c) Nœud poteau/poutre (b) Entourant une ouverture (d) Jonction poteau/semelle épaisse (e) Poutre-cloison (f) Poteau avec corbeau
  • 5. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 5 • La méthode bielles-tirants (BT) est une procédure de conception rationnelle pour le calcul de ferraillage de régions locales des structures en béton armé (appelées régions D pour discontinuité); • La méthode BT concerne l’idéalisation de zone de discontinuité par le biais d’un treillis interne capable de représenter la distribution et le cheminement des forces à l’intérieur de la structure. Le treillis est composé des : 9 Bielles (ou membrures comprimées) représentant les chambres de contraintes de compression uniaxiale. Les bielles sont généralement en béton mais peuvent inclure les armatures de compression ou des armatures transversales servant à confiner le béton. 9 Tirants (éléments en traction) qui modélisent la traction dans les armatures. 9 Nœuds qui représentent les zones de rencontre des bielles, des tirants, des forces ou des réactions d’appuis. Ce sont des volumes de béton sur lesquels des forces provenant de plusieurs directions se rencontrent et s’équilibrent. 2F F F Modèle BT d’une poutre-cloison soumis à une charge concentrée tirant b i e l l e b i e l l e nœud nœud nœud
  • 6. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 6 18.2 Bielles (EC2-1-1 §6.5.2) • La contrainte limite de calcul des bielles est désignée par VRd,max • Pour une bielle de béton soumise ou non à des contraintes de compression transversales, la résistance de calcul est déterminée par • Pour une bielle de béton dans des zones comprimées avec des fissures transversale, la résistance de calcul dépend des contraintes de traction qui traversent l’axe de la bielle. A moins d'utiliser une approche plus rigoureuse, cette résistance de calcul peut être déterminée par Rd,max cd f V Note: Dans les régions soumises à des contraintes de compression multiaxiales, une contrainte limite de calcul plus élevé peut être admise ck Rd,max cd 0.6 1 250 f f V § · ¨ ¸ © ¹
  • 7. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 7 18.3 Tirants (EC2-1-1 §6.5.3) • Les armatures constituant les tirants doivent être totalement ancrées dans les nœuds. • La contrainte limite de calcul des tirants est fyd =435 MPa. • Les armatures requises pour équilibrer les forces au nœud de concentration d'efforts peuvent être réparties sur une certaine longueur. Lorsque les armatures dans la zone du nœud s'étendent sur une longueur importante d'un élément, il convient de répartir les armatures sur la zone où les isostatiques de compression sont courbes (tirants et bielles). L'effort de traction T peut être obtenu au moyen des expressions suivantes : ¾ Pour le cas de régions de discontinuité partielle (b ≤ H/2) : ¾ Pour le cas de régions de discontinuité totale (b H/2) 1 4 b a T F b 1 1 0.7 4 a T F h § · ¨ ¸ © ¹
  • 8. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 8 18.4 Nœuds (EC2-1-1 §6.5.4) • Les règles pour les nœuds s'appliquent également aux régions dans lesquelles des forces concentrées sont transmises à un élément mais qui ne sont pas dimensionnées à l'aide de la méthode des bielles. • Les efforts agissant dans les nœuds doivent s'équilibrer. On doit notamment tenir compte des efforts transversaux de traction perpendiculaires au plan du nœud. poutre-cloison soumis à une charge concentrée tirant b i e l l e b i e l l e Nœud sans tirant Nœud avec tirants cd,3 F cd,2 F Nœud soumis à compression sans tirant • Le dimensionnement des nœuds de concentration d’effort et les dispositions constructives correspondantes sont déterminants pour l’établissement de la capacité résistante. Les nœuds de concentration d’effort peuvent apparaître par exemple là où sont appliquées des charges ponctuelles, au droit des appuis, dans les zones d'ancrage (avec concentration d'armatures de béton armé ou d'armatures de précontrainte), dans les parties courbes des armatures et enfin dans les jonctions et angles des éléments. 1 a cd,1 cd,1 cd,1 r l F F F cd,1r F cd,1l F cd,2 F cd,3 F V R d , 2 V R d , 3 VRd,1 2 a 3 a nœud
  • 9. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 9 ¾ Dans un nœud soumis à compression sans tirant, la contrainte maximale pouvant être appliquée sur les faces du nœud VRd,max est déterminée par • Les valeurs de calcul des contraintes de compression à l'intérieur des nœuds peuvent être déterminées de la manière suivante : ck Rd,max cd 1 250 f f V § · ¨ ¸ © ¹ ¾ Dans un nœud soumis à compression et à traction, avec tirants ancrés dans une direction, la contrainte maximale pouvant être appliquée sur les faces du nœud VRd,max est déterminée par 1 a cd,1 cd,1 cd,1 r l F F F cd,1r F cd,1l F cd,2 F cd,3 F V R d , 2 V R d , 3 VRd,1 2 a 3 a nœud V Rd,2 VRd,1 cd,1 F 1 a td F bd l cd,2 F 2 a nœud Tc Bielle d’about ck Rd,max cd 0.85 1 250 f f V § · ¨ ¸ © ¹
