1. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
La Campagne Estudiantine pour Résumer
les Cours et Organiser les Polycopiés
Option : Science Economique et Gestion
Module : METHODES QUANTITATIVES I
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Type de document : Exercices corrigés
Année universitaire 2012-2013
Analyse Mathématique I – Exercices corrigés
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2. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
Exercices corrigés
Année Universitaire : 2012/2013
Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 1 – La Continuité
Exercice 1 :
Déterminer le domaine de définition et les limites infinies de la fonction suivante :
( )
√
( )
Df = (
√
Réponse 1
)
( )
( )(
1 3
x1 
 2
2
–∞
x
)
–2

lim f ( x)  
x  
car
lim 2 x  1  
x 
lim f ( x)  lim 2 x  1  x²(1 
x 
x 
==> lim x(2 
x 
Car :
+
lim x²  x  2  
x
1 2

= lim 2 x  1  x x²  x  2
x x² x
1
1 2
 1   )  
x
x x²
lim x  
x 
et
+∞
1
–
+

==>
1 3
x2 
1
2
et
lim (2 
x 
1
1 2
 1  )  1
x
x x²
Exercice 2 :
Déterminer les domaines de définition et les domaines de continuité pour les fonctions définies par :
A. f ( x) 
x
x²  1
3x  1
B. f ( x)    x 1
e
Réponse 2
x
A. f ( x) 
x²  1
si x  1
si x  1
Df  x  IR / x²  1  0
Df  x  IR / x  1 ou x  1
Df  IR   1,1
DC  IR   1,1
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3. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
3x  
f ( x)    x1
B.
e
Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
si x  1
si x  1
Df  IR
lim f ( x)  lim e x 1  e0  1
x 1
x 1
f (1)  3  
DC  IR
1
Soit λ ≠ – 2 : f est discontinue en 1 DC  IR   
Exercice 3 : Etudiez la continuité des fonctions suivantes :
Soit λ = – 2 : f est continue en 1
 2 x
si x  1

A. f ( x)   x  1
 2 x  1 si x  1



 x3  x 2  x 1

x 1
B. f ( x)  
 3 x

si x  1
si x  1
 x2  x  3  3
si x   3

x2  3
C. f ( x)  
 3x
si x   3

 x 1 1
si x  2 R  2

D. f ( x)   x  2
1
si x  2

Réponse 3 :
 2x
si x  1

A. f ( x)   x  1
si x  1

2 x 1



Si x = 1 ; f (1) = 1
Df = IR

Pour x  1 : lim f ( x)  lim 2  x  1  f (1)



Pour x > 1 : lim f ( x)  lim


x 1
x 1
 lim

x 1
x 1
x 1
x  1 x  1  lim 
x 1
2x  1



x  1 x  1
x 1
 lim

2 x  1 x1 2 x  1 x  1






x 1 11

 1  f (1)
2
2
f est continue au point 1
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Matière : Analyse Mathématique I
 x3  x2  x  1

B. f ( x)  
x 1
 3 x


Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
si x  1
si x  1
f (1)  2
x  1x 2  1
x3  x 2  x 1
x 2 x  1  x  1
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2
 lim x  1  2  f (1)

Pour x < 1 : lim f ( x)  lim


x 1
x 1

Pour x ≥ 1 : lim f ( x)  lim


x 1
x 1
3 x 
3  1  2  f (1)
f est continue au point 1
x2  x  3  3
si x   3

C. f ( x)  
x2  3
4
si x   3


Pour x   3 : f ( x)
lim
x 
x 3


x 


3 1
  

x 3
x 3


x  3 1
lim 
  


x 3
x 3

f est continue sur IR   3, 3 .

lim


 
 

x2  x  3  3
x 3 x 3  x 3
x  3 1


2
x 3
x 3 x 3
x 3



3 1 2 3 1

 f ( 3)
x 3
2 3
 3  3 1 1
  
0 
 3 3

 3  3 1 1
  
0 
 3 3









f est discontinue de 1er espèce non éliminable au point 3 .
f admet une discontinue de second espèce infinie au - 3
 x 1 1

D. f ( x)   x  2
1

si x  2 R  2
si x  2
Df   ,2  2,  2   ,
1
1



x 1 1
x 1 1 x 1  1
x2



x2
x  2 x  1  1
x  2 x  1  1
1
1
lim f ( x)  lim
  f (2)
x 2
x 2
2
x 1  1
f est continue sur 1,2  2,
f est discontinue de 1er espèce éliminable au point 2.
f admet un discontinuité de 1er espèce éliminable au point 2.

