Le document traite des fonctions mathématiques, illustrant les concepts d'ensemble de définition, de parité, et de périodicité, tout en offrant des exemples d'application. Il aborde également les variations, les opérations sur les fonctions, ainsi que les comparaisons et positions relatives entre courbes. Les notions de symétrie et d'axes de symétrie sont également présentées, renforçant la compréhension des courbes représentatives des fonctions.

1. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
1 Ensemble de définition et réductions
éventuelles
1. Ensemble de définition
• Dans , les intervalles sont les ensembles suivants où a b :
– intervalles ouverts : ]– ∞ ; a[ ; ]a ; b[ ; ]b ; +∞[ ;
– intervalles fermés : ]– ∞ ; a] ; [a ; b] ; [b ; +∞[ ;
– intervalles semi-ouverts ou semi-fermés : [a ; b[ ; ]a ; b] ;
– intervalles particuliers :
= ]– ∞ ; + ∞ [ et ∅ = ]a ; a ] = [ a ; a [ = ] a ; a [ .
• L’ensemble de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des élé-
ments ayant une image par f.
D f = { x ∈ /f (x) existe }.
Remarque : Df est un intervalle ou une réunion d’intervalles.
2. Parité d’une fonction
Soit une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à
zéro, c’est-à-dire que pour tout x de D, –x appartient à D.
Parité de f Définition Élément de symétrie
de la courbe f
Paire f (– x) = f (x) axe des ordonnées
Impaire f (– x) = – f (x) origine du repère
Conséquence : si f est paire ou impaire, alors on peut réduire l’étude de f à + D.
3. Périodicité d’une fonction
Soit un réel T strictement positif et une fonction f d’ensemble de défini-
tion D.
Le nombre T est une période de f si, et seulement si pour tout réel x de D,
( x + T ) ∈ D et f (x + T) = f (x).
Conséquence : on peut réduire D à un intervalle d’étude d’amplitude T contenu
dans D.
On peut représenter f sur cet intervalle, puis on obtient toute la courbe en utilisant
des translations de vecteur kT i avec k ∈ .
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2. cours savoir-faire exercices corrigés
exemples d’application
³ Réduire l’ensemble de définition de la fonction f définie par :
f (x) = sin xcos 2 x.
corrigé commenté
Indication : on commence par chercher une période pour la fonction f : pour cela on
sait que les fonctions sinus et cosinus sont de période 2π.
∀x ∈ , f (x + 2π) = sin ( x + 2π )cos 2 ( x + 2π )
f (x + 2π) = sin xcos 2 x = f (x).
Donc 2π est une période de f, ce qui permet de choisir un intervalle d’amplitude
2π pour étudier f.
Conseil : en cas de parité de la fonction f, il est préférable de choisir un intervalle
centré en zéro donc, ici, l’intervalle [–p ; p].
∀x ∈ [ – π ; π ] , – x ∈ [ – π ; π ] et f (– x) = sin ( – x )cos 2 ( – x )
soit f (– x) = – sin xcos 2 x = – f (x).
La fonction f est donc impaire.
On peut en définitive réduire l’intervalle d’étude de f à [0 ; p].
Conséquences : si on appelle Γ1 la représentation de f pour x ∈ [ 0 ; π ] , par symé-
trie de Γ1 par rapport à l’origine O du repère on obtient Γ2 . La courbe Γ 1 Γ 2 est
donc la représentation de f pour x ∈ [ – π ; π ] .
La représentation de f, sur s’obtient par des translations de vecteurs ( k2π ) i de
Γ 1 Γ 2 , avec k ∈ .
x2 + 1
· Soit la fonction définie par f ( x ) = -------------- .
-
x3 – x
Étudier la parité de f et réduire si possible son ensemble d’étude.
corrigé commenté
Indication : il faut commencer par déterminer l’ensemble de définition de f.
f ( x ) existe si et seulement si x 3 – x ≠ 0 soit ( x ≠ 1 et x ≠ – 1 et x ≠ 0 ) donc :
Df = ] – ∞ ; –1 [ ]– 1 ; 0[ ] 0 ; 1[ ] 1 ; + ∞[ .
On remarque que D f est symétrique par rapport à 0, donc on peut étudier la
parité de f.
( –x )2 + 1 x2 + 1
( ∀x ∈ D f ) ( – x ∈ D f ) et f ( – x ) = ------------------------------ = ----------------------- = – f ( x ) ; donc la fonc-
- -
( –x )3 – ( –x ) – ( x3 – x )
tion f est impaire.
On peut réduire l’ensemble d’étude à ] 0 ; 1[ ]1 ; + • [.
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3. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
2 Variations et opérations sur les fonctions
1. Variations d’une fonction sur un intervalle
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition.
Variations de f Définitions
( ∀x ∈ I ) ( ∀x′ ∈ I )
f croissante sur I x x′ ⇒ f (x) f (x′)
f décroissante sur I x x′ ⇒ f (x) f (x′)
2. Extrema d’une fonction
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition D.
Extrema de f sur I Définitions
( ∀x ∈ I )
M est le maximum de f sur I f (x) M
m est le minimum de f sur I f (x) m
Remarques : si I = D, alors l’extremum est absolu, sinon il est relatif ou local.
Si M ou m existe, alors il existe un réel x0 de I tel que f (x 0) = M ou f (x 0) = m.
3. Opérations sur les fonctions
Opérations Les fonctions f et g Définitions
