Graphes, Dérivée partielles, opérateurs vectoriels, intégrales multiples (dont séparables et par changement de variable)

1. MA32 (GEII - S3)
D - F ONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES
F. Morain-Nicolier
frederic.nicolier@univ-reims.fr
2013 - 2014 / URCA - IUT Troyes
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2. O UTLINE
1. F ONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES
2. I NTÉGRALES MULTIPLES ( DOUBLES )
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3. 1.1. D ÉFINITION ET EXEMPLES
On appelle fonction de plusieurs variables de Rn dans R,
d’ensemble de définition D ⊆ R, toute application définie
par :
f : D ⊆ Rn
(x1 , x2 , . . . , xn )
→R
→ f (x1 , x2 , . . . , xn )
1. figs/MA32-4.pdf
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4. 1.1. D ÉFINITION ET EXEMPLES
On appelle fonction de plusieurs variables de Rn dans R,
d’ensemble de définition D ⊆ R, toute application définie
par :
f : D ⊆ Rn
(x1 , x2 , . . . , xn )
→R
→ f (x1 , x2 , . . . , xn )
La détermination du domaine de définition est essentielle !
Exemples : équations aux dérivées partielles (EDP) :
Schrödinger, Maxwell, propagation des ondes, de la
chaleur (Fourier), mécaniqugraphe2xy 1 e des fluides
(Navier-Stokes), relativité générale, . . .
1. figs/MA32-4.pdf
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5. 1.2. G RAPHES
Soit f : D ⊆ R2 → R, une fonction à deux variables.
graphe : ensembles de points (x, y, f (x, y)).
y = f (x) : représente une courbe (C) dans le plan
z = f (x, y) : représente une surface (S) dans l’espace 3D.
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6. 1.2. G RAPHES
Soit f : D ⊆ R2 → R, une fonction à deux variables.
graphe : ensembles de points (x, y, f (x, y)).
y = f (x) : représente une courbe (C) dans le plan
z = f (x, y) : représente une surface (S) dans l’espace 3D.
Difficile à représenter
graphes des sections x = K, y = K et z = K
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7. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1
Soit f (x, y) = x2 y.
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8. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1
Soit f (x, y) = x2 y.
F IGURE : Graphe de fK (y) = K2 y
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9. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1
Soit f (x, y) = x2 y.
F IGURE : Graphe de fK (x) = Kx
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10. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1
Soit f (x, y) = x2 y.
F IGURE : Graphe de f (x, y) = x2 y
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11. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 2
Soit f (x, y) = x2 + y2 .
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12. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 2
Soit f (x, y) = x2 + y2 .
F IGURE : Graphe de f (x, y) = x2 + y2
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13. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 3
2 +y2 )
Soit f (x, y) = xe−(x
.
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14. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 3
2 +y2 )
Soit f (x, y) = xe−(x
.
F IGURE : Graphe de f (x, y) = xe−(x
2 + y2 )
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15. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 3
2 +y2 )
Soit f (x, y) = xe−(x
.
F IGURE : Graphe de f (x, y) = K
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16. 1.3. L IMITE ET CONTINUITÉ
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17. 1.3. L IMITE ET CONTINUITÉ
Soit M0 un point du domaine de définition D d’une fonction f à
plusieurs variables.
D ÉFINITION f est continue en M0 ssi
1. f est définie au voisinage de M0 ,
2. f (M) tend vers f (M0 ) lorsque M tend vers M0 .
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18. 1.4. D ÉRIVÉES PARTIELLES - D ÉFINITIONS
Comment varient les valeurs de f ?
⇒ Concept de dérivées partielles.
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19. 1.4. D ÉRIVÉES PARTIELLES - D ÉFINITIONS
Comment varient les valeurs de f ?
⇒ Concept de dérivées partielles.
D ÉFINITION Soit f (x, y) une fonction définie dans R2 , on
appelle dérivée partielle de f par rapport à x, la
fonction obtenue en dérivant f (x, y) par rapport à
x et en considérant y constant.
On note cette dérivée partielle :
∂f
∂
ou
f
∂x
∂x
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20. 1.5. D ÉRIVÉE D ’ ORDRE SUPÉRIEUR À 1 - T HÉORÈME
