This document discusses oroantral communication (OAC), which is a connection between the oral cavity and maxillary sinus that can occur after maxillary molar surgery. Risk factors for OAC include anatomical features like proximity of tooth roots to the sinus. Small OACs under 2mm may heal on their own with proper blood clot formation and sinus precautions. Larger openings may require closure techniques like buccal advancement flaps or palatal pedicle flaps to prevent chronic oroantral fistula formation. Postoperative care includes antibiotics, oral rinses, and avoiding nose blowing or drinking through a straw to allow the opening to heal.
This document provides an overview of temporomandibular joint disorders (TMD). It begins with definitions of TMD and discusses the history of terminology used to describe TMD. The anatomy of the temporomandibular joint and surrounding structures is described. Several etiological theories for TMD are discussed, including biomechanical, hormonal, traumatic, occlusal, and joint hypermobility theories. Signs and symptoms, diagnosis, classifications, and various treatment approaches for TMD are also outlined. The document contains detailed information on TMD intended for healthcare professionals.
This document summarizes the radiographic diagnosis of dental caries and other oral conditions. It describes how bitewing films and periapical films are used to detect caries at different stages from incipient to severe. Factors like thickness of the tooth and angle of the x-ray beam can affect diagnosis. Limitations of radiographs are outlined, along with how they are used to diagnose conditions like periodontitis, periapical lesions, and the extent of bone loss. Common restorative materials and their appearance on radiographs are also identified.
This document summarizes diagnostic imaging techniques for disorders of the temporomandibular joint (TMJ). It describes the anatomy of the TMJ and its components. It then discusses various disorders including developmental abnormalities like condylar hyperplasia and hypoplasia, soft tissue abnormalities like internal derangements, remodeling and different types of arthritis. It also covers trauma-related conditions, tumors, and diagnostic features seen on imaging for each disorder. A wide range of TMJ pathologies are described with an emphasis on radiographic presentations.
This document discusses oroantral communication (OAC), which is a connection between the oral cavity and maxillary sinus that can occur after maxillary molar surgery. Risk factors for OAC include anatomical features like proximity of tooth roots to the sinus. Small OACs under 2mm may heal on their own with proper blood clot formation and sinus precautions. Larger openings may require closure techniques like buccal advancement flaps or palatal pedicle flaps to prevent chronic oroantral fistula formation. Postoperative care includes antibiotics, oral rinses, and avoiding nose blowing or drinking through a straw to allow the opening to heal.
This document provides an overview of temporomandibular joint disorders (TMD). It begins with definitions of TMD and discusses the history of terminology used to describe TMD. The anatomy of the temporomandibular joint and surrounding structures is described. Several etiological theories for TMD are discussed, including biomechanical, hormonal, traumatic, occlusal, and joint hypermobility theories. Signs and symptoms, diagnosis, classifications, and various treatment approaches for TMD are also outlined. The document contains detailed information on TMD intended for healthcare professionals.
This document summarizes the radiographic diagnosis of dental caries and other oral conditions. It describes how bitewing films and periapical films are used to detect caries at different stages from incipient to severe. Factors like thickness of the tooth and angle of the x-ray beam can affect diagnosis. Limitations of radiographs are outlined, along with how they are used to diagnose conditions like periodontitis, periapical lesions, and the extent of bone loss. Common restorative materials and their appearance on radiographs are also identified.
This document summarizes diagnostic imaging techniques for disorders of the temporomandibular joint (TMJ). It describes the anatomy of the TMJ and its components. It then discusses various disorders including developmental abnormalities like condylar hyperplasia and hypoplasia, soft tissue abnormalities like internal derangements, remodeling and different types of arthritis. It also covers trauma-related conditions, tumors, and diagnostic features seen on imaging for each disorder. A wide range of TMJ pathologies are described with an emphasis on radiographic presentations.
This document reports on the first case of a cemento ossifying fibroma of the paranasal sinus treated with radiation therapy in a human. A 45-year-old female presented with a large maxillary tumor involving the bilateral maxillary sinuses and orbit. Surgery was deemed unfeasible due to the extensive size and involvement of surrounding structures. Radiation therapy was administered, achieving a dose of 50Gy over 5 weeks. Follow-up showed decreased symptoms, tumor volume reduction from 250cc to 170cc, and no significant adverse effects, demonstrating radiation as a potential treatment option when surgery is not possible.
Deep Learning A-Z™: Artificial Neural Networks (ANN) - BackpropagationKirill Eremenko
The document describes the process of forward propagation and backpropagation in a neural network. It outlines 7 steps: 1) randomly initializing weights, 2) inputting observations, 3) propagating activations forward, 4) comparing predictions to actual results and measuring error, 5) backpropagating the error to update weights, 6) repeating for each observation or batch, and 7) repeating epochs with the full training set. The goal is to continuously update weights to reduce error through this forward and backward process.
Odontoma/certified fixed orthodontic courses by Indian dental academyIndian dental academy
This document discusses histopathology and different types of odontomas. It describes compound odontomas as well-organized tooth-like structures containing orderly dental tissues, while complex odontomas contain disorganized odental tissues. Both are considered hamartomatous malformations that result from defects in the development and differentiation of odontogenic tissues, though compound odontomas specifically involve defects in morphodifferentiation. Causes may include local trauma, infection, genetics, or disturbances during tooth germ development.
Osteonecrosis of the Jaws (BRONJ, MRONJ)Hadi Munib
This document provides an outline about osteonecrosis of the jaw (ONJ) or bisphosphonate-related osteonecrosis of the jaw (BRONJ). It discusses the synonyms, causes, risk factors, definition, prevention and treatment of ONJ. The causes section notes that intravenous and oral bisphosphonates can lead to ONJ, especially the nitrogen-containing bisphosphonates. It also lists other risk factors like tooth extractions and identifies the mandible as the most common site. The treatment section recommends local management for early stages and more invasive surgery for severe cases.
