Ce document contient des exercices corrigés d'analyse mathématique pour le premier semestre dans le cadre d'un programme en sciences économiques et gestion de l'année universitaire 2012-2013. Les exercices portent sur des thèmes tels que la continuité, les limites de fonctions, et la dérivabilité, incluant des calculs et des analyses détaillées. Chaque problème est accompagné d'une réponse explicative, offrant une ressource pour l'étude des méthodes quantitatives.

1. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
La Campagne Estudiantine pour Résumer
les Cours et Organiser les Polycopiés
Option : Science Economique et Gestion
Module : METHODES QUANTITATIVES I
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Type de document : Exercices corrigés
Année universitaire 2012-2013
Analyse Mathématique I – Exercices corrigés
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2. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 1 – La Continuité
Exercice 1 :
Déterminer le domaine de définition et les limites infinies de la fonction suivante :
( )
√
( )
Df = (
√
Réponse 1
)
( )
( )(
1 3
x1 
 2
2
–∞
x
)
–2

lim f ( x)  
x  
car
lim 2 x  1  
x 
lim f ( x)  lim 2 x  1  x²(1 
x 
x 
==> lim x(2 
x 
Car :
+
lim x²  x  2  
x
1 2

= lim 2 x  1  x x²  x  2
x x² x
1
1 2
 1   )  
x
x x²
lim x  
x 
et
+∞
1
–
+

==>
1 3
x2 
1
2
et
lim (2 
x 
1
1 2
 1  )  1
x
x x²
Exercice 2 :
Déterminer les domaines de définition et les domaines de continuité pour les fonctions définies par :
A. f ( x) 
x
x²  1
3x  1
B. f ( x)    x 1
e
Réponse 2
x
A. f ( x) 
x²  1
si x  1
si x  1
Df  x  IR / x²  1  0
Df  x  IR / x  1 ou x  1
Df  IR   1,1
DC  IR   1,1
Analyse Mathématique I – Exercices corrigés
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3. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
3x  
f ( x)    x1
B.
e
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
si x  1
si x  1
Df  IR
lim f ( x)  lim e x 1  e0  1
x 1
x 1
f (1)  3  
DC  IR
1
Soit λ ≠ – 2 : f est discontinue en 1 DC  IR   
Exercice 3 : Etudiez la continuité des fonctions suivantes :
Soit λ = – 2 : f est continue en 1
 2 x
si x  1

A. f ( x)   x  1
 2 x  1 si x  1



 x3  x 2  x 1

x 1
B. f ( x)  
 3 x

si x  1
si x  1
 x2  x  3  3
si x   3

x2  3
C. f ( x)  
 3x
si x   3

 x 1 1
si x  2 R  2

D. f ( x)   x  2
1
si x  2

Réponse 3 :
 2x
si x  1

A. f ( x)   x  1
si x  1

2 x 1



Si x = 1 ; f (1) = 1
Df = IR

Pour x  1 : lim f ( x)  lim 2  x  1  f (1)



Pour x > 1 : lim f ( x)  lim


x 1
x 1
 lim

x 1
x 1
x 1
x  1 x  1  lim 
x 1
2x  1



x  1 x  1
x 1
 lim

2 x  1 x1 2 x  1 x  1






x 1 11

 1  f (1)
2
2
f est continue au point 1
Analyse Mathématique I – Exercices corrigés
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4. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
 x3  x2  x  1

B. f ( x)  
x 1
 3 x


Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
si x  1
si x  1
f (1)  2
x  1x 2  1
x3  x 2  x 1
x 2 x  1  x  1
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2
 lim x  1  2  f (1)

Pour x < 1 : lim f ( x)  lim


x 1
x 1

Pour x ≥ 1 : lim f ( x)  lim


x 1
x 1
3 x 
3  1  2  f (1)
f est continue au point 1
x2  x  3  3
si x   3

C. f ( x)  
x2  3
4
si x   3


Pour x   3 : f ( x)
lim
x 
x 3


x 


3 1
  

x 3
x 3


x  3 1
lim 
  


x 3
x 3

f est continue sur IR   3, 3 .

lim


 
 

x2  x  3  3
x 3 x 3  x 3
x  3 1


2
x 3
x 3 x 3
x 3



3 1 2 3 1

 f ( 3)
x 3
2 3
 3  3 1 1
  
0 
 3 3

 3  3 1 1
  
0 
 3 3









f est discontinue de 1er espèce non éliminable au point 3 .
f admet une discontinue de second espèce infinie au - 3
 x 1 1

D. f ( x)   x  2
1

si x  2 R  2
si x  2
Df   ,2  2,  2   ,
1
1



x 1 1
x 1 1 x 1  1
x2



x2
x  2 x  1  1
x  2 x  1  1
1
1
lim f ( x)  lim
  f (2)
x 2
x 2
2
x 1  1
f est continue sur 1,2  2,
f est discontinue de 1er espèce éliminable au point 2.
f admet un discontinuité de 1er espèce éliminable au point 2.