DE S CHARTZ
Raisonnons avec deux variables.
Si les dérivées partielles de f existent et sont dérivables sur
D, leurs dérivées partielles sont pour f des dérivées
partielles secondes.
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21. 1.5. D ÉRIVÉE D ’ ORDRE SUPÉRIEUR À 1 - T HÉORÈME
DE S CHARTZ
Raisonnons avec deux variables.
Si les dérivées partielles de f existent et sont dérivables sur
D, leurs dérivées partielles sont pour f des dérivées
partielles secondes.
∂f
∂x
dérivable ⇒
∂2 f
∂x2
∂f
∂y
dérivable ⇒
∂2 f
∂x∂y
et
∂2 f
∂y∂x .
et
∂2 f
.
∂y2
Attention à la disposition des variables ! !
E XEMPLE f (x, y) = ex ln y + sin(xy).
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22. 1.5. D ÉRIVÉE D ’ ORDRE SUPÉRIEUR À 1 - T HÉORÈME
DE S CHARTZ
T HÉORÈME (de Schwartz)
∂2 f
∂2 f
Si ∂y∂x et ∂x∂y sont continues en M = (x, y) alors
∂2 f
∂2 f
=
∂y∂x
∂x∂y
⇒ L’ordre des dérivées partielles n’importe pas.
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23. 1.6. D IFFÉRENTIELLES
Rappelons la notion de différentielle pour une fonction à
une variable f (x).
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24. 1.6. D IFFÉRENTIELLES
Rappelons la notion de différentielle pour une fonction à
une variable f (x).
⇒ différentielle de f = produit de la dérivée par la différentielle
de la variable :
df = f (x)dx.
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25. 1.6. D IFFÉRENTIELLES
Rappelons la notion de différentielle pour une fonction à
une variable f (x).
⇒ différentielle de f = produit de la dérivée par la différentielle
de la variable :
df = f (x)dx.
(Généralisation à plusieurs dimensions)
différentielle de f = somme des produits entre les dérivées
partielles et les différentielles des variables.
Exemple (à deux variables)
df =
∂f
∂f
dx + dy.
∂x
∂y
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26. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE
C’est l’analyse des champs (i.e. espaces) tensoriels.
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27. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE
C’est l’analyse des champs (i.e. espaces) tensoriels.
tenseur d’ordre 1 : champ scalaire. À chaque point de l’espace
est associé un nombre (ex. température, pression, . . . ).
tenseur d’ordre 2 : champ vectoriel. À chaque point de
l’espace est associé un vecteur (ex. gravité, champ
électromagnétique).
tenseur d’ordre 3 : champ matriciel. À chaque point de
l’espace est associé une matrice (ex. contraintes, déformation).
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28. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE
C’est l’analyse des champs (i.e. espaces) tensoriels.
tenseur d’ordre 1 : champ scalaire. À chaque point de l’espace
est associé un nombre (ex. température, pression, . . . ).
tenseur d’ordre 2 : champ vectoriel. À chaque point de
l’espace est associé un vecteur (ex. gravité, champ
électromagnétique).
tenseur d’ordre 3 : champ matriciel. À chaque point de
l’espace est associé une matrice (ex. contraintes, déformation).
On définit des opérations sur ces champs : gradient,
divergence et rotationnel.
Très utilisé en électromagnétisme (équations de Maxwell), mécanique
des fluides, propagation, . . .
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29. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT
Indique de quelle façon le champ varie dans l’espace. Il est
donc défini à partir des dérivées partielles. C’est un vecteur.
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30. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT
Indique de quelle façon le champ varie dans l’espace. Il est
donc défini à partir des dérivées partielles. C’est un vecteur.
Soit f une fonction à trois variables :
f : D ⊆ R3
(x, y, z)
→ R,
→ f (x, y, z).
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31. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT
Indique de quelle façon le champ varie dans l’espace. Il est
donc défini à partir des dérivées partielles. C’est un vecteur.
Soit f une fonction à trois variables :
f : D ⊆ R3
→ R,
→ f (x, y, z).
(x, y, z)
Le gradient est un opérateur qui s’applique à un champ de
scalaires et le transforme en un champ de vecteurs :


grad f = 
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z


.
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32. 1.7 A NALYSE V ECTORIELLE : GRADIENT
Le gradient est un opérateur. Il est parfois noté
:
: (R3 → R) → (R3 → R3 ),