Cemento osseus dysplasia (Doctor Faris Alabeedi MSc, MMedSc, PgDip, BDS.)Doctor Faris Alabeedi
Cemento-osseous dysplasia is a non-neoplastic fibro-osseous lesion that commonly affects the tooth-bearing regions of the jaws in middle-aged black women. It has three variants defined by location: periapical cemento-osseous dysplasia near the tooth apex, focal cemento-osseous dysplasia associated with a single tooth, and florid cemento-osseous dysplasia with involvement of multiple jaw quadrants. Radiographically, lesions appear as well-defined radiolucencies early on and progress to mixed or diffuse radiopacities as they mature. Histologically, lesions contain mineralized bone and cementum-like
Deep Learning A-Z™: Boltzmann Machines - Boltzmann MachineKirill Eremenko
The document discusses different types of neural networks used for various machine learning applications including regression, classification, computer vision, time series analysis, feature detection, and recommendation systems. Specifically, it mentions that artificial neural networks are used for regression and classification, convolutional neural networks for computer vision, recurrent neural networks for time series analysis, self-organizing maps for feature detection, deep Boltzmann machines and autoencoders for recommendation systems, and whether the neural networks are supervised or unsupervised.
Leica M320 F12 is a specific model of microscope for dental and ENT. The powerpoint is a basic version for introducing this device for dentists or doctors.
Maxillofacial Surgery
Dental Students Fifth Year First semester
Lecture Name TMJ temporomandibular joint
Lecture 10
Al Azhar University Gaza Palestine
Dr. Lama El Banna
https://twitter.com/lama_k_banna
This document discusses various disorders of the pulp and periapical tissues. It begins by introducing pulpitis, its causes, classification, and types. It then discusses periapical pathologies like periapical abscess, granuloma, cyst, and osteomyelitis. Specific conditions covered in detail include acute and chronic pulpitis, hyperplastic pulpitis, pulp necrosis, periapical abscess, periapical granuloma, radicular cyst, and acute and chronic osteomyelitis. Treatment approaches are mentioned for each condition. The document provides an overview of diseases affecting the pulp and surrounding tissues.
This document reports on the first case of a cemento ossifying fibroma of the paranasal sinus treated with radiation therapy in a human. A 45-year-old female presented with a large maxillary tumor involving the bilateral maxillary sinuses and orbit. Surgery was deemed unfeasible due to the extensive size and involvement of surrounding structures. Radiation therapy was administered, achieving a dose of 50Gy over 5 weeks. Follow-up showed decreased symptoms, tumor volume reduction from 250cc to 170cc, and no significant adverse effects, demonstrating radiation as a potential treatment option when surgery is not possible.
Deep Learning A-Z™: Artificial Neural Networks (ANN) - BackpropagationKirill Eremenko
The document describes the process of forward propagation and backpropagation in a neural network. It outlines 7 steps: 1) randomly initializing weights, 2) inputting observations, 3) propagating activations forward, 4) comparing predictions to actual results and measuring error, 5) backpropagating the error to update weights, 6) repeating for each observation or batch, and 7) repeating epochs with the full training set. The goal is to continuously update weights to reduce error through this forward and backward process.
Odontoma/certified fixed orthodontic courses by Indian dental academyIndian dental academy
This document discusses histopathology and different types of odontomas. It describes compound odontomas as well-organized tooth-like structures containing orderly dental tissues, while complex odontomas contain disorganized odental tissues. Both are considered hamartomatous malformations that result from defects in the development and differentiation of odontogenic tissues, though compound odontomas specifically involve defects in morphodifferentiation. Causes may include local trauma, infection, genetics, or disturbances during tooth germ development.
Osteonecrosis of the Jaws (BRONJ, MRONJ)Hadi Munib
This document provides an outline about osteonecrosis of the jaw (ONJ) or bisphosphonate-related osteonecrosis of the jaw (BRONJ). It discusses the synonyms, causes, risk factors, definition, prevention and treatment of ONJ. The causes section notes that intravenous and oral bisphosphonates can lead to ONJ, especially the nitrogen-containing bisphosphonates. It also lists other risk factors like tooth extractions and identifies the mandible as the most common site. The treatment section recommends local management for early stages and more invasive surgery for severe cases.
Cemento osseus dysplasia (Doctor Faris Alabeedi MSc, MMedSc, PgDip, BDS.)Doctor Faris Alabeedi
Cemento-osseous dysplasia is a non-neoplastic fibro-osseous lesion that commonly affects the tooth-bearing regions of the jaws in middle-aged black women. It has three variants defined by location: periapical cemento-osseous dysplasia near the tooth apex, focal cemento-osseous dysplasia associated with a single tooth, and florid cemento-osseous dysplasia with involvement of multiple jaw quadrants. Radiographically, lesions appear as well-defined radiolucencies early on and progress to mixed or diffuse radiopacities as they mature. Histologically, lesions contain mineralized bone and cementum-like
Deep Learning A-Z™: Boltzmann Machines - Boltzmann MachineKirill Eremenko
The document discusses different types of neural networks used for various machine learning applications including regression, classification, computer vision, time series analysis, feature detection, and recommendation systems. Specifically, it mentions that artificial neural networks are used for regression and classification, convolutional neural networks for computer vision, recurrent neural networks for time series analysis, self-organizing maps for feature detection, deep Boltzmann machines and autoencoders for recommendation systems, and whether the neural networks are supervised or unsupervised.
Leica M320 F12 is a specific model of microscope for dental and ENT. The powerpoint is a basic version for introducing this device for dentists or doctors.
Maxillofacial Surgery
Dental Students Fifth Year First semester
Lecture Name TMJ temporomandibular joint
Lecture 10
Al Azhar University Gaza Palestine
Dr. Lama El Banna
https://twitter.com/lama_k_banna
This document discusses various disorders of the pulp and periapical tissues. It begins by introducing pulpitis, its causes, classification, and types. It then discusses periapical pathologies like periapical abscess, granuloma, cyst, and osteomyelitis. Specific conditions covered in detail include acute and chronic pulpitis, hyperplastic pulpitis, pulp necrosis, periapical abscess, periapical granuloma, radicular cyst, and acute and chronic osteomyelitis. Treatment approaches are mentioned for each condition. The document provides an overview of diseases affecting the pulp and surrounding tissues.