Pour x  2 : f ( x) 




 
1
x 1  1


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5. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 2 – La Dérivabilité
Exercice 1 :
Calculez Y’ pour chacune des fonctions suivantes :
1
4

2 x²
x

Y

 x 
Y

1 x 
5

x  13
Y

Y  log x  1  x 4

e ax  e  ax
Y  ax
e  e ax
x


Réponse 1 :

Y' 
1
4
Y

2 x²
x
   x '
 

f
f 'g  f  g '
  
g
g²
 
(1)'(2 x ²)  (1)  (2 x ²)' (4)' x  4 

2
(2 x ²) 2
x
4

 4x 2 x  1
2

 3 
4
2
3
4x
x
x
x

1 2
 3
x3 x 2

 x 
Y

1 x 
5
 f   r  f ' f
r
r 1
 x  ( x)'(1  x)  ( x)  (1  x)'
Y'  5  
 
(1  x) 2
1 x 
5x 4 1  x  x


4
1  x  (1  x) 2
5x 4

1  x 6
4
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6. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
x
x  1 ' x   (
 x
3

2
6x  1  x  x  1
2

2
3
2 x
2
6x  1  x  x  1
3
 
2 x

Y  log x  1  x
4
x  12 5x  1

2x  x
3
log U '  U'

U
4x3
x 
Y' 
1 x4
x  1 x4

 x  1
 x
2
 x

1
3
2 x

3x  1  x 
2
x )'x  1
3
Y' 
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
x  13
Y

Semestre : 1
Exercices corrigés
  1  2 1  x
4
x  1 x4
1  x 4  2x3
x 1 x4 1 x4
2

xx
1

x
Y

e
Y' 
ax
e ax  e  ax
e ax  e ax


 e ax  e ax  e ax  e ax  e ax  e ax  e ax
e ax  e ax ²
 
ae

ax
ae

2 ax
 



 



 ae ax  e ax  e ax  e ax  e ax  ae ax  ae ax
e ax  e ax ²


 a  a  ae   ae  a  a  ae 
e  e ²
2 ax
ax
2 ax

2 ax
 ax
ae 2 ax  a  a  ae 2 ax  ae 2 ax  a  a  ae 2 ax
e ax  e ax ²
4a
 ax
e  e ax ²



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7. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
Exercice 2 :
Soit f (x) = ln( x  x²  1)
1) Calculez le dérivé de f
2) Déterminez la fonction propre de f et calculer la dérivé.
Réponse 2 :
1) Calcul le dérivé de f :
1
2x
x²  1  x


x  x²  1
2 x²  1
x²  1
f ' ( x)  ln( x  x ²  1) 



x  x²  1
x  x²  1
x  x²  1
2) Détermination de la fonction réciproque :
 



1
1
x²  1
 y = f (x)  x = f -1 (y)
y  ln( x  x²  1)  e y  x  x²  1
e y 
x 

1
1
y
y
 e  e  x  x²  1 
x  x²  1
x  x²  1

2
x²  1  1 x²  2 x x²  1  x²  1  1

x  x²  1
x  x²  1
2 x ²  2 x x ²  1 2 x ( x  x ²  1)

 2x
x  x²  1
x  x²  1
e y  e y
x=
= f -1 (y)
2

La fonction réciproque de f (x)  ln( x 
(f -1)’(x) =
e e
2
y
y
y
y
x²  1) est f -1 (x) = e  e
2
 ( x)'  1
Exercice 3 : Calculez la dérivée de la fonction suivante
2
cos(2 x)  cos( x) cos ²( x)  sin ²( x)  cos( x)  cos( x) 
cos( x)

f ( x) 

2
2
 sin( x)   1  sin ²( x)

sin ( x)
sin ( x)


