Ce document présente un projet de recherche sur l'approximation de la cut-norm à l'aide de l'inégalité de Grothendieck. Il aborde des concepts mathématiques avancés tels que les fonctions convexes, le théorème de Krein-Milman et propose plusieurs approches algorithmiques pour résoudre le problème d'approximation. Les résultats incluent des améliorations des estimations de la constante de Grothendieck et une discussion sur leur importance dans la théorie des matrices et des graphes.

1. Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee
D´epartement de Math´ematiques
Ann´ee Universitaire 2018-2019
Projet TER
Sous la direction de Monsieur Olivier Gu´edon
Titre: Approximation de la cut-norm par
l’in´egalit´e de Grothendieck
Imad Berkani, Obeye Seck

2. 2

3. Table des mati`eres
0.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Fonctions convexes 7
1.1 D´efinitions et premi`ere propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Interpretation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Fonctions convexes d´erivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Inegalit´e des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Inegalit´e de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Th´eor`eme de Krein-Milman 13
2.1 Les points extr´emaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 D´efinition et Lemmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Existence d’un point extr´emal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Krein-Milman et et ses cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Approximation de la (Cut-Norm) avec l’in´egalit´e de Grothen-
diek 19
3.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Probl`eme de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Construction de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 R´esum´e de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 L’approche de R.E.Rietz pour la preuve de l’in´egalit´e de Gro-
thendieck 25
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Preuve de l’in´egalit´e de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3 Nouvelle estimation de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3

4. 4 TABLE DES MATI`ERES
0.1 Introduction
En 1953, A. Grothendieck dans son papier ”R´esum´e de la th´eorie m´etrique
des produits tensoriels topologiques” [3] , a d´emontr´e l’in´egalit´e suivante :Soit
H un espace de Hilbert quelconque et A = (aij) ∈ Rn×m
une matrice d’ordre
n × m, n, m ≥ 1, il existe C > 0 tel que pour tout x(i)
, y(j)
vecteurs unitaires de
H on a :
max
x(i),y(j)∈H
i,j
aij x(i)
, y(j)
≤ C max
n
i=1
n
j=1
aijxiyj, xi, yj ∈ {−1, 1}
On note C la constante de Grothendieck,Dans [3], la constante C est encadr´e
de la mani`ere suivante : π
2 ≤ C ≤ sinhπ
2 ≈ 2.301, dans le cas d’un espace de
Hilbert r´eel. Dans le cas complexe on a 1.273 ≈ π
4 ≤ C. L’importance de cette
in´egalit´e n’a ´et´e reconnue que plusieurs ann´ees plus tard, avec l’apparition du
travail de J. Lindenstrauss et A. Pelczynski [6], qui utilis´erent cette in´egalit´e
dans le cadre de la th´eorie des op´erateurs. En 1974, R. E. Rietz [8] a montr´e
que dans le cas r´eel C ≤ 2.261 . En 1979, J.-L. Krivine [7] a montr´e que dans
le cas r´eel, C ≤ 1.78221 et U. Haagerup [4] a montr´e en 1987 que dans le cas
complexe on C ≤ 1.40491.
Cependant la valeur exacte de la constance de Grothendiek est toujours une
question ouverte.
Notons que cette in´egalit´e a fait son apparition en physique quantique, dans
le cadre li´e aux in´egalit´es de Bell [5].
En 1997, A. Frieze et R. Kannan [2] ont introduit la notion de ”Cut-norm”,
d´efini comme suit :
A = (aij)i∈R,j∈S, on d´efinit la Cut-Norm par :
|| A ||C= max
I⊂R
J⊂S
|
i∈I
j∈J
aij |= max
xi,yj ∈{0,1}
|
n
i,j=1
aijxiyj |
La ”Cut- norm” joue un rˆole majeur dans la conception d’algorithmes effi-
caces pour l’´etude des graphes denses et des probl`emes de matrices.
Se pose alors la question d’approximer ”la Cut-norm” pour une matrice
r´eelle. Ce probl`eme ´etudi´e par N. Alon et A. Naor dans leur papier [1], faisant
l’objet de note ”TER”.
Les auteurs proposent dans leur papier[1], trois approches diff´erentes bas´ees
sur l’in´egalit´e de Grothendieck, en mettant l’accent sur l’aspect algorithmique.
La premi`ere m´ethode est une m´ethode deterministe qui combine l’in´egalit´e de
Grothendieck avec quelques faits sur les variables al´eatoires ind´ependantes `a
quatre niveaux. La la deuxi`eme m´ethode est bas´ee sur l’approche de R. E. Rietz
[8] pour la preuve de l’in´egalit´e de Grothendieck, qui ram`ene la constante de
Grothendieck `a π
2 dans le cas des matrices d´efinies positives.
La troisi`eme technique, qui fournit la meilleure approximation, est bas´ee sur
la m´ethode de Krivine pour la r´esolution de l’in´egalit´e de Grothendieck.

5. 0.1. INTRODUCTION 5
Les auteurs notent que le probl`eme d’approximation de la ”Cut-norm” est
un probl`eme difficile, et que l’existence d’un ”bon” algorithme en temps poly-
nomial, c’est `a dire calculable en “temps raisonnable”, impliquerait la solution
du probl`eme ”P=NP”
Apr`es un premier chapitre sur les fonctions convexes,et un deuxi`eme sur le
th´eor`eme de Krein- Milman, nous aborderons dans un troisi`eme chapitre les di-
verses approches algorithmiques propos´ees par N. Alon et A. Naor en utulisant
l’in´egalit´e de Grothendiek,et Finalement dans le quatri`eme chapitre nous don-
nerons une am´elioration de la constante de Grothendiek ´etablie par R.E.Rietz.