sont définies sur I ( ∀x ∈ I )
Addition f+g ( f + g ) ( x ) = f (x) + g ( x )
Multiplication par
kf ( k f ) ( x ) = k f (x)
un réel non nul
Multiplication f×g ( f × g ) ( x ) = f (x) × g ( x )
f (x) ∈ J
Composition h◦f
( h ◦ f ) ( x ) = h [ f (x) ]
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4. cours savoir-faire exercices corrigés
4. Variations et opérations sur les fonctions
• Si les fonctions f et g ont même variation, alors leur composée est crois-
sante, sinon elle est décroissante.
• Si les fonctions f et g ont même variation sur un intervalle I, alors leur
somme a même variation que chacune d’elles.
• Si les fonctions f et g ont même variation et sont strictement positives sur
un intervalle I, alors leur produit a même variation que chacune d’elles.
k∈ f et k 0 f et k 0 f et k 0 f et k 0
kf
exemple d’application
π π
Soit la fonction f définie sur – -- ; -- par f (x) = sin 2 x.
- -
2 2
Décomposer f en fonctions usuelles pour étudier ses variations.
corrigé commenté  π π
 f 1 ( x ) = sin x ; x ∈ – -- ; --
- -
2 2 .
On peut écrire f = f 2 ◦ f 1 avec 
 f ( x ) = x 2 ; x ∈ [ –1 ; 1 ]
 2
π π π π
f1 est croissante sur – -- ; -- et f1 : – -- ; -- → [ – 1 ; 1 ] ; f2 est définie sur [ – 1 ; 1 ] .
- - - -
2 2 2 2
π π
x – --
- 0 --
-
2 2
1
f1 0
–1
π
Or sur [–1 ; 0], f2 est décroissante donc f 2 ◦ f 1 est décroissante sur – -- ; 0 ; et f2
-
2
π
croissante sur [0 ; 1] donc f 2 ◦ f 1 est croissante sur 0 ; -- .
-
2
x –1 0 1
1 1
f2
0
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5. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
3 Comparaisons et positions relatives
de deux courbes
1. Majoration et minoration de fonctions
Soit une fonction f définie sur un intervalle I de son ensemble de définition.
Définitions
( ∀x ∈ I )
M est un majorant de f f (x) M
m est un minorant de f f (x) m
Remarque : tout extremum est majorant ou minorant d’une fonction sur un inter-
valle, mais la réciproque est fausse.
Autrement dit, un majorant ou un minorant n’est pas nécessairement atteint.
Une fonction f est bornée sur un intervalle I, si elle est à la fois majorée et
minorée.
2. Positions relatives de deux courbes
On appelle représentation graphique de la fonction f, l’ensemble des points
de coordonnées ( x ; f (x) ) dans un repère ( O ; i , j ) quand x décrit D.
Étudier la position relative de deux courbes représentant deux fonctions f
et g revient à étudier le signe de la différence f (x) – g ( x ).
Si f (x) – g ( x ) 0, alors f (x) g ( x ) ce qui signifie que f est strictement
au-dessus de g.
Si f (x) – g ( x ) 0, alors f (x) g ( x ) ce qui signifie que f est strictement
au-dessous de g .
Si f (x) = g ( x ) pour certaines valeurs de x, alors f est g ont des points
communs pour chacune de ces valeurs.
3. Construction d’une courbe à partir de celle d’une
fonction de référence
Soit f une fonction de référence définie sur un ensemble D et représentée
dans un repère ( O ; i , j ) orthonormé.
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6. cours savoir-faire exercices corrigés
Fonctions Conditions Transformations permettant
définies par d’existence de passer de f à g
g ( x ) = f (x) + b x∈D Translation de vecteur b j .
g ( x ) = f (x – a) (x – a) ∈ D Translation de vecteur a i .
g ( x ) = – f (x) x∈D Symétrie d’axe ( O ; i ) .
Sur D , g= f;
g ( x ) = f (x) x∈D +
sur D – , symétrie d’axe ( O ; i ) .
g est paire, donc :
sur D +, g = f =Γ;
g(x) = f ( x ) x ∈D sur D , symétrique de Γ par rap-
–
port à l’axe ( O ; j ) .
exemple d’application
Soit la fonction f définie sur par :
x–1
f (x) = – 2x + 5 + -------------- .
-
x2 + 1
Étudier les positions relatives de la droite ∆ d’équation y = – 2x + 5 et de la
courbe représentant f.
corrigé commenté
Indication : étudier les positions relatives de la droite D et de la courbe revient à
x–1
étudier le signe de f (x) – ( – 2x + 5 ) = -------------- .
-
x2 + 1
Le signe de cette différence est celui de x – 1 car x 2 + 1 0.
• Si x – 1 0 c’est-à-dire si x ∈ ]1 ; + ∞ [ , alors f (x) – ( – 2x + 5 ) 0,
donc est strictement au-dessus de ∆ pour x ∈ ]1 ; + ∞ [ .
• Si x – 1 0 c’est-à-dire si x ∈ ]– ∞ ; 1 [ , alors f (x) – ( – 2x + 5 ) 0,
donc est strictement en dessous de ∆ pour x ∈ ]– ∞ ; 1 [ .
• Si x = 1, alors et ∆ ont le point A (1 ; 3) en commun.
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7. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
4 Symétries de la courbe représentative
d’une fonction
1. Centre de symétrie d’une courbe
Soit Ω ( a ; b ) un point situé dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) . On
veut prouver que Ω est centre de symétrie de la courbe représentative d’une
fonction f dont l’ensemble de définition est Df .
G Première méthode
 • D f est symétrique par rapport à a 
 
