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Section: Sciences de l’informatique
Session de contrôle 2012
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Contenu : Nombres complexes- géométrie.
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propriétés de la divisibilité dans Z, reconnaitre que deux entiers sont premiers entre eux, résoudre dans Z2, des
équations du type ax + by = c.
 Corrigé :
1)
a) Si

b)
Pour
Conclusion : Toute solution de

ou

c) D’après b) Toute solution de
Réciproquement : pour tout

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vérifie

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a)

Soit p un chiffre tel que le nombre p795 est une référence d’un article
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b) On a : p795 est une référence d’un article
:
p795 est une référence d’un article
:

donc

relatif y tel que 2p-7y =3
c) D’aprés b) (p, y) est une solution de (E) donc

signifie

et par suite il existe un entier
et 1

Exercice 4 (6 points)
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fonction réciproque, courbe.
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bijection, appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, étudier les branches infinies, étudier la position
relative de la courbe avec son asymptote, déterminer un point d’inflexion , tracer l’allure de la courbe
d’une fonction.
 Corrigé :
1) a)
.

b) g(0 )=0 qui est un minimum absolu pour g alors pour tout réel x, g(x) ≥ 0.
2) a) f’(x) = g(x) ≥ 0 alors f est strictement croissante sur IR.
b) f est continue et strictement croissante sur IR et f(IR) = IR donc f est une bijection de IR sur IR.
c) f(IR) = IR alors il existe un réel unique tel que f(
f(-2,7) f(-2,6)
alors
3) a)

alors D: y = x+3 est une asymptote à (C) au voisinage de

b)
Si

alors (C) est au dessous de D.

Si

alors (C) est au dessus de D.

c)

alors (C) admet une branche

direction celle de l’axe des ordonnées au voisinage de +
4) a) f est deux fois dérivable et

.

f" s’annule et change de signe en 0 alors I(0,1) est un point d’inflexion pour (C).

b)

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.

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Devoir Math de session controle la correction

  • 1. Section: Sciences de l’informatique Session de contrôle 2012 Matière : Mathématiques Exercice 1 (4,5 points)   Contenu : Nombres complexes- géométrie. Aptitudes visées : Représenter un point connaissant son affixe, déterminer le module d’un nombre complexe, résoudre une équation du second degré à coefficients complexes, connaitre la nature d’un quadrilatère.  Corrigé : 1) z +( z b) * * , , 2) a) b) alors ABCD est un parallélogramme, de plus (AB) (AD) donc il s’agit d’un rectangle. Exercice 2 (5 points)  Contenu : Probabilité conditionnelle, formule des probabilités totales. Variable aléatoire, loi de probabilité..  Aptitudes visées : Calculer la probabilité d’un événement sachant qu’un autre est réalisé, Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.  Corrigé : 1) p(A) = , p(B) = p(C) = , p( donc p(C) = 2) a) xi -1 0 1 2 pi b) p( X -2 3 28 6 28 10 28 6 28 3 28 =
  • 2. Exercice 3 (4,5 points)   Contenu : Arithmétique Aptitudes visées : Modéliser une situation par une équation du type ax + by = c, connaitre et utiliser les propriétés de la divisibilité dans Z, reconnaitre que deux entiers sont premiers entre eux, résoudre dans Z2, des équations du type ax + by = c.  Corrigé : 1) a) Si b) Pour Conclusion : Toute solution de ou c) D’après b) Toute solution de Réciproquement : pour tout ou le couple vérifie En effet : Conclusion : 2) a) Soit p un chiffre tel que le nombre p795 est une référence d’un article Donc b) On a : p795 est une référence d’un article : p795 est une référence d’un article : donc relatif y tel que 2p-7y =3 c) D’aprés b) (p, y) est une solution de (E) donc signifie et par suite il existe un entier et 1 Exercice 4 (6 points)  Contenu : Fonctions numériques d’une variable réelle : variations, branches infinies, point d’inflexion, fonction réciproque, courbe.  Aptitudes visées : Etudier les variations et le signe d’une fonction, montrer qu’une fonction est une bijection, appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, étudier les branches infinies, étudier la position relative de la courbe avec son asymptote, déterminer un point d’inflexion , tracer l’allure de la courbe d’une fonction.  Corrigé : 1) a) . b) g(0 )=0 qui est un minimum absolu pour g alors pour tout réel x, g(x) ≥ 0.
  • 3. 2) a) f’(x) = g(x) ≥ 0 alors f est strictement croissante sur IR. b) f est continue et strictement croissante sur IR et f(IR) = IR donc f est une bijection de IR sur IR. c) f(IR) = IR alors il existe un réel unique tel que f( f(-2,7) f(-2,6) alors 3) a) alors D: y = x+3 est une asymptote à (C) au voisinage de b) Si alors (C) est au dessous de D. Si alors (C) est au dessus de D. c) alors (C) admet une branche direction celle de l’axe des ordonnées au voisinage de + 4) a) f est deux fois dérivable et . f" s’annule et change de signe en 0 alors I(0,1) est un point d’inflexion pour (C). b) parabolique de .