Pour x  2 : f ( x) 




 
1
x 1  1


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Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 2 – La Dérivabilité
Exercice 1 :
Calculez Y’ pour chacune des fonctions suivantes :
1
4

2 x²
x

Y

 x 
Y

1 x 
5

x  13
Y

Y  log x  1  x 4

e ax  e  ax
Y  ax
e  e ax
x


Réponse 1 :

Y' 
1
4
Y

2 x²
x
   x '
 

f
f 'g  f  g '
  
g
g²
 
(1)'(2 x ²)  (1)  (2 x ²)' (4)' x  4 

2
(2 x ²) 2
x
4

 4x 2 x  1
2

 3 
4
2
3
4x
x
x
x

1 2
 3
x3 x 2

 x 
Y

1 x 
5
 f   r  f ' f
r
r 1
 x  ( x)'(1  x)  ( x)  (1  x)'
Y'  5  
 
(1  x) 2
1 x 
5x 4 1  x  x


4
1  x  (1  x) 2
5x 4

1  x 6
4
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Matière : Analyse Mathématique I
x
x  1 ' x   (
 x
3

2
6x  1  x  x  1
2

2
3
2 x
2
6x  1  x  x  1
3
 
2 x

Y  log x  1  x
4
x  12 5x  1

2x  x
3
log U '  U'

U
4x3
x 
Y' 
1 x4
x  1 x4

 x  1
 x
2
 x

1
3
2 x

3x  1  x 
2
x )'x  1
3
Y' 
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
x  13
Y

Semestre : 1
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  1  2 1  x
4
x  1 x4
1  x 4  2x3
x 1 x4 1 x4
2

xx
1

x
Y

e
Y' 
ax
e ax  e  ax
e ax  e ax


 e ax  e ax  e ax  e ax  e ax  e ax  e ax
e ax  e ax ²
 
ae

ax
ae

2 ax
 



 



 ae ax  e ax  e ax  e ax  e ax  ae ax  ae ax
e ax  e ax ²


 a  a  ae   ae  a  a  ae 
e  e ²
2 ax
ax
2 ax

2 ax
 ax
ae 2 ax  a  a  ae 2 ax  ae 2 ax  a  a  ae 2 ax
e ax  e ax ²
4a
 ax
e  e ax ²



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Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
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Exercice 2 :
Soit f (x) = ln( x  x²  1)
1) Calculez le dérivé de f
2) Déterminez la fonction propre de f et calculer la dérivé.
Réponse 2 :
1) Calcul le dérivé de f :
1
2x
x²  1  x


x  x²  1
2 x²  1
x²  1
f ' ( x)  ln( x  x ²  1) 



x  x²  1
x  x²  1
x  x²  1
2) Détermination de la fonction réciproque :
 



1
1
x²  1
 y = f (x)  x = f -1 (y)
y  ln( x  x²  1)  e y  x  x²  1
e y 
x 

1
1
y
y
 e  e  x  x²  1 
x  x²  1
x  x²  1

2
x²  1  1 x²  2 x x²  1  x²  1  1

x  x²  1
x  x²  1
2 x ²  2 x x ²  1 2 x ( x  x ²  1)

 2x
x  x²  1
x  x²  1
e y  e y
x=
= f -1 (y)
2

La fonction réciproque de f (x)  ln( x 
(f -1)’(x) =
e e
2
y
y
y
y
x²  1) est f -1 (x) = e  e
2
 ( x)'  1
Exercice 3 : Calculez la dérivée de la fonction suivante
2
cos(2 x)  cos( x) cos ²( x)  sin ²( x)  cos( x)  cos( x) 
cos( x)

f ( x) 

2
2
 sin( x)   1  sin ²( x)

sin ( x)
sin ( x)


1
cos( x)

1 
tan ²( x)
sin ²( x)

