1. Ennaji Ahmed: prof de maths 1
Devoir Surveille 1 Semestre 2 : 2 bac PC BIOF
Lycée Prive : Oum-Errabiaa à El-Jadida
Exercice 1 : 8 pts
Soit la fonction h définie sur  0; par :   lnh x x et  hC sa courbe
représentative dans un repère orthonormé ; ;O i j . Soit la droite  : 3y x    tel
que  hC et   se coupent en un point d’abscisse . (Voir figure)
1-determiner la position de  hC par rapport à   graphiquement sur  0;
2-Soit   3 lng x x x   tel que  0;x 
a-déduire le signe de  g x
b-vérifier que 2,2 2,3
II- Soit la fonction f définie sur  0; par :    
1
1 ln 2f x x
x
 
   
 
et  fC sa
courbe représentative.
1-calculer    0
lim lim
xx
f x et f x

2-etudier les branches infinies de  fC
3-montrer que :  
 
2
0: '
g x
x f x
x
 

2. Ennaji Ahmed: prof de maths 2
4-donner le tableau de variation de f
5-montrer que :  
 2
1
f




  en déduire un encadrement de  f 
6-etudier la position de  fC avec l’axe des abscisses et construire  fC sur
l’intervalle 2
0;e  
III-Soit F la primitive de f sur  0; tel que :  1 3F  
1-montrer que la courbe de la fonction F admet deux tangentes parallèles à l’axe
des abscisses en deux points dont on déterminera leurs abscisses.
2-montrer que la fonction : lnx x x x est une primitive de la fonction   lnh x x
3-endeduire l’expression de F(x).
Exercice 2 : 6pts
1-calculer
 
1 2
40 1
2
;
1 1
x
x
e
dx dx
x e 
 
2-montrer que  
2
3 4 5 1
2 : 3 2
2 2
x x
x IR x
x x
 
      
 
et calculer :
2
3
1
3 4 5
2
x x
dx
x
  
 
 

3-par la méthode d’intégration par parties, calculer  
2
3
1
lnx x dx
Exercice 3 : 6 pts
1-Résoudre l’équation différentielle suivante :
 : " 2 ' 5 0E y y y  
2-determiner la fonction g solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie :
   0 1 ' 0 1g et g 
3-en déduire que :  0
1
cos 2
5
x e
e x

 
