1. Ennaji Ahmed: prof de maths 1
Devoir Surveille 1 Semestre 2 : 2 bac PC BIOF
Lycée Prive : Oum-Errabiaa à El-Jadida
Exercice 1 : 8 pts
Soit la fonction h définie sur 0; par : lnh x x et hC sa courbe
représentative dans un repère orthonormé ; ;O i j . Soit la droite : 3y x tel
que hC et se coupent en un point d’abscisse . (Voir figure)
1-determiner la position de hC par rapport à graphiquement sur 0;
2-Soit 3 lng x x x tel que 0;x
a-déduire le signe de g x
b-vérifier que 2,2 2,3
II- Soit la fonction f définie sur 0; par :
1
1 ln 2f x x
x
et fC sa
courbe représentative.
1-calculer 0
lim lim
xx
f x et f x
2-etudier les branches infinies de fC
3-montrer que :
2
0: '
g x
x f x
x
2. Ennaji Ahmed: prof de maths 2
4-donner le tableau de variation de f
5-montrer que :
2
1
f
en déduire un encadrement de f
6-etudier la position de fC avec l’axe des abscisses et construire fC sur
l’intervalle 2
0;e
III-Soit F la primitive de f sur 0; tel que : 1 3F
1-montrer que la courbe de la fonction F admet deux tangentes parallèles à l’axe
des abscisses en deux points dont on déterminera leurs abscisses.
2-montrer que la fonction : lnx x x x est une primitive de la fonction lnh x x
3-endeduire l’expression de F(x).
Exercice 2 : 6pts
1-calculer
1 2
40 1
2
;
1 1
x
x
e
dx dx
x e
2-montrer que
2
3 4 5 1
2 : 3 2
2 2
x x
x IR x
x x
et calculer :
2
3
1
3 4 5
2
x x
dx
x
3-par la méthode d’intégration par parties, calculer
2
3
1
lnx x dx
Exercice 3 : 6 pts
1-Résoudre l’équation différentielle suivante :
: " 2 ' 5 0E y y y
2-determiner la fonction g solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie :
0 1 ' 0 1g et g
3-en déduire que : 0
1
cos 2
5
x e
e x