Le fichier contient l'énoncé de l'épreuve de mathématiques I de l'ESSEC 2015 avec une correction incomplète pour l'instant mais je vais continuer à mettre les réponses de questions au fur et à mesure....
Le document contient l'énoncé de l'épreuve de modélisation mathématiques.informatique pour la banque d'écoles Agro/Véto 2017. La correction se trouve sur le même site.
This document compares nuclear physics and quantitative finance. It outlines several similarities in their strategies, modeling of fluctuation/randomness, use of mathematical modeling, and potential for catastrophic outcomes. Both fields gather data from experiments/simulations, perform quantitative analysis using programming/platforms, and aim to predict outcomes. They apply similar probabilistic, random walk, and option pricing models. While also noting differences like physics' conservation laws and reproducibility, the document questions if finance has violated physical laws by prioritizing unsustainable growth. Overall, it finds quantitative parallels between the two domains.
Marchés financiers et Mouvement brownien Peut-on rendre compte des fluctuatio...Ahmed Ammar Rebai PhD
Le mouvement brownien (ou mouvement aléatoire des particules dans un fluide) m'a toujours
intrigué. J'ai vu qu'il était à la base de la plupart des modèles de prix en finance. Je me suis donc
décidé à approfondir le sujet.
Le mouvement brownien est provoqué par les chocs aléatoires des particules qui constituent le
fluide du fait de l'agitation thermique. De même, on peut rendre compte de l'évolution des prix sur
un marché financier par les interactions des agents boursiers. Le milieu boursier est ainsi le figuré
d'un milieu fluide. C'est pourquoi mon Tipe est en adéquation avec le thème milieux.
Liste des projets TIPE (Travail d'Initiative Personnelle Encadré) Ahmed Ammar Rebai PhD
J'ai encadré une soixantaine d'étudiants en classes préparatoires aux grandes écoles d'ingénieurs (CPGE) dans leurs projets de TIPE portant sur le thème: Milieux, interfaces, interactions, ruptures, homogénéité.
Le co-encadrement a été assuré par Monsieur Edouard-Roger Tantart, professeur agrégé de physique en math-spé à Saint-Louis Paris.
L'encadrement a été réalisé dans les locaux de l'école d'ingénieurs Esprit à située à Tunis.
Les étudiants viennent de différents horizons: on trouve les tunisiens, les français, les ivoiriens, les mauritaniens, les camerounais, les burkinabé.
Correction partie 1,2 et début 3 Epreuve de mathématiques informatique Banque...Ahmed Ammar Rebai PhD
Ce fichier contient une correction détaillée de l'épreuve de mathématiques-informatique Agro/Véto 2017 BCPST 2. Pour l'instant, j'ai mis la partie 1, 2 et le début de la partie 3. Le sujet peut être utilisé par les étudiants en L3 maths/éco puisqu'il traite le problème de régression linéaire avec les probabilités et les estimateurs statistiques.
Fiche méthodes sur les nombres complexes Prépas MPSI PCSI PTSI BCPST2Ahmed Ammar Rebai PhD
Le document quelques méthodes sur les nombres complexes selon le programme des classes préparatoires aux grandes écoles d'ingénieurs en France: MPSI, PCSI, PTSI et aussi BCPST2
Epreuve mathématiques II ESSEC 2015 ECE + Correction des partie II et IIIAhmed Ammar Rebai PhD
Le fichier contient l'énoncé de l'épreuve de mathématiques II de l'ESSEC 2015 avec une correction des parties II et III. En théorie des probabilités, la queue d'une loi de probabilité est le comportement de cette loi dans la zone éloignée de sa valeur centrale (on parle aussi de la traîne ou "the tail"). On distingue entre les distributions ayant une queue légère ou lourde. Cette notion trouve son application dans plusieurs domaine:
- En hydrologie: pour prédire les crues du Nil, de la Loire...
- En finance: pour décrire l'évolution d'un stock avec entrées et sorties
- En assurance: assurance non-vie
- En théorie de risque: risques en santé ( risque alimentaire)
- En informatique: files d'attente de requêtes demandées à un serveur.
Codalema is one of the experiments devoted to the detection of ultra high energy cosmic rays by the radio method. The main objective is to study the features of the radio signal induced by the development in the atmosphere of extensive air showers (EAS) generated by cosmic rays in the energy range of 10 PeV-1 EeV . After a brief presentation of the detector features, the main results obtained are reported (emission mechanism, lateral distribution of the electric field, energy calibration, etc.). The first studies of the radio wave front curvature are discussed as new preliminary results.
Méthodes pour les concours des classes préparatoires PC PC* PSI PSI* mais ils pourront servir aussi pour les MP MP*: je suis en train de préparer des méthodes pour eux.
Evidence for the charge-excess contribution in air shower radio emission obse...Ahmed Ammar Rebai PhD
The following paper I co-authored is now online on slideshare! I participated in the Codalema Experiment operations and data analysis since July 2009 until February 2014.
Context. Observation of the charge-excess mechanism in the emission of the electric field from cosmic ray air showers.
Aims. It is shown that the signature of the charge-excess mechanism is present in the CODALEMA data
Methods. The data exhibits a shift in the ground position in the shower cores seen from the radio data and the particle
data. This shift is explained when using a simulation code taking into account or not the charge-excess mechanism.
Results. Evidence for the charge-excess in the atmospheric shower has been found via the electric field emitted by the
secondary particle and detected by the CODALEMA experiment.
Conclusions. The systematic shift between the shower core estimation using separately the particle array data and
the radio array data of the CODALEMA experiment is discussed. Using the simulation code SELFAS2 we show that
the consideration of the charge-excess contribution in the total radio emission of air showers generates a shift of the
apparent ground radio core along the east-west axis in good agreement with the observations. This radio core shift is
then characterized for the CODALEMA setup and compared with the data. The observation of this systematic shift
can be considered as an experimental signature of the charge excess contribution.