 • h ∈ , ( a + h ) ∈ Df , ( a – h ) ∈ Df 
 
 f (a + h) + f (a – h) 
• --------------------------------------------- = b
2 
 
Alors Ω est le centre de symétrie de .
G Deuxième méthode
 • M ( x, y ) dans ( O ; i , j ) et M ( X ; Y ) dans ( Ω ; i , j ) 
 
 x = a + X 
 • 
  y = a+Y 
 
 • a pour équation y = f (x) dans ( O ; i , j ) 
 
 et a pour équation Y = g (X) dans ( Ω ; i , j ) 
Si g est impaire, alors Ω est le centre de symétrie de .
2. Axe de symétrie d’une courbe
Soit la droite ∆ d’équation x = a dans un repère orthonormé ( O ; i , j ) .
On veut prouver que ∆ est l’axe de symétrie de la courbe représentative
d’une fonction f dont l’ensemble de définition est Df .
G Première méthode
 • D f est symétrique par rapport à a 
 
 • h ∈ , ( a + h ) ∈ Df , ( a – h ) ∈ Df 
 
 • f (a + h) = f (a – h) 
Alors ∆ est axe de symétrie de .
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8. cours savoir-faire exercices corrigés
G Deuxième méthode
 • M ( x, y ) dans ( O ; i , j ) et M ( X ; Y ) dans ( Ω ; i , j ) 
 
 avec par exemple Ω ( a ; 0 ) 
 