=
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z

.
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33. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT
Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande
variation du champ scalaire, et l’intensité de cette variation. Par
exemple, le gradient de l’altitude est dirigé selon la ligne de
plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.
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34. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT
Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande
variation du champ scalaire, et l’intensité de cette variation. Par
exemple, le gradient de l’altitude est dirigé selon la ligne de
plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.
F IGURE : Deux exemples de gradients
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35. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : DIVERGENCE
La divergence transforme un champ vectoriel en champ
scalaire.
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36. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : DIVERGENCE
La divergence transforme un champ vectoriel en champ
scalaire.
Soit F un champ de vecteur :


Fx
F =  Fy 
Fz
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37. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : DIVERGENCE
La divergence transforme un champ vectoriel en champ
scalaire.
Soit F un champ de vecteur :


Fx
F =  Fy 
Fz
div F =
∂Fy
∂Fx
∂Fz
+
+
∂x
∂y
∂z
div F =
.F
Utilisé lorsque des flux sont présents.
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38. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : ROTATIONNEL
Le rotationnel transforme un champ vectoriel en un autre
champ vectoriel.
38 / 62

39. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : ROTATIONNEL
Le rotationnel transforme un champ vectoriel en un autre
champ vectoriel.
Soit F un champ de vecteur :


Fx
F =  Fy 
Fz
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40. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : ROTATIONNEL
Le rotationnel transforme un champ vectoriel en un autre
champ vectoriel.
Soit F un champ de vecteur :


Fx
F =  Fy 
Fz


∂Fz /∂y − ∂Fy /∂z
rot F =  ∂Fx /∂z − ∂Fz /∂x 
∂Fy /∂x − ∂Fx /∂y
rot F =
∧F
Il exprime la tendance d’un champ à tourner autour d’un point.
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41. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE
Ces opérateurs possèdent certaines propriétés (non démontrées
ici) :
rot(grad) = 0
div(rot) = 0
rot(rot) = grad(div) − div(grad)
...
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42. O UTLINE
1. F ONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES
2. I NTÉGRALES MULTIPLES ( DOUBLES )
42 / 62

43. 2.1. R ETOUR SUR L’ INTÉGRALE SIMPLE
L’intégrale simple permet de calculer l’aire délimitée par
une courbe plane.
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44. 2.1. R ETOUR SUR L’ INTÉGRALE SIMPLE
L’intégrale simple permet de calculer l’aire délimitée par
une courbe plane.
b
S=
a
f (x)dx = lim
∑ f (xi )∆xi .
∆xi →0 x
i
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45. 2.1. R ETOUR SUR L’ INTÉGRALE SIMPLE
L’intégrale simple permet de calculer l’aire délimitée par
une courbe plane.
b
S=
a
f (x)dx = lim
∑ f (xi )∆xi .
∆xi →0 x
i
L’intégrale double va permettre de calculer le volume
délimité par une surface tri-dimensionnelle.
V=
D
f (x, y)dxdy.
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46. 2.2. I NTÉGRALE DOUBLE : DÉFINITION
46 / 62

