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Chapitre IV




16/03/2013   INTTIC                 1
Résolution de f(x)=0
 Les méthodes analytiques de résolution des équations
  algébriques polynômiales sont limitées à certaines formes
  de faible degré telles que les équations quadratiques,
  cubiques, quartiques et des formes particulières du type:
                         2n    n
               P ( x) ax bx
                 n
                                   c 0
 Pour les degrés > 4 il n’existe pas de méthodes exactes
  pour la résolution  utiliser les méthodes numériques
  pour trouver les racines approchées.
 Les méthodes présentées dans ce chapitre servent à
  approximer la racine de la fonction.
 Pour trouver toutes les racines il faut les séparer d’abord
  pour pouvoir appliquer ces méthodes.
 16/03/2013     INTTIC                                     2
Résolution de f(x)=0
  En étudiant les méthodes de résolution de f(x)=0, on
     pose souvent deux questions:
      1.     La méthode converge-t-elle vers la solution cherchée
             x*? (la suite x(1), x(2), …, x(n) converge-t-elle vers x*?)
      2.     Dans le cas affirmatif, quelle est sa rapidité?
  La rapidité de convergence nous permet de comparer
   les méthodes entre elles.
  Pour séparer les racines, on peut:
      1.     Étudier la fonction graphiquement
      2.     Utiliser la méthode de balayage: examiner un certain
             nombre de domaines [xi, xi+1] jusqu’à obtenir le
             changement de signe attendu.

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Séparation des racines
     y                              y




             min                                   x2    x3           x5
                                x       x0   x1               x4               x


         Séparation Graphique                Séparation des racines
              des racines                        par Balayage


16/03/2013         INTTIC                                                  4
Résolution de f(x)=0
  Plusieurs méthodes existent
     Méthode de dichotomie (bi-section)
     Méthode de la sécante
     Méthode du point fixe
     Méthode de Newton
  Problèmes ?
     Convergence
     Complexité



16/03/2013      INTTIC                     5
Méthode dichotomique
                     a b
  f (a ) f (b)   0         c
                                   2
  si f (c)                                               f(b)
        alors on a trouvé la solution : c
  sinon si f (a ) f (c) 0
           alors a     c
  sinon si f (b) f (c) 0
          alors b c
Théorème :                                                        a    c=(a+b)/2
                                                                                   b
 soit pn n N la suite générée par
 l' algorithme de recherche par dichotomie, f(c)
 soit p la solution du problème : f ( p ) 0
 Alors pn n N converge vers p avec :
                   b a                      f(a)
          pn p        n
                            n 1
                    2
  On peut prendre c à l’intersection de la sécante et de l’axe des x
   16/03/2013             INTTIC                                                       6
Méthode de la sécante
  Cette méthode est appelée aussi méthode de la corde,
     des fausses positions (régula falsi) ou aussi méthode
     de Lagrange.
    Soient f(a)<0 et f(b)>0.
    Relions par une droite les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)).
    Prenons comme approximation l’abscisse x1 du point
     d’intersection de la droite AB et l’axe Ox.
    Cette valeur est donnée par:                (b a) f (a)
                                         x1 a f (b) f (a)

16/03/2013        INTTIC                                           7
Méthode de la sécante
  Si f(x1)<0 alors le nouveau segment est [x1, b].
  De la même façon, on a:                              (b x1 ) f ( x1 )
                                         x x2    1
                                                         f (b) f ( x1 )
                                     (b xn ) f ( xn )
  Il vient que:   x   n 1   x   n
                                      f (b) f ( xn )
               y
                                                      B                 B est fixe

                             a        x1 x2
               O                                c b                 x

                                       A1
                             A

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Méthode de la sécante
  Si f(x1)>0 alors le nouveau segment est [a, x1].
  La formule de récurrence devient:
                                       ( xn a ) f ( a )
                       x    n 1
                                  a
                                       f ( xn ) f ( a )

               y
                                      B1              B       A est fixe

                             ac
               O                  x2 x1           b       x


                             A

16/03/2013         INTTIC                                                  9
Méthode de la sécante
                         Test d’arrêt

 Le calcul continu jusqu’à ce que les décimales qu’on
  veut conserver cessent de varier.
 On peut prendre comme test d’arrêt:
                                        x x
                                         n    n 1
                                                    e

Où e est la borne d’erreur absolue donnée.




16/03/2013      INTTIC                                  10
Méthode de la sécante
                          Convergence
 L’avantage est d’opérer dans un
  intervalle qui entoure toujours       y
  la racine qui se réduit à chaque
  itération. La convergence est
  donc assurée.
 Le taux de convergence peut               a x1
                                                   b    x
  s’avérer faible dans certains
  cas.
 Si la fonction est fortement
  convexe        (concave),      la
  convergence est lente.

