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Exercice-1-:
Soit 𝑓 la fonction définie sur 𝐼𝑅 − {
−3
2
} par : 𝑓( 𝑥) =
4𝑥2
−4𝑥−6
2𝑥+3
.
1) Déterminer le tableau de variation de f(x) .
2) a) Déterminer les réel 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que : 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑐
2𝑥+3
b) Calculer lim
𝑥→±∞
[𝑓( 𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] et interpréter graphiquement le résultat .
3) Montrer que la courbe de 𝑓 admet un centre de symétrie à déterminer .
4) construire (C) courbe de f(𝑥).
5) Discuter suivant les valeurs de 𝑚 le nombre de solution de l’équation :
4𝑥2
− 2𝑥(2 + 𝑚) − 3(2 + 𝑚) = 0 .
6) Construire (C’) courbe de | 𝑓(𝑥)| et (C’’) courbe de 𝑓(| 𝑥|).
7) Soit ℎ( 𝑥) = 2𝑥 − 5 +
9
|2𝑥+3|
, montrer que
𝑓( 𝑥)+ℎ(𝑥)
2
= 2𝑥 − 5 et construire (G) courbe de h(x).
Exercice-2- :
Soit 𝑓la fonction définie par : 𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+3𝑥+3
𝑥+1
.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;𝑖⃗; 𝑗⃗) .
1) Déterminer les réel 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que : 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑐
𝑥+1
.
2) a) En déduire que la droite (D) d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 est asymptote à (C) .
b) Etudier la position relative de (C) et (D) .
3) Montrer que (C) admet un centre de symétrie .
4) Calculer 𝑓′
(𝑥) et déterminer le sens de variations de f(𝑥) .
5) Construire le tableau de variation de 𝑓(𝑥).
6) Construire (C) et (D) .
7) soit 𝑔 la fonction définie par g( 𝑥) =
𝑥2
+3| 𝑥|+3
| 𝑥|+1
.
a) Etudier la parité de 𝑔et interpréter graphiquement le résultat .
b) Construire la courbe (𝐶′
) de g(𝑥) .
EB11
Au nom de DieuLycée officiel d’Abbassieh
Fonctions
MathématiquesDate : / / 2019
Nom :……………
Exercice-3- :
Discuter, selon les valeurs de 𝑚, le nombre d’extrêmums relatifs de la fonction 𝑓 définie par :
𝑓( 𝑥) =
2𝑥2
+𝑚𝑥
𝑥2
−1
.
Exercice-4-:
On considère la fonction f définie sur IR – {1} par f(x) =
1
32


x
x .
1) a) Trouver les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
b) Déduire l’équation d’une asymptote (d) à (C).
2) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
3) a) Montrer que (D): y = x + 1 est une asymptote oblique à (C).
b) Etudier la position relative de (C) à (D).
4) Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) au point A(-3,-3).
5) Montrer que f(2-x) + f(x) = 4. Que peut-on conclure ?
6) Tracer dans un repère orthonormé (d), (D), (T) et (C).
7) Discuter graphiquement l’existence et le signe des racines de x2 – mx + m + 3 = 0.
Exercice-5-:
Soit f la fonction définie sur IR par :
1xx
1xx2
)x(f 2
2



(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O ;

i ;

j ).
1) Déterminer les limites de f en -  et +  . Déduire une asymptote à (C) .
2) Vérifier que
 22
2
1xx
x6x3
)x('f


 , et dresser le tableau de variations de f(x).
3)Déterminer les coordonnées des points A et B, points d’intersection de (C) avec x’Ox .
4)Tracer (C).
5)Résoudre graphiquement : a) 0)x(f  ; b)