6. 6 TABLE DES MATI`ERES
Figure 1 – Alexandre Grothendieck, (1928-2014)

7. Chapitre 1
Fonctions convexes
1.1 D´efinitions et premi`ere propri´et´es
1.1.1 D´efinition
Soient I un intervalle de R et f : I → R une application. on dit que f est
convexe si et seulement si pour tous points a, b ∈ I et pour tout r´eel t ∈ [0, 1]
on a : f(ta + (1 − t)b) ≤ tf(a) + (1 − t)f(b)
1.1.2 Exemple
Montrons que x → x2
est convexe sur R
∀(a, b) ∈ I , ∀t ∈ [0, 1] :
f(ta + (1 − t)b) = (ta + (1 − t)b)2
[ta+(1−t)b]2
≤ ta2
+(1−t)b2
⇐⇒ t2
a2
+2t(1−t)ab+(1−t)2
b2
≤ ta2
+(1−t)b2
⇐⇒ t(1 − t)[−a2
+ 2ab − b2
] ≤ 0
⇐⇒ −t(1 − t)(a − b)2
≤ 0 (ce qui est vrai)
Proposition 1 Si une fonction f est convexe sur un intervalle ouvert I , alors
elle est d´erivable `a gauche et `a droite en tout point de I , et donc continue sur
I .
D´emonstration :
Si a ∈ I , le taux d’acrroissement en a , τa(x) est une fonction croissante en x .
Il admet donc en a une limite `a gauche et une limite `a droite finies . Ce r´esultat
n’est pas valable si l’intervalle n’est pas ouvert . Par exemple , la fonction qui
vaut 0 sur [0, 1[ , et 1 au point 1 est convexe sur [0, 1] , mais elle n’est pas continue
en 1 . Le fait qu’une d´eriv´ee `a gauche et `a droite existe , n’implique pas que
la fonction soit d´erivable . Par exemple , la fonction valeur absolue x → |x|
est convexe sur R mais elle n’est pas d´erivable en 0 . Lorsque la fonction est
d´erivable en 0 , sa d´eriv´ee est croissante .
7

8. 8 CHAPITRE 1. FONCTIONS CONVEXES
1.2 Interpretation graphique
soient f : I → R,alors f est convexe se et selement si tout arc de la courbe (C)
est sous la corde correspondante
Preuve :
montrons que : tout arc de la courbe (C) est sous la corde correspondante ⇐⇒
f(ta + (1 − t)b) ≤ (ta + (1 − t)b)2
soit a< b avec (a, b) ∈ I2
notons ga,b la fonction affine qui co¨ıncide avec f en a
et b , c’est `a dire : ga,b(a) = f(a) et ga,b(b) = f(b)
or d’apr´es le graphe on a : f(x) ≤ ga,b(x) de plus [a, b] est l’ensemble des
ta + (1 − t)b avec t ∈ [0, 1] donc : f(ta + (1 − t)b) ≤ ga,b(ta + (1 − t)b)
donc : f(ta + (1 − t)b) ≤ tga,b(a) + (1 − t)ga,b(b)
donc : f(ta + (1 − t)b) ≤ tf(a) + (1 − t)f(b)
1.3 Fonctions convexes d´erivables
Th´eor`eme 1 Soit f : R → R d´erivable alors f est convexe si et seulement si
f est croissante
Corollaire 1 Soit f : R → R 2 fois d´erivable alors f est convexe si et seulement
si f est positive
Preuve :
Soit f : R → R d´erivable,supposons que f est croissante et soient a, b ∈ I
On pose : ga,b(x) la fonction affine qui co¨ıncide avec f en a et b
Donc : ga,b(x) = αx + β, avec : ga,b(a) = f(a), ga,b(b) = f(b)

9. 1.3. FONCTIONS CONVEXES D´ERIVABLES 9
On trouve : ga,b(a) = f(a) + f(a)−f(b)
b−a (x − a)
Pour x ∈ [a, b], on pose : h(x) = f(x) − ga,b(x)
h est d´erivale sur [a, b] et ∀x ∈ [a, b] : h = f (x) − f(a)−f(b)
b−a
Donc : ∀x ∈ [a, b], h (x) = f (x) − f (c) et comme f est suppos´e croissante on
trouve d’apr`es le tableau de variation de h,
∀x ∈ [a, b], h(x) ≤ 0
Donc : ∀x ∈ [a, b], avec a < b on a : f(x) ≤ ga,b(x)
donc : d’apr`es 2 f est convexe
D´efinition 1 On dit que g : I → R est concave lorsque −g est convexe .
Exemples :
1)f(x) = x2
, I = R
on a f est continue et 2 fois d´erivable sur R,et f (x) = 2 > 0,donc f est
convexe
2)f(x) = exp x, I = R
on a f est continue et 2 fois d´erivable sur R,et f (x) = exp x > 0, donc f
est convexe
3)f(x) = ln x, I = R∗
+
on a f est continue et 2 fois d´erivable sur R,et f (x) = −1
x2 < 0, donc f est
concave
4)f(x) =
√
x, I = R∗
+
on a f est continue et 2 fois d´erivable sur R,et f (x) = −1
4 x− 3
2 < 0, donc f
est concave
1.3.1 Remarque
Les tangentes d’une fonction convexe et d´erivable sont au-dessous de sa
courbe
Preuve :
Montrons que : ∀x0 ∈ I, f(x) ≥ f(x0) + f (x0)(x − x0)
soit : f : I → R convexe et d´erivable et x0 ∈ I
on pose : g(x) = f(x) − f(x0) − f (x0)(x − x0)
donc : ∀x ∈ Ig (x) = f (x) − f (x0)
or f est croissante sur I et d’apr`es le tableau de variation de g, ∀x ∈ I, g(x) ≥ 0
donc : ∀x ∈ I, f(x) ≥ f(x0) + f (x0)(x − x0)
1.3.2 Inegalit´e des pentes
si f : I → R est convexe alors :
f(b)−f(a)
b−a ≤ f(c)−f(a)
c−a ≤ f(c)−f(b)
c−b
Preuve :
on a : ∀x ∈ [a, b], f(x) ≤ f(a) + x−a
b−a (f(b) − f(a))
pour x = c on trouve : f(b)−f(a)
b−a ≤ f(c)−f(a)
c−a