Ill-posedness formulation of the emission source localization in the radio- d...Ahmed Ammar Rebai PhD
To contact the authors : tarek.salhi@gmail.com and ahmed.rebai2@gmail.com
In the field of radio detection in astroparticle physics, many studies have shown the strong dependence of the solution of the radio-transient sources localization problem (the radio-shower time of arrival on antennas) such solutions are purely numerical artifacts. Based on a detailed analysis of some already published results of radio-detection experiments like : CODALEMA 3 in France, AERA in Argentina and TREND in China, we demonstrate the ill-posed character of this problem in the sens of Hadamard. Two approaches have been used as the existence of solutions degeneration and the bad conditioning of the mathematical formulation problem. A comparison between experimental results and simulations have been made, to highlight the mathematical studies. Many properties of the non-linear least square function are discussed such as the configuration of the set of solutions and the bias.
Towards the identification of the primary particle nature by the radiodetecti...Ahmed Ammar Rebai PhD
To contact the author use ahmed.rebai2@gmail.com
Radio signal from extensive air showers EAS studied by the CODALEMA experiment have been detected by means of the classic short fat antennas array working in a slave trigger mode by a particle scintillator array. It is shown that the radio shower wavefront is curved with respect to the plane wavefront hypothesis. Then a new fitting model (parabolic model) is proposed to fit the radio signal time delay distributions in an event-by-event basis. This model take into account this wavefront property and several shower geometry parameters such as: the existence of an apparent localised radio-emission source located at a distance Rc from the antenna array of and the
radio shower core on the ground. Comparison of the outputs from this model and other reconstruction models used in the same experiment show: 1)- That the radio shower core is shifted from the particle shower core in a statistic analysis approach. 2)- The capability of the radiodetection method to reconstruct the curvature radius
with a statistical error less than 50 g.cm−2 . Finally a preliminary study of the primary particle nature has been performed based on a comparison between data and Xmax distribution from Aires Monte-Carlo simulations for the same set of events.
Some possible interpretations from data of the CODALEMA experimentAhmed Ammar Rebai PhD
The purpose of the CODALEMA experiment, installed at the Nan\c{c}ay Radio Observatory (France), is to study the radio-detection of ultra-high energy cosmic rays in the energy range of 10^{16}-10^{18} eV. Distributed over an area of 0.25 km^2, the original device uses in coincidence an array of particle detectors and an array of short antennas, with a centralized acquisition. A new analysis of the observable in energy for radio is presented from this system, taking into account the geomagnetic effect. Since 2011, a new array of radio-detectors, consisting of 60 stand-alone and self-triggered stations, is being deployed over an area of 1.5 km^2 around the initial configuration. This new development leads to specific constraints to be discussed in term of recognition of cosmic rays and in term of analysis of wave-front.
Conseils pour Les Jeunes | Conseils de La Vie| Conseil de La JeunesseOscar Smith
Besoin des conseils pour les Jeunes ? Le document suivant est plein des conseils de la Vie ! C’est vraiment un document conseil de la jeunesse que tout jeune devrait consulter.
Voir version video:
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Aimeriez-vous donc…
-réussir quand on est jeune ?
-avoir de meilleurs conseils pour réussir jeune ?
- qu’on vous offre des conseils de la vie ?
Ce document est une ressource qui met en évidence deux obstacles qui empêchent les jeunes de mener une vie épanouie : l'inaction et le pessimisme.
1) Découvrez comment l'inaction, c'est-à-dire le fait de ne pas agir ou d'agir alors qu'on le devrait ou qu'on est censé le faire, est un obstacle à une vie épanouie ;
> Comment l'inaction affecte-t-elle l'avenir du jeune ? Que devraient plutôt faire les jeunes pour se racheter et récupérer ce qui leur appartient ? A découvrir dans le document ;
2) Le pessimisme, c'est douter de tout ! Les jeunes doutent que la génération plus âgée ne soit jamais orientée vers la bonne volonté. Les jeunes se sentent toujours mal à l'aise face à la ruse et la volonté politique de la génération plus âgée ! Cet état de doute extrême empêche les jeunes de découvrir les opportunités offertes par les politiques et les dispositifs en faveur de la jeunesse. Voulez-vous en savoir plus sur ces opportunités que la plupart des jeunes ne découvrent pas à cause de leur pessimisme ? Consultez cette ressource gratuite et profitez-en !
En rapport avec les " conseils pour les jeunes, " cette ressource peut aussi aider les internautes cherchant :
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➡Quels sont les bienfaits de la jeunesse ?
➡Quels sont les 3 qualités de la jeunesse ?
➡Comment gérer les problèmes des adolescents ?
➡les conseils de jeunes
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M2i Webinar - « Participation Financière Obligatoire » et CPF : une opportuni...M2i Formation
Suite à l'entrée en vigueur de la « Participation Financière Obligatoire » le 2 mai dernier, les règles du jeu ont changé !
Pour les entreprises, cette révolution du dispositif est l'occasion de revoir sa stratégie de formation pour co-construire avec ses salariés un plan de formation alliant performance de l'organisation et engagement des équipes.
Au cours de ce webinar de 20 minutes, co-animé avec la Caisse des Dépôts et Consignations, découvrez tous les détails actualisés sur les dotations et les exonérations, les meilleures pratiques, et comment maximiser les avantages pour les entreprises et leurs salariés.
Au programme :
- Principe et détails de la « Participation Financière Obligatoire » entrée en vigueur
- La dotation : une opportunité à saisir pour co-construire sa stratégie de formation
- Mise en pratique : comment doter ?
- Quelles incidences pour les titulaires ?
Webinar exclusif animé à distance en coanimation avec la CDC
Impact des Critères Environnementaux, Sociaux et de Gouvernance (ESG) sur les...mrelmejri
J'ai réalisé ce projet pour obtenir mon diplôme en licence en sciences de gestion, spécialité management, à l'ISCAE Manouba. Au cours de mon stage chez Attijari Bank, j'ai été particulièrement intéressé par l'impact des critères Environnementaux, Sociaux et de Gouvernance (ESG) sur les décisions d'investissement dans le secteur bancaire. Cette étude explore comment ces critères influencent les stratégies et les choix d'investissement des banques.