 21  tan ²( x) tan( x)   cos( x)   21  tan ²(x)  sin 3 ( x)  2 cos ²(x)  sin( x)
f ' ( x) 


 sin ²( x)  

tan 4 ( x)
tan 3 ( x)
sin 4 ( x)


 1
1   1
2 cos ²( x) 
f ' ( x)  2
 tan 3 ( x)  tan( x)    sin( x)  sin 3 ( x) 
 


 

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8. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
Chapitre 3 – Règle de l’hôpital et la formule de Taylor
Exercice 1 : Calculer les limites suivantes :
x 1  2
x 3
a) lim
x 3
x  log x
x   x log x
b) lim
x log a  a log x
où a > 0
xa
c) lim
x a
log x
x  x 
d) lim
x
e) lim x
x  e
f)
lim x 2 log x
x 0 
e2x 1
x
g) lim
x 0
 x
1 


 x  1 log x 
h) lim 
x 1
 a
i) lim 1  
x 
x

j)
lim log x 

x 1
x 1
k) lim
x a
l)
x
lim
x x a a
où a > 0
x a
x 
x
2
 4x  1  x

ex
m) lim  où α est réel.
x  x
log  x
n) lim
pour tout α réel et pour tout β > 0
x 
x
o) lim x
1
x
x 
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9. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
Réponse 1 :
a) lim
x 3

lim
x 3

x 1  2
x 3
Sans l’aide de règle de l’Hospital :
x 1  2
 lim
x 3
x3

x 1  2
x  3

x 1  2
x 1  2

  lim
x 3
x 1 4
x  3
x 1  2

 lim
x 3
1
x 1  2

1
4
Avec la règle de l’Hospital :
lim
x 3
Il vient que
x  1  2 R.H
lim
 lim
x 3
x 3
x 3
x  1  2 F.I 0

x3
0

x 1  2
x  3
1
 lim 2 x  1
x 3
1
1

4
(Forme Indéterminée de type
0
)
0

1
x  log x   lim
x  log x 
x
  lim
b) xlim

 x log x
x 
x  ( x )' (log x )  ( x )(log x )'

x log x 
1

1
x  1 0
 lim
 lim
x  
x   log x  1
1

log x  x 
x
1
1
x
1

 xlim log x   et
 
lim
x 
1

 0
x

x log a  a log x 
x log a  a log x 0
  lim
c) lim
x a
xa
0 x a
( x  a)'
( x)' (log a)  (a)' (log x)  (a)(log x)'
 lim
x a
x a
1 0
 lim
log a 
1
a
x  log a  1
log x
x  x 

Si α  0 : lim log x  x  
d) lim
x 
1
log x 
1
Si α > 0 : lim    lim x 1  lim   0

x  x
x  x
 x x
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10. Option : Sciences Économiques et Gestion
Matière : Analyse Mathématique I
e) lim
x 
Semestre : 1
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Module : METHODES QUANTITATIVE I
x
ex
 Si α  0 : lim
x 
 Si α > 0 :
1
0
x  ex



 1
- si α  1 lim x x    lim ( x x )'  lim ax x  0
x 
x 
x 

e
(e )'
e
- si α > 1, on applique la règle de l’Hospital pour 2
D’après ces formules, on peut dire que xIR et α > 0.
lim x 2 log x  lim
f)
x 0
x 0
ème
(a 2  a)  x   2
0
fois : lim
x 
ex
si (α  2)
log x 

1

2
x
On applique la règle de l’Hospital :
1
1
log x   lim x  lim x  lim  x²  0
lim
 x 0   2 x x 0   2 x 0  2
x 0 
 1 
 2
x4
x3
x 
e2x 1 0
2e 2 x
  lim
 lim 2e 2 x  2
g) lim
x 0
x 0
x
0 x0 1
x
 a

h) lim 1   = 1
x 
 x
a
Si lim 1  a  = 1, alors ln 1  lim x log1    0  




x

x 
x
x  

x
 a
log1  
a
x


On peut la mettre sous forme 0 , car lim x log1    lim
x  
1
x  x 
0

x
En utilisant la règle de l’Hospital, cette limite est égale à :
a
x²
a
1
x  lim a  a
ln 1  lim
a
x  
x 
1
a
a
1
1
x
x

a


 0
 xlim
   

a
Par conséquent : 1  e
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