10. 10 CHAPITRE 1. FONCTIONS CONVEXES
D’autre part : f(c) − c−b
c−a (f(c) − f(a)) ≥ f(b)
donc : f(c)−f(a)
c−a ≤ f(c)−f(b)
c−b
1.4 Inegalit´e de Jensen
Proposition 2 f est convexe si ∀n ≥ 1, pour tout x1, . . . , xn ∈ I pour tout
r´eels λ1, . . . , λn, tels que
n
i=1 λi = 1, alors :
f
n
i=1
λixi ≤
n
i=1
λif(xi)
Preuve :
Pour tout entier naturel n, on pose pn la propri`et´e :
f
n
i=1
λixi ≤
n
i=1
λif(xi)
Initialisation
au rang n = 1,f (
n
i=1 λixi) = f(x) ≤ f(x) donc p1 est verifi´e
au rang n=2 , on pose a+b=1 et la propriet´e est verifi´e par convexit´e
supposons que : pn est vrai au rang n et montrons qu’elle est vrai au rang (n+1)
f
n+1
i=1
λixi = f
n
i=1
λixi + λn+1xn+1
on pose : A =
n
i=1 λi = 0
B = λn+1 = 0 car si B = 0 on revient a l’hypoth`ese de recurrence
on pose
Z =
n
i=1 λixi
A
∈ Df
Alors, on a que :
f(AZ + Bxn+1) ≤ Af(Z) + Bf(xn+1)
donc :
f(
n+1
i=0
λixi) ≤ Af(
n
i=0
λi
A
xi) + λn+1f(xn+1)
car A + B =
n
i=0 λi + λn+1 = 1
En appliquant l’hypoth`ese de recurrence on trouve :
f(
n+1
i=0
λixi) ≤ Af(
n
i=0
λi
A
xi) + λn+1f(xn+1)
donc :
f(
n+1
i=0
λixi) ≤ A
n
i=0
λi
A
f(xi) + λn+1f(xn+1 ) ≤
n
i=0
λif(xi)

11. 1.4. INEGALIT´E DE JENSEN 11
Th´eor`eme 2 Soient (Ω, A, µ) un espace mesur´e tel que µ(Ω) = 1 et g une fonc-
tion µ- int´egrable `a valeurs dans un intervalle I et f une fonction convexe de I
vers R alors :
f( Ω
gdµ) ≤ Ω
f ◦ gdµ
Preuve :
Notons m l’integralle de g alors m ∈ I, si m est une extremit´ede I , la fonction
g est constante presque partout d’ou le resultat.
si m est `a l’interieur de I, donc : il existe une minorante affine qui co¨ıncide avec
f au point m,tel que :
∀x ∈ I, f(x) ≥ αx + β et f(m) = αm + β
composant par g on trouve quef ◦ g est bien d´efinie
Ω
f ◦ gdµ ≥ Ω
αg + βdµ = αm + βµ(Ω) = αm + β = f(m)
Th´eor`eme 3 Soient p et q deux nombres r´eels strictement positifs v´erifiant
1
p + 1
q = 1, ai et bi deux familles de nombres r´eels strictement positifs alors :
n
i=1 aibi ≤ (
n
i=1 ap
i )
1
p (
n
i=1 bq
i )
1
q
Preuve :
∀U > 0, ∀V > 0, U
1
p V
1
q ≤ U
p + V
q
par concavit´e du log , log( Up
p + V q
q ) ≥ log(Up
)
p + log(V q
)
q = log(UV )
on pose : U=
ap
i
n
i=1 ap
i
et V=
bq
i
n
i=1 bq
i
donc :(
ap
i
n
i=1 ap
i
)
1
p ≤ 1
p (
ap
i
n
i=1 ap
i
) + 1
q (
aq
i
n
i=1 bq
i
)
En ajoutant ces n inegalit´es on obtient :
n
i=1 aibi
( n
i=1 ap
i )
1
p ( n
i=1 bq
i )
1
q
≤ 1
p
ap
i
n
i=1 ap
i
+ 1
q
bq
i
n
i=1 bq
i
= 1
p + 1
q = 1
donc : (
n
i=1 aibi) ≤ (
n
i=0 ap
i )
1
p (
n
i=0 bq
i )
1
q
Th´eor`eme 4 Soient p un nombre r´eel strictement positif, ai et bi deux familles
de nombres r´eels strictement positifs alors
n
i=0
(ai + bi)p
1
p
≤
n
i=0
ap
i
1
p n
i=0
bq
i
1
q
Preuve :
on remarque que : (ai + bi)p
= (ai + bi)p−1
ai + (ai + bi)p−1
bi
donc :
n
i=0(ai + bi)p
=
n
i=0(ai + bi)p−1
ai +
n
i=0(ai + bi)p−1
bi
D’apr`es H¨older :
n
i=0(ai+bi)p
≤ (
n
i=0(ai+bi)(p−1)q
)
1
q (
n
i=0 ap
i )
1
p +
n
i=0 bq
i )
1
q )
puisque :1
q + 1
q = 1, (p − 1)q = p
( n
i=0(ai+bi)p
)1/p+1/q
( n
i=0(ai+bi)p)1/q ≤ (
n
i=0 ap
i )
1
p + (
n
i=0 bq
i )
1
q

12. 12 CHAPITRE 1. FONCTIONS CONVEXES
Finalement :
(
n
i=0
(ai + bi)p
)
1
p ≤ (
n
i=0
ap
i )
1
p (
n
i=0
bq
i )
1
q

13. Chapitre 2
Th´eor`eme de Krein-Milman
On se place dans un espace vectoriel topologique localement convexe not´e E
2.1 Les points extr´emaux
2.1.1 D´efinition et Lemmes
D´efinition 2 Soit K un sous-ensemble convexe de E, on dit que F ⊂ K est
une face de K si F est convexe et si :(1 − t)x + ty ∈ F =⇒ (x, y) ∈ F pout
tout (x, y) ∈ F pour tout t ∈ ]0, 1[
D´efinition 3 On dit que x ∈ K est un point extremal de K si pour tout {x}
est une face de K.
Lemme 1 Soit K un convexe, et F une face de K, si F est une face de F,
alors F est une face de K.
D´emonstration :
on a : F est une face de K donc : ∀(x, y) ∈ F, (1 − t)x + ty ∈ F =⇒ (x, y) ∈ F
et on a :F est une face de F donc : ∀(x, y) ∈ F , (1−t)x+ty ∈ F =⇒ (x, y) ∈
F
or F ⊂ F et F ⊂ K et F est un convexe de F et F est un convexe de K
donc :F est un convexe de K , donc :∀(x, y) ∈ F , (1 − t)x + ty ∈ F =⇒
(x, y) ∈ F
pour F ⊂ K on a : F est une face de K.
Lemme 2 soit K un convexe compact non vide alors x est un point extremal
de K si et seulement si K {x} est convexe
D´emonstration :
soit x un point extremal de K,donc :{x} est une face de K,soient (a, b) ∈ K−{x}
et λ ∈ ]0, 1[
donc :λa + (1 − λ)b ∈ K − {x}
13