16/03/2013       INTTIC                            11
Méthode du point fixe
                          Principe
  Si l’équation donnée est mise sous la forme x=g(x),
   avec g(x) est une fonction continue sur [a, b] et
   |g’(x)|≤L<1 (contractante) pour tout x de [a, b] sur
   lequel l’équation n’a qu’une seule racine alors:
  En partant d’une valeur initiale x0∈[a, b], on peut
   construire la suite: x1 g ( x0), x2 g ( x1),..., xn 1 g ( xn)
  La limite de cette suite est la racine unique de f(x)=0
  On arrête les opération si: xn xn 1



16/03/2013       INTTIC                                        12
Méthode du point fixe
                               Interprétation géométrique
    y                                            y
b                             y=x            b                         y=x


                               g(x)                                     g(x)




    a    x0    x1 x2 x*   b           x          a x0 x2 x*   x1   b           x

              0 g ' ( x) 1                           1 g ' ( x) 0

g(x) est contractante
 16/03/2013               INTTIC                                                   13
Méthode du point fixe
                   Interprétation géométrique

                       y
                   b                             y=x
                                                       g(x)




                 x*

                       a   x0   x1   x2      b         x

                                g ' ( x) 1
g(x) est décontractante
16/03/2013      INTTIC                                        14
Méthode de Newton
                                                Principe
  Remplacer l’arc de courbe (AB) par la droite tangente à
     la courbe aux points A ou B. L’intersection avec Ox
     détermine le prochain élément (x1). On forme la suite
     (xi) par itérations.
                                                              y
  Formule de récurrence:
              f ( xn )
        x    n 1       x   n
                                   f ' ( xn )     n 0,1, 2, ...
                                                                  x*
                   x   0
                               [ a, b]
                                                                       x2   x1   x0 x
  If faut que f’(xn)≠0 au voisinage
      de x*.
16/03/2013                             INTTIC                                      15
Méthode de Newton
                               Principe
  Déterminer un intervalle [a, b] sur lequel il y a convergence de
    Newton n’est pas toujours facile. Il existe cependant un théorème
    qui donne une condition suffisante.
 Théorème (convergence globale de la méthode de Newton)
 Si la fonction f(x) définie sur [a, b] vérifie:
           1. f (a) f (b) 0
             2. x [a, b] f ' ( x) 0 (strictemonotonie de f )
            3. x [a, b] f ' ' ( x) 0 (concativité de f dans le même sens)
     Alors en choisissant x0 de [a, b] tel que f(x0)f’’(x0)>0, les
     itérations de Newton convergent vers l’unique solution x* de
     f(x)=0 dans [a, b]. De plus, la convergence est quadratique.