Mémoire de licence en finance comptabilité et audit
Sujet et Correction épreuve de mathématiques ESSEC ECE 2012
1. Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 1 of 12
2. Ahmed REBAI
(+33)786920277
Nantes, France
ahmed.rebai2@gmail.com
Maths I 2012 ESSEC
Abstract Dans ce document, on se propose de
pr´esenter le sujet de math´ematiques I 2012 de l’ESSEC
avec une correction d´etaill´ee. Comme le nouveau
programme l’exige, nous avons chang´e les questions
d’informatique en SCILAB en gardant le mˆeme esprit
du sujet original. Ce travail a pour objectif d’aider les
´etudiants en classes pr´eparatoires ECE et ECS afin de
bien pr´eparer leurs concours.
´Enonc´e
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la
pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des
copies. Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de
leurs calculs. L’utilisation de toute calculatrice est interdite.
Ce probl`eme comporte trois parties relativement ind´ependantes. Dans la premi`ere
partie on ´etudie les lois log-normales. On s’int´eresse dans la partie II `a une mod´elisation
du cours d’une action appel´ee mod`ele binomiale ou de Cox-Ross-Rubinstein et `a son
comportement asymptotique. Dans la troisi`eme partie, on ´etablit la formule de Black et
Scholes, pour le prix d’une option dans le mod`ele limite obtenu dans la partie II.
NOTATIONS ET D´EFINITIONS
• Les variables al´eatoires qui interviennent dans ce probl`eme sont toutes d´efinies sur
le mˆeme espace probabilis´e (Ω, A, P).
• On note Φ la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite.
• On note respectivement E(X) et V(X) l’esp´erance et la variance d’une variable
al´eatoire X, lorsque celles-ci existent.
Soit m un r´eel et σ un r´eel strictement positif. On dit qu’une variable al´eatoire X suit la
loi log-normale de param`etres (m,σ2) si X est `a valeurs strictement positives et si ln(X)
suit la loi normale de param`etres (m,σ2). On ´ecrit alors X → LN(m,σ2).
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 2 of 12
3. 1 PARTIE I - Quelques propri´et´es des lois log-normales
On note dans cette partie m un r´eel et σ un r´eel strictement positif. Soit X une variable
al´eatoire r´eelle suivant la loi log-normale de param`etres (m,σ2). On pourra dans la suite
utiliser la variable al´eatoire Y=ln(X).
1. Soit a et b deux r´eels, a ´etant diff´erent de 0. On rappelle que si U est une variable
al´eatoire qui suit une loi normale de param`etres (m,σ2), alors aU + b suit aussi une loi
normale. Quels en sont les param`etres?
2. Cas o`u m = 0. On suppose dans cette question 2 que X → LN(0, σ2).
(a) Densit´e.
Exprimer la fonction de r´epartition F de X en fonction de Φ. En d´eduire que X est
une variable al´eatoire `a densit´e et que la fonction d´efinie par
x →
1
xσ
√
2π
exp(−(ln(x))2
2σ2 ) si x > 0
0 si x ≤ 0
est une densit´e de probabilit´e de X.
(b) Esp´erance.
i. ´Etablir l’existence de E(X) et l’´egalit´e E(X) = 1
σ
√
2π
+∞
−∞ exp −1
2
y2
σ2 − 2y dy.
ii. En utilisant le changement de variable t = y
σ − σ, en d´eduire E(X) en fonction de
σ.
(c) Variance.
i. Soit α un r´eel non nul. Montrer que Xα suit une loi log-normale dont on pr´ecisera
les param`etres.
ii. En d´eduire que X admet une variance et que V(X)=eσ2
(eσ2
− 1)
3. On reprend le cas g´en´eral: X → LN(m,σ2).
(a) Soit µ un r´eel strictement positif.
Montrer que µX suit une loi log-normale de param`etres (m + ln(µ), σ2).
(b) Justifier l’existence de E(X), de V(X), et ´etablir:
E(X) = em+σ2
2 et V (X) = e2m+σ2
(eσ2
− 1)
2 PARTIE II - Le mod`ele binomial de
Cox-Ross-Rubinstein
Soit n un entier naturel non nul.
On souhaite mod´eliser l’´evolution du cours d’une action entre les dates 0 et t fix´e,
strictement positif. On suppose qu’initialement ce cours est S0,n = 1 et si l’on note Sk,n
la valeur al´eatoire de ce cours `a la date kt
n , k ∈ 1, ..., n, on la relation:
Sk,n = Sk−1,,n ∗ (1 + µ
n + v√
n
Yk), o`u
• µ est une constante r´eelle strictement positive li´ee au rendement moyen de l’action
sur une dur´ee ´egale `a t;
Ahmed REBAI • ESSEC 2012 ECE Maths I • 26 Juin 2016, Nantes page 3 of 12
4. • v est une constante r´eelle strictement positive appel´ee volatilit´e de l’action sur la
dur´ee t;
• (Yk)k∈N∗ est une suite de variables al´etoires ind´ependantes suivant toutes la loi
uniforme sur −1, 1 (autement dit, P(Yk = 1) = P(Yk = −1) = 1
2).
On suppose que n est assez grand pour que 1 + µ
n − v√
n
> 0.
On admet que S0,n, ..., Sn,n sont des variables al´eatoires discr`etes. On note Cn la
variable al´eatoire Sn,n, qui mod´elise le cours de l’action `a l’instant t.
4. Simulation de la variable al´eatoire Cn.
(a) Quellques sont les valeurs que peut prendre l’expression Scilab: 2 ∗ rand() − 1?
(b) Dans la d´eclaration de fonction qui suit, remplacer les ... par des expressions
Scilab pour que la fonction ainsi d´eclar´ee simule la variable al´eatoire Cn.
Algorithm 1 Algorithme Scilab
function C(n, mu, v)
tmp=1;
for k=... : ...
tmp=tmp*
C=...
end
endfunction
5. (a) Calculer l’esp´erance et la variance commune aux Yk.
(b) i. Montrer l’´egalit´e: Cn = n
k=1 1 + µ
n + v√
n
Yk
ii. En d´eduire que E(Cn) = 1 + µ
n
n
et V (Cn) = 1 + µ
n
2
+ v2
n
n
− 1 + µ
n
2n
.