  • 10. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 10 ¾ Dans un nœud soumis à compression et à traction, avec tirants ancrés dans plus d’une direction, la contrainte maximale pouvant être appliquée sur les faces du nœud VRd,max est déterminée par ck Rd,max cd 0.75 1 250 f f V § · ¨ ¸ © ¹ td,1 F cd F td,2 F
  • 11. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 11 18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison L H a a 1 F z 1 p 2 p P P P 2 F p L H a a F F 4 L 4 L z Bielle Tirant 2 pL 2 pL Cas de charge répartie uniforme Cas de charge répartie linéaire d d 0.6 0.8 L z L
  • 12. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 12 18.5 Modèle bielles-tirants pour une poutre-cloison • Cas d’une charge ponctuelle Modèle BT pour une poutre-cloison de petites dimensions L H a a F F 2F L H a a F F Bielle Tirant 2F Modèle BT pour une poutre-cloison de grandes dimensions
  • 13. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 13 Exemple • Considérons une poutre-cloison soumise à une charge concentrée à mi-portée. La charge concentrée consiste en une charge permanente de 3000 kN incluant le poids propre de la poutre-cloison et une charge d’exploitation de 1500 kN. Les dimensions de la poutre-cloison sont indiquées à la figure ci-dessous. Cette poutre-cloison sera réalisée avec le béton C40. Dimensionner les armatures. 9 m 1 1 0.8 3.5 Ed F 0.4 section droite
  • 14. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 14 18.6 Modèle bielles-tirants pour un corbeau • Ce modèle BT est applicable pour une console courte (corbeau) qui vérifie la condition suivante: • L’inclinaison de la bielle est limitée par corbeau c 0 a z T d d 1 tan 2.5 La hauteur du corbeau peut être constante ou variable le long de sa portée Nœud Nœud Rd,max V Ed F Ed H Ed F td F wd F c a H a 0 z d c h Bielle Tirant T
  • 15. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 15 Etape 1: Vérification de la compression des bielles de béton Il faut que ( cas d’absence de traction transversale, slide 5) où Vc est la contrainte de compression dans la bielle principale de béton: Rd,max cd c f V V d c c F ab V • Fc est l’effort de compression dans le bielle principale de béton, déterminé en faisant l’équilibre de moment au point A au droit de la face du poteau: • ܽ est la largeur de la bielle, déterminée par • ܾ est la largeur du corbeau. Ed Ed c Ed Ed c sin 0 sin c H c c H A c F a H a M F a F a H a F a T T o ¦ est l'angle d'inclinaison de la bielle vérifiant 1 tan 2.5 T T d d
  • 16. 2 tan cos c a d a T T
  • 17.
  • 18.
  • 19. Ed Ed 2 c 1 tan tan tan 2 c H c c c F a H a F ab ba d a T T T V o Nota: est une fonction décroissante sur l'intervalle 1 tan 2.5 on choisit le cas le plus défavorable tan 1 c V T T d d o Avec le choix de cotT il faut vérifier les conditions géométriques suivantes pour assurer qu’il s’agit bien d’une console courte et que le modèle BT s’applique: 1) 0 tan 2) sin c h p a d a a a h T T ! o ! d Ed F Ed H td F c a H a 0 z d c h Bielle Tirant T c F c V A B a h a v a T p h
  • 20. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 16 Etape 2: Calcul des armatures tendues « principales » As,main Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de traction dans le tirant avec une contrainte Vs = fyd . D’où leur section As,main est déterminée par: td s,main yd F A f
  • 21. td 0 Ed Ed 0 td Ed Ed 0 0 Ed td Ed 0 1 1 tan tan c H c H B H c a a M F z F a H z a F F H z z F a F H a T T § · o ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ § · o ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ ¦ Les armatures supérieures tendues peuvent être constituées: • de cadres horizontaux • de barres avec crochet d’extrémité, ancrées Ed F Ed H td F c a H a 0 z d c h Bielle Tirant T c F c V A B a h a v a T p h • Ftd est l’effort de traction dans le tirant « principal », , déterminé en faisant l’équilibre de moment au point B au droit de la face du poteau:
  • 22. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 17 Etape 3: Dispositions constructives des armatures dans les corbeaux 1. Les armatures supérieures tendues peuvent être constituées: • De cadres horizontaux • De barres avec crochet d’extrémité, ancrées: 9 dans l’élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du poteau les plus proches de cette paroi ; 9 au voisinage du nez du corbeau, au-delà du bord intérieur de la zone chargée. • L’armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de corbeau pour éviter la rupture de l’angle supérieur du corbeau.