14. 14 CHAPITRE 2. TH´EOR`EME DE KREIN-MILMAN
si : λa + (1 − λ)b = x donc :a = b = x (absurde)
donc : K − {x} est convexe.
on suppose que : K − {x} est convexe, montrons que :{x} est une face de K
soit : (a, b) ∈ K, λ ∈]0, 1[, λa + (1 − λ)b = x
si a = x et b = x =⇒ λa + (1 − λ)b ∈ K − {x} (car K-{x} est convexe)
donc : a = x ou b = x
si : a=x donc : λx + (1 − λ)b = x donc :b=x
de mˆeme si : b=x
2.2 Application
Proposition 3 Les points extrˆemaux de Bn
∞ = {x ∈ Rn
, sup | xi |≤ 1} est
l’ensemble {| xi |= 1, ∀i ∈ {1, ...; n}}
Preuve :
soit : | xi |= 1 ∀i ∈ {1, ...; n}
soit : (a, b) ∈ Bn
∞, ta + (1 − t)b = x, avec t ∈]0, 1[
donc : tai + (1 − t)bi = xi ∀i ∈ {1, ...; n}
si xi > 0 alors xi = 1 donc : tai + (1 − t)bi = 1
si : ai < 1 donc : tai < t donc : tai + (1 − t)bi < 1(absurde)
donc : ai = bi = 1 = xi
si : xi < 0 donc : xi = −1 donc : t(−ai) + (1 − t)(−bi) = 1
donc :ai = bi = −1 donc : ai = bi = −1 = xi donc :{| xi |= 1 ∀i ∈ {1, ..., n}}
sont des points extremaux de Bn
∞
si :| xi |< 1 , il existe t ∈]0, 1[ tel que : [x1 − t, x1 + t] ⊂] − 1, 1[
on pose : a = (x1 −t, x2, .., xn) et b = (x1 +t, x2, ..., xn),on trouve : x = 1
2 a+ 1
2 b
donc : x = a et x = b
Bn
1 = {x ∈ Rn
,
n
i=1 | xi |≤ 1}
Proposition 4 Les points extremaux de Bn
1 = {x ∈ Rn
,
n
i=1 | xi |≤ 1} sont
les x = (x1, ...xn) ∈ Rn
tel que ∃!xi avec | xi |= 1 et ∀i = j | xj |= 0
Preuve :
soit : (a, b) ∈ Bn
1 avec : ta + (1 − t)b = x donc : tai + (1 − t)bi = ±1 donc :
ai = bi = ±−1 = xi Or :
n
i=1 | ai |≤ 1 et
n
i=1 | bi |≤ 1 donc : ai = bj = 0 = xj
de meme si : | xi |< 1 alors : x = a et x = b
Proposition 5 Les points extremaux de Bn
2 = {x ∈ Rn
, (
n
i=1(| xi |)2
)
1
2 ≤ 1}
sont les x ∈ Rn
tel que :
n
i=1(| xi |)2
)
1
2 = 1
Preuve :
soit : x ∈ Rn
tel que :
n
i=1(| xi |)2
)
1
2 = 1

15. 2.3. EXISTENCE D’UN POINT EXTR´EMAL 15
soit : x = ta + (1 − t)b donc : 1 =|| x ||≤ t || a || +(1 − t) || b ||≤ 1
donc : || a ||=|| b ||= 1
Or : x, x = t x, a + (1 − t) x, b ,donc :1 = t x, a + (1 − t) x, b
donc : x, a = 1 et x, b = 1
donc : x, a =|| a |||| b || et x, b =|| a |||| b ||
Et par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz(cas d’´egalit´e),
∃(c1, c2) telle que : x = c1a = c2b
Donc :c2
1 = c2
2 = 1
Premier cas : si c1 = c2 = 1, alors : || x ||= −1(absurde)
deuxi`eme cas : si c1 = c2 = −1, alors : || x ||= 1 − 2t < 1(absurde)
donc : c1 = c2 = 1
Finalement : a = b = x
Soit : x ∈ Rn
tel que : || x ||< 1 donc : ∃r > 0 tel que B(x, r) ⊂ B2
(x1, x2) ∈ B(x, r) donc : B(x1, r) ⊂ B2 et B(x2, r) ⊂ B2
le segment [x − r
2 , x + r
2 ] ⊂ B(x, r) donc : x est le milieu
le segment [x − r
2 , x + r
2 ] ⊂ B(x, r) ⊂ B2 donc : x n’est pas un point extremal
Lemme 3 soit K un convexe et Φ une forme lin´eaire atteignant son maximum
sur K alors l’ensemble F = {x ∈ K, Φ(x) = max
K
Φ} est une face de K.
D´emonstration
Montrons que F est convexe,
soit (x, y) ∈ F donc : Φ(x) = max
K
Φ et Φ(y) = max
K
Φ
Par linearit´e de Φ :
∀t ∈ ]0, 1[ donc :tφ(x) + (1 − t)φ(y) = φ(tx + (1 − t)y) = t max
K
Φ + (1 − t) max
K
Φ
donc :φ(tx + (1 − t)y) = max
K
Φ donc : tx + (1 − t)y ∈ Fet donc : F est convexe.
tx + (1 − t)y ∈ F =⇒ Φ(tx + (1 − t)y) = max
K
Φ
donc : tΦ(x) + (1 − t)Φ(y) = max
K
Φ
or : Φ(x) ≤ max
K
Φ et Φ(y) ≤ max
K
Φ
si l’une des inegalit´e est stricte on aurait :
Φ((1 − t)x + ty) = (1 − t)Φ(x) + tΦ(y) < max
K
Φ (absurde).
donc : Φ(x) = max
K
Φ et Φ(y) = max
K
Φ
donc : x ∈ F et y ∈ F donc :F est une face de K.
2.3 Existence d’un point extr´emal
On rappelle un th´eor`eme classique d’analyse fonctionnelle(Th´eor`eme de Hahn-
Banach).
Th´eor`eme 5 Soit V un espace vectoriel r´eel et p une fonction convexe de V
dans R, soit G un sous-espace vecttoriel de V , et f une forme lin´eaire sue G
qui v´erifie :en tout point x de G la condition de majoration f(x) ≤ p(x) alors