(c) D´eterminer lim
x→+∞
E(Cn) et montrer que lim
x→+∞
V (Cn) = e2µ ev2
− 1 .
D´eterminer les param`etres de la loi log-normale ayant pour esp´erance la premi`ere
limite et pour variance la seconde.
6. (a) Expliciter un couple de r´eels (an, bn) tel que:
∀k ∈ J1, nK, ln 1 +
µ
n
+
v
√
n
Yk = an + bnYk. (1)
(b) En d´eduire que ln(Cn) = nan + bn
n
k=1 Yk.
(c) ´Etablir la convergence en loi, quand n tend vers +∞, de 1√
n
(Y1 + ... + Yn) vers la
loi normale centr´ee r´eduite. On ´enoncera pr´ecis´ement le th´eor`eme utilis´e.
7. (a) Rappeler le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de la fonction x → ln(1 + x) au
voisinage de 0.
(b) D´eterminer les d´eveloppements limit´es `a l’ordre 2 au voisinage de 0 des fonctions
x → ln(1 + vx + µx2) et
x → ln(1 − vx + µx2
)
.
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5. (c) Montrer que: nan = µ − v2
2 et (n)bn = v En d´eduite que bn est strictement
positif `a partir d’un certain rang.
On suppose dans la suite que cette condition est r´ealis´ee.
8. On note Fn la fonction de r´epartition de 1√
n
(Y1 + ... + Yn) et Gn la fonction de
r´epartition de ln(Cn).
Soit x un r´eel. On pose y =
x−µ+v2
2
v .
(a) Soit un r´eel strictement positif.
i. ´Etablir l’existence d’un r´eel η strictement positif tel que
Φ(y) −
2
≤ Φ(y − η) ≤ Φ(y + η) ≤ Φ(y) +
2
ii. Montrer qu’il existe un entier naturel n1 tel que, pour tout n ≥ n1:
y − η ≤
x − nan
√
nbn
≤ y + η
iii. Monter qu’il existe un entier naturel n2 tel que, pour n ≥ n2: Fn(y + η) ≤
Φ(y + η) + 2 et Fn(y − η) ≥ Φ(y − η) − 2.
iv. Montrer que Gn(x) = Fn
x−nan√
nbn
, et en d´eduire que pour n assez grand, on a:
Gn(x) − Φ
x − µ + v2
2
v
≤
(b) En conclure que la suite de variables al´eatoires (ln (Cn))n≥1 converge en loi vers
une variable al´eatoire suivant une loi normale dont on pr´ecisera les param`etres.
9. D´emontrer que (ln (Cn))n≥1 converge en loi vers une variable al´eatoire de loi log-
normale de param`etres µ − v2
2 , v2 .
3 PARTIE III - La formule de Black et Scholes
Soit t un r´eel strictement positif. ´A la date 0, un investisseur ach`ete sur un march´e
une option sur une action dont la date d’´ech´eance est t et le prix d’exercice K, un r´eel
strictement positif.
• Si `a la date t, le cours C de l’action est sup´erieur ou ´egal `a K, il peut acheter
l’action au prix K et la revendre au prix C;
• dans le cas contraire, son option n’a plus de valeur `a la date t.
Le but de cette partue est de donner une valeur raisonnable au prix d’achat de l’option,
que l’on note πK.
On fait les hypoth`eses suivantes:
• On choisit comme unit´e le cours de l’action `a la date 9 c’est-`a-dire qu’`a cet instant
le cours de l’action vaut 1.
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6. • Le cours de l’action `a la date t est une variable al´eatoire C qui suit une loi log-
normale de param`etres (m, v2)
• On suppose qu’il existe sur le march´e un actif non risqu´e dont le taux de rentabilit´e
entre les dates 0 et t vaut er − 1, o`u r est un r´eel strictement positif.
• On d´efinit la fonction f sur R par, pour tout x r´eel, f(x) = max(0, x).
10. (a) Justifier que la valeur de l’option `a la date t est f(C − K).
(b) si au lieu d’acheter l’option, l’investisseur avait plac´e `a la date 0 son prix d’achat
πK sur l’actif non risqu´e, quel serait la valeur de son placement `a la date t?
(c) En d´eduire qu’il convient de poser πK = e−rE((f(C − K)) si l’on veut que ces
deux strat´egies aient la mˆeme rentabilit´e moyenne.
Dans les questions suivantes, c’est cette valeur de πK que l’on utilise.
11. (a) Montrer que f est continue sur R.
(b) ´Etablir l’existence de E((f(C − K)) et l’´egalit´e
E((f(C − K)) =
1
v
√
2π
+∞
ln(K)
(ex
− K)exp −
(x − m)2
2v2
dx.
12. (a) Montrer l’´egalit´e:
πK = exp m − r +
v2
2
Φ
v2 + m − ln(K)
v
− Ke−r
Φ
m − ln(K)
v
.
(b) On suppose que m = r − v2
2 , ce qui signifie que le rendement moyen de l’action et
de l’actif non risqu´e sont identiques.
´Etablir la formule de Black-Scholes:
πK = Φ
r − ln(K)
v
+
v
2
− Ke−r
Φ
r − ln(K)
v
−
v
2
13. Dans la pratique, le prix de l’option est fix´e par le march´e et vaut x, o`u x est un
r´eel strictement positif. On pose θ = r − ln(K), de sorte que le prix d’´ech´eance vaut
K = exp(r − θ).
On appelle alors volatilit´e implicite de l’action, tout r´eel positif v, s’il en existe, tel
que:
x = Φ
θ
v
+
v
2
− e−θ
Φ
θ
v
−
v
2
On d´efinit alors la fonction Ψ : v → Φ θ
v + v
2 − e−θΦ θ
v − v
2 sur ]0, +∞[.
(a) Montrer que Ψ est de classe C1 sur ]0, +∞[ et que pour v > 0,
Ψ (v) =
1
√
2π
exp −
1
2
θ
v
+
v
2
2
Dresser le tableau de variations de Ψ en y faisant figurer les limites en 0 et en +∞.