• x = a + X 
 y = Y 
  
 • a pour équation y = f (x) dans ( O ; i , j ) 
 
 
 et a pour équation Y = g (X) dans ( Ω ; i , j ) 
Si g est paire, alors ∆ est axe de symétrie de .
exemple d’application
Montrer que la droite d’équation x = – 2 est axe de symétrie de la courbe repré-
x 2 + 4x + 3
sentant la fonction f, définie sur par f (x) = ---------------------------- .
-
x 2 + 4x + 6
corrigé commenté
Indication : soit Ω ( – 2 ; 0 ) l’origine du repère ( Ω ; i , j ) .
On considère le point M(x ; y) dans ( O ; i , j ) et M(X ; Y) dans ( Ω ; i , j ) .
Les formules de changement de repère sont :
x = – 2 + X

 y = Y.
x 2 + 4x + 3
La courbe a pour équation f (x) = ---------------------------- = y dans ( O ; i , j ) , elle a pour
-
x 2 + 4x + 6
( – 2 + X )2 + 4 ( – 2 + X ) + 3
équation dans ( Ω ; i , j ) : Y = --------------------------------------------------------------------- ,
-
( – 2 + X )2 + 4 ( – 2 + X ) + 6
X2 – 1
soit Y = ---------------- .
-
X2 + 2
X2 – 1
Y = g ( X ) = ---------------- , g est définie sur car X 2 + 2 0.
-
X2 + 2
( –X )2 – 1
Pour tout réel X, – X ∈ et g ( – X ) = ------------------------ ;
-
( –X )2 + 2
X2 – 1
soit g ( – X ) = ---------------- = g ( X ).
-
X2 + 2
La fonction g est paire, donc la courbe est symétrique par rapport à l’axe
( Ω ; j ) ; c’est-à-dire que la droite D d’équation x = – 2 est axe de symétrie de
, dans le repère ( O ; i , j ) .
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9. CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
5 Fonctions usuelles
Fonctions Noms et variations Courbes représentatives
fonction affine a 0
x ax + b b b 0
sur
a∈ et b ∈
a 0
x∈ O
a 0
fonction carrée
x ax 2 a 0
sur sur –
x∈ + O
a∈ ∗ a 0 O
a 0
a 0
fonction cube
x ax 3 a 0
sur O
∗
a∈
a 0 O
x∈ a 0
a 0
fonction racine carrée
x x
strictement croissante
x∈ + sur + O
fonction inverse
∗ ∗ a 0 a 0
a sur – sur +
x --
-
x a 0 O O
a 0
fonction valeur absolue
x x
sur – sur +
x∈
O
x ln x
∗
voir page 148 voir page 148
x∈ +
x exp x
voir page 184 voir page 184
x∈
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10. cours savoir-faire exercices corrigés
Fonctions Noms et variations Courbes représentatives
fonction cosinus de
x cos x période 2π,
x∈ paire sur [–π ; π], –π 0 –1 π
décroissante sur [0 ; π]
fonction sinus
de période 2π, π
– --
-
x sin x impaire sur [–π ; π], –π 2
0
π
x∈ croissante sur 0 ; -- ,
- π π
2 --
-
2
π
décroissante sur -- ; π
-
2
exemple d’application
Donner, pour chaque proposition une justification, qui soit relative à la variation
d’une fonction usuelle.
1. Si a b 0, alors a2 b2 0.
2. Si a b, alors a3 b3 .
1 1
3. Si a b 0, alors --
- --
- 0.
b a
4. Si 0 a b, alors 0 a b.
5. Si 0 a b, alors ln a ln b.
6. Si a b, alors ea eb .
7. Si a b, alors – 2a + 3 – 2b + 3.
corrigé commenté
1. La fonction carrée est strictement décroissante sur .
–
2. La fonction cube est strictement croissante sur .
∗
3. La fonction inverse est strictement décroissante sur – .
4. La fonction racine carrée est strictement croissante sur + .
∗
5. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur + .
6. La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
7. La fonction affine x – 2x + 3 est strictement décroissante sur .
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