  • 23. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 18 2. Armatures horizontales de répartition Si ac 0,5hc, en plus des armature principales, As,main, des armatures horizontales de répartition, As,lnk ≥ As,main, sont à prévoir sous la forme de cadres fermés horizontaux ou inclinés. s,main A s,main A s s n ,lnk ,mai cadres fermés horizontaux ou n 0.25 incli és A A t ¦ A A - Dispositif d’ancrage ou boucles c h c a) Ferraillage pour 0.5 c a h d c 0.5 c a h d
  • 24. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 19 3. Armatures verticales Si ac 0,5hc et FEd VRd,c, en plus des armature principales, As,main, il convient de prévoir des cadres fermés verticaux As,lnk ≥ 0,5FEd/fyd s,main A VRd,c : l’effort tranchant de référence = effort tranchant résistant de l’élément sans armatures verticales (voir Chapitre 9) Note: Les armatures horizontales de répartition ne sont pas requises dans ce cas. Néanmoins, par mesure de sécurité, on met la section minimale requise 0,25As,main s,main A A - Armatures de couture (cadres fermés verticaux) c h c Ed Rd,c b) Ferraillage pour 0.5 et c a h F V ! t c 0.5 c a h ! B B E v s,lnk d yd 0.5 F A f t ¦ Ed F s,main h s,lnk 0.25A A ¦
  • 25. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 20 Exemple Considérons deux corbeaux d’appui de la poutre. Il est demandé de vérifier la rupture locale du béton et de dimensionner les armatures dans ces corbeaux. Données: - Les dimensions des élément sont indiquées dans la figure ci-dessous. - Actions sur la poutre: • Charges permanentes (poids propre inclus): • Charges d’exploitation ¾ Composante verticale: ¾ Résultante des composantes horizontales: 11.26 kN/m k g 15.73 kN/m k q 26.95 kN k H Béton C40 Acier B500B 1000 25 10 15 35 40 50 cm 50 cm 15 Poutre 30x50ht 50 Poteau 40x50 H 2 25 40 10 35 Poteau 40x50
  • 26. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 21 Ed 40.425 kN H Ed 193.98 kN F 25 10 35 50 cm Poteau 40x50 2 40 As,main 4HA14 Cadre HA6 Armatures verticales cadres HA6 5 55 Armatures horizontale de répartition cadres HA6
  • 27. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 22 18.7 Modèle bielles-tirants pour les angles de portiques Dans un portique en BA, le moment d’encastrement d’une poutre doit se retourner dans le poteau. Il faut donc assurer la continuité des armatures tendues au niveau des angles du portique. 18.7.1 Angles de portiques dont l’intérieur est comprimé (cas des moments négatifs) Cas 1: poutre et poteau de dimensions sensiblement égales Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique avec 45 T q
  • 28. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 23 Cas 1: poutre et poteau de dimensions sensiblement égales • On vérifie la contrainte de compression dans la bielle C’: ck Rd,max cd c 0.6 1 250 f f V V § · ¨ ¨ ¸ © ¹ d ¸ bielle bielle bielle c 2 2 C T M A A zA V c ^ poteau poutre min ; ) z z z bielle 2 avec est le rayon de cintrage d'armature A br r
  • 29. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 24 Cas 2: Poutre et poteau de dimensions très différentes (hp/ht 1,5) Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique
  • 30. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 25 Cas 2: Poutre et poteau de dimensions très différentes (hp/ht 1,5) Dans ce cas, la traction des armatures ne peut être équilibrée par une bielle faisant 45°. Les bielles Fcd3 doivent être sous-tendues par un réseau d’armatures horizontales. La compression des bielles Fcd1, Fcd2 et Fcd3 doit rester inférieure à la compression admissible VRd,max Les principes de calcul sont les suivants: Schéma Bielles-Tirants d’un nœud de portique
  • 31. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 26 18.7.2 Angles de portiques dont l’intérieur est tendu (cas des moments positifs) Cas 1: Angle de portique dont l’intérieur est modérément tendu (As ≤ 2 % Ac) • On vérifie la contrainte de compression dans la bielle C1: • La section d’acier des tirants est déterminée par: ck Rd,max cd c 0.75 1 250 f f V V § · ¨ ¨ ¸ © ¹ d ¸ s yd T A f
  • 32. Chapitre 18: Méthode Bielles-Tirants 27 18.7.2 Angles de portiques dont l’intérieur est tendu (cas des moments positifs) Cas 2: Angle de portique dont l’intérieur est fortement tendu (As 2 % Ac) • On vérifie la contrainte de compression dans les bielles: • La section d’acier des tirants est déterminée par: ck Rd,max cd c 0.75 1 250 f f V V § · ¨ ¨ ¸ © ¹ d ¸ s yd T A f