47. 2.2. I NTÉGRALE DOUBLE : DÉFINITION
V = lim lim
∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi .
∆xi →0 ∆yi →0 x
i
yi
On note
V=
D
f (x, y)dxdy.
(∗)
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48. 2.3. M ÉTHODE DE CALCUL
Raisonnons sur
V
∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi .
xi
yi
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49. 2.3. M ÉTHODE DE CALCUL
Raisonnons sur
∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi .
V
xi
yi
Au final :
V=
b
V=
dx
a
c
V=
d
dy
y1 (x)
y0 (x)
x1 (y)
x0 (y)
D
f (x, y)dxdy.
(notation)
f (x, y)dy.
(ordre de calcul 1 : y puis x)
f (x, y)dx.
(ordre de calcul 2 : x puis y)
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50. 2.3. M ÉTHODE DE CALCUL
Raisonnons sur
∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi .
V
xi
yi
Au final :
V=
b
V=
dx
a
c
V=
d
dy
y1 (x)
y0 (x)
x1 (y)
x0 (y)
D
f (x, y)dxdy.
(notation)
f (x, y)dy.
(ordre de calcul 1 : y puis x)
f (x, y)dx.
(ordre de calcul 2 : x puis y)
T HÉORÈME Si f (x, y) est continue sur D, quelque soit le
partage, il existe une limite unique V lorsque les
∆xi et ∆yi tendent vers 0.
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51. 2.4. E XEMPLES
a) Soit le domaine D = {(x, y) ∈ R : 1 ≤ y ≤ x2 , 1 ≤ x ≤ 2},
calculons
Ia =
f (x, y)dxdy
D
avec
f (x, y) = x2 + y2 .
51 / 62

52. 2.4. E XEMPLES
a) Soit le domaine D = {(x, y) ∈ R : 1 ≤ y ≤ x2 , 1 ≤ x ≤ 2},
calculons
Ia =
f (x, y)dxdy
D
avec
f (x, y) = x2 + y2 .
b) Calculons Ib = D ex2 dxdy, où D désigne l’intérieur du
triangle (0, 0) − (1, 0) − (1, 1 ).
3
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53. 2.5. P ROPRIÉTÉS DE L’ INTÉGRALE DOUBLE
53 / 62

54. 2.5. P ROPRIÉTÉS DE L’ INTÉGRALE DOUBLE
Linéarité
D
α
D
[αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy =
f (x, y)dxdy + β
D
g(x, y)dxdy.
Partition du domaine
Si D = D1 ∪ D2 avec D1 ∩ D2 = ∅, alors
D
f (x, y)dxdy =
D1
f (x, y)dxdy +
D2
f (x, y)dxdy.
54 / 62

55. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES
Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes
55 / 62

56. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES
Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes et si f
est une fonction séparable, ie.
f (x, y) = g(x)h(y)
56 / 62

57. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES
Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes et si f
est une fonction séparable, ie.
f (x, y) = g(x)h(y)
alors
b
I=
D
f (x, y)dxdy =
a
g(x)dx ×
d
c
h(y)dy .
57 / 62

58. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES
Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes et si f
est une fonction séparable, ie.
f (x, y) = g(x)h(y)
alors
b
I=
D
f (x, y)dxdy =
a
g(x)dx ×
d
c
h(y)dy .
L’intégrale se ramène à produit de deux intégrales simples
Un changement de variable permet parfois d’obtenir la
séparabilité.
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59. 2.7. C HANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE
INTÉGRALE DOUBLE
Soient ∆ et D de R2 et ϕ une application :
ϕ:∆→D
(x, y) → (s, t)
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60. 2.7. C HANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE
INTÉGRALE DOUBLE
Soient ∆ et D de R2 et ϕ une application :
ϕ:∆→D
(x, y) → (s, t)
Soit donc le changement de variables x = x(s, t) et y = y(s, t), ie.
f (x, y) = f (x(s, t), y(s, t)) = F(s, t)
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61. 2.7. C HANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE
INTÉGRALE DOUBLE
Soient ∆ et D de R2 et ϕ une application :
ϕ:∆→D
(x, y) → (s, t)
Soit donc le changement de variables x = x(s, t) et y = y(s, t), ie.
f (x, y) = f (x(s, t), y(s, t)) = F(s, t)
Alors
∆
où
∂(x,y)
∂(s,t)
f (x, y)dxdy =
D
F(s, t)
∂(x, y)
dsdt
∂(s, t)
est le jacobien de ϕ :
∂(x, y)
=
∂(s, t)
∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂y
∂t
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62. 2.8. A PPLICATIONS AUX COORDONNÉES POLAIRES
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