On distinguera les cas θ > 0 et θ ≤ 0.
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7. (b) D´eterminer pour quelles valeurs de x il existe une volatilit´e implicite et prouver
alors qu’elle est unique. En conclure finalement que l’on peut d´efinir la volatilit´e implicite
si et seulement si:
f 1 − e−θ
< x < 1.
Fin du sujet
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8. Quelques remarques avant de
commencer
The pricing problem (´Evaluation du prix d’une action): in financial markets, stock
valuation is the method of calculating theoretical values of companies and their stocks.
The main use of these methods is to predict future market prices, or more generally,
potential market prices, and thus to profit from the price movement.
Hypoth`eses du mod`ele de Black et Scholes
• Le march´e financier fonctionne en continu en absence de coupures induites par
des ´ev´enements violents comme une crise financi`ere, un big crunch ou une attaque
terroriste.
• L’absence d’opportunit´es d’arbitrage
• Le cours de l’action suit un processus de Wiener g´eom´etrique dS
S = µdt + σdz
• L’absence de restriction sur les ventes `a d´ecouvert. Le produit des ventes est
imm´ediatement et int´egralement disponible.
• L’absence de frais de transactions ou d’impˆots. Tous les actifs financiers sont
parfaitement divisibles.
• Absence de dividendes sur le sous-jacent pendant la dur´ee de vie de l’actif d´eriv´e.
• Le taux sans risque, r, est constant et fixe quelle que soit la maturit´e du produit.
Soit une action cot´ee initialement 40 e, son esp´erance de rentabiliti´e annuelle (ou le
rendement moyen) est de 16% et sa volatilit´e σ = 20% par an. Calculer son prix dans 6
mois.
• S0 = 40 e
• µ = 16%
• σ = 20%
• La dur´ee: T = 6 mois = 0.5 an
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9. Correction
4 PARTIE I - Quelques propri´et´es des lois log-normales
-1-
'
&
$
%
Comment utiliser la lin´earit´e de l’esp´erance? si X = aY +b, o`u Y est une variable
al´eatoire `a densit´e admettant une esp´erance, alors X admet une esp´erance et E(X) est
donn´ee par: E(X) = aE(Y ) + b.
Comment utiliser la non-lin´earit´e de la variance? si X = aY + b, o`u Y est une
variable al´eatoire `a densit´e admettant une variance, alors X admet une variance et V (X)
est donn´ee par: V (X) = a2V (Y )
Soit U → N(m, σ2) alors E(U) = m et V (U) = a2σ2 alors
E(aU + b) = aE(U) = am + b et V (aU + b) = a2
V (U) = a2
σ2
Finalement, U → N(m, σ2) alors aU + b → N(am + b, a2σ2)
-2-a-
'
&
$
%
Comment d´eterminer la fonction de r´epartition FX d’une variable al´eatoire
X `a densit´e connaissant sa densit´e fX de X? Il suffit de prendre la densit´e fX et
de l’int´egrer entre −∞ et x (un seuil donn´e) i.e. ∀x ∈ R, FX(x) =
x
−∞ fX(u)du
Comment d´eterminer la densit´e d’une variable al´eatoire connaissant sa fonc-
tion de r´epartition FX? Il suffit de d´eriver FX.
Comment exprimer la fonction de r´epartition FX en fonction de FY avec Y
une variable al´eatoire donn´ee en fonction de X? Dans cette question nous
avons X et ln(X) L’id´ee est de distinguer deux cas; 1er cas: on prend un seuil n´egatif
c-`a-d x < 0 puis on ´ecrit X < x et on raisonne..., 2e cas: on prend un seuil posi-
tif c-`a-d x > 0 puis on ´ecrit X > x et on essaye d’effectuer sur cette in´egalit´e des
op´erations math´ematiques jusqu’`a l’obtention d’une in´egalit´e portant sur ln(X) de type
ln(X) < ...
Comment montrer q’une variable al´eatoire X est `a densit´e connaissant sa
fonction de r´epartition FX? Montrer que la fonction de r´epartition FX de X est
continue sur R et est de classe C1 sur R d’un ensemble fini de points.
On a X → LN(0, σ2) alors ln(X) → N(0, σ2)
Soit x ∈ R
• 1er cas: si x ≤ 0 alors F(x) = P(X ≤ x) = 0 (car X est une variable al´eatoire
strictement positif).
• 2e cas: si x > 0 alors F(x) = P(X ≤ x) = P(ln(X) ≤ ln(x)) = P(ln(X)−0
σ ≤
ln(x)−0
σ ) = Φ(ln(x)
σ )
donc la fonction de r´epartition F de X est
F : x →
0 si x ≤ 0
Φ(ln(x)
σ ) si x > 0
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10. La fonction F est de classe C1 sur R priv´e de 0.
De plus, lim
x→0
F(x) = 0 = F(0). Ainsi F est continue en 0, donc sur R. On en d´eduit
que X est une variable al´eatoire `a densit´e.
La fonction densit´e de X est donn´ee par:
• 1er cas: si x ≤ 0 alors F (x) = 0
• 2e cas: si x > 0 alors F (x) = (Φ(ln(x)
σ )) = (ln(x)
σ ) Φ (ln(x)
σ )) = 1
xσ
1√
2π
exp −(ln(x))2
2σ2
11. On rappelle que la d´eriv´ee de la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite
est donn´ee par: Φ (t) = 1√
2π
e−t2
2
Finalement,
x →
1
xσ
√
2π
exp(−(ln(x))2
2σ2 ) si x 0
0 si x ≤ 0
-2-b- Esp´erance
-2-b-i-'
$
%
Comment montrer qu’une variable al´eatoire X `a densit´e admet une esp´erance
E(X) et la calculer? M´ethode: Soit fX une densit´e de X, donc X admet une esp´erance
si et seulement si
+∞
−∞ ufX(u)du converge. Maintenant pour calculer cette E(X) il suffit
de calculer la valeur de cette int´egrale.