16/03/2013            INTTIC                                            16

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  • 2. Résolution de f(x)=0  Les méthodes analytiques de résolution des équations algébriques polynômiales sont limitées à certaines formes de faible degré telles que les équations quadratiques, cubiques, quartiques et des formes particulières du type: 2n n P ( x) ax bx n c 0  Pour les degrés > 4 il n’existe pas de méthodes exactes pour la résolution  utiliser les méthodes numériques pour trouver les racines approchées.  Les méthodes présentées dans ce chapitre servent à approximer la racine de la fonction.  Pour trouver toutes les racines il faut les séparer d’abord pour pouvoir appliquer ces méthodes. 16/03/2013 INTTIC 2
  • 3. Résolution de f(x)=0  En étudiant les méthodes de résolution de f(x)=0, on pose souvent deux questions: 1. La méthode converge-t-elle vers la solution cherchée x*? (la suite x(1), x(2), …, x(n) converge-t-elle vers x*?) 2. Dans le cas affirmatif, quelle est sa rapidité?  La rapidité de convergence nous permet de comparer les méthodes entre elles.  Pour séparer les racines, on peut: 1. Étudier la fonction graphiquement 2. Utiliser la méthode de balayage: examiner un certain nombre de domaines [xi, xi+1] jusqu’à obtenir le changement de signe attendu. 16/03/2013 INTTIC 3
  • 4. Séparation des racines y y min x2 x3 x5 x x0 x1 x4 x Séparation Graphique Séparation des racines des racines par Balayage 16/03/2013 INTTIC 4
  • 5. Résolution de f(x)=0  Plusieurs méthodes existent  Méthode de dichotomie (bi-section)  Méthode de la sécante  Méthode du point fixe  Méthode de Newton  Problèmes ?  Convergence  Complexité 16/03/2013 INTTIC 5
  • 6. Méthode dichotomique a b f (a ) f (b) 0 c 2 si f (c) f(b) alors on a trouvé la solution : c sinon si f (a ) f (c) 0 alors a c sinon si f (b) f (c) 0 alors b c Théorème : a c=(a+b)/2 b soit pn n N la suite générée par l' algorithme de recherche par dichotomie, f(c) soit p la solution du problème : f ( p ) 0 Alors pn n N converge vers p avec : b a f(a) pn p n n 1 2 On peut prendre c à l’intersection de la sécante et de l’axe des x 16/03/2013 INTTIC 6
  • 7. Méthode de la sécante  Cette méthode est appelée aussi méthode de la corde, des fausses positions (régula falsi) ou aussi méthode de Lagrange.  Soient f(a)<0 et f(b)>0.  Relions par une droite les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)).  Prenons comme approximation l’abscisse x1 du point d’intersection de la droite AB et l’axe Ox.  Cette valeur est donnée par: (b a) f (a) x1 a f (b) f (a) 16/03/2013 INTTIC 7
  • 8. Méthode de la sécante  Si f(x1)<0 alors le nouveau segment est [x1, b].  De la même façon, on a: (b x1 ) f ( x1 ) x x2 1 f (b) f ( x1 ) (b xn ) f ( xn )  Il vient que: x n 1 x n f (b) f ( xn ) y B B est fixe a x1 x2 O c b x A1 A 16/03/2013 INTTIC 8
  • 9. Méthode de la sécante  Si f(x1)>0 alors le nouveau segment est [a, x1].  La formule de récurrence devient: ( xn a ) f ( a ) x n 1 a f ( xn ) f ( a ) y B1 B A est fixe ac O x2 x1 b x A 16/03/2013 INTTIC 9
  • 10. Méthode de la sécante Test d’arrêt  Le calcul continu jusqu’à ce que les décimales qu’on veut conserver cessent de varier.  On peut prendre comme test d’arrêt: x x n n 1 e Où e est la borne d’erreur absolue donnée. 16/03/2013 INTTIC 10
  • 11. Méthode de la sécante Convergence  L’avantage est d’opérer dans un intervalle qui entoure toujours y la racine qui se réduit à chaque itération. La convergence est donc assurée.  Le taux de convergence peut a x1 b x s’avérer faible dans certains cas.  Si la fonction est fortement convexe (concave), la convergence est lente. 16/03/2013 INTTIC 11
  • 12. Méthode du point fixe Principe  Si l’équation donnée est mise sous la forme x=g(x), avec g(x) est une fonction continue sur [a, b] et |g’(x)|≤L<1 (contractante) pour tout x de [a, b] sur lequel l’équation n’a qu’une seule racine alors:  En partant d’une valeur initiale x0∈[a, b], on peut construire la suite: x1 g ( x0), x2 g ( x1),..., xn 1 g ( xn)  La limite de cette suite est la racine unique de f(x)=0  On arrête les opération si: xn xn 1 16/03/2013 INTTIC 12
  • 13. Méthode du point fixe Interprétation géométrique y y b y=x b y=x g(x) g(x) a x0 x1 x2 x* b x a x0 x2 x* x1 b x 0 g ' ( x) 1 1 g ' ( x) 0 g(x) est contractante 16/03/2013 INTTIC 13
  • 14. Méthode du point fixe Interprétation géométrique y b y=x g(x) x* a x0 x1 x2 b x g ' ( x) 1 g(x) est décontractante 16/03/2013 INTTIC 14
  • 15. Méthode de Newton Principe  Remplacer l’arc de courbe (AB) par la droite tangente à la courbe aux points A ou B. L’intersection avec Ox détermine le prochain élément (x1). On forme la suite (xi) par itérations. y  Formule de récurrence: f ( xn ) x n 1 x n f ' ( xn ) n 0,1, 2, ... x* x 0 [ a, b] x2 x1 x0 x  If faut que f’(xn)≠0 au voisinage de x*. 16/03/2013 INTTIC 15
  • 16. Méthode de Newton Principe  Déterminer un intervalle [a, b] sur lequel il y a convergence de Newton n’est pas toujours facile. Il existe cependant un théorème qui donne une condition suffisante. Théorème (convergence globale de la méthode de Newton) Si la fonction f(x) définie sur [a, b] vérifie: 1. f (a) f (b) 0 2. x [a, b] f ' ( x) 0 (strictemonotonie de f ) 3. x [a, b] f ' ' ( x) 0 (concativité de f dans le même sens) Alors en choisissant x0 de [a, b] tel que f(x0)f’’(x0)>0, les itérations de Newton convergent vers l’unique solution x* de f(x)=0 dans [a, b]. De plus, la convergence est quadratique. 16/03/2013 INTTIC 16