1
cos( x)

1 
tan ²( x)
sin ²( x)

 21  tan ²( x) tan( x)   cos( x)   21  tan ²(x)  sin 3 ( x)  2 cos ²(x)  sin( x)
f ' ( x) 


 sin ²( x)  

tan 4 ( x)
tan 3 ( x)
sin 4 ( x)


 1
1   1
2 cos ²( x) 
f ' ( x)  2
 tan 3 ( x)  tan( x)    sin( x)  sin 3 ( x) 
 


 

Analyse Mathématique I – Exercices corrigés
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8. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 3 – Règle de l’hôpital et la formule de Taylor
Exercice 1 : Calculer les limites suivantes :
x 1  2
x 3
a) lim
x 3
x  log x
x   x log x
b) lim
x log a  a log x
où a > 0
xa
c) lim
x a
log x
x  x 
d) lim
x
e) lim x
x  e
f)
lim x 2 log x
x 0 
e2x 1
x
g) lim
x 0
 x
1 


 x  1 log x 
h) lim 
x 1
 a
i) lim 1  
x 
x

j)
lim log x 

x 1
x 1
k) lim
x a
l)
x
lim
x x a a
où a > 0
x a
x 
x
2
 4x  1  x

ex
m) lim  où α est réel.
x  x
log  x
n) lim
pour tout α réel et pour tout β > 0
x 
x
o) lim x
1
x
x 
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9. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
Réponse 1 :
a) lim
x 3

lim
x 3

x 1  2
x 3
Sans l’aide de règle de l’Hospital :
x 1  2
 lim
x 3
x3

x 1  2
x  3

x 1  2
x 1  2

  lim
x 3
x 1 4
x  3
x 1  2

 lim
x 3
1
x 1  2

1
4
Avec la règle de l’Hospital :
lim
x 3
Il vient que
x  1  2 R.H
lim
 lim
x 3
x 3
x 3
x  1  2 F.I 0

x3
0

x 1  2
x  3
1
 lim 2 x  1
x 3
1
1

4
(Forme Indéterminée de type
0
)
0

1
x  log x   lim
x  log x 
x
  lim
b) xlim

 x log x
x 
x  ( x )' (log x )  ( x )(log x )'

x log x 
1

1
x  1 0
 lim
 lim
x  
x   log x  1
1

log x  x 
x
1
1
x
1

 xlim log x   et
 
lim
x 
1

 0
x

x log a  a log x 
x log a  a log x 0
  lim
c) lim
x a
xa
0 x a
( x  a)'
( x)' (log a)  (a)' (log x)  (a)(log x)'
 lim
x a
x a
1 0
 lim
log a 
1
a
x  log a  1
log x
x  x 

Si α  0 : lim log x  x  
d) lim
x 
1
log x 
1
Si α > 0 : lim    lim x 1  lim   0

x  x
x  x
 x x
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10. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
e) lim
x 
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
x
ex
 Si α  0 : lim
x 
 Si α > 0 :
1
0
x  ex



 1
- si α  1 lim x x    lim ( x x )'  lim ax x  0
x 
x 
x 

e
(e )'
e
- si α > 1, on applique la règle de l’Hospital pour 2
D’après ces formules, on peut dire que xIR et α > 0.
lim x 2 log x  lim
f)
x 0
x 0
ème
(a 2  a)  x   2
0
fois : lim
x 
ex
si (α  2)
log x 

1

2
x
On applique la règle de l’Hospital :
1
1
log x   lim x  lim x  lim  x²  0
lim
 x 0   2 x x 0   2 x 0  2
x 0 
 1 
 2
x4
x3
x 
e2x 1 0
2e 2 x
  lim
 lim 2e 2 x  2
g) lim
x 0
x 0
x
0 x0 1
x
 a

h) lim 1   = 1
x 
 x
a
Si lim 1  a  = 1, alors ln 1  lim x log1    0  




x

x 
x
x  

x
 a
log1  
a
x


On peut la mettre sous forme 0 , car lim x log1    lim
x  
1
x  x 
0

x
En utilisant la règle de l’Hospital, cette limite est égale à :
a
x²
a
1
x  lim a  a
ln 1  lim
a
x  
x 
1
a
a
1
1
x
x

a


 0
 xlim
   

a
Par conséquent : 1  e
Analyse Mathématique I – Exercices corrigés
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