0)x(f
0)x('f
6)Trouver l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse «
2
1
 ».
7) Tracer la courbe (H) représentative de ).x(f)x(h 
Exercice-6-:
Soit f la fonction définie par :
2
33
)(
2



x
xx
xf .
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;i⃗;j⃗) .
1) Déterminer les réel a, b et c tels que:
2
)(


x
c
baxxf .
2) a) En déduire que la droite (D) d’équation baxy  est asymptote à (C) .
b) Etudier la position relative de (C) et (D) .
3) Montrer que (C) admet un centre de symétrie .
4) Calculer )(' xf et déterminer le sens de variations de f .
5) Construire le tableau de variation de )(xf .
6) Construire (C) et (D).
7) soit g la fonction définie par
1
33
)(
2



x
xx
xg .
a) Etudier la parité de get interpréter graphiquement le résultat .
b) Construire la courbe (C′
) de g(x) .
8) Soit
2
2
1)(


x
xxh
Construire (C′′
) la courbe de h(x)
Exercice-7-:
A) Le tableau ci-dessous représente le tableau des variations d'une fonction f définie par
cbxaxxf  3
)( .
1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Déterminer : f(-1) , f ʹ(-1), f(1) et f ʹ(1).
3) Montrer que a = 1 , b = - 3 et c = 2 .
4) Construire la courbe (C) de f.
x
f'(x)
f(x)
 
 
-1
4
1
0
0


0
B) Soit g une fonction définie par
)(
2
)(
xf
xg  .
1) Déterminer le domaine de définition de g.
2) Calculer les limites de g aux bornes de Dg.
3) Montrer que
 2
)(
)('2
)('
xf
xf
xg

 puis dresser le tableau des variations de g.
4) Construire la courbe ( Cʹ ) de g.
C) Soit hune fonction définie par ).()( 3
xfxh 
Construire la courbe (Cʹʹ) de h
Exercice-8-:
A) On donne la fonction g(x) = x3 + x – 2.
1) Vérifier que g(x) = (x-1) (x2 + x + 2).
2) Déduire que le signe de g(x) .
B) On donne la fonction f définie sur R {0} et 2
1
)(
x
x
xxf

 et soit (C) sa courbe dans un système
orthonormé.
1) Calculer )(lim
0
xf
x 

et )(lim
0
xf
x 

. Déduire un asymptote de ( C ) .
2) a) Calculer )(lim xf
x 
et )(lim xf
x 
.
b) Montrer que la droite ( D ) d’équation xy  est un asymptote ( C ) en ±∞.
c) Etudier la position relative de ( D ) et ( C ).
3) a) Montrer que 𝑓′ (𝑥) = 3
)(
x
xg
et dresser le tableau des variations de f.
b) Trouver l’équation de tangente ( T ) à ( C ) qui est parallèle à ( D ).
4) Construire ( D) , (T) et (C).
5) Soit h(x) =| 𝑓(𝑥)|. Déduire la courbe de h.
Exercice-9-:
Partie A:
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction g définie sur IR par xxxg 2)1()( 22

X   
g'(x)– 0 +
g(x)  
g( )
1) Calculer g'(x) et vérifier que  3 = – .
2
1

2) Montrer que: g( )= .1
2
32
 
3) a- Montrer que g( )>0.
b- Déduire que g(x)>0 pour tout x dans IR.
Partie B:
On considère la fonction f définie sur IR par
1
1
)( 2


x
xxf et l'on désigne(C) sa courbe
représentative dans un repère orthonormé.
1) a- Calculer )(xfLim
x 
et ).(xfLim
x 
b-Montrer que la droite (D) d'équation y=x est une asymptote à (C) en .
2) a- Montrer que: 22
)1(
)(
)(


x
xg
xf et dresser son tableau de variation de f.
b- Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.
c- Etudier la position de (C) par rapport à (D) et à (T).
3) a- Calculer f(1).
b- Tracer (D), (T) et (C).
Exercice-10- :
La courbe (C) ci-dessous est représentative d’une fonction f.
Les deux droites (L) et (D) sont les asymptotes de (C).
(L) (D)
Utiliser le graphique pour:
1- a) Déterminer le domaine de f .
b) Trouver )x(f
1x
1x
lim


et )x(f
1x
1x
lim


et écrire une équation de la droite (D).
2- a) Trouver f(0) et f(3).
b) Trouver )( 1f  et )3(f  .
3- Résoudre chacune des inéquations suivantes :
a) f(x) >0
b) f(x)  1
c) 0)x(f  .
4- Ecrire une équation de la droite (L).
5- Dresser le tableau de variations de f.
6- La fonction f est donnée par f(x) = ax +1 +
cx
b