16. 16 CHAPITRE 2. TH´EOR`EME DE KREIN-MILMAN
il existe un prolongement lin´eaire g de f sur V v´erifiant encore la condition
g(x) ≤ p(x) en tout point x de V .
Lemme 4 Soit K un convexe compact non vide, alors K poss`ede au moins un
point extremal.
D´emonstration :
Le r´esultat est ´evident si K est un singleton
si K contient 2 points disticts (x, y), alors par Hahn-Bannach il existe Φ ∈ E∗
tel que Φ(x) ≤ Φ(y).comme K est compact et Φ est continue, Φ atteint son
maximum sur K
donc : F = {x ∈ K, Φ(x) = max
K
Φ} est une Face de K,de plus F=Φ−1
{max
K
Φ}
donc : F est un ferm´e, donc :F est un compact.
on peut raisonner donc par r´ecurrence su K de dimension finie n,F ´etant aau
plus de dimension n − 1
{x} est une face de F et F est une face de K.
donc : {x} est une face de K donc :K admet un point extremal.
2.4 Krein-Milman et et ses cons´equences
Th´eor`eme 6 Soit K un ensemble convexe compact de E alors K est l’enveloppe
convexe ferm´ee de ses points extr´emaux.
D´emonstration :
L’envoloppe convexe de A est la plus petite partie convexe de E qui contient A
soit :K l’envoloppe convexe des points extremaux de K alors :K est un sous
ensemble convexe compact de K
supposons par l’absurde que K = K donc il existe x ∈ K K par Hahn-Banach
, on peut s´eparer strictement x de K

17. 2.4. KREIN-MILMAN ET ET SES CONS´EQUENCES 17
donc : il existe Φ ∈ E∗
et > 0 tel que : Φ(y) + < Φ(x), ∀y ∈ K
on pose : F = {x ∈ K, Φ(x) = max
K
Φ}
Fest un convexe compact non vide .
donc : F admet un oint extremal y qui est aussi un point extremal de K puisque
F est une Face de K ,donc :y ∈ K
donc : Φ(y) < Φ(x) ≤ max
K
Φ = Φ(y)(absurde)
Corollaire 2 soit f une fonction convexe et A un ensemble convexe compact
K l’ensemble des points extremaux de A donc :
sup
x∈K
f(x) = sup
x∈A
f(x)
D´emonstration :
puisque K ⊂ A donc
sup
x∈K
f(x) ≤ sup
x∈A
f(x)
soit x ∈ A donc : x appartient a l’envoloppe convexe ferm´ee des points extremaux
de K.(par Krein-Milman)
soit : xN ∈ conv(K) tel que : lim
N→∞
xN = x
on pose :xN =
n
i=1 λixi avec : xi ∈ K et
n
i=1 λi = 1 et (λi ≥ 1 )
Donc : D’apr`es le lemme de Jensen
f(xN ) = f(
n
i=1 λixi) ≤
n
i=1 λif(xi)
on passe `a la limite :
donc : f(x) ≤ sup
y∈K
f(y)
n
i=1 λi, Or :
n
i=1 λi = 1 donc
sup
x∈A
f(x) ≤ sup
x∈K
f(x)
donc
sup
x∈K
f(x) = sup
x∈A
f(x)

18. 18 CHAPITRE 2. TH´EOR`EME DE KREIN-MILMAN

19. Chapitre 3
Approximation de la
(Cut-Norm) avec l’in´egalit´e
de Grothendiek
3.1 D´efinitions et propri´et´es
D´efinition 4 (Cut-Norm)
soit : A = (aij)i∈R,j∈S, on d´efinit la Cut-Norm par :
|| A ||C= max
I⊂R
J⊂S
|
i∈I
j∈J
Aij |= max
xi,yj ∈{0,1}
|
n
i,j=1
Aijxiyj |
D´efinition 5 soit : A = (aij)i∈R,j∈S, on d´efinit : || A ||∞→1 par :
|| A ||∞→1= max
n
i=1
m
j=1
Aijxiyj, pour tout : (xi, yj) ∈ {−1, 1}
Proposition 6 soit : A = (aij)i∈R,j∈S,alors :
4 || A ||C≥|| A ||∞→1≥|| A ||C
Preuve :
i,j
aijxiyj =
xi=1,xj =1
aij −
xi=1,xj =−1
aij −
xi=−1,xj =1
aij +
xi=−1,xj =−1
aij
donc :
|
i,j
aijxiyj |=|
xi=1,xj =1
aij−
xi=1,xj =−1
aij−
xi=−1,xj =1
aij+
xi=−1,xj =−1
aij |
19

