Le document contient une série d'exercices portant sur des fonctions mathématiques, incluant des calculs de limites, d'asymptotes, de variations et de tangentes. Chaque exercice demande de déterminer des caractéristiques spécifiques de différentes fonctions, ainsi que de construire leurs courbes représentatives. De plus, il aborde des discussions sur les asymptotes et les solutions d'équations associées à ces fonctions.

1. Exercice-1-:
Soit 𝑓 la fonction définie sur 𝐼𝑅 − {
−3
2
} par : 𝑓( 𝑥) =
4𝑥2
−4𝑥−6
2𝑥+3
.
1) Déterminer le tableau de variation de f(x) .
2) a) Déterminer les réel 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que : 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑐
2𝑥+3
b) Calculer lim
𝑥→±∞
[𝑓( 𝑥) − (𝑎𝑥 + 𝑏)] et interpréter graphiquement le résultat .
3) Montrer que la courbe de 𝑓 admet un centre de symétrie à déterminer .
4) construire (C) courbe de f(𝑥).
5) Discuter suivant les valeurs de 𝑚 le nombre de solution de l’équation :
4𝑥2
− 2𝑥(2 + 𝑚) − 3(2 + 𝑚) = 0 .
6) Construire (C’) courbe de | 𝑓(𝑥)| et (C’’) courbe de 𝑓(| 𝑥|).
7) Soit ℎ( 𝑥) = 2𝑥 − 5 +
9
|2𝑥+3|
, montrer que
𝑓( 𝑥)+ℎ(𝑥)
2
= 2𝑥 − 5 et construire (G) courbe de h(x).
Exercice-2- :
Soit 𝑓la fonction définie par : 𝑓( 𝑥) =
𝑥2
+3𝑥+3
𝑥+1
.
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;𝑖⃗; 𝑗⃗) .
1) Déterminer les réel 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que : 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +
𝑐
𝑥+1
.
2) a) En déduire que la droite (D) d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 est asymptote à (C) .
b) Etudier la position relative de (C) et (D) .
3) Montrer que (C) admet un centre de symétrie .
4) Calculer 𝑓′
(𝑥) et déterminer le sens de variations de f(𝑥) .
5) Construire le tableau de variation de 𝑓(𝑥).
6) Construire (C) et (D) .
7) soit 𝑔 la fonction définie par g( 𝑥) =
𝑥2
+3| 𝑥|+3
| 𝑥|+1
.
a) Etudier la parité de 𝑔et interpréter graphiquement le résultat .
b) Construire la courbe (𝐶′
) de g(𝑥) .
EB11
Au nom de DieuLycée officiel d’Abbassieh
Fonctions
MathématiquesDate : / / 2019
Nom :……………

2. Exercice-3- :
Discuter, selon les valeurs de 𝑚, le nombre d’extrêmums relatifs de la fonction 𝑓 définie par :
𝑓( 𝑥) =
2𝑥2
+𝑚𝑥
𝑥2
−1
.
Exercice-4-:
On considère la fonction f définie sur IR – {1} par f(x) =
1
32


x
x .
1) a) Trouver les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
b) Déduire l’équation d’une asymptote (d) à (C).
2) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
3) a) Montrer que (D): y = x + 1 est une asymptote oblique à (C).
b) Etudier la position relative de (C) à (D).
4) Ecrire l’équation de la tangente (T) à (C) au point A(-3,-3).
5) Montrer que f(2-x) + f(x) = 4. Que peut-on conclure ?
6) Tracer dans un repère orthonormé (d), (D), (T) et (C).
7) Discuter graphiquement l’existence et le signe des racines de x2 – mx + m + 3 = 0.
Exercice-5-:
Soit f la fonction définie sur IR par :
1xx
1xx2
)x(f 2
2



(C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( O ;

i ;

j ).
1) Déterminer les limites de f en -  et +  . Déduire une asymptote à (C) .
2) Vérifier que
 22
2
1xx
x6x3
)x('f


 , et dresser le tableau de variations de f(x).
3)Déterminer les coordonnées des points A et B, points d’intersection de (C) avec x’Ox .
4)Tracer (C).
5)Résoudre graphiquement : a) 0)x(f  ; b)





0)x(f
0)x('f
6)Trouver l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse «
2
1
 ».
7) Tracer la courbe (H) représentative de ).x(f)x(h 

3. Exercice-6-:
Soit f la fonction définie par :
2
33
)(
2



x
xx
xf .
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ;i⃗;j⃗) .
1) Déterminer les réel a, b et c tels que:
2
)(


x
c
baxxf .
2) a) En déduire que la droite (D) d’équation baxy  est asymptote à (C) .
b) Etudier la position relative de (C) et (D) .
3) Montrer que (C) admet un centre de symétrie .
4) Calculer )(' xf et déterminer le sens de variations de f .
5) Construire le tableau de variation de )(xf .
6) Construire (C) et (D).
7) soit g la fonction définie par
1
33
)(
2



x
xx
xg .
a) Etudier la parité de get interpréter graphiquement le résultat .
b) Construire la courbe (C′
) de g(x) .
8) Soit
2
2
1)(


x
xxh
Construire (C′′
) la courbe de h(x)
Exercice-7-:
A) Le tableau ci-dessous représente le tableau des variations d'une fonction f définie par
cbxaxxf  3
)( .
1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Déterminer : f(-1) , f ʹ(-1), f(1) et f ʹ(1).
3) Montrer que a = 1 , b = - 3 et c = 2 .
4) Construire la courbe (C) de f.
x
f'(x)
f(x)
 