. Montrer que a = -1, b = -4 et
c =1.
7- Trouver une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 0.
Exercice-11- :
On considère la fonction f définie par : 54)( 2
 xxxf
E(0;5) et A( ))(; afa sont deux points de la courbe (C) de f ).0( a
1) M est un point de (C) d’abscisse Mx =
2
a
.Montrer que la tangente en M à (C) est parallèle à
(EA).
2) On considère la fonction g définie par : .5
121
2
)( x
x
x
xg 


Montrer que la tangente à (C) en E est parallèle à la tangente à la courbe de g en O (0;0).
Exercice-12- :
La courbe (C) ci-dessous est la courbe représentative dans un repère orthonormé,
d'une fonction f définie sur] –  ; 2[  ] 2 ; +  [.
Les droites (d) et (D) sont des asymptotes à (C).
1) Déterminer )x(flim
x 
et )x(flim
x 
.
2) Trouver les équations des asymptotes de (C).
3) Résoudre chacune des trois équations suivantes: f(x) = 1 ; f(x) = 5 ;
f '(x) = 0.
y
x
O
(D)
(d)
21 3 4–1–2
1
2
3
4
5
6
–1
–2
4) Résoudre chacune des deux inéquations suivantes: f(x) > 3 ; f '(x)  0.
5) Dresser le tableau de variations de f.
6) Sachant que f(x) = ax + b +
cx
1

, montrer que a = b = 1 et c = – 2
7) Démontrer que I (2 ; 3) est un centre de symétrie de (C) .
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Fonct ration