20. 20CHAPITRE 3. APPROXIMATION DE LA (CUT-NORM) AVEC L’IN´EGALIT´E DE GROTHENDIE
donc :
|| A ||∞→1≤|| A ||C
Or :
|| A ||C=
i,j
aij
on fixe : xi = 1si i ∈ I et xj = −1 sinon
et : xj = 1si j ∈ J et xj = −1 sinon
donc :
|| A ||C=
1
4 i,j
aij +
1
4 i,j
aijxi +
1
4 i,j
aijyj +
1
4 i,j
aijxiyj
donc :
|| A ||C≤|| A ||∞→1
Probl`eme :
Maximiser
i,j
aijxiyj, (xi, yj) ∈ {−1, 1}
3.1.1 Probl`eme de relaxation
Pour relaxer notre probl`eme nous remarquons que :
max
(xi,yj )∈{−1,1}
i,j
aijxiyj ≤ max
ui∈Sn−1
vj Sm−1 i,j
aijuivj
En effet,si on suppose que :n ≤ m, u ∈ Sn−1
et v = (v, 0, . . . , 0) ∈ Sm−1
,alors :
u, v = 1
Et pour : (xi, yj) ∈ {−1, 1}donn´es, il suffit de prendre :
ui = xiu et vj = yiu, de telle sorte que : ui, vj = xiyj
Donc notre probl`eme de relaxation est :
max
i,j
aijuivj
pour :
|| ui ||=|| vj ||= 1
Plus g´en´eralement pour : A = (aij) ∈ Rn×m
une matriced’ordre n × m,on
d´efinit A comme ´etant un op´erateur lin´eaire sur l’espace (Rm
, || . ||p),et (Rn
, ||
. ||q) pour : 1 ≤ p, q ≤ ∞
on d´efinit p → q norm, la quantit´e
|| A ||p→q= max
x∈Rn:||x||p=1
|| Ax ||q

21. 3.2. CONSTRUCTION DE L’ALGORITHME 21
avec : x = xi ∈ Rd
On se place maintenant dans un espace de Hilbert H,on peut donc d´efinir le
produit scalaire x(i)
, y(j)
et relaxer le probl`eme par le probl`eme suivant :
max
i,j
Aij x(i)
, y(j)
pour : x = (x(1)
, . . . , x(m)
), y = (y(1)
, . . . , y(n)
) deux vecteurs unitaires dans
l’espace : (Rd
, || . ||2)
3.2 Construction de l’algorithme
Th´eor`eme 7 (In´egalit´e de Grothendieck)
On se place dans un espace de Hilbert quelconque H, et A = (aij) ∈ Rn×m
une
matrice d’ordre n × m, ∀n, m ≥ 1, il existe C > 0 tel que pour tout x(i)
, y(j)
vecteurs unitaires on a :
max
x(i),y(j)∈H
i,j
Aij x(i)
, y(j)
≤ C || A ||∞→1
On note C la constante de Grothendieck,cette constante est la plus petite telle que
l’in´egalit´e reste vrai ,nous allons traiter le probl`eme en terme d’approximation,
pour l’instant on sait que C se situe entre Π
2 ≈ 1, 57et K = Π
2ln(1+
√
2)
≈ 1, 78
Alon et Naor resolvent ce probl`eme en adoptant la preuve de Kirvine de l’in´egali´e
de Grothendieck , qui obtient la limite superieur K sur la constante de Grothen-
dieck.
Th´eor`eme 8 (Alon et Naor)
pour d = n + m ,on a une solution optimale du probl`eme de relaxation en
utulisant une approximation al´eatoire :
E[
i,j
aijxiyj] =
1
K i,j
Aij x(i)
, y(j)
≥
1
K
|| A ||∞→1≈ 0, 56 || A ||∞→1
Lemme 5 soit : x un vecteur unitaire dans (Rd
, || . ||2), ∀d ≥ 2 ,si z est un
vecteur unitaire choisie uniformement au hazard dans (Rd
, || . ||2) alors :
E[sign x, z sign y, z ] =
2
π
arcsin y, z
Preuve :
on considere sign x, z sign y, z et on se place dans la sphere :
{x ∈ Rd
, || x ||2= 1}
G´eom´etriquement on remarque que sign x, z sign y, z = 1 si et seulemnt si
xety sont dans la meme moiti´e de la sphere.

22. 22CHAPITRE 3. APPROXIMATION DE LA (CUT-NORM) AVEC L’IN´EGALIT´E DE GROTHENDIE
{x ∈ Rd
, z, x } est un hyperplan passant par l’origine, le vecteur x satisfait
x, z > 0 si et seulement si il se trouve au dessous de l’hyperplan .
On consid`ere :
Pr[x et y dans la meme moiti´e]−Pr[x et y dans diff´erentes moiti´es] = 1−2Pr[x et y dans differentes moit
on note que la proba que xety se situent dans differentes moiti´es est de 2θ
2π avec
θ l’angle qui lie xety Or :
2
π
arcsin x, y =
2
π
arcsin(cos(θ) =
2
π
arcsin(sin(
2
π
− θ)) =
2
π
(
π
2
− θ) = 1 −
2θ
π
Lemme 6 (Krivine/Alon et Naor)
on suppose que x(i)
et y(j)
sont deux vecteurs dans Rn+m
pour i ∈ {1, . . . , n}
etj ∈ {1, . . . , m} alors ils existent 2 vecteurs unitaires ˆx(i)
et ˆy(j)
∈ Rn+m
tel
que :
arcsin( ˆx(i)
, ˆy(j)
) = ln (1 + 2) x(i)
, y(j)
Preuve :
on prend c = ln(1 +
√
2)et d = n + m d’apr`es la formule de Taylor
sin(c x(i)
, y(j)
) =
∞
k=0
(−1)k c2k+1
(2k + 1)!
( x(i)
, y(j)
)2k+1
le but est d’´ecrire ce qui pr´ec`ede comme produit de 2 vecteurs d’un espace vec-
toriel.
on va considerer donc un espace vectoriel H de dimension infinie en prenant le
produit direct de 2k + 1de vecteurs dans Rd
, H =
∞
k=0(Rd
) 2k+1
comme la somme directe de deux sev A.B de dimension α, β respectivement est
α + βet le produit est αβ
soit X(i)
et Y (j)
deux vecteurs dans H avec :
X
(i)
K = (−1)k c2k+1
(2k + 1)!
(x(i)
) (2k+1)
Y
(j)
K =
c2k+1
(2k + 1)!
(y(j)
) (2k+1)
X(i)
, Y (i)
= sin(c x(i)
, y(j)
) donc sinh(c X(i)
, Y (j)
) = sinh(c) = 1