Comment montrer la convergence d’une int´egrale impropre
β
α f(u)du si la
fonction f est continue sur ]α, β[ ? M´ethode: On commence toujours par montrer
que la fonction f est continue sur l’intervalle ]α, β[. Ensuite, on remarque que l’int´egrale
est impropre au niveau de α et de β donc on scinde l’intervall ]α, β[ en deux intervalles.
On introduit donc γ ∈]α, β[ et on essaye de montrer la convergence de deux int´egrales
γ
α f(u)du et
β
γ f(u)du. Dans cette question, on prendra α = 0, β = +∞ et γ = 1
afin d’utiliser une comparaison avec une int´egrale de Riemann
+∞
1
1
us du qui converge
si s 1.
E(X) existe ⇐⇒
+∞
−∞ x.f(x)dx converge
⇐⇒
+∞
0 x 1
xσ
√
2π
e−
(ln(x))2
2σ2 dx converge
⇐⇒ 1
σ
√
2π
+∞
0 e−
(ln(x))2
2σ2 dx converge
Montrons alors la convergence de cette derni`ere int´egrale: x → e−
(ln(x))2
2σ2 est continue
sur ]0, +∞[ par composition. L’int´egrale est impropre en 0 et en +∞.
• En 0: on a lim
x→0+
e−
(ln(x))2
2σ2 = 0 alors la fonction x → e−
(ln(x))2
2σ2 est prolongeable par
continuit´e en 0 donc elle est int´egrable en 0.
• En +∞: on remarque que
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12. lim
x→+∞
x2.exp −ln(x)2
2σ2 = lim
x→+∞
x2
exp −
ln(x)2
2σ2
= lim
x→+∞
exp 2ln(x) − ln(x)2
2σ2
= lim
x→+∞
exp (ln(x))2. 2
ln(x) − 1
2σ2
= 0
alors e−
(ln(x))2
2σ2 =
+∞
o 1
x2 (cette fonction est int´egrable en +∞ selon le crit`ere de
Riemann α = 2 1) d’apr`es le crit`ere de comparaison de fonctions positives, x →
e−
(ln(x))2
2σ2 est int´egrable en +∞
On en conclut que l’int´egrale converge et donc X poss`ede une esp´erance.'
$
%
Astuce: Pour conclure que l’int´egrale convergen en +∞, nous avons compar´e avec une
int´egrale de Riemann. L’id´ee consiste `a chercher un s ∈]1, +∞[ tel que f(x) =
+∞
o 1
xs .
Nous avons calcul´e donc lim
x→+∞
x2.f(x) qui vaut 0. Une astuce tr`es classique, surtout si
on veut montrer l’existence de l’esp´erance ou de la variance, bref des diff´erents moments
i.e E(Xr) avec r ≥ 1 avec X une variable al´eatoire `a densit´e suivalt la loi exponentielle
(voir par exemple EML ECE 2015 exercice 1 question 2), la loi normale, la loi Tn =
max(X1, ..., Xn) avec les diff´erents Xi suivant toutes la loi exponentielle de param`etre
λ (voir EML ECE 2015 exercice 1 question 5-a. Je r´ep`ete! d`es qu’on fait face `a une
fonction de la forme e−λx avec λ 0 ou e−βx2
avec β 0 ou P(x).e(−x) avec P(x) un
polynome, pensez `a cette technique.
Afin de montrer l’´egalit´e, on op´ere un changement de variable sur l’int´egrale: le seul
changement qui transforme 0 en −∞ et garde +∞ est y = ln(x)
• Choix du changement: y = ln(x) qui est de classe C1 sur ]0, +∞[. y = ln(x) ⇐⇒
x = ey
• Calcul de dx: y = ln(x) donc y (x) = dy
dx = 1
x alors dx = xdy = eydy
• Changement des bornes: si x → 0+ alors y = ln(x) → −∞, d’autre part si
x → +∞ alors y = ln(x) → +∞
E(X) = 1
σ
√
2π
+∞
0 e−
ln(x)2
2σ2 dx
= 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e− y2
2σ2 eydy
= 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e− y2
2σ2 +y
dy
= 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e
−1
2
y2
σ2 −2y
dy
-2-b-ii-
Soit le changement de variable t = y
σ − σ
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13. • Choix du changement: la fonction t = y
σ − σ est de classe C1 sur R.
• Calcul de dt: t = y
σ − σ donc t (y) = dt
dy = 1
σ alors dt = dy
σ
• Changement des bornes: si y → +∞ alors t → +∞ car σ 0, d’autre part si
y → −∞ alors t → −∞
E(X) = 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e
−1
2
y2
σ2 −2y
dy
= 1
σ
√
2π
+∞
−∞ e−1
2
(t2−σ2)
σdt
= eσ2/2
√
2π
+∞
−∞ e−t2/2dt
= e
σ2
2 (puisque 1√
2π
+∞
−∞ e−t2/2dt = 1)
-2-c- Variance
-2-c-i-
F(x) = P(Xα ≤ x); x ≥ 0
= P(X ≤ x1/α); x ≥ 0
= P(ln(X) ≤ 1
α ln(x)), x ≥ 0
= P(ln(X)
σ ≤ ln(x)
α.σ ), x ≥ 0
= Φ(ln(x)
α.σ ), x ≥ 0
Xα suit une loi log normale si ln(Xα) suit une loi normale.
F(x) = P(Xα ≤ x); x ≥ 0
= P(X ≤ x1/α); x ≥ 0
= P(ln(X) ≤ 1
α ln(x)), x ≥ 0
= P(ln(X)
σ ≤ ln(x)
α.σ ), x ≥ 0
= Φ(ln(x)
α.σ ), x ≥ 0
-2-c-ii- X2 suit une loi log-normale implique E(X2) existe et V (X) = E(X2)−(E(X))2
V (X) = E(X2) − (E(X))2
= e
4σ2
2 − (e
σ2
2 )2
= e2σ2
− eσ2
V (X) = eσ2
(eσ2
− 1)
-3-a-
5 PARTIE II - Le mod`ele binomial de
Cox-Ross-Rubinstein
6 PARTIE III - La formule de Black et Scholes
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