  • 1. Exercice-1-: Soit 𝑓 la fonction définie sur 𝐼𝑅 − { −3 2 } par : 𝑓( 𝑥) = 4𝑥2 −4𝑥−6 2𝑥+3 . 1) Déterminer le tableau de variation de f(x) . 2) a) Déterminer les réel 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que : 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 2𝑥+3 b) Calculer lim 𝑥→±∞ [𝑓( 𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] et interpréter graphiquement le résultat . 3) Montrer que la courbe de 𝑓 admet un centre de symétrie à déterminer . 4) construire (C) courbe de f(𝑥). 5) Discuter suivant les valeurs de 𝑚 le nombre de solution de l’équation : 4𝑥2 − 2𝑥(2 + 𝑚) − 3(2 + 𝑚) = 0 . 6) Construire (C’) courbe de | 𝑓(𝑥)| et (C’’) courbe de 𝑓(| 𝑥|). 7) Soit ℎ( 𝑥) = 2𝑥 − 5 + 9 |2𝑥+3| , montrer que 𝑓( 𝑥)+ℎ(𝑥) 2 = 2𝑥 − 5 et construire (G) courbe de h(x). Exercice-2- : Soit 𝑓la fonction définie par : 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 +3𝑥+3 𝑥+1 . On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;𝑖⃗; 𝑗⃗) . 1) Déterminer les réel 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que : 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐 𝑥+1 . 2) a) En déduire que la droite (D) d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 est asymptote à (C) . b) Etudier la position relative de (C) et (D) . 3) Montrer que (C) admet un centre de symétrie . 4) Calculer 𝑓′ (𝑥) et déterminer le sens de variations de f(𝑥) . 5) Construire le tableau de variation de 𝑓(𝑥). 6) Construire (C) et (D) . 7) soit 𝑔 la fonction définie par g( 𝑥) = 𝑥2 +3| 𝑥|+3 | 𝑥|+1 . a) Etudier la parité de 𝑔et interpréter graphiquement le résultat . b) Construire la courbe (𝐶′ ) de g(𝑥) . EB11 Au nom de DieuLycée officiel d’Abbassieh Fonctions MathématiquesDate : / / 2019 Nom :……………
  • 2. Exercice-3- : Discuter, selon les valeurs de 𝑚, le nombre d’extrêmums relatifs de la fonction 𝑓 définie par : 𝑓( 𝑥) = 2𝑥2 +𝑚𝑥 𝑥2 −1 . Exercice-4-: On considère la fonction f définie sur IR – {1} par f(x) = 1 32   x x . 1) a) Trouver les limites de f aux bornes de son domaine de définition. b) Déduire l’équation d’une asymptote (d) à (C). 2) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. 3) a) Montrer que (D): y = x + 1 est une asymptote oblique à (C). b) Etudier la position relative de (C) à (D). 4) Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) au point A(-3,-3). 5) Montrer que f(2-x) + f(x) = 4. Que peut-on conclure ? 6) Tracer dans un repère orthonormé (d), (D), (T) et (C). 7) Discuter graphiquement l’existence et le signe des racines de x2 – mx + m + 3 = 0. Exercice-5-: Soit f la fonction définie sur IR par : 1xx 1xx2 )x(f 2 2    (C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O ;  i ;  j ). 1) Déterminer les limites de f en -  et +  . Déduire une asymptote à (C) . 2) Vérifier que  22 2 1xx x6x3 )x('f    , et dresser le tableau de variations de f(x). 3)Déterminer les coordonnées des points A et B, points d’intersection de (C) avec x’Ox . 4)Tracer (C). 5)Résoudre graphiquement : a) 0)x(f  ; b)      0)x(f 0)x('f 6)Trouver l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse « 2 1  ». 7) Tracer la courbe (H) représentative de ).x(f)x(h 
  • 3. Exercice-6-: Soit f la fonction définie par : 2 33 )( 2    x xx xf . On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;i⃗;j⃗) . 1) Déterminer les réel a, b et c tels que: 2 )(   x c baxxf . 2) a) En déduire que la droite (D) d’équation baxy  est asymptote à (C) . b) Etudier la position relative de (C) et (D) . 3) Montrer que (C) admet un centre de symétrie . 4) Calculer )(' xf et déterminer le sens de variations de f . 5) Construire le tableau de variation de )(xf . 6) Construire (C) et (D). 7) soit g la fonction définie par 1 33 )( 2    x xx xg . a) Etudier la parité de get interpréter graphiquement le résultat . b) Construire la courbe (C′ ) de g(x) . 8) Soit 2 2 1)(   x xxh Construire (C′′ ) la courbe de h(x) Exercice-7-: A) Le tableau ci-dessous représente le tableau des variations d'une fonction f définie par cbxaxxf  3 )( . 1) Déterminer le domaine de définition de f. 2) Déterminer : f(-1) , f ʹ(-1), f(1) et f ʹ(1). 3) Montrer que a = 1 , b = - 3 et c = 2 . 4) Construire la courbe (C) de f. x f'(x) f(x)     -1 4 1 0 0   0
