math

1. Série 1 : Arithmétiques 1sm biof et aussi 2sm biof
Exercice 1 :
Soit l’équation (E) :       
2 2 2
; : 7 2x y IN x x y x y
    et on pose :
d x y telque x da et y db   
1-on suppose que (x ;y) est solution de l’équation (E ).
a-vérifier que :    2 2 2
7 2a d a b a b  
b-en déduire qu’il existe 2 2 2
:2 7k INtel que a b ka et d a kb    
c-montrer que : a=1
d-en déduire que : 2 2
1 8b d  
2-resoudre l’équation (E) :       
2 2 2
; : 7 2x y IN x x y x y
   
Exercice 2 :
1-resoudre dans 2
l’équation  :3 2 1E x y 
2-montrer que le couple  14 3;21 4n n tel quen IN
   solution de l’équation (E).
3-endeduire que : les nombres 14n+3 et 21n+4 sont premiers entre eux
4- soit d=PGCD (2n+1 ; 21n+4)
a-montrer que : d=1 ou d=13
b-montrer que :  13 6 13d n  
5-soit 2n INtelque n  .on pose : 2 3 2
21 17 4 28 8 17 3A n n et B n n n      
a-montrer que A et B est divisible par (n-1)
b-déterminer suivant les valeurs de n : PGCD (A ; B)
Exercice 3 :
Soit p IN tel que p est premier et 5p 
1-montrer que  2
1 3p  et déduire  2
/ 1 4 1q IN p q q    
2-montrer que :    2 2
1 8 1 24p et p 
3-montrer que :  2
1 24a  tel que a est un entier naturel premier avec 24.