23. 3.3. R´ESUM´E DE L’ALGORITHME 23
pour : d = n + m on consid`ere {X(i)
, Y (j)
} qui est isomorphe a un sous-
espace de Rd
et d’apr`es de th´eor`eme de Gram- shmidt on peut construire une
base orthonormale ,et nous pouvons preserver le produit des vecteurs ,ainsi
X(i)
etY (j
) correspond au vecteur unitaires ˆx(i)
et ˆy(j)
dan Rd
donc
arcsin(ˆx(i)
, ˆy(j)
) = arcsin(X(i)
, Y (j)
) = c X(i)
, Y (j)
Preuve de l’in´egalit´e de Grothendieck : on pose H = Rn+m
,ˆxi = sign ˆxi, z ,ˆyj =
sign ˆyj, z donc
E[
i,j
Ai,j ˆxi ˆyj] =
i,j
Ai,jE[sign ˆxi, z ˆyjsign ˆyj, z ] =
2
π i,j
Ai,jarcsin( ˆxi, ˆyj
=
2ln(1 +
√
2)
π i,j
Ai,j( xi, yj) =
1
k
max
xi,yj ∈Rn+m
i,j
Ai,j xi, yj
3.3 R´esum´e de l’algorithme
1) Calcul de la solution optimale de probl`eme de relaxation.
2) Recherche de ˆx(i)
et ˆy(j)
tel que ( ˆx(i)
, ˆy(j)
) = ln (1 + 2) x(i)
, y(j)
3)choisir z uniformement au hazard dans Sd−1
4)on pose ˆxi = sign ˆxi, z et ˆyj = sign ˆyj, z
les calculs donnent :
E[
i,j
Ai,j ˆxi ˆyj] =
1
K
max
xi,yj ∈Rn+m
i,j
Ai,j xi, yj
avec : ˆx1, . . . , ˆxm, ˆy1, . . . , ˆyn sont des vecteurs unitaires dans (Rd
, || . ||2)

24. 24CHAPITRE 3. APPROXIMATION DE LA (CUT-NORM) AVEC L’IN´EGALIT´E DE GROTHENDIE

25. Chapitre 4
L’approche de R.E.Rietz
pour la preuve de l’in´egalit´e
de Grothendieck
4.1 Introduction
On se place dans un espace de Hilbert H muni du produit int´erieur (., .),et
soit A = aij une matrice r´eelle,on d´efinit
| A |H= sup{| aij(xi, yj) |: xi, yj ∈ H, de norme ≤ 1}
puis :
| A |= sup{| aijtiuj |: −1 ≤ ti, uj ≤ 1}
avec :
| A |H≤ C | A |
La preuve de l’in´egalit´e de Grothendieck donne une estimation de C ≤ sinhπ
2
avec : ti = sgn(xi, ω),et uj = sgn(yj, ω) sur la sph`ere unit´e Ω dans R et apr`es
avoir normaliser la mesure de surface dω, on obtient une meilleur estimation
C < 2, 261,puis pour A une matrice d´efinie positive,on trouve :
| A |H≤
π
2
| A |
On fixe : dG(x) = (2π)
−n
2 exp(−|x|2
2 )dx une mesure Gaussienne normalis´e
d’espr´erance ´egal a 0,et de variance ´egal a 1.
par la suite on va noter L2
pour L2
(R , dG) et || . || la norme,et (., .) le produit
int´erieur.
Soit U l’ensemble des fonctions mesurables positives d´efinie sur R+ de sup ≤ 1,et
soit Ψ l’extension impair de f sur R i.e :
25

26. 26CHAPITRE 4. L’APPROCHE DE R.E.RIETZ POUR LA PREUVE DE L’IN´EGALIT´E DE GROTHE
Ψ(t) = f(t) si t ≥ 1 et Ψ(t) = −f(−t) si t < 0
et pour x ∈ R on d´efinit les fonctions r´eels Φx et Ψx par :
Φx(z) = x.z et Ψx(z) = Ψ(x.z)(z ∈ R )
pour : x ∈ R , (Φx, Ψx) ∈ L2
Lemme 7 Soit f ∈ U et Ψ l’extension impair de f,si : | x |=| y |= 1 alors :
1. (Φx, Φy) = x.y
2. (Φx, Ψy) = K(x.y) avec : K = Kf =
∞
0
tf(t)dm(t)
3. || Φx − Ψx ||2
= 1 − 2K + L avec : L = Lf =
∞
0
f2
(t)dm(t)
Preuve :
Si x et y sont de norme 1,alors : x = (x.y)y + y ,avec : y est orthogonal a y
donc :
(x.z)(y.z)dG(z) = (x.y) | y.z |2
dG(z) + (y .z)(y.z)dG(z)
la distribution associ´e a la fonction z → y.z est une distribution Gaussiennne
d’esp´erance 0 et de variance | y |2
donc : | y.z |2
dG(z) =| y |2
= 1 on choisit
y un ´element du vecteur de base,donc : (y .z)(y.z)dG(z) = 0 donc :
(Φx, Φy) = x.y
pour 2,avec : x = (x.y)y + y on trouve :
(x.z)Ψ(y.z)dG(z) = (x.y) + (y .z)Ψ(y.z)dG(z)
On choisit y un ´element du vecteur de base On trouve :
(y.z)Ψ(y.z)dG(z) =
∞
0
f2
(t)dm(t)
et
(y .z)Ψ(y.z)dG(z) = 0
pour 3 ,il suffit d’appliquer 1 et 2.
4.2 Preuve de l’in´egalit´e de Grothendieck
Th´eor`eme 9 (Grothendieck) Soit A une matrice d’ordre n × n,alors il existe
une constante C tel que :
| A |H≤ C | A |