 
-1
4
1
0
0


0

4. B) Soit g une fonction définie par
)(
2
)(
xf
xg  .
1) Déterminer le domaine de définition de g.
2) Calculer les limites de g aux bornes de Dg.
3) Montrer que
 2
)(
)('2
)('
xf
xf
xg

 puis dresser le tableau des variations de g.
4) Construire la courbe ( Cʹ ) de g.
C) Soit hune fonction définie par ).()( 3
xfxh 
Construire la courbe (Cʹʹ) de h
Exercice-8-:
A) On donne la fonction g(x) = x3 + x – 2.
1) Vérifier que g(x) = (x-1) (x2 + x + 2).
2) Déduire que le signe de g(x) .
B) On donne la fonction f définie sur R {0} et 2
1
)(
x
x
xxf

 et soit (C) sa courbe dans un système
orthonormé.
1) Calculer )(lim
0
xf
x 

et )(lim
0
xf
x 

. Déduire un asymptote de ( C ) .
2) a) Calculer )(lim xf
x 
et )(lim xf
x 
.
b) Montrer que la droite ( D ) d’équation xy  est un asymptote ( C ) en ±∞.
c) Etudier la position relative de ( D ) et ( C ).
3) a) Montrer que 𝑓′ (𝑥) = 3
)(
x
xg
et dresser le tableau des variations de f.
b) Trouver l’équation de tangente ( T ) à ( C ) qui est parallèle à ( D ).
4) Construire ( D) , (T) et (C).
5) Soit h(x) =| 𝑓(𝑥)|. Déduire la courbe de h.

5. Exercice-9-:
Partie A:
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction g définie sur IR par xxxg 2)1()( 22

X   
g'(x)– 0 +
g(x)  
g( )
1) Calculer g'(x) et vérifier que  3 = – .
2
1

2) Montrer que: g( )= .1
2
32
 
3) a- Montrer que g( )>0.
b- Déduire que g(x)>0 pour tout x dans IR.
Partie B:
On considère la fonction f définie sur IR par
1
1
)( 2


x
xxf et l'on désigne(C) sa courbe
représentative dans un repère orthonormé.
1) a- Calculer )(xfLim
x 
et ).(xfLim
x 
b-Montrer que la droite (D) d'équation y=x est une asymptote à (C) en .
2) a- Montrer que: 22
)1(
)(
)(


x
xg
xf et dresser son tableau de variation de f.
b- Ecrire une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.
c- Etudier la position de (C) par rapport à (D) et à (T).
3) a- Calculer f(1).
b- Tracer (D), (T) et (C).

6. Exercice-10- :
La courbe (C) ci-dessous est représentative d’une fonction f.
Les deux droites (L) et (D) sont les asymptotes de (C).
(L) (D)
Utiliser le graphique pour:
1- a) Déterminer le domaine de f .
b) Trouver )x(f
1x
1x
lim


et )x(f
1x
1x
lim


et écrire une équation de la droite (D).
2- a) Trouver f(0) et f(3).
b) Trouver )( 1f  et )3(f  .
3- Résoudre chacune des inéquations suivantes :
a) f(x) >0
b) f(x)  1
c) 0)x(f  .
4- Ecrire une équation de la droite (L).
5- Dresser le tableau de variations de f.
6- La fonction f est donnée par f(x) = ax +1 +
cx
b

. Montrer que a = -1, b = -4 et
c =1.
7- Trouver une équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 0.

7. Exercice-11- :
On considère la fonction f définie par : 54)( 2
 xxxf
E(0;5) et A( ))(; afa sont deux points de la courbe (C) de f ).0( a
1) M est un point de (C) d’abscisse Mx =
2
a
.Montrer que la tangente en M à (C) est parallèle à
(EA).
2) On considère la fonction g définie par : .5
121
2
)( x
x
x
xg 


Montrer que la tangente à (C) en E est parallèle à la tangente à la courbe de g en O (0;0).
Exercice-12- :
La courbe (C) ci-dessous est la courbe représentative dans un repère orthonormé,
d'une fonction f définie sur] –  ; 2[  ] 2 ; +  [.
Les droites (d) et (D) sont des asymptotes à (C).
1) Déterminer )x(flim
x 
et )x(flim
x 
.
2) Trouver les équations des asymptotes de (C).
3) Résoudre chacune des trois équations suivantes: f(x) = 1 ; f(x) = 5 ;
f '(x) = 0.
y
x
O
(D)
(d)
21 3 4–1–2
1
2
3
4
5
6
–1
–2

8. 4) Résoudre chacune des deux inéquations suivantes: f(x) > 3 ; f '(x)  0.
5) Dresser le tableau de variations de f.
6) Sachant que f(x) = ax + b +
cx
1

, montrer que a = b = 1 et c = – 2
7) Démontrer que I (2 ; 3) est un centre de symétrie de (C) .
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