  • 4. B) Soit g une fonction définie par )( 2 )( xf xg  . 1) Déterminer le domaine de définition de g. 2) Calculer les limites de g aux bornes de Dg. 3) Montrer que  2 )( )('2 )(' xf xf xg   puis dresser le tableau des variations de g. 4) Construire la courbe ( Cʹ ) de g. C) Soit hune fonction définie par ).()( 3 xfxh  Construire la courbe (Cʹʹ) de h Exercice-8-: A) On donne la fonction g(x) = x3 + x – 2. 1) Vérifier que g(x) = (x-1) (x2 + x + 2). 2) Déduire que le signe de g(x) . B) On donne la fonction f définie sur R {0} et 2 1 )( x x xxf   et soit (C) sa courbe dans un système orthonormé. 1) Calculer )(lim 0 xf x   et )(lim 0 xf x   . Déduire un asymptote de ( C ) . 2) a) Calculer )(lim xf x  et )(lim xf x  . b) Montrer que la droite ( D ) d’équation xy  est un asymptote ( C ) en ±∞. c) Etudier la position relative de ( D ) et ( C ). 3) a) Montrer que 𝑓′ (𝑥) = 3 )( x xg et dresser le tableau des variations de f. b) Trouver l’équation de tangente ( T ) à ( C ) qui est parallèle à ( D ). 4) Construire ( D) , (T) et (C). 5) Soit h(x) =| 𝑓(𝑥)|. Déduire la courbe de h.
  • 5. Exercice-9-: Partie A: On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction g définie sur IR par xxxg 2)1()( 22  X    g'(x)– 0 + g(x)   g( ) 1) Calculer g'(x) et vérifier que  3 = – . 2 1  2) Montrer que: g( )= .1 2 32   3) a- Montrer que g( )>0. b- Déduire que g(x)>0 pour tout x dans IR. Partie B: On considère la fonction f définie sur IR par 1 1 )( 2   x xxf et l'on désigne(C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1) a- Calculer )(xfLim x  et ).(xfLim x  b-Montrer que la droite (D) d'équation y=x est une asymptote à (C) en . 2) a- Montrer que: 22 )1( )( )(   x xg xf et dresser son tableau de variation de f. b- Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0. c- Etudier la position de (C) par rapport à (D) et à (T). 3) a- Calculer f(1). b- Tracer (D), (T) et (C).
  • 6. Exercice-10- : La courbe (C) ci-dessous est représentative d’une fonction f. Les deux droites (L) et (D) sont les asymptotes de (C). (L) (D) Utiliser le graphique pour: 1- a) Déterminer le domaine de f . b) Trouver )x(f 1x 1x lim   et )x(f 1x 1x lim   et écrire une équation de la droite (D). 2- a) Trouver f(0) et f(3). b) Trouver )( 1f  et )3(f  . 3- Résoudre chacune des inéquations suivantes : a) f(x) >0 b) f(x)  1 c) 0)x(f  . 4- Ecrire une équation de la droite (L). 5- Dresser le tableau de variations de f. 6- La fonction f est donnée par f(x) = ax +1 + cx b  . Montrer que a = -1, b = -4 et c =1. 7- Trouver une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 0.
  • 7. Exercice-11- : On considère la fonction f définie par : 54)( 2  xxxf E(0;5) et A( ))(; afa sont deux points de la courbe (C) de f ).0( a 1) M est un point de (C) d’abscisse Mx = 2 a .Montrer que la tangente en M à (C) est parallèle à (EA). 2) On considère la fonction g définie par : .5 121 2 )( x x x xg    Montrer que la tangente à (C) en E est parallèle à la tangente à la courbe de g en O (0;0). Exercice-12- : La courbe (C) ci-dessous est la courbe représentative dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie sur] –  ; 2[  ] 2 ; +  [. Les droites (d) et (D) sont des asymptotes à (C). 1) Déterminer )x(flim x  et )x(flim x  . 2) Trouver les équations des asymptotes de (C). 3) Résoudre chacune des trois équations suivantes: f(x) = 1 ; f(x) = 5 ; f '(x) = 0. y x O (D) (d) 21 3 4–1–2 1 2 3 4 5 6 –1 –2
  • 8. 4) Résoudre chacune des deux inéquations suivantes: f(x) > 3 ; f '(x)  0. 5) Dresser le tableau de variations de f. 6) Sachant que f(x) = ax + b + cx 1  , montrer que a = b = 1 et c = – 2 7) Démontrer que I (2 ; 3) est un centre de symétrie de (C) . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------