27. 4.2. PREUVE DE L’IN´EGALIT´E DE GROTHENDIECK 27
Preuve :
Soit : f ∈ U,on note : K = Kf , L = Lf et soit : Ψ l’extension impair de f.
on note | A |H le sup de la quantit´e i || j aijxj || avec : xi ∈ H de norme
≤ 1,puisque{xi} est un sous-espace de H qui contient au plus n vecteurs,on peut
prendre H = R ,et par convexit´e de la sph`ere unit´e dans R ,on peut choisir
xi, yj de norme 1 telle que : | A |H= aij(xiyj). D’apr`es le Lemme 1,
(Ψx, Ψy) = (Φx, Ψy) + (Ψx, Φy) − (Φx − Ψx, Φy − Ψy)
donc :
aij(Ψx, Ψy) = (2K − 1) aij(xi, yj) − aij(Φx − Ψx, Φx − Ψx)
et D’apr`es 3 du Lemme 1 : la derni`ere somme est major´e en valeur absolue par
| A |H (1 − 2K + L),D’autre part on a : | aij(Ψx, Ψy) |≤ 1 pour : | A |≤ 1,et
par l’in´egalit´e triangulaire 1 ≥| aij(Ψx, Ψy) |≥| A |H (| 2K −1 | +2K −L+1)
Cette in´egalit´e est vrai ∀f ∈ U,En particulier pour f = 1,et on a :K = ( 2
π )
1
2 et
L = 1
donc : A.N :
| A |H< 5, 2
Proposition 7 Si f ∈ U telle que : 2K2
f > Lf alors :
C ≤ (2K2
f − Lf )−1
Preuve :
D’apr`es la preuve du th´eor`eme pr´ec´edent on a :
∀f ∈ U, 1 ≥| A |H (| 2K − 1 | +2K − L + 1)
On remplace f par : cf, ∀c > 0,on trouve :Kcf = cKf etLcf = c2
Lf
Donc :
c2
≥| A |H (| 2cK − 1 | +2cK − c2
L + 1)
si c est choisie telle que : 2cK −1 ≤ 1 alors l’in´egalit´e est trivale donc : on choisit
la constante c pour que : 4cK − c2
L − 2 > 0,
donc :
| A |H≤ c2
(4cK − c2
L − 2)−1
On fixe K et L, le minilum de la quantit´e c2
(4cK − c2
L − 2)−1
et atteint pour
C = 1
K
donc
| A |H≤ (2K2
− L)−1
, ∀(2K2
− L) > 0
nous observons que :f → (K2
f − Lf ) est une fonction semi-continue sur la topo-
logie faible L∞
(R+, dm(t)),et U et un sous espace ferm´e de L∞
,donc :K2
f − Lf
atteint son maximum dans U.
Notons :µ(t) son maximum,et d´eteminons explicitement µ(t) .
Soit :h(t) une fonction mesurable sur [0, +∞[,telle que :h(t) ≥ 0 si [µ = 0]et

28. 28CHAPITRE 4. L’APPROCHE DE R.E.RIETZ POUR LA PREUVE DE L’IN´EGALIT´E DE GROTHE
h(t) ≤ 1 si : [µ = 1], et supt≥0 | µ(t) + h(t) |= 1, ∀ > 0
Notons que : K , L correspondent respectivement a Ket L pour la mesure µ+ h
donc :
2K 2
− L = 2K2
− L + 2
∞
0
[2Kh(t)t − µ(t)h(t)]dm(t) + O( 2
)
pour :2K2
− L ≥ 2K 2
− L ,et suffisamment petit,
0 ≥
∞
0
[2Kh(t)t − µ(t)h(t)]dm(t)
On va consid´erer 3 cas :
Premier cas : h(t) ≥ 0,dans [µ = 0], donc :0 ≥
∞
0
(2Kh(t)tdm(t)),ce qui est
impossible sauf si la mesure est nul,donc :µ(t) > 0
deuxi`eme cas : h(t) ≤ 0 dans [µ = 1],on a : 0 ≥
∞
0
(2Kt−1)h(t)tdm(t)),donc :(2Kt−
1) ≥ 0
donc :(2Kt − 1) ≥ 0, sur [µ = 1].
Troisi`eme cas : h(t) pris sur [0 < µ < 1],donc :0 ≥
∞
0
(2Kt−µ(t))h(t)tdm(t)),ce
qui est vrai si et seulement si : 2Kt = µ(t) Conclusion :
µ(t) = 2Ktsi0 ≤ t ≤ 1
2 Ketµ(t) = 1si : t ≥ 1
2 K
donc : Calculer 2K2
− L,revient a r´esoudre l’equation 1 = 2
1
2 K
0
dm(t),
et 2K2
− L = 2K( 2
π )
1
2 )exp(−1
8 K2
) − 1
2 ,d’apr`es [8] 2K2
− L > 0.4423 donc :
C < 2.261
(c’est l’am´elioration de la constante de Grothendieck faite par R.E Rietz)
4.3 Nouvelle estimation de la norme
Lemme 8 Si A est une matrice d´efinie positive alors : ils existent des vecteurs
x1, . . . , xn de normes 1 telle que :
| A |= aij(xi.xj)
Th´eor`eme 10 Pour toute matrice d´efinie positive on a :
| A |H≤
π
2
Preuve :
soit :f ∈ U et Ψl extension impair de f
Supposons que : | A |≤ 1, on choisit : x1, . . . , xn, denorme1dansR ,telle que :
| A |H= aij(xi.xj),et d’apr`es la preuve de l’in´egalit´e de Grothendieck :
aij(Ψxi
, Ψxj
) = (2K − 1) aij(xi, xj) − aij(Φxi
− Ψxi
, Φxj
− Ψxj
)
et puisque :la quantit´e aij(Φxi
− Ψxi
, Φxj
− Ψxj
) est positive,
alors : aij(Ψxi
, Ψxj
) ≥| A |H (2K − 1),et 1 ≤| A |H (2K − 1),

29. 4.3. NOUVELLE ESTIMATION DE LA NORME 29
on remplace f par{cf, ∀c > 0}
alors : c2
≤| A |H (2K − 1)
donc : | A |H≤ c2
(2K − 1)−1
pour :c ≥ 1
2 K,la valeur minimale de | A |H est atteinte
pour c = 1
K , | A |H≤ 1
K2
En particulier pour f = 1, K = ( 2
π )
1
2 donc :
| A |H≤
π
2

30. 30CHAPITRE 4. L’APPROCHE DE R.E.RIETZ POUR LA PREUVE DE L’IN´EGALIT´E DE GROTHE